高中数学立体几何中的空间角解析

选修一第一章《空间向量与立体几何》提高训练题 (11)

一、单选题

1．如图，在三棱锥ABCD中，平面ABC平面BCD，090BACBCD，ABAC，112CDBC，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AD成30°的角，则线段PA长的取值范围是（ ）

A．20,2 B．0,2 C．0,1 D．60,3

2．如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，ABCDO，且ABCD，3SOOB，14SESB，异面直线SC与OE所成角的正切值为（ ）

A．222 B．53 C．1316 D．113

二、多选题

3．在平行六面体1111ABCDABCD中，12ABADAA，1160AABDABAAD，则下列说法正确的是（ ）

A．线段1AC的长度为26

B．异面直线11BDBC，夹角的余弦值为13

C．对角面11BBDD的面积为43 D．平行六面体1111ABCDABCD的体积为42

4．在正方体1111ABCDABCD中，点P在线段1BC上运动，下列说法正确的是（ ）

A．平面1PAC平面11ABD B．//DP平面11ABD

C．异面直线DP与1AD所成角的取值范围是0,3 D．三棱锥11DAPB的体积不变

5．如图，在正方体1111ABCDABCD中，点P在线段1BC运动，则（ ）

A．三棱锥11PACD的体积为定值

B．异面直线AP与1AD所成的角的取值范围为45,90

C．直线1CP与平面11ACD所成角的正弦值的最大值为63

D．过P作直线1//lAD，则lDP

6．如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E，F，G分别为BC，CD，BE的中点，沿AE､AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使得B､C､D三点重合于S，得到四面体SAEF(如图2).下列结论正确的是（ ）

8.8 立体几何中的向量方法（Ⅱ）----求空间角、距离

一、选择题

1．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是( )．

A．平行 B．相交

C．异面垂直 D．异面不垂直

解析 建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，

则A(2,0,0)，M(0,0,1)，

O(1,1,0)，N(2，t,2)，NO→＝(－1,1－t，－2)，

AM→＝(－2,0,1)，NO→·AM→＝0，则直线NO、AM的

位置关系是异面垂直．

答案 C

2．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM→＝12MC1→，N为B1B的中点，则|MN→|为( )．

A.216a B.66a C.156a D.153a

解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，Na，a，a2.

设M(x，y，z)，

∵点M在AC1上且AM→＝12MC1→，

∴(x－a，y，z)＝12(－x，a－y，a－z) ∴x＝23a，y＝a3，z＝a3.

得M2a3，a3，a3，

∴|MN→|＝ a－23a2＋a－a32＋a2－a32＝216a.

