专题08 函数的周期性(原卷版)

专题八 函数的基本性质核心素养练习一、核心素养聚焦考点一 逻辑推理-比较大小例题10.函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72 B ．f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52 C ．f ⎝⎛⎭⎫72<f ⎝⎛⎭⎫52<f (1) D ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫72 【答案】B【解析】∵函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫12， 又f (x )在[0,2]上单调递增， ∴f ⎝⎛⎭⎫12<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫32，即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52. 考点二 数学运算-二次函数求最值例题11、已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1，求f (x )在[0,1]上的最大值．【解析】 因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图象开口向上，其对称轴为x ＝a 2，当a 2≤12，即a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝2－a ； 当a 2>12，即a >1时，f (x )的最大值为f (0)＝1. 考点三 数学建模—函数最值实际应用例题12.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？【解析】 (1)当0<x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x >20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20(x ∈N *)．(2)当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元． 即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元． 考点四 直观想象-利用函数的图象求函数的最值(值域)例题13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域． 【解析】 (1)图象如图所示：(2)由图可知f (x )的单调递增区间为(－1,0)，(2,5)，单调递减区间为(0,2)，值域为[－1,3]．二、学业质量测评一、选择题1．（2017·全国高一课时练习）定义在R 上的函数f(x)对任意两个不等的实数a ，b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则f(x)必定是( )A.先增后减的函数B.先减后增的函数C.在R 上的增函数D.在R 上的减函数【答案】C【解析】定义在R 上的函数f(x)对任意两个不等的实数a ，b ，总有()()0f a f b a b->-成立则当()()0f a f b -> 时，0a b -> ，此时f(x)是在R 上的增函数 当()()0f a f b -< 时，0a b -< ，此时f(x)是在R 上的增函数 所以f(x)是在R 上的增函数 所以选C2．（2017·全国高一课时练习）函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A.2 B.12 C.13D.－12【答案】B 【解析】y ＝11x -在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为12，选B. 3．（2019·全国高一课时练习）已知()()310f x ax bx ab =++≠，若()2018f k =，则()2018f -等于( ) A ．k B ．k - C ．1k - D ．2k -【答案】D【解析】因为()31f x ax bx -=--+，所以()()2f x f x -+=，所以()()201820182f f -+=即()20182f k -=-，选D.4．（2018·全国高一课时练习）函数 f (x )在(－1,1)上是奇函数，且在(－1,1)上是减函数，若 f (1－m )＋f (－m )<0，则 m 的取值范围是( )A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.(－1,1)C.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D.(－1,0)∪1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为函数f (x )在(－1,1)上是奇函数，所以(1)()()f m f m f m -<--=，又因为f (x )在(－1,1)上是减函数，所以111111m m mm -<-<⎧⎪->⎨⎪-<-<⎩解得102m <<，故选A. 5．（2018·全国高一课时练习）设函数()f x 是奇函数，在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x <的解集是（ ）． A.{}|303x x x -<<>或 B.{}|303x x x <-<<或 C.{}|33x x x <->或 D.{}|3003x x x -<<<<或【答案】D【解析】函数()f x 是奇函数，在()0,+∞内是增函数，又()30f -=，()30f ∴=，且在()0-∞，内是增函数， ()0x f x <，∴①当0x >时，()()03f x f <=03x ∴<<②当0x <时，()()03f x f >=-30x ∴-<<③当0x =时，不等式的解集为φ综上，()0x f x <的解集为{}|3003x x x -<<<<或 故选D6．（2018·全国高一课时练习）已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，2()1f x x x =+-，那么0x <时，()f x 的解析式为()f x =（ ）．A.21x x -+ B.21x x -++C.21x x ---D.21x x --+【答案】D【解析】设0x <，则0x ->，()()2211f x x x x x ∴-=-+--=+- 函数()f x 是定义在R 上的奇函数()()f x f x ∴-=-即()21f x x x -=+-解得()21f x x x =--+。

