2020年四川省眉山市高考数学二诊试卷(理科)(含答案解析)

2020年四川省眉山市高考数学二诊试卷(理科)

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合𝐴={𝑥||𝑥−1|>1}，𝐵={−1,0，2，3}，则(∁𝑈𝐴)∩𝐵=( )

A. {0,1，2} B. {0,2}

C. {−1,3} D. {−1,0，1，2，3}

2. 已知平面向量𝑎⃗ ，𝑏⃗ ，𝑐⃗ 均为非零向量，则“(𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ )𝑐⃗ =(𝑏⃗ ⋅𝑐⃗ )𝑎⃗ ”是“向量𝑎⃗ ，𝑐⃗ 同向”的( )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 在复平面内，复数7+𝑖3+4𝑖对应的点的坐标为( )

A. (1,−1) B. (−1,1) C. (1725,−1) D. (175,−1)

4. 已知函数𝑓(𝑥)={𝑥2−𝑎𝑥,𝑥⩽0𝑎𝑥2+𝑥,𝑥>0为奇函数，则𝑎=( )

A. −1 B. 1 C. 0 D. ±1

5. 给出下列四个命题，其中正确的是( )

①在空间若两条直线不相交，则它们一定平行；

②平行于同一条直线的两条直线平行；

③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；

④空间四条直线a，b，c，d，如果𝑎//𝑏，𝑐//𝑑，且𝑎//𝑑，那么𝑏//𝑐．

A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ②③

6. 函数𝑓(𝑥)=sin(𝜋𝑥+2𝜋3)+cos(𝜋𝑥+𝜋6)的一个单调递减区间是( )

A. [−23,13] B. [56,116] C. [13,43] D. [−16,56]

7. 运行如图所示的程序算法，若输入m的值为20，则输出的结果为( ) A. 20 B. 10 C. 0 D. −10

8. 已知等差数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛，且满足𝑎1=1，𝑎𝑛+𝑎𝑛+1=2𝑛+1，则𝑆10=( )

A. 45 B. 95 C. 110 D. 55

9. 设实数x，y满足约束条件{𝑥−𝑦−2≤0𝑥+𝑦−2≤0𝑥≥−2，则𝑥2+(𝑦+4)2的取值范围是( )

A. [2,68] B. [4,68] C. [2,2√17]

D.

[√2,2√17]

10. 在(1+𝑥)2+(1+𝑥)3+⋯+(1+𝑥)9的展开式中，含𝑥2项的系数是( )

A. 119 B. 120 C. 121 D. 720

11. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2，𝑥∈{−1,0，1}，则𝑓(𝑥)的值域为( )

A. {−1,0，1} B. {0,1} C. {1} D. [0,1]

12. 设抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|𝑀𝐹|=5，线段MF中点的横坐标为52.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的焦点到准线的距离为( )

A. 4或8 B. 2或8 C. 2或4 D. 4或16

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知数列{𝑎𝑛}是等差数列，且𝑎2+𝑎6+𝑎7+2𝑎10=15，数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，则𝑆13=_________．

14. 过双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏<0)的右焦点且垂于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|𝐴𝐵|≥513|𝐶𝐷|，则双曲线离心率的取值范围为______ ．

15. 若三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶最长的棱𝑃𝐴=2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的表面积是________． 16. 设函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥𝑥+𝑥−𝑎，(𝑎∈𝑅)，若曲线𝑦=2𝑒𝑥+1𝑒2𝑥+1(𝑒是自然对数的底数)上存在点(𝑥0,𝑦0)使得𝑓(𝑓(𝑦0))=𝑦0，则a的取值范围是______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=2𝜋3，D为边BC上一点，𝐷𝐴⊥𝐴𝐵，且𝐴𝐷=√32．

(𝐼)若𝐴𝐶=2，求BD；

(𝐼𝐼)求𝐷𝐴𝐷𝐵+𝐷𝐴𝐷𝐶的取值范围．

18. 有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为𝜉，求𝐸(𝜉)和𝐷(𝜉)．

19. 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，，G，F分别是线段BE，DC的中点．

(1)求证：

(2)求平面AEF与平面BEC所成角的余弦值．

20. 如图，已知椭圆E：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为√32，过左焦点𝐹(−√3,0)且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：𝑥+4𝑘𝑦=0交椭圆E于C，D两点．