答案 A

3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM→，D1N→〉的值为( )．

A.19 B.495 C.295 D.23

解析 设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，

DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角

334学术研讨Academic research■ 张泽宇高中数学中立体几何问题的两种解析方法摘要：立体几何问题是高中数学中的重要组成部分，也是高中数学中的重难点。因此，必须学好高中数学立体几何的相关知识点，将具体的解题方法进行总结归纳，进一步活学活用，做到在解答不同的立体几何的数学问题时，能够转化为相对应的解题方法，举一反三。根据深入的研究学习，关于立体几何问题的解析方法主要分为两种，一种是通过法向量的应用将立体几何转化为向量问题，建立直角坐标系进行解答，另外一种是通过建立函数关系，运用函数的性质和图像进行解答。本文将针对这两种解析方法进行具体的阐述。关键词：高中数学；立体几何；解析方法对于高中数学中立体几何的解题方法，不论是通过法向量还是建立函数关系，都是将抽象的立体几何图形进行具体的转化，确定几何图形上不同点、线、面的位置，寻找彼此之间的关系，通过建立向量或者函数关系进行进一步的解答，化繁为简，变难为易，更好地学好立体几何的相关知识。1法向量在立体几何中的应用法向量是与向量成平面垂直的向量，即若已知向量n⊥向量a，则|n|叫做向量a的法向量。对于法向量在高中数学立体几何问题的应用中，主要可以解决三种问题，即用法向量求异面直线的距离、求点到直线的距离以及求直线与平面所成角的问题。具体分析如下：1.1用法向量求异面直线的距离对于求异面直线的距离问题，运用法向量，通过建立直角坐标系，找出各点、线、面之间的关系，进而建立向量关系，从而解答相关问题。例如：已知ABCD是正方形，直线PD⊥平面ABCD，PD=AB=1，E、F分别是PB、AB的中点，求直线AF与CE的距离。关于此题的解法，首先要建立直角坐标系，假设A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），则E（½，½，½），F（0，0，½）。因此，就可以得知：向量AE=（-½，½，½），向量CF=（0，-1，½）。此时，就可以将题目中所要求的两条异面直线AF与CE的公垂线作为未知量设为向量n，则向量n=（x，y，z）。根据公垂线垂直于AF和CE，所以向量n与向量AE、向量CF的乘积均为0，列出方程式后即可得出x=3y，z=2x。进一步推导出向量n=（3y，y，2y），d=|n×EF|÷|n|，也就解出了两条异面直线的距离。1.2用法向量求点到直线的距离对于求点到直线的距离，具体的解题方法基本与求两条异面直线的解法相同，依旧是通过建立直角坐标系，确定点的坐标后，进一步确定出各条直线的向量表达式，从而根据点到直线的距离公式进行解答，只是该公式有所变化。即已知点E为平面a外的任意一点，点F为平面a中的任意一点，则点E到平面a的距离d=|n×EF|÷|n|。1.3用法向量求直线与平面所成的角对于求直线与平面所成的角的角度问题，依旧是在基本的求异面直线之间距离这一问题上的进一步转换。通过建立直角坐标系，将各点的坐标确定后，找出直线的向量以及直线与平面的交点的坐标后，代入公式后即可求出该角的度数。只需转变相应的公式即可。2函数在立体几何中的应用函数是通过将抽象的知识通过相应的运动和变化后，观察在运动和变化的过程中的规律，进而进行深入分析，通过建立函数关系，根据函数的图像和性质等，将问题进行转化从而得到解决问题。具体主要表现在两个方面：第一，通过建立相关的初等函数，根据函数性质，求出相应的值、不等式、方程以及参数的取值范围；第二，通过建立相对应的函数关系或者构建中间函数，把握函数的特点和性质，进行解答。而利用函数解答几何问题，根本上是通过建立函数关系利用函数性质进行解答。对于一些立体几何问题的解答，可以将问题进行转化后，根据题目已知的条件建立函数关系，利用函数的性质，建立相关的方程。例如：已知AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆周上的任意一点，假设角BAC为a，PA=AB=2r,求异面直线PB与AC的距离。对于这类题目，应该将异面直线PB与AC的距离转化为求直线PB上任意一点到AC'距离的最小值，从而根据此设定变量，建立相应的目标函数输最小值。具体针对此题而言，可以在PB上任意取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，设MH=x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD，所以MD²=x²+[(2r-x)sina]²。从而简化为求x的最小值的问题。此类题目通过将文字说明转化为相应的数学语言后，再建立数学模型确定函数关系，利用函数性质或者不等式进行解答。3结论对于高中数学立体几何问题的解法，主要是法向量和函数这两种解题方法。在针对不同的立体几何问题时，要结合题目的具体条件，针对题目的特点，选取更合适的方法来解答。因此，把握好法向量和函数各自在解答立体几何问题中的具体应用方法，从而更好地应对立体几何中的各类题目，真正学好立体几何的相关知识。（作者单位：河北衡水中学）参考文献[1]刘潇琳.高中生立体几何问题解决研究——综合法和向量法的比较[D].华东师范大学，2012-04-01.[2]李维君.中学生关于引入空间向量解决立体几何问题的认知障碍及教学对策[D].辽宁师范大学，2011-03-01.[3]方耀华.上海一、二期课改高中数学几何内容难度的比较及教学研究[D].华东师范大学，2012-05-01.

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）

1.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )

A.1010 B.15

C.31010 D.35

2.已知直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1， 则CD＝( )．

A．2 B.3 C.2 D．1

3.如图，在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝23，BC＝3，CD＝2.∠ABC＝∠DCB＝π2，则二面角A－BC－D的大小为 (

)．

A.π6 B.π3 C.5π3

D.5π6

4.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）

A. 110 B. 25 C. 3010 D. 22

5.已知正四棱柱1111ABCDABCD中，12AAAB，则CD与平面1BDC所成角的正弦值等于（ ）

A．23 B．33 C．23 D．13 6.已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P为底面111ABC的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为

A.125 B.3 C.4 D.6

7.已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，135ACD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为 （ ）