北京市海淀区2024届高三上学期期中考试数学试卷
- 格式：pdf
- 大小：536.89 KB
- 文档页数：4
第1页/共4页 2023北京海淀高三（上）期中
数 学
2023.11
本试卷共6页，150分，考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试
结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)
已知集合=Axx2
，=B1,2
，则AB=
(A)−,2()
(B) −(2],
(C)1
(D)1,2
(2)若复数z满足
+=z
1ii2
，则z=
(A)−−1i
(B) −+1i
(C) −1i
(D) +1i
(3)下列函数中，既是偶函数又在区间+0,()
上单调递增的是
(A)=yxln
(B)=yx3
(C)=yxtan
(D)=yx
2
(4)已知向量a，b满足，=a)1(2
，，−=−ab()12
，则=ab
(A)-5 (B)0
(C)5 (D)7
(5)设等差数列a
n
的前n项和为S
n，且=S15
5，则aa·
24的最大值为 (A)
49
(B)3
(C)9 (D)36
(6)设=alog6
4，=blog3
2，=c
23
，则
(A)abc
(B)cba
(C)bac
(D)bca
(7)“+sintan0
”是“
为第一或第三象限角”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(8)在ABC
中，=BAsinsin2
，=ca2
，则|
北京新百年教育
北京新百年教育
育百年教育北京新百年教育
北京新百年教育
北京新北京
第2页/共4页 (A)B
为直角 (B) B
为钝角
(C) C
为直角 (D) C
为钝角
(9)古典吉他的示意图如图所示.A
0，B分别是上弦枕、下弦枕，，，=iA
i121(9)
是第i
品丝.记a
i为A
i与
−A
i1
的距离，L
i为A
i与A
0的距离，且满足=−
−
MaXL
iLi1
，i
=1，2，…，
19，其中X
L为弦长(A
0与B的距离)，M为大于1的常数，并规定=L0
0.则
(A)数列aaa,,,
1219是等差数列，且公差为−
MX
L
2
(B)数列aaa,,,
1219是等比数列，且公比为−
MM1
(C)数列LLL,,,
1219是等比数列，且公比为−
MM21
(D)数列LLL,,,
1219是等差数列，且公差为−
MMX
L(1)
2
(10)在等腰直角三角形ABC中，AB=2，M为斜边BC的中点，以M为圆心，MA为半径作𝐴𝐶̂
，点P在线段
BC上，点Q在𝐴𝐶̂
上，则
AP
MQ+
的取值范围是
(A)，10[0]
(B)，+22[0]
(C)，−[220]1
(D)，−+[2222]
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
(11)函数=++
xfxxlg11
()()
的定义域是__________.
(12)在平面直角坐标系xOy
中，角a以Ox为始边，终边经过点，−P2(1)
，则tan2
=_________.
(13)已知非零向量=+axee
12()
，=+beye
12，其中e
1，e
2是一组不共线的向量.能使得a与b的方向相
反的一组实数x，y的值为x=_____，y=_____.
(14)已知函数=+fxx2sin()()
的部分图象如图所不.
①函数fx()
的最小正周期为___________；
②将函数fx()
的图象向右平移tt0()
个单位长度，得到函数gx()
的图象.若
函数gx()
为奇函数，则
t
的最小值是____________.
北京新百年教育
北京新百年教育
育百年教育北京新百年教育
北京新百年教育
北京新北京
第3页/共4页 (15)已知函数
+=+
xaxxafxaxax
2,.2,,
2()
给出下列四个结论:
①当a=0时，fx()
的最小值为0； ②当a
31
时，fx()
存在最小值;
③记fx()
的零点个数为ga()
，则函数ga()
的值域为，，，}1{203
;
④当a1
时，对任意xxR,
12，++
fx
fxfxx
)
22()(
112
2()
其中所有正确结论的序号是____________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文宇说明，演算步骤或证明过程。
(16)(本小题14分)
已知无穷等比数列a
n
的各项均为整数，其前n项和为S
n，=a3
2，+=aa10
13.
(I)求a
n
的通项公式；
(II)证明：对
++kSSS
kkkN,3,2,
12*
这三个数成等差数列.
(17)(本小题14分) 已知函数=+
fxxx
2()2coscos()()
，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已
知，使函数fx()
存在.
(I)求
的值；
(II)求fx()在区间［］−
2,0
上的最大值和最小值.
条件①:=
f
31()
；
条件②：函数fx()在区间
4[0,]
上是增函数； 条件③：
xRfxf
3,()()2
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
(18)(本小题14分)
已知曲线=−Cyx:42
与x轴交于不同的两点A，B(点A在点B的左侧)，点，Pt0()
在线段AB上(不与端点
重合)，过点P作x轴的垂线交曲线C于点Q.
(I)若APQ
为等腰直角三角形，求APQ
的面积；
(D)记APQ
的面积为St()
，求St()
的最大值.
北京新百年教育
北京新百年教育
育百年教育北京新百年教育
北京新百年教育
北京新北京
第4页/共4页 (19)(本小题14分)
某景区有一人工湖，湖面有A，B两点，湖边架有直线型栈道CD，长为50m，如图所示.现要测量A，B两
点之间的距离，工作人员分别在C，D两点进行测量，在C点测得=ACD45
，=BCD30
;在D点
测得=ADB135
，=BDC120
.(A，B，C，D在同一平面内)
(I)求A，B两点之间的距离；
(n)判断直线CD与直线AB是否垂直，并说明理由.
(20)(本小题14分) 已知函数
+=+
xbfxxa
2()，且=f
411
()，=f
1942
()
(I)求a，b的值；
(II)求fx()
的单调区间；
(III)设实数m满足：存在kR
，使直线=+ykxm
是曲线=yfx()
的切线，且+kxmfx()
对
+x[0,)
恒成立，求m的最大值.
(21)(本小题15分)
设无穷数列a
n
的前n项和为S
n，i
n
为单调递增的无穷正整数数列，记，，=−=
+ASSn
nii
nn12()
1，定
义=−=++jSSkjj
kjN0,1,2,*
.
(I)若，，，===aninn
nn)12(2
，写出，AA
12的值；
(II)若，，−==−
an
nn
12
2()()1
1
，求Ω;
(III)设
−==
xxxx
1,0.sgn0,0,1,0,
()
求证：对任意的无穷数列a
n
，存在数列i
n
，使得A
nsgn()
为常数列.
北京新百年教育
北京新百年教育
育百年教育北京新百年教育
北京新百年教育
北京新北京
