苏教版九年级下册数学[待定系数法求二次函数的解析式—重点题型巩固练习](提高)

3. 一个二次函数的图象经过点 (0,0)， ( − 1, − 11)， (1,9)三点，则这个二次函数 的关系式是( )
A. =− 10 2 + C. = 10 2 +
B. =− 10 2 + 19 D. =− 2 + 10
4. 二次函数 = 2( ≠ 0)的图象经过( − 2,8)，下列点中在该函数的图象上的是( )
12. 已知抛物线经过点(3,0)，(1,0)，(0,6)，则该抛物线的解析式是________．
13. 已知二次函数 = 2 + + 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表，则当 = 3
时， =______．
x
…
−3
−2
−1
0
1
…
y
…
7
3
1
1
3
…
14. 若抛物线 = 2 + 与 = 3 2的形状和开口方向相同，且其顶点坐标是(0,1)，则 其表达式为________．
三、解答题 15. 抛物线 =− 2 + ( − 1) + 与 y 轴交于点(0,3).
(1)求出 m 的值． (2)求它与 x 轴的交点和抛物线顶点的坐标．
16. 二次函数 = 2 + 2 + 的图象经过( − 1,0)，(3,0)两点．
(1)求该二次函数的解析式； (2)求该二次函数图象与 y 轴交点的坐标．
∴ 㔷 = 1 − 0 2 + 32 = 3 2，
㔷 = 3 − 1 2 + 4 − 0 2 = 2 5， ∵ 㔷2 + 2 = ( 2)2 + (3 2)2 = 20， 㔷2 = (2 5)2 = 20， ∴ 㔷2 + 2 = 㔷2，

第五章 二次函数5.3 用待定系数法确定二次函数表达式【基础练习】一．选择题1. 抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，且过点（-1,2），其函数表达式为（ ）A. 32+=x yB.32+-=x yC.22x y -=D.22x y =2. 经过原点的抛物线与抛物线122+-=x x y 的开口方向与大小均相同,且过点(-1,1),则该抛物线一定也经过点( )A. (-2,-1)B.(1,3)C.(2,4)D.(-3,2)3. 二次函数822++=mx x y 的图象如右图所示,则m 的值为( )A. -8B.8C.8±D.64. 当-2≤x ≤1时,二次函数()122++--=m m x y 有最大值4,则实数 m 的值为( )A. 47-B.3或-3C.2或-3D.2或-3或47- 二. 填空题5. 已知二次函数m x x y ++=2的图象过点(1,2),则m 的值为 .6. 已知点A(2,5),B(4,5)是抛物线c bx x y ++=24上的两点,则b = .7. 将抛物线3)1(2+--=x y 先向右平移1个单位,再向下平移3个单位,则所得抛物线的解析式为 .8. 对称轴是1-=x 的抛物线与直线3+=x y 的交点是(1,m )和(n ,1),则抛物线的解析式为.三. 解答题9. 根据条件求解析式:(1) 抛物线c bx ax y ++=2过(0,4),(1,3),(-1,4)三点,求抛物线的解析式.(2) 抛物线c bx ax y ++=2的顶点为(2,4),且过(1,2)点,求抛物线的解析式.(3) 二次函数c bx x y ++=2的图象过点A(-2,5),且当2=x 时,3-=y ,求这个二次函数的解析式.(4) 抛物线c bx ax y ++=2经过点(0,0),(12,0)两点,其顶点的纵坐标是3,求这个抛物线的解析式.(5) 已知抛物线c x ax y +-=22与它的对称轴相交于点(1,-4),求这条抛物线的函数关系式.10. 抛物线过点(-1,-1),它的对称轴是直线02=+x ,且在x 轴上截得线段的长度为22,求抛物线的解析式.【能力提升】11. 二次函数)2)(3(+-=x x y 的图象的对称轴是( )A. 3=xB.2-=xC.21-=xD.21=x 12. 如图,二次函数c bx x y ++=2的图象经过点M(1,-2),N(-1,6).(1) 求二次函数c bx x y ++=2的关系式.(2) 把Rt △ABC 放在坐标系内,其中∠CAB=90°,点A 、B 的坐标分别为(1,0)(4,0),BC=5.将△ABC 沿x 轴向右平移,当点C 落在抛物线上时,求△ABC 平移的距离.。

2020-2021学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）专题03 用待定系数法确定二次函数的表达式【典型例题】1．（2020·陆丰市甲东中学初三月考）已知抛物线212y x bx c =-++经过点（1，0），（0，32）． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线212y x bx c =-++可以由抛物线212y x =-怎样平移得到？请写出一种平移的方法．2．（2020·山东日照·二模）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣2，0)和点B (8，0)，与y 轴交于点C (0，﹣8)，连接AC ，D 是抛物线对称轴上一动点，连接AD ，CD ，得到△ACD ．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）△ACD 周长能否取得最小值，如果能，请求出D 点的坐标；如果不能，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E ，使得△ACE 与△ACD 面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【专题训练】一、选择题1．（2020·全国初三课时练习）如图，抛物线的表达式是（ ）A ．y ＝x 2－x ＋2B ．y ＝x 2＋x ＋2C ．y ＝－x 2－x ＋2D ．y ＝－x 2＋x ＋22．（2021·福建龙岩二中初三月考）已知抛物线24y x bx =++经过(-2,n )和(4,n )两点，则n 的值为（ ）A ．-2B ．-4C ．12D ．43．（2020·浙江温州·初三月考）已知一个二次函数2(0)y ax a =≠的图象经过（-2，8），则下列点中在该函数的图象上的是（ ）A ．（2，8），B ．（1，3）C ．（-1，3）D ．（2，6）4．（2020·河南洛宁·初三月考）一抛物线和抛物线y ＝－2x 2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为（ ）A ．y ＝－2(x －1)2＋3B ．y ＝－2(x ＋1)2＋3C ．y ＝－(2x ＋1)2＋3D ．y ＝－(2x －1)2＋35．（2020·上海嘉定·初三一模）如果A (-2，n )，B (2，n ),C (4，n +12)这三个点都在同一个函数的图像上，那么这个函数的解析式可能是 ( )A ．2y x =B ．2y x=-C ．2y x =-D ．2yx6．（2018·全国初三单元测试）一个二次函数的图象的顶点坐标为(3,-1)，与y 轴的交点(0,-4)，这个二次函数的解析式是（ ）A ．21yx 2x 43=-+ B ．21yx 2x 43=-+-C ．21y(x 3)13=-+-D ．2yx 6x 12=-+-7．（2020·巩义市回郭镇第一初级中学初三月考）2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y =－14x 2+bx +c 的一部分（如图），其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m ，那么这条抛物线的解析式是（ ）A ．213144y x x =-++ B ．213144y x x =-+- C ．213144y x x =--+ D ．213144y x x =---二、填空题8．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）抛物线219105y x x c =--+经过点（2，-12），则c =_____________． 9．（2021·湖北麻城·思源实验学校初三月考）已知二次函数y ＝ax 2的图象经过点A (-2，12-)．则该函数的解析式为________. 10．（2020·全国初三课时练习）已知二次函数的图象过(0,1),(1,0),(-2,0)三点，则二次函数的解析式是__________．11．（2020·东莞市长安实验中学月考）已知二次函数的图像经过（0，3），（-3，0），（2，-5），则二次函数的解析式为_______12．（2020·福建泉州外国语学校初三月考）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣3），且过点（2，0），则这个二次函数的解析式_____．13．（2020·巩义市回郭镇第一初级中学初三月考）某二次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），（4，0），且它的形状与y＝﹣x2形状相同．则这个二次函数的解析式为_____．14．（2020·浙江绍兴·初三月考）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是__．三、解答题15．（2020·黑龙江依安·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)过点M(-2，3)，顶点坐标为N(-1，4)，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当PM+PB的值最小时，求点P的坐标；16．（2020·吉林临江·期末）如图，已知直线y =x +3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线y =-x 2+bx +c 经过A 、B 两点，与x 轴交于另一个点C ，对称轴与直线AB 交于点E ，抛物线顶点为D ．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）在第三象限内的抛物线上是否存在一点F ，使A 、E 、C 、F 为顶点的四边形面积为6？若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，说明理由．17．（2020·杭州市实验外国语学校初三月考）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -和()3,0B 两点，交y轴于点E ．（1）求此抛物线的解析式．（2）若直线1y x =+与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点F ，连接DE ，求ADE ∆的面积．18．（2020·北大附属台州书生学校月考）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A (﹣1，0)，B (3，0)两点，直线122y x =-+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E ．设点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE ＝2EF ，求m 的值；（3）若点F '是点F 关于直线OE 的对称点，是否存在点P ，使点F '落在CD 上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2020·辽宁绥中·初三二模）如图，二次函数24y ax bx =++的图象过点A (3,0)和B (-1,0)，与y 轴交于点C ．（1）求该二次函数的解析式；（2）若在该二次函数的对称轴上有一点M ，使BM +CM 的长度最短，求出M 的坐标．（3）动点D ，E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒32个单位长度的速度沿折线OAC 按O A C →→的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O C A →→的路线运动，当D ，E 两点相遇时，它们都停止运动．设D ，E 同时从点O 出发t 秒时，△ODE 的面积为S ．请直接写出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．20．（2020·浙江省鄞州区宋诏桥中学初三一模）如图，抛物线y=ax2+bx(a＜0）过点E(10,0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A(t,0)，当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．21．（2020·武汉市光谷实验中学初三月考）如图，抛物线L：y=2x2-5x﹣12与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+BD 的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线L：y=2x2-5x﹣12向右平移得到抛物线L'，直线AB与抛物线L'交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L 的解析式．。

5.3《用待定系数法确定二次函数表达式》一、选择题1.已知P(m，m2−1)是平面直角坐标系的点，则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是( )A. y=xB. y=x2C. y=2x−1D. y=x2−12.一抛物线和抛物线y=−2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(−1，3)，则该抛物线的解析式为( )A. y=−2(x−1)2+3B. y=−2(x+1)2+3C. y=−(2x+1)2+3D. y=−(2x−1)2+33.二次函数的图象经过(0，3)，(−2，−5)，(1，4)三点，则它的解析式为( )A. y=x2+6x+3B. y=−3x2−2x+3C. y=2x2+8x+3 D. y=−x2+2x+34.根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的解析式为( )A. y=14x2−12x−74B. y=14x2+12x−74C. y=−14x2−12x+74D. y=−14x2+12x+745.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(−2，−2)，且过点B(0，2)，则y与x的函数关系式为( )A. y=x2+2B. y=(x−2)2+2C. y=(x−2)2−2D. y=(x+2)2−26.如图，以(1，−4)为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是( )A. 2<x<3B. 3<x<4C. 4<x<5D. 5<x<67.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )A. y=x2−x−2B. y=−12x2−12x+2C. y=−12x2−12x+1D. y=−x2+x+28.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=−3.4，则方程的另一个近似根(精确到0.1)为( )A. 4.4B. 3.4C. 2.4D. 1.49.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为(−1，0)，(3，0)，其形状与抛物线y=−2x2相同，则y=ax2+bx+c的函数关系式为( )A. y=−2x2−x+3B. y=−2x2+4x+5C. y=−2x2+4x+8 D. y=−2x2+4x+6二、解答题10.抛物线y=−x2+bx+c的顶点为Q，与x轴交于A(−1，0)、B(5，0)两点，与y轴交于点C.求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标．11.已知直线y=2x−3与抛物线y=ax2−x+c交于A、B两点，它们的横坐标分别是2、−1．(1)求抛物线的解析式；(2)设坐标原点为O，求△AOB的面积．12.已知y是关于x的二次函数，x与y的部分对应值如下表所示：(1)求y关于x的二次函数解析式；(2)求m的值．13.如果二次函数y=x2−x+c的图象过点(1，2)，求这个二次函数的解析式，并求出该函数图象的顶点坐标．14.已知二次函数y=a(x−1)2−4的图象经过点(0，−3)．(1)求这个二次函数的函数解析式；(2)当x取何值时，函数y的值随着x的增大而增大；(3)当x取何值时，函数的值为 0．【答案】1. D2. B3. D4. A5. D6. C7. D8. D9. D10. 解：∵抛物线y=−x2+bx+c经过点A(−1，0)、B(5，0)，∴−1−b+c=0−25+5b+c=0，解得b=4 c=5，∴抛物线的解析式为y=−x2+4x+5，∵y=−x2+4x+5=−(x−2)2+9，∴Q(2，9)．11. 解：(1)∵直线y=2x−3与抛物线y=ax2−x+c交于A、B两点，∴2x−3=ax2−x+c，即：ax2−3x+c+3=0，∵直线y=2x−3与抛物线y=ax2−x+c交于A、B两点，它们的横坐标分别是2、−1，∴2，−1是方程ax2−3x+c+3=0，的两根，∴2−1=3a ，−1×2=c+3a，∴a=3，c=−9，∴抛物线的解析式为：y=3x2−x−9，(2)∵O(0，0)，由(1)知A(2，1)，B(−1，−5)，∴AB的长为：32+62=35，∴直线AB的解析式为：y=2x−3，∴△OAB边AB的高为：4+1=355，∴三角形AOB的面积为：12×35×355=92．12. 解：(1)设此二次函数解析式为y=ax2+bx+c，由题意列出方程组4a−2b−2=44a+2b−2=0c=−2，解得a=1，b=−1，c=−2，所以二次函数解析式为y=x2−x−2．(2)将x=4代入解析式得m=10．13. 解：将x=1，y=2代入y=x2−x+c得：2=1−1+c，即c=2，则二次函数解析式为y=x2−x+2；∵y=x2−x+2=(x−12)2+74，∴抛物线顶点坐标为(12，74).14. 解：(1)因为二次函数y=a(x−1)2−4的图象经过点(0，−3)，∴−3=a(0−1)2−4，得a=1，即这个二次函数的解析式是：y=(x−1)2−4；(2)∵y=(x−1)2−4，1>0，∴当x>1时，y随x的增大而增大；(3)将y=0代入y=(x−1)2−4，得0=(x−1)2−4，解得，x1=−1，x2=3，即当x=−1或x=3时，函数的值为0．。

