2012年全国大学生数学建模竞赛a题 葡萄酒的评价 答案.

葡萄酒的评价

摘要

本文主要研究的是如何对葡萄酒进行评价的问题。通过对评酒员的评分与酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的理化指标等原始数据进行统计、分析和处理，我们得出了一个较为合理地评价葡萄酒质量优劣的模型。

在问题一中，我们采用T检验法，首先进行正态分布拟合检验，判断出它们服从正态分布。之后，我们通过T检验法判断出了两组评酒员的评价结果具有显著性差异。而对于如何判断哪一组评酒员的评价结果更可信，由于评酒员评分的客观性，我们通过计算评酒员评分均值的置信区间，利用置信区间的长短来判断评分的可信程度。置信区间越窄，说明其越可信。利用Matlab软件求出了第二组评酒员的评分均值的置信区间更窄，所以第二组评酒员的评价结果更可信。

在问题二中，我们采用主成分分析法，把给定的一组相关变量通过线性变换转成另一组不相关的变量，这些新的变量再按照方差依次递减的顺序排列。在数学变换中保持变量的总方差不变，使第一变量具有最大的方差。第二变量的方差次大，并且和第一变量不相关。由于变量较多，虽然每个变量都提供了一定的信息，但其重要性有所不同。依次类推，最后我们将酿酒葡萄分为了四个等级:优质、次优、中等、下等。

在问题三中，我们通过多项式曲线拟合的方法，构造一个以葡萄酒的理化指标为自变量，酿酒葡萄的理化指标为因变量的函数，并利用Matlab软件进行曲线拟合，最后得出酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的关系为呈线性正相关。

在问题四中，我们用无交互作用的双因素试验的方差分析方法，通过对观测、比较、分析实验数据的结果,鉴别出了两个因素在水平发生变化时对实验结果产生显著性影响的大小程度。最后，我们认为能用酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量，且酿酒葡萄的理化指标对葡萄酒质量影响相对葡萄酒的理化指标更显著。

关键词：T检验法，Matlab，正态分布，主成分分析法，多项式曲线拟合，方差分析

一． 问题的重述

确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题：

1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？

2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。

3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。

4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？

附件1：葡萄酒品尝评分表（含4个表格）

附件2：葡萄和葡萄酒的理化指标（含2个表格）

附件3：葡萄和葡萄酒的芳香物质（含4个表格）

二．基本假设与符号说明

2.1 基本假设

（1）评酒员的评分是客观公正的，不受任何外界因素影响。

（2）用来检验的葡萄都是刚采摘的新鲜葡萄，葡萄酒也没有遭受任何污染。

（3）在检测酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标的过程中，忽略由于人为操作不当带来的误差。

（4）由于不是每组数据都对葡萄酒的质量产生很大影响，所以在处理数据过程中，忽略那些影响不是很明显的理化指标。

2.2 符号说明

)2,1(ii 第i组评酒员对各品种红葡萄酒的评分均值的期望

)2,1(2ii 第i组评酒员对各品种红葡萄酒的评分均值的方差

H 问题一的假设

iZ 第i个主成分

ijr 第i个评酒员对第j种酒的评分

三． 问题的分析

针对问题一，如何判断两组评酒员的评价结果有无显著性差异，我们采用T检验法进行判断。但采用T检验法的前提是其必须服从正态分布，方差未知且相等。所以我们先对那些数据进行正态分布检验，判断其是否服从正态分布。验证服从正态分布后，我们利用T检验法判断两组评酒员评价结果的显著性差异。对于如何判断哪一组评酒员的评价结果更可信，由于评酒员评分的客观性，我们通过计算评酒员评分均值的置信区间，利用置信区间的长短来判断评分的可信程度。置信区间越窄，说明其越可信。

针对问题二中如何根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对酿酒葡萄进行分级，我们采用主成分分析法。因为在实际问题的研究中，往往会涉及众多有关的变量。但是，变量太多不但会增加计算的复杂性，而且也会给合理地分析问题和解释问题带来困难。一般说来，虽然每个变量都提供了一定的信息，但其重要性有所不同，而在很多情况下，变量间有一定的相关性，从而使得这些变量所提供的信息在一定程度上有所重叠。因而人们希望对这些变量加以“改造”，用为数极少的互补相关的新变量来反映原变量所提供的绝大部分信息，通过对新变量的分析达到解决问题的目的。解决这个问题的过程中，我们用Matlab软件实现主成分分析，我们对那些理化指标进行重新整理，求出各个理化指标的之间的相关系数、特征值及特征向量和贡献率等。

针对问题三中如何分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系，我们想到了用多项式曲线拟合的方法，根据两者理化指标实测样本，用统计分析的方法，找出一种适当的函数关系从而达到处理酿酒葡萄与葡萄酒之间相关关系的目的。实际的操作过程中，我们首先构造一个关于酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标的函数，以葡萄酒的理化指标为自变量，酿酒葡萄的理化指标为因变量，利用Matlab软件进行曲线拟合，得出酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的关系。

