高中必修1-5错误解题分析系列-《13.3 算法案例》

必修1數學知識點第一章、集合與函數概念 §1.1.1、集合1、 把研究的對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。

集合三要素：確定性、互異性、無序性。

2、 只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合相等。

3、 常見集合：正整數集合：*N 或+N ，整數集合：Z ，有理數集合：Q ，實數集合：R .4、集合的表示方法：列舉法、描述法. §1.1.2、集合間的基本關係1、 一般地，對於兩個集合A 、B ，如果集合A 中任意一個元素都是集合B 中的元素，則稱集合A 是集合B 的子集。

記作B A ⊆.2、 如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，則稱集合A 是集合B 的真子集.記作：A B.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.記作：∅.並規定：空集合是任何集合的子集.4、 如果集合A 中含有n 個元素，則集合A 有n2個子集.§1.1.3、集合間的基本運算1、 一般地，由所有屬於集合A 或集合B 的元素組成的集合，稱為集合A 與B 的並集.記作：B A .2、 一般地，由屬於集合A 且屬於集合B 的所有元素組成的集合，稱為A 與B 的交集.記作：B A .3、全集、補集？{|,}U C A x x U x U =∈∉且 §1.2.1、函數的概念1、 設A 、B 是非空的數集，如果按照某種確定的對應關係f ，使對於集合A 中的任意一個數x ，在集合B 中都有惟一確定的數()x f 和它對應，那麼就稱B A f →:為集合A 到集合B 的一個函數，記作：()A x x f y ∈=,.2、 一個函數的構成要素為：定義域、對應關係、值域.如果兩個函數的定義域相同，並且對應關係完全一致，則稱這兩個函數相等. §1.2.2、函數的表示法1、 函數的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法. §1.3.1、單調性與最大（小）值1、 注意函數單調性證明的一般格式：解：設[]b a x x ,,21∈且21x x <，則：()()21x f x f -=… §1.3.2、奇偶性1、 一般地，如果對於函數()x f 的定義域內任意一個x ，都有()()x f x f =-，那麼就稱函數()x f 為偶函數.偶函數圖象關於y 軸對稱.2、 一般地，如果對於函數()x f 的定義域內任意一個x ，都有()()x f x f -=-，那麼就稱函數()x f 為奇函數.奇函數圖象關於原點對稱. 第二章、基本初等函數（Ⅰ） §2.1.1、指數與指數冪的運算1、 一般地，如果a x n=，那麼x 叫做a 的n 次方根。

人教版高中数学必修三第一章算法初步算法案例分析算法案例分析自主学习1.算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。

后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。

广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。

菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。

在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。

比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。

2. 2．算法的重要特征：（1）有限性：一个算法在执行有限步后必须结束；（2）确定性：算法的每一个步骤和次序必须是确定的；（3）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件．所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件．（4）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果．没有输出的算法是毫无意义的．师生互动例1解：算法如下：第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。

第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。

这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。

点评：通过例1明确算法具有两个主要特点：有限性和确定性。

练1解：第一步：把水注入电锅；第二步：打开电源把水烧开；第三步：把烧开的水注入热水瓶.点评：在日常生活中做任何一件事情，者是按照一定规则，一步一步进行，比如在工厂中生产一部机器，先把零件一道道工序进行加工，多面手一，又把各种零件按一定法则组装成一产，了完整机器，它们的工艺流程就是算法；在农村，种庄稼有耕地、播种、育苗、施肥、中耕、收割等各个环节，这些栽培技术也是算法。

