山东科技大学概率论卓相来岳嵘编第三章习题解析

习 题 三1. 一个口袋中装有5只球，其中4只红球，1只白球，采用不放回抽样，接连摸两次.设⎩⎨⎧=⎩⎨⎧=.,0,1 01第二次摸到白球第二次摸到红球，，第一次摸到白球；，第一次摸到红球，Y X 试求：（1）Y X 和的联合分布律；（2）{}.Y X P ≥解 （1） ),(Y X 的可能取的数组为 (0,0),(0,1),. (1,0), (1,1) 下面先算出每一组取值的概率第一次取到白球的概率为15，第一次取到白球后，第二次取白球的概率为0. 第一次取到白球的概率为15，第一次取到白球后，第二次取红球的概率为1.因此由乘法定理得{}(,)}{(0,0)0P X Y P == {}11(,)(0,1)155P X Y ==⨯=第一次取到红球的概率为45，第一次取到红球后，第二次取白球的概率为14. 第一次取到红球的概率为45，第一次取到红球后，第二次取红球的概率为34.因此由乘法定理得{}433(,)(1,1)545P X Y ==⨯={}411(,)(1,0)545P X Y ==⨯=于是所求的分布律为Y 0 1X0 0151 15 35（2）{}.Y X P ≥={}{}{}4(0,0)(1,0)(1,1)5P P P ++=2. 将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值。

试写出Y X 和的联合分布律.解 由X 表示在三次中出现正面的次数，出现反面次数为3X -，所以(3)23Y X X X =--=-，X 的取值为0,1,2,3，Y 的取值为3,1,1,3，且(3,0.5)X b :于是{}{}311(,)(0,3)0()28P X Y P X ====={}{}123113(,)(1,1)1()228P X Y P X C ====={}{}223113(,)(2,1)2()228P X Y P X C ====={}{}311(,)(3,3)3()28P X Y P X =====而(,)(0,1),(1,3),(2,3),(3,1),X Y =均为不可能事件.所求的Y X 和的联合分布律为 X 0 1 2 3Y1 038 38 0 3 18 0 0 183. 一盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求Y X 和的联合分布律.解 X 的取值为0,1,2,3，Y 的取值为0,1,2,其联合分布律为 X 0 1 2 3Y0 0 0335 2351 0635 1235 235 2 135 635 3354. 设二维随机变量()Y X ,概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=. ,0,42,20),6(),(其它y x y x k y x f求:（1）常数k ； （2）{}3,1<<Y X P ； （3）{}5.1<X P ； （4）{}4≤+Y X P .解 （1）由概率密度的性质⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f ，得24220(,)(6)2(3)81f x y dxdy k x y dxdy k x dx k +∞+∞-∞-∞=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰,故18k =. 于是 6,02,24,(,)80, .x yx y f x y --⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其它 {}{}1302(2) 1,3(,)6388DP P X Y f x y dxdyx y dydx <<=--==⎰⎰⎰⎰{} 1.5402627(3) 1.5832x y P X dydx --<==⎰⎰ (4）{}240262483x x y P X Y dydx ---+≤==⎰⎰.5. 设二维随机变量()Y X ,服从区域G 上的均匀分布，其中{}1,1≤≤=y x G ，试求关于t 的一元二次方程02=++Y Xt t 无实根的概率.解 二维随机变量),(Y X 在区域{}1,1≤≤=y x G 服从均匀分布，由G 的面积4A =，所以),(Y X 的概率密度为1, 1,1,(,)40, .x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它若关于t 的一元二次方程02=++Y Xt t 无实数根，则判别式240X Y ∆=-<t 的一元二次方程02=++Y Xt t 无实数根的概率为2112214111{40}{4}424x P X Y P X Y dydx --<=<==⎰⎰. 6. 设X 与Y 的联合概率密度为4, 01,01,(,)0, .xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它求X 与Y 的联合分布函数(,)F x y解 22220,00,01,01(,)(,),01,1,1,011,1,1xyx y x y x y F x y ds f s t dt x x y y x y x y -∞-∞<<⎧⎪≤≤≤≤⎪⎪==≤≤>⎨⎪>≤≤⎪>>⎪⎩⎰⎰或7. 设X 与Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧∈=.,0,),( ,2),(其它G y x xy y x f 其中区域G 如图3-7所示，试求X 与Y 的边缘概率密度.解 3202, 02,()(,)40, .xx x xydy x f x f x y dy +∞-∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它23224(), 01,()(,)0, .y Y xydx y y y f y f x y dx +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 8. 二维随机变量()Y X ,概率密度为 ⎩⎨⎧≤≤=. ,0,1 ,),(22其它y x y cx y x f图3-7试求:（1）确定常数c ；（2）边缘概率密度.解 （1）由概率密度的性质⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f ，得21112241114(,)(1)1221xf x y dxdy cx ydxdy cx x dx c +∞+∞-∞-∞--==-==⎰⎰⎰⎰⎰,故214c =. 于是2221, 1,(,)40, .x y x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它(2) X 的边缘概率密度 212242121(1), -11,()(,)480, .x x x ydy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它Y 的边缘概率密度5227, 01,()(,)20, .Y ydx y y f y f x y dx +∞-∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰其它 9. 设袋中有标记为14:的四张卡片，从中不放回地抽取两张，X 表示首次抽到的卡片上的数字，Y 表示抽到的两张卡片上的数字差的绝对值 . （1）求,X Y （）的概率分布； （2）给出X 与Y 的边缘分布；（3）求在=4X 下Y 的条件概率分布和在Y=3下X 的条件概率分布.解 (1) X 的取值为1,2,3,4，Y 的取值为1,2,3,,X Y （）的概率分布为X 1 2 3 4Y1 1122122121122 1121121121123 1120 0112（2）给出X与Y的边缘分布X 1 2 3 4p1*******iY 1 2 3p12131iX下Y的条件概率分布（3）求在=4Y 1 2 3p131313i在Y=3下X的条件概率分布X 1 4ip121210. 在第8题中，试求（1）已知事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21Y发生时X的条件概率密度；（2）)/(xyfXY.解（1）2221,1,(,)40,.x y x yf x y⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它由5227, 01, ()(,)20,.Yydx y yf y f x y dx+∞-∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰其它1()216Yf=已知事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21Y发生时X的条件概率密度21(,)1,2(/)212()0,2X YYf xxf xf⎧≤⎪==⎨⎪⎩其它（2）)/(xyfXY.