待定系数法求二次函数解析式一、根据所给点的坐标求函数解析式：例1 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); 求它的解析式。

练习：1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。

2.二次函数y= ax2+bx+c，x=－2时y=－6,x=2时y=10,x=3时y=24,求此函数的解析式。

二、根据所给的顶点坐标或对称轴求函数解析式：例2 已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式练习：1.已知抛物线的顶点（－1，－2），且图象经过（1，10），求此抛物线解析式。

2.已知抛物线cbxaxy++=2顶点坐标为)1,4(-，与y轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式.变式1：已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。

练习：抛物线的对称轴是x=2，且过（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式。

变式2：已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。

变式3.二次函数y= ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。

变式4：一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，。

求这条抛物线的解析式。

三、已知函数图像与X 轴的两交点坐标,求函数解析式例3、已知二次函数的图象与x 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式。

变式1：已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8，求它的解析式。

练习：一条抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。

变式 2： 已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1=－3，x 2=1，且与y 轴交点为(0，－3)，求这个二次函数解析式。

所以二次函数解析式为 ??= ??2 - ??- 2．
(2) 将 ??= 4 代入解析式得 ??= 10 ．
13. 解：将 ??= 1，??= 2 代入 ??= ??2 - ??+ ?得? ： 2 = 1 - 1 + ?，? 即 ??= 2，
则二次函数解析式为 ??= ??2 - ??+ 2；
∵??= ??2 -
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x 的值
-2 0
2
4
y 的值
4
-2
0
m
(1) 求 y 关于 x 的二次函数解析式； (2) 求 m 的值．
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13. 如果二次函数 ??= ??2 - ??+ ?的? 图象过点 (1 ，2) ，求这个二次函数的解析式，并求
出该函数图象的顶点坐标．
14. 已知二次函数 ??= ??( ??- 1) 2 - 4 的图象经过点 (0 ， - 3) ．
(1) 求这个二次函数的函数解析式； (2) 当 x 取何值时，函数 y 的值随着 x 的增大而增大； (3) 当 x 取何值时，函数的值为 0．
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【答案】
1. D
2. B
3. D
4. A
5. D
6. C
7. D
8. D
9. D
10. 解： ∵抛物线 ??= -?? 2 + ???+? ?经? 过点 ??(- 1 ，0) 、 ??(5 ，0) ，
∴△?????边? AB 的高为： |
-3
4+1 | =
3 5，
5
∴三角形
AOB 的面积为：
1
2 ×3
35

5.3用待定系数法确定二次函数表达式知识点1用一般式求二次函数的表达式1•已知点A （-1,0）在抛物线y=ax 2+2上,则此抛物线的函数表达式为（ ）2 2A. y=x + 2B.y=x -22D.y=- 2x + 22.如图5-3-1所示的抛物线是二次函数y=ax 2+ 5x+ 4-a 2的图像，那么a 的值是 （）B. -2D. ±3. 已知二次函数的图像如图5-3-2 所示，则这个二次和识耍点分婪练2C.y=-x +2 A.2 C.-一A.y=x 2-2x+32C. y=x +2B. y=x -2x-32D .y=x + 2x+ 3图 5-3-2函数的表达式为（）4. ［2019 •苏州工业园区一模］若二次函数y=ax2+bx-3的图像经过点(-1,0),(3,0),则其函数表达式为_____________ .5•经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线的函数表达式是________________ .6. ［教材例3变式］已知二次函数的图像经过点(0,3),(-3,0),(2,-5).(1) 试确定此二次函数的表达式；(2) 请你判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图像上•27. ［2018 •嘉定区一模］已知二次函数y=ax +bx+c的图像上部分点的坐标(x,y)满足下表：(1)求这个二次函数的表达式⑵用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴知识点2用顶点式求二次函数的表达式&已知一个二次函数的图像的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,-4),则这个二次函数的表达式为11. 如图5-3-5，二次函数y=x2+bx+c的图像过点B(0,-2),它与反比例函数y=--的图像交于点A(m,4),则这个二次函数的表达式为()A. y=-2(x+2)2+4 B. y=- 2(x-2)2+4D. y=2(x-2)2-45-3-3所示,对称轴是直线x=-1,则这个二次函数的表达式为9. 二次函数的部分图像如图A.y=-x 2 + 2x+ 32C. y=-x +2x-3B .y=x 2+ 2x+ 32D .y=-x -2x+310. [2019 •泰州节选]如图5-3-4,在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数图像的顶点坐标为 (4,-3), 该图像与x 轴相交于点A,B,与y 轴相交于点C,其中点A 的横坐标为1.求该二次函数的表达式.规律方法综合练图 5-3-522A.y=x -x-2B.y=x -x+22 2C.y=x +x-2D.y=x +x+ 212. 把抛物线向左平移 2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到的新抛物线的顶点坐标 为A(1,-4),且经过点(2,-3),则原抛物线的函数表达式为 __________________ .13. 若二次函数的图像过点(-3,0),(1,0),且顶点的纵坐标为 4,则此函数的表达式为 _.214. 已知抛物线y=ax+bx+c 上部分点的横坐标 x 与纵坐标y 的对应值如下表：②抛物线在对称轴右侧的部分是 ).(2)如果将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移使它经过点(0,5),求平移后的抛物线的函数表达式(1)根据上表填空：①这个抛物线的对称轴是，抛物线一定会经过点(-2,);持不变，得到的新函数图像记为G,点M(m,y“在图像G上，且y1> 0求m的取值范围215. 如图5-3-6，已知二次函数y=x +bx+c 过点A(1,0),C(0,-3)及点B.(1) 求此二次函数的表达式•(2) 在抛物线上是否存在一点卩,使厶ABP的面积为10,若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由•图5-3-6拓广探究创新练冲剧满分216. 已知二次函数y=-x +bx+c的图像过点A(-1,0)和C(0,2).(1)求二次函数的表达式及其图像的对称轴2⑵将二次函数y=-x +bx+c的图像在直线y=1上方的部分沿直线y=1翻折，图像其余的部分保教师详解详析2 21. D ［解析］将点A(-1,0)代入表达式y=ax +2,得a+2=0,解得a=-2,故函数表达式为y=-2x +2.2. B ［解析］根据图示知，二次函数y=ax2+5x+4-a2的图像经过原点(0,0), - 0= 4-a2，解得a= ±2. 又•••该函数图像的开口向下，二a<0,「. a=-2.故选B.3. B ［解析］设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.•••抛物线过(-1,0),(3,0),(0,-3),解得-•••这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3.故选B.4. y=x2-2x-3 ［解析］把(-1,0),(3,0)代入y=ax2+bx-3,得解得二二次函数的表达式为y=x2—2x-3.25. y=-+_x+32 26. 解:⑴设此二次函数的表达式为y=ax +bx+c.将(0,3),(-3,0),(2,-5)代入y=ax +bx+c ,得- 解得_•••此二次函数的表达式是y=-x2-2x+ 3.2⑵当x=-2时,y=-(-2) -2X(-2)+3=3,.・.点P(-2,3)在此二次函数的图像上.&B ［解析］设二次函数的表达式为 y=a(x-2)2+4,则-4=(-2)2a+4,解得a=-2.故这个二次函数的表达式为 y=-2(x-2)2+4. 9.D［解析］由题知抛物线的对称轴为直线 x=-1,过点(-3,0),(0,3) •设抛物线的函数表达式为 y=a (x+ 1)2+k.将(-3,0),(0,3)代入，得解得则抛物线的函数表达式为 y=-(x+1) + 4=-x -2x+ 3.故选D.210.解:由题意可设二次函数的表达式为 y=a(x-4) -3.把 A(1,0)代入，得 0=a(1-4)2-3,解得a=_.故该二次函数的表达式为 y=-(x-4)2-3.11.A ［解析］将 A(m,4)代入反比例函数表达式，得 4m=-8，二 m=-2,二A(-2,4).将 A(-2,4),B(0,-2) 分别代入二次函数表达式 ，得4-2b+c= 4,C =-2,解得b=-1,c=-2,故这个二次函数的表达式为 2y=x -x-2.oo12.y=(x-3) -1 ［解析］设新抛物线的函数表达式为y=a(x-1) -4.7•解:⑴由题意，得解这个方程组，得所以这个二次2-—,所以这个二次函数图像的顶点坐标为x=-一.2(2)y=x + 3X -2=•••该抛物线经过点(2,-3),-3= (2-1)2a-4,a= 1,•••新抛物线的函数表达式为y= (X-1)2-4,•••原抛物线的函数表达式为y= (X-3)2-1 .213. y=-x -2X+3 ［解析］•••二次函数的图像过点(-3,0),(1,0),且顶点的纵坐标为4, •••顶点的横坐标为-1,即顶点坐标为(-1,4).设抛物线的函数表达式为y=a(x+1)2+4.将x=1,y=0 代入,得a=-1,则抛物线的函数表达式为y=- (X+ 1)2+4,即y=-x2-2x+3.14. 解:⑴①•当X=0和X=2时,y的值均为2,•抛物线的对称轴为直线x=1,•当X=-2和X=4时,y的值相同，•抛物线会经过点(-2,10).故答案为直线x=1,10.②••抛物线的对称轴为直线X= 1,且当X取2,3,4时,y的值逐渐增大，•抛物线在对称轴右侧的部分是上升的.故答案为上升.2(2)将点(-1,5),(0,2),(2,2)代入y=ax2+bx+c 中,得解得-•抛物线的函数表达式为y=x2-2x+2.•点(0,5)在点(0,2)上方3个单位长度处,•平移后的抛物线的函数表达式为y=x2-2x+5.15. 解:(1厂•二次函数y=x +bx+c 过点A(1,0),C(0,-3),•••解得•••二次函数的表达式为y=x2+ 2x-3.2⑵存在•当y=0时,x +2x-3=0,解得x=-3或x= 1,••• A(1,0),B(-3,0),AB= 4.设P(m,n),•••△ ABP的面积为10,「•-AB • |n| = 10,解得n= ±5.当n=5 时,m2+2m-3=5,解得m=-4或m=2,•••点P的坐标为(-4,5)或(2,5);当n=-5时,m2+2m-3=-5，方程无解. 综上，点P的坐标为(-4,5)或(2,5).解得16. 解:⑴把A(-1,0)和C(0,2)分别代入二次函数的表达式，得则二次函数的表达式为y=-x2+x+ 2.•' y=-x 2+x+ 2=- 'x-- ■■ 2+ -,二其图像的对称轴为直线x=-.--=0,V4A434¥--=0,(2)顶点P (-,-)翻折后成为 N —,」,•••翻折部分的表达式为解得x=1或x=0,根据图像G 可知，当0时,m 的取值范围为-1 < m < 0或1 < m < 2.2 C. y=2(x+ 2) -4把 y= 0 代入 y=-x 2+x+ 2,得-x 2+x+ 2= 0,解得 x= 2 或 x=-1.把 y=0 代入 y= '■■I 2 x-。

