北师大版七年级数学下册学案(含解析)：第五章生活中的轴对称4利用轴对称进行设计

4利用轴对称进行设计

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利用轴对称设计图案

（1）图案的设计常常利用对称、倒置、旋转、重复等手段和形式，尤其是利用轴对称的性质“如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的__________”为依据来设计图案．

（2）如图是44的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有__________个．

【答案】:（1）垂直平分线

（2）4

【解析】:

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考点一:剪纸中的轴对称

1．过新年时，小强家的窗户上贴着如图所示的美丽的剪纸图案，它的对称轴有（）条．

A．0 B．4 C．8 D．无数

【答案】:C

【解析】:

2．如图，把一张正方形纸片对折三次后沿虚线剪下，展开后得到的图形是（）．

A． B． C． D．

【答案】:C

【解析】:

3．如图，一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后得到的图形是（）．

A． B． C． D．

【答案】:D

【解析】:

考点二:设计轴对称图形

4．如图，由4个小正方形组成的田字格，ABC△的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上能画出与ABC△成轴对称，且顶点都在小正方形顶点上的三角形的个数共有（）．

CBA

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】:C

【解析】:

5．如图，由小正方形组成的“L”形图中，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形，使宦成为轴对称图形．

方法一方法二方法三

【答案】:见解析

【解析】:解:如图所示．

6．如图，一轴对称图形画出了它的一半，请你以直线l为对称轴画出它的另一半．

l

【答案】:略

【解析】:

7．如图，草原上有两个居民点P，Q，MM是一条公路，NN是一条河流．一汽车从P出发，把一批参加社会实践活动的学生送到公路上，再到河边去加水，最后回到Q．问:怎样安排两个停靠点R，S，可使行驶的路程最短？（作图回答）（数学思想链接:转化思想）

QPN'M'NM

【答案】:见解析

【解析】:解:如图所示．

N'M'RP'Q'PSQNM

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1．（5分）永州的文化底蕴深厚，永州人民的生活健康向上，如瑶族长鼓舞，东安武术，宁远举重等，下面的四幅简笔画是从永州的文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是（）．

A． B． C． D．

【答案】:C

【解析】:

2．（5分）一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线所在直线对称，那么下列图案中不符合要求的是（）．

A． B． C． D．

【答案】:D

【解析】:

3．（5分）（2016•资阳一模）如图，图乙的图案是由图甲中五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（）． 甲①②③④⑤乙

A．①② B．①③ C．①④ D．③⑤

【答案】:B

【解析】:

4．（5分）在如图所示的方格纸上画有2条线段，若再画一条线段，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，则这条线段的画法最多有__________种．

DCBA

【答案】:4

【解析】:

5．（12分）请在下列三个22的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注:所画的三个图形不能重复）

①②③

【答案】:见解析

【解析】:解:示例:如图所示．

6．（10分）将一张正方形的纸沿对角线对折一次后，得到一个等腰直角三角形，沿等腰直角三角形底边上的高对折一次，又得到一等腰直角三角形，再沿着其底边上的高对折一次，共对折了三次后，在中间剪去一个小圆，则展开盾得到的图形有几条对称轴？

【答案】:4条

【解析】:

7．（10分）在现实生活中，很多优美的图形都是由几个简单的几何图形组成的，请你用圆、三角形、线段三个几何图形，依照图中的例子设计三个不同的轴对称图案，并赋予它一个合适、有趣的名称． 电灯羽毛球稻草人

【答案】:见解析

【解析】:解:答案不唯一．

风铃狐狸

8．（10分）（拓展提升题）（2016•深圳期末）观察设计．

（1）观察如图的①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征．

（2）借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的两个共同特征．（注意:新图案与图①～④的图案不能一样）

①②③④⑤

【答案】:见解析

【解析】:解:（1）示例:所给个四个图案具有的共同特征:①都是轴对称图形；②面积都等于四个小正方形的面积之和；③都是直线型图案．

（2）示例:

