第2章-传递过程基本方程

控制体的取法 代表性：在整个流场连续可积 对称性：
控制体
正交性： 大小形状：宏观、微观 坐标系 直角坐标系、柱坐标系、球坐标系
不同坐标系下的微元控制体
常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系
直角坐标系（Cartesian coordinates）：x，y，z 柱坐标系（Cylindrical coordinates）：r，，z 球坐标系（ Spherical coordinates）：r，，
量的散度，其物理意义可以理解为空间某点处单位体积内 流体质量的流散速率。
连续性方程
t
ux
x
uy
y
uz
z
ux x
uy y
uz z
D u
Dt
流体密度的随 体导数
体积通量(或速度矢量) u 的散度，物理意义为空间某点 处单位体积流体的体积形变 （扩张或收缩）速率
连续性方程是传递过程最基本的方程之一，推导过程未加 假设，因此对各种流体在各种情况下都适用。
z
uz
(y,z) y
z
ux
y
uy x
o
x
(x,y)
柱坐标系下的微元控制体
= 0
z
z u
o
r
uz
r z
ur
球坐标系下的微元控制体
= 0
= 0
u r o
百度文库
ur
r
u
质量守恒与连续性方程
质量守恒定律 （Mass conservation） 若控制体内的流体包含 n 个组分，对任一组分 i 进行 质量衡算，都会有 ：
dm dt
流体的速度和密度是空间与时间的连续函数
ux, y, z,t x, y, z,t
z
(uz)z+z
(uy)y
(ux)x
y
z
y x
(ux)x+x
(ux)y+y
x
(uz)z
xyz
t
yz(ux )x
(ux )xx
xz (uy )y (uy )yy xy (uz )z (uz )zz
输入控制体 － 输出控制体 ＋ 控制体内生成 ＝ 控制体内质量
的质量速率 的质量速率
的质量速率
的累积速率
W i,in
W i,out
ri
dmi dt
i 1,2,...,n
n
控制体内生成的质量速率和消耗的质量速率相等 ri 0 1
n
1
Wi,in Wi,out
d dt
n
(
1
mi
)
Win
Wout
uzux z uzux zz xy
六个面元扩散输入控制体的x方向的动量分量
xx x xx xx yz yx y yx yy xz zx z zx zz xy
作用于控制体的所有外力在x方向的分量的总和为
p x p xx yz gxxyz
x 方向的动量分量在控制体内的累积速率为
uy
z
uz
V
dV
t
V
ux
x
u y
x
uz
x
dV
t
V
dV
V
ux
x
u y
x
uz
x
dV
V
ux
x
u y
x
uz
x
dV
A
undA
ρ2
u2
V
A2
ρ1
u1
A1
undA u cosdA 1u1cos1dA 2u2cos2dA A22u2 A11u1
A
A
A1
A2
t
dV
V
d dt
dV
dt
微元控制体流体动量守恒定律
输入控制体
输出控制体
作用在控制体
控制体内动量
－
＋
＝
的动量流率
的动量流率
上的合力
的累积速率
▪ 控制体受力
体积力 压力 表面力
z
9
7
8
3
z
6
1
2
5 4 y
x x
y
1-xx 2-xy 3-xz 4-yx 5-yy 6-yz 7-zx 8-zy 9-zz
9个粘性应力分量
表面力 9个分量
ux xyz
t
上四式代入动量衡算总式，以xyz通除并取其趋 于0极限，得流体在x方向运动微分方程
t
ux
x
uxux
y
u y u x
z
u
zux
xx x
yx y
zx z
p x
g
x
ux t
ux
t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ux
ux x
uy y
uz z
uxux
x
uy
y
uz
z
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ux
ux x
uy y
uz z
t
ux
x
uy
y
uz
z
Dux Dt
ux
u
D Dt
x方向
Dux Dt
xx
x
(uy)ux|y+y (uz)ux|z
x
y
动量通量
z
τxx|x
y
τz x|z + Δz τzx|z
τyx|y τxx|x+Δx
τyx|y+Δy
x
控制体以对流和扩散方式与周围流体交换动量 六个控制面 x 方向对流输入控制体的动量分量
uxux x uxux xx yz
uyux y uyux yy xz
t
lim
x , y , z
0
(
ux
)
x
x x
(
u
x
)
x
(u y ) yy (u y ) y
y
(uz )zz (uz )z
z
连续性方程
t
x
ux
y
uy
z
uz
u
代表空间任意点处由流体质量通量 u 的空间变化率引起
该点处流体密度随时间的变化率。
(u) 代表的流体质量通量的空间变化率又被称作质量通
不同坐标系中的连续方程
直角坐标系(x,y,z)
t
x
ux
y
uy
z
uz
0
柱坐标系(r, ,z)
t
1 r
r
r
ur
1 r
u
z
uz
0
球坐标系(r,, )
t
1 r2
r
r2ur
1
r sin
u sin
1
r sin
u
0
【例2-1】 变直径管道中流体流动的连续性方程
t
x
ux
y
第二章 传递过程基本方程
第二章 传递过程基本方程
▪ 衡算体系 ▪ 质量守恒与连续性方程 ▪ 动量守恒与流动微分方程 ▪ 能量守恒与传热微分方程 ▪ 质量守恒与传质微分方程
衡算体系
控制体与控制面 流动空间具有一定几何形状与大小的开放体系称为控 制体，围成控制体的空间曲面称为控制面 控制体通过控制面与环境进行质量、动量和能量交换
xx, xy, xz yx, yy, yz zx, zy, zz
其中xx、yy、zz为粘性正应力
其余为粘性剪应力
下标：前一个代表作用面的法线方向 后一个代表该应力本身的方向
粘性剪应力与动量扩散通量等价 粘性正应力也具有类似性质
z
(uz)ux|z+Z
(uy)ux|y
(ux)ux|x
(ux)ux|x+x
V
d mV
dt
dM dt
不稳定流动系统的连续性方程
A2 2u2
A11u1
dM dt
稳定流动系统的连续性方程
A2 2u2 A11u1
不可压缩流体的连续性方程 圆管流动的连续性方程
A2u2 A1u1
u2
u1
A1 A2
u1
d1 d2
2
动量守恒与流体运动微分方程
动量守恒定律
牛顿第二定律
d
mur
r F