苏科版九年级下《5.3待定系数法确定二次函数表达式》强化提优检测（时间：90分钟 满分：120分）一．选择题（共10题；共30分）1．已知抛物线过A(－1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于C 点，且BC=32，则这条抛物线的解析式为 ( )A ．y=－x 2+2x+3B ．y ＝x 2－2x －3C ．y=x 2+2x ―3或y ＝－x 2+2x+3 D ．y=－x 2+2x+3或y ＝x 2－2x －32．如果点(－2，－3)和(5，－3)都是抛物线y=ax 2+bx+c 上的点，那么抛物线的对称轴是 ( )A ．x=3B ．x=－3C ．x=3/2D ．x=－3/2 3．二次函数y=ax 2+bx+c ，b 2=ac ，且x=0时y=-4则（ ） A ．y 最大=-4 B ．y 最小=-4 C ．y 最大=-3 D ．y 最小=34．已知点A (－1，0)在抛物线y ＝ax 2＋2上，则此抛物线的函数表达式为( ) A ．y ＝x 2＋2 B ．y ＝x 2－2 C ．y ＝－x 2＋2 D ．y ＝－2x 2＋2 5．如图所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2＋5x ＋4－a 2的图像，那么a 的值是( )A ．2B ．－2C ．－52 D ．±2第5题图 第7题图第10题表 6．已知一个二次函数的图像的顶点坐标是(2，4)，且过另一点(0，－4)，则这个二次函数的表达式为( )A ．y ＝－2(x ＋2)2＋4 B ．y ＝－2(x －2)2＋4 C ．y ＝2(x ＋2)2－4 D ．y ＝2(x －2)2－47．如图二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像过点B (0，－2)，它与反比例函数y ＝－8x 的图像交于点A (m ，4)，则这个二次函数的表达式为( ) A ．y ＝x 2－x －2 B ．y ＝x 2－x ＋2 C ．y ＝x 2＋x －2 D ．y ＝x 2＋x ＋28．已知某二次函数的图像如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ） A ．y ＝2(x ＋1)2＋8 B ．y ＝18(x ＋1)2－8C ．y ＝29(x －1)2＋8 D ．y ＝2(x －1)2－89．若二次函数y ＝ax 2＋bx －1的图像经过点(1，1)，则a ＋b ＋1的值是( ) A ．－3 B ．－1 C ．2 D ．3x … －2 －1 0 1 2 …y… －11 －2 1 －2 －5 …10．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像时，列出了下面的表格：由于粗心，他算错了其中的一个y值，则这个错误的数值是( )A．－11 B．－2 C．1 D．－5二、填空题（共10题；共30分）11．函数y=x2+bx-c的图象经过点（1，2），则b-c的值为______．12.如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点p的横坐标是4，图象与x 轴交于点A(m，0)和点B，且点A在点B的左侧，那么线段AB的长是．(用含字母m的代数式表示)13．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(1，4)和点(5，0)，则该抛物线的解析式为．14．已知二次函数y＝ax2－5x＋c的图像过点A(1，0)，B(4，0)，则该二次函数的表达式为__________．15.经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线的表达式是________．16．如果二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像的顶点坐标为(1，－3)，那么该二次函数的表达式为__________________．17．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则该抛物线的函数表达式为__________________．18．若一个二次函数的图像经过(－3，0)，(2，0)和(1，－4)三点，则这个二次函数的表达式是________.19．若抛物线y＝ax2＋bx经过点A(2，1)，B(1，0)，则抛物线的函数表达式为________．20．设抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线对应的函数表达式为______________．三、解答题（共6题；共60分）21.已知二次函数的图像经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)．(1)试确定此二次函数的表达式；(2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图像上．22．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像上部分点的坐标(x，y)满足下表：(1)求这个二次函数的表达式；x …－1 0 2 3 4 …y … 5 2 2 5 10 …(2)用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴．23．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x Array与纵坐标y的对应值如下表：(1)根据上表填空：①这个抛物线的对称轴是________，抛物线一定会经过点(－2，____)；②抛物线在对称轴右侧的部分是________的(填“上升”或“下降”)．(2)如果将抛物线y＝ax2＋bx＋c向上平移使它经过点(0，5)，求平移后的抛物线的表达式．24．如图抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝x＋1相交于A(－1，0)，B(4，m)两点，且抛物线经过点C(5，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)P是抛物线上的一个动点(不与点A，B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E.当PE＝2ED时，求点P的坐标．25．已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像过点A(－1，0)和C(0，2)．(1)求二次函数的表达式及其图像的对称轴；(2)将二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像在直线y＝1上方的部分沿直线y＝1翻折，图像其余的部分保持不变，得到的新函数图像记为G，点M(m，y1)在图像G上，且y1≥0，求m的取值范围．26.新定义题如果两个二次函数的图像关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图K－5－4所示二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”．(1)直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图像所具有的共同特点．(2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”的表达式为______________；二次函数y＝a(x＋h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”的表达式为__________________．(3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图像与y轴的交点为A，两个图像的顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式．教师样卷一．选择题（共10题；共30分）1．已知抛物线过A(－1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于C 点，且BC=32，则这条抛物线的解析式为 ( )A ．y=－x 2+2x+3B ．y ＝x 2－2x －3C ．y=x 2+2x ―3或y ＝－x 2+2x+3D ．y=－x 2+2x+3或y ＝x 2－2x －3【答案】D 【解析】：注意由条件不能确定抛物线的开口方向，所以此题不要漏解． 2．如果点(－2，－3)和(5，－3)都是抛物线y=ax 2+bx+c 上的点，那么抛物线的对称轴是 ( )A ．x=3B ．x=－3C ．x=3/2D ．x=－3/2【答案】 C3．二次函数y=ax 2+bx+c ，b 2=ac ，且x=0时y=-4则（ ） A ．y 最大=-4 B ．y 最小=-4 C ．y 最大=-3 D ．y 最小=3 【答案】 C 【解析】：点(－2，－3)与(5，－3)关于直线x ＝32对称．] 4．已知点A (－1，0)在抛物线y ＝ax 2＋2上，则此抛物线的函数表达式为( ) A ．y ＝x 2＋2 B ．y ＝x 2－2 C ．y ＝－x 2＋2 D ．y ＝－2x 2＋2【答案】D 【解析】：将点A (－1，0)代入表达式y ＝ax 2＋2，得a ＋2＝0，解得a ＝－2，故函数表达式为y ＝－2x 2＋2.5．如图所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2＋5x ＋4－a 2的图像，那么a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．－52 D ．±2【答案】B 【解析】：根据图示知，二次函数y ＝ax 2＋5x ＋4－a 2的图像经过原点(0，0)，∴0＝4－a 2，解得a ＝±2.又∵该函数图像的开口向下，∴a ＜0，∴a ＝－2.故选B.第5题图 第7题图第10题表 6．已知一个二次函数的图像的顶点坐标是(2，4)，且过另一点(0，－4)，则这个二次函数的表达式为( )A ．y ＝－2(x ＋2)2＋4B ．y ＝－2(x －2)2＋4C ．y ＝2(x ＋2)2－4D ．y ＝2(x －2)2－4 【答案】B 【解析】：设二次函数的表达式为y ＝a (x －2)2＋4，则－4＝(－2)2a ＋4，解得a ＝－2.故这个二次函数的表达式为y ＝－2(x －2)2＋4.7．如图二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像过点B (0，－2)，它与反比例函数y ＝－8x 的图像交于点A (m ，4)，则这个二次函数的表达式为( ) A ．y ＝x 2－x －2 B ．y ＝x 2－x ＋2 C ．y ＝x 2＋x －2 D ．y ＝x 2＋x ＋2【答案】 A 【解析】：将A (m ，4)代入反比例函数表达式，得4m ＝－8，∴m ＝－2，∴A (－2，4)．将A (－2，4)，B (0，－2)分别代入二次函数表达式，得4－2b ＋c ＝4，c ＝－2，解得b ＝－1，c ＝－2，故这个二次函数的表达式为y ＝x 2－x －2.x … －2 －1 0 1 2 …y… －11 －2 1 －2 －5 …8．已知某二次函数的图像如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ） A ．y ＝2(x ＋1)2＋8 B ．y ＝18(x ＋1)2－8 C ．y ＝29(x －1)2＋8 D ．y ＝2(x －1)2－8【答案】D 【解析】：设顶点式：y ＝a(x ＋h)2＋k(a ，h ，k 是常数，a ≠0)，其中(－h ，k)为顶点坐标．由图像知，抛物线的顶点坐标是(1，－8)，且经过点(3，0)，故二次函数的表达式为y ＝2(x －1)2－8.故选D .9．若二次函数y ＝ax 2＋bx －1的图像经过点(1，1)，则a ＋b ＋1的值是( ) A ．－3 B ．－1 C ．2 D ．3【答案】D 【解析】：∵二次函数y ＝ax 2＋bx －1的图像经过点(1，1)，∴a ＋b －1＝1， ∴a ＋b ＝2，∴a ＋b ＋1＝3.故选D .10．某同学在用描点法画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像时，列出了下面的表格： 由于粗心，他算错了其中的一个y 值，则这个错误的数值是( ) A ．－11 B ．－2 C ．1 D ．－5【答案】 D 【解析】：由函数图像关于对称轴对称，得点(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)在函数图像上．把(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)分别代入函数表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－2，c ＝1，a ＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝0，c ＝1，∴函数表达式为y ＝－3x 2＋1.当x ＝2时，y ＝－11.故选D .四、填空题（共10题；共30分）11．函数y=x 2+bx-c 的图象经过点（1，2），则b-c 的值为______．