(完整版)山东科技大学概率统计简明教程主编卓相来第六章习题详细答案石油大学出版社

习题一解答1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。

解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件； (3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ； (4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）；(4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。

6.3第六章习题详解一、单项选择题1.假设检验的概率依据是（ A ）。

A.小概率原理B.最大似然原理C.大数定理D.中心极限定理2.检验功效定义为（ B ）。

A. 原假设为真时将其接受的概率B.原假设不真时将其舍弃的概率C. 原假设为真时将其舍弃的概率D.原假设不真时将其接受的概率3. 显著性水平为5%，下面的表述哪一个是正确的。

（ A ）A ．接受0H 时的可靠性为95％；B ．接受1H 时的可靠性为95％C ．1H 为真时被拒绝的概率为5％D ．0H 为假时被接受的概率为5％4. 哪种场合适合用t 检验？（ C ）A ．样本为小样本，且总体方差已知B ．样本为大样本，且总体方差已知C ．样本为小样本，且总体方差未知D ．样本为大样本，且总体方差未知5. 在一次假设检验中当显著性水平为5%时，原假设被拒绝，则用显著性水平1%时，（ C ）。

A ．一定会被拒绝B ．一定不会被拒绝C ．有可能拒绝原假设D ．需要重新检验二、多项选择题1. β错误（ ACDE ）A. 是在原假设不真实的条件下发生B. 是在原假设真实的条件下发生C. 决定于原假设与真实值之间的差距D. 原假设与真实值之间的差距越大，犯β错误的可能性就越小E. 原假设与真实值之间的差距越小，犯β错误的可能性就越大2. 下面对符号检验和秩和检验的描述准确的是（ ACE ）。

A ．符号检验只考虑样本差数的符号B ．秩和检验只考虑样本差数的顺序C ．秩和检验除了考虑样本差数的符号，还考虑其顺序D ．符号检验比秩和检验利用数据信息更加充分E ．秩和检验的检验功效比符号检验更强三、计算题1. 某调查公司研究表明，10-20岁年轻人每去一次速食店（如麦当劳、肯德基等）的平均消费为50元。

现在某二线城市随机抽取100名这个年龄段的年轻人作为样本，测得该样本平均消费水平为56元，样本标准差为15元。

试问，在显著水平5%下，检验该调查公司的结论是否成立。

概率论第六章课后习题答案概率论第六章课后习题答案概率论是一门研究随机现象的数学分支，它在解决实际问题中具有广泛的应用。

第六章是概率论中的重要章节，主要涉及随机变量及其概率分布、数学期望和方差等内容。

在课后习题中，我们将通过解答一些典型问题，进一步加深对这些概念的理解。

1. 随机变量X的概率分布函数为F(x) ={ 0, x < 0{ 1/4, 0 ≤ x < 1{ 1/2, 1 ≤ x < 2{ 3/4, 2 ≤ x < 3{ 1, x ≥ 3(1) 求随机变量X的概率密度函数f(x)。

(2) 求P(0.5 ≤ X ≤ 2.5)。

解：(1) 概率密度函数f(x)是概率分布函数F(x)的导数。

根据导数的定义，我们可以得到：f(x) ={ 0, x < 0{ 1/4, 0 ≤ x < 1{ 1/2, 1 ≤ x < 2{ 1/4, 2 ≤ x < 3{ 0, x ≥ 3(2) P(0.5 ≤ X ≤ 2.5) = F(2.5) - F(0.5) = 3/4 - 1/4 = 1/2 2. 设随机变量X的概率密度函数为f(x) ={ c(1 - x^2), -1 ≤ x ≤ 1{ 0, 其他(1) 求常数c的值。

(2) 求P(|X| > 0.5)。

解：(1) 概率密度函数f(x)的积分值等于1。

我们可以计算：∫[-1,1] c(1 - x^2) dx = 1解这个积分方程，可得c = 3/4。

(2) P(|X| > 0.5) = 1 - P(|X| ≤ 0.5)= 1 - ∫[-0.5,0.5] c(1 - x^2) dx= 1 - 3/4 ∫[-0.5,0.5] (1 - x^2) dx= 1 - 3/4 [x - x^3/3] |[-0.5,0.5]= 1 - 3/4 [(0.5 - 0.5^3/3) - (-0.5 + 0.5^3/3)] = 1 - 3/4 [0.5 - 0.5/3 - (-0.5 + 0.5/3)]= 1 - 3/4 [1/3]= 1 - 1/4= 3/43. 设随机变量X的概率密度函数为f(x) ={ kx^2, 0 ≤ x ≤ 2{ 0, 其他(1) 求常数k的值。

