2020年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)
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第1页 共18页 ◎ 第2页 共18页 2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数𝑧1与𝑧2＝−3−𝑖（𝑖为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则𝑧1＝（ ）
A.−3𝑖 B.−3+𝑖 C.3+𝑖 D.3−𝑖
2. 已知集合𝐴＝{−1, 0, 𝑚}，𝐵＝{1, 2}，若𝐴∪𝐵＝{−1, 0, 1, 2}，则实数𝑚的值为（ ）
A.−1或0 B.0或1 C.−1或2 D.1或2
3. 若sin𝜃=√5cos𝜃，则tan2𝜃＝（ ）
A.−√53 B.√53 C.−√52 D.√52
4. 某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这𝑙00名同学的得分都在[50, 100]内，按得分分成5组：[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（ ）
A.72.5 B.75 C.77.5 D.80
5. 设等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑎𝑛≠0，若𝑎5＝3𝑎3，则𝑆9𝑆5=( )
A.95 B.59 C.53 D.275
6. 已知𝛼，𝛽是空间中两个不同的平面，𝑚，𝑛是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A.若𝑚 // 𝛼，𝑛 // 𝛽，且𝛼 // 𝛽，则𝑚 // 𝑛
B.若𝑚 // 𝛼，𝑛 // 𝛽，且𝛼⊥𝛽，则𝑚 // 𝑛
C.若𝑚⊥𝛼，𝑛 // 𝛽，且𝛼 // 𝛽，则𝑚⊥𝑛
D.若𝑚⊥𝛼，𝑛 // 𝛽且𝛼⊥𝛽，则𝑚⊥𝑛
7. (𝑥2+2)(𝑥−1𝑥)6的展开式的常数项为（ ）
A.25 B.−25 C.5 D.−5
8. 将函数𝑦＝sin(4𝑥−𝜋6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移𝜋6个单位长度，得到函数𝑓(𝑥)的图象，则函数𝑓(𝑥)的解析式为（ ）
A.𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+𝜋6) B.𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−𝜋3)
C.𝑓(𝑥)=sin(8𝑥+𝜋6)
D.𝑓(𝑥)=sin(8𝑥−𝜋3)
9. 已知抛物线𝑦2＝4𝑥的焦点为𝐹，𝑀，𝑁是抛物线上两个不同的点．若|𝑀𝐹|+|𝑁𝐹|＝5，则线段𝑀𝑁的中点到𝑦轴的距离为（ ）
A.3 B.32 C.5 D.52
10. 已知𝑎=212,𝑏=313,𝑐=ln32，则（ ）
A.𝑎>𝑏>𝑐 B.𝑎>𝑐>𝑏
C.𝑏>𝑎>𝑐 D.𝑏>𝑐>𝑎
11. 已知定义在𝑅上的函数𝑓(𝑥)满足𝑓(2−𝑥)＝𝑓(2+𝑥)，当𝑥≤2时，𝑓(𝑥)＝(𝑥−1)𝑒𝑥−1．若关于𝑥的方程𝑓(𝑥)−𝑘𝑥+2𝑘−𝑒+1＝0有三个不相等的实数根，则实数𝑘的取值范围是（ ）
A.(−2, 0)∪(0, 2)
B.(−2, 0)∪(2, +∞)
C.(−𝑒, 0)∪(0, +∞)
D.(−𝑒, 0)∪(0, 𝑒)
12. 如图，在边长为2的正方形𝐴𝑃1𝑃2𝑃3中，线段𝐵𝐶的端点𝐵，𝐶分别在边𝑃1𝑃2，𝑃2𝑃3上滑动，且𝑃2𝐵＝𝑃2𝐶＝𝑥．现将△𝐴𝑃1𝐵，△𝐴𝑃3𝐶分别沿𝐴𝐵，𝐴𝐶折起使点𝑃1，𝑃3重合，重合后记为点𝑃，得到三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶．现有以下结论：
①𝐴𝑃⊥平面𝑃𝐵𝐶；
②当𝐵，𝐶分别为𝑃1𝑃2，𝑃2𝑃3的中点时，三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的外接球的表面积为6𝜋；
③𝑥的取值范围为(0, 4−2√2)；
④三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶体积的最大值为13．
则正确的结论的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
已知实数𝑥，𝑦满足约束条件{𝑥+𝑦−4≤0𝑥−2𝑦+2≥0𝑦≥0 ，则𝑧＝𝑥+2𝑦的最大值为________．
设正项等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎4＝81，𝑎2+𝑎3＝36，则𝑎𝑛＝________．
第3页 共18页 ◎ 第4页 共18页 已知平面向量𝑎→，𝑏→满足|𝑎→|＝2，|𝑏→|=√3，且𝑏→⊥(𝑎→−𝑏→)，则向量𝑎→与𝑏→的夹角的大小为________．
已知直线𝑦＝𝑘𝑥与双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0, 𝑏>0)相交于不同的两点𝐴，𝐵，𝐹为双曲线𝐶的左焦点，且满足|𝐴𝐹|＝3|𝐵𝐹|，|𝑂𝐴|＝𝑏（𝑂为坐标原点），则双曲线𝐶的离心率为________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且𝑏2+𝑐2−𝑎2=4√23𝑏𝑐．