【答案】1 【解析】：把点（1.2）代入可以得到b-c 的值为1,所以答案是：113. 如图所示，已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的顶点p 的横坐标是4，图象与x 轴交于点A(m ，0)和点B ，且点A 在点B 的左侧，那么线段AB 的长是 ．(用含字母m 的代数式表示)【答案】8－2m 【解析】：点A 到抛物线对称轴的距离为4－m ，所以线段AB 的长为2(4－m)＝8－2m ．13．已知抛物线y ＝ax 2+bx+c 的对称轴为x=2，且经过点(1，4)和点(5，0)，则该抛物线的解析式为 ．【答案】 y=－1/2x 2＋2x ＋5/214．已知二次函数y ＝ax 2－5x ＋c 的图像过点A (1，0)，B (4，0)，则该二次函数的表达式为__________． 【答案】y ＝x 2－5x ＋415.经过A (4，0)，B (－2，0)，C (0，3)三点的抛物线的表达式是________． 【答案】y ＝－38x 2＋34x ＋316．如果二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像的顶点坐标为(1，－3)，那么该二次函数的表达式为__________________． 【答案】y ＝－x 2＋2x －417．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是A (2，1)，且经过点B (1，0)，则该抛物线的函数表达式为__________________．【答案】y ＝－x 2＋4x －3 【解析】：设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －2)2＋1.将点B 的坐标(1，0)代入y ＝a (x －2)2＋1，得a ＝－1，∴函数表达式为y ＝－(x －2)2＋1，展开，得y ＝－x 2＋4x －3.18．若一个二次函数的图像经过(－3，0)，(2，0)和(1，－4)三点，则这个二次函数的表达式是________.【答案】 y ＝x 2＋x －6 【解析】： 因为二次函数的图像经过点(－3，0)，(2，0)，所以设二次函数的表达式为y ＝a(x ＋3)·(x－2)．将点(1，－4)代入，得－4＝(1＋3)×(1－2)a ，解得a ＝1，所以二次函数的表达式为y ＝(x ＋3)(x －2)＝x 2＋x －6. 故答案为y ＝x 2＋x －6.19．若抛物线y ＝ax 2＋bx 经过点A (2，1)，B (1，0)，则抛物线的函数表达式为________．【答案】 y ＝12x 2－12x 【解析】：将A(2，1)，B(1，0)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝1，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－12x. 20．设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A (0，2)，B (4，3)，C 三点，其中点C 在直线x ＝2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线对应的函数表达式为______________． 【答案】 y ＝18x 2－14x ＋2或y ＝－18x 2＋34x ＋2 【解析】： 因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A(0，2)，所以函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋2.因为点C 在直线x ＝2上且到抛物线的对称轴的距离等于1，所以抛物线的对称轴为直线x ＝1或直线x ＝3，所以可以建立以下两个方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋2＝3，－b 2a ＝1，(2)⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋2＝3，－b 2a ＝3.由方程组(1)，得a ＝18，b ＝－14；由方程组(2)，得a ＝－18，b ＝34.故答案为y ＝18x 2－14x ＋2或y ＝－18x 2＋34x ＋2.五、解答题（共6题；共60分）21.已知二次函数的图像经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)． (1)试确定此二次函数的表达式；(2)请你判断点P (－2，3)是否在这个二次函数的图像上．解：(1)设此二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c .将(0，3)，(－3，0)，(2，－5)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，9a －3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3，∴此二次函数的表达式是y ＝－x 2－2x ＋3.(2)当x ＝－2时，y ＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3，∴点P (－2，3)在此二次函数的图像上． 22．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像上部分点的坐标(x ，y )满足下表：(1)求这个二次函数的表达式；(2)用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－4，c ＝－2，a ＋b ＋c ＝2，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，c ＝－2，所以这个二次函数的表达式是y ＝x 2＋3x －2.(2)y ＝x 2＋3x －2＝(x ＋32)2－174，所以这个二次函数图像的顶点坐标为(－32，－174)，对称轴是直线x ＝－32.23．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表： (1)根据上表填空：①这个抛物线的对称轴是________，抛物线一定会经过点(－2，____)； ②抛物线在对称轴右侧的部分是________的(填“上升”或“下降”)．(2)如果将抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 向上平移使它经过点(0，5)，求平移后的抛物线的表达式． 解：(1)①∵当x ＝0和x ＝2时，y 的值均为2，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴当x ＝－2和x ＝4时，y 的值相同，∴抛物线会经过点(－2，10)．故答案为直线x ＝1，10.②∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，且当x ＝2，3，4时，y 的值逐渐增大，∴抛物线在对称轴右侧的部分是上升的．故答案为上升．(2)将点(－1，5)，(0，2)，(2，2)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝5，c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝2，∴抛物线的表达式为y ＝x 2－2x ＋2. ∵点(0，5)在点(0，2)上方3个单位长度处，∴平移后的抛物线的表达式为y ＝x 2－2x ＋5.24．如图抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝x ＋1相交于A(－1，0)，B(4，m)两点，且抛物线经过点C(5，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)P 是抛物线上的一个动点(不与点A ，B 重合)，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，交直线AB 于点E.当PE ＝2ED 时，求点P 的坐标．．解：(1)由题意得，点B (4，m )在直线y ＝x ＋1上，∴B (4，5)．∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－1，0)，B (4，5)和点C (5，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝5，25a ＋5b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝5，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋4x ＋5. (2)设P (x ，－x 2＋4x ＋5)，则E (x ，x ＋1)，D (x ，0)．当点P 在点A ，B 之间的抛物线上时，PE ＝－x 2＋4x ＋5－x －1，ED ＝x ＋1.∵PE ＝2ED ，∴－x 2＋4x ＋5－x －1＝2(x ＋1)，解得x 1＝2，x 2＝－1，∴点P (2，9)或P (－1，0)．故点P 的坐标为(2，9)．当点P 在点A 左侧的抛物线上时，PE ＝x ＋1＋x 2－4x －5，ED ＝－x －1.∵PE ＝2ED ，∴x ＋1＋x 2－4x －5＝2(－x －1)，解得x 1＝2，x 2＝－1，均不符合题意，舍去．当点P 在点B 右侧的抛物线上时，PE ＝x ＋1＋x 2－4x －5，ED ＝x ＋1.∵PE ＝2ED ，∴x ＋1＋x 2－4x －5＝2(x ＋1)，解得x 1＝6，x 2＝－1，∴点P (6，－7)或P (－1，0)．∵P (－1，0)与点A 重合，∴P (－1，0)舍去，故点P 的坐标为(6，－7)．综上所述，点P 的坐标为(2，9)或(6，－7)． 25．已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像过点A(－1，0)和C(0，2)． (1)求二次函数的表达式及其图像的对称轴；(2)将二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像在直线y ＝1上方的部分沿直线y ＝1翻折，图像其余的部分保持不变，得到的新函数图像记为G ，点M(m ，y 1)在图像G 上，且y 1≥0，求m 的取值范围．解：(1)把A (－1，0)和C (0，2)分别代入二次函数的表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2，则二次函数的表达式为y ＝－x 2＋x ＋2.∵y ＝－x 2＋x ＋2＝－(x －12)2＋94，∴其图像的对称轴为直线x ＝12.(2)顶点P (12，94)翻折后成为N (12，－14)，∴翻折部分的表达式为y ＝(x －12)2－14.把y ＝0代入y ＝－x 2＋x ＋2，得－x 2＋x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝－1.把y ＝0代入y ＝(x －12)2－14，得(x －12)2－14＝0，解得x ＝1或x ＝0，根据图像G 可知，当y 1≥0时，m 的取值范围为－1≤m ≤0或1≤m ≤2. 26.新定义题如果两个二次函数的图像关于y 轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y 轴对称二次函数”，如图K －5－4所示二次函数y 1＝x 2＋2x ＋2与y 2＝x 2－2x ＋2是“关于y 轴对称二次函数”．(1)直接写出两条图中“关于y 轴对称二次函数”图像所具有的共同特点．(2)二次函数y ＝2(x ＋2)2＋1的“关于y 轴对称二次函数”的表达式为______________；二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k 的“关于y 轴对称二次函数”的表达式为__________________． (3)平面直角坐标系中，记“关于y 轴对称二次函数”的图像与y 轴的交点为A ，两个图像的顶点分别为B ，C ，且BC ＝6，顺次连接点A ，B ，O ，C 得到一个面积为24的菱形，求“关于y 轴对称二次函数”的函数表达式．解：(1)答案不唯一，如两上二次函数图像的顶点关于y 轴对称，对称轴关于y 轴对称．(2)y ＝2(x －2)2＋1 y ＝a(x －h)2＋k(3)如图．由BC ＝6，顺次连接点A ，B ，O ，C 得到一个面积为24的菱形，得OA ＝8，∴点A 的坐标为(0，8)，点B 的坐标为(－3，4)．设以点B 为顶点的抛物线的表达式为y ＝a(x ＋3)2＋4.将点A 的坐标代入，得9a ＋4＝8，解得a ＝49，∴y ＝49(x ＋3)2＋4. y ＝49(x ＋3)2＋4“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝49(x －3)2＋4.根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，此时y ＝－49(x ＋3)2－4，y ＝－49(x －3)2－4.综上所述，“关于y 轴对称二次函数”的函数表达式为y ＝49(x ＋3)2＋4，y ＝49(x －3)2＋4或y ＝－49(x ＋3)2－4，y ＝－49(x －3)2－4.。