尖子生成长计划6 活用“三线合一’’巧解题

一、利用“三线合一”求角的度数

1．如图，已知房屋顶角100BAC，过屋顶A的立柱ADBC⊥，屋檐ABAC．求顶架上的B，C，BAD，CAD的度数．

DCBA

【答案】:见解析 【解析】:解:因为ABAC，100BAC，ADBC⊥，

所以40BC，50BADCAD

二、利用“三线合一”求线段的长度

2．如图，在ABC△中，ABAC，ADBDBC，DEAB⊥于点E，若9CD，且BDC△的周长为39，求AE的长．

EDCBA

【答案】:见解析

【解析】:解:因为BDC△的周长39BDBCCD，9CD，所以30BDBC．

因为ADBDBC，所以15ADBDBC．

所以15924ABACADDC．

又因为ADBD，DEAB⊥，

所以1122AEEBAB．

三、利用“三线合一”说明线段相等

3．如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，ABC的平分线BG交AD于点E，EFAB⊥，垂足为F．试说明:EDEF．

GFEDCBA

【答案】:见解析

【解析】:解:因为ABAC，AD为BC边上的中线，

所以ADBC⊥，即EDBC⊥（三线合一）．

因为BG为ABC的平分线，EFAB⊥，EDBC⊥，

所以EDEF．

四、利用“三线合一”说明角相等

4．如图，AD是ABC△的角平分线，且AEAC，EFBC∥交AC于点F．试说明:DECFEC． FEDCBA

【答案】:见解析

【解析】:解:因为AD平分EAC，AEAC，

所以AD垂直平分EC．

所以DEDC．所以DECDCE．

又因为EFBC∥，

所以FECDCE．

所以DECFEC．

五、利用“三线合一”说明垂直平分

5．如图，已知AD是ABC△的角平分线，DE，DF分别是ABD△和ACD△的高．试说明:AD垂直平分EF．

FEDCBA

【答案】:见解析

【解析】:解:因为DEAB⊥，DFAC⊥，BADCAD，ADAD，

所以ADE△≌ADF△．

所以AEAF．

又因为AD平方EAF，

所以AD垂直平分EF．

六、利用“三线合一”说明角的倍分关系

6．如图，在ABC△中，ABAC，CFEF，DE垂直平分AB，BEAC⊥，AFBC⊥．试说明:12EFCAFC．

FEDCBA

【答案】:见解析

【解析】:解:因为DE垂直平分AB，所以AEBE．

因为BEAC⊥， 所以ABE△是等腰直角三角形．

所以45BACABE．

又因为ABAC，

所以11(180)(18045)67.522ABCBAC．

所以67.54522.5CBEABCABE．

因为ABAC，AFBC⊥，所以BFCF．

又CFEF，所以BFEF，

所以22.5BEFCBE，

所以18022.522.545EFCBFEBEFCBE．

因为AFBC⊥，所以90AFC，

所以12EFCAFC．

七、利用“三线合一”说明线段的倍分关系（构造三线法）

7．如图，已知等腰直角三角形ABC中，ABAC，90BAC，BF平分ABC，CDBD⊥交BF的延长线于点D．试说明:2BFCD．

FDCBA

【答案】:见解析

【解析】:解:如图，延长BA，CD交于点F．

因为BF平分ABC，CDBD⊥，BDBD，

所以BDC△≌BDE△．

所以BCBE，DEDC．

因为90BAC，90BDC，AFBDFC，

所以ABFDCF．

又ABAC，90BAFCAE，

所以ABF△≌(ASA)ACE△，

所以BFCE．

故2BFCD．

FEDCBA

八、利用“三线合一”说明线段的和差关系（构造三线法）

8．如图，在ABC△中，ADBC⊥于点D，且2ABCC．试说明:CDABBD． DCBA

【答案】:见解析

【解析】:解:如图，以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AEAB，

所以AEBABC．

因为ADBC⊥，所以AD是BE边上的中线，即DEBD．

又因为2ABCC，所以2AEBC．

而180AEBAECCAEC，

所以CAEC．

过点E作EFAC⊥于点F，

易知AEF△≌CEF△，

则CEAEAB，故CDABBD．

FEDCBA