总之，在任何这些数值计算或非数值计算的过程中所采取的方法和步骤，都称之为算法。

例2。

解：8251＝6105×1＋2146显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。

算法案例易错点分析山东省枣庄市第二中学（邮编:277400）王彦秋1．当一元多项式函数中出现空项时，利用秦九韶算法求函数值时易出错当一元多项式函数中出现空项时要把系数为零的相应项补齐，否则，在处理问题时，多项式的运算的次数不会达到对应的次数，从而得出错误的结果．例1.用秦九韶算法，求当x=2时f(x)=x5-5x4+x3-1的函数值．错解:用秦九韶算法递推公式，有v0=l；v l=1×2-5=-3；v2=(-3)×2+1=-5；v3=(-5)×2-1=-11．所以f(2)=-11．错解分析：秦九韶算法中的公式是用于每一个x幂项的系数，包括这里没写的0·x2、0·x的系数0、0.所以要把这两项的系数也运算一次．正确解法：利用公式：有v0=l；v l=1×2-5=-3；v2=（-3）×2+1＝-5；V3＝（-5）×2+0=-10；v4=（-10）×2+0=-20；v5=(-20)×2-1=-41.所以f(2)＝-41.2. 使用更相减损术约简后求最大公约数易漏乘约简的倍数使用更相减损术求两个正整数的最大公约数，可以先判断这两个数是否都为偶数，如果都是偶数，用2约简，直到两个数不都是偶数，然后求出约简后两个数的最大公约数，然后用求出的最大公约数乘以约简的倍数就是原来两个数的最大公约数.例2.用更相减损术求612和468的最大公约数.错误解法：因为612和468都为偶数，所以两次用2约简得153和117.用更相减损术求153和117的最大公约数．153-117＝36；117-36＝81；81-36＝45；45-36=9；36-9=27；27-9=18；18-9=9，所以612和468的最大公约数是9.错解分析：本小题中用更相减损术求的是约简后的153和117的最大公约数，而不是612和468的最大公约数，612和468的最大公约数应为9×2×2=36.（乘以约简的倍数）正确解法：上同错误解法，所以612和468的最大公约数为9×2×2＝36.3.应用“除k取余法”将十进制数化为k进制数时易正着顺序写出相应的k进制数将十进制数化为k进制数的方法是“除k取余法”，“除k取余法”到最后要把各步得到的余数倒着顺次写出就是相应的k进制数，切记是将余数倒着写出．例3.将53(8)转化为二进制的数．错解: 53(8)＝5×81+3×80＝43．所以53(8)=110101(2)错解分析：本小题中将43化为二进制数时用的是除2取余法，最后写与43对应的二进制数应从下向上倒着顺次写出而不是从上到下依次写出.正确解法：上同错误解法，所以53(8)＝101011(2)．例4．将十进制数30化为二进制数．错解:如图所示．所以30(10)=1111(2)．错解分析：错误的原因是把上式中各步所得的余数从上到下排列，这是对基础知识、基本方法掌握不牢造成的．正解:如下图所示,所以30(10)=11110(2)．点评: 把一个十进制数转换为相应的二进制数，用数字2反复去除要被转换的十进制数，直到商为0，把所得余数从下到上写出就是该十进制数的二进制表示.。