(Ⅰ)求sin𝐴的值；
(Ⅱ)若△𝐴𝐵𝐶的面积为√2，且√2sin𝐵＝3sin𝐶，求△𝐴𝐵𝐶的周长
某公司有𝑙000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5𝐺手机购买意向的调查，将计划在今年购买5𝐺手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5𝐺手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．
(Ⅰ)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；
属于“追光族” 属于“观望族” 合计
女性员工
男性员工
合计 100
(Ⅱ)已知被抽取的这𝑙00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量𝑋，求𝑋的分布列及数学期望．
附：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中𝑛＝𝑎+𝑏+𝑐+𝑑．
𝑃(𝐾2≥𝑘0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
𝑘0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝑃⊥平面𝑃𝐵𝐶，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，且∠𝐴𝐵𝐶＝60∘，𝐸分别为𝐵𝐶的中点．
(Ⅰ)证明：𝐵𝐶⊥平面𝑃𝐴𝐸；
(Ⅱ)若𝐴𝐵＝2．𝑃𝐴＝1，求平面𝐴𝐵𝑃与平面𝐶𝐷𝑃所成锐二面角的余弦值．
已知函数𝑓(𝑥)＝(𝑎−1)ln𝑥+𝑥+𝑎𝑥，𝑎∈𝑅．
(Ⅰ)讨论函数𝑓(𝑥)的单调性；
(Ⅱ)当𝑎<−1时，证明∀𝑥∈(1, +∞)，𝑓(𝑥)>−𝑎−𝑎2．
已知椭圆𝐶:𝑥22+𝑦2＝1的右焦点为𝐹，过点𝐹的直线（不与𝑥轴重合）与椭圆𝐶相交于𝐴，𝐵两点，直线𝑙:𝑥＝2与𝑥轴相交于点𝐻，过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝑙，垂足为𝐷．
(Ⅰ)求四边形𝑂𝐴𝐻𝐵（𝑂为坐标原点）面积的取值范围；
(Ⅱ)证明直线𝐵𝐷过定点𝐸．并求出点𝐸的坐标
请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知𝑃是曲线𝐶1:𝑥2+(𝑦−2)2＝4上的动点，将𝑂𝑃绕点𝑂顺时针旋转90∘得到𝑂𝑄，设点𝑄的轨迹为曲线𝐶2以坐标原点𝑂为极点，𝑥轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(Ⅰ)求曲线𝐶1，𝐶2的极坐标方程；
(Ⅱ)在极坐标系中，点𝑀(3, 𝜋2)，射线𝜃=𝜋6(𝜌≥0)与曲线𝐶1，𝐶2分别相交于异于极点𝑂的𝐴，𝐵两点，求△𝑀𝐴𝐵的面积．
[选修45：不等式选讲]
已知函数𝑓(𝑥)＝|𝑥−3|．
(Ⅰ)解不等式𝑓(𝑥)≥4−|2𝑥+𝑙|；
(Ⅱ)若1𝑚+4𝑛=2(𝑚>0, 𝑛>0)，求证：𝑚+𝑛≥|𝑥+32|−𝑓(𝑥)．
第5页 共18页 ◎ 第6页 共18页 参考答案与试题解析
2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
B
【考点】
复数的运算
【解析】
由已知可得复数𝑧1与𝑧2＝−3−𝑖（𝑖为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则𝑧1可求．
【解答】
∵ 复数𝑧1与𝑧2＝−3−𝑖（𝑖为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，
∴ 复数𝑧1与𝑧2＝−3−𝑖（𝑖为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，
则𝑧1＝−3+𝑖．
2.
【答案】
D
【考点】
并集及其运算
【解析】
因为𝐴∪𝐵＝{−1, 0, 1, 2}，𝐴，𝐵本身含有元素−1，0，1，2，根据元素的互异性𝑚≠−1，0，求出𝑚即可．
【解答】
集合𝐴＝{−1, 0, 𝑚}，𝐵＝{1, 2}，𝐴∪𝐵＝{−1, 0, 1, 2}，
因为𝐴，𝐵本身含有元素−1，0，1，2，所以根据元素的互异性，𝑚≠−1，0即可，
故𝑚＝1或2，
3.
【答案】
C
【考点】
二倍角的三角函数
【解析】
由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．
【解答】
若sin𝜃=√5cos𝜃，则 tan𝜃=√5，则tan2𝜃=2tan𝜃1−tan2𝜃=−√52，
4.
【答案】
A
【考点】
频率分布直方图
【解析】
由频率分布直方图求出[50, 70)的频率为0.4，[70, 80)的频率为0.4，由此能求出这100名同学的得分的中位数．
【解答】 由频率分布直方图得：
[50, 70)的频率为：(0.010+0.030)×10＝0.4，
[70, 80)的频率为：0.040×10＝0.4，
∴ 这100名同学的得分的中位数为：
70+0.5−0.40.4×10=72.(5)
5.
【答案】
D
【考点】
等差数列的性质
【解析】
将𝑆9，𝑆5转化为用𝑎5，𝑎3表达的算式即可得到结论．
【解答】
依题意，𝑆9𝑆5=𝑎1+𝑎92×9𝑎1+𝑎52×5=9𝑎55𝑎3，
又𝑎5𝑎3=3，
∴ 𝑆9𝑆5=95×3=275，
6.
【答案】
C
【考点】