(1)求椭圆E的方程；

(2)求证：点M在直线l上；

(3)是否存在实数k，使得𝑆△𝐵𝐷𝑀=3𝑆△𝐴𝐶𝑀？若存在，求出k的值．若不存在，说明理由．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−1−4𝑎−36𝑥,𝑔(𝑥)=13𝑎𝑥2+12𝑥−(𝑎−1)．

(1)曲线𝑓(𝑥)在𝑥=1处的切线与直线𝑥+2𝑦−1=0垂直，求实数a的值；

(2)当𝑥≥1时，𝑓(𝑥)≥𝑔(𝑥)恒成立，求实数a的取值范围．

22. 已知直线l的极坐标方程是𝜌sin(𝜃−𝜋3)=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是{𝑥=2cos𝛼,𝑦=2+2sin𝛼(𝛼为参数．)

(1)求直线l被曲线C截得的弦长； (2)从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．

23. 已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥|−|𝑥−3|．

(1)解关于x的不等式𝑓(𝑥)≥1；

(2)若存在𝑥0∈𝑅，使得关于x的不等式𝑚≤𝑓(𝑥0)成立，求实数m的取值范围．

【答案与解析】

1.答案：B

解析：解：𝐴={𝑥|𝑥<0，或𝑥>2}；

∴∁𝑈𝐴={𝑥|0≤𝑥≤2}；

∴(∁𝑈𝐴)∩𝐵={0,2}．

故选：B．

可求出集合A，然后进行补集、交集的运算即可．

考查绝对值不等式的解法，描述法和列举法的定义，以及交集和补集的运算．

2.答案：B

解析：解：向量𝑎⃗ ，𝑐⃗ 同向⇒(𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ )𝑐⃗ =(𝑏⃗ ⋅𝑐⃗ )𝑎⃗ ，反之不成立，可能向量𝑎⃗ ，𝑐⃗ 反向．

∴“(𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ )𝑐⃗ =(𝑏⃗ ⋅𝑐⃗ )𝑎⃗ ”是“向量𝑎⃗ ，𝑐⃗ 同向”的必要不充分条件．

故选：B．

向量𝑎⃗ ，𝑐⃗ 同向⇒(𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ )𝑐⃗ =(𝑏⃗ ⋅𝑐⃗ )𝑎⃗ ，反之不成立，可能向量𝑎⃗ ，𝑐⃗ 反向．即可判断出结论．

本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3.答案：A

解析：解：∵7+𝑖3+4𝑖=(7+𝑖)(3−4𝑖)(3+4𝑖)(3−4𝑖)=21−28𝑖+3𝑖+425=1−𝑖，

∴复数7+𝑖3+4𝑖对应的点的坐标为(1,−1)，

故选：A．

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．

4.答案：A

解析： 本题主要考查了函数的奇偶性，属于基础题；

根据函数𝑓(𝑥)是奇函数，得到𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)即可得解．

解：∵函数𝑓(𝑥)是奇函数，

∴𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，

则𝑓(−1)=−𝑓(1)，

即1+𝑎=−𝑎−1，

即2𝑎=−2，得𝑎=−1，

故选A．

5.答案：B

解析：解：①在空间若两条直线不相交，则它们平行或异面，故①不正确；

②由平行公理知：平行于同一条直线的两条直线平行，故②正确；

③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交或异面，故③不正确；

④空间四条直线a，b，c，d，

如果𝑎//𝑏，𝑐//𝑑，且𝑎//𝑑，

那么𝑏//𝑑，所以𝑏//𝑐.故④正确．

故选B．

①在空间若两条直线不相交，则它们平行或异面；②由平行公理知②正确；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交或异面；④由平行公理知④正确．

本题考查命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意平行公理的合理运用．

6.答案：D

解析：

本题主要考查两角和与差的三角函数公式，考查正弦函数的单调性，考查转化的数学思想，属于中档题．

利用两角和的三角函数公式化简𝑓(𝑥)的解析式为𝑓(𝑥)=−2𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑥−𝜋3)，故𝑓(𝑥)的减区间即为𝑦=2𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑥−𝜋3)的增区间．令2𝑘𝜋−𝜋2≤𝜋𝑥−𝜋3≤2𝑘𝜋+𝜋2，𝑘∈𝑍，求得x的范围，可得𝑓(𝑥)的减区间．

解：𝑓(𝑥)=sin(𝜋𝑥+2𝜋3)+cos(𝜋𝑥+𝜋6)