由212242121(1), -11,()(,)480,.xxx ydy x x xf x f x y dy+∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它当-1<1x<时4221,1(,)(/)()0,Y XXy x x yf x yf y xf x⎧-≤≤==⎨⎩其它11. 设,X Y （）服从区域2:{(,)01}D x y y x ≤≤-上的均匀分布，设区域 2:{(,)}B x y y x ≥；（1）写出,X Y （）的联合密度函数； （2）给出X 与Y 的边缘密度函数； (3）求在1=-2X 时Y 的条件密度函数和在1Y=2时X 的条件密度函数；. （4）求概率P{(,)}X Y B ∈. 解 （1）区域D 的面积1214(1)3S x dx -=-=⎰. ,X Y （）的联合密度函数为 234,01(,)0,y x f x y ⎧≤≤-=⎨⎩其它 （2）X 与Y 的边缘密度函数；212033(1), -1<1,()(,)440, .x x dy x x f x f x y dy -+∞-∞⎧=-<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它1,()(,)0, .Y y f y f x y dx +∞-∞⎧<⎪==⎨⎪⎩⎰其它 （3） 19()0216X f -=>，在1=2X -时Y 的条件密度函数 1(,)43,03412(/)10,2()2Y X X f y y f y f -<<⎧-==⎨⎩-其它1()02Y f => 已知事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21Y 发生时X 的条件概率密度1(,)1,2(/)2212()0,2X Y Y f x x f x f <⎪==⎨⎪⎩其它（4）概率2213P{(,)}(,)42x xBX Y B f x y dxdy dx dy -∈===⎰⎰⎰ 12. 二维随机变量()Y X ,概率密度为3, 01,0,(,)0, .x x y x f x y ≤<≤<⎧=⎨⎩其它求11P{}84Y X ≤= 解 2033, 01,()(,)0, .xx xdy x x f x f x y dy +∞-∞⎧=≤<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它从而 1,0(,)(/)0,()Y X X x y xf x y f y x f x ≤<⎧==⎨⎩其它于是 14,01(/)440,Y X y f y x ⎧≤<⎪==⎨⎪⎩其它从而18180111P{}(/)844142Y X Y X f y x dydy -∞≤=====⎰⎰13. Y X ,相互独立，()Y X ,的联合分布律及关于X ，关于Y 的边缘分布律部分数值如下表X Y 1y 2y 3y {}⋅==i i p x X P1x 812x 81{}j j p y Y P ⋅==61完成上述表格中的空格.解. Y X ,相互独立，有的可能取值),(j i y x 有{}{}{}j i j i y Y P x X P y Y x X P =⋅====,，1,2;1,2,3.i j ==()Y X ,的联合分布律及关于X ，关于Y 的边缘分布律部分数值如下表X Y 1y 2y 3y {}⋅==i i p x X P1x 12481112 14 2x 813814 34{}j j p y Y P ⋅== 61 121314. 已知随机变量X 与Y 的分布律分别为X -1 0 1 Y 0 1 p41 21 41 p 2121 已知 {}01P XY ==.试求 （1）X 与Y 的联合分布律；（2）X 与Y 是否相互独立？为什么？解 （1）由{}01P XY == 可知{}00P XY ≠=故 {}{}1,11,10P X Y P X Y =-===== 因而 {}{}11,014P X Y P X =-===-={}{}11,014P X Y P X ====={}{}{}{}0,001,01,0111()0244P X Y P Y P X Y P X Y ====-=-=-===-+=X 与Y 的联合分布律()Y X ,的联合分布律及关于X ，关于Y 的边缘分布律部分数值如下表Y X 1- 0 1 {}j j P Y y p ⋅==0 1414 12 1 0120 12{}i i P X x p ⋅== 141214由以上结果 {}0,00P X Y ===， {}10}{04P X P Y ===，于是X 与Y 不独立. 15. 二维随机变量()Y X ,概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,0,0,0 ,2),()2(其它y x e y x f y x试求（1）X 与Y 是否相互独立？为什么？；(2）{}2,1><Y X P ，)1/(/x f Y X 与)/(/y x f Y X ，其中.0>y 解 （1）X 的边缘概率密度 (2)02, 0,()(,)0, .x y x x edy e x f x f x y dy +∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 Y 的边缘概率密度(2)2022, y 0,()(,)0, .x y y Y edx e f y f x y dx +∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 对于任意的常数y x ,有)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=.所以X 与Y 是否相互独立（2）{}1(2)45021,2(,)2x y DP X Y f x y dxdy e dxdy e e +∞-+--<>===-⎰⎰⎰⎰(2)/2(,1)2(/1)(1)2x xX Y Y f x e f x e f e-+--=== 与 (2)0/2, 0,(/)()0, .x y x X Y X edy e x f x y f x +∞-+-⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰其它，其中.0>y 16. X 与Y 是相互独立的随机变量,X 在（0,1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-. ,0,0 ,21)(2其它y e y f yY（1） 试求X 与Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程022=++Y Xa a ，试求a 有实根的概率.解（1）X 在（0,1）上服从均匀分布，X 的概率密度为1, 01,()0, .X x f x <<⎧=⎨⎩其它Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-. ,0,0 ,21)(2其它y e y f yY 因为X 与Y 是相互独立的随机变量, X 与Y 的联合概率密度21, 01,0,(,)()()20, .yX Y e x y f x y f x f y -⎧<<>⎪=⋅=⎨⎪⎩其它 （2）含有a 的二次方程022=++Y Xa a ，若 a 有实根，则判别式2440X Y ∆=-≥a 的二次方程022=++Y Xa a ，若 a 有实根的概率为222221112220000{0}{}1(1)12yx x x P X Y P X Y dx e dy edx dx----≥=≥==-=-⎰⎰⎰1(1(0=））=0.144517. 若在区间(0,1)内任取两个数，求事件“两数之和小于65”的概率.解 在区间(0,1)内任取两个数分别为随机变量X 与YX 在（0,1）上服从均匀分布，X 的概率密度为1, 01,()0, .X x f x <<⎧=⎨⎩其它Y 在（0,1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为1, 01,()0, .Y y f y <<⎧=⎨⎩其它 因为X 与Y 是相互独立的随机变量, X 与Y 的联合概率密度1, 01,01,(,)()()0, .X Y x y f x y f x f y <<<<⎧=⋅=⎨⎩其它 事件“两数之和小于65”的概率. 556600525{}672x P X Y dxdy -+<==⎰⎰ 18. 设钻头的寿命（即钻头直到磨损报废为止 ，所钻透的地层厚度，以米为单位）服从参数为 0.001的指数分布，即Y 的概率密度为0.0010.001,0,()0, .x e x f x -⎧>=⎨⎩其它现要打一口深度为2000米的的井.(1)求只需一根钻头的概率； (2)恰好用两根钻头的概率。