《概率论与数理统计》第六章习题exe6-1解：10()0x b f x b ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他01()()2bb E X xf x dx x dx b +∞-∞==⋅=⎰⎰ 令11μ=A ，即2b X =，解得b 的矩估计量为ˆ2b X = 2ˆ2(0.50.60.1 1.30.9 1.60.70.9 1.0) 1.6899bx ==++++++++= exe6-2解：202()()()3x E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞-==⋅=⎰⎰令11μ=A ，即,3θ=X 解得θ的矩估计量为ˆ3X θ= Exe6-3解：（1）由于12222()()()()(1)()E X mpE X D X E X mp p mp μμ==⎧⎨==+=-+⎩ 令 ⎩⎨⎧==.2211μμA A求解得221111p m p μμμμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，p, m 的矩估计量为22211(1)ˆ11ˆˆA A n S pA nX X m p ⎧--=-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩Exe6-4解：（1）()E X λ= 令11μ=A ，即,λ=X 解得λ的矩估计量为ˆX λ= {}),2,1,0(!===-x e x x X P xλλ{}),2,1,0(!===-i i xi x e x x X P iλλ似然函数11111(){}()!!niii x n nx n i ni i i ii eL P X x e x x λλλλλ=--===∑====∏∏∏11ln ()()ln ln(!)nni i i i L n x x λλλ===-+-∑∑1ln ()0nii x d L n d λλλ==-+=∑解得λ的最大似然估计值为 11ˆni i x x n λ===∑ （2）由（1）知1ˆ(6496101163710)7.210x λ==+++++++++= Exe6-5解：（1）似然函数1(1)111(){}(1)(1)ni i i nnx x ni i i L p P X x p p p p =--==∑===-=-∏∏∑-==-ni i nx np p 1)1(1ln ()ln (1)ln ni i L p n p x p ==+-⋅∑)1ln()(ln 1p n x p n ni i --+=∑=1(1)ln ()01ni i x d L p n dp p p =-=-=-∑01)(ln 1=---=∑=pn x p ndp p L d ni i 解得p 的最大似然估计值为 11ˆnii npxx===∑ （2）155ˆ5174926px ===++++ Exe6-6解：由2()2()x f x μσ--=（1）2σ已知，似然函数221()()2211()(,)ni i i x nx n nii i L f x eμμσσμμ=----==∑===∏2211ln ())()2nii L n x μμσ==---∑21ln ()1(22)02nii d L x d μμμσ==--=∑即11()0nniii i x n xμμ==-=-=∑∑解得μ的最大似然估计值 1ˆnii xx nμ===∑（2）μ已知，似然函数为212222)(222)(12122121),()(σμσμπσσπσσ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛====----==∏∏ni i i x nx ni n i i e ex f L21222)(21)ln(2)2ln(2)(ln μσσπσ-∑---==n i ix n n L 0)()(212)(ln 2122222=-+-=∑=μσσσσni i x n L d d 解得∑=-=n i i x x n 122)(1ˆσ，故2σ的最大似然估计值为 .)(1ˆ122∑=-=n i i i x x n σ Exe6-7解：（1）矩估计量2220()()()(3)2xt x xt xx E X xf x dx x e dx e dx t e dt θθθθθθθθ=--+∞+∞+∞+∞--∞==⋅===Γ=⎰⎰⎰⎰令2X θ=，得ˆ/2X θ= 似然函数211()(,)ix n nii i i x L f x eθθθθ-====∏∏1111ln ()(ln 2ln )ln 2ln nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑ 令21ln ()210ni i d L n x d θθθθ==-+=∑解得θ的最大似然估计值为111ˆ22n ii x x n θ===∑ （2）2311()(,)2ixnni i i i x L f x e θθθθ-====∏∏331111ln ()[2ln ln(2)]2ln ln(2)nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑令2321ln ()1602nii d L n xd θθθθθ==-⋅-=∑013)(ln 1223=+⋅-=∑=ni ixn d L d θθθθθ解得θ的最大似然估计值为 111ˆ33ni i x x n θ===∑ （3） ),(~p m B X ，m 已知{}∏∏=-=-===ni x m x x m ni i i i ip p C x X P p L 11)1()(1111ln ()[ln ln ()ln(1)]ln ln ln(1)()i inx m i i i nnnx m i i i i i L p C x p m x p C p x p nm x =====++--=++--∑∑∑∑令 11ln ()01n ni ii i x nm x d L p dp p p==-=-=-∑∑即1111(1)1n nniiii i i x xxnmppp p p===+==---∑∑∑ 解得p 的最大似然估计值为 1ˆnii xxpmnm===∑ Exe6-8解：(1)似然函数为{}{}{})1(2)1(2121)(522θθθθθθθ-=⋅-⋅==⋅=⋅==X P X P X P L)1ln(ln 52ln )(ln θθθ-++=L 令 0115)(ln =--=θθθθL d d 解得θ的最大似然估计值为.65ˆ=θ Exe6-9解：2121222222)()(22)(12)(111212121),,(),,(),(σβαβασβασβασπσπσπβαβαβα∑∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛=====+-+---+--=---===∏∏∏∏ni i n i i i i i i y x ny ni x ni n i i Y n i i X e eey f x f L))()((21ln 2)2ln(),(ln 21212βαβασσπβα+-∑+--∑---===ni i ni i y x n n L0))()((22),(ln 112=+-+--=∂∂∑∑==βαβασβααni i n i i y x L 0)()((22),(ln 112=+----=∂∂∑∑==βαβασβαβn i i n i i x x L 联立 解得,2ˆ,2ˆyx y x -=+=βα故βα,的最大似然估计量为 .2ˆ,2ˆYX Y X -=+=βαExe6-10解：（1）由1/2EX μθ==，得θ的矩估计量ˆ2X θ= ˆ()2()2()22E E X E X θθθ===⋅= 故θ的矩估计量ˆ2X θ=是θ的无偏估计量。