§ 13.1流程图一、知识导学1.流程图：是由一些图框和带箭头的流线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流线表示操作的先后次序.2.算法的三种基本的逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.3.根据对条件的不同处理，循环结构乂分为两种：直到型（until型）循环：在执行了一-次循环体Z后，对控制循环条件进行判断，当条件不满足时执行循环体•满足则停止•如图13-1-3,先执了A框，再判断给定的条件p是否为“假”, 若〃为“假”，则再执行A,如此反复，直到〃为“真”为止.当型（while型）循环：在每次执行循环体前对控制循环条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足则停止.如图13-1-4,当给定的条件卩成立（“真”）时，反复执行A框操作，直到条件卩为“假”时才停止循环.二、疑难知识导析1.“算法“没有一个精确化的定义，教科书只对它作了描述性说明，算法具有如下特点：（1）有限性：一个算法的步骤是有限的，必须在有限操作Z后停止，不能是无限的.（2）确定性：算法的每一步骤和次序应当是确定的.（3）有效性：算法的每一步骤都必须是有效的.2.画流程图时必须注意以下儿方而：（1）使用标准的图形符号.（2）流程图一般按从上到下、从左到右的方向画.（3）除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点.判断框具有超过一个退出点的唯一符号.（4）判断框分两大类，-啖判断框“是”与“否”两分支的判断，而II有且仅有两个结果; 另一类是多分支判断，有儿种不同的结果.（5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚.3.算法三种逻辑结构的几点说明：（1）顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句Z间，框与框Z间是按从上到下的顺序进行的.在流程图中的体现就是用流程线自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤•（2）一•个条件结构可以有多个判断框.（3）循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断.在循环结构中都有一个计数变量和累加变量.计数变量用于记录循环次数，累加变塑川语输出结果，计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次.三、经典例题导讲［例1］已知三个单元存放了变量兀，y, z的值，试给出一个算法，顺次交换x, y, z的值（即y取兀的值，z取y的值，兀取z的值），并画出流程图.错解：第一步x第二步 z J y 第三步 XJZ 流程图为图 13-1-3错因：未理解赋值的含义，由上面的算法使得y, Z 均取X 的值.举一形象的例子：有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却把蓝墨水装在了黑墨水瓶小，黑墨水 错装在了蓝墨水瓶屮，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题.对于这种非数值性问题 的算法设计问题，应当首先建立过程模型，根据过程设计步骤完成算法.我们不可将两个墨 水瓶中的機水直接交换，因为两个舉水瓶都装有舉水，不可能进行直接交换.正确的解法应 为:S1取一只空的墨水瓶，设其为白色;S2将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中;S3将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中;S4将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中；点评：在计算机中，每个变量都分配了一个存储单元，为了达到交换的目的，需要一个单元 第二步z J y｛再将y 的值赋给z ,这时存放y 的单元可作它用｝ 第三步y <— x ｛同样将x 的值赋给y ,这时存放x 的单元可作它用｝ 第四步x J p｛最后将〃的值赋给y,三个变量兀，y , z 的值就完 成了交换｝ 流程图为 交换结束.P — Z｛先将Z 的值赋给变量P ，这时存放Z 的单元可作它用｝ S5正解：第一步尹J XXJ p图 13-1-4存放中间变量p.［例2］已知三个数Q, 大的一个算法，画出解：流程图为b, c.试给出寻找这三个数中最该算法的流程图.兀J a X J C111rX /图13-1-5点评：条件结构对含有多个判断框，判断框内的内容要简明、准确、淸晰•此题也吋将第一个判断框中的两个条件分別川两个判断框表示，两两比较也很清晰.