专题08二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法类型一、平行四边形存在性问题例．已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)如图2，设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ，在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数2=23y x x --与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），直线y x m =+与抛物线交于A 、C 两点．(1)求点C 的坐标；(2)点P 为直线AC 下方抛物线上一点，过点P 作y 轴平行线交AC 于E 点，当EP 最长时求此时点P 的坐标；(3)抛物线顶点为M ，在平面内是否存在点N ，使以,,,A B M N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N 点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．(1)求此拋物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA PC+值最小，求最小值；(3)点M为x轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N，使以边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练3】综合与实践如图，抛物线23y ax x c=++与x轴交于A，B两点（点A在点(1)求抛物线的解析式：(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．类型二、菱形存在性问题(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式训练1】如图1，抛物线23y ax bx =++交x 轴于点()30A ，和点(1)求抛物线的表达式；(2)若点D 是直线AC 上方拋物线上一动点，连接BC ，AD ADM △的面积为1S ，BCM 的面积为2S ，当121S S -=时，求点(3)如图2，若点P 是抛物线上一动点，过点P 作PQ x ⊥轴交直线上是否存在点E ，使以P ，Q ，E ，C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由(1)求ABC 的面积；(2)点P 为直线AC 上方抛物线上的任意一点，过点P 作PD y ∥轴交直线22PD CD +的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点与平移后的抛物线的交点，点M 为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点的一点，直接写出所有使得以点B E M N 、、、为顶点的四边形是菱形的点求其中一个点N 的坐标的求解过程写出来．类型三、矩形存在性问题例．已知抛物线()240y ax bx a =+-≠交x 轴于点()4,0A 和点()2,0B -，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 是抛物线上位于直线AC 下方的动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，交x 轴于点E ，当PD PE +取最大值时，求点P 的坐标及PD PE +最大值．(3)在抛物线上是否存在点M ，对于平面内任意点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点且AC 为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M 、N 的坐标，不存在，请说明理由．(1)求点A、B、C的坐标；(2)将抛物线L向右平移1个单位，得到新抛物线对称轴l上是否存在点D，使得以点D的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的表达式；的面积为S，求S (2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设PBC坐标；(3)已知M是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点N，使以B的四边形是矩形？若存在，直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．类型四、正方形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过,A B 两点，P 是位于对称轴左侧的抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的对称轴方程；(2)若点P 满足PAB PBA ∠=∠，求点P 的坐标；(3)设M 是抛物线的对称轴上一点，N 是坐标平面内一点，若四边形AMPN 是正方形，求此正方形的面积．【变式训练1】如图，二次函数223y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．连接BC ．点P 是抛物线第一象限内的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ．交BC 于点E ．过点P 作BC 的平行线，交y 轴于点M ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式；(2)在点P 的运动过程中，求使四边形CEPM 为菱形时，m 的值；(3)点N 为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线PM 上是否存在点Q 使得以P ，E ，Q ，N 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 在第一象限内，过点E 作EF y ∥轴，交BC 于点F ，作EH 点H 在点E 的左侧，以线段,EF EH 为邻边作矩形EFGH ，当矩形求线段EH 的长；(3)点M 在直线AC 上，点N 在平面内，当四边形OENM 是正方形时，请直接写出点标．课后训练1．如图1，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P 、Q 为直线BC 下方抛物线上的两点，点Q 的横坐标比点P 的横坐标大1，过点P 作PM y ∥轴交BC 于点M ，过点Q 作QN y ∥轴交BC 于点N ，求PM QN +的最大值及此时点Q 的坐标；(3)如图3，将抛物线()230y ax bx a =+-≠先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y '，在y '的对称轴上有一点D ，坐标平面内有一点E ，使得以点B 、C 、D 、E 为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点D为直线y x=上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC点P的坐标；(3)已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P的四边形是以PC为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．(1)求出抛物线与直线的解析式；(2)已知点K为线段AD上一动点，过点求AHD的最大面积；(3)若点M是x轴上的一动点，点N的四边形是平行四边形时，请你直接写出符合条件的点4．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过点(1,0)-，(3,0)和()0,3．(1)求抛物线的表达式；(2)若直线x m =与x 轴交于点N ，在第一象限内与抛物线交于点M ，当AN MN +有最大值时，求出抛物线上点M 的坐标；(3)若点P 为抛物线2y ax bx c =++（0a ≠））的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点，在（2）的条件下求得的点M ，是否能与A ，P ，Q 构成平行四边形？若能构成，求出Q 点坐标；若不能构成，请说明理由．。

专题08 一次函数及其应用考向1 一次函数的图象与性质【母题来源】（2021·浙江嘉兴）【母题题文】已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（）A．≤B．≥C．≥D．≤【分析】结合选项可知，只需要判断出a和b的正负即可，点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，代入可得关于a和b的等式，再代入不等式2a﹣5b≤0中，可判断出a与b正负，即可得出结论．【解答】解：∵点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，∴﹣3a﹣4＝b，又2a﹣5b≤0，∴2a﹣5（﹣3a﹣4）≤0，解得a≤﹣＜0，当a＝﹣时，得b＝﹣，∴b≥﹣，∵2a﹣5b≤0，∴2a≤5b，∴≤．故选：D．【试题分析】此题考察了一次函数图象的性质以及点的坐标特征，再转化到不等式中，考察不等式变形；【命题意图】一次函数的图象以及其计算的难度不会很大，但是和其他知识点结合考察的时候，可以同步考察各知识点的融合应用，难度就可以大起来了；【命题方向】一次函数的图象和性质在浙江中考中考察的不多，主要还是以后续的应用为主。