习题三解答1．已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求)(AB P 及)(B A P .解 4.08.05.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P +--=-==3.04.06.05.01=+--=2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。

解 10789989981989910090910=⨯=⨯⨯⨯⨯=p . 3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解 记=A {基金}，=B {股票}，则19.0)(,28.0)(,58.0)(===AB P B P A P(1) .327.058.019.0)()()|(===A P AB P A B P (2) 678.028.019.0)()()|(===B P AB P B A P . 4．给定5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，15.0)(=AB P ，验证下面四个等式：),()|(),()|(A P B A P A P B A P == )()|(B P A B P =，).()|(B P A B P =解 )(213.015.0)()()|(A P B P AB P B A P ====)(5.07.035.07.015.05.0)(1)()()()()|(A P B P AB P A P B P B A P B A P ===-=--==)(3.05.015.0)()()|(B P A P AB P A B P ====)(5.015.05.015.03.0)(1)()()()()|(B P A P AB P B P A P B A P A B P ==-=--==5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。

习题八1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若总体标准差不改变，总体均值有无显著性变化（α=0.05）?1.【解】0010/20.0250.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.1084.364,(4.364 4.55)3.851,0.108.H Hn Z ZxxZZZαμμμμασ==≠=======-===->所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化.2. 某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取三十六名考生的成绩，算得平均成绩为65.5分，标准差为15分.问在显著性水平10.0=α下，能否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？2.解：按题意需检验01Hμ==70Hμ=7000：，：因为总体2X~Nμ,且15，故，选取检验统计量XZ=，从而拒绝域为z 1.α/20.05z=z=65又由已知可得x66.5n=36=，故有，|.70||z| 1. 1.15/36|x-μ|655865σ/n所以，在显著水平0.=1下，不可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s2=0.1(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.3.设0010/20.02520.025: 1.1;: 1.1.36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,6 1.7456,1.7456(35)2.0301.H Hn t n t nx sxtttαμμμμα==≠===-=========<=所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.4. 试用第一节假设检验的基本思想. 方法和步骤验证定理1. 2. 3的第一条结论.5. 类似地用第一节单边假设检验的思想. 方法和步骤验证定理1. 2. 3的结论2、3条.6. 某种内服药品有使病人血压增高的副作用，已知血压的增高服从均值为22的正态分布.现研制这种新药品，测试了10名服用新药病人的血压，记录血压增高的数据如下：18，27，23，15，18，15，18，20，17，8问能否肯定新药的副作用小？（05.0=α）6.解： 根据题意需检验::2222，01H H 因为2XN(μ,σ)，且σ未知所以，选择检验统计量X T = 则拒绝域为：.005t-t(9)=-t (9)=-1.8331 又由已知可计算得.179x，s .5043所以，..x -μt ===-256-18331 拒绝0H ，即认为新药的副作用小。