若改为求100个数屮的最大数或最小数的问题则选择此法较繁琐，可采川假设第一数最人（最小）将第一个数与后血的数依依比较，若后面的数较大（较小），则进行交换，最终第一个数即为最大（最小）值.点评：求和时根据过程的类同性可川循环结构来实现，而不川顺序结构.［例3］画出求『-22 +32 -42 +--- + 992 -1002的值的算法流程图.解：这是一个求和问题，可采川循环结构实现设计算法，但要注意奇数项为正号，偶数项为负号.思路一：采用-1的奇偶次方（利用循环变量）来解决正负符号问题；ajax (-1)*Z —+ 1/输出s /图13-1-6思路二：采用选择结构分奇他项求和;Z — + 1 / 输出s /图13-1-7(W)Z〜1S^S-I2S — s+ F1 _________ 1t思路三：可先将〃 -2? +32 -42 +--- + 992 -10()2化简成-3-7-11 ------------------------- 199 , 转化为一个等差数列求和问题，易利用循环结构求出结果.［例4］设计一算法,求使12 + 22 +32+••• + «2 >2006成立的最小正整数〃的值.解：流程图为图13-1-9Z — + 1/ 输岀s /图13-1-8点评：这道题仍然是考察求和的循环结构的运用问题，需要强调的是求和语句的表示方法•若将题改为求使12 + 22 +32+…+ / V2006成立的最大正整数〃的值时,则需注意的是输出的值. ［例5］任意给定一个人于1的整数n,试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判断.解：算法为：S1判断n是否等于2,若沪2,则n是质数；若n>2 ,则执行S2S2依次从2〜n-1检验是不是的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数; 若没有这样的数，则n是质数.点评：耍验证是否为质数首先必须对质数的本质含义作深入分析：(1)质数是只能被1和口身整除的大于1的整数.(2)要判断一个人于1的整数n是否为质数，只要根据定义，用比这个整数小的数去除n.如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整数整除，则这个数便是质数.图13-1-10［例6］设计一•个求无理数血的近似值的算法.分析：无理数血的近似值可看作是方程X2-2= 0的正的近似根，因此该算法的实质是设计-个求方程*—2 = 0的近似根的算法.其基本方法即运用二分法求解方程的近似解.解：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0. 005,算法：51令/(x) = X2-2.因为/(I) < 0,/(2) > 0,所以设%, = X = 252令加=(為+勺)/2,判断/(加)是否为0,若是，则m为所求；若否，则继续判断 /(旺)/(加)大于0还是小于0.53若 /(xj f(m) >0,则x x=m ;否则，令x2 = m .S4判断|x. -x21 <0.005是否成立，若是，则几兀2之间的任意值均为满足条件的近似根;若否，则返回第二步.点评：二分法求方程近似解的算法是一个重要的算法案例，将在第三节屮详细阐述.四、典型习题导练1.己知两个单元分别存放了变量人和3的值，则可以实现变量人3交换的算法是（）.图 13-1-11A. i 没有赋值B ・循环结构有错 C. S 的计算不对 D.判断条件不成立3. ____________________________________________________________________ 将“打电话”的过程描述成-个算法，这个算法可表示为 ______________________________________ 山此说明算法具有下列特性 __________________________________ .4. 在表示求直线ax + by + c = O （a, b 为常数,且a, b 不同时为0）的斜率的算法的流程图中，判断樞中应填入的内容是________________5. 3个止实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，画 出这个算法的流程图.A. SI B1A B ・ SI C — AS2 A <— B S2 B <— CS3 C — B 1.下而流程图中的错谋是（）C. SI C <- AD. SI C <- A 52 S2 D J B53 B1C6.一队丄兵來到一条有鳄鱼的深河的左岸.只有一条小船和两个小孩，这条船只能承载两个小孩或一个士兵•试设计一个算法，将这队士兵渡到对岸，并将这个算法川流程图表示.。

