中考数学专题：弧长及扇形的面积

中考数学专题：弧长及扇形的面积

聚焦考点☆温习理解

1．弧长及扇形的面积

(1)半径为r,n°的圆心角所对的弧长公式：l＝nπr180；

(2)半径为r,n°的圆心角所对的扇形面积公式：S＝nπr2360＝12lr．

2．圆锥的侧面积和全面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形,若设圆锥的母线长为l,底面半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2πr.

(1)圆锥侧面积公式：S圆锥侧＝πrl；

(2)圆锥全面积公式：S圆锥全＝πrl＋πr2．

3．求阴影部分面积的几种常见方法

(1)公式法；

(2)割补法；

(3)拼凑法；

(4)等积变形构造方程法；

(5)去重法．

名师点睛☆典例分类

考点典例一、弧长公式的应用

【例1】（浙江省金华市第五中学九年级上册期末模拟）已知扇形的圆心角为45°,半径长为10,则该扇形的弧长为（ ）

A. 34 B.

52 C.

3π D. 94

【答案】B

【解析】试题解析：根据弧长公式：l= 45105=1802. 故选B．

【点睛】本题考查了弧长的计算,解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式．

【举一反三】

（江苏省扬州市宝应县射阳湖镇天平初级中学九年级下学期二模）如图,在6×6的方格纸中,每个小方格都是边长为1的正方形,其中A、B、C为格点．作△ABC的外接圆⊙O,则弧BC的长为（ ）

A. 52 B. 54 C. 32 D. 34

【答案】A

【解析】

考点典例二、扇形面积的计算

【例2】（广东省汕头市龙湖区九年级5月模拟）已知圆心角为120°的扇形面积为12,那么扇形的弧长为( ) A. 4 B. 2 C. 4 D. 2

【答案】C

【解析】试题分析：根据扇形的面积计算公式可得： 212012π360r,则r=6,根据弧长的计算公式可得： πr1206l4π180180n.

【点睛】本题主要考查的就是扇形的面积计算公式和弧长的计算公式,属于简单题.扇形的面积计算公式为： 2π1Slr3602nr (S为扇形的面积,l为扇形的弧长,n为扇形所对的圆心角的度数,r为扇形所在的圆的半径),弧长的计算公式为： πrl180n (l为扇形的弧长,n为扇形所对的圆心角的度数,r为扇形所在的圆的半径).在计算的时候我们一定要根据实际题目选择合适的公式进行计算.

【举一反三】

（辽宁营口第12题）如图,AB是⊙O的直径,弦CD垂直平分OB,垂足为点E,连接OD、BC,若BC=1,则扇形OBD的面积为 ．

【答案】6．

考点：扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质．

考点典例三、扇形面积公式的运用

【例3】（重庆市南岸区南开（融侨）中学中考数学二模）如图,等边△ABC内接于⊙O,已知⊙O的半径为2,则图中的阴影部分面积为（ ）

A. 8233

B. 433

C. 8333 D. 9344

【答案】A

【解析】解：连接OB、OC,连接AO并延长交BC于H,则AH⊥BC．

∵△ABC是等边三角形,∴BH=32AB=3,OH=1,∴△OBC的面积= 12×BC×OH=3,则△OBA的面积=△OAC的面积=△OBC的面积=3,由圆周角定理得,∠BOC=120°,∴图中的阴影部分面积=2240223360=8233．故选A．

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算,掌握等边三角形的性质、扇形面积公式是解题的关键．

【举一反三】

(苏州市张家港梁丰初中初三数学期末）如图,半径为1的四个圆两两相切,则图中阴影部分的面积为( )

A. B. C. D. 【答案】A

【解析】∵半径为1的四个圆两两相切,

∴四边形是边长为2的正方形,圆的面积为π,

阴影部分的面积=2×2−π=4−π,

故选A.

考点典例四、圆锥的侧面展开图

【例4】（江苏省苏州市虎丘区立达中学中考二模）圆锥的底面半径为4cm,高为3cm,则它的表面积为（ ）

A. 12π cm2 B. 20π

cm2 C. 26π cm2 D.

36π cm2

【答案】D

【点睛】本题考查了圆锥的计算,勾股定理,圆的面积公式,圆的周长公式和扇形面积公式求解．注意圆锥表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径2＋底面周长×母线长÷2的应用．

【举一反三】

（内蒙古乌兰察布市集宁七中中考数学一模）将一个半径为R,圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠）,设圆锥底面半径为r,则R与r的关系正确的是（ ）

A. R=8r B. R=6r C. R=4r D. R=2r

【答案】C

【解析】试题解析：根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长,则

扇形的弧长是： 90π2π180Rr，

即π2π2Rr， ∴R=4r.