习题三解答1．已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求)(AB P 及)(B A P .解 4.08.05.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P +--=-==3.04.06.05.01=+--=2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。

解 10789989981989910090910=⨯=⨯⨯⨯⨯=p . 3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19 (1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解 记=A {基金}，=B {股票}，则19.0)(,28.0)(,58.0)(===AB P B P A P(1) .327.058.019.0)()()|(===A P AB P A B P(2) 678.028.019.0)()()|(===B P AB P B A P . 4．给定5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，15.0)(=AB P ，验证下面四个等式： ),()|(),()|(A P B A P A P B A P == )()|(B P A B P =，).()|(B P A B P =解 )(213.015.0)()()|(A P B P AB P B A P ====)(5.07.035.07.015.05.0)(1)()()()()|(A P B P AB P A P B P B A P B A P ===-=--==)(3.05.015.0)()()|(B P A P AB P A B P ====)(5.015.05.015.03.0)(1)()()()()|(B P A P AB P B P A P B A P A B P ==-=--==5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。

概率统计第六章参考答案1．~(0,)X U b 101()2bbE X x dx A X b ====⎰2bX = ，b =1.69 2. 22()()3E X x xdx X θθθθ=-==⎰, 3X θ= 3. ~(,)X B m p111(1)101()(1)(1)kkm kk k m k mm k k E X kC p p pm C pp pm ∞∞-------===-=-=∑∑=X 22()(1)(1)(1)(1)k km kk km k mm k k E X k k C p p kC p p pm p X ∞∞--===--+-=-+∑∑=2A 4．~()X πλ {}!k e P X k k λλ-==()!k k e E X kX k λλλ-∞====∑ 所以 x λ= 11()()!nii x n nii e L p x λλ=-=∑=∏, 11ln ()ln ln ()!n niii i L p x n x λλ===--∑∏1(ln ())0nii x dL p n dp λ==-=∑ 解得 X λ=且2221(ln ())0d L p dp λ=-<所以 x λ=利用此式计算(2)5．1{}(1)x P X x p p -==-，1()()(1)ni i x n n L p p p =-∑=-1ln(())()ln(1)ln ni i L p x n p n p ==--+∑1(ln ())1ni i x n d nL p dp p p=-=-+-∑=0 解得1p = 利用此式解(2)6．2~(,)X N μσ (1) 参数2σ已知，估计μ解：由于),(~2σμN X ，故其概率密度函数为：),;(σμx f =()22221σμσπ--⋅x e⇒似然函数为),;,,,(21σμn n x x x L =∏=ni 1),;(σμi x f =∏=ni 1()22221σμσπ--⋅i x e=()21221σμσπ--∑=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅i ni x ne=()()212122μσσπ----∑=⋅⋅i ni x n n e两边取对数有：ln L =()()()212212ln ln 2ln μσσπ----∑=++i ni x nn e=()()212221ln 2ln μσσπ-∑--=-i ni nx n(l n ())dL d μμ=2(1)0ni i x n μ=-=∑ ⇒ˆx μ= (2) 参数μ已知，估计2σ22(ln ())d L d σσ=()2130ni i x nμσσ=-∑-+=⇒()2211ˆni i x x n