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窗函数法设计FIR滤波器

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1 / 18 FIR数字滤波器的设计方法

IIR数字滤波器最大缺点：不易做成线性相位，而现代图像、语声、数据通信对线性相位的要求是普遍的。正是此原因，使得具有线性相位的FIR数字滤波器得到大力发展和广泛应用。

1． 线性相位FIR数字滤波器的特点

FIR DF的系统函数无分母，为1010)()(NnnNiiiznhzbzH，系统频率响应可写成：10)()(NnjwnjwenheH，令)(jweH＝)()(wjewH，H(w)称为幅度函数，)(w称为相位函数。这与模和幅角的表示法有所不同，H(w)为可正可负的实数，这是为了表达上的方便。如某系统频率响应)(jweH＝wjwe34sin，如果采用模和幅角的表示法，w4sin的变号相当于在相位上加上)1(je因，从而造成相位曲线的不连贯和表达不方便，而用)()(wjewH这种方式则连贯而方便。

线性相位的FIR滤波器是指其相位函数)(w满足线性方程：

)(w＝w （,是常数）

根据群时延的定义，式中表示系统群时延，表示附加相移。线性相位的FIR系统都具有恒群时延特性，因为为常数，但只有＝0的FIR系统采具有恒相时延特性。

问题：并非所有的FIR系统都是线性相位的，只有当它满足一定条件时才具有线性相位。那么应满足什么样的条件？从例题入手。

例题：令h(n)为FIR数字滤波器的单位抽样相应。Nnn或0时h(n)=0，并假设h(n)为实数。

（a） 这个滤波器的频率响应可表示为)()()(wjjwewHeH（这是按幅度函数和相位函数来表示的，不是用模和相角的形式），)(wH为实数。（N要分奇偶来讨论）

（1） 当h(n)满足条件)1()(nNhnh时，求)(wH和)(w（w0）

（2） 当h(n)满足条件)1()(nNhnh时，求)(wH和)(w（w0） 2 / 18 （b） 用)(kH表示h(n)的N点DFT

（1） 若h(n)满足)1()(nNhnh，证明H(0)=0；

（2） 若N为偶数，证明当)1()(nNhnh时，H(N/2)=0。

解：（a）10)()(NnjwnjwenheH

（1）)1()(nNhnh，当N为奇数时，

)11(1)1(0)11()1()1()0()(NjwjwNjwjwjweNheheNheheH

21230)1()21(])[(NjwNnnNjwjwneNheenh

21)21(230)21()21()21(])[(NjwNjwNnnNjwNnjweNheeenh

)(})21()]21(cos[)(2{))(230)21(wHeNhNnwnhewjNnNjw

其中幅度函数：)(wH＝230)21()]21(cos[)(2NnNhNnwnh 21'Nnn令得到

)(wH＝)21('cos)21'(2121'NhwnNnhNn 'nn令得到

)(wH＝210211cos)21(2)21(cos)21(2NnNnwnnNhNhwnnNh

210cos)(Nnwnna，)21()0(Nha，21,,2,1),21(2)(NnnNhna。

所以)(jweH21021cos)(NnwNjwnnae，得出)(wH210cos)(Nnwnna，wNw21)(。得出第一类FIR DF的特点：

✓ 恒相时延，相位曲线是过原点的曲线；

✓ 可通过h(n)灵活设计幅度函数的零点位置；

✓ 幅度函数对频率轴零点偶对称)()(wHwH，对点偶对称)2()(wHwH。 3 / 18 （1）)1()(nNhnh，当N为偶数时，

)(jweH120)1(])[(NnnNjwjwneenh

120)21()]21(cos[)(2NnNjwNnwnhe

)()(wHewj

其中)(wH＝120120]21)2(cos[)(2)]21(cos[)(2NnNnwnNwnhNnwnh

2'nNn令得到)(wH＝2121')]21(cos[)()]21'(cos[)'2(2NnNnnwnbnwnNh，

所以)(jweH2121)]21(cos[)(NnwNjnwnbe，得出)(wH21)]21(cos[)(Nnnwnb，wNw21)(。

第二类FIR DF的特点：

✓ 恒相时延，相位曲线是过原点的直线；

✓ 幅度函数对频率轴零点偶对称)()(wHwH；

✓ 幅度函数对频率轴点奇对称)2()(wHwH。由)(wH的连续性，点一定是幅度函数的零点。即w时，)(0)(0)]21(cos[zHHnw在z=-1处有零点；因此这类滤波器不适合高通或带阻滤波器。