高中数学知识总结
1.课程内容：
必修课程由5个模块组成：
必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）
必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

理科学习
选修2－1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何。

选修2－2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。

选修2－3：计数原理、统计案例、概率。

选修4-5：不等式选讲。

文科学习
选修1－1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1－2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。

选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、。

1.3 算法案例整体设计教学分析在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.三维目标1．理解算法案例的算法步骤和程序框图.2．引导学生得出自己设计的算法程序.3. 体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.重点难点教学重点：引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序.教学难点：体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力. 课时安排3课时教学过程第1课时案例1 辗转相除法与更相减损术导入新课思路1（情境导入）大家喜欢打乒乓球吧，由于东、西方文化及身体条件的不同，西方人喜欢横握拍打球，东方人喜欢直握拍打球，对于同一个问题，东、西方人处理问题方式是有所不同的.在小学，我们学过求两个正整数的最大公约数的方法：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质因数较大时（如与6 105），使用上述方法求最大公约数就比较困难.下面我们介绍两种不同的算法——辗转相除法与更相减损术,由此可以体会东、西方文化的差异.思路2（直接导入）前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句.今天我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的思想.推进新课新知探究提出问题（1）怎样用短除法求最大公约数？（2）怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？（3）怎样用辗转相除法求最大公约数？（4）怎样用更相减损术求最大公约数？讨论结果：（1）短除法求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.（2）穷举法（也叫枚举法）穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数.（3）辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下：第一步，给定两个正整数m，n.第二步，求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中.第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果；否则转向第二步继续循环执行.如此循环，直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.（4）更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步.第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.应用示例例1 用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数,写出算法分析，画出程序框图，写出算法程序.解：用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数：8 251=6 105×1+2 146.由此可得，6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数，反过来，8 251与6 105的公约数也是6 105与2 146的公约数，所以它们的最大公约数相等.对6 105与2 146重复上述步骤：6 105=2 146×2+1 813.同理，2 146与1 813的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数.继续重复上述步骤：2 146=1 813×1+333，1 813=333×5+148，333=148×2+37，148=37×4.最后的除数37是148和37的最大公约数，也就是8 251与6 105的最大公约数.这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道，对于任意两个正整数，上述除法步骤总可以在有限步之后完成，从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数.算法分析：从上面的例子可以看出，辗转相除法中包含重复操作的步骤，因此可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下：第一步，给定两个正整数m，n.第二步，计算m除以n所得的余数为r.第三步，m=n，n=r.第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步.程序框图如下图：程序：INPUT m,nDOr=m MOD nm=nn=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND点评：从教学实践看，有些学生不能理解算法中的转化过程，例如：求8 251与6 105的最大公约数,为什么可以转化为求6 105与2 146的公约数.因为8 251=6 105×1+2 146，可以化为8 251-6 105×1=2 164，所以公约数能够整除等式两边的数，即6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数.变式训练你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？试画出程序框图和程序.解：当型循环结构的程序框图如下图：程序：INPUT m，nr=1WHILE r＞0r=m MOD nm=nn=rWENDPRINT mEND例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，如下图所示.98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7所以，98和63的最大公约数等于7.点评：更相减损术与辗转相除法的比较：尽管两种算法分别于东、西方古代数学名著，但是二者的算理却是相似的，有异曲同工之妙．主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减，但是实质都是一个不断的递归过程．变式训练用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.解：324=243×1＋81，243=81×3＋0，则324与243的最大公约数为81.又135=81×1＋54，81=54×1＋27，54=27×2＋0，则 81 与 135的最大公约数为27.所以,三个数324、243、135的最大公约数为27.另法：324－243=81,243－81=162,162－81=81，则324与243的最大公约数为81.135－81=54,81－54=27,54－27=27，则81与135的最大公约数为27.所以，三个数324、243.135的最大公约数为27.例3 （1）用辗转相除法求123和48的最大公约数.（2）用更相减损术求80和36的最大公约数.解：（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：123＝2×48＋27，48＝1×27＋21，27＝1×21＋6，21＝3×6＋3，6＝2×3+0，最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3.（2）我们将80作为大数，36作为小数，因为80和36都是偶数，要除公因数2.80÷2=40，36÷2=18.40和18都是偶数，要除公因数2.40÷2=20，18÷2=9.下面来求20与9的最大公约数，20－9=11，11－9=2，9－2=7，7－2=5，5－2=3，3－2=1，2－1=1，可得80和36的最大公约数为22×1=4.点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等.变式训练分别用辗转相除法和更相减损术求1 734，816的最大公约数．解：辗转相除法：1 734=816×2+102，816=102×8（余0），∴1 734与816的最大公约数是102．更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数．867-408=459，459-408=51，408-51=357，357-51=306，306-51=255，255-51=204，204-51=153，153-51=102，102-51=51.∴1 734与816的最大公约数是51×2=102．利用更相减损术可另解：1 734－816＝918，918－816＝102，816－102＝714，714－102＝612，612－102＝510，510－102＝408，408－102＝306，306－102＝204，204－102＝102.∴1 734与816的最大公约数是102．知能训练求319，377，116的最大公约数．解：377=319×1+58，319=58×5+29，58=29×2.∴377与319的最大公约数为29，再求29与116的最大公约数．116=29×4.∴29与116的最大公约数为29.∴377，319，116的最大公约数为29.拓展提升试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序．解：更相减损术程序：INPUT “m，n=”；m，nWHILE m<>nIF m>n THENｍ＝m-nELSEm=n-mEND IFWENDPRINT mEND课堂小结（1）用辗转相除法求最大公约数.（2）用更相减损术求最大公约数.思想方法：递归思想.作业分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数.分析：本题主要考查辗转相除法和更相减损术及其应用．使用辗转相除法可依据m=nq+r，反复执行，直到r=0为止；用更相减损术就是根据m-n=r，反复执行，直到n=r为止．解：辗转相除法：319=261×1+58,261=58×4+29,58=29×2.∴319与261的最大公约数是29．更相减损术：319-261=58,261-58=203,203-58=145,145-58=87,87-58=29,58-29=29,∴319与261的最大公约数是29．设计感想数学不仅是一门科学，也是一种文化，本节的引入从东、西方文化的不同开始，逐步向学生渗透数学文化.从知识方面主要学习用两种方法求两个正整数的最大公约数，从思想方法方面，主要学习递归思想.本节设置精彩例题，不仅让学生学到知识，而且让学生进一步体会算法的思想，培养学生的爱国主义情操．。

高考数学复习点拨 程序框图与基本算法语句常见错误分类例析算法作为高中数学新课标教材中的新内容，无论是其特殊的语法规则，还是其解决问题的思路，与同学们原有的知识结构和经验均有较大差别，这就使得同学们在学习相关内容和解决相关问题时极易犯错，以下举例说明这部分常见的两类错误，以提醒学习者.算法初步是高中数学的一个难点，要有较好的思维能力，加上经常上机实践，才能较好地学好，对于初学者会有一些习惯上的差别，出现这样或那样的错误，下面举例说明。