σ==-∑ 7. (1) /21,0()0,x xe x f x θθ-⎧>⎪=⎨⎪ ⎩其他1/1222111()(),nii i x nx i n ni L x ex x x eθθθθθ=--=∑==∏121(())2()()()/nn i i Ln L nLn nLn x x x x θθθ==-+-∑(ln ())d L d θθ=1202nii x n θθ=-+=∑ ⇒ 2X θ=(2) 32/1,0()20,x x e x f x θθ-⎧>⎪=⎨⎪ ⎩其他1/221233111()(),22nii i x nx i n n n i L x e x x x e θθθθθ=--=∑==∏2121(())23()()()/nn i i Ln L nLn nLn nLn x x x x θθθ==--+-∑(ln ())d L d θθ=1203nii x n θθ=-+=∑⇒ 3X θ= (3) ~(,)X B m p 参数m 已知估计p ，{}(1)k kn k n P X k C p p -==-()L p =1(1)ii i nx x m x ni Cp p -=-(())Ln L p =111()ln(1)i nnnx ni i i i i Ln C x Lnp nm x p ===++--∑∑(ln ())dL p dp=1101nniii i xnm x pp==--=-∑∑⇒1ni i x =∑=nmp ⇒Xp m= 8．22()2(1)L θθθθθ=- 直接对其求导数=0 得到 56θ= 9．利用第六题中的结论可知道Y Xαβαβ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩解得 22X Y α=+， 22X Y β=-10．(1) 证明：()(2)2()E E X E X θθ===(2) ()()E Y E Y λ==22()(3)3()()()E Z E Y Y E Y E Y D Y =+=++=24λλ+(3) 22111()(3)3()()()ni i E U E Y Y E Y nE Y E Z nn==+=+⋅=∑11 .T1和T3是无偏估计量 T3最有效 22212210()36936D T θθθ=+= 222222149164()252525255D T θθθθθ=+++= 2231()40.2516D T θθ=⋅= 12．(,1296)X N μ 27,36n σ==置信区间是22(,)X Z X Z αα-+(1) 210.95, 1.96Z αα-==, (2) 210.9, 1.645Zαα-==13. (1) 用第6题结论 （2）置信区间是22(,)X Z X Z αα-+，210.95, 1.96Z αα-==14．（1）根据P140中结论计算 （2）置信区间是2((1))X n a?，230,10.9, 1.6973n t a a =-== 15．置信区间是2((1))X n a?，9.4,12,s n == 210.95, 2.1788t a a -== 16．置信区间是2((1))X n a?， 19.06875,32, 3.256x n S === 210.95, 2.1788t a a -==17．置信区间是2((1))X n a?， 214.71, 6.144,13,10.95, 2.1788x S n t a a ===-==18．置信区间是122((2)X Y t n n S a -?-其中: W S =221281.31,78.61,60.76,48.24X Y S S ====1229,15,10.95,(23) 1.7139n n t a a ==-==19. 置信区间是2211222/21221/21211(,)(1,1)(1,1)S S S F n n S F n n a a -----129,11,n n == 22120.344,0.456S S ==/212(1,1) 3.85F n n a --=, 11/212 4.3(1,1)F n n a ---=20．单侧置信上限：221122221121()(1,1)S S F n n a s s -=--其中10.95a -=,21S =6.798 , 22S = 9.627 , 112(1,1)F n n a ---=3.29单侧置信上限22121(1)(1)n S n a s c --=- 21(1)n a c --=2.16721.单侧置信下限：(1)X n a m =+- 14.71, 6.144,13,10.95,(12)x S n t a a ===-==1.782322.单侧置信上限12(2)X Y t n n S a m =-++-222112212(1)(1)2wn S n S S n n -+-=+-，221281.31,78.61,60.76,48.24X Y S S ====12(2) 1.71t n n a +-=,。