概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<<Y X P （3） 求{}5.1<X P ； （4） 求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

概率论与数理统计第三章课后习题答案概率论与数理统计第三章课后习题答案习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：（2）随机变量（X ，Y ）的分布函数；（3）P {0≤X <1，0≤Y <2}.【解】（1）由-(34)0(,)d d e d d 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===??得 A =12（2）由定义，有(,)(,)d d yx F x y f u v u v -∞-∞=??(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x -+--??-->>?==?? 其他(3){01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12ed d (1e )(1e)0.9499.x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈?5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k（1）确定常数k ；（2）求P {X ＜1，Y ＜3}；（3）求P {X <1.5}；（4）求P {X +Y ≤4}. 【解】（1）由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==??故18R =（2） 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=??130213(6)d d 88k x y y x =--=?? (3)11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y<<=如图 1.542127d (6)d .832x x y y =--=?(4)24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y+≤+≤=如图b 240212d (6)d .83xx x y y -=--=??题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为f Y （y ）=>-.,0,0,55其他y y e求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2）P {Y ≤X }.题6图【解】（1）因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ?<而55e ,0,()0,.y Y y f y -?>=?其他所以(,),()()XY f x y X Y f x f y g 独立5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --<<>?==??且其他.5()(,)d d 25e d d y y xDP Y X f x y x y x y-≤≤=如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xy x x y x-==-+≈7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求（X ，Y ）的联合分布密度. 【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+?>>?==?其他.8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤??求边缘概率密度.【解】()(,)d X fx f x y y+∞-∞=?x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ??--≤≤?=??其他()(,)d Y f y f x y x+∞-∞=?12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ?-?-+≤≤?=??其他题8图题9图9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=<<-.,0,0,其他e y x y求边缘概率密度.【解】()(,)d Xf x f x y y +∞-∞=?e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞--??>?=??其他()(,)d Y f y f x y x+∞-∞=?0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y --??>?=??其他题10图10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=≤≤.,0,1,22其他y x y cx（1）试确定常数c ；（2）求边缘概率密度. 【解】（1） (,)d d (,)d d Df x y x y f x y xy+∞+∞-∞-∞如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==??得214c =.(2)()(,)d X f x f x y y+∞-∞=?212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ??--≤≤??==其他()(,)d Y f y f x y x+∞-∞=?522217d ,01,420,0,.y y x y x y y -??≤≤??==其他11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=?<<<.,0,1其他x x y求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.题11图【解】()(,)d Xf x f x y y +∞-∞=?1d 2,01,0,.x x y x x -?=<111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞=+-<<??其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ?<其他, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y<<?-?==-<<?+其他12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号码为Y .（1）求X 与Y 的联合概率分布；（2） X 与Y 是否相互独立？【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表1 3511C 10=3522C 10= 3533C 10= 610 2 0 3511C 10=3522C 10= 310 30 02511C 10=110{}i P Y y =110310(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===?=≠===g 故X 与Y 不独立13.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为2 5 80.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 （1）求关于X 和关于Y 的边缘分布；（2） X 与Y 是否相互独立？【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2{}i P X x =0.20.420.38(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===?g 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.XYX Y14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为f Y （y ）=>-.,0,0,212/其他y y e（1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率. 【解】（1）因1,01,()0,Xx fx <21e ,1,()20,yY y f y -?>?==其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -?<<>?=g 独立其他题14图(2) 方程220aXa Y ++=有实根的条件是 2(2)40X Y ?=-≥故X 2≥Y ，从而方程有实根的概率为：22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=??21/2001d e d 212[(1)(0)]0.1445.x yx yπ-==-Φ-Φ=??15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f （x ）=>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}ZXF z P Z z P z Y =≤=≤(1) 当z ≤0时，()0ZF z =（2）当0<="" p="">）(如图a) 3366102222101010()d d d d yz Z zxy zF z x y y x x y x y +∞≥==??33610231010=d 2z zy yzy +∞-=题15图(3) 当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ）3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y xx y x y +∞≥==??336231010101=d 12y yzy z +∞-=-即11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ?-≥=<<??其他故21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ?≥=<<??其他16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4)，则X i ~N （160，202），从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥g 之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥g1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<="" p="">44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ?-=-<=-Φ=-Φ==17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，…. 证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(，i =0，1，2，….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数，所以{}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==U UL U于是{}{,},ik P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑g()()ik p k q i k ==-∑18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ，p 的二项分布.【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n .0{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki k i n i k i n k ii kk n ki k n k P X i P Y k i n n p q p q i k i n n p q i k i n p q k =---+=-=-===-= ? ?-= ???-??= ???∑∑∑g方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则X =μ1+μ2+…+μn，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′,X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以，X +Y 服从参数为（2n ,p )的二项分布.19.设随机变量（X ，Y ）的分布律为(1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}；（2）求V =max （X ，Y ）的分布律；（3）求U =min （X ，Y ）的分布律；（4）求W =X +Y 的分布律.【解】（1）{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑{3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑（2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i =====<+≤= 10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑0,1,2,3,4,5i =所以V 的分布律为(3){}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k i k i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑0,1,2,3,i =于是 (4)类似上述过程，有26 3 9 4 9 2 520.雷达的圆形屏幕半径为R ，设目标出现点（X ，Y ）在屏幕上服从均匀分布. （1）求P {Y ＞0｜Y ＞X }；（2）设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}.题20图【解】因（X ，Y ）的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y R f x y R+≤?=其他（1）{0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=> 0(,)d (,)d y y xy xf x y f x y σσ>>>=π2π/405π42π/401d d π1d d πRR r r R r r R θθ=??3/83;1/24==(2){0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-=-=??21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少？题21图【解】区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===?（X ,Y ）的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x≤≤<≤?=其他（X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为1/2011d ,1e ,()220,.x X y x f x x=≤≤?=其他所以1(2).4Xf=22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余。

《概率论与数理统计》习题及答案第 三 章1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。

解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 11()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=L2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。

解 从a b +个球中任取r 个球共有ra b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有kr kb aC C -，所以X 的分布列为()k r kb ara bC C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+L ， 此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。

3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。

解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。

则1231111(0)()23424P X P A A A ===⋅⋅=， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++111121113623423423424=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1211131231123423423424=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=，1231236(3)()23424P X P A A A ===⋅⋅=. 即X 的分布列为01231611624242424XP. 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。

第三章 离散型随机变量率分布。

，试写出命中次数的概标的命中率为目；设已知射手每次射击射击中命中目标的次数指示射手在这三次独立以本空间上定义一个函数验的样本空间；试在样作为试验，试写出此试察这些次射击是否命中三次独立射击，现将观一射手对某目标进行了7.0.1.343.0441.0189.0027.03210027.0)7.01()()0()0(189.0)7.01()7.01(7.03)(3)1()1()1()1(441.0)7.01(7.07.03)(3)2()2()2()2(343.0)7.0()()3()3()(0)(1)()()(2)()()(3)(},,,{)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(3,2,1332183217653214323321187654321821321321321321321321321321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-======-⨯-⨯⨯===+=+====-⨯⨯⨯===+=+===================Ω==的分布列为所以，，则简记为将，，则代表击中目标的次数，令则次射中”，“第解：设ξξξξξξξξξξξξξξωξωξωξωξωξωξωξωξωξξωωωA A A P P P A A A P P P P P A A A P P P P P A A A P P P A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A i i A i i i。

出的废品数的概率分布前已取个，求在取得合格品之不再放回而再取来使用，若取得废品就个这批零件中任取个废品，安装机器时从个合格品、一批零件中有1139.2118805499101112123)3(132054109112123)2(13227119123)1(129)0(32101919110111111211213110191111211213111191121311219=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅===⨯⨯=⋅⋅===⨯=⋅=====C C C C C C C C P C C C C C C P C C C C P C C P ξξξξξξ，，，可能取值为：代表废品数，则解：令.1188054132054132271293210⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛的分布列为所以，ξ废品数的概率分布。

概率论第三章习题参考解答1. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 求ξ的期望值 解：由习题二第2题算出ξ的分布率为ξ0 1 P1/32/3因此有E ξ=0×P (ξ=0)+1×P (ξ=1)=2/3+2η, ξ与η的分布律如下表所示:: 求周长的期望值, 用两种方法计算, 一种是利用矩形长与宽的期望计算, 另一种是利用周长的分布计算.解: 由长和宽的分布率可以算得E ξ=29×P (ξ=29)+30×P (ξ=30)+31×P (ξ=31) =29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9E η=19×P (η=19)+20×P (η=20)+21×P (η=21) =19×0.3+20×0.4+21×0.3=20 由期望的性质可得E ζ=2(E ξ+E η)=2×(29.9+20)=99.8而如果按ζ的分布律计算它的期望值, 也可以得E ζ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8 验证了期望的性质.4. 连续型随机变量ξ的概率密度为⎩⎨⎧><<=其它)0,(10)(a k x kx x aϕ又知Eξ=0.75, 求k 和a 的值。