当一次函数和其他函数或者几何图形结合考察时，主要难度也不在一次函数上，而在与之结合的图形上。

但是一次函数的考点规律性较强，也基本上可以和其他所有的几何图形结合，所以整体难度还是可以上去的；【得分要点】一.图象的画法：（原理：两点确定一条直线）二．图象的性质对于任意一次函数y=kx+b（k≠0），点A (x1,y1）B（x2,y2）在其图象上k＞0 k＜0性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小直线走势从左往右看上升从左往右看下降增减应用当x1＜x2时，必有y1＜y2（不等号开口方向相同）当x1＜x2时，必有y1＞y2（不等号开口方向相反）必过象限直线必过第一、三象限直线必过第二、四象限b＞0 直线过第一、二、三象限直线过第一、二、四象限b=0（正比例函数）直线过第一、三象限直线过第二、四象限正比例函数必过原点（0,0）b＜0 直线过第一、三、四象限直线过第二、三、四象限三．待定系数法求一次函数表达式的方法：步骤普通一次函数具体操作正比例函数具体操作1.“设”设所求一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）设所求正比例函数解析式为y=kx（k≠0）2.“代入”把两对x、y的对应值分别代入y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组把除（0,0）外的一对x、y的对应值代入y=kx，得到关于k一元一次方程3.“解”解这个关于k、b的二元一次方程组解这个关于k的一元一次方程4.“再代入”把求得的k、b的值代入到y=kx+b，得到所求的一次函数表达式把求得的k的值代入到y=kx，得到所求的正比例函数表达式步骤一次函数正比例函数找点找任意两个点，一般为“整点”或与坐标轴的交点找除原点外的任意一个点描点在平面直角坐标系中描出所找的点的位置连线过这两个点画一条直线过原点和这个点画一条直线四．一次函数与方程、不等式的关系一次函数y=kx+b 作用具体应用与一元一次方程的关系求与x轴交点坐标方程kx+b=0的解是直线y=kx+b与x轴的交点横坐标与二元一次方程组的关系求两直线交点坐标方程组⎩⎨⎧+=+=2211bxkybxky的解是直线11bxky+=与直线22bxky+=的交点坐标与一元一次不等式（组）的关系一元一次不等（如kx+b＞0）的解可以由函数图象观察得出由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左右，则x取其中一边的范围。

第二篇 函数、导数及其应用 专题2.3 函数的奇偶性、周期性与对称性【考纲要求】1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．能运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 【命题趋势】1. 对函数的奇偶性与周期性的考查主要有两种题型：一是判断函数的奇偶性与周期性，二是已知函数的奇偶性与周期性求值或范围，难度一般．2．函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用，题型有根据性质判断图象、解不等式、求方程根的个数等，难度较大. 【核心素养】本讲内容主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 【素养清单•基础知识】 1．函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数； (2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数． 2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质：存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【素养清单•常用结论】1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a>0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．【真题体验】1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为（）A．B．C．D．2．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数在的图像大致为（）A． B.C．D．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（）A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）4.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数的图像大致为（）5.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数的图像大致为（）6.【2018年高考浙江】函数y=sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．7.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A． B．C．D．8．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（）A．B．0C．2 D．50【考法拓展•题型解码】考法一函数奇偶性的判断解题技巧：判断函数奇偶性的方法(1)根据定义判断，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．(2)利用函数图象特征判断．(3)分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．【例1】(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数(2)判断下列各函数的奇偶性．①f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；②f(x)＝lg(1－x2)|x－2|－2；③f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋x，x<0，－x2＋x，x>0.考法二函数奇偶性的应用解题技巧：与函数奇偶性有关的问题及解决方法(1)已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．(4)应用奇偶性画图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象并判断另一区间上的单调性．【例2】(1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3(2)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x，则当x＞0时，f(x)＝()A．－2x B．2－xC．－2－x D．2x(3)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝__________.考法三函数的周期性归纳总结：函数周期性的判断与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT(k∈Z，且k≠0)也是函数的周期．【例3】(1)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝__________.(2)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2 022)＝__________. (3)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝__________.考法四函数性质的综合应用归纳总结：函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)单调性与奇偶性的综合：注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性的综合：此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周期性的综合：解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．【例4】(1)已知定义域为(－1,1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a－3)＋f(9－a2)<0，则实数a的取值范围是() A．(22，3) B．(3，10)C．(22，4) D．(－2,3)(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50 B．0C ．2D ．50(3)(2019·池州联考)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件：①∀x 1，x 2∈[4,8]，当x 1<x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；②f (x ＋4)＝－f (x )；③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 025)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <b D ．c <b <a【易错警示】易错点 不会利用函数的奇偶性解抽象不等式【典例】 (2016·天津卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增. 若实数a 满足f (2|a－1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是__________．【错解】：由已知f (2|a －1|)＞f (－2)可得f (2|a －1|)＞f (2)，而f (x )是增函数，所以2|a －1|>2＝212 ，即|a －1|>12，所以a >32或a <12，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 【错因分析】：偶函数f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，而偶函数在与原点对称的区间上单调性相反，所以在(0，＋∞)上f(x)是减函数．本解答忽视了奇偶性的基本性质，从而在将抽象不等式转化为具体不等式时出错误．【正解】：【答案】：⎝⎛⎭⎫12，32【解析】因为f (x )是偶函数且在(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且f (－2)＝f (2)，所以原不等式可化为f (2|a －1|)＞f (2)，故有2|a －1|＜2，即|a －1|<12，解得12<a <32.归纳总结：函数不等式的求解方法解与函数有关的不等式问题，常利用奇函数在对称单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称单调区间上有相反的单调性的性质，利用题目已知条件，转化为不等式问题来求解，而解有关抽象函数不等式问题，也是充分利用函数的奇偶性和单调性求解．【跟踪训练】 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2x －2x ，则f (x )x >0的解集为( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【递进题组】1．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( ) A ．y ＝2|x | B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1) C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝lg 1x ＋12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝( ) A ．－6 B ．6 C ．4D ．－43．已知定义在R 上的偶函数f (x )，在x ≥0时，f (x )＝e x ＋ln(x ＋1)，若f (a )<f (a －1)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．⎝⎛⎭⎫12，1D ．(1，＋∞)4．(2019·晋中模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，f (1)＝2，且对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，则f (2 023)＝__________. 【考卷送检】 一、选择题1．下列函数是奇函数的是( ) A ．f (x )＝x |x | B ．f (x )＝lg x C ．f (x )＝2x ＋2－xD ．f (x )＝x 3－12．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( ) A ．17B ．－1C ．1D ．73．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－98D ．984．(2019·沈阳测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数5．(2019·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( ) A ．1 B ．45C ．－1D ．－456．(2019·成都八中月考)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫13，1 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C ．⎝⎛⎭⎫－13，13 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 二、填空题7．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x ＞0，4－2－x，x ＜0，则实数a ＝________. 8．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，则实数m 的取值范围是________． 9．定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0，且f (4－x )＝f (x )．现有以下三种叙述： ①8是函数f (x )的一个周期； ②f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ③f (x )是偶函数．其中正确的序号是________． 三、解答题10．(2019·临川一中期中)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 12 x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)＞－2.11．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．12．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．13．(2019·常德模拟)设f (x )是偶函数，且当x ＞0时，f (x )是单调函数，则满足等式f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为( ) A ．8 B ．－8 C ．4 D ．－4。

