立体几何空间角与空间距离的求解—高三数学一轮复习
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立体几何解答题空间角与距离的求解
【知识梳理】
1、直线与平面所成的角：
公式：||||||sinnlnl
步骤：
①建立空间直角坐标系；
②求出直线的方向向量l；
③求出平面的法向量n；
④代入公式||||||sinnlnl求解即可。
2、平面与平面所成的角：
公式：||||||cos2121nnnn
步骤：
①建立空间直角坐标系；
②分别求出两个平面的法向量1n和2n；
③代入公式||||||cos2121nnnn求解即可。
3、点到平面的距离：
公式：||||nnld
步骤：
①建立空间直角坐标系，并在平面上任取一点与已知点连成直线；
②求出该直线的方向向量l和平面的法向量n；
③代入公式||||nnld求解即可。
【题型训练】
例题1．（2021•兴宁区校级二模）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，DC∥AB，∠BAD＝90°，面EAD⊥面ABCD，AB＝AD＝AE＝ED＝DC＝1，M为EB的中点．
（1）求证：DM⊥AE；
（2）求直线DM与平面BCE所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：记AE的中点为F，连接MF、DF．
∵DE＝AD＝AE，∴AE⊥DF．
∵面EAD⊥面ABCD，面EAD∩面ABCD＝AD，AB⊥AD，
∴AB⊥面ADE．
∵M为EB的中点，∴MF∥AB，
∴MF⊥面ADE，AE⊂平面ABE，
∴MF⊥AE，又FM∩DF＝F，
∴AE⊥面DFM，DM⊂平面DFM，
∴AE⊥DM．
（2）∵AB⊥面AEM，又AB∥DC，
∴DC⊥面AED，故可如右图建系．
不妨设DC＝4，则AB＝AD＝AE＝ED＝2，
由等边三角形AED可知，
E（1，0，），B（2，2，0），C（0，4，0），M（，1，）， 则有＝（，1，），＝（﹣2，2，0），＝（1，﹣4，），
设面BCE的一个法向量＝（x，y，z）， 则，即，令x＝1，则y＝1，z＝，
可得平面BCE的一个法向量＝（1，1，），
则cos＜，＞＝＝，
所以直线DM与平面BCE所成角的正弦值为． 变式训练1．（2021•南岗区校级三模）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BC⊥AB，AB＝2BC＝4CD＝4．
（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（2）若PA＝2，求直线BD与平面PBC成角正弦值．
【解析】（1）证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD，
在直角三角形BCD中，tan∠CBD＝＝，
在直角三角形BCD中，tan∠CBD＝＝，
在直角三角形BCA中，tan∠BCA＝＝2，
所以tan∠CBDtan∠BCA＝1，可得∠CBD+∠BCA＝90°，
即有BD⊥AC，
而PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，
而BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD；
（2）设D到平面PBC的距离为h，由BC⊥AB，AB为PB在底面ABCD上的射影，可得BC⊥PB，
则S△PBC＝BC•PB＝×2×＝2，又S△DBC＝BC•BD＝×2×1＝1，
由VD﹣PBC＝VP﹣BCD，可得hS△PBC＝PA•S△DBC，即h＝＝，
所以直线BD与平面PBC成角正弦值为＝＝．
方法二：建立空间直角坐标系如图所示：则B)0,0,0(，D)0,1,2(，P)2,4,0(，C)0,0,2(，
则)0,1,2(BD，)2,4,0(PB，)2,4,2(PC
设平面PBC的法向量为),,(zyxn，则有00PCnPBn
即0242024zyxzy，得)2,1,0(n
所以51||||||sinBDnBDn
变式训练2．（2021•盘州市一模）如图，圆锥的顶点为S，AB是底面圆O的直径，C是圆O上异于A、B的一点，D是AC的中点，平面SOD∩平面SBC＝l，SO＝OA＝1．
（1）求证：l∥BC；
（2）若l与AB所成的角为60°，求l与平面SBD所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：因为D是AC的中点，O是AB的中点，
所以OD∥BC，
又OD⊂平面SOD，BC⊄平面SOD，
则BC∥平面SOD，
又BC⊂平面SBC，平面SOD∩平面SBC＝l，
所以l∥BC；
（2）由l∥BC且l与AB所成的角为60°，则∠ABC＝60°，
所以△OBC是边长为1的等边三角形，
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，， 所以，
设平面SBD的法向量为， 则，即，
令x＝5，则， 故，
因为l∥BC，则l的一个方向向量为， 所以＝，
故l与平面SBD所成角的正弦值为．
变式训练3．（2021•岳麓区校级模拟）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝2AB＝2，E是DD1上的一点且．
（1）求证：平面A1B1D⊥平面AEC；
（2）求直线A1D与平面AEC所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有A1B1⊥平面AA1D1D，
又因为AE⊂平面AA1D1D，所以A1B1⊥AE．
在△ADE与△A1AD中，∠ADE＝∠A1AD，又，所以△ADE∽△A1AD．
所以∠DAE＝∠AA1D，所以，所以AE⊥A1D．
又因为A1D∩A1B1＝A1，所以AE⊥平面A1B1D，因为AE⊂平面AEC，
所以平面A1B1D⊥平面AEC．
（2）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DA，DC，DD1两两垂直，
故以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 依题意，有， 所以，，，
设平面AEC的法向量为， 则，所以取．
设直线A1D与平面AEC所成角为θ，则．
例题2．（2021•香坊区校级四模）在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝1，，E为PA的中点，D为AC的中点，F为棱PB上靠近B的三等分点．
（1）证明：BD∥平面CEF．
（2）若PA⊥AC，求二面角E﹣CF﹣B的正弦值．
【解析】（1）证明：连接PD且交CE于点T，连接FT．
由题意可知，PD，CE为中线，所以T为重心，，
所以FT∥BD，FT⊂平面CEF，BD⊄平面CEF，
所以BD∥平面CEF．
（2）因为PA⊥AC，AC＝1，，所以PA＝2
又因为AB＝AC，PB＝PC，所以PA2+AB2＝PB2即PA⊥AB
所以AB，AC，AP两两垂直．故以A为原点，，，为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，由图可知，E（0，0，1），C（0，1，0），，B（1，0，0）， 所以，，
设平面CEF的法向量为 则有即可令x＝1，y＝z＝2，所以，
设平面CFB的法向量为 则有即可令x＝y＝2，z＝1，所以， 因为 所以，
即二面角E﹣CF﹣B的正弦值为．