解: 由性质⎰+∞∞-=1)(dx x ϕ得111)(|10110=+=+==++∞∞-⎰⎰a kx a k dx kx dx x a aϕ即k =a +1(1)又知75.022)(|10211=+=+===+++∞∞-⎰⎰a kx a k dx kx dx x x E a a ϕξ得k =0.75a +1.5(2)由(1)与(2)解得0.25a =0.5, 即a =2, k =36. 下表是某公共汽车公司的188辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数列.若表中各以组中值为代表. 从188辆汽车中, 任意抽选15辆, 得出下列数字: 90, 50, 150, 110, 90, 90, 110, 90, 50, 110, 90, 70, 50, 70, 150. (1)求这15个数字的平均数; (2) 计算表3-9中的期望并与(1)相比较.解: (1) 15个数的平均数为(90+50+150+110+90+90+110+90+50+110+90+70+50+70+150)/15 = 91.33 (2) 按上表计算期望值为(10×5+30×11+50×16+70×25+90×34+110×46+130×33+150×16+170×2)/188 =96.177. 两种种子各播种300公顷地, 调查其收获量, 如下表所示, 分别求出它们产量的平均值解: 假设种子甲的每公顷产量数为, 种子乙的每公顷产量数为, 则 E ξ=(4500×12+4800×38+5100×40+5400×10)/100=4944 E η=(4500×23+4800×24+5100×30+5400×23)/100=49598. 一个螺丝钉的重量是随机变量, 期望值为10g , 标准差为1g . 100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少?(假设各个螺丝钉的重量相互之间独立) 解: 假设这100个螺丝钉的重量分别为ξ1, ξ2,…, ξ100, 因此有E ξi =10, Dξi =102=12=1, (i =1,2,…,100), 设ξ为这100个螺丝钉的总重量，因此∑==1001i i ξξ，则ξ的数学期望和标准差为gD D D kgg E E E i ii i i i i i 1011001)(1000101001001100110011001=⨯==⎪⎭⎫⎝⎛====⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑====ξξξσξξξξ9. 已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值.解: 假设ξ为取出5个产品中的次品数, 又假设ξi 为第i 次取出的次品数, 即, 如果第i 次取到的是次品, 则ξi =1否则ξi =0, i =1,2,3,4,5, ξi 服从0-1分布,而且有 P {ξi =0}=90/100, P {ξi =1}=10/100, i =1,2,3,4,5因此, E ξi =10/100=1/10, 因为∑==51i iξξ因此有5.010155151=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==i i i i E E E ξξξ10. 一批零件中有9个合格品和3个废品, 在安装机器时, 从这批零件中任取一个, 如果取出的是废品就不再放回去. 求取得第一个合格品之前, 已经取出的废品数的数学期望和方差. 解: 假设在取到第一个合格品之前已取出的废品数为ξ, 则可算出0045.02201101112123}3{041.02209109112123}2{2045.0119123}1{75.0129}0{==⋅⋅====⋅⋅===⋅=====ξξξξP P P P因此有319.009.0409.0)(409.090045.04041.02045.03.030045.02041.02045.0222===-==⨯+⨯+==⨯+⨯+=ξξξξξE E D E E11. 假定每人生日在各个月份的机会是同样的, 求3个人中生日在第一个季度的平均人数. 解: 设三个随机变量ξi ,(i =1,2,3), 如果3个人中的第i 个人在第一季度出生, 则ξi =1, 否则ξi =0, 则ξi 服从0-1分布, 且有 P (ξi =1)=1/4, 因此E ξi =1/4, (i =1,2,3)设ξ为3个人在第一季度出生的人数, 则ξ=ξ1+ξ2+ξ3, 因此Eξ=E (ξ1+ξ2+ξ3)=3Eξi =3/4=0.7512. ξ有分布函数⎩⎨⎧>-=-其它1)(x e x F xλ, 求E ξ及D ξ. 解: 因ξ的概率密度为⎩⎨⎧>='=-其它)()(x e x F x xλλϕ, 因此 ()λλλϕξλλλλλ11)(0=-=+-=-===∞+-∞+-∞+-+∞-+∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xxxe dx e xe e xd dx ex dx x x E()2220222222)(|λξλλϕξλλλλ==+-=-===⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-+∞-+∞-+∞∞-E dx xe ex e d x dx ex dx x x E x x x x22222112)(λλλξξξ=-=-=E E D13. ⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它1||11)(~2x x x πϕξ, 求E ξ和D ξ.解: 因φ(x )是偶函数, 因此Eξ=0,则D ξ=Eξ2-(Eξ)2=Eξ2 因此有⎰⎰-===+∞∞-1222212)(dx xx dx x x E D πϕξξ令θθθd dx x cos ,sin ==则上式=2112sin 21212cos 2sin 12||20202022=+=+=⎰⎰ππππθπθπθθπθθπd d 即D ξ=1/2=0.516. 如果ξ与η独立, 不求出ξη的分布直接从ξ的分布和η的分布能否计算出D (ξη), 怎样计算?解: 因ξ与η独立, 因此ξ2与η2也独立, 则有[]()()222222)()()(ηξηξξηξηξηE E E E E E D -=-=17. 随机变量η是另一个随机变量ξ的函数, 并且η=e λξ(λ>0), 若E η存在, 求证对于任何实数a 都有λξλξEe ea P a⋅≤≥-}{.证: 分别就离散型和连续型两种情况证. 在ξ为离散型的情况: 假设P (ξ=x i )=p i , 则λξλξλλλξEe e e E p e p ep a P a a i i a x ax i a x ax i i i i i --∞=-≥-≥==≤≤=≥∑∑∑][){)(1)()(在ξ为连续型的情况假设ξ的概率密度为φ(x ), 则λξλξλλλϕϕϕξEe e Ee dx x e dx x edx x a P a a a x aa x a--+∞∞--+∞-+∞==≤≤=≥⎰⎰⎰)()()()()()(}{证毕.18. 证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.证: 设ξ为一次试验中事件A 发生的次数, 当然最多只能发生1次, 最少为0次, 即ξ服从0-1分布, P {ξ=1}=P (A )=p , P {ξ=0}=1-p =q ,则4121412124141)1(222≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⋅+-=-=-=p p p p p p p D ξ19. 证明对于任何常数c , 随机变量ξ有 D ξ=E (ξ-c )2-(Eξ-c )2证: 由方差的性质可知D (ξ-c )=Dξ, 而2222)()()]([)()(c E c E c E c E c D ---=---=-ξξξξξ证毕.20. (ξ,η)的联合概率密度φ(x ,y )=e -(x +y )(x ,y >0), 计算它们的协方差cov (ξ,η). 解: 由φ(x ,y )=e -(x +y )(x ,y >0)可知ξ与η相互独立, 因此必有cov (ξ,η)=0.21. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求ξ与η的协方差.,P {ξ=2}=P {η=2}=2/3, P {ξ=1}=P {η=1}=1/3, E ξ=E η=35322311=⨯+⨯38314312312},{)(2121=⨯+⨯+⨯====∑∑==i j j i ijP E ηξξη则913538)(),cov(22-=-=⋅-=ηξξηηξE E E22. (ξ , η)只取下列数组中的值：)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 求ξ与η的相关系数ρ, 并判断ξ与η是否独立? 解: ξ与的联合分布表及各边缘分布计算表如下表所示: 因此1212260121=⨯+⨯+⨯-=ξE 1225125412512=⨯+⨯=ξE 144275144251225)(22=-=-=ξξξE E D 3613311121311270=⨯+⨯+⨯=ηE 1083731121912=+⨯=ηE 129627512961691237129616910837)(22=-⨯=-=-=ηηηE E D 36133112131)(-=-⨯-=ξηE则4322211236171336131253613)(),cov(-=⨯⨯-=⋅--=⋅-=ηξξηηξE E E 相关系数804.027522127543236122211296275144275432221),cov(-=-=⨯⨯⨯-=⨯-==ηξηξρD D, 计算ξ与η的相关系数ρ, 并判断ξ与η是否独立? 解: 由上表的数据的对称性可知与η的边缘分布一样, 算出为 P (ξ=-1)=P (η=-1)=3/8 P (ξ=0)=P (η=-0)=2/8P (ξ=1)=P (η=1)=3/8 由对称性可知Eξ=Eη=0831831=⨯+⨯-. 081818181)(=+--=ξηE 因此cov (ξ,η)=E (ξη)-E (ξ)E (η)=0 则ρ=0而P (ξ=0,η=0)=0≠P {ξ=0}P {η=0}=1/16因此ξ与η不独立. 这是一个随机变量间不相关也不独立的例子.24. 两个随机变量ξ与η, 已知Dξ=25, Dη=36, ρξη=0.4, 计算D (ξ+η)与D (ξ-η). 解:374.065236252),cov(2)]()[()]([)(854.065236252),cov(2)]()[()]([)(2222=⨯⨯⨯-+=-+=-+=---==---=-=⨯⨯⨯++=++=++=-+-==+-+=+ξηξηρηξηξηξηξηηξξηξηξηξρηξηξηξηξηηξξηξηξηξD D D D D D E E E E E D D D D D D D E E E E E D《概率论与数理统计》复习资料一、填空题（15分）题型一：概率分布的考察 【相关公式】（P379）【相关例题】 1、设(,)XU a b ，()2E X =，1()3D Z =，则求a ，b 的值。

概率论与数理统计作业8（§3.1～§3.3）一、填空题 1. Y X ,独立同分布323110//PX ，则()().XY E ,Y X P 94951==≤+2. 设X 的密度函数为2(1)01()0x x f x -<<⎧=⎨⎩其它，则()E X 31/,2()E X =61/．3. 随机变量X 的分布率为303040202...P X-，则()E X = -0.2 ，2(35)E X += 13.4 。

4. 已知随机变量X 的分布列为P （X m =）＝101， m ＝2,4,…,18,20,，则 ()E X = 115. 对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为1p ，第二台仪器发生故障的概率为2p ．令X 表示测试中发生故障的仪器数，则()=X E 21p p + 二、计算题1. 连续型随机变量X 的概率密度为01(,0)()0a kx x k a f x ⎧<<>=⎨⎩其它又知()0.75E X =，求k 和a 的值。

