3.1 投影.ppt

图3-6 三视图的形成
第二节 三视图的形成及投影规律
二、三视图的关系及投影规律
1、位置关系 物体的三个视图按规定展开，摊平在同一平面上以后，具有明确的位置 关系，主视图在上方，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右 方。 2、投影关系 三视图之间的投影对应关系可以归纳为： 主视、俯视长对正(等长)。 主视、左视高平齐(等高)。 俯视、左视宽相等(等宽)。 这就是“三等”关系，简单地说就是“长对正，高平齐，宽相等”。对 于任何一个物体，不论是整体，还是局部，这个投影对应关系都保持不变 (图3-7)。 “三等”关系反映了三个视图之间的投影规律，是我们看图、画图和检 查图样的依据。
Y
ay
a●
Y ay
四、点的投影规律:
V a
●
X ax
Z
az
A
●
O
●a W
a● H
ay Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
② aax= aaz=y =Aa（A到V面的距离） aay= aaz =x =Aa（A到W面的距离） aax= aay =z =Aa （A到H面的距离）
五、 点的坐标
如图3-11所示，点的坐标值的意义如下： A点到W面的距离Aa″=aaY=a′aZ=OaX，以坐标x标记。 A点到V面的距离Aa′=aaX=a″aZ=OaY，以坐标y标记。 A点到H面的距离Aa=a′aX=a″aY=OaZ，以坐标z标记。 由于x坐标确定空间点在投影面体系中的左右位置，y坐标确定空间点在投影面体系 中的前后位置。z坐标确定点在投影面体系中的高低位置，因此，点在空间的位置 可以用坐标x、y、z确定。
一、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直

k●
平投影积聚成一个点，故
a
●1(2) c 交点K的水平投影也积聚在
n
该点上。
b
作图
k
m(n●2)
c
① 求交点
用面上取点法
●
a
1
② 判别可见性
点Ⅰ位于平面上，在前；
点Ⅱ位于MN上，在后。
故k2为不可见。
51
2) 两平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平面 的共有线，同时交线上的点都是两平面的共 有点。
解法一：
b
解法二：
d
b
m●
n
●
c
c
a
a
m● a
b n● c
b d
a c
有多少解？
有无数解！
38
例：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距离为10mm。
a
有多少解？
m
n
c
唯一解！
b
ห้องสมุดไป่ตู้
10
b
c
n
m
a
39
2) 平面上取点
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面上的一条直线作为辅 助线，然后再在该直线上确定点的位置。
O
Y
ay
V a
●
X ax
Z
az
A
●
O
●a W
a●
Y ay
点的投影规律:
a●
H
ay
Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴 ② aax= aaz =y=Aa（A到V面的距离）
aay= aaz =x=Aa（A到W面的距离） aax= aay =z=Aa（A到H面的距离） 6

一、点的三面投影特性
V
Z
a
az
W
a
X ax
O ay YW
ay
a
H
YH
分析： aaz = aay = x aax = aay = z aaz = aax = y
aa ox （长对正） aa oz （高平齐） aaz = aax（宽相等）
二、特殊位置点的投影
二、特殊位置点的投影
属于投影面的点的投影特性是： 1）点的一个投影与空间点本身重合。 2）点的另外两个投影在坐标轴上。
组成物体的基本几何元素是点、线、面。为了表达物体的 结构，必须首先掌握几何元素的投影规律。
3.1 点的投影
一、点的三面投影特性
。
Z
V a●
A
●
● a
X
o
W
a● H Y
空间点A在三个投影面上的投影 a 点A的正面投影
a 点A的水平投影
a 点A的侧面投影 空间点用大写字母表示，点的投影用小写 字母表示
在投影轴上的点的投影特性是：空间点和它的两个投影重合于投影轴上，另外一 个投影与原点O重合。
三、两点的相对位置
根据x坐标值的大小可以判断两点的左右位置；根据z坐标值的大小可以判断两点 的上下位置；根据y坐标值的大小可以判断两点的前后位置。
若两点无左右、前后距离差，点A在点B正上方或正下方时，两点的H面投影重合， 点A和点B称为对H面的重影点。
总目录
项目一 制图基本知识与技能 项目二 投影法的基本知识 项目三 点、直线、面的投影 项目四 基本体的投影 项目五 截交线和相贯线 项目六 组合体 项目七 轴测投影 项目八 机件的常用表达法 项目九 建筑图的识读 项目十 识图综合训练 项目十一 计算机绘图