（2）)1()(nNhnh，当N为奇数时

推导省略，结果是

)(wH211sin)(Nnwnnc，)21(2)(nNhnc

wNw212)(。

第三类FIR DF的特点：

✓ 恒群时延，有2附加相移，相位曲线是截距为2、斜率为21N的直线；

✓ 幅度函数对零频点奇对称)()(wHwH，零频是)(wH的零点； 4 / 18 ✓ 对奇对称)2()(wHwH，也是)(wH的零点。

（2）)1()(nNhnh，当N为偶数时

推导省略，结果是

)(wH21)]21(sin[)(Nnnwnd，)2(2)(nNhnd

wNw212)(。

第四类FIR DF的特点：

✓ 恒群时延，有2附加相移，相位曲线是截距为2、斜率为21N的直线；

✓ 幅度函数对零频点奇对称)()(wHwH，零频是)(wH的零点；

✓ 对偶对称)2()(wHwH。

（b）kNwjweHkH2|)()(

（1）0|)()0(wjweHH，当)1()(nNhnh，不论N为奇数还是偶数，)(jweH中都含有)(sinw项，0|)(0wjweH，所以0)0(H。

（2）)1()(nNhnh，N为偶数

)(jweH12121)]21(cos[)(2NnwNjNnwnhe，wjweHNH|)()2/(，因为（21Nn）是21的奇数倍，因此)21(cos[Nnw＝0，即0)2/(NH。

问题：FIR DF线性相位的条件是什么？

总结四种FIR DF的特点：

 当h(n)为实数且偶对称时，FIR DF为恒相时延，相位曲线是一条过原点、以21N为斜率的直线。信号通过这类滤波器后，各种频率分量的时延都是21N。当N为奇数时，时延21N是整数，是采样间隔的整数倍，采样点时延后仍是采样点。但当N为偶数时，时延21N不是整数，采样点时延后就不在采样点位置上了，这在某些应用场合会带来一些意外的问题。同时，N为偶数时，点是幅度的零点，不能做高通、带阻滤波器。一般情况下，第一类FIR DF特别适合做各种滤波器。

 当h(n)为实数且奇对称时，FIR DF仅是恒群时延。相位曲线是一条截距为／2，以5 / 18 21N为斜率的直线。信号通过该滤波器产生的时延也是21N个采样周期，但另外对所有频率分量均有一个附加的90度的相移。单边带调制及正交调制正需要这种特性。因此这种滤波器特别适合做希尔伯特滤波器以及微分器。

FIR滤波器的极点都在原点上，而h(n)是因果稳定的有限长序列，因此H(z)在有限z平面上是稳定的。线性相位FIR DF的零点有自己的特点：它们必定是互为倒数的共轭对。证明如下：)1()(nNhnh（线性相位）

)()(1)1(zHzzHN （z变换的性质）

如果iz是一个零点，代入上式有

)()(1)1(iNiizHzzH＝0

0iz

0)(1izH必有，则1iz也是零点。

因为零极点总是成共轭对出现（有理分式特性），

所以*iz，*1)(iz也是零点。

所以iz，*iz，1iz，*1)(iz都是零点。

2． 窗函数设计法

因为10)()(NnnznhzH，对FIR系统而言，冲击响应就是系统函数的系数。因此设计FIR滤波器的方法之一可以从时域出发，截取有限长的一段冲击响应作为H(z)的系数，冲击响应长度N就是系统函数H(z)的阶数。只要N足够长，截取的方法合理，总能满足频域的要求。一般这种时域设计、频域检验的方法要反复几个回合才能成功。

2.1 设计原理

设计目标：设计一个线性相位的FIR DF；

已知条件：要求的理想频率响应)(jwdeH。

)(jwdeH是w的周期函数，周期为2，可以展开成傅氏级数)(jwdeH＝njwndenh)(，6 / 18 其中)(nhd是与理想频响对应的理想单位抽样响应序列。但不能用来作为设计FIR DF用的h(n)，因为)(nhd一般都是无限长、非因果的，物理上无法实现。

分析：为了设计出频响类似于理想频响的滤波器，可以考虑用h(n)来近似)(nhd。

窗函数的基本思想：先选取一个理想滤波器（它的单位抽样响应是非因果、无限长的），再截取（或加窗）它的单位抽样响应得到线性相位因果FIR滤波器。这种方法的重点是选择一个合适的窗函数和理想滤波器。