《2024年1月浙江首考英语卷深度解析及变式训练》养成良好的答题习惯，是决定高考英语成败的决定性因素之一。

做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。

专题08 语法填空 (解析+词汇+变式+技巧+模拟) 原卷版关键词：人与社会, 说明文, 促销手段, 网络购物, 双十一购物, 移动支付The shelves in most supermarkets are full of family-size this and multi-buy that. However, ifyou’re shopping for one, buying extra 56 (benefit) from price reductions doesn’t make sense. Either your shopping is then too heavy to carry home 57 you can’t use what you’ve bought while it’s still fresh.Of course, shops are not charities — they price goods in the way 58 will make themthe most money. If most of their customers are happy to buy larger quantities, that’s 59 they’ll promote. But that leaves the solo (单独) customers out of pocket and disappointed.Many supermarkets are no longer doing “buy one get one free” promotions because of the 60 (criticize) that they lead to waste. Consumers prefer money off individual items. However, though it’s nice to get a few cents off a pack of sausages, it would help even more if they could sometimes 61 (offer) in smaller packs. Even the biggest sausage fan doesn’t want to eat them every day.If your supermarket sells loose produce, then buying smaller quantities is easier. Over the lasttwo years, some supermarkets 62 (start) selling chicken or salad in packs 63 (design) with two halves containing separate portions (份). Then, when you use one section, 64 other stays fresh.Who knows, perhaps some of the more forward-looking 65 (one) may yet come outwith a whole range of “just for you” pack sizes with special offers as well.一、高频短语1. supermarket n.2. family-size a.3. multi-buy a.4. extra a.5. reduction n.6. charity n.7. price vt.8. customer n.9. promote vt.10. criticize vt. 11. criticism n.12. individual a.13. sausage n.14. loose a.15. produce n.16. portion n.17. section n.18. forward-looking a.19. range n.20. offer n.二、核心语块1. benefit from2. makes sense3. either..or…4. no longer5. buy one get one free6. lead to7. a range of7. as well变式一、单句填空1. The __________(shelf) in most supermarkets are full of family-size this and multi-buy that.2. However, if you’re shopping for one, __________(buy) extra to benefit from price reductions doesn’t make sense.3. Either your shopping is then too heavy to carry home __________ you can’t use what you’ve bought while it’s still fresh.4. Shops are not charities — they price goods in the way __________ will make them the most money.5. If most of their customers are happy to buy larger quantities, that’s __________ they’ll promote. But that leaves the solo (单独) customers out of pocket and __________(disappointed).6. Many supermarkets are no longer doing “buy one get one free” promotions because of the __________(criticize) that they lead to waste.7. How ever, though it’s nice to get a few cents off a pack of sausages, it would help even more if they could sometimes __________(offer) in smaller packs.8. Even the biggest sausage fan doesn’t want __________(eat) them every day.9. If your supermarket sells loose produce, then __________(buy) smaller quantities is easier.10. Over the last two years, some supermarkets __________(start) selling chicken or salad in packs designed with two halves __________(contain) separate portions (份).11. Then, when you use one section, __________ other stays fresh.12. Who knows, perhaps some of the more forward-looking __________(one) may yet come outwith a whole range of “just for you” pack sizes with special offers as well.变式二：第57题变式（平行结构）1. (2020浙江)Although Mary loved flowers, ________she nor her husband was known as a gardener.2. (2019全国II) I love coming here and seeing my family and all the friends I have made over the years. I work not because I have to, ________ because I want to.”3. __________you must improve your work or I shall dismiss you.4. Between the two generations, it is often not their age, ________ their education that causes misunderstanding.5. Between working full-time ________ taking care of the kids, he didn't have much time for hobbies.6. I shall go swimming tomorrow whether you come with me ________stay at home.7. It is often said that the joy of traveling is ______ in arriving at your destination ______ in the journey itself.8. It was an extremely dark, lonely country road. Neither a single person ______ any traffic was in sight at all.9. The exchange program between the UK and China may affect various schools ranging _________kindergartens to high schools10. Customs can vary from region ___________ region, clothes can vary in colour and size.