1′ 3′ a
⑵ 圆柱体的三视图
2′ 4′
⑶ 轮圆廓柱线面素的线俯的视投图影积分聚析成与一曲
⑷个 两 示圆个。圆面，方柱的在 向面可另 的上见两 轮取性个 廓点的视素判图线断上的分投别影以表
1(2)
a3(4)
O A
O1 A1 1″ 3″ a
2″ 4″
利用投影 的积聚性
已知圆柱表面上的点M及N正面投影m′和n′，求它们 的其余两投影。
• 平面与立体表面的交线，称为截交线； 当平面切割立体时，由截交线围成的平 面图形，称为断面。 • 用平面与立体相交，截去体的一部分—截切。
• 用以截切立体的平面——截平面。
五棱柱被切割后的三面投影
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 (4)2 3
4● ●1 ● 2 ● 3
ⅣⅠ
Ⅱ Ⅲ
4
●
3
三视图
（2）正面与侧面投影 是以轴线为对称线的、 大 小完全相同的矩形。
投影特性
圆
圆 锥
底 成下 看面 是底 成圆围 由圆面 是锥成 一柱围 由是。 直由成 一由圆 母圆。 直圆锥 线柱圆 母锥面面柱 线A面可和A面BB绕和看上可绕、
⑴ 棱柱的组成
由两个底面和若干侧棱面
组成。侧棱面与侧棱面的交线
叫侧棱线，侧棱线相互平行。
⑵ 棱柱的三视图
⑶ 棱在柱图示面位上置取时点，六棱柱
的点两的底可面见为性水规平定面：，在俯视 图中反若映由点实于所形棱在。柱的前的平后表面两面的侧都投棱 面影是是可正平见平面，面，点，所的其以投余在影四棱也个柱可侧的见棱； 面若是表平铅面面垂上的面取投，点影它与积们在聚的平成水面直平上线投， 影点都取的积点投聚的影成方也直法可线相见，同。与。六边形 的边重合。

a1
a
c1
k1 b1
k'
c
b
XV
H
a
b'2 k'2 a'2
c'2
距离
kb c
Why？
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例]求D点到平面ABC直线的距离。
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例3]求交叉两直线AB、CD间的距离。
d
X
V H
d
b m
k c
a
kc b
m
a
d1 a1
c2 k2
➢新投影到新投影轴的距离等于（被替换的）原来投影到 原投影轴的距离。坐标值不变
•点的一次变换（变换V面）－Z坐标值不变
a
a
V
A
aX
X
a
a1 V1
aX1
X
V H
aX
X1
a
a1
aX1
§3.1变换投影面法-基本规律-点的一次变换
•点的一次变换（变换H面）－Y坐标值不变
V b
bX1
B
b1
b
bX1 b1
bX
a
b
a1
X
V H
a
b1
b
a2 b2
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
b
d
a
X
V H
b d
a
c
Why X1轴这么选？
c
H面倾角
α1
b1
a1 c1 d 1
变换V面（求α1）
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面

（来自教材）
知2－讲
(3)物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位
置关系的改变而改变． ①当线段与投射线平行时， 投影为一个点；当线段
与投影面平行时， 投影长与线段长度相等.
②当平面图形与投射线平行时， 投影为一条线段； 当平面图形与投影面平行时，所形成的 影子与原 图形全等．
（来自教材）
知2－讲
例2 如图,已知竖直立在地面的甲旗杆和在太阳光线下 形成的 投影，在图中画出太阳光线，并画出此时 竖直立在地面的乙旗杆的投影.
A
（来自教材）
知2－讲
如图,过点A，B作直线（虚线），太阳光线如图中 解： 的虚线所示.过点D作AB的平行线，交地平线于点F. 线段EF就是乙旗杆DE的投影.
（来自教材）
知2－讲
总 结
解答类似问题的关键是根据已知的影子做出太
阳光线，注意投射线要画成虚线.
（来自《点拨》）
知2－讲
例3 中午小明在操场上练习双杠，在练习过程中他发现
双杠的两横杠在地面上的影子(
A．相交 C．垂直
B )
B．平行 D．无法确定
解析： 因为双杠的两横杠平行，所以双杠的两横杠在地面 上的影子也平行．
（来自教材）
2．画法：连结物体顶端与影子顶端得到形成影子的光 线，过物体顶端作已知光线的平行线得到物体的影 子.
1.必做: 完成教材P60作业题T1-T5
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
知2－讲
总 结
根据平行投影的特征，即在同一时刻，平行物
体的平行投影仍然平行．
（来自《点拨》）
知2－讲
例4 如图是一木杆在一天中不同时刻阳光下的影子，按时间顺 序排列正确的是( D ) A．①③②④ B．④①③② C．④②①③ D．②③①④ 太阳从东方升起最后从西方落下，木杆的影子最先应该在 解析： 西面，随着时间的变化影子逐渐向北偏西，北偏东，东方 移动，故按时间先后顺序排列为②③ ①④.故选D.

侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）
Z
a
b Z
a(b)
V
a
b ab
A B O W
X
O b YH
YW
X
a
Ha
b
Y
侧面投影积聚为一点；水平投 影及正面投影平行于OX轴，且 反映实长。
投影面垂直线的投影特性
投影面垂直线的投影特性可概括如下： （1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点； （2）该直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应 的投影轴，且都等于该直线的实长。 事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平 行于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空间 直线的三面投影中有一面投影积聚为一点，则该直线必 垂直于积聚投影所在的投影面。
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
直线的分类
直线与投影面的夹角，称为直线与投影面的倾角。对水平投影面的倾 角叫水平倾角，用α表示；对正立投影面的倾角叫正面倾角，用β表示； 对侧立投影面的倾角叫侧面倾角，用γ表示。 投影面垂直线
特殊位置直线 直 线 一般位置直线
直线在投影图上表现出来的特性，常与直线对投影面的倾斜状态有 关。根据直线与投影面的倾斜状态，直线分为三种类型：投影面平行线、 投影面垂直线、任意倾斜直线。
根据从属性判断点与直线的相对位置
V
n'
m'
N A
a'
M X B
n' b'
m'
a'
b'
X
O
O
b
n
m
a
H
a m b n
注意：对于侧平线还需考察侧面投影。

V
a
Z
a
Z
a
A
b
b
b
a
W
X
O
YW
X
b
B
a(b)
YH
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点 Y
2． a bOX ; a b OYW 3． a b = a b = AB
正垂线— 垂直于正面投影面的直线
ab
z a
b
X
O
YW
a
b YH
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
k
a K
B
A
X
O
因k不在a b上，
a k
故点K不在AB上。
b
另一判断法?
例4 判断点K是否在线段AB上。
V b
k
a K
B
A
X
O
a k
b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。
１、平行两直线
b
d
V
d
b c
D a
c
B
a
X
o
X
A
CO
b
d
b
d
2． a b、ab、a b 均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
3.投影面平行线
水平线 正平线 侧平线
水平线 — 只平Z 行于水平投影面的Z 直线
V
a b
a
b
a
b
A
a W
B
b X
O
YW
X
a
a

1″ 7″
9″
4(2)
6(8)
3(1) 5(7)
10(9)
可编辑课件PPT
35
可编辑课件PPT
36
可编辑课件PPT
37
可编辑课件PPT
38
3.3 曲面立体
曲面立体：所有表面都是由曲面或曲面和平面 所围成的立体称为曲面立体。它们通常被称为 回转体。
一动线绕一定线回转一周后形成的曲面称为回 转面。不动线称为回转轴，动线称为母线，母 线在回转面上的任意位置称为素线。
4(8) 3(7) 2(6)
1(5)
可编辑课件PPT
68
二、 平面与圆锥相交
1. 平面与圆锥相交所得截交线形状 2. 例题
可编辑课件PPT
69
1. 平面与圆锥相交所得截交线形状
圆
过锥顶的两直线
小小规定
可编辑课件PPT
5
一、 棱柱
1. 棱柱的组成
正面投影
由两个底面和几个侧 面组成。侧面与侧面 的交线叫侧棱，侧棱 相互平行。
2. 棱柱的投影
侧面投影
水平投影
可编辑课件PPT
在图示位置时，六棱 柱的两底面为水平面， 在水平投影中反映实 形。前后两侧面是正 平面，其余四个侧面 是铅垂面，它们的水 平投影都积聚成直线， 与六边形的边重合。
s
1
4 2 ●
●
●
解题步骤
1.空间分析：截平面与 四条侧棱均相交，因此 截交线是一个四边形。
3
● 3
2.投影分析：截平面为
正垂面，截交线的正面
投影已知，水平投影和
侧面投影未知；
4 ●
3
1
●
s●
2●