故选C.

考点典例五、求阴影部分的面积

【例5】(陕西西安市西北工业大学附属中学九年级五模) 如图,在中,,,以中点为圆心,作圆心角为的扇形,点恰好在上,下列关于图中阴影部分的说法正确的是（ ）．

A. 面积为 B. 面积为

C. 面积为 D. 面积随扇形位置的变化而变化

【答案】C

【解析】作于,于,连接,如图所示：

∵,,

∴,

,

,

∴,

∴四边形是正方形, ∴,

∴,

∵,

∴,

∴,

在和中,

,

∴≌,

∴四边形的面积正方形的面积,

又∵,,

∴,

∴．

∴．

故选．

【点睛】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题,正确证明△DMG≌△DNH,得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是解题的关键．

【举一反三】

（湖南省张家界市永定区中考数学一模）已知：AB是⊙O的直径,直线CP切⊙O于点C,过点B作BD⊥CP于D．

（1）求证：CB2=AB•DB；

（2）若⊙O的半径为2,∠BCP=30°,求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）证明见解析；

（2）阴影部分的面积=233

【解析】试题分析：（1）由CP是 ⊙O的切线,得出∠BCD=∠BAC,AB是直径,得出∠ACB=90°,所以∠ACB=∠CDB=90°,得出结论△ACB∽△CDB,从而得出结论；

（2）求出△OCB是正三角形,阴影部分的面积=S扇形OCB-S△OCB=2π33．

试题解析：

(1)提示：先证∠ACB=∠CDB=90°,

再证∠BAC=∠BCD,

得△ACB∽△CDB,

∴2CBAB,CBABDBDBCB即

(2)解：如图,连接OC,

∵直线CP是⊙O的切线,∠BCP=30°,

∴∠COB=2∠BCP=60°,

∴△OCB是正三角形,

∵⊙O的半径为2,

∴S△OCB=3,S扇形OCB= 260πr2π3603,

∴阴影部分的面积=S扇形OCB－S△OCB=2π33．

课时作业☆能力提升

1. （广东省中考数学学业一模）三角板ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=23,三角板绕直角顶点C逆时针旋转,当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动,则B点转过的路径长为（ ）

A. 32π B. 433π C. 2π D. 3π

【答案】C

2. （江苏省苏州市高新区初中毕业暨升学考试模拟）如图,菱形ABCD放置在直线l上(AB与直线l重合),AB＝4,∠DAB＝60°,将菱形ABCD沿直线l向右无滑动地在直线l上滚动,从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止,点A运动经过的路径总长度为( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】画出图形即可知道,从点A离开出发点到A第一次落在直线上为止,点A运动经过的路径的长度为图中的弧线长,由此即可解决问题.

解：如图,从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止,点A运动经过的路径的长度为图中的弧线长.

由题意可知=,∠DOA2=120°,DO=4,

所以点A运动经过的路径的长度=,

故选D.

3. （浙江省金华市第五中学九年级上册期末模拟）如图,点A、B、C在⊙O上,若∠BAC=45°,OB=2,则图中阴影部分的面积为（ ）

A. π﹣4 B. 213 C. π﹣2 D. 223

【答案】C

【解析】试题解析：∵∠BAC=45°,

∴∠BOC=90°,

∴△OBC是等腰直角三角形,

∵OB=2,

∴△OBC的BC边上的高为： 22OB=2,

∴BC=22

∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OBC=2902122223602.

故选C． 4. （山东省临沂市临沭县青云镇中心中学九年级第一次模拟）如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CDB＝30°,CD＝23 ,则阴影部分图形的面积为（ ）

A. 4 B. 2 C.  D. 23

【答案】D

【解析】连接OD.

∵CD⊥AB,

∴CE=DE=12CD=3 (垂径定理),

又∵∠CDB=30°,

∴∠COB=60°(圆周角定理),

∴OC=2,

故COEBEDOBDSSSS阴影扇形

6041136022OEECBEED

233322

32.

故选：D.

5. （福建省漳州一中分校九年级数学综合）如果圆锥的母线长为6cm,底面圆半径为3cm,则这个圆锥的侧面积为（ ）

A. 9πcm2 B. 18πcm2 C. 27πcm2 D. 36πcm2

【答案】B