变式三：第61题变式（情态动词后边跟什么）1. (2020全国III卷)The artist was sure he would ___________ (choose), but when he presented his masterpiece to the emperor’s chief minister, the old man laughed.2. (2020浙江1月卷)People tend to focus on the first factor. However, greater attention should ___________ (place) on longevity (长寿).3. The first thing you have to do is to collect items that can _____________(recycle).4 Let’s hurry, Jane. They must_________________(wait) for us anxiously.5.—I hear she married a beggar.—She must __________(be) mad.6. (2019•天津卷)The workers were not better organized, otherwise they would _______________ (accomplish) the task in half the time.7. (2018•天津卷) I can't find my purse. I must_____________(leave) it in the supermarket yesterday, but I'm not sure.8. (2015•天津) I needn’t ___________ (worry) before I came to the new school, for my classmates here are very friendly to me.9.The teachers must _______________ (grade) our papers now.10. Black holes cannot ___________(see) directly, so determining the number of them is a tough task.变式四：第62题变式（使用现在完成时场合）1. (2021·浙江卷) It doesn't impress like George Washington's plantation on the Potomac, but Lincoln's home in downtown Springfield, Illinois, ____________ (prove) irresistible to visitors since it opened to the public.2. (2020•天津卷) The number of medical schools reached 18 in the early 1990s and ____________ (remain) around that level since.3. (2019·江苏卷) The musician along with his band members ___________(give) ten performances in the last three months.4. (2019•全国II卷) I don't see any reason to give up work. I love coming here and seeing my family and all the friends I _______________ (make) over the years.5. (2018·北京卷) China’s high-speed railways ____________ (grow) from 9,000 to 25,000 kilometers in the past few years.6. (2018·全国II卷) Diets have changed in China — and so too has its top crop. Since 2011, the country ________ (grow) more corn than rice.7. It is the most instructive lecture that I ___________ (attend) since I came to this school.8. During the last three decades, the number of people participating in physical fitness programs _________________(increase) sharply.19. Zhong Nanshan is the most distinguished doctor in China that ___________(recognize) internationally.10. —Where is Peter? I can't find him anywhere.—He went to the library after breakfast and ____________ (write) his essay there ever since.During China’s dynastic period, emperors planned the city of Beijing56 arrangedthe residential areas according to social classes. The term “hutong”,57 (original)meaning “water well” in Mongolian, appeared first during the Yuan Dynasty.In the Ming Dynasty, the center was the Forbidden City, 58 (surround)in concentric (同心的)circles by the Inner City and Outer City. Citizens of higher social classes 59 (permit) to live closer to the center of the circles. The large siheyuan of these high-ranking officials and wealthy businessmen often 60 (feature)beautifully carved and painted roof beams and pillars (柱子). The hutongs they formed were orderly, lined by 61 (space) homes and walled gardens. Farther from the center lived the commoners and laborers. Their siheyuan were far smaller in scale and 62 (simple)in design and decoration, and the hutongs were narrower.Hutongs represent an important cultural element of the city of Beijing. Thanks to Beijing’s long history 63 capital of China, almost every hutong has its stories, and some are even associated with historic 64 (event). In contrast to the court life and upper-class culture represented by the Forbidden City, the Summer Palace, and the Temple of Heaven, the hutongs reflect 65 culture of grassroots Beijingers.语法填空考点剖析考点一：提示词为动词，考查谓语动词若句中没有其他的谓语动词，或者虽已有谓语动词，但需填的动词与之是并列关系时，所给动词就是谓语动词，就要考虑时态、语态和主谓一致，偶尔也有考查虚拟语气的情况。