习题六1. 设总体X ～)6,(μN ,从中抽取容量为25的一个样本,求样本方差2S 小于9.1的概率.解 X ～)6,(μN ,由22)1(σS n -～)1(2-n χ,于是{}()(){}(){}22222519.1(1)9.12436.412436.466n S P S P p p χχ-⨯⎧⎫-<=<=<=-≥⎨⎬⎩⎭10.050.95.=-=2. 设1210,,,X X X 是取自正态总体2(0,0.3)N 的样本,试求1021 1.44i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑.解：由()212nii Xu σ=-∑～2()n χ，于是()()(){}10210221221 1.441.4410160.10.30.3i i i i X P X P P χ==⎧⎫⎪⎪⎧⎫⎪⎪>=>=>=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑ 3. 设总体X ～(,4)N a ,n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本,X 为样本均值,试问样本容量n 分别为多大时,才能使以下各式成立，()()()()()210.1;20.1;3{1}0.95.E X aE X a P X a -≤-≤-≤≥解 （1） 因为X ～4(,),N a nX ～(0,1),N 从而()24X a n -～2(1),χ于是2241,0.1,40.X a E E X a n n n ⎛⎫- ⎪=-=≤≥ ⎪ ⎪⎝⎭所以 （2X ～(0,1),N 所以22222222x x x x E dx xedx ed ∞∞∞----∞⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰所以()0.1,E X a -=≤从而800254.7,255.n n π>=≥故（3） 因为{}1210.95,2X P X a P P φ⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎛⎪-≤=≤=≤≤=-≥ ⎨ ⎝⎭⎪⎪⎩所以()0.975, 1.96=0.975 1.9615.37,16.n n φφ≥≥≥≥⎝⎭而，故 4. 已知总体X ～),10(2σN ,σ为未知,1234,,,X X X X 总体X 的一个样本,2X S 、分别为样本均值和样本方差（1）构造一个关于X 的统计量Y ,使得)3(~t Y ; （2）设92.1=s ,求使{10}0.95P X θθ-<-<=的θ.解 （1）()()()()22222211030,1,1,3,2n S X S N n χχσσσ---～～～()()102103.X X Y t Sσ⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫- ⎪== ⎪⎝⎭～（2） ()()221022{10}1210.95,S X P X P t n S S S θθθθθ⎧⎫--⎪⎪-<-<=<<=--=⎨⎬⎪⎪⎩⎭所以()2210.025,4,3.1824, 1.92, 3.0551.St n n S Sθθθ-===== 5. 为了估计总体均值,抽取足够大的样本,以95%的概率使样本均值偏离总体均值不超过总体标准差σ的25%,试求样本容量. 解{}0.250.25444X u X P X u P P P σσ⎧⎫-⎧⎪⎪⎪-≤=≤=≤=-≤≤⎨⎬⎨⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎩⎭⎭2195%,0.975, 1.96,61.4656,62.444n n φφ⎛⎫⎛=-====≥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭所以所以样本容量6. 从总体X ～)2,12(2N 中抽取容量为5的样本521,,,X X X ，试求(1) 样本的极小值小于10的概率; (2) 样本的极大值大于15的概率. 解 （1） (){}(){}125125min ,,,101min ,,,10P X X X P X X X <=-≥{}55111210*********i i i i X P X P ==⎡-⎤-⎧⎫=-≥=--<⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦∏∏()511110.5785.i φ==---=⎡⎤⎣⎦∏（2） (){}(){}125125max ,,,151max ,,,15P X X X P X X X >=-≤()()5551112151211 1.510.93320.2923.22i i i X P φ==⎡-⎤-⎧⎫=-<==-=-=⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎣⎦∏∏ 7. 从两个正态总体中分别抽取容量为25和20的两个独立样本,算得样本方差依次为2162.7S =，2225.6S =,若两总体方差相等,求随机抽取的两个样本的样本方差之比2221SS 大于6.257.62的概率是多少？ 解()()22212112222122/1,124,19/S S S F n n F S σσ=--=～，所以2211222262.7 2.450.025.25.6S S P P S S ⎧⎫⎧⎫>=>=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭8. 设n X X X ,,,21 是总体),(~2σμN X 的一个样本,样本方差,)(11212∑=--=n i i X X n S 证明12)(42-=n S D σ.证 因为)1(~)1(222--n S n χσ，而)1(2))1((2-=-n n D χ，所以12)1(2)1()1(1)(4242222-=-⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-=n n n S n n D S D σσσσ. 9. 设12,X X 分别是取自正态总体),(2σμN 的容量均为n 的相互独立的两个样本的样本均值，试确定n ,使得两个样本均值之差超过σ的概率大于01.0. 解2212(,),(,(0,1),X X X N u X N u N nn σσ～～{}121220.01,P X X P P σφ->=>=-≤=->⎪⎪⎭⎭2.575,13.n φ<=≈ 10. 设总体~()X πλ,n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本.X ,2S 分别为样本均值和样本方差，试求(1) （12,,,n X X X ）的分布律; (2) 2(),(),()E X D X E S解 (1) 因为 {},!ix i ii e P X x x λλ-==所以(){}11112,.!!!nii x n n n n i i i i n e P X x X x P X x x x x λλ=-=∑=====∏(2) ()()(),,1,2,,i i E X D X i n λλ===所以()()211111,,n ni i i i E X EX D X DX nnnλλ======∑∑()()2222222111111111n n n i i i i i i E S E X X E X nX E X nX n n n ===⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ ()2211.1n n n n λλλλλ⎡⎤⎛⎫=+-+= ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦11. 