解：由(),dx kx dx x f a 11==⎰⎰+∞∞-得,a k11=+ 又 ()0.75E X =，则有(),.dx kx x dx x xf a7501=⋅=⎰⎰+∞∞-得,.a k7502=+ 故由上两式解得k =3,a =2.2. 对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。

如果发现次品，则立即停止检查而认为这批产品不合格；如果连续检查5个产品，都是合格品，则也停止检查而认为这批产品合格。

设每批产品的次品率为p ，求每批产品抽查样品的平均数。

解：设随机变量X 表示每批产品抽查的样品数，则:∴X 的概率分布表如下：3．设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，0142122y x y x y x f1）求()X E ，()Y E 及()XY E ； 2）求X 与Y 的边缘密度函数； 解：1）()();dx x x dy y x x dx dxdy y ,x xf EX x0821421117312112=-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰--+∞∞-+∞∞-()();dx x x dy y x y dx dxdy y ,x yf EY x9747421118212112=-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰--+∞∞-+∞∞-()()();dx x x dy y x xy dx dxdy y ,x xyf XY E x047421119312112=-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰--+∞∞-+∞∞-2）当时，1≤x ()()();x x ydy x dy y ,x f x f x X 62218214212-===⎰⎰+∞∞- 当时，1≥x ().x f X 0=当时，10≤≤y ()();y ydx x dx y ,x f y f yy Y 25227421===⎰⎰-∞+∞- ；),,,m (pq )m X (P m 43211===-)q p (1=+4545q q pq )X (P =+==4324325101055432p p p p q pq pq pq p EX +-+-=++++=∴()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=∴.x ,;x ,x x x f X 10182162当时，或01<>y y ().y f Y 0=概率论与数理统计作业9（§3.4～§3.7）一、填空题1. 设随机变量1X ，2X ，3X 相互独立，其中1X 在[0，6]上服从均匀分布，2X 服从1()2e ，3X 服从参数为λ=3的泊松分布，记12323Y X X X =-+，则()D Y = 462. 随机变量Y X ,相互独立，又()⎪⎭⎫ ⎝⎛41,8~,2~B Y P X 则()=-Y X E 2 --2 ，()=-Y X D 2 8 ．3. 随机变量~(10,0.6),~(0.6),X B Y P 相关系数1(,)4R X Y =,(,)Cov X Y =__0.3__ . 4、若X ~(,)B n p ，且()12E X =，()8D X =，则n = 36 ，p =31. 二、选择题1. 设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y 的 BA ）不相关的充分条件，但不是必要条件；B ）独立的必要条件，但不是充分条件；C ）不相关的必要条件，但不是充分条件；D ）独立的充分必要条件 2. 设)(~λP X ，且()(1)21E X X --=⎡⎤⎣⎦，则λ= A A ）1， B ）2， C ）3， D ）0 3. 设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布，令1231()3Y X X X =++，则 2()E Y = CA ）1.B ）9.C ）10.D ）6. 4. 将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 与Y 的相关系数等于（ A ）。

第三章 习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。

解：由习题二第2题计算结果0112{0}={1}=33p p p p ξξ====，得12201333E ξ=⨯+⨯= 一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值,一种是利用矩形长与宽的期望计算,另一种是利用周长期望的分布计算。

解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二：利用习题二地30题的计算结果<见下表>,按定义计算周长的数学期望960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题,〔1〕计算圆半径的期望值；〔2〕(2)E R π是否等于2ER π？〔3〕能否用2()ER π来计算远面积的期望值,如果不能用,又该如何计算？其结果是什么？解〔1〕100.1110.4120.3130.211.6ER =⨯+⨯+⨯+⨯= 〔2〕由数学期望的性质有(2)223.2E R ER πππ==〔3〕因为22()()E R E R ππ≠,所以不能用2()E R π来计算圆面积的期望值。

利用随机变量函数的期望公式可求得222222()()(100.1110.4120.3130.2)135.4E R E R ππππ==⨯+⨯+⨯+⨯= 或者由习题二第31题计算结果,按求圆面积的数学期望1000.11210.41440.31690.2)135.4E ηπππ=⨯+⨯+⨯+⨯=4． 连续随机变量ξ的概率密度为,01(,0)()0,a kx x k a x ϕ⎧<<>=⎨⎩其它又知0.75E ξ= ,求k 和a 的值 解 由1010()11324a a kx dx kx dx a k E kx x dx a ϕξ+∞-∞===+=⋅==+⎰⎰⎰解得2,3a k ==5．计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差〔参看习题二第16题〕。

概率论习题第三章答案(总47页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第三章连续型随机变量设随机变量 ξ 的分布函数为F （x ），试以F （x ）表示下列概率： 。

)()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。

）（解：)0(1)()4();(1)()3();0()(P 2);()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ函数x211F(x)+=是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果在其它场合恰当定义。

在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞<<∞-x x x 解：(1)F(x)在),(∞-∞内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数；(2)F(x)在)0∞，（内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数； (3)F(x)在），（－0∞内单调上升、连续且，若定义⎩⎨⎧≥<<∞=01)()(~x x X F x F －则)(~x F 可以是某一随机变量的分布函数。

函数 sinx 是不是某个随机变量ξ的分布函数如果ξ的取值范围为[]。

，）；（，）；（，）（⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ230302201 解：(1)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20=⎰πxdx ，所以 sinx 可以是某个随机变量的分布密度； (2) 因为12sin 0≠=⎰πxdx ,所以sinx 不是随机变量的分布密度；(3) 当 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,ππx 时,sinx<=0所以sinx 不是随机变量的分布密度。

设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x)，即p(x)=p(-x) 证明：对任意的a>0，有[][]。

－－故上式右端＝知由证：）1)(21a)P(1a)(3)P(1;-2F(a))(21)(1)1(,)(2)()()2(;)(21)()(1)(1)(1)(1)(1)()()1(.)(F 12)()3(;1)(2)()2(;(p 21)(1)()1(00000-=<=>-=-==<-=--=-=-=+=-==--=>-=<-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞-∞-∞-∞--∞-a F dxx p a F dx x p dx x p a P dx x p dx x p dx x p a F dx x p dxx p dx x p dx x p a F a a P a F a P dx x a F a F a a a a a aaaaaa ξξξξξ设)(1x F 与)(2x F都是分布函数，证明F(x)=aF(x)+bF(x)也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型 证：因为)(1x F 与 )(2x F都是分布函数，于是F(x1)＝aF1(x1)+bF2(x2)<= aF1(x1)+bF2(x2)= F(x2) 又F(x-0)= aF1(x1-0)+bF2(x2-0) = aF1(x)+bF2(x)= F(x) 所以，F(x)也是分布函数。

