2020年四川省成都市高考(理科)数学二诊试卷 含解析

2020年高考（理科）数学二诊试卷

一、选择题.

1．设复数z满足z（1+i）＝2，i为虚数单位，则复数z的虚部是（ ）

A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i

2．设全集U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞2}，则（∁UM）∩N＝（ ）

A．{x|x＞2} B．{x|x≥1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x≥2}

3．某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n的样本．若样本中高中生恰有30人，则n的值为（ ）

A．20 B．50 C．40 D．60

4．曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处的切线方程为（ ）

A．2x﹣y＝0 B．2x+y﹣2＝0 C．2x+y+2＝0 D．2x﹣y﹣2＝0

5．已知锐角α满足2sin2α＝1﹣cos2α，则tanα＝（ ）

A． B．1 C．2 D．4

6．函数在[﹣1，1]的图象大致为（ ）

A．

B．

C． D．

7．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）

A．16 B．48 C．96 D．128

8．已知函数，则函数f（x）的图象的对称轴方程为（ ）

A． B．

C． D．

9．如图，双曲线C：＝l（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0），直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为（ ）

A．2 B． C． D．

10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为AB，AD的中点，过点D作平面α使B1P∥平面α，A1Q∥平面α，若直线B1D1∩平面α＝M，则的值为（ ）

A． B． C． D．

11．已知EF为圆（x﹣1）2+（y+1）2＝1的一条直径，点M（x，y）的坐标满足不等式组，则的取值范围为（ ）

A．[，13] B．[4，13] C．[4，12] D．[，12]

12．已知函数，若存在x1∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＝k（k＜0）成立，则的最大值为（ ）

A．e2 B．e C． D．

二、填空题

13．（x+1）4的展开式中x2的系数为

．

14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，a＝2，b＝，则△ABC的面积为 ．

15．已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为 ．

16．经过椭圆中心的直线与椭圆相交于M，N两点（点M在第一象限），过点M作x轴的垂线，垂足为点E，设直线NE与椭圆的另一个交点为P．则cos∠NMP的值是 ．

三、解答题

17．已知{an}是递增的等比数列，a1＝l，且2a2，a3，a4成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn．

18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，E为BC的中点．

（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；

（Ⅱ）若PE＝3，求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．

19．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该公司2013年至2019年的年利润y关于年份代号x的统计数据如表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：

年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019

年份代号x 1 2 3 4 5 6 7

年利润y（单位：亿元） 29 33 36 44 48 52 59

（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2020年（年份代号记为8）的年利润；

（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A级利润年，否则称为B级利润年，将（Ⅰ）中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2013年至2020年这8年中随机抽取2年，求恰有1年为A级利润年的概率．

参考公式：． 20．已知椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在椭圆E上，PF2⊥F1F2，且|PF1|＝3|PF2|．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）设直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆E相交于A，B两点，与圆x2+y2＝a2相交于C，D两点，求|AB|•|CD|2的取值范围．

21．已知函数f（x）＝x2+2x﹣mln（x+1），其中m∈R．

（Ⅰ）当m＞0时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）设，若，在（0，+∞）上恒成立，求实数m的最大值．

请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ+1＝0．

（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；

（Ⅱ）已知点P（2，1），设直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值

[选修4-5；不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+3|．

（Ⅰ）解不等式f（x）≥6；

（Ⅱ）设g（x）＝﹣x2+2ax，其中a为常数，若方程f（x）＝g（x）在（0，+∞）上恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围，

参考答案

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数z满足z（1+i）＝2，i为虚数单位，则复数z的虚部是（ ）

A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i

【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

解：由z（1+i）＝2，得，

∴复数z的虚部是﹣1．

故选：B．

2．设全集U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞2}，则（∁UM）∩N＝（ ）

A．{x|x＞2} B．{x|x≥1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x≥2}

【分析】进行补集和交集的运算即可．

解：U＝R，M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞2}，

∴∁UM＝{x|x≥1}，

∴（∁UM）∩N＝{x|x＞2}．

故选：A．

3．某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n的样本．若样本中高中生恰有30人，则n的值为（ ）