从总体)6,4.3(2N 中抽取容量为n 的样本,如要求其样本均值位于区间)4.5,4.1(的概率不小于95.0,问样本容量n 至少应取多大？ 解36(3.4,(0,1),X N N n ～ {}1.4 5.4210.95,333P X P φ⎧⎛⎫⎪<<=-<<=-≥ ⎪⎨ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭0.975,35.n φ≥≥⎝⎭12. 设样本观察值n x x x ,,,21 的平均值为x ,样本方差为2x S ,作变换cax y i i -=得n y y y ,,,21 的样本平均值为y ,样本方差为2y S ,试证 222,.x y x a cy S c S =+=证 11,ni i x x n ==∑()1111111111,n n n n i i i i i i i i x a a y y x a x na x n n c cn cn cn c c====-===-=-=-∑∑∑∑所以.x a c y =+()()22222111111n n xi i i i S x nx a cy n a cy n n ==⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑ ()()22222211221n i i i a acy c y n a acy c y n =⎛⎫=++-++ ⎪-⎝⎭∑ 2222111221n n i i i i c y ac y nacy nc y n ==⎛⎫=+-- ⎪-⎝⎭∑∑ 222221.1n i y i c y ny c S n =⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭∑ 13. 设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的一个样本，试求随机变量∑=-ni i X X 12)(的数学期望和方差.解： 因为()2(),,i i E X u D X σ==所以222(),i E X u σ=+()2(),,E X u D X nσ==所以222().E X u nσ=+()()22222111(),n nni i i i i i E X X E X nX E X nE X ===⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ()()222221.n u n u n n σσσ⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭令21(),ni i Y X X ==-∑由2211(),1n i i S X X n ==--∑得()21,Y n S =- 由定理2得[]()222211,n S Yn χσσ-=-～所以()()2421,D Y Y D n σσ⎛⎫==-⎪⎝⎭即()()421.D Y n σ=- 14. 设521,,,X X X 来自正态总体)1,0(N 的一个样本，（1）试求常数B A ,,使得2543221)()(X X X B X X A ++++服从2χ分布,并且指出它的自由度； （2）试求常数,m n ,使得22212345()()m X X X X X +++服从F分布,并且指出它的自由度.解（1）因为(0,1),i X N ～,(0,1).N 由2χ分布的定义知()22234512()()2,23X X X X X χ++++～ 故11,, 2.23A B n ===自由度（2）因为()222122,X X χ+～由F 分布的定义知()()22212345()2,1,23X X X X X F +++～ 故1211,,2, 1.23m B n n ====自由度15. 设X 是总体X 的样本均值,试证当X c =时,∑=-ni i c X 12)(达到最小.证222222211111()22n n nn ni ii i i i i i i i X c X c X nc X nX nX c X nc =====⎛⎫-=-+=-+-+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑ ()()()22211.nni i i i X Xn X cX X===-+-≥-∑∑故当X c =时，∑=-ni i c X 12)(达到最小.16.设总体X 服从标准正态分布，X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统计量Y =∑∑==-ni ii i XX n 62512)15(，n ＞5服从何种分布？ 解: 52222221211~(5),~(5)nii i i XX X n χχχ====-∑∑, 且12χ与22χ相互独立. 所以2122/5~(5,5)/5Y F n n χχ=--.。

习题一解答1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。

解 (1) )},(),,(),,(),,{(−−+−−+++=Ω， )},(),,{(−−++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{L L ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A U ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B U ；(7)C A −. 解 (1) Ω=B A U 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B I U {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==−C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间]2,0[上任取一数，记 ≤<=121x x A ，≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A U ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A U .解 (1)≤≤=2341x x B A U ;(2) =≤<≤≤=B x x x A I 21210或≤< ≤≤2312141x x x x U ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)= ≤<<≤=223410x x x A B A 或U U≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）；(4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。

习题一解答1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。

解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。

习题一解答1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。

解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。