习题3T1.而且戶{尤/=0} = 1・求&和及的联合分布律.解由P{X}X2 =0} = 1知P{X x X2 H 0} = 0.因此K和基的联合分布必形11Pi—— 122⑵注意到P{/ = 0, %. =()} =(),而戶{尤=()}・P{A\ = ()} = - ^ 0,所以X 和星 4不独立.2.-盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球 的只数，以丫表示取到红球的只数.求/和丫的联合分布律.解 从7只球中取4球只有=35种取法.在4只球中，黑球有Z 只，红 球有丿只（余下为白球4 一,一 j 只）的取法为C ；C 扌 CjT, i = 0,1,2,3,丿=0,1,2,, + 丿 W 4.于是有C°c 2c 2 1P{X = 0y Y = 2}= 3 2 2 = — t P{X = l,Y = l}： 35 35p{x = i,y = 2} = CCG == 2,y =o}： 35 35F{X = 2,Y = 1}= WG =!£ p{x = 2,y = 2}： 35 35P{X = 3,Y = 0} =宝O, P{X = 3,Y = l]c\c\c\6-35 ■35' 广2 x^r() _ 3 「 35-35'gc ； 3 35 ~35' 厂 3「l 「0 c 3c 2c 2 2/（兀』）=^(6 -X- y),0<x<2,2< y <4,0,其它.求:⑴ 常数A ；(2) P{%<l,y<3}；(3) P{%<1.5)；(4) P{X + Y^4}.35 35 35 35 P{x = o,y = O } = P {X = O ,Y = I } = P {X = I ,Y = 0} = p{x = 3,y = 2} = o.xp(/f — x— 9)1 00 w p v T UH MX )V U Hm VX5:(D)」IOO IP r.—A 、—9) L r E JIC I m JI 一 r Ixp(\ Ix 19)1000=y v K=p「v i p x p (\H )/・=丄d v x sr Q )Z 20 i l A、—9)「T x p(亠— x— 9)亠T v 一・ I n(亠 — 寸)I 寸)1 Ie 〒 i i r r LZ二8 •s'尸(4—寸)T+(亠—寸)el 」Z二8ip 〔 M —寸)7 — (4 — 寸)(4— 9)1」r-—x (\ — 9)」l 00p(o w c r x )s7H (寸 w x + x s:M E l oo —en 剧 M G — 寸v/亠 V07V X V W O S-•£>黑*«匣(寸o x (z o ) w 凶论畏g O N E H )、m 逐凶心H-镒泗去皂床•寸H\ + X ®M 址(寸)4.二维随机变量（X, Y ）的概率密度为/（X 』）=试确定并求P ［（X,Y ）E G},G:x2WyWx,0WxWl.解 由 1 = J j f (x, y)dxdy = drj , kxydy = — j 0 -^(1 - x 4)dx = — t o s 2 o 6解得k = 6. F{ (X, Y) w G} = J ； dr J ： 6xydy = 3j\(x 25・设二维随机变量（X 丫）概率密度为求关于X 和丫边缘概率密度.解（儿Y ）的概率密度/（x j ）在区域G:OWxWl,OWyWx 外取零值•因而,图3-8第4题积分区域kxy,十0,其它.因而f(x 9y) =4.8 尹(2-x), 0, oWxWi, 0£尹£兀,其它.0<x< 1,其它.2.4(2-兀)x[ 0,0<x< 1,其它.=L •心'J'4.8j<2-x)dr,0,0<y<l,其它.2.4X3-4y + y), 0,Ovyvl,其它.4®(2 — x)4几试求：（i）x和丫的联合概率分布；（2）P{X + Y ^1}.解（1）见本章第三节三（4）.（2）P{X + y Wl} = \-P{X + Y>\} = \-P{X = \,Y = \} =1-- = -.4 4解⑴由于P{X = 2} = 0.3 + 0 +0.1+ 0.2 = 0.6 以在条件x=2下Y的条件分布律为P{Y = 1\X = 2]P{^ = 2,y = l} 0.3 _£2或写成P[Y = 4\X = 2} =P{X = 2}'"0.6_P{X = 2,Y = 2} 0P{X = 2}_0.6P{X = 2,y = 3) 0.1P{X = 2}~0.6P{X = 2,r = 4} 0.20,丄61P{X = 2}0.6 3Y = k 1 2 3 4P{Y = k\X = 2}121613 若UW —1,右(7 > —1,若UW1,若u>\・习题3-21.设（X 丫）的分布律为下丫的条件分布律；（2） P{X22|yW2}.在条件於2P{Y = 2\X = 2}P{Y = 3\X = 2]到p (r ^2} = P{r = i}+P{y = 2} = o.i+o.3+o+o+o.2 = o.6.P[X^2,Y^2} = P[X = 2,Y = }} + P[X = 2J Y = 2}+ P{X = 3,Y = l} + P{X = 3y Y = 2} =0.3+ 0 + 0 +0.2 = 0.5 ・2.设平面区域D 由曲线_y =丄及直线y = 0,x = l,x = e 2所围成，二维随机变量3, X)X在区域Q 上服从均匀分布，求(X X)关于X 的边缘概率密度在x=2处的值・解 由题设知D 的面积为丄dx = lnx|" =2.—,(x, y)e D y 因此(XX)的密度为 /(x, y) = <2 0,其它.+8f(x.y)dy ・显然,当XW1或兀头2时，厶，(兀)= 0；当1 vjcvM 时，厶d) = F A (2)= ~-3.设二维随机变戢(X, K)的概率密度为1, 0 < x < 1,0 < j/ < 2x,0,其它.求：⑴区”的边缘概率密度f x MJr (y^(2)F{YW2 2解(1)当0vxvin 寸,f x (x) = f (x,y)dy = £ dy = 2x ； 当 xWO 时或x$l 时，/Y (X )= 0.2x, 0 v x v 1, 0, 其它.f(x 9y)dx= (ydx = l-^- 22f因此P{X^2\Y^2} =W2}P{Y W2}05 _5 0£~61 1—dy =—・故 ° 2「 2x fx M =当Ov 严2时，厶(刃=当y WO 吋或y $2时，/；(y) = O.y 亠I — —, 0 < v < 2,故fy (y) = 20, 其它.(2)当 zWO 时，巧(z) = o ； 当 z$2 时，巧(Z )= l;当()VV2 时，F 7(Z ) = P{2X-Y^Z }= JJ /(x, y)d.xdyz胡 dxfl.dy + 關仁 1.®2Z" =Z ----- ・4,1 — 9 0 < z < 2,厶⑵=FXz) =2 0, 其它.4.设G 是由直线尸X,尸3, x=\所围成的三角形区域，二维随机变fi(X,y )在Gt 服从二维均匀分布.求：(1)(X7)的联合概率密度；(2) P{Y-X^\}； (3)关于X 的边缘概率密度.解 ⑴由于三角形区域G 的面积等于2,所以(X,Y)的概率密度为⑵记区域D = {(x,y)\y-x^\］与G 的交集为G ()，则其中S G °为Go 的面积.±4Z !I JJg}扌丄0,(x.y)电 G.⑶X 的边缘概率密度f x (X )=r +8J —oof(x, y)dy •所以,当X .1,3］时，几(x) =「：⑪J (3 - X).J x 2 2当x v 1 或x > 3 时，/丫(x) = 0. 因此./\ W = < 2(1_%)，XE卩⑶’0, 其它.习题3-3设与柑互独立，且分布律分别为下表:求二维随机变最(儿的分布律.解由于X与丫相互独立，所以冇P{X = Xi,Y = y.} = P{X = x i}-P{Y = yj},i == 0,2,5,6.J因此可得二维随机变量Y)的联合分布律Pir A- 〃•丿(匸 12 丿二123)・2—G + # =匕故可得方程组31 1 z 1 _ = _•(□ + _)・19 3921解得 ex = —, 0 =—.9 92 1经检验，当CX = —, P =—吋，对于所有的匸1,2; 7=1,2,3均有Pij= Pi ，p.j bX.i2 1 a = _,p =—时.x 与y 相互独立••993.设随机变量Y 的概率密度为 \be (x+y \(1)试确定常数b ・9 118匚因此当0 < x < 1, j/ > 0,其它.问Q,0为何值时X 与Y 相互独立?/=](2) 求边缘概率密度f x (x)y f Y (y). (3) 问X 与Y 是否相互独立？解⑴由1 = j J f(x,y)dxdy = j ^e _<v+r>dydx e~'dye -'dr = b(l -e _,),l-e _, e~v,0<x<l, 宁 1-e" 0, e _y , _y>0,0, 其它.⑶ 由于f(x,y) = f x (x)* f Y (y) f 所以x 与Y 相互独立.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0, 1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为r了 /、 丄e 2, y >0,0,求X 和Y 的联合概率密度.设关于a 的二次方程为a 2 +2Xa + Y = 0t 试求。