针对问题四中如何分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，以及能否用酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量，我们采用无交互作用的双因素试验的方差分析方法。用方差分析，可以将影响葡萄酒的主要因素和次要因素区分开来，还可以分别算出酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的理化指标与葡萄酒质量之间的误差，如果误差在可接受范围之内，即说明可以用酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒质量。

四． 模型的建立与求解

4.1 问题一的模型建立与求解

4.1.1 T检验法的模型建立与求解

T检验是用T分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个均值的差异是否显著。

由于检验红葡萄酒与白葡萄酒的方法和模型一样，这里我们只给出检验红葡萄酒的模型。

1. 正态分布的检验

由于使用T检验法的前提是两个总体分布都服从正态分布，我们先利用Excel软件

计算出：

第一组评酒员对各品种红葡萄酒的评分均值为：

62.7,80.3,80.4,68.6,73.3,73.2,71.5,72.3,81.5,74.2,70.1,53.9,74.6,73,58.7,

74.9,79.3,59.9,78.6,78.6,77.1,77.2,85.6,78,69.2,73.8,73

第二组评酒员对各品种红葡萄酒的评分均值为：

68.1,74,74.6,71.2,72.1,66.3,65.3,66,78.2,68.8,61.6,68.3,68.8,72.6,65.7,69.9,74.5,65.4,72.6,75.8,72.2,71.6,77.1,71.5,68.2,72, 71.5 然后我们利用Matlab软件里的正态分布拟合函数进行曲线拟合，得出其正态分布的拟合曲线图为图一：

图一、正态分布拟合曲线图

从图中我们知道其曲线近似为一条直线，因此我们认为评酒员对红葡萄酒以及白葡萄酒的评分均值都服从正态分布。

2. T检验法模型的建立与求解

设，分别为第一组、第二组评酒员对各品种红葡萄酒的评分均值，且

),(~211N，),(~222N，其中222121,,,均未知。

（1） 作出统计假设211210::HH。

（2） 选取统计量

)2(~11221212122221121nntnnnnSnSnTnn

（3） 对于给定的显著性水平05.0，我们利用Matlab软件进行计算求解。结果如下表所示：

葡萄酒的品种 H值 P值 差异显著程度

第一组 红葡萄酒 0 0.9396 差异不显著 第二组 红葡萄酒

第一组 白葡萄酒 1 1.4077e-006 差异非常显著 第二组 白葡萄酒

H=0，表示接受原假设；H=1，表示接受背择假设。

由上表可知:红葡萄酒之间不存在显著性差异，白葡萄酒之间存在显著性差异。

4.1.2 可信度的判定

由于样本的置信区间与其可信度是呈负相关的，即置信区间越小，其可信度越大。我们利用Matlab软件求解得出第一组、第二组红葡萄酒和白葡萄酒的置信区间，见下表：

葡萄酒的置信区间

红葡萄酒的置信区间 白葡萄酒的置信区间

第一组 [70.3377,75.7734] [72.3342,76.1872]

第二组 [69.6890,71.9607] [75.3788,77.6855]

显然第二组的置信区间长度小于第一组，所以第二组评酒员的评价结果可信度更高。

4.2 问题二的模型建立与求解

主成分分析法是一种数学变换的方法, 它把给定的一组相关变量通过线性变换转成另一组不相关的变量，这些新的变量按照方差依次递减的顺序排列。在数学变换中保持变量的总方差不变，使第一变量具有最大的方差，称为第一主成分，第二变量的方差次大，并且和第一变量不相关，称为第二主成分。依次类推，I个变量就有I个主成分。 1.计算相关系数矩阵

pppppprrrrrrrrrR212222111211 （1）

在（1）式中，),,2,1,(pjirij为原变量的ix与jx之间的相关系数，其计算公式为

nknkjkjikinkjkjikiijxxxxxxxxr11221)()())(( （2）

因为R是实对称矩阵（即jiijrr），所以只需计算上三角元素或下三角元素即可。

2.计算特征值与特征向量

首先解特征方程0RI，通常用雅可比法求出特征值),,2,1(pii，并使其按大小顺序排列，即021p。然后分别求出对应于特征值i的特征向量),,2,1(piei。这里要求ie=1，即112pjije，其中ije表示向量ie的第j个分量。

3.计算主成分贡献率及累计贡献率

贡献率：第i个主成分方差在全部方差中所占的比重称为贡献率。这个值越大，表明第i个主成分综合信息的能力越强。

主成分iZ的贡献率为

),,2,1(1pipkki （3）

累积贡献率：前k个主成分共有多大的综合能力，用这k个主成分的方差和在全部方差中所占的比重来描述，表明取前k个主成分基本包含了全部测量指标所具有信息的