5.3 用待定系数法确定二次函数表达式同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 抛物线y＝ax2+bx+c经过点(3, 0)和(2, −3)，且以直线x＝1为对称轴，则它的解析式为（）A.y＝−x2−2x−3B.y＝x2−2x−3C.y＝x2−2x+3D.y＝−x2+2x−32. 一个二次函数的图象的顶点坐标为(3, −1)，与y轴的交点(0, −4)，这个二次函数的解析式是（）A.y=13x2−2x+4 B.y=−13x2−2x−4C.y=−13(x+3)2−1 D.y=−x2+6x−123. 二次函数的图象经过(0, 3)，(−2, −5)，(1, 4)三点，则它的解析式为（）A.y＝x2+6x+3B.y＝−3x2−2x+3C.y＝2x2+8x+3D.y＝−x2+2x+34. 已知二次函数的图象经过(1, 0)、(2, 0)和(0, 2)三点，则该函数的解析式是（）A.y=2x2+x+2B.y=x2+3x+2C.y=x2−2x+3D.y=x2−3x+25. 如果一条抛物线的形状与y=−13x2+2的形状相同，且顶点坐标是(4, −2)，那么它的函数解析式为（）A.y=13(x−4)2−2 B.y=13(x−4)2−2或y=−13(x−4)2−2C.y=−13(x−4)2−2 D.y=13(x−4)2−2或y=−13(x+4)2−26. 已知抛物线y=x2−8x+c的顶点在x轴上，则c等于（）A.4B.8C.−4D.167. 抛物线与x轴交于点(−3, 0)和(1, 0)，且与y交于点(0, 3)，则该抛物线的解析式为（）A.y=x2−2x+3B.y=x2+2x+3C.y=−x2+2x+3D.y=−x2−2x+38. 某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米．当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为（）A.6厘米B.12厘米C.24厘米D.36厘米9. 若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2−4x−1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为()A.y=−x2+2x+4B.y=−ax2−2ax−3(a>0)C.y=−2x2−4x−5D.y=ax2−2ax+a−3(a<0)10. 如图，抛物线的函数表达式是（）A.y=x2−x+2B.y=x2+x+2C.y=−x2−x+2D.y=−x2+x+2二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）x2+15x+2的形状相同，且顶点坐标是(4, 2)，则11. 如果一条抛物线的形状与y=−13它的解析式为________．12. 抛物线的顶点在(1, −4)，且经过点(0, 3)，这个函数解析式为________．13. 若y与x2−1成正比例，且当x＝2时，y＝6，则y与x的函数关系式是________．14. 已知抛物线的顶点坐标为(−1, −2)，且通过点(1, 10)，则该抛物线的解析式为________．15. 二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点(2, 3)，且顶点在直线y=3x−2上，则二次函数的关系式为：________．x2+2重合，且顶点坐标为(4, −2)，则16. 如果一条抛物线经过平移后与抛物线y=−13它的解析式为________．17. 一个过原点的抛物线关于y轴对称，且过点(−2, 2)，则抛物线的解析式为________．18. 已知点(2, 5)，(4, 5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴是________．19. 某一抛物线开口向下，且与x轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为________（只写一个），此类函数都有________值（填“最大”“最小”）．20. 有一个二次函数的图象，甲、乙、丙三位同学分别说出了它的特点：甲：对称轴是直线x=2；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式________．三、解答题（本题共计9 小题，共计60分，）21. （1）已知抛物线的顶点为(1, −1)，且过点(2, 1)，求这个函数的表达式；（2）已知一个二次函数的图象经过点(1, −1)，(0, 1)，(−1, 13)，求这个二次函数的解析式．22. 已知抛物线的顶点(−1, −2)且图象经过(1, 10)，求此抛物线解析式．23. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(0, 1)、B(2, −1)两点，试求b、c的值．24. 已知二次函数，当x=2时，y有最大值是1，且过(3, 0)点，求此二次函数的解析式．25. 若抛物线y=ax2+bx+c经过(4, 3)，(1, 0)，(−1, 8)三点，求抛物线的解析式．26. 已知抛物线y=−x2+bx+c，它与x轴的两个交点分别为(−1, 0)，(3, 0)，求此抛物线的解析式．27. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过(0, −6)，(8, −6)两点，其顶点的纵坐标是2，求这个抛物线的解析式．28. 已知二次函数的顶点坐标为(1, 4)，且其图象经过点(−2, −5)，求此二次函数的解析式．29. 已知二次函数图象经过点A(−3, 0)、B(1, 0)、C(0, −3)，求此二次函数的解析式．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】把(3, 0)与(2, −3)代入抛物线解析式得：{9a+3b+c=04a+2b+c=−3，由直线x＝1为对称轴，得到−b2a=1，即b＝−2a，代入方程组得：{9a−6a+c=04a−4a+c=−3，解得：a＝1，b＝−2，c＝−3，则抛物线解析式为y＝x2−2x−3，2.【答案】B【解答】解：设抛物线解析式为y=a(x−3)2−1，把(0, −4)代入得a⋅(−3)2−1=−4，解得a=−13，所以抛物线解析式为y=−13(x−3)2−1=−13x2+2x−4．故选B．3.【答案】D【解答】设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，把(0, 3)，(−2, −5)，(1, 4)代入得{c=3−5=4a−2b+c 4=a+b+c解得{a=−1b=2c=3，所以二次函数的解析式为：y＝−x2+2x+3，4.【答案】D【解答】解：设这个二次函数的解析式是y =ax 2+bx +c ，把(1, 0)、(2, 0)和(0, 2)代入得：{a +b +c =04a +2b +c =0c =2，解之得{a =1b =−3c =2；所以该函数的解析式是y =x 2−3x +2．故本题选D ．5.【答案】B【解答】解：设所求抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c ，由形状与y =−13x 2+2的形状相同，则|a|=13，又抛物线过顶点坐标(4, −2)，则由此可判断出B 选项的函数解析式符合题意． 故选B ．6.【答案】D【解答】解：根据题意，得4c−(−8)24×1=0，解得c =16．故选D ．7.【答案】D【解答】解：设抛物线的解析式为y =a(x +3)(x −1)，把(0, 3)代入得a ×3×(−1)=3，解得a =−1．所以抛物线的解析式为y =−(x +3)(x −1)=−x 2−2x +3．故选D ．8.【答案】A【解答】解：设y与x之间的函数关系式为y=kx2，由题意，得18=9k，解得：k=2，∴ y=2x2，当y=72时，72=2x2，∴ x=6．故选A．9.【答案】D【解答】解：抛物线y=2x2−4x−1的顶点坐标为(1, −3)，根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是(1, −3)，且抛物线开口向下．A，抛物线开口向下，顶点坐标是(1, 5)，故选项A错误；B，抛物线开口向下，顶点坐标是(−1, a−3)，故选项B错误；C，抛物线开口向下，顶点坐标是(−1, −3)，故选项C错误；D，抛物线开口向下，顶点坐标是(1, −3)，故选项D正确．故选D.10.【答案】D【解答】解：根据题意，设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，抛物线过(−1, 0)，(0, 2)，(2, 0)，所以{a−b+c=0c=24a+2b+c=0，解得a=−1，b=1，c=2，这个二次函数的表达式为y=−x2+x+2．故选D．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】y=±13(x−4)2+2【解答】解：设所求抛物线的解析式为y=a(x−ℎ)2+k，∴ 它的顶点坐标是(4, 2)，∴ y=a(x−4)2+2，又∴ 它与y=−13x2+15x+2的形状相同，∴ a=±13，∴ 所求抛物线的解析式为y=±13(x−4)2+2．故答案为y=±13(x−4)2+2．12.【答案】y=7(x−1)2−4【解答】解：设抛物线解析式为y=a(x−1)2−4，把(0, 3)代入得a⋅(0−1)2−4=3，解得a=7，所以抛物线解析式为y=7(x−1)2−4．故答案为y=7(x−1)2−4．13.【答案】y＝2x2−2【解答】设y＝k(x2−1)，把x＝2，y＝6代入得k×(22−1)＝6，解得k＝2，所以y＝2(x2−1)，即y＝2x2−2．14.【答案】y=3(x+1)2−2【解答】解：由题意，可设抛物线的解析式为y=a(x+1)2−2．∴ 该抛物线的解析式通过点(1, 10)，∴ 10=a(1+1)2−2，解得，a=3；故该抛物线的解析式是：y =3(x +1)2−2．15.【答案】y =2x 2−4x +3或y =2x 2−6x +7【解答】解：∴ 二次函数y =2x 2+bx +c 的顶点为(−14b, 8c−b 28)， 又∴ 二次函数y =2x 2+bx +c 的顶点在直线y =3x −2上，并且图象经过点(2, 3)， 将(−14b, 8c−b 28)代入直线y =3x −2和把(2, 3)代入y =2x 2+bx +c ， 得 {b 2−6b −8c =168+2b +c =3，解得{b =−4c =3或{b =−6c =7，∴ 二次函数的解析式为y =2x 2−4x +3或y =2x 2−6x +7． 故答案为y =2x 2−4x +3或y =2x 2−6x +7． 16.【答案】y =−13(x −4)2−2【解答】解：根据题意，可设所求的抛物线的解析式为y =a(x −ℎ)2+k ； ∴ 此抛物线经过平移后与抛物线y =−13x 2+2重合，∴ a =−13；∴ 此抛物线的顶点坐标为(4, −2)，∴ 其解析式为：y =−13(x −4)2−2．17.【答案】y =12x 2【解答】解：设抛物线的表达式为y =ax 2，抛物线过点(−2, 2)，则4a =2，a =12，x2．故抛物线的解析式为y=1218.【答案】x=3【解答】解：因为已知两点的纵坐标相同，都是5，所以对称轴方程是x=(2+4)÷2=3．19.【答案】y=−x2+x−1,最大【解答】解：设二次函数的解析式是：y=−x2+x+c则△=1+4c当c=−1是△<0则函数解析式是：y=−x2+x−1这个函数开口向下，有最大值故函数解析式不唯一．如：y=−x2+x−1，此类函数都有最大值．20.【答案】y=±1(x+1)(x−5)答案不唯一5【解答】解：对称轴是直线x=2，则一次项系数与二次项系数的比是−4，因而可设函数解析式是y=ax2−4ax+ac，与y轴交点的纵坐标也是整数，因而ac是整数，y=ax2−4ax+ac=a(x2−4x+c)，与x轴两个交点的横坐标都是整数，即方程x2−4x+c=0有两个整数解，设是−1和+5，则c=−5，则y=ax2−4ax+ac=a(x2−4x−5)，∴ 以这三个交点为顶点的三角形的面积为3，∴ a=±1．5(x+1)(x−5)．（答案不唯一）．则函数是：y=±15三、解答题（本题共计9 小题，每题10 分，共计90分）21.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a(x−1)2−1，把(2, 1)代入得a −1=1，解得a =2，所以抛物线解析式为y =2(x −1)2−1=2x 2−4x +1；（2）设抛物线解析式为y =ax 2+bx +c ，根据题意得{a +b +c =−1c =1a −b +c =13， 解得{a =5b =−7c =1．所以抛物线解析式为y =5x 2−7x +1．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y =a(x −1)2−1，把(2, 1)代入得a −1=1，解得a =2，所以抛物线解析式为y =2(x −1)2−1=2x 2−4x +1；（2）设抛物线解析式为y =ax 2+bx +c ，根据题意得{a +b +c =−1c =1a −b +c =13， 解得{a =5b =−7c =1．所以抛物线解析式为y =5x 2−7x +1．22.【答案】解：抛物线的顶点为(−1, −2)，设抛物线解析式为y =a(x +1)2−2， 把(1, 10)代入得：4a −2=10，解得：a =3，∴ 抛物线解析式为y =3(x +1)2−2．【解答】解：抛物线的顶点为(−1, −2)，设抛物线解析式为y =a(x +1)2−2， 把(1, 10)代入得：4a −2=10，解得：a =3，∴ 抛物线解析式为y =3(x +1)2−2．23.【答案】解：∴ 二次函数的图象经过A ，B 两点，∴ 把A(0, 1)，B(2, −1)代入y =x 2+bx +c ，得{c =14+2b +c =−1， 解得{b =−3c =1． 【解答】解：∴ 二次函数的图象经过A ，B 两点， ∴ 把A(0, 1)，B(2, −1)代入y =x 2+bx +c ，得{c =14+2b +c =−1， 解得{b =−3c =1． 24.【答案】解：设二次函数解析式为y =a(x −2)2+1， 把点(3, 0)代入得，a(3−2)2+1=0，解得a =−1，所以二次函数解析式为y =−(x −2)2+1．【解答】解：设二次函数解析式为y =a(x −2)2+1， 把点(3, 0)代入得，a(3−2)2+1=0，解得a =−1，所以二次函数解析式为y =−(x −2)2+1． 25.【答案】解：将(4, 3)，(1, 0)，(−1, 8)三点代入抛物线y =ax 2+bx +c ，得：{16a +4b +c =3a +b +c =0a −b +c =8，解得：a =1，b =−4，c =3，则抛物线解析式为y =x 2−4x +3．【解答】解：将(4, 3)，(1, 0)，(−1, 8)三点代入抛物线y =ax 2+bx +c ，得：{16a +4b +c =3a +b +c =0a −b +c =8，解得：a =1，b =−4，c =3，则抛物线解析式为y =x 2−4x +3．26.【答案】解：根据题意得，{−1−b +c =0−9+3b +c =0， 解得{b =2c =3， ∴ 抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3；或：由已知得，−1、3为方程−x 2+bx +c =0的两个解， ∴ −1+3=b ，(−1)×3=c ，解得b =2，c =3，∴ 抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3．【解答】解：根据题意得，{−1−b +c =0−9+3b +c =0， 解得{b =2c =3， ∴ 抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3；或：由已知得，−1、3为方程−x 2+bx +c =0的两个解， ∴ −1+3=b ，(−1)×3=c ，解得b =2，c =3，∴ 抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3． 27.【答案】解：∴ 抛物线y =ax 2+bx +c 经过(0, −6)，(8, −6)两点， ∴ 直线x =−b 2a =0+82=4，又其顶点的纵坐标是2，∴ 二次函数的顶点坐标为(4, 2)，则这个抛物线的解析式为y =a(x −4)2+2， 将(0, −6)代入y =a(x −4)2+2得：−6=a(0−4)2+2， 解得a =−12， 则这个抛物线的解析式为y =−12(x −4)2+2=−12x 2+4x −6． 【解答】解：∴ 抛物线y =ax 2+bx +c 经过(0, −6)，(8, −6)两点，∴ 直线x=−b2a =0+82=4，又其顶点的纵坐标是2，∴ 二次函数的顶点坐标为(4, 2)，则这个抛物线的解析式为y=a(x−4)2+2，将(0, −6)代入y=a(x−4)2+2得：−6=a(0−4)2+2，解得a=−12，则这个抛物线的解析式为y=−12(x−4)2+2=−12x2+4x−6．28.【答案】设抛物线解析式为y＝a(x−1)2+4，把(−2, −5)代入得a(−2−1)2+4＝−5，解得a＝−1，所以抛物线解析式为y＝−(x−1)2+4．【解答】设抛物线解析式为y＝a(x−1)2+4，把(−2, −5)代入得a(−2−1)2+4＝−5，解得a＝−1，所以抛物线解析式为y＝−(x−1)2+4．29.【答案】设抛物线解析式为y＝a(x+3)(x−1)，把C(0, −3)代入得a⋅3⋅(−1)＝−3，解得a＝1，所以抛物线解析式为y＝(x+3)(x−1)，即y＝x2+2x−3．【解答】设抛物线解析式为y＝a(x+3)(x−1)，把C(0, −3)代入得a⋅3⋅(−1)＝−3，解得a＝1，所以抛物线解析式为y＝(x+3)(x−1)，即y＝x2+2x−3．。

