岩石本构关系

3.2.4 边界条件
边界条件是求解弹性理学问题的重要条件，根据问 题的不同他可分为位移边界条件、应力边界条件和 应力位移混合边界条件。
1、位移边界条件
设在部分边界上给定了约束位移分量 us 和 vs ，
则有：
us us，vs vs
2、应力边界条件
按应力求解时，变换基本方程和边界条件 为应力分量的函数，求出应力分量后，代 入弹性本构关系，求出应变分量，再代入 几何方程求出位移分量。
3.2.5 平面问题的求解
按位移求解时，变换基本方程和边界条件 为位移分量函数，求出位移分量后，代入 几何方程求出变形分量，再代入本构方程 求出应力分量。
设在 s 部分边界上给定了面力分量 ，则有： fx s和f y s
l x m yx s f x s

m y
l xy
s

f y s
3.2.5 平面问题的求解
求解平面问题有三种基本方法，即按应力 求解、按位移求解和混合求解。
第三蠕变阶段：曲线中cd段所示，应变速率迅速增 加直到岩石破坏，故称为加速蠕变阶段。
一种岩石既可发生稳定蠕变也可发生不稳定蠕变， 这取决于岩石应力的大小。
当应力超过某一临界值时，蠕变向不稳定蠕变发展；
当应力小于该临界值时，蠕变按稳定蠕变发展。通 常称此临界应力为岩石的长期强度。
3.3.2 岩石的长期强度 1、定义： 长期强度——岩石在达到其瞬时或短时强度
矿山岩体力学
华北科技学院 安全工程学院
2019/12/11
1
上次课内容
岩石的变形性质
岩石的变形有弹性变形、塑性变形和粘性变形三种.
弹性：物体在受外力作用的瞬间即产生全部变形，而去除
外力后又能 立即恢复其原有形状和尺寸的性质。
塑性：物体受力后变形，在外力去除后变形不能完全恢复. 粘性：物体受力后变形不能瞬时完成，且应变速率随应力
一般物质具有弹性和塑性两种变形性质， 对于岩石来说，它的变形也具有这种性质， 在变形初期呈弹性，后期呈塑性， 所以岩石的变形一般呈弹塑性变形。
岩石在弹性阶段时的本构关系称为弹性本构关系； 岩石在塑性阶段的本构关系称为塑性本构关系， 弹性与塑性本构关系与时间无关，属于即时变形。 如果外界条件不变，岩石的应变或应力随时间而变
化，则称该岩石具有流变性，此时的本构关系称为 岩石的流变本构关系。
岩石的塑性本构关系
岩石是否进入塑性状态：屈服条件和加卸载准则； 塑性本构关系：分析塑性过程的应力应变和位移。
弹性状态的应力应变为单值关系，仅仅取决于岩石 的性质；
塑性状态的应力应变关系是多值的，不仅取决于岩 石性质，而且还取决于加载-卸载历史。
岩石材料破坏的形式主要有两类： 一类是断裂破坏； 另一类是流变破坏。 断裂破坏发生于应力达到强度极限； 流变破坏发生于应力达到屈服极限。
强度理论是指采用判断推理的方法，推测材 料在复杂应力状态下破坏的原因，而建立强 度准则，所提出的一些假设。
总之，岩石的力学性质可分为变形性质和强 度性质两类，变形性质主要通过本构关系来 反映，而强度性质则主要通过强度准则来反 映。

