2013年高考文科数学全国大纲卷卷word解析版
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学
文史类(大纲卷)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013大纲全国，文1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则UA＝( )．
A．{1,2} B．{3,4,5}
C．{1,2,3,4,5} D．
答案：B
解析：由题意得UA＝{3,4,5}．故选B．
2．(2013大纲全国，文2)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )．
A．1213 B．513 C．513 D．1213
答案：A
解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝225121sin11313.故选A．
3．(2013大纲全国，文3)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )．
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
答案：B
解析：∵(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝0.
∴|m|2－|n|2＝0，
即(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0.
∴λ＝－3.故选B．
4．(2013大纲全国，文4)不等式|x2－2|＜2的解集是( )．
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－2,0)∪(0,2)
答案：D
解析：|x2－2|＜2⇒－2＜x2－2＜2⇒0＜x2＜4⇒0＜|x|＜2⇒－2＜x＜0或0＜x＜2.故选D．
5．(2013大纲全国，文5)(x＋2)8的展开式中x6的系数是( )．
A．28 B．56 C．112 D．224
答案：C
解析：T2＋1＝28Cx8－2·22＝112x6.故选C．
6．(2013大纲全国，文6)函数f(x)＝21log1x(x＞0)的反函数f－1(x)＝( )．
A．121x(x＞0) B．121x(x≠0)
C．2x－1(x∈R) D．2x－1(x＞0)
答案：A
解析：由y＝f(x)＝21log1x⇒1＋1x＝2y⇒x＝121y.
∵x＞0，∴y＞0.
∴f－1(x)＝121x(x＞0)．故选A．
7．(2013大纲全国，文7)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，243a，则{an}的前10项和等于( )． 2 A．－6(1－3－10) B．19(1－310)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
答案：C
解析：∵3an＋1＋an＝0⇒an＋1＝13an，
∴{an}是以13为公比的等比数列．
又∵a2＝43，∴a1＝4.
∴S10＝101413113＝3(1－3－10)．故选C．
8．(2013大纲全国，文8)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )．
A．22x＋y2＝1 B．22132xy
C．22143xy D．22154xy
答案：C
解析：如图，|AF2|＝12|AB|＝32，|F1F2|＝2，
由椭圆定义得
|AF1|＝2a－32.①
在Rt△AF1F2中，|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝232＋22.②
由①②得a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆C的方程为22143xy，应选C．
9．(2013大纲全国，文9)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图像如图，则ω＝( )．
A．5 B．4
C．3 D．2 3 答案：B
解析：∵由题中图象可知x0＋π4－x0＝2T.∴π2T.∴2ππ2.∴ω＝4.故选B．
10．(2013大纲全国，文10)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝( )．
A．9 B．6 C．－9 D．－6
答案：D
解析：由题意知y′|x＝－1＝(4x3＋2ax)|x＝－1＝－4－2a＝8，则a＝－6.故选D．
11．(2013大纲全国，文11)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )．
A．23 B．33 C．23 D．13
答案：A
解析：如图，设AA1＝2AB＝2，AC交BD于点O，连结OC1，过C作CH⊥OC1于点H，连结DH.
∵BD⊥AC，BD⊥AA1，
∴BD⊥平面ACC1A1.
∵CH平面ACC1A1，
∴CH⊥BD．∴CH⊥平面C1BD．
∴∠CDH为CD与平面BDC1所成的角．
OC1＝222123422CCOC.
由等面积法得OC1·CH＝OC·CC1，
∴32222CH.∴CH＝23.
∴sin∠CDH＝22313CHCD.故选A．
12．(2013大纲全国，文12)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若MA·MB＝0，则k＝( )．
A．12 B．22 C．2 D．2
答案：D 4
解析：设AB：y＝k(x－2)，代入y2＝8x得：
k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∴x1＋x2＝2248kk，
x1x2＝4.(*)
∵MA·MB＝0，
∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0，
即(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0.
∴x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.①
∵11222,2,ykxykx∴y1＋y2＝k(x1＋x2－4)，②
y1·y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]．③
由(*)及①②③得k＝2.故选D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013大纲全国，文13)设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝______.
答案：－1
解析：∵f(x)是以2为周期的函数，且x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，
则f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1.
14．(2013大纲全国，文14)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有__________种．(用数字作答)
答案：60
解析：分三步：第一步，一等奖有16C种可能的结果；第二步，二等奖有25C种可能的结果；第三步，三等奖有33C种可能的结果．故共有123653CCC60(种)可能的结果．
15．(2013大纲全国，文15)若x，y满足约束条件0,34,34,xxyxy则z＝－x＋y的最小值为______．
答案：0
解析：z＝－x＋y⇒y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z在y轴上的截距，截距越小，z就越小．画出题中约束条件表示的可行域(如图中阴影部分所示)，当直线过点A(1,1)时，zmin＝0. 5
16．(2013大纲全国，文16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝32，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于______．
答案：16π
解析：如图，设MN为公共弦，长度为R，E为MN中点，连结OE，EK，则OE⊥MN，KE⊥MN.
∴∠OEK为圆O与圆K所在平面的二面角．
∴∠OEK＝60°.
又△OMN为正三角形，∴OE＝32R.
∵OK＝32，且OK⊥KE，
∴OE·sin 60°＝32.∴333222R.
∴R＝2.∴S＝4πR2＝16π.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013大纲全国，文17)(本小题满分10分)等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设1nnbna，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则
an＝a1＋(n－1)d.
因为71994,2,aaa
所以11164,1828.adadad
解得a1＝1，12d.
所以{an}的通项公式为12nna. 6 (2)因为22211nbnnnn，
所以2222222122311nnSnnn.
18．(2013大纲全国，文18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.
(1)求B；
(2)若sin Asin C＝314，求C．
解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，
所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理得cos B＝222122acbac，
因此B＝120°.
(2)由(1)知A＋C＝60°，
所以cos(A－C)＝cos
Acos C＋sin Asin C
＝cos Acos C－sin
Asin C＋2sin Asin C
＝cos(A＋C)＋2sin Asin C
＝131+224
＝32，
故A－C＝30°或A－C＝－30°，
因此C＝15°或C＝45°.
19．(2013大纲全国，文19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是边长为2的等边三角形．
(1)证明：PB⊥CD；
(2)求点A到平面PCD的距离．
(1)证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形．
过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.
连结OA，OB，OD，OE.
由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，
所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，