专题08三角函数的应用选题介绍本题型属于河南省中招考试的必考题型，每年解答题中均有体现。

本专题整理的三角函数的应用主要是解答题型，所考知识点主要是锐角三角函数在直角三角形中的应用，本题型首先会引入一个环境，然后让学生通过利用解直角三角型的思想求长度。

该题一般为解答题，分值9分，难度系数中等，得分率偏高。

利用三角函数解直角三角形的解题思路：①找直角三角形（注意找哪些角所在的直角三角形）；②构造直角三角形（题目中涉及的角如果在直角三角形中不需构造，直接解直角三角形，如果不再则需作垂线构造）；③解直角三角形；④设直角边为x；（直角三角形中有边长时直接求其它边，没有边长时需要设x）；⑤利用三角函数构造关于x的方程。

真题展现2022年河南中招填空题第19题19.开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑。

某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得浮云阁顶端D的仰角儿为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°。

已知测角仪的高度为1.5m，测量点A、B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求浮云阁DC的高度。

（结果精确到1m，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）.2021年河南中招填空题第19题19．（9分）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上．已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）．2020年河南中招填空题第18题18．（9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．2019年河南中招填空题第19题19．（9分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE 在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°＝0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）2018年河南中招填空题第20题20．（9分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE（结为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）模拟演练字母型1.黄河全长约5464千米，是中国第二长河．位于郑州市黄河文化公园东部的黄河滩地公园，集休闲观光、农业采摘、林间漫步、亲子研学等多项功能，成为省会郑州的“大氧吧”“后花园”和网红打卡地．周末，小明一家来到黄河滩地公园游玩，小明想测量某段黄河的宽度．如图，小明利用自制测角仪，在河岸A处测得对岸C处在南偏东40°方向，沿岸边向东走100步到达B处，并测得对岸C处在南偏东30°方向，请根据以≈︒≈︒≈，上信息，估算此段黄河的宽度．（结果精确到0.1m．参考数据：一步0.8m,sin400.64,cos400.77︒≈≈tan40 1.73）2.无塔位于河南汝南城南，俗传冬至正午无塔影，故称无影塔．某数学活动小组到汝南测无影塔的高度．如图，他们在点D处测得塔顶A的仰角为30°，沿直线前行23米至点C，在点C处测得塔顶4的仰角为50︒．已如点B，C，D在同一直线上，请依据相关数据求无影塔的商度（结果精确到0.1m．参考数据：sin500.77,cos500.64,tan50 1.117︒≈︒≈︒≈≈9.3）．背靠背型3．如图，小明在某森林公园的一处观景台观赏垂直而下的瀑布，从D点看到瀑布顶端B的仰角为45︒，看到瀑布底端E的俯角为30︒，若瀑布底有一水潭，D点到水潭水平面的距离DA为4m，求瀑布顶端到水潭水平面的距离BE的长．（结果保留整数．参考数据：2 1.414≈≈，3 1.732)4.被誉为“天下第一塔”的开封铁塔，八角十三层，其设计精巧，单是塔砖就有数十种图案．铁塔位于铁塔公园的东半部，是园内重要的文物，也是主要的景点，始建于公元1049年(北宋皇祐元年)，是1961年我国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称．某数学兴趣小组开展了“测量开封铁塔的高度”的实践活动，具体过程如下：工具准备：皮尺，测角仪．方案设计：如图2，开封铁塔AB 垂直于地面，在地面上选取C ，D 两处分别测得ACB ∠和ADB ∠的度数（,,C B D 在同一条直线上）数据收集：通过实地测量：地面上C ，D 120m ，45ACB ∠=︒，42ADB ∠=︒．问题解决：（1）求开封铁塔AB 的高度(精确到0.1m).景点介绍开封铁塔的高度为55.88米，则计算结果的误差为多少？并说出一条导致计算结果产生误差的原因可能是什么？（参考数据：sin420.67︒≈，cos420.74︒≈，tan420.9︒≈ 1.41≈）（2）根据上述方案及数据，请你完成求解过程．活动阅读型5.嵩岳寺塔位于登封市区西北6千米嵩山南麓嵩岳寺院内，为北魏时期佛塔．该塔是我国现存最早的砖塔，反映了中外建筑文化交流融合创新的历程，在结构、造型等方面具有很大价值，对后世砖塔建筑有着巨大影响．某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量．请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔AB 的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin 320.52︒≈，cos320.84︒≈，tan 320.62︒≈）6.手机测距APP 可以测量物体高度、宽度等，这些测距软件是基于几何学原理设计的．测量时只需要输入身高，再用手机拍摄功能将准星对准物体顶端和底部拍摄图片，程序就会计算出物体的高度．某款测距APP 提供的测高模式如下：点,,,A B C D 都在同一平面内，手机位置为A 点，待测物体为CD ，且AB 和CD 均与地面BD 垂直．从点A 处测得顶端C 的仰角为α，底部D 的俯角为β．奋进小组的同学想用上述方式手动计算某景区宣传广告牌的高度．如图2，经过测量得到 1.65m AB =，仰角35α=︒，俯角28β=︒，求出广告牌CD 的高度（参考数据：sin 350.57,cos350.82,tan 350.70,sin 280.47,cos 280.88,tan 280.53︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈，结果精确到0.1）．垂直构造型7．宝轮寺塔-中国四大回音建筑之一，位于三门峡市陕州风景区，始建于隋唐时期，因能发出“呱-呱”的声音而俗称“蛤蟆塔”．当地某校数学实践活动小组的同学们一起对该塔的高度()AB进行测量．因塔底部B无法直接到达，制定了如下的测量方案：先在该塔正前方广场地面C处测得塔尖A的仰角()∠为45︒，因ACB广场面积有限，无法再向C点的正后方移动，故操控无人机飞到C点正上方10米的D处测得塔尖A的仰角为32︒，A，B，C，D四点在同一个平面内，求塔高()AB为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：︒≈︒≈，tan320.62)sin320.53︒≈，cos320.858.如图，活动课上，小玥想要利用所学的数学知识测量某个建筑地所在山坡AE的高度，她先在山脚下的点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度i=1：1的斜坡按速度20米/分步行15分钟到达C处，此时，测得点A的俯角是15°．图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上，求出建筑地所在山坡AE的高度AB．（精确到0.1米，参考数据：2≈1.41）．不规则图形构造直角三角形9.郑州外国语中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD ．如图所示，一架水平飞行的无人机在A 处测得正前方河流的左岸C 处的俯角为α，无人机沿水平线AF 方向继续飞行60米至B 处，测得正前方河流右岸D 处的俯角为30°．线段AM 的长为无人机距地面的铅直高度，点M 、C 、D 在同一条直线上．其中tan 2α=，MC =米．（1）求无人机的飞行高度AM ；（结果保留根号）（2）求河流的宽度CD ．（结果精确到1 1.41≈， 1.73≈）10.如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA 的位置时俯角∠EOA=30°，在OB 的位置时俯角∠FOB=60°，若OC ⊥EF ，点A 比点B 高7cm ，求单摆的长度（结果精确到0.1，1.73）．。

