垂径定理复习2

BADC弓弓弓 弓←→（2）垂直于弦的直径自学案

课型：新课 主备人：吴剑红 学生姓名： 家长签字：

【教学目标】

①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性

②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的计算与证明问题

③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段.

【教学重点】垂径定理及其应用

【教学难点】垂径定理的证明

【教学方法】探究发现法

【教学设计】

一、【情景创设】

1．实例：我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。

（图1）

2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，）为米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少

通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。

二、【自主探究】

活动一：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么由此你能得到什么结论

可以发现

活动二：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．

你能发现图中有那些相等的线段和弧为什么

线段 弧

理由：如图

圆的相关概念及垂径定理复习教案

【新课知识讲解及巩固】

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的 ；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是 ；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条

直线。

有关概念：

圆——到定点的距离等于定长的点的集合

圆的内部——可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

圆的外部——可以看作是圆心的距离大于半径的

等圆——圆心不相同，半径相等的圆；同心圆——圆心相同，半径不等的圆。

弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。按与半圆的大小关系可分为：优弧和劣弧

等弧——在同圆或等圆中， 的两条弧

弦——连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。

弦心距——圆心到直线的距离

弓形——弧与所对的弦所组成得图形。

圆的内部——到圆心的距离小于半径的点的集合叫做圆的内部

圆的外部——到圆心的距离大于半径的点的集合叫

圆心角：顶点在圆心的角

圆周角 ：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

1 第二讲 垂径定理专题练习

姓名：_________

一、垂径定理

例题1、如图，O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AC并延长交O于点E，连EC.若AB=8，CD=2,则EC的长为( )

【变式练习】1、如图，AB是O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P.若CD=8,OP=3,则O的半径为( )

【变式练习】2、如图，在O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4,OC=1,则OB的长是( )

例题2、如图，O的直径AB=12，CD是O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP:AP=1:5，则CD的长为( )

2 【变式练习】1、如图，RtABC内接于O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是弧AD的中点，CD与AB的交点为E，则DECE等于( )

【变式练习】2、如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8,∠BAC=BOD21,则O的半径为( )

【变式练习】3、在半径为13的O中，弦AB//CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为( )

例题3、已知O的直径CD=10cm，AB是O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为( )

【变式练习】1、如图所示，在O内有折线OABC，其中OA=8,AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为( )

3 练习

一、选择题

1、如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为162cm，则该半圆的半径为( )cm。

A.54 B.9 C.54 D.26

2、如图，半径为3的O内有一点A，OA=3,点P在O上，当∠OPA最大时，PA的长等于( )

A.3 B.6 C.3 D.32

月_ _日 星期_ _ 第 周

课 题 27.3（2） 垂径定理 课 型 新授 教 时 1

教 学

目 标 1.经历垂径定理推论的探究过程，体会分类讨论数学思想；

2.能初步运用垂径定理及其推论解决有关数学问题.

重 点 垂径定理及其推论的初步运用．

难 点 垂径定理推论的探究.

教具准备 多媒体课件

教 学 过 程

教师活动 学生活动

一、复习引入

已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，AB长5cm，AB长6cm，则AE＝＿＿＿cm，AD＝＿＿＿cm

设问：垂径定理的条件与结论分别是什么？

垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧.

条件是：①一条直径②垂直于弦.

结论是：这条直径③平分弦④平分弦所对的弧（优弧和劣弧）.

二、定理探究

问题1 如图1，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），CD与AB交于点E.

（1）如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？

（2）如果弧AD=弧BD，那么CD与AB垂直吗？

归纳得出结论：

（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧.

（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦.

符号语言：

（1）∵CD是⊙O的直径 ， AE＝BE.

∴CD⊥AB， AD＝BD， AC＝BC.

（2）∵CD是⊙O的直径， AD＝BD（或AC＝BC）.

∴CD⊥AB ，AE＝BE.

在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径.由线段垂直平分线定理的逆定理，可知圆心一定在弦的垂直平分线上.

完成填空

复习垂径定理的内容

思考问题，猜想结论并

口述证明过程

理解并熟记垂径定理的推论

口述定理的符号语言

于是得到：

O

E