5.3 用待定系数法确定二次函数的表达式二次函数同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计9 小题，每题3 分，共计27分，）1. 顶点是(−2, 1)，开口方向，形状与抛物线y=12x2相同的抛物线是（）A.y=12(x+2)2+1 B.y=12(x−2)2+1C.y=13(x−2)2+1 D.y=−12(x+2)2+12. 已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为()A.y=x2−2x+3B.y=x2−2x−3C.y=x2+2x−3D.y=x2+2x+33. 顶点为(6, 0)，开口向下，开口的大小与函数y=13x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（）A.y=13(x+6)2 B.y=13(x−6)2 C.y=−13(x+6)2 D.y=−13(x−6)24. 如图，抛物线的函数表达式是（）A.y=x2−x+2B.y=x2+x+2C.y=−x2−x+2D.y=−x2+x+25. 下表是变量x与y的一组对应值：从这组数据看，y与x的函数关系是（）A.正比例函数B.常数项不为零的一次函数C.二次函数D.反比例函数6. 抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）A.y=x2−x−2B.y=−12x2−12x+2C.y=−12x2−12x+1 D.y=−x2+x+27. 一个二次函数，当x=0时，y=−5；当x=−1时，y=−4；当x=−2时，y=5，则这个二次函数的关系式是（）A.y=4x2+3x−5B.y=2x2+x+5C.y=2x2−x+5D.y=2x2+x−58. 若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2−4x−1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为()A.y=−x2+2x+4B.y=−ax2−2ax−3(a>0)C.y=−2x2−4x−5D.y=ax2−2ax+a−3(a<0)9. 若a，b，c满足{a+b+c=0，a−b+c=0，则关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是()A.1，0B.−1，0C.1，−1D.无法确定二、填空题（本题共计9 小题，每题3 分，共计27分，）10. 已知：二次函数的图象过A(1, 0)，B(k, 0)，C(0, k)(k≠1)．若D是抛物线的顶点，且△ABD是直角三角形，则k=________．11. 二次函数y=x2−2mx+m2−1经过原点，则此二次函数的解析式为________．12. 已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−2, 0)，B(4, 0)两点，顶点C到x轴的距离为2，则此抛物线的解析式为________．13. 若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2, 1)，且经过点B(1, 0)，则抛物线的函数关系式为________．14. 已知直线y=x+1与抛物线y=ax2+2x+c相交于点A(−1,0)和点B(2,m)两点．则该抛物线的函数表达式是________.15. 二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(−1, 0)，(3, 0)，(0, 2)，当x=2时，y的值为________．16. 二次函数y=ax2+bx+c经过三个点A(−3, 0)、B(0, 3)、C(2, −5)，则二次函数解析式为________．17. 二次函数的图象经过原点(−1, −2)，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为2．则二次函数的解析式为________．18. 如图，边长为1的正方形ABCO，以A为顶点，且经过点C的抛物线与对角线交于点D，点D的坐标为________．三、解答题（本题共计8 小题，共66分，）19. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(−1, 0)，B(3, 0)，C(0, −3)三点，求这个二次函数的解析式．20. 根据所给条件求抛物线的解析式：（1）抛物线过点(0, 2)、(1, 1)、(3, 5)；（2）抛物线关于y轴对称，且过点(1, −2)和(−2, 0)．21. 已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点(−2, −5)，(1, 4)．求这个二次函数的解析式.22. 已知二次函数图像的顶点坐标为(1, −3)，且过点(2, 0)，求这个二次函数的解析式.23. 已知一个二次函数的图象经过点(1, −1)，(0, −1)，(−1, 13)，求这个二次函数的解析式．24. 已知二次函数y=ax2−4ax+b的图象经过点A(1, 0)，B(x2, 0)，与y轴正半轴交于C 点，且S△ABC=2，求二次函数的解析式．25. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过(−1, 0)，(0, −3)，(2, 3)三点．（1）求这条抛物线的表达式．（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．26. 有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点．甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3；请写出满足上述全部特点的二次函数解析式．参考答案一、选择题（本题共计9 小题，每题 3 分，共计27分）1.【答案】A【解答】解：根据题意得：抛物线解析式为y=12(x+2)2+1，故选A2.【答案】B【解答】解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，抛物线过(−1, 0)，(0, −3)，(3, 0)，所以{a−b+c=0c=−39a+3b+c=0，解得a=1，b=−2，c=−3，这个二次函数的表达式为y=x2−2x−3．故选B．3.【答案】D【解答】解：∵ 一个二次函数的图象开口向下，开口的大小与函数y=13x2的图象相同，故设该二次函数的解析为y=−13(x−ℎ)2+k，∵ 该函数的顶点坐标为：(ℎ, k)，又∵ 该二次函数的顶点为(6, 0)，∵ ℎ=6，k=0，∵ 该二次函数的解析为y=−13(x−6)2．故选D．4.【答案】D【解答】解：根据题意，设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，抛物线过(−1, 0)，(0, 2)，(2, 0)，所以{a−b+c=0c=24a+2b+c=0，解得a=−1，b=1，c=2，这个二次函数的表达式为y=−x2+x+2．故选D．5.【答案】C【解答】解：观察可知，函数图象关于y轴对称，顶点坐标是(0, −1)，∵ 设函数解析式为y=ax2−1，当x=1时，a−1=−0.5，解得a=12，y=12x2−1，所以是二次函数．故选C．6.【答案】D【解答】解：A、由图象可知开口向下，故a<0，此选项错误；B、抛物线过点(−1, 0)，(2, 0)，根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是12，而y=−12x2−12x+2的顶点横坐标是−−122×(−12)=−12，故此选项错误；C、y=−12x2−12x+1的顶点横坐标是−12，故此选项错误；D、y=−x2+x+2的顶点横坐标是12，并且抛物线过点(−1, 0)，(2, 0)，故此选项正确．故选D．7.【答案】A【解答】解：设二次函数的关系式是y=ax2+bx+c(a≠0)，∵ 当x=0时，y=−5；当x=−1时，y=−4；当x=−2时，y=5，∵ c=−5①，a−b+c=−4②，4a−2b+c=5③，解由①②③组成的方程组得，a=4，b=3，c=−5，所以二次函数的关系式为：y=4x2+3x−5．故选A．8.【答案】D【解答】解：抛物线y=2x2−4x−1的顶点坐标为(1, −3)，根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是(1, −3)，且抛物线开口向下．A，抛物线开口向下，顶点坐标是(1, 5)，故选项A错误；B，抛物线开口向下，顶点坐标是(−1, a−3)，故选项B错误；C，抛物线开口向下，顶点坐标是(−1, −3)，故选项C错误；D，抛物线开口向下，顶点坐标是(1, −3)，故选项D正确．故选D.9.【答案】C【解答】解：{a+b+c=0①，a−b+c=0②，①−②得，2b=0，所以b=0.①+②得，2a+2c=0，所以a+c=0，即a=−c(c≠0).把b=0代入关于x的方程ax2+bx+c=0得，ax2+c=0，所以x2=−ca=1,即x 1=1 , x 2=−1. 故选C .二、 填空题 （本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ） 10. 【答案】 −1或3 【解答】解：根据题意设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +k ，二次函数的图象过A(1, 0)，B(k, 0)， 则{a +b +k =0ak 2+bk +k =0， 解得a =1，b =−k −1；二次函数的解析式为y =x 2−(k +1)x +k ， 当k >1时，函数的图象如图1，对称轴DE 为x =k+12，顶点坐标为(k+12, −(k−1)24)，若△ABD 是直角三角形，AD =DB ， 则AE =DE ，k+12−1=(k−1)24，解得k =3，当k <0，函数的图象如图2， 同理求出k =−1；所以D 是抛物线的顶点，且△ABD 是直角三角形，则k =−1或3；故答案为−1或3．11.【答案】y=x2−2x或y=x2+2x【解答】解：把(0, 0)代入y=x2−2mx+m2−1得m2−1=0，解得m=1或m=−1，当m=1时，二次函数的解析式为y=x2−2x；当m=−1时，二次函数的解析式为y=x2+ 2x，即二次函数的解析式为y=x2−2x或y=x2+2x．故答案为y=x2−2x或y=x2+2x．12.【答案】y=−29x2+49x+169或y=29x2−49x−169【解答】解：∵ 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−2, 0)，B(4, 0)两点，∵ 抛物线的对称轴为直线x=1，∵ 顶点C到x轴的距离为2，∵ C点坐标为(1, 2)或(1, −2)，设抛物线解析式为y=a(x+2)(x−4)，把C(1, 2)代入得a×3×(−3)=2，解得a=−29，所以此时抛物线解析式为y=−29(x+2)(x−4)=−29x2+49x+169；把C(1, −2)代入得a×3×(−3)=−2，解得a=29，所以此时抛物线解析式为y=29(x+2)(x−4)=29x2−49x−169，∵ 抛物线解析式为y=−29x2+49x+169或y=29x2−49x−169．故答案为y=−29x2+49x+169或y=29x2−49x−169．13.【答案】y=−x2+4x−3【解答】解：设抛物线的解析式为y=a(x−2)2+1，将B(1, 0)代入y=a(x−2)2+1，得a=−1，函数解析式为y=−(x−2)2+1，展开得y=−x2+4x−3．故答案为：y=−x2+4x−3．14.【答案】y=−x2+2x+3【解答】解：由题知：点B(2,m)在直线y=x+1上，故m=2+1=3.∵ 点B(2，3)和点A(−1,0)在抛物线上，∵ a−2+c=0，4a+4+c=3，由上述解得：a=−1，c=3，故解析式为：y=−x2+2x+3.故答案为：y =−x 2+2x +3. 15. 【答案】2【解答】 解：如图所示，∵ 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过点(−1, 0)，(3, 0)和(0, 2)，∵ {a −b +c =0，9a +3b +c =0，c =2，解得：{a =−23，b =43，c =2.则这个二次函数的表达式为y =−23x 2+43x +2．把x =2代入得，y =−23×4+43×2+2=2．故答案为：2. 16. 【答案】y =−x 2−2x +3【解答】 解：根据题意，得 {9a −3b +c =0c =34a +2b +c =−5，解得，{a =−1b =−2c =3，∵ 二次函数解析式为y =−x 2−2x +3． 故答案是：y =−x 2−2x +3． 17. 【答案】y =2x 2+4x 或y =−23x 2+43x【解答】解：根据题意得，与x 轴的另一个交点为(2, 0)或(−2, 0)，因此要分两种情况： (1)过点(−2, 0)，设y =ax(x +2)，则−2=−a ，解得：a =2， ∵ 抛物线的解析式为：y =2x 2+4x ；(2)过点(2, 0)，设y =ax(x −2)，则−2=3a ，解得：a =−23， ∵ 抛物线的解析式为：y =−23x 2+43x ． 故答案为y =2x 2+4x 或y =−23x 2+43x ．18. 【答案】(3−√52, 3−√52) 【解答】A 的坐标是(1, 0)、C 坐标是(0, 1)，设出解析式是y ＝a(x −1)2，把C 的坐标代入得：a(−1)2＝1， 解得：a ＝1，则抛物线的解析式是：y ＝(x −1)2； ∵ B 的坐标是(1, 1)，设OB 解析式的解析式是y ＝kx ，则k ＝1，则OB 的解析式是y ＝x ． 根据题意得：{y =(x −1)2y =x，解得：{x =3+√52y =3+√52 （舍去），或{x =3−√52y =3−√52 ．则D 的坐标是：(3−√52, 3−√52)．三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 10 分 ，共计80分 ） 19. 【答案】解：设抛物线的解析式为y =a(x +1)(x −3)， 把C(0, −3)代入得a ×1×(−3)=−3， 解得a =1，所以这个二次函数的解析式为y =(x +1)(x −3)=x 2−2x −3． 【解答】解：设抛物线的解析式为y =a(x +1)(x −3)， 把C(0, −3)代入得a ×1×(−3)=−3， 解得a =1，所以这个二次函数的解析式为y =(x +1)(x −3)=x 2−2x −3． 20. 【答案】解：（1）设抛物线解析式为y =ax 2+bx +c ， 根据题意得{c =2a +b +c =19a +3b +c =5，解得{a =1b =−2c =2，所以抛物线解析式为y =x 2−2x +2； （2）设抛物线解析式为y =ax 2+c ，根据题意得{a +c =−24a +c =0，解得{a =23b =−83， 所以抛物线解析式为y =23x 2−83． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y =ax 2+bx +c ， 根据题意得{c =2a +b +c =19a +3b +c =5，解得{a =1b =−2c =2，所以抛物线解析式为y =x 2−2x +2； （2）设抛物线解析式为y =ax 2+c ， 根据题意得{a +c =−24a +c =0，解得{a =23b =−83， 所以抛物线解析式为y =23x 2−83．21. 【答案】 解：根据题意， 得{4a −4+c =−5，a +2+c =4，解得{a =−1，c =3，即这个二次函数的解析式为y =−x 2+2x +3. 【解答】 解：根据题意， 得{4a −4+c =−5，a +2+c =4，解得{a =−1，c =3，即这个二次函数的解析式为y =−x 2+2x +3. 22. 【答案】解：设二次函数的解析式为y =a(x −1)2−3. ∵ 点(2,0)在二次函数图像上， ∵ a(2−1)2−3=0，解得：a =3，∵ 这个二次函数的解析式为y =3(x −1)2−3， 即y =3x 2−6x . 【解答】解：设二次函数的解析式为y =a(x −1)2−3. ∵ 点(2,0)在二次函数图像上， ∵ a(2−1)2−3=0，解得：a =3，∵ 这个二次函数的解析式为y =3(x −1)2−3， 即y =3x 2−6x . 23. 【答案】解：设二次函数解析式为y =ax 2+bx +c(a ≠0)， ∵ 二次函数的图象经过(1, −1)、(0, −1)，(−1, 13)三点， ∵ {a +b +c =−1c =−1a −b +c =13， 解得：{a =7b =−7c =−1．则该二次函数的解析式是：y =7x 2−7x −1． 【解答】解：设二次函数解析式为y =ax 2+bx +c(a ≠0)， ∵ 二次函数的图象经过(1, −1)、(0, −1)，(−1, 13)三点， ∵ {a +b +c =−1c =−1a −b +c =13， 解得：{a =7b =−7c =−1．则该二次函数的解析式是：y =7x 2−7x −1． 24. 【答案】解：对称轴为直线x =−−4a 2a=2，∵ 函数图象与经过点A(1, 0)，B(x 2, 0)， ∵ B(3, 0)，AB =3−1=2， 令x =0，则y =b ， ∵ S △ABC =12×2⋅b =2，∵ b =2，把A(1, 0)代入二次函数解析式得，a −4a +2=0， 解得a =23，∵ 二次函数的解析式为：y =23x 2−83x +2． 【解答】解：对称轴为直线x =−−4a 2a=2，∵ 函数图象与经过点A(1, 0)，B(x 2, 0)， ∵ B(3, 0)，AB =3−1=2， 令x =0，则y =b ， ∵ S △ABC =12×2⋅b =2， ∵ b =2，把A(1, 0)代入二次函数解析式得，a −4a +2=0， 解得a =23，∵ 二次函数的解析式为：y =23x 2−83x +2．25. 【答案】解：（1）由题意得{a −b +c =0c =−34a +2b +c =3， 解得{a =2b =−1c =−3．所以这个抛物线的表达式为y =2x 2−x −3． （2）y =2x 2−x −3=2(x −14)−258，所以抛物线的开口向上，对称轴为x =14，顶点坐标为(14, −258) 【解答】解：（1）由题意得{a −b +c =0c =−34a +2b +c =3， 解得{a =2b =−1c =−3．所以这个抛物线的表达式为y =2x 2−x −3． （2）y =2x 2−x −3=2(x −14)−258，所以抛物线的开口向上，对称轴为x =14，顶点坐标为(14, −258) 26. 【答案】y=15x2−85x+3（答案不唯一）．【解答】解：此题答案不唯一设所求解析式为y=a(x−x1)(x−x2)，（其中x1<x2），则其图象与x轴两交点分别是A(x1, 0)，B(x2, 0)，与y轴交点坐标是(0, ax1x2)．因为交点式a(x−x1)(x−x2)，又因为与y轴交点的横坐标为0，所以a(0+x1)(0+x2)，也就是ax1x2，∵ 抛物线对称轴是直线x=4，∵ x2−4=4−x1，即：x1+x2=8①∵ S△ABC=3，∵ (x2−x1)⋅|ax1x2|=6，即：x2−x1=6|ax1x2|②①②两式相加减，可得：x2=4+3|ax1x2|，x1=4−3|ax1x2|，∵ x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∵ ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3．当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=±17当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=±15因此，所求解析式为：y=±17(x−7)(x−1)或y=±15(x−5)(x−3)即：y1=17x2−87x+1，y2=−17x2+87x−1．y3=15x2−85x+3，y4=−15x2+85x−3．。