v y

xy


v x

u y
2、空间问题的几何方程（柯西方程）
x

u x
y

v y

z

w z

xy

v x

u y

yz

w y

v z

zx

w x

u z
3.2.3 物理方程（弹性本构关系）
3.2 岩石弹性问题的求解
我们在学习弹性力学研究弹性体的时候，一 般要建立三套基本方程，
然后再根据边界条件求解这些方程得到问题 的求解。
因此，我们在求解岩石力学问题时，也是从 物体的单元微分体出发，
3.2 岩石弹性问题的求解 研究微分体力的平衡关系（微分平衡方程）、
位移和应变关系（几何方程）（又叫柯西方程） 以及应力-应变关系（物理方程也叫本构关系）等， 从而建立微元体的相应的基本方程， 再结合边界条件求解这些方程， 得出待研究的岩石或岩体内部的应力场或位移场。 其解题基本步骤如图所示：
当载荷较大时，如图中的 abcd曲线所示，蠕变不能 稳定于某一极限值，而是无 限增长直至破坏，这种蠕变 称为不稳定蠕变。
这是典型的蠕变曲线，根据 应变速率不同，其蠕变过程 可分为三个阶段：
第一蠕变阶段：ab段所示，应变速率随时间增加而 减小，故称为减速蠕变阶段或初始蠕变阶段；
第二蠕变阶段：曲线中bc段所示，应变速率保持不 变，故称为等速蠕变阶段；
坐标表示应力，横坐标表示 破坏前所经历的时间，作出 其关系曲线，即长期强度曲 线，如图（b）所示。所得曲 线的水平渐近线在纵轴上的 截距所对应值，即为所求长 期强度极限值
岩石蠕变曲线和长期强度曲线
3.3.3 流变模型理论 在流变学中，流变性主要研究材料流变过程
中的应力、应变和时间的关系，用应力、应 变和时间组成的流变方程来表示。 流变方程主要包括
应力不变，应变随 时间增加而增长
流变的概念
流变现象：材料应力-应变关系与时间因素
有关的性质，称为流变性。材料变 形过程中具有时间效应的现象，称 为流变现象。
流变的种类：蠕变
松弛
弹性后效
应变不变，应力随 时间增加而减小
流变的概念
流变现象：材料应力-应变关系与时间因素
有关的性质，称为流变性。材料变 形过程中具有时间效应的现象，称 为流变现象。

0;又因为 z

0，可知： z


E
x y
。
x

1 E
x

y

y

1 E
y
x

21
xy E xy
我们通过弹性力学的研究知道，平衡方程和 几何方程是与材料的性质无关的。只有物理
方程即本构方程与材料性质（ E, ）有关。

x x

yx y

zx z

fx

0

xy x
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y y

zy z

fy

0


xz
x

yz y

z z

fz

0
3.2.2 几何方程 1、平面问题的几何方程

x


u x

y

混合求解时，变换部分基本方程和边界条 件为只包含部分未知函数，先求出这部分 未知函数以后，再应用适当方程求出其他 的未知函数。
以上这些方法我们已在弹性力学中学习了 这里不再熬述。
3.3 岩石流变理论
岩石的变形不仅表现出弹性和塑性，而且也具有流 变性质，岩石的流变包括蠕变、松弛和弹性后效。
增加而增加的性质
变 a.单向压缩变形
形 性
b.反复加载变形
质 c.三轴压缩变形
弹性
变 a.弹性模量
形 指 标
b.变形模量 c.泊松比
粘性
3 岩石本构关系与强度理论
3.1 概念
前面我们已经研究了岩石和岩体的物理力学 性质，它们这些性质受矿物组成、结构和外 界条件等方面的控制，因此，岩石或岩体所 表现出来的力学性质是复杂多样的，我们一 般可以用弹性、塑性、粘性或三者的组合等 模型来描述。
时产生破坏。但由于流变作用，岩石强度常 随着外载荷作用时间延长而降低。其最低值， 就是对应时刻时的强度，称为长期强度.
3.3.2岩石的长期强度 2、研究长期强度的意义： （1）反映时间效应的极有意义的岩性指标； （2）当衡量永久性及使用期较长的岩土工程
的稳定性时，应以长时强度作为岩石强度的 计算指标；
于应力的现象。
粘性流动：即蠕变一段时间后卸载，部分应 变永久不恢复的现象。
由于岩石的蠕变特性对岩石工程稳定性有重 要意义，我们重点研究岩石的蠕变。
2、研究蠕变的意义 （1）中硬以下岩石及软岩中开挖的地下工程，
大都需要经过半个月甚至半年时间变形才能 稳定；或处于无休止的变形状态，直至破坏 失稳。
（3）至今，国内外已进行的岩石流变试验极 其有限。
3、确定长期强度的方法： （1）通过各种应力水平长期
恒载蠕变试验得出。设在载 荷试验的基础上，绘得非衰 减蠕变的曲线簇，确定每条 曲线加速蠕变达到破坏时的 应变值以及载荷作用所经历 的时间，
岩石蠕变曲线和长期强度曲线
3、确定长期强度的方法： （1）如图（a）所示。以纵
岩石本构关系是指岩石的应力或应力速率
与应变或应变速率的关系。若只考虑静力问
题，则本构关系是指应力与应变，或应力增

