概率论第四章总结-精品文档

第四章 随机变量的数字特征

一、 随机变量的数学期望

1. 离散型随机变量数学期望

设离散型随机变量X的分布律为：,...2,1,}{kpxXPkk若级数kkkpx绝对收敛，则称级数kkkpx的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即

kkkpxXE)(。

2. 连续型随机变量数学期望

设连续型随机变量X的概率密度函数为)(Xf，若积分dxxxf)(绝对收敛，则称积分dxxxf)(为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即

dxxxfXE)()(.

数学期望简称期望或均值，他反映了随机变量所有可能取值的一种平均。

3. 随机变量函数的期望

（1） 设X是随机变量，)(xgy为实变量x的函数。

1） 若X是离散型随机变量，其分布律为：,}{kkpxXP 1k，2,3，...,且级数kkkpxg)(绝对收敛，则

kkkpxgxgEYE)()]([)(

2） 若X市连续型随机变量，其密度函数为)(xf，且积分dxxfxg)()(绝对收敛，则

dxxfxgxgEYE)()()]([)(

（2） 设（X，Y）是二维随机变量，),(yxgz为实变量x，y的二元函数。

1） 若（X，Y）是离散型随机变量，其分布律为：,),(ijiipyYxXP

,.....2,1,ji且ijijjipyxg),(绝对收敛，则

ijijjipyxgYXgEZE),()],([)(

2） 若（X，Y）是连续型随机变量，其密度函数为),(yxf，且dxdyyxfyxg),(),(绝对收敛，则 dxdyyxfyxgYXgEZE),(),()],([)(。

1 第三章概率的进一步认识专题复习

专题一知识要点汇总

考点一、确定事件和随机事件

1、确定事件

必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。

不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。

2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。

考点二、随机事件发生的可能性

对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。

考点三、概率的意义与表示方法

1、概率的意义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。

2、事件和概率的表示方法：一般，事件用英文大写字母ABC…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P

考点四、确定事件和随机事件的概率之间的关系

1、确定事件概率

（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1

（2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0

2、确定事件和随机事件的概率之间的关系

事件发生的可能性越来越小

0

1概率的值

不可能发生 必然发生

事件发生的可能性越来越大

考点五、古典概型

1、古典概型的定义：某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。

2、古典概型的概率的求法

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=nm

考点六、列表法求概率

1、列表法：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

2019-10-17

1

第4章 随机变量的数字特征

数学期望

方差

1

第1节

随机变量的数学期望

2

2019-10-17

2

数学期望E(X)

1122()

kkkk

kEXpxpxpxpx {} 1,2,

kkPXxpkMathematical Expectation

定义 设离散型随机变量的概率分布为 离散型随机变量的数学期望

kk

kpx

若级数绝对收敛， 则称此级数为

随机变量X的数学期望，记作E(X)，即 3

X

P 4

1/4 5

1/2 6

1/4 离散型随机变量的数学期望的计算

已知随机变量X的分布律

：

112233 ) (EXpxpxpx例

求数学期望E（X）

解 111

()4565

424EX

4

2019-10-17

3

连续型随机变量的数学期望E(X)

() ()EXxfxdx

连续型随机变量

定义 设连续型随机变量X的密度函数为 f (x), 则

() 若广义积分绝对收敛,则称此积分为

的数学期望xfxdx

X



即

5

连续型随机变量的数学期望的计算

已知随机变量X的密度函数为 例

21

1

()

1

01x

fx

x

x

















()()EXxfxdx

求数学期望E(X)。

解

11

2111

00

1

0xdxxdxxdx

x







6

2019-10-17

4

数学期望的意义

试验次数较大时，X的观测值的算术平均值

在E(X)附近摆动 x()xEX

数学期望又可以称为期望(Expectation)，均值(Mean) E(X)反映了随机变量X的取值的“概率平均”，

是X的可能值与相应概率的加权平均。

7

随机变量的函数的数学期望

定理 1： ()YgX设 是随机变量 X的函数,

()[()]()

kk

kEYEgXgxp{}, 1,2,

kkPXxpk离散型

连续型

()[()]()()EYEgXgxfxdx

1 第二十五章 概率的初步复习题

知识网络图表

对应练习

一、填空题

1．“抛出的篮球会下落”，这个事件是 事件．（填“确定”或“不确定”）

2．从写有1到9的九张卡片中，任取一张，抽到偶数的可能性 抽到奇数的可能性（填“大于”、“等于”或“小于”）．

3．一种彩票的中奖率是1%，某人买了100张彩票，那么他中奖是一个

事件．

4．如图所示的转盘，阴影扇形圆心角是40°，转动转盘，指针指在阴影部分的概率估计是 ．

5．10张卡片分别写有0至9十个数字，将它们放入纸箱后，任意摸出一张，则P（摸到数字2）＝ ，P（摸到奇数）＝ ．

6．一只布袋中有三种小球（除颜色外没有任何区别），分别是2个红球，3个黄球和5个蓝球，每一次只摸出一只小球，观察后放回搅匀，在连续9次摸出的都是蓝球的情况下，第10次摸出黄球的概率是 ．

7．掷两枚普通硬币，出现两个正面的概率是 ．

8．小华与父母一同从南京乘火车到苏州乐园游玩，火车车厢里每排有左、中、右三个座位，小华一家现实生活中存在大量随机事件

随机事件发生的可能性是有大小

随机事件发生的可能性------概率的计算()mPAn；试验有n种结果发生，事件A包含(所发生的)其中的m种结果 用列举法求概率 列表法求概率

用树形图(树状图)求概率

模拟实验 实物代替 用频率估计概率

（第4题） 2 三口随意坐某排的三个座位，则小华恰好坐在中间的概率是 ．

9．小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，由小明先取，最后取完铅笔的人获胜，如果小明获胜的概率为1，那么小明第一次应取走 支

10．一副没有大小王的扑克，共52张，抽出一张是红桃的概率为 ．

11．有五张卡片，每张卡片上分别写有1，2，3，4，5，洗匀后从中任取一张，放回后再抽一张，两次抽到的数字和为 的概率最大，抽到和大于8的概率为 ．