A.4B.8C.-4D.165.3用待定系数法确定二次函数表达式同步测试题〔总分值120分；时间：120分钟〕一、选择题〔此题共计10小题,每题3分,共计30分,〕 1 .抛物线y=a/ + b% + c 经过点〔3,0〕和〔2,-3〕,且以直线％ = 1为对称轴,那么它的解析 式为〔〕A.y=-x 2 -2x -3B.y=x 2 - 2% - 3C.y=x 2 - 2% + 3D.y = -x 2 + 2x - 3 2 . 一个二次函数的图象的顶点坐标为(3,-1),与y 轴的交点(0,-4),这个二次函数的解 析式是()A.y =- 2% + 4B.y = -^x 2-2x-4C.y = --(X + 3)2-1D.y = -X 2 + 6X - 123 3.二次函数的图象经过(0,3), (-2, -5), (1,4)三点,那么它的解析式为()A.y=x 2 + 6x + 3B.y = -3%2 - 2% + 3C.y=2x 2 + 8x + 3D.y =-%2+ 2% + 3 4 .二次函数的图象经过(1, 0)、(2,0)和(0,2)三点,那么该函数的解析式是()A.y = 2x 2 + x+ 2B.y = x 2 + 3x + 2C.y = %2 - 2% + 3D.y = x 2- 3x + 2 5 .如果一条抛物线的形状与y = —// +2的形状相同,且顶点坐标是〔4, 一2〕,那么它 的函数解析式为〔〕B.y =久工 - 4产 - 2或y = 一 久% — 4)2 — 2D.y =式3 _ 4y _ 2 或y = -^(x + 4)2-2 6.抛物线y = "2-8% +c 的顶点在%轴上,那么c 等于〔〕A.y = ^(%-4)2-2 C.y = — 1 (% — 4) 2 — 27 .抛物线与x 轴交于点(-3,0)和(1,0),且与y 交于点(0,3),那么该抛物线的解析式为 ()A.y = x 2-2x+ 3B.y = x 2 + 2x + 3C.y = -%2 + 2x + 3D.y = -%2 - 2% + 3 8 .某种正方形合金板材的本钱y (元)与它的面积成正比,设边长为x 厘米.当x = 3 时,y= 18,那么当本钱为72元时,边长为()A.6厘米B.12厘米C.24厘米D.36厘米9 .假设所求的二次函数图象与抛物线y = 2/一 4%-1有相同的顶点,并且在对称轴的左 侧,y 随〞的增大而增大,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小,那么所求二次函数的解析 式为( )B.y = —ax 2 — 2ax — 3 (a > 0)D.y = ax 2 — 2ax + a — 3(a < 0)11 .如果一条抛物线的形状与/ = 一=/ + 15“ + 2的形状相同,且顶点坐标是(4, 2),那么 3 它的解析式为12 .抛物线的顶点在(1,一4),且经过点(0,3),这个函数解析式为.13 .假设y 与公一1成正比例,且当％ = 2时,y=6,那么y 与％的函数关系式是15.二次函数/ = 2/ +&：+.的图象经过点(2,3),且顶点在直线y = 3X-2上,那么二 次函数的关系式为：.16 .如果一条抛物线经过平移后与抛物线¥ = +2重合,且顶点坐标为(4, -2),那么A.y = -%2 + 2% + 4 C.y = -2x 2 -4%-510. 如图,抛物线的函数表达式是( A.y = %2 - % + 2 B.y = %2 + % + 2 C .y = r2 — 4 + 2 D.y = -%2 + x + 2 二、填空题(此题共计10小题 ,每题3分,共计30分,)它的解析式为.17. 一个过原点的抛物线关于y轴对称,且过点(-2, 2),那么抛物线的解析式为18.点(2, 5), (4, 5)是抛物线?=./ +、〞 +.上的两点,那么这条抛物线的对称釉是19.某一抛物线开口向下,且与工轴无交点,那么具有这样性质的抛物线的表达式可能为 (只写一个),此类函数都有值(填〃最大〞“最小〃).20.有一个二次函数的图象,甲、乙、丙三位同学分别说出了它的特点：甲：对称轴是直线％ = 2；乙：与“轴两个交点的横坐标都是整数：丙：与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式.三、解做题(此题共计9小题,共计60分,)21.(1)抛物线的顶点为(1,—1),且过点(2,1),求这个函数的表达式：(2)一个二次函数的图象经过点(1, 一1), (0, 1), (-1, 13),求这个二次函数的解析式.22.抛物线的顶点(-1, -2)且图象经过(1, 10),求此抛物线解析式.23.二次函数¥ = / + 6“ +.的图象经过点4(0,1)、8(2,-1)两点,试求b、c的值.24.二次函数,当％=2时,y有最大值是1,且过(3,0)点,求此二次函数的解析式.25.假设抛物线^ = a/ + bX + c经过(4, 3), (1,0), (-1, 8)三点,求抛物线的解析式.26.抛物线y = -- + bx+c,它与％轴的两个交点分别为(一1, 0), (3,0),求此抛物线的解析式.27.抛物线y = a/ + bx + c经过(0,-6), (8,-6)两点,其顶点的纵坐标是2,求这个抛物线的解析式.28.二次函数的顶点坐标为(1,4),且其图象经过点(-2,-5),求此二次函数的解析式.29.二次函数图象经过点4(一3, 0)、8(1,0)、C(0, -3),求此二次函数的解析式.参考答案一、选择题(此题共计10小题,每题3分,共计30分) 1.【答案】B【解答】把(3, 0)与(2, -3)代入抛物线解析式得：dzX；二03,由直线4 = 1为对称轴,得到—2= 1, U|Jb=-2a,2a代入方程组得： 6]+ c = 0解得：a = l, b =—2, c=-3»那么抛物线解析式为y =/ 一2x - 3,2.【答案】B【解答】解：设抛物线解析式为y = a(x — 3)2 — l,把(0, -4)代入得a • (-3> - 1 = 一4,解得a = _£所以抛物线解析式为y = 一— 3>— 1 = 一+ 2% — 4. 应选8.3.【答案】D【解答】设二次函数的解析式为：y=ax2 + bx + c,( c = 3把(0,3), (-2, -5), (1, 4)代入得-5 = 4a-2b+c(4=a+b+c(a = -1解得| b = 2 ,(c = 3所以二次函数的解析式为：y=—— + 2x+3,4.【答案】D【解答】解：设这个二次函数的解析式是y =./ +及+以把(1,0)、(2,0)和(0,2)代入得：a +b +c = 0 ( a = 14Q + 2b + c = 0,解之得= -3；c = 2 \ c = 2所以该函数的解析式是y = X2-3X +2.故此题选..5.【答案】B【解答】解：设所求抛物线的解析式为/= a/ + bx + c,由形状与、=一：/ + 2的形状相同,那么|«| = P又抛物线过顶点坐标(4, -2),那么由此可判断出B选项的函数解析式符合题意.应选反6.【答案】D【解答】解：根据题意,得三半=0,解得c = 16.应选D.7.【答案】D【解答】解：设抛物线的解析式为y = aG+3)(x — l),把(0, 3)代入得a X 3 X (-1) = 3,解得a = -1.所以抛物线的解析式为y = ~(x + 3)(x -l) = -x z-2x + 3.应选D.8.【答案】A【解答】解：设y与％之间的函数关系式为y = 由题意,得18 = 9k解得：k = 2,团y = 2/,当y = 72时,72 = 2一,回x = 6.应选4.9.【答案】D【解答】解：抛物线y = 2/-4%一1的顶点坐标为(1,一3),根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是(1,-3), 且抛物线开口向下. A,抛物线开口向下,顶点坐标是(1,5),应选项71错误；8,抛物线开口向下,顶点坐标是(一1,.一3),应选项8错误：C,抛物线开口向下,顶点坐标是(-1, 一3),应选项C错误：D,抛物线开口向下,顶点坐标是(1,-3),应选项0正确.应选D.10.【答案】D【解答】解：根据题意,设二次函数的表达式为?= a/ + bx + c,抛物线过(一1,0),(0,2), (2, 0),a —b +c = 0所以c = 2 ,4a + 2b + c = 0解得a=-1,b = l, c = 2,这个二次函数的表达式为y =-X2+ X +2.应选D.二、填空题(此题共计10小题,每题3分,共计3.分)11.【答案】1(%-4)2+2y = ±【解答】解：设所求抛物线的解析式为y = a(x — h)2 + k,S 它的顶点坐标是(4, 2),回y = a(% - 4> + 2,又同它与y = —：/+15“+2的形状相同,回.=±£B 所求抛物线的解析式为y = ±?(x - 4)2 + 2.故答案为y = ±- 4)2 + 2.12.【答案】y = 7(x-l)2-4【解答】解：设抛物线解析式为y = a(x -l)2-4,把(0,3)代入得a-(0-1)2-4 = 3,解得a = 7, 所以抛物线解析式为y = 7(x -l)2-4. 故答案为y = 7(% — l)2 - 4.13.【答案】y=2x2-2【解答】设y=A(/ - 1),把x = 2, y = 6代入得k X (2? - 1) = 6,解得〃=2,所以y=2(/ - 1), 即y=2/ — 2.14.【答案】y = 3(x + l)2-2【解答】解：由题意,可设抛物线的解析式为^ =.("+1-—2.S 该抛物线的解析式通过点(1, 10),S 10 = a(l + l)2-2,解得,a = 3：故该抛物线的解析式是：y = 3(%+ 1)2-2.15.【答案】y = 2x2— 4% + 3 或y = 2x2— 6% + 7 【解答】解：回二次函数y = 2/ + b x + c的顶点为(一^4 7),又回二次函数y = 2x2+ bx + c的顶点在直线y = 3x - 2上,并且图象经过点(2, 3), 将(-：瓦生^-)代入直线y = 3x - 2和把(2, 3)代入y = 2x2 + bx + c,4H (b2— 6b — 8c = 16j I 8 + 2b + c = 3 '解得忆力仁机国二次函数的解析式为y = 2x2 -4x + 3或y = 2x2-6x + 7.故答案为y = 2x2 -4x + 3或y = 2x2 -6%+ 7.16.【答案】y =一式4 — 4产一2【解答】解：根据题意,可设所求的抛物线的解析式为^ =.(“一人尸+人同此抛物线经过平移后与抛物线y = -1x2 + 2重合,E a =--； 3@ 此抛物线的顶点坐标为(4, -2),团其解析式为：y =— 4)2 — 2.17.【答案】1 2y =尹【解答】解：设抛物线的表达式为y = ax2,抛物线过点(一2, 2),那么4a = 2, a =-, 2故抛物线的解析式为18.【答案】【解答】解：由于两点的纵坐标相同,都是5,所以对称轴方程是％ = (24-4)4-2 = 3.19.【答案】y = -x2+x- 1,最大【解答】解：设二次函数的解析式是：y = -x2+x + c那么4= 1 + 4c当.=-1 是△<()那么函数解析式是：y = -x2+x-l这个函数开口向下,有最大值故函数解析式不唯一.如：y = —/+x —1,此类函数都有最大值.20.【答案】y = 土去(X + 1)(% — 5)答案不唯一【解答】解：对称轴是直线％ = 2,那么一次项系数与二次项系数的比是-4,因而可设函数解析式是y = ax2 - 4ax + ac,与y轴交点的纵坐标也是整数,因而ac是整数,y = ax2 - 4ax + ac = a(x2 - 4% + c),与％轴两个交点的横坐标都是整数, 即方程/—4x + c=0有两个整数解,设是一1和+5,那么c = —5,那么y = ax2— 4ax + ac = a (x2— 4x — 5),S 以这三个交点为顶点的三角形的面积为3,0 a = + -.- 5那么函数是：y = ±：(x + 1)(% - 5).(答案不唯一).三、解做题(此题共计9小题,每题1.分,共计9.分)21.【答案】解：(1)设抛物线解析式为y = a(x—l)2 — l,把(2, 1)代入得a-1 = 1,解得a = 2,所以抛物线解析式为y = 2(x - 1)2 - 1 = 2/ - 4x + 1；(2)设抛物线解析式为y =ax2+bx+c,(a + b + c = -1根据题意得C=1 ,(a — b + c = 13(a = 5解得= —7.所以抛物线解析式为y =5X2-7X +1.【解答】解：(1)设抛物线解析式为y = a(x—l)2 — l,把(2, 1)代入得a-1 = 1,解得a = 2, 所以抛物线解析式为y = 2(x- 1)2-1 =2X2-4X +1；(2)设抛物线解析式为、=./ +及+ 5(a + b + c = —1根据题意得c=l ,(a — b + c = 13(a = 5解得［b = -7.所以抛物线解析式为y = 5/ - 7x + 1.22.【答案】解：抛物线的顶点为(一1,—2),设抛物线解析式为y = a(x+1/一2, 把(1,10)代入得：4a - 2 = 10,解得：a = 3,S 抛物线解析式为y = 3(% + 1)2-2.【解答】解：抛物线的顶点为(—1,—2),设抛物线解析式为y = a(x+1产―2, 把(1,10)代入得：4a-2 = 10,解得：a = 3,同抛物线解析式为y = 3(% + 1)2 — 2.23.【答案】解：回二次函数的图象经过4 B两点, 囹把力(0, 1)» 8(2, —1)代入y = x2 + bx + c,得1 + 2；+ ； = -1>解得【解答】解：回二次函数的图象经过力,B两点,B 心(0, 1), 8(2, — 1)代入y = x2 + bx + c.得｛4 + 2b + c = -l,解得仁不24.【答案】解：设二次函数解析式为y = a(x—2)2 + 1,把点(3, 0)代入得,CZ(3-2)2+1=0,解得a = -l,所以二次函数解析式为y = -(x-2)2 + 1.【解答】解：设二次函数解析式为y = a(x—2>+ 1,把点(3, 0)代入得,a(3-2)2 + l = 0, 解得.=一1,所以二次函数解析式为y = -(% - 2)2 + 1.25.【答案】解：将(4, 3), (1, 0), (―1, 8)三点代入抛物线尸=a%2 +从+ c,16a + 4b + c = 3 得：a + b + c = 0 ,a —b +c = 8解得：a = l, b = —4, c = 3, 那么抛物线解析式为y = X2-4X+3.【解答】解：将(4, 3), (1, 0), (一1,8)三点代入抛物线y = aX2 + b% + c, 16a + 4b + c = 3得：a + b + c = 0 » a — b + c = 8解得：a = 1, b = —4, c = 3, 那么抛物线解析式为y = x z-4x+3.26.【答案】解：根据题意得,｛[1比:；,解得B 抛物线的解析式为y = -/ + 2x + 3；或：由得,一1、3为方程―/ +取+.= 0的两个解,团-1 + 3 = b, (― 1) X 3 = c,解得b = 2, c = 3»目抛物线的解析式为y =-X2+2X +3.【解答】解:根据题意得,｛二；3比］2解得d,国抛物线的解析式为y =-X2+2X +3：或：由得,一1、3为方程一/ +取+.= 0的两个解,回一l + 3 = b, (—1) X 3 = c>解得b = 2, c = 3,S 抛物线的解析式为y =-X2+2X +3.27.【答案】经过(0,—6),(8,-6)两点,解：回抛物线、=./ +及+(:B 直线％ = - j =尊=4,又其顶点的纵坐标是2, 2a 2回二次函数的顶点坐标为(4, 2),那么这个抛物线的解析式为y = a(x - 4)2 + 2,将(0, —6)代入y = a(x - 4)2 + 2得：—6 = a(0 — 4)2 + 2,解得.=一?那么这个抛物线的解析式为y = -i(x-4)2 + 2 = -i%2 +4%-6.【解答】解：回抛物线^=./ +及+ <7经过(0,—6), (8,—6)两点,国直线％ = —2 =早=4,又其顶点的纵坐标是2,回二次函数的顶点坐标为(4, 2),那么这个抛物线的解析式为y = a(x — 4)2 + 2,将(0, -6)代入y = a(x - 4)2 + 2得：-6 = a(0 -4)2 + 2,解得a = _/那么这个抛物线的解析式为y =-|(X-4)2+2=-1%2+4%-6.28.【答案】设抛物线解析式为y=.(〞—1)2+4,把(-2, -5)代入得.(一2- 1)2 +4 = -5,解得.=一1, 所以抛物线解析式为y=-(〞 - I)2 + 4. 【解答】设抛物线解析式为y=a(x —1)2+4,把(-2, -5)代入得a(-2 - I)2 + 4 = -5,解得.=一1, 所以抛物线解析式为y=-(4 - I)2 + 4.29.【答案】设抛物线解析式为y=a(x + 3)(x - 1), 把C(0, —3)代入得a • 3 • (― 1) = -3.解得a = l, 所以抛物线解析式为y=(x + 3)(x - 1),即y="2 + 2X-3.【解答】设抛物线解析式为y=a(x + 3)(% - 1),把C(0, -3)代入得a・3 ♦(-1) = -3,解得a=l, 所以抛物线解析式为y=(x + 3)(x - 1),即y=X2 + 2x - 3.。