一、流程线错误例1、设计一个求任意数的绝对值的程序框图。

错解：｜x ｜=0x x x ≥⎧⎨-⎩ x ＜程序框图如右图1分析：当x ＜0时，输出x 的相反数后，应流向“结束”，右图1中“输出－x ”后，又“输出x ”，流程线错误。

正解：正确的框图如右图2所示。

二、判断出口错误例2、儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1m ，则无需购票；若身高超过1.1m 但不超过1.4m ，可买半票；若超过1.4m 应买全票，试设计一个购票流程图。

错解：设票价为m 元，则有分段函数m ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<≤4.14.11.121.10h m h m h ，其程序框图如图3所示。

分析：判断的出口只有两个，要么“是”，要么“否”，没有三个出口的判断，如遇三种情况，要加多一个判断，在程序中，是两个条件语句的结构。

正解：程序框图如图4所示。

三、当型循环与直到型循环混淆例3、如图5为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为 ( )（A ）i<=20 （B ） i<20图1 x ≥0？图2x ≥0？输入票价m开始输入身高h 判断m=m/2输出结束 m ＝0h ≤1.11.1＜h ≤1.4h ＞1.4图3 图4S=0 i=1DOINPUT x S=S+x i=i+1LOOP UNTIL _____（C） i>=20 （D）i>20错解：选（A）。

分析：直到型的循环结构，是直到条件成立时，即判断“是”时，退出循环，条件不成立，即判断“否”时，继续循环。

基础教育课程改革实验学科教案一、新课引入从我们出生后初步接触数到现在，我们常见的数字都是十进制的，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的•比如时间和角度的单位用六十进位制，电子计算机用的是二进制等等•那么不同的进位制之间又有什么联系呢？二、新课讲解（一）进位制与基数进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。

处理：直接给出进位制的概念和意义。

（1）利用二进制，十进制，十二进制，引导学生理解进位制。

（二进制就是满二进一，它只用两个数字0和1，如3在二进制中要表示为11 ； 4在二进制中要表示为 100；同理，十进制就是满十进一，它只用 10个数字0和9;十进制就是满十进一，它只用10个数字0和9;十二进制就是满十二进一，它只用 12个符号0和9及A,B,如18在十二进制中要表示为A6）（2）可使用数字符号的个数称为基数，基数为 n,则称n进位制（n进制）（对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。

比如：十进数57,可以用八进制表示为 71、用十六进制表示为 39,它们所代表的数值都是一样的。

表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示，如111001⑵表示二进制数,34（5）表示5进制数）（二）以k为基数的k进制数的表示：a n a nJ a n^ ■■■a1a0（k）说明：（1）利用与十进制类比的方法说明：0 a n < k,0 Ea n」，a n?•…，a1，a° :: k（2）利用与十进制类比的方法说明：时间教学过程设计意图n n」虫门_2……aa ow二a n k ■k ■.・・■ a i k a o尝试练习：(1 )把二进制数110011 (2)化为十进制数；(2)把三进制数10212(3)化为十进制数；(三)设计一个算法，将k进制数a(共有n位)化为十进制数b算法步骤、程序框图、程序见教材P41— P42.(四)如何将十进制数转化为k进制数；1、把89化为二进制数.解：根据二进制数满二进一的原则，可以用2连续去除89或所得商，然后去余数.具体的计算方法如下：89=2*44+1 ； 44=2*22+0 ； 22=2*11+0 ； 11=2*5+1 ； 5=2*2+1 ； 2=2*1+0 1= 2*0+1所以:89=2*(2*(2*(2*(2*2+1)+1)+0)+0)+1=1*2 6+0*2 5+1*24+1*23+0*22+0*21+1*2 0=1011001 ⑵这种算法叫做除2取余法.此外，还可以用右边的除法算式表示尝试练习：将十进制数2008转化为二进制数变式：上述方法也可以推广为把十进制化为k进制数的算法，这种算法称为除k取余法.变式练习：将十进制数2008转化为八进制数(五)设计一个程序，实现“除k取余法” (k・N,2乞k乞9)算法步骤、程序框图、程序见教材P43— P45.三、课堂小结：(1)进位制的概念及表示方法(2)十进制与二进制之间转换的方法及计算机程序四、作业布置：补充：设计程序框图把一个八进制数23456( 8)转换成十进制数2 89余数44 12 22 02 11 02 5 12 2 12 11时间教学过程设计意图。