例1：设截止频率为cw的理想FIR低通滤波器，其理想频响是

)(jwdeHwwwweccwj,0,1，其中称为采样延时。对应的)(nhd由下式求出：

注意：)(nhd关于对称，这对设计线性相位的FIR DF很重要。

为了从)(nhd中得到FIR滤波器，可以对)(nhd进行截取，如果要得到一个线性相位、因果的FIR滤波器，则设截取后得到的h(n)的长度为M，h(n)一定满足

这种操作称为“加窗”。h(n)可看作是)(nhd和)(nw的乘积

)()()(nwnhnhd

其中

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matlabfir滤波器设计

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MATLAB是一个高级编程语言和交互式环境，被广泛应用于各种科学和工程问题的数值分析、数据可视化和编程开发等领域。FIR滤波器是数字信号处理中经常使用的一种滤波器，它是基于有限长冲激响应的滤波器。在MATLAB平台上，我们可以使用fir1函数来设计FIR滤波器。

一、FIR滤波器设计基础

1.1 什么是FIR滤波器

FIR滤波器是有限长冲激响应滤波器，由于其具有线性相位特性和可控阶数等优点，在数字信号处理中得到了广泛的应用。一般来说，FIR滤波器的频率响应特性由滤波器的系数函数确定。

FIR滤波器的设计一般采用窗函数法、最小二乘法、频率抽取法等方法。窗函数法是最常见的一种方法，大部分情况下选择的是矩形窗、汉宁窗、布莱克曼窗等。

1.3 fir1函数介绍

fir1函数是MATLAB中用于FIR滤波器设计的函数，用法为：

h = fir1(N, Wn, type)

N为滤波器的阶数，Wn是用于指定滤波器截止频率的参数，type指定滤波器类型，可以是低通、高通、带通、带阻等。

二、使用fir1函数设计FIR滤波器

2.1 设计要求

采样率为300Hz；

滤波器阶数为50；

截止频率为50Hz。

2.2 实现步骤

（1）计算规范化截止频率

规范化截止频率是指在数字滤波器设计中使用的无单位量，通常范围为0到1。在本例中，我们需要将50Hz的截止频率转化为规范化截止频率。 Wn = 2*50/300 = 1/3

根据计算出的规范化截止频率和滤波器阶数，我们可以使用fir1函数来进行滤波器设计。

此处滤波器的阶数为50，规范化截止频率为1/3，类型为低通。

（3）绘制滤波器的幅频响应图

为了验证设计的低通FIR滤波器是否符合要求，我们需要绘制其幅频响应图。

FIR滤波器及其DSP实现

FIR滤波器及其DSP实现

FIR滤波器及其DSP实现

FIR（Finite Impulse Response）滤波器是一种常见的数字滤波器，它具有有限的脉冲响应。与IIR（Infinite Impulse Response）滤波器相比，FIR滤波器具有线性相位特性，并且可以实现稳定的滤波效果。

FIR滤波器的核心是其冲激响应，即滤波器的输出响应。FIR滤波器的输出可以通过对输入信号和滤波器的冲激响应进行卷积来实现。为了得到所需的滤波效果，需要设计滤波器的冲激响应。常见的方法包括频域设计和时域设计两种。

频域设计方法主要利用频率响应来设计FIR滤波器的冲激响应。这包括将所需滤波特性转化为频率域中的理想滤波器响应，然后通过反变换得到冲激响应。常见的频域设计方法有窗函数法、最优逼近法和频带优化法等。

窗函数法是最简单的频域设计方法之一，通过将理想滤波器的频率响应与窗函数的频率响应相乘得到FIR滤波器的冲激响应。常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗等。窗函数法的优点是简单易用，但实现的FIR滤波器在频域存在较大的过渡带宽。因此，需要根据具体应用需求选择合适的窗函数。

最优逼近法是一种基于最优化理论的频域设计方法。它通过将所需滤波特性定义为目标函数，利用优化算法来最小化目标函数与实际滤波器响应之间的差距，从而得到FIR滤波器的冲激响应。最优逼近法能够较好地满足滤波特性的要求，但计算复杂度较高。 时域设计方法主要通过对滤波器的冲激响应进行直接设计来实现。常见的时域设计方法有零相位响应（Zero-Phase Response，ZPR）设计和线性相位设计。

零相位响应设计方法通过首先设计一个偶对称的冲激响应，并通过反转和平移来得到滤波器的冲激响应。这样可以实现零相位的滤波效果。零相位响应设计方法能够保持输入信号的相位信息，适用于对相位要求较高的应用，如音频信号处理。

线性相位设计方法主要通过对滤波器的延迟进行优化来实现。线性相位设计方法能够使得滤波器的相位响应近似为线性函数，从而实现滤波器对不同频率的信号具有相同的延迟。线性相位设计方法适用于需要保持信号相对时间关系的应用，如通信信号处理。