投影面
积聚性
投影面
投影面
• 一个投影面能不能确定的表达空间物体的形状呢？ • 怎样能够用投影图唯一的表达空间物体的形状呢？
3.三视图的形成及其投影规律
A. 三投影面体系
由三个垂直相交的投影面构成
侧面投影面W Z 正投影面V
v
ⅡⅠ Ⅲ Ⅳ H
水平投影面H X O
Y
B. 三视图的形成 将物体正放在三投 影面体系中，用正 投影法向三个投影 面投影，就得到了 物体的三面投影， 也叫三视图。 V ——主视图
例12：试判断点K和点M是否属于△ABC所确定的平 面。
（2）平面上取直线 必须过平面内的两个已知点；或者过平面内的一 个已知点，且平行于此平面内的另一条直线。
例13：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平 面内任作一条直线。
解法一：
b
解法二：
d b
m
a
n c
a
cma源自b n c a例1：已知点的两个面的投影，求第三投影。
解法一: a● ax az
●
a
通过作45° 线使aaz=aax
a● ax az
●
a●
解法二:
a
a● 用圆规直接量 取aaz=aax
例2：已知空间点A（20、10、15），试作它的三面 投影图。
解:
练习1：已知各点的两个投影，求其第三投影。
a c
(d ’’ )
a
b
c ） （d
一般位置 铅垂
练习3： 已知直线AB、AC的二投影，求二直线的第三投影, 并说明其空间位置和反映实长的投影。
b c a Z
b
c
a
c a
b
AB 是 正平线

14
3.1.2 地图投影变形及其表述
若对应于最大和最小长度比方向在椭球面上为 x轴和y轴方向，在投影面上为x1和y1方向，则有：
Px, y
P1x1, y1
椭球面上
投影面上
x1 ax y1 by,
x2 y2 1
x12 a2
y12 b2
1
m
x12 y12
a2x2 b2 y2
a2 cos 2 b2 sin 2
x2 y2
x2 y2
15
3.1.2 地图投影变形及其表述
3、方向变形与角度变形
某方向（以主方向起始） 投影后为1，则有：
tg1
y1 x1
by ax
b a
tg
由三角公式，得：
tg1
tg
b
a
a
tg
sin(1 ) cos1 cos
tg1
tg
b a
a
tg
sin(1 ) cos1 cos
sin(1
F mBmL N 2 cos2 B cos
EG
11
3.1.2 地图投影变形及其表述
代入长度比公式，得：
m2 mL2 cos2 A mBmL cos sin 2A mB2 sin2 A
若使：d dA
(m2 )
mL2
sin
2 A0
2mBmL
cos
c os2 A0
mB2
sin
2 A0
0
tg 使长度比为极值的方向： 2 A0
k!
其 各 阶 导 数 为：
dX N cosB, dq
d2X dq2
d dB
dX dq
dB dq
N sin B cosB

随堂练习
4.某同学在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放置时影长1.5m，
如图，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，
影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地
面上影长为21m，留在墙上的影高为2m，求旗杆的高度.
随堂练习
解：过点C作CE⊥AB于点E,连接AC，得矩形BDCE，
那么CE可看作AE在CE所在的水平面的影子，
∴


=
∴CD =

，

C
× ×.
=
.Biblioteka A=3.4 (m).
答：木棍CD高3.4m.
E
B F
D
有关平行投影问题的解题技巧
解与平行投影有关的题目，常要先作垂线
构造直角三角形，再利用影长与物高成正
比或相似三角形的性质等知识求解.
随堂练习
1.请指出下图中的投射线、投影面及投影.
B′重合，此时线段AB的投影是一个点(图⑤).
活动探究
2.取一张矩形的纸片，放在阳光下，观察纸片的投影.
当矩形纸片与地面平行时，矩形纸片的影子仍是矩形，而且
与原矩形全等(图①).当矩形纸片与阳光光线平行时，纸片的
影子是一条线段(图②).
活动探究
2.取一张矩形的纸片，放在阳光下，观察纸片的投影.
不论矩形纸片处于其他什么位置，它在阳光下的影子，总是
什么图形?
A
点A的平行投影是点A′.
A'
H
活动探究
（2）如果阳光斜射在地面上，一根悬空的细竹竿在地面
上的影子是什么形状？
比较竹竿的长和它的影子的长，然后改变竹竿与地面所
成的角度，你发现影子的形状和大小是否会发生改变？