高中数学目录数学必修1第1章集合1.1 集合的含义及其表示1.2 子集、全集、补集1.3 交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1 函数的概念和图象函数的概念和图象函数的表示方法函数的简单性质映射的概念2.2 指数函数分数指数幂指数函数2.3 对数函数对数对数函数2.4 幂函数2.5 函数与方程二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解2.6 函数模型及其应用数学必修2第3章立体几何初步3.1 空间几何体棱柱、棱锥和棱台圆柱、圆锥、圆台和球中心投影和平行投影直观图画法空间图形的展开图柱、锥、台、球的体积3.2 点、线、面之间的位置关系平面的基本性质空间两条直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系第4章平面解析几何初步4.1 直线与方程直线的斜率直线的方程两条直线的平行与垂直两条直线的交点平面上两点间的距离点到直线的距离4.2 圆与方程圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系4.3 空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离数学必修3第5章算法初步5.1 算法的意义5.2 流程图5.3 基本算法语句5.4 算法案例第6章统计6.1 抽样方法6.2 总体分布的估计6.3 总体特征数的估计6.4 线性回归方程第7章概率7.1随机事件及其概率7.2 古典概型7.3 几何概型7.4 互斥事件及其发生的概率数学必修4第8章三角函数8.1 任意角、弧度8.2 任意角的三角函数8.3 三角函数的图象和性质第9章平面向量9.1 向量的概念及表示9.2 向量的线性运算9.3 向量的坐标表示9.4 向量的数量积9.5 向量的应用第10章三角恒等变换10.1 两角和与差的三角函数10.2 二倍角的三角函数10.3 几个三角恒等式数学必修5第11章解三角形11．1正弦定理11．2余弦定理11．3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列12．1等差数列12．2等比数列12．3数列的进一步认识第13章不等式13．1不等关系13．2一元二次不等式13．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题13．4基本不等式选修 1-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线与方程第3章导数及其应用3．1导数的概念3．2导数的运算3．3导数在研究函数中的应用3．4导数在实际生活中的应用选修 1-2第1章统计案例1．1假设检验1．2独立性检验1．3线性回归分析1．4聚类分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义第4章框图4．1流程图5．2结构图选修 2-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑连接词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3．2空间向量的应用选修 2-2第1章导数及其应用1．1导数的概念1．2导数的运算1．3导数在研究函数中的应用1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3数学归纳法2．4公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义选修 2-3第1章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理第2章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2．4二项分布2．5离散型随机变量的均值与方差2．6正态分布第3章统计案例3．1假设检验3．2独立性检验3．3线性回归分析4．4聚类分析。

算法案例__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1．理解算法案例的算法步骤和程序框图.2．引导学生得出自己设计的算法程序.3. 体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.1．求两个正整数最大公约数的算法(1)更相减损之术(等值算法)用两数中较大的数减去较小的数，再用差数和较小的数构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数．(2)用“等值算法”求最大公约数的程序while b＝b－aend a＝a－b2．割圆术用圆内接正多边形面积逐渐逼近圆的面积的算法是计算圆周率的一种方法．3.秦九韶算法:axaxaaxfx＋…＋＝＋nn－1nfxaxaxaxa 把一个＋次多项式＋…＋(＋)＝改写成如下形式：nn011－nn－1(＋)nn0－11nn－2－1axaxaxa )＋＝(＋…＋＋nn01－1nn－3－2axaxaxaxa )＋)＝((＋＋…＋＋nn0－112axaxaxaxa＋＋…＋)＋＋)) ＝(…((nnn02－11－求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值．这样通过一次式的反复运算，逐步得出高次多项式的值的方法称作秦九韶算法。