FIR数字滤波器设计与软件实现实验报告222

FIR数字滤波器设计与软件实现实验报告222

FIR数字滤波器设计与软件实现实验报告222

FIR数字滤波器设计与软件实现实验报告222

实验报告标题：FIR数字滤波器设计与软件实现

实验目的：

1.掌握FIR数字滤波器的设计原理；

2.学会使用软件进行FIR数字滤波器设计；

3.实现FIR数字滤波器的软件仿真。

实验材料与设备：

1.计算机；

2.FIR滤波器设计软件。

实验原理：

FIR（Finite Impulse Response）数字滤波器是一种线性时不变滤波器，具有无穷冲击响应长度。其传递函数表达式为：

H(z)=b0+b1*z^(-1)+b2*z^(-2)+...+bM*z^(-M)

其中，H(z)为滤波器的传递函数，z为z变换的复数变量，b0,b1,...,bM为滤波器的系数，M为滤波器的阶数。

FIR滤波器的设计包括理想滤波器的设计和窗函数法的设计两种方法。本实验使用窗函数法进行FIR滤波器的设计。

窗函数法的步骤如下： 1.确定滤波器的阶数M；

2.设计理想低通滤波器的频率响应Hd(w)；

3.根据滤波器的截止频率选择合适的窗函数W(n)；

4.计算滤波器的单位脉冲响应h(n)；

5.调整滤波器的单位脉冲响应h(n)的幅度；

6.得到滤波器的系数b0,b1,...,bM。

实验步骤：

1.在计算机上安装并打开FIR滤波器设计软件；

2.根据实验要求选择窗函数法进行FIR滤波器的设计；

3.输入滤波器的阶数M和截止频率，选择合适的窗函数；

4.运行软件进行滤波器设计，得到滤波器的系数；

5.使用软件进行FIR滤波器的软件仿真。

实验结果：

经过软件仿真，得到了FIR数字滤波器的单位脉冲响应和频率响应曲线，满足设计要求。滤波器的阶数和截止频率对滤波器的响应曲线有一定影响。通过调整滤波器阶数和截止频率，可以得到不同的滤波效果。

实验结论：

本实验通过窗函数法进行FIR数字滤波器的设计，并通过软件进行了仿真。实验结果表明，FIR数字滤波器具有良好的滤波效果，可以用于信号处理和通信系统中的滤波需求。

fir数字滤波器设计及软件实现

fir数字滤波器设计及软件实现

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实验二 FIR数字滤波器设计与软件实现

1．实验目的

（1）掌握用窗函数法设计FIR数字滤波器的原理和方法。

（2）掌握用等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器的原理和方法。

（3）掌握FIR滤波器的快速卷积实现原理。

（4）学会调用MATLAB函数设计与实现FIR滤波器。

2. 两种设计FIR滤波器的方法比较

窗函数法简单方便，易于实现。但存在以下缺点：滤波器边界频率不易精确控制。窗函数法总使通带和阻带波纹幅度相等，不能分别控制通带和阻带波纹幅度。所设计的滤波器在阻带边界频率附近的衰减最小，距阻带边界频率越远，衰减越大。，所以如果在阻带边界频率附近的衰减刚好达到设计指标要求，则阻带中其他频段的衰减就有很大富余量，存在较大的资源浪费。

等波纹最佳逼近法是一种优化设计方法，克服了窗函数法的缺点，使最大误差最小化，并在整个逼近频段上均匀分布。用等波纹最佳逼近法设计的FIR数字滤波器的幅频响应在通带和阻带都是等波纹的，而且可以分别控制通带和阻带波纹幅度。与窗函数法相比，由于这种设计法使最大误差均匀分布，所以设计的滤波器性能价格比最高。阶数相同时，这种设计方法使滤波器的最大逼近误差最小，即通带最大衰减最小，阻带最小衰减最大。指标相同时，这种设计法使滤波器阶数最低。

3. 滤波器参数及实验程序清单

(1) 滤波器参数选取

根据加噪信号频谱图和实验要求，可选择一低通滤波器进行滤波，确定滤波器指标参数：通带截止频率Hzfp130，阻带截至频率Hzfs150，换算成数字频率，通带截止频率26.02Tfpp，通带最大衰减为dBp1.0，阻带截至频率3.02Tfss，阻带最小衰减为dBs60。

(2) 实验程序清单

图1 程序流程图

信号产生函数xtg程序清单

function xt=xtg

%产生一个长度为N,有加性高频噪声的单频调幅信号xt,采样频率Fs=1000Hz