量与应变增量之间的关系。 x


1 E
x

y z

1、空间问题的本构关系 y

1 E
y
x
z


流变现象：
材料应力-应变关系与时间因素有关 的性质，称为流变性。材料变形过 程中具有时间效应的现象，称为流 变现象。
流变现象
2012.01
2012.6
流变的概念
流变现象：材料应力-应变关系与时间因素
有关的性质，称为流变性。材料变 形过程中具有时间效应的现象，称 为流变现象。
流变的种类：蠕变
松弛 弹性后效
（2）解决地下工程的设计和维护问题。
3、蠕变的三个阶段
岩石的蠕变曲线如图所示，图中三条蠕变曲线是在
不同应力下得到的，其中
。 A B C
蠕变试验表明，当岩石在某一较小的恒定载荷持续 作用下，其变形量虽然随时间增长有所增加，但蠕
变变形的速率则随时间增长而减小，最后变形趋于 一个稳定的极限值，这种蠕变称为稳定蠕变。
流变的种类：蠕变 松弛
弹性后效
加载或卸载时， 弹性应变滞后于 应力的现象
（2）加载速率效应 快：弹模高，峰值强度大，韧性低；快速加
载达到破坏时的应力，称为瞬时强度；
慢：弹模低，峰值强度低，韧性高； 极慢：产生流变现象；经过较长时间加载达
到破坏时的应力，称为长时强度；
（3）流变现象 流变性质：是指材料的应力-应变关系与时
1、研究背景：
（1）各种岩土工程，无一不和时间因素有关；
（2）是岩石力学的重要研究内容之一；
（3）存在的问题尚多，理论与实验研究仍有 待进一步加强。
3.3 岩石的流变特性
弹性（可恢复）
岩 与时间无关的变形
塑性（不恢复）
石
变
蠕变
形
与时间有关的—流变 松弛
岩石的时间效应
弹性后效
流变的概念
本构方程 蠕变方程 松弛方程
3.3.3 流变模型理论
在一系列的岩石流变试验基础上建立反映岩 石流变性质的方程，通常有两种方法：
1、经验方程法 根据岩石蠕变试验结果，由数理统计学的回
间因素有关的性质。
流变现象：材料变形过程中具有时间效应 的现象。
3.3.1 流变的概念 1、概念 蠕变：是当应力不变时，变形随时间的增
加而增长的现象。
松弛：是当应变不变时，应力随时间增加 而减小的现象。
3.3.1 流变的概念 1、概念 弹性后效：是加载或卸载时，弹性应变滞后
z

1 E
z

x y



xy

2
1
E



xy


xz

2
1
E



xz

yz

21
E yz
2、平面问题的本构关系
（1）平面应变问题的本构关系
因为： 。 yz zx 0,故： yz zx 0;又因为z 0，可知：z x y 因此，其本构关系为：
平衡微分方程

几何方程

物理方程或本构方程

结合边界条件

应力场解 位移场解
求解岩石力学问题的基本步骤图解
3.2.1 平衡微分方程 1、平面问题的平衡微分方程：

x
x

yx
y

fx

0


xy
x

y
y

fy
0
2、空间问题的平衡微分方程：
x

12 E
x
1

y

y

12 E
y
1
x

21

xy

E xy
（2）平面应力问题的本构关系
因因为此：，其本构关系为： yz
zx 0,故： yz

zx