专题08 二次函数应用（六大类型）【题型1 运动类（1）落地模型】【题型2 运动类（2）最值模型】【题型3 经济类二次函数与一次函数初步综合】【题型4 经济类二次函数中的“每每问题”】【题型5 面积类】【题型6 拱桥类】【题型1 运动类（1）落地模型】1．（2022秋•罗山县期末）如图，一位运动员推铅球，铅球运行高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣．问：此运动员能把铅球推出多远？（）A．12m B．10m C．3m D．4m 2．（2022秋•西岗区校级期末）小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y （米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小强此次成绩为（）A．8米B．9米C．10米D．12米3．（2023•普兰店区一模）在学校运动会上，初三（5）班的运动员掷铅球，铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间函数关系式为y＝﹣0.2x2+1.6x+1.8，则此运动员的成绩是（）A．10m B．4m C．5m D．9m 4．（2023•阿城区一模）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）关于水平距离x（单位：米）的函数解析式是y＝﹣x2x，则该男生铅球推出的距离是米．5．（2022秋•未央区期末）体育老师将小华实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+9x+10，由此可知小华此次实心球训练的成绩为米．【题型2 运动类（2）最值模型】6．（2023•泰兴市二模）某学校航模组设计制作的火箭升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数关系式为h＝﹣t2+12t+1．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面3m处打开．7．（2023春•二道区校级月考）向空中发射一枚信号弹，经x秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此信号弹在第8秒与第14秒时的高度相等，则在秒时信号弹所在高度最高的．8．（2022秋•鄞州区期末）某型号无人机着陆后的滑行距离y（米）与滑行时间t（秒）的函数关系式满足y＝﹣t2+60t，则无人机着陆后滑行的最大距离是米．9．（2022秋•交口县期末）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y＝﹣x2+6x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是米．时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣12t2，汽车刹车后到停下来所用的时间t是（）A．2.5s B．1.5s C．1.25s D．不能确定11．（2022秋•栖霞市期末）烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）间的关系是h＝﹣2t2+20t+1．若这种礼炮在点升空到最高处引爆，测从点升空到引爆需要的时间为s12．（2022秋•黄冈期末）高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝30t﹣5t2，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行m，才能停下来．【题型3 经济类二次函数与一次函数初步综合】13．（2023•鲁甸县二模）某商店销售卡塔尔世界杯的吉祥物，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x与月销售量y的部分对应值如表：售价x/（元/件）304550月销售是y/件300150100（1）求y关于x的函数表达式．（2）若该商品的进价为24元，当售价是多少元时，月销售利润W（元）最大？并求出最大利润．[注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）]14．（2023•安庆二模）“龙池香尖”是怀宁县一款中国国家地理标志产品，素有：“扬子江心水，蒙山顶上茶”的美誉．某茶庄以600元/kg的价格收购一批龙池香尖，为保护消费者的合法权益，物价部门规定每千克茶叶的利润不低于0元，且不超过进价的60%，经过试销发现，日销量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，部分数据统计如表：x（元/kg）700900…y（kg）9070…（1）根据表格提供的数据，求出y关于x的函数关系式．（2）在销售过程中，每日还需支付其他费用9000元，当销售单价为多少时，该茶庄日利润最大，并求出最大利润．15．（2023•天山区校级二模）某商场销售每件进价为50元的一种商品，物价部门规定每件售价不得高于80元，经市场调查，发现每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足y＝﹣2x+240．（1）商场每月想从这种商品销售中获利2250元，该如何给这种商品定价？（2）请问售价定为多少元时可获得月最大利润？最大利润是多少？16．（2023•长阳县一模）某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折．批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的销售量y（箱）与当天的售价x（元/箱）满足一次函数关系，如表是其中的两组对应值．售价x（元/箱）…3538…销售量y（箱）…130124…（1）若某天这种蔬菜的售价为42元/箱，则当天这种蔬菜的销售最为116箱；（2）该批发商销售这种蔬菜能否在某天获利1320元？若能，请求出当天的销售价；若不能，请说明理由．（3）批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少时，可获得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？17．（2023•太康县一模）五一”黄金周期间，丹尼斯百货计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元．（1）A、B两种商品的进货单价分别是多少？（2）设A商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当220≤x≤380时，A商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x（元/件）220380日销售量y（件）18020请写出当220≤x≤380时，y与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？18．（2023•东莞市校级一模）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．（1）求遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？19．（2023•青州市二模）某超市购进了一种商品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在某种函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数），且当x＝8时，y＝110；当x＝10时，y＝100；当x＝12时，y＝90；…，设超市销售这种消毒用品每天获利为w（元）．