v?a?n0k?1,2, ,n就得到个一次式可见，只要令其中观察上述秦九韶算法中的n?v?vx?a?n1k?kk?了一个递推关系。

这个递推关系是一个反复执行的步骤，可用循环语句来实现。

理解秦九韶算法的关键：一是弄清算法原理是加法对乘法的分配律，二是弄清算法设计中递推关系是一个反复执行的运算，故用循环语句来实现。

课堂探究1．更相减损术与辗转相除法的区别与联系剖析：如表所示.2．剖析：同一个问题有多种算法，如果某个算法比其他算法的步骤少，运算的次数少，那么这个算法就是比较先进的算法．判断算法是否先进的一个重要标志就是运算的次数越少越好．求多项式f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0的值时，通常是先计算a n x n ，进行n 次乘法运算；再计算a n －1x n －1，进行n －1次乘法运算；这样继续下去共进行n ＋n －1＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2(其计算方法以后学习)次乘法运算，还需要进行n 次加法运算，总共进行n (n ＋1)2＋n 次运算．但是用秦九韶算法时，改写多项式为f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0＝(a n x n －1＋a n －1x n －2＋…＋a 1)x ＋a 0＝((a n x n －2＋a n －1x n －3＋…＋a 2)x ＋a 1)x ＋a 0……＝(…((a n x ＋a n －1)x ＋a n －2)x ＋…＋a 1)x ＋a 0.先计算v 1＝a n x ＋a n －1，需1次乘法运算，1次加法运算；v 2＝v 1x ＋a n －2，需1次乘法运算，1次加法运算；……v n ＝v n －1x ＋a 0，需1次乘法运算，1次加法运算．所以需进行n 次乘法运算，n 次加法运算，共进行2n 次运算．由于⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2＋n －2n ＝n (n －1)2≥0，则n (n ＋1)2＋n ≥2n . 因此说秦九韶算法与其他算法相比运算次数少，秦九韶算法是比较先进的算法．题型一 求最大公约数【例题1】(1)用辗转相除法求840与1 785的最大公约数；(2)用更相减损术求612与468的最大公约数．分析：本题是关于辗转相除法和更相减损术的直接应用．辗转相除法的操作是较大的数除以较小的数；更相减损术的操作是以大数减小数．解：(1)用辗转相除法求840和1 785的最大公约数．1 785＝840×2＋105，840＝105×8.所以840和1 785的最大公约数是105.(2)首先612和468都是偶数，所以用2约简，得到306和234，还是偶数，需要再用2约简，得到153和117，最后用更相减损术计算得153－117＝36，117－36＝81，81－36＝45，45－36＝9，36－9＝27，27－9＝18，18－9＝9.所以612和468的最大公约数是9×2×2＝36.反思求两个正整数的最大公约数的问题，可以用辗转相除法，也可以用更相减损术．用辗转相除法，即根据a＝nb＋r这个式子，反复相除，直到r＝0为止；用更相减损术，即根据r＝|a－b|这个式子，反复相减，直到r＝0为止.题型二求多项式的值【例题2】用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．分析：解决本题首先需要将原多项式化成f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x 的形式，其次再弄清v0，v1，v2，…，v7分别是多少，再针对这些式子进行计算．解：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以有v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2 369；v6＝2 369×3＋1＝7 108；v7＝7 108×3＝21 324.故当x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.反思秦九韶算法的关键在于把n次多项式转化为一次多项式，注意体会递推的实现过程，实施运算时要由内向外，一步一步执行.题型三易错辨析【例题3】已知f(x)＝3x4＋2x2＋4x＋2，利用秦九韶算法求f(－2)的值．错解：f(x)＝((3x2＋2)x＋4)x＋2，v1＝3×(－2)2＋2＝14；v2＝14×(－2)＋4＝－24；v3＝－24×(－2)＋2＝50.故f(－2)＝50.错因分析：所求f(－2)的值是正确的，但是错解中没有抓住秦九韶算法原理的关键，正确改写多项式，并使每一次计算只含有x的一次项．正解：f(x)＝3x4＋0·x3＋2x2＋4x＋2＝(((3x＋0)x＋2)x＋4)x＋2，v1＝3×(－2)＋0＝－6；v2＝－6×(－2)＋2＝14；v3＝14×(－2)＋4＝－24；v4＝－24×(－2)＋2＝50.故f(－2)＝50.。