习 题3.11． 在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品．从这10件产品中任意抽取3件，用X 表示其中的一等品数，Y 表示其中的二等品数，求(,)X Y 的分布列．解 X 的可能取值为0，1，2；Y 的可能取值为0，1，2，3，因此(,)X Y 的可能取值为{(,):0,1,2;0,1,2,3}i j i j ==，且有217131021(0,2)120C C P X Y C ⋅====， 3731035(0,3)120C P X Y C ====， 11127131014(1,1)120C C C P X Y C ⋅⋅====，122731042(1,2)120C C P X Y C ⋅====， 21213101(2,0)120C C P X Y C ⋅====， 21273107(2,1)120C C P X Y C ⋅====． 由此，(,)X Y 的分布列可以由下表给出4． 设(,)X Y 的密度函数为e 0(,)0y x y f x y -⎧<<=⎨⎩，；，其它.，求(1)P X Y +≤．解 11112210(1)e d d d e d 1e 2e xyy xx y x yP X Y x y x y -----+<<+===+-⎰⎰⎰⎰≤≤．5． 设(,)X Y 的密度函数为, 04,0(,)Axy x y f x y⎧⎪=⎨⎪⎩≤≤≤；0, 其它. ，求：(1)常数A ；(2){1,1}P X Y ≤≤．解 （1）由联合密度函数的性质(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，有4d d 1x Axy y =⎰，得 332A =．（2）1001,104,0331(1,1)d d d d 323264x y x y P X Y xy x y x x y y ===⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤≤． 10． 袋中有2只白球和3只黑球，从中连取两次，每次取一只． 定义下列随机变量：1, 0, X ⎧=⎨⎩第一次取到白球；第一次取到黑球. 1, 0, Y ⎧=⎨⎩第二次取到白球；第二次取到黑球. 分别就有放回抽取和无放回抽取两种情形，求：(1) (,)X Y 的联合分布列；(2)两次摸到同样颜色球的概率．解 （1）有放回抽样：由事件的独立性条件得(,)X Y 的联合分布列为339(0,0)5525P X Y ===⋅=， 326(0,1)5525P X Y ===⋅=， 236(1,0)5525P X Y ===⋅=， 224(1,1)5525P X Y ===⋅=． 如下表两次摸到同样颜色球的概率为9413(0,0)(1,1)252525P X Y P X Y ==+===+=． （2）无放回抽样：由乘法定理得(,)X Y 的联合分布列为326(0,0)5420P X Y ===⋅=， 326(0,1)5420P X Y ===⋅=， 236(1,0)5420P X Y ===⋅=， 212(1,1)5420P X Y ===⋅=． 如下表两次摸到同样颜色球的概率为(0,0)(1,1)0.30.10.4P X Y P X Y ==+===+=．习 题3.22． 已知(,)X Y 的联合分布函数为()1e e e 0,0(,) 0x y x y x y F x y ---+⎧--+>>=⎨⎩， ；， 其它.　， 求：（1）边缘分布函数；（2）联合密度函数及边缘密度函数；（3）判断X 与Y 的独立性．解 （1）1e ,(0())lim (,)X y x F x F x y x →+∞-=->=1e ,(0())lim (,)Y x y F y F x y y →+∞-=->=即有 1e ,0;()0,0.x X x F x x -⎧->=⎨⎩≤， 1e ,0;()0,0.y Y y F y y -⎧->=⎨⎩≤． （2）(2)(,e ,0,0;0)(,),x y F x y f x x y x y y -+⎧>>⎨=∂∂=∂⎩其它. ()0ed ee d e ()(,,)d ()0x y xx X y y y f x f x x y y +∞-+∞+∞+--∞--===>=⎰⎰⎰ ()ed ee d e ()(,,)d ()0x y yy Y x x x f y f x y y x +∞-+∞+∞+--∞--===>=⎰⎰⎰故 e ,0;()0,0.x X x f x x -⎧>=⎨⎩≤， e ,0;()0,0.y Y y f y y -⎧>=⎨⎩≤． （3）由于 (,)()()X Y f x y f x f y =，所以,X Y 相互独立．3． 一个盒子中有三只乒乓球，一只白色，两只黄色，现从袋中有放回的任取两次，每次取一只，以X ，Y 分别表示第一次、第二次取到球的颜色．求：（1）X 和Y 的联合分布列；（2）X 和Y 的边缘分布列；（3）判断X 和Y 的独立性．解 定义下列随机变量：1, 2, X ⎧=⎨⎩第一次取到白球;第一次取到黄球. 1, 2, Y ⎧=⎨⎩第二次取到白球;第二次取到黄球.（1）在有放回取球条件下111(1,1)339P X Y ===⋅=， 122(1,2)339P X Y ===⋅=，212(2,1)339P X Y ===⋅=， 224(2,2)339P X Y ===⋅=．（2）边缘分布列（3）由于{,}{}{},1,2;1,2P X i Y j P X i P Y j i j ====⋅===，所以,X Y 相互独立．5． 随机变量(,)X Y 在区域{(,)|,}x y a x b c y d <<<<上服从均匀分布，求(,)X Y 的联合密度函数与边缘密度函数，判断随机变量,X Y 是否独立．解 区域{(,)|,}x y a x b c y d <<<<的面积为()()D S b a d c =--， 所以(,)X Y 的联合密度函数1,,;()()(,)a x b c y d b a d c f x y ⎧<<<<⎪--=⎨⎪⎩0, 其它. X 和Y 的边缘密度函数11()(,)d d ,()()()d X c f x f x y y y a x b b a d c b a+∞-∞===<<---⎰⎰11()(,)d d ,()()()b Y a f y f x y x x c y d b a d c d c+∞-∞===<<---⎰⎰ 故 ,1;()X a x b f x b a ⎧⎪⎨⎪⎩<<=-0, 其它.， ,1 ;()Yc yd f y d c ⎧⎪⎨⎪⎩<<=-0, 其它.． 由于 (,)()()X Y f x y f x f y =，所以,X Y 独立．8． 甲、乙两人各自独立进行两次射击，命中率分别为0.2，0.5，求甲、乙命中次数X 与Y 的联合概率分布．解 依题意，~(2,0.2),~(2,0.5)X b Y b ，据公式()(1)k kn k nP X k C p p -==-可算得X 和Y 的概率分布分别为012~0.640.320.04X ⎛⎫ ⎪⎝⎭，012~0.250.50.25Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由X 和Y 的独立性可得X 和Y 的联合概率分布为习 题3.31. （1）max(,)012340.10.150.250.40.1=M X Y P ；min(,)1230.440.340.140.08=m X Y P；（2）12345670.0440.10.1750.290.2270.110.0460.008+M m P.5. 设随机变量（X ,Y ）的密度函数为301,0(,)0 x x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其它.，；，求12().-≤P X Y （修改后的题）解 121()(,)2-≤-≤=⎰⎰x y P X Y f x y dxdy1121102219113381616++-===⎰⎰⎰⎰xx x xdx dy xdx dy6. 设随机变量X 与Y 独立，它们的概率密度分别为201()0 X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它.，；， 201()0 Y y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它.，；， 求1().+≤P X Y （修改后的题）解 因为X 与Y 独立，所以（X ,Y ）的密度函数为401,01(,)()()0 X Y xy x y f x y f x f y ≤≤≤≤⎧==⎨⎩其它.，；， 1(1)(,)+≤+≤=⎰⎰x y P X Y f x y dxdy 11120142(1)6-==-=⎰⎰⎰x dx xydy x x dx习 题3.42． 设X 与Y 的联合密度为()e 0,0(,)0 x y x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它.，；，， 求()P X Y <及()E XY ．解 （1）设D 为{0,0,}X Y X Y >><所围区域，则()2200011()e d d e d e d e d e 22x y x y x xx DP X Y x y x y x +∞+∞+∞-+----+∞<====-=⎰⎰⎰⎰⎰． （2）()0()()d d e d d x y E XY xyf xy x y xy x y +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰e d e d 1x y x x y y +∞+∞--==⎰⎰．4． 设~(1)Y E 且0,(1,2)1,.k Y k X k Y k ⎧==⎨>⎩≤；，求：（1）1X 与2X 的联合概率分布；（2）12()E X X +．解 （1）e 0~()0,0., -⎧=⎨<⎩y y Y f y y 10,11,1⎧=⎨>⎩Y X Y ，20,21,2.