A．20 B．50 C．40 D．60

【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．

解：由分层抽样的定义得＝＝100，解得n＝50，

故选：B．

4．曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处的切线方程为（ ）

A．2x﹣y＝0 B．2x+y﹣2＝0 C．2x+y+2＝0 D．2x﹣y﹣2＝0

【分析】先根据题意求出切点处的导数，然后利用点斜式直接写出切线方程即可．

解：y＝x3﹣x ∴y′＝3x2﹣1，

所以k＝3×12﹣1＝2，

所以切线方程为y＝2（x﹣1），

即2x﹣y﹣2＝0

故选：D．

5．已知锐角α满足2sin2α＝1﹣cos2α，则tanα＝（ ）

A． B．1 C．2 D．4

【分析】由已知利用二倍角公式可得4sinαcosα＝2sin2α，结合sinα＞0，利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值．

解：∵锐角α满足2sin2α＝1﹣cos2α，

∴4sinαcosα＝2sin2α，

∵sinα＞0，

∴2cosα＝sinα，可得tanα＝2．

故选：C．

6．函数在[﹣1，1]的图象大致为（ ）

A．

B．

C． D．

【分析】利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．

解：，故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD；

又，故排除A．

故选：B．

7．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）

A．16 B．48 C．96 D．128

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

解：模拟程序的运行，可得

S＝0，i＝1

执行循环体，S＝4，i＝2

不满足判断框内的条件i＞3，执行循环体，S＝16，i＝3

不满足判断框内的条件i＞3，执行循环体，S＝48，i＝4

此时，满足判断框内的条件i＞3，退出循环，输出S的值为48．

故选：B． 8．已知函数，则函数f（x）的图象的对称轴方程为（ ）

A． B．

C． D．

【分析】由题意求出φ，再利用诱导公式，求出函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性求出结果．

解：∵函数＝sin（+），

∴+＝π，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+）＝cos2x，

令2x＝kπ，求得x＝，k∈Z，

则函数f（x）的图象的对称轴方程为 x＝，k∈Z，

故选：C．

9．如图，双曲线C：＝l（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0），直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为（ ）

A．2 B． C． D．

【分析】联立⇒即B（﹣，），利用直线BF1的斜率＝．求得即可． 解：联立⇒．

即B（﹣，），

直线BF1的斜率＝．

∴．

则双曲线C的离心率为e＝．

故选：A．

10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为AB，AD的中点，过点D作平面α使B1P∥平面α，A1Q∥平面α，若直线B1D1∩平面α＝M，则的值为（ ）

A． B． C． D．

【分析】取BC的中点T，连接PT，B1T，QT，取A1D1的中点N，C1D1的中点K，连接NK，ND，KD，AC，A1C1，QT，由线面平行的判定定理和面面平行的判定定理、性质定理，可得B1P∥平面DNK，A1Q∥平面DNK，结合题意可得平面BNK即为平面α，结合三角形的中位线定理可得所求值．

解：取BC的中点T，连接PT，B1T，QT，

取A1D1的中点N，C1D1的中点K，连接NK，ND，KD，AC，A1C1，QT，

在正方形ABCD中，AC∥PT，

在正方形A1B1C1D1中，A1C1∥KN，

由截面ACC1A1为矩形，可得AC∥A1C1，

可得PT∥NK，又PT⊄平面DNK，NK⊂平面DNK，

可得PT∥平面DNK，

由QT∥AB，AB∥A1B1，可得QT∥A1B1，

且QT＝A1B1，可得四边形A1B1TQ为平行四边形，即有B1T∥A1Q，

又ND∥A1Q，可得B1T∥ND，B1T⊄平面DNK，ND⊂平面DNK，

可得B1T∥平面DNK，且B1T∩PT＝T，