（1）请判断y与x符合哪种函数关系，并求y与x的函数表达式；（2）若该商店销售这种商品每天获润480元，则每件商品的售价为多少元；（3）当每件商品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【题型4 经济类二次函数中的“每每问题”】20．（2023•黄冈二模）某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x 元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为41800元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于41800元？21．（2023•南海区校级模拟）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游城市之一．深圳着名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯；若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．店家计划在2023年春节期间进行降价促销活动，设每杯奶茶降价为x元时，每天可销售y杯．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x为多少时，能让店家获得最大利润额？最大利润额为多少？22．（2023•南海区校级模拟）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游城市之一．深圳着名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯；若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．店家计划在2023年春节期间进行降价促销活动，设每杯奶茶降价为x元时，每天可销售y杯．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x为多少时，能让店家获得最大利润额？最大利润额为多少？23．（2023•阳信县二模）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套32元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？（3）如果每天的利润要达到6080元，并且尽可能的让利于顾客，则每套的售价应该定为多少元？24．（2022•都安县校级二模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？（2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？25．（2022秋•和平区校级期末）某商家销售一种纪念品．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；（3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？26．（2023•昭阳区模拟）新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？（3）当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？【题型5 面积类】27．（2023•锦江区校级模拟）用长为12米的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，设矩形窗框的宽为x米，窗框的透光面积为S平方米．（铝合金型材宽度不计）（1）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．（2）求S的最大值．28．（2022秋•仙游县期末）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），设矩形花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围；（2）当花圃的面积为54m2时，求AB的长；（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？29．（2023•武汉模拟）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．（1）设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是m2，花卉B的种植面积是m2，花卉C的种植面积是m2．（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．【题型6 拱桥类】30．（2023•工业园区校级模拟）如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离（结水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为米．果保留根号）31．（2022秋•江岸区校级期末）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为米．32.（2023•阎良区一模）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？33．（2023•阎良区一模）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？34．（2023•信阳二模）2023年3月15日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由2小时缩短为1小时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽AB为16cm，入口最高处OC为12.8米．（1）求抛物线解析式；（2）王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平移2m，最高处降为9.8米，求平移后的抛物线解析式；（3）双向四车道的地面宽至少要15米，则（2）中的建议是否符合要求？35．（2023•新城区校级二模）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x 轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．36．（2023•西华县三模）足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用吊射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，吊射战术中足球的运动轨迹往往是一条抛物线．摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门30米的点O处起脚吊射，假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）此时，葡萄牙队的守门员在球门前方距离球门线1米处，原地起跳后双手能达到的最大高度为2.8米，在没有摩洛哥队员干扰的情况下，那么他能否在空中截住这次吊射？请说明理由．37．（2023•宝安区三模）如图，在一次足球比赛中，守门员在距地面1米高的P处大力开球，一运动员在离守门员6米的A处发现球在自己头上的正上方距离地面4米处达到最高点Q，球落到地面B处后又一次弹起．已知足球在空中的运行轨迹是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度为1米．（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式及第一次落地点B与守门员（点O）的距离；（2）运动员（点A）要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？（假设点O，A，B，C在同一条直线上，结果保留根号）。