5.3用待定系数法确定二次函数表达式知识点1用一般式求二次函数的表达式1.已知点A(-1,0)在抛物线y=ax2+2上,则此抛物线的函数表达式为()A.y=x2+2B.y=x2-2C.y=-x2+2D.y=-2x2+22.如图5-3-1所示的抛物线是二次函数y=ax2+5x+4-a2的图像,那么a的值是()图5-3-1A.2B.-2C.-D.±23.已知二次函数的图像如图5-3-2所示,则这个二次函数的表达式为()图5-3-2A.y=x2-2x+3B.y=x2-2x-3C.y=x2+2x-3D.y=x2+2x+34.[2019·苏州工业园区一模]若二次函数y=ax2+bx-3的图像经过点(-1,0),(3,0),则其函数表达式为.5.经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线的函数表达式是.6.[教材例3变式]已知二次函数的图像经过点(0,3),(-3,0),(2,-5).(1)试确定此二次函数的表达式;(2)请你判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图像上.7.[2018·嘉定区一模]已知二次函数y=ax2+bx+c的图像上部分点的坐标(x,y)满足下表:(1)求这个二次函数的表达式;(2)用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴.知识点2用顶点式求二次函数的表达式8.已知一个二次函数的图像的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,-4),则这个二次函数的表达式为()A.y=-2(x+2)2+4B.y=-2(x-2)2+4C.y=2(x+2)2-4D.y=2(x-2)2-49.二次函数的部分图像如图5-3-3所示,对称轴是直线x=-1,则这个二次函数的表达式为()图5-3-3A.y=-x2+2x+3B.y=x2+2x+3C.y=-x2+2x-3D.y=-x2-2x+310.[2019·泰州节选]如图5-3-4,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图像的顶点坐标为(4,-3),该图像与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1.求该二次函数的表达式.图5-3-411.如图5-3-5,二次函数y=x2+bx+c的图像过点B(0,-2),它与反比例函数y=-的图像交于点A(m,4),则这个二次函数的表达式为()图5-3-5A.y=x2-x-2B.y=x2-x+2C.y=x2+x-2D.y=x2+x+212.把抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度后,得到的新抛物线的顶点坐标为A(1,-4),且经过点(2,-3),则原抛物线的函数表达式为.13.若二次函数的图像过点(-3,0),(1,0),且顶点的纵坐标为4,则此函数的表达式为.14.已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:(1)根据上表填空:①这个抛物线的对称轴是,抛物线一定会经过点(-2,);②抛物线在对称轴右侧的部分是的(填“上升”或“下降”).(2)如果将抛物线y=ax2+bx+c向上平移使它经过点(0,5),求平移后的抛物线的函数表达式.15.如图5-3-6,已知二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),C(0,-3)及点B.(1)求此二次函数的表达式.(2)在抛物线上是否存在一点P,使△ABP的面积为10,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图5-3-616.已知二次函数y=-x2+bx+c的图像过点A(-1,0)和C(0,2).(1)求二次函数的表达式及其图像的对称轴;(2)将二次函数y=-x2+bx+c的图像在直线y=1上方的部分沿直线y=1翻折,图像其余的部分保持不变,得到的新函数图像记为G,点M(m,y1)在图像G上,且y1≥0,求m的取值范围.图5-3-7教师详解详析1.D[解析] 将点A(-1,0)代入表达式y=ax2+2,得a+2=0,解得a=-2,故函数表达式为y=-2x2+2.2.B[解析] 根据图示知,二次函数y=ax2+5x+4-a2的图像经过原点(0,0),∴0=4-a2,解得a=±2.又∵该函数图像的开口向下,∴a<0,∴a=-2.故选B.3.B[解析] 设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.∵抛物线过(-1,0),(3,0),(0,-3),∴--解得--∴这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3.故选B.4.y=x2-2x-3[解析] 把(-1,0),(3,0)代入y=ax2+bx-3,得---解得-∴二次函数的表达式为y=x2-2x-3.5.y=-x2+x+36.解:(1)设此二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.将(0,3),(-3,0),(2,-5)代入y=ax2+bx+c,得--解得--∴此二次函数的表达式是y=-x2-2x+3.(2)当x=-2时,y=-(-2)2-2×(-2)+3=3,∴点P(-2,3)在此二次函数的图像上.7.解:(1)由题意,得---解这个方程组,得-所以这个二次函数的表达式是y=x2+3x-2.(2)y=x2+3x-2=x+2-,所以这个二次函数图像的顶点坐标为-,-,对称轴是直线x=-.8.B[解析] 设二次函数的表达式为y=a(x-2)2+4,则-4=(-2)2a+4,解得a=-2.故这个二次函数的表达式为y=-2(x-2)2+4.9.D[解析] 由题知抛物线的对称轴为直线x=-1,过点(-3,0),(0,3).设抛物线的函数表达式为y=a(x+1)2+k.将(-3,0),(0,3)代入,得解得-则抛物线的函数表达式为y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3.故选D.10.解:由题意可设二次函数的表达式为y=a(x-4)2-3.把A(1,0)代入,得0=a(1-4)2-3,解得a=.故该二次函数的表达式为y=(x-4)2-3.11.A[解析] 将A(m,4)代入反比例函数表达式,得4m=-8,∴m=-2,∴A(-2,4).将A(-2,4),B(0,-2)分别代入二次函数表达式,得4-2b+c=4,c=-2,解得b=-1,c=-2,故这个二次函数的表达式为y=x2-x-2.12.y=(x-3)2-1[解析] 设新抛物线的函数表达式为y=a(x-1)2-4.∵该抛物线经过点(2,-3),∴-3=(2-1)2a-4,∴a=1,∴新抛物线的函数表达式为y=(x-1)2-4,∴原抛物线的函数表达式为y=(x-3)2-1.13.y=-x2-2x+3[解析] ∵二次函数的图像过点(-3,0),(1,0),且顶点的纵坐标为4, ∴顶点的横坐标为-1,即顶点坐标为(-1,4).设抛物线的函数表达式为y=a(x+1)2+4.将x=1,y=0代入,得a=-1,则抛物线的函数表达式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.14.解:(1)①∵当x=0和x=2时,y的值均为2,∴抛物线的对称轴为直线x=1,∴当x=-2和x=4时,y的值相同,∴抛物线会经过点(-2,10).故答案为直线x=1,10.②∵抛物线的对称轴为直线x=1,且当x取2,3,4时,y的值逐渐增大,∴抛物线在对称轴右侧的部分是上升的.故答案为上升.(2)将点(-1,5),(0,2),(2,2)代入y=ax2+bx+c中,得-解得-∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x+2.∵点(0,5)在点(0,2)上方3个单位长度处,∴平移后的抛物线的函数表达式为y=x2-2x+5.15.解:(1)∵二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),C(0,-3),∴-解得-∴二次函数的表达式为y=x2+2x-3.(2)存在.当y=0时,x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1,∴A(1,0),B(-3,0),∴AB=4.设P(m,n),∵△ABP的面积为10,∴AB·|n|=10,解得n=±5.当n=5时,m2+2m-3=5,解得m=-4或m=2,∴点P的坐标为(-4,5)或(2,5);当n=-5时,m2+2m-3=-5,方程无解.综上,点P的坐标为(-4,5)或(2,5).16.解:(1)把A(-1,0)和C(0,2)分别代入二次函数的表达式,得--解得则二次函数的表达式为y=-x2+x+2.∵y=-x2+x+2=-x-2+,∴其图像的对称轴为直线x=.(2)顶点P,翻折后成为N,-,∴翻折部分的表达式为y=x-2-.把y=0代入y=-x2+x+2,得-x2+x+2=0,解得x=2或x=-1.把y=0代入y=x-2-,得x-2-=0,解得x=1或x=0,根据图像G可知,当y1≥0时,m的取值范围为-1≤m≤0或1≤m≤2.。