二元一次方程组解法（一）--代入法（基础）知识讲解
【学习目标】
1.理解消元的思想；
2.会用代入法解二元一次方程组.
【要点梳理】
要点一、消元法
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二
元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出
另一个未知数.这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知数由多变少.
3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.
要点二、代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元
法，简称代入法．
要点诠释：
(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个
未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．
(2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形
比较简便；
③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比
较简便．
【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组
1．（2015•贵阳）用代入法解方程组：的解为．
【思路点拨】直接将下面的式子代入上面的式子，化简整理即可.
【答案与解析】解：解，
把②代入①得x+2=12，
∴x=10，∴．故答案为：．
【总结升华】当方程组中出现一个未知量代替另一个未知量的方程时，一般用直接代入法解
方程组.
举一反三：
【变式】若方程y＝1－x的解也是方程3x＋2y＝5的解，则x＝____，y＝____.
【答案】3，﹣2.
2.用代入法解二元一次方程组：5240
50xy
xy①
②
【思路点拨】观察两个方程的系数特点，可以发现方程②中x的系数为1，所以把方程②中
的x用y来表示，再代入①中即可.
【答案与解析】
解：由②得x＝5-y③
博学笃行 自强不息
1
解二元一次方程的方法
一元方程是一种只包含一个未知数的方程，而二元一次方程则是包含两个未知数的方程。解决二元一次方程的方法有多种，以下将介绍其中几种常用的方法。
一、图解法
图解法是一种直观的解二元一次方程的方法。它利用平面坐标系上的图像，通过观察方程的图形交点来求解方程。
要使用图解法解二元一次方程，首先将方程转化为“y=mx+b”的形式，其中m和b分别表示斜率和截距。然后在坐标系上画出两条直线，分别表示方程的图像。最后，观察两条直线的交点，这个交点即为方程的解。
二、代入法
代入法是另一种常用的解二元一次方程的方法。它通过将其中一个未知数用另一个未知数的表达式来代入方程，从而将方程转化为只含一个未知数的一元方程。
要使用代入法解二元一次方程，首先选择其中一个未知数，将其表示为另一个未知数的表达式。然后将这个表达式代入到另一个方程博学笃行 自强不息
2
中，从而得到只含有一个未知数的方程。最后，求解这个一元方程，得到该未知数的值，再代入到原方程中求解另一个未知数的值。
三、消元法
消元法是解二元一次方程的另一种常用方法。它通过逐步消去其中一个未知数，从而将方程转化为只含一个未知数的一元方程。
要使用消元法解二元一次方程，首先选择其中一个未知数，通过乘以一个适当的常数，使得两个方程的系数相等。然后将两个方程相减，从而消去这个未知数。接着，将得到的方程代入到另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。最后，求解这个一元方程，得到该未知数的值，再代入到原方程中求解另一个未知数的值。
四、用矩阵方法解方程组
矩阵方法是一种更高级的解二元一次方程的方法。它利用线性代数的知识，将方程组表示为矩阵的形式，然后利用矩阵的运算来求解方程。
要使用矩阵方法解二元一次方程，首先将方程组写成矩阵方程的形式，矩阵方程的形式为AX=B，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。然后通过逆矩阵的运算，求解X的值。
代入消元法
一.教学设计思路:
在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法。讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考核归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法。
点评：充分体现学生为主的教学理念，符合新教材的要求。
二.教学目标:
1. 知识目标：
(1).会用代入法解二元一次方程组
(2).初步体会解二元一次方程组的基本思想“消元”
2. 能力目标：
(1).通过对方程组中的未知数特点的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成由未知向已知转化，培养观察能力和体会化归思想。
(2).通过用代入消元法解二元一次方程组的训练，及选用合理、简捷的方法解方程组，培养学生的运算能力。
3. 情感目标：
通过研究探讨解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神。
点评：三维目标的确立，是现代教育思想的
三.教学重点难点
重点是用代入法解二元一次方程组；
难点是灵活运用代入法解二元一次方程组。
四.教学方法
探究式教学法
五.教学设计过程
(一) 知识点讲解
本节的标题“消元”点出了解二元一次方程组的基本思路。本节的主要内容为二元一次方程组的解法(代入法)
在8.1中我们已经看到，直接设两个未知数(设胜x场，负y场)，可以列方程组xy222xy40表示本章引言中问题的数量关系。如果只设一个未知数(设胜x场)，这个问题也可以用一元一次方程________________________[1]来解。
[1]2x＋(22－x)=40。
观察:上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?[2]
[2]通过观察对照，可以发现，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方程。这正是下面要讨论的内容。
可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y=22说明y＝22－x，将第2个方程2x＋y＝40的y换为22－x，这个方程就化为一元一次方程2x＋(22－x)＝40。解这个方程，得x＝18。把x＝18代入y=22－x，得y＝4。从而得到这个方程组的解。
《用代入法解二元一次方程组》优秀教案
《用代入法解二元一次方程组》优秀教案
教学目标：
１、会用代入法解二元一次方程组
２、会阐述用代入法解二元一次方程组的基本思路——通过“代入”达到“消元”的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。
此外，在用代入法解二元一次方程组的知识发生过程中，让学生从中体会“化未知为已知”的重要的数学思想方法。
引导性材料：
本节课，我们以上节课讨论的求甲、乙骑自行车速度的问题为例，探求二元一次方程组的解法。前面我们根据问题“甲、乙骑自行车从相距６０千米的两地相向而行，经过两小时相遇。已知乙的速度是甲的速度的２倍，求甲、乙两人的速度。”设甲的速度为Ｘ千米／小时，由题意可得一元一次方程２（Ｘ＋２Ｘ）＝６０；设甲的速度为Ｘ千米／小时，乙的速度为Ｙ千米／小时，由题意可得二元一次方程组 ２（Ｘ＋Ｙ）=６０
Y=2X 观察
２（Ｘ＋２Ｘ）＝６０与 ２（Ｘ＋Ｙ）=６０ ①
Y=2X ② 有没有内在联系？有什么内在联系？
（通过较短时间的观察，学生通常都能说出上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系——把方程①中的“Ｙ”用“２Ｘ”去替换就可得到一元一次方程。）
知识产生和发展过程的教学设计
问题１：从上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系的研究中，我们可以得到什么启发？把方程①中的“Ｙ”用“２Ｘ”去替换，就是把方程②代入方程①，于是我们就把一个新问题（解二元一次方程组）转化为熟悉的问题（解一元一次方程）。
解方程组 ２（Ｘ＋Ｙ）=６０ ① Y=2X ②
解：把②代入①得：
２（Ｘ＋２Ｘ）＝６０，
６Ｘ＝６０，
Ｘ＝１０
把Ｘ＝１０代入②，得
Ｙ＝２０
因此： Ｘ＝１０
Ｙ＝２０
问题２：你认为解方程组 ２（Ｘ＋Ｙ）=６０ ①
Y=2X ② 的关键是什么？那么解方程组
Ｘ＝２Ｙ＋１
２Ｘ—３Ｙ＝４ 的关键是什么？求出这个方程组的解。
上面两个二元一次方程组求解的基本思路是：通过“代入”，达到消去一个未知数（即消元）的目的`，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫“代入消元法”，简称“代入法”。