⎧=⎨>⎩Y X Y12(,)X X 有四个可能取值：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)，且由题意，有11120(0,0)(1,2)(1)e d 1e y P X X P Y Y P Y y --======-⎰≤≤≤，12(0,1)(1,2)0P X X P Y Y ===>=≤，212121(1,0)(1,2)(12)e d e e y P X X P Y Y P Y y ---===>=<==-⎰≤≤，2122(1,1)(1,2)(2)e d e y P X X P Y Y P Y y +∞--===>>=>==⎰．1X 与2X 的联合概率分布为（2）12X X +的概率分布为 121122012()~1e e e e X X ----⎛⎫+ ⎪--⎝⎭故 11221212()0(1e )1(e e )2e e e E X X ------+=⨯-+⨯-+⨯=+．5． 设随机变量X 和Y 的联合分布在以点(0,1)、(1,0)、(1,1)为顶点的三角形区域D 上服从均匀分布，求随机变量U X Y =+的方差．解 方法1X 和Y 的联合密度函数为 2, (,);(,)0, x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其它.11012()(,)d d 2d d 3x E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞-===⎰⎰⎰⎰，11222011()(,)d d 2d d 2x E X x f x y x y x x y +∞+∞-∞-∞-===⎰⎰⎰⎰，从而 221()()[()]18D X E X E X =-=．同理，21(),()318E Y D Y ==．11015()2d d 12x E XY x x y y -==⎰⎰，1(,)()()()36Cov X Y E XY E X E Y =-=-，1()()()2(,)18D X Y D X D Y Cov X Y +=++=．方法211014()()()d d d 2()d 3x E X Y x y f xy x y x x y y +∞+∞-∞-∞-+=+=+=⎰⎰⎰⎰，112220111[()]()()d d d 2()d 6x E X Y x y f xy x y x x y y +∞+∞-∞-∞-+=+=+=⎰⎰⎰⎰，221()[()][()]18D X Y E X Y E X Y +=+-+=．习 题3.52． 在n 次独立试验中，事件A 在第i 次试验中发生的概率为(01,1,2,)i i p p i <<=，证明：事件A 发生的频率依概率收敛于A 发生概率的平均值．证明 设X 表示在n 次试验中事件A 发生的次数，若引入随机变量1,0,第次试验中发生;第次试验中不发生.i i A X i A ⎧⎪⎨⎪⎩=，12,i n =，，，则1ni i X X ==∑．且i X 服从0—1分布，01~1i ii X p p ⎛⎫⎪-⎝⎭，故 (),()(1)i i i i i i i E X p D X p p p q ==-=．由于 22()()4140≥i i i i i i i p q p q p q p q -=+-=-，故 1(),1,2,,4i i i D X p q i n ==≤，即i X 12,i n =，，方差有公共的上界. 因此由切比雪夫大数定律可知，对任意的0ε>，有1111lim ()1n ni i n i i P X E X n n ε→∞==⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑∑， 即 11lim 1n i n i X P p n n ε→∞=⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑．可见，事件A 发生的频率依概率收敛于A 发生概率的平均值．5． 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用载重量为5吨的汽车承运，利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977．解 设n 为所求的箱数，且设i X 为第i 箱的重量(1,2,,)i n =．由题意，知()5i E X ==．且将12,,,n X X X 视为独立同分布的随机变量．又n 箱的重量1nn i i Y X ==∑，易算得()50n E Y n ==根据林德贝格—莱维中心极限定理，n Y 近似服从正态分布(50,25)N n n ．依题意n 需满足{5000}0.977≤n P Y >，即有{5000}≤n P Y P =0.977(2)ΦΦ≈>=2>，即 1010000n +<．x =，则有210210000x x +-<，解得9.9x <（舍去负的下界）． 因此，298.01n x =<，即最多可以装98箱可保证不超载的概率大于0.977． 6． 已知相互独立的随机变量1ξ,2ξ,…,50ξ都服从泊松分布，记501i i X ξ==∑，求(3)P X ≥．解 因为1ξ,2ξ,…,50ξ独立同分布，且(),()(1,2,,50)i i E D i ξλξλ===．根据林德贝格—莱维中心极限定理，X 近似服从正态分布(50,50)N λλ．(3)1P X P Φ==-≥．7． 某保险公司经多年的资料统计表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，在随意抽查的100家索赔户中被盗的索赔户数为随机变量X ．（1）写出X 的概率分布；（2）利用棣莫佛—拉普拉斯定理，求被盗的索赔户数不少于14户且不多于30户的概率的近似值．解 设A ={抽查到被盗索赔户}，则()0.2p P A ==． 依题意，~(,)(100,0.2)X b n p b =，因此分布律为100100{}0.20.8,(0,1,,100)kk k P X k C k -==⋅⋅=．（2）()20,()(1)16E X np D X np p ===-=，根据棣莫佛—拉普拉斯定理，{1430}{140.5300.5}P X P X ≈-+≤≤≤≤13.5202030.52020{}{1.625 2.625}4444X X P P ----==-≤≤≤≤(2.625)[1(1.625)]0.995710.94790.9436ΦΦ=--≈-+=．8． 在n 次独立重复试验中, 成功率为0.75, 要使“试验成功的频率在0.74~0.76之间” 的概率不小于0.90，则至少要进行多少次试验?解 设12,,,n X X X 表示n 次重复独立试验的各次试验中事件成功的次数，则 12~(,0.75)n X X X b n +++．且在n 次试验中事件成功发生的频率12nX X X X n+++=满足21(1)0.1875()0.75,()(1)p p E X p D X np p n n n-===-==．利用棣莫弗-~(0,1)X N ，所以{0.740.76}{0.01}P X P X p <<=-<P ⎫=<P =<21Φ=-．故要“试验成功的频率在0.74~0.76之间” 的概率不小于0.90， 即{0.740.76}0.90P X <<≥，只需210.90Φ-≥，0.95Φ≥，查表知(1.645)0.95Φ= 1.645，或5074n ≥． 9． 设某车间有150台机床独立工作， 已知每台机床在运转时耗电量都是5(千瓦)．因检修等原因，每台机床平均只有60%的时间在运转．问配电室至少要供给这个车间多少电才能以99.9%的概率保证这个车间不致因供电不足而影响机床工作．解 设X 表示150台机床中同时运转的机床台数，则~(150,0.6)X b ．设配电室需供应k 千瓦电，能以99.9%的概率保证车间正常工作．由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有{5}{}0.9995k P X k P X Φ=≈≤≤≥． 解得 540.5k ≥.故至少供应540.5千瓦电力才能以99.9%的概率保证车间正常工作．10． 某公司电话总机有200台分机，每台分机有6 %的时间用于外线通话，假定每台分机用于外线是相互独立的，问该总机至少应装多少条外线，才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候．解 设X 表示200分机同时使用外线的数目，则~(200,0.06)X b ．设总机至少应装k 条外线，才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候．由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有()12,()(1)11.28E X np D X np p ===-={}0.95P X k P Φ=≈≤≥． 而(1.645)0.95Φ= 1.645解得 17.03k ≥.故至少应装18条外线，才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候．11． 某工厂生产的一批零件，合格率为95%，今从中抽取1 000件，求不合格的件数在40到60之间的概率．解 设X 表示1 000件零件中不合格品的件数，则~(1000,0.05)X b ．()50,()(1)47.5E X np D X np p ===-=，由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有{4060}{400.5600.5}P X P X =-+≤≤≤≤2(1.524)1P Φ⎫==- 20.935710.8714=⨯-=．12． 有一大批种子, 其中良种占20%，从中任取5 000粒，问这些种子中良种所占比例与20% 的绝对差小于0.01的概率．解 设X 表示所取5 000粒种子中良种的粒数，则~(5000,0.2)X b ．()1000,()(1)800E X np D X np p ===-=，由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有{}{}0.20.011000501000500.55000X P P X P X ⎧⎫⎪⎪-<=-<=-<+⎨⎬⎪⎪⎩⎭2(1.785)1P Φ⎫=<=- 20.96291=⨯-=0.925 8．。