拟线性椭圆型方程三解存在性

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一类拟线性薛定谔方程解的存在性

ｘ）
≥
ａ０
＞
０，
而且，存在常数ｄ０＞０，使得对任意的Ｍ＞０，有
ｌｉｍｍｅａｓ｛ｘ ∈ＲＮ：ｘ－ｙ
｜ｙ｜ →¥
≤ｄ０，Ｖ（ｘ） ≤Ｍ｝＝０．
显然，这三种强制位势中，（Ｖ′）是最强的，其
次是（Ｖ″），最弱的是（Ｖ）．
现有文献大多数考虑的是非线性项ｇ（ｘ，ｕ）在
无穷远处满足超三次或次三次的情形，讨论三次或
文章编号：１００３⁃０９７２（２０１９）０３⁃０３５２⁃０５
一类拟线性薛定谔方程解的存在性
张萍，韩建新∗
（信阳师范学院数学与统计学院，河南信阳４６４０００）
摘要：研究了一类拟线性薛定谔方程解的存在性问题，在位势强制下，当非线性项在原点处超线性，在无
穷远处渐近三次时，利用山路引理，得到了该问题的一个非平凡解．
虑方程（１）解的存在性和多重性，其中文献［３⁃５］
考虑的是强制位势的情形；文献［６］考虑的是周
期位势的情形．文献［３］和［４］都是通过对称山路
引理得到一列高能解，考虑的均是次临界的情形，
但两者满足的单调性条件不同，文献［３］和文献
［４］中的非线性项分别满足不同的广义单调条件．
穷远处渐近三次，即ｇ（ｘ，ｓ）满足
（ｇ１）存在常数ａ１＞０，ａ２＞０，４ ≤ ｑ＜６，使得
对任意（ｘ，ｓ） ∈ Ｒ３ × Ｒ，有
ｇ（ｘ，ｓ） ≤ ａ１＋ａ２ｓｑ－１．
（ｇ２）
ｌｉｍｇ（ｘ，ｓ）
ｓ→０
ｓ
＝
０，且ｌｉｍｓ→¥
ｇ（ｘ，ｓ）ｓ３
＝ｌ

一类含P(x)-Laplace算子的拟线性椭圆方程三解的存在性

．
（）３．Ｍｈｉｓｕ１Ｅ３Ｍ．ｉａｅｃ在文［］Ｊｌ１中讨论了问题（）ｅ）１厂ｔ卜ｔ时的纽曼边值问题１在（，（）：ｌｌ —ｔ，ｔ
．
的三解的存在性．
本文主要目的是将文献 Ⅲ 的结果做进一步推广，７推广到更一般的情形．主要利用Ｂ．ｉｃｒ利用ＲｃｅｉＥ三解定理来研究问题（）由文献 ¨ １．２中的定理２３和注２２可得文献中定理１．．的等价形式如下：定理１若是一个自反的实Ｂｎｃ空间，：ａａｈＸ一尺是连续Ｇ可导且序列弱下半连续的ｃ泛函，
满足．
（）Ｖｉ，ＥＢＥＩａＩ
（）ｇ： ×Ｒ— Ｒ满足Ｃｒｔｅｄｒ条件，ｌｔ ≤ ｂ（，ａａｈｏｏｙ（）ｌｆｇ，）＋ｃＩｔ
，
ｔ（ｑ）一１ ∈ ，ＥＲ，中ｃ ≥ ０常数，ｉ，￡其ｉ是ｂ（）∈ Ｏ（）（，（ ∈ Ｃ）ｒ＞１ｇ ≥ ＾０））（，，
（）ｈｎ × Ｒ— Ｒ是ＣｒｔｅｄｒＣ：ａａｈｏｏｙ函数，Ｖｓ＞０ｓｐ对，ｕ
对具有Ｐ（－长性条件的微分方程和变分问题的研究是一个新的且有意义的课题．方面得到很多）增这结果ｂ．别地当ｐ）ｓＰ时，特（问题（）１就是众所周知的ｐＬｐａｅ－ａｌ问题有大量文章讨论过这类ｃ
的方程称为变指数方程．中ｅ）足其（满
（）（））ｉｎ（），ｅ）ｌ：Ｉ（）ｘ，Ａｅ ∈Ｌ（，ｎｅ＞０ｌ（ｌ＝ｌＩ ≤ａ其中ａ＞０且ｆｌｅｄ是待定常数．

带第一特征值的具临界指数的拟线性椭圆方程非平凡弱解存在的一个必要条件

维普资讯
第２２卷第３期
２０年６月０２
黄冈师范学院学报
ＪｕｎｌｏａｇａｇＮｏｍａｎｖｒｉｙｏｒａｆＨｕｎｇｎｒｌＵｉｅｓｔ
ＶＯ１２２ＮＯ．３．
ｔｒｔｃｌＳｈｅｃｉｉａｏｂｏｅｘｐｏｎｓ，ｗａｉｅｌｖｅｎｅｔｓｇｖｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｑｓ —ｉａｌｉｉｑｔｏｎ；ｒｔｃｌＳｏｕａｉｌｎｅｒｅｌｐｔｃｅｕａｉｃｉｉａｂｏｌｖｅｏｎｎｔｆｒｔｅｇｎｖｌｆｔ — ｐｌｃａｅｘｐｅ；ｉｓｉｅａｕｅｏｈｅＰＩａａｉｎ
设Ｑ为Ｒ中的有界光滑区域，Ｕ＝ｄｖ１Ｄｕ为ＰＬｐａｅ算子，＜ｐ：ｉ（Ｄｕｌ） — ａｌｃｌ＜Ｎ．众所周知，对
椭圆边值问题：
ｆ △ＵｇｚＵ，Ｑ中，一ｐ— （，）在
，
ＩｏＱ “ ，上，一在ａ
（中的第一特征值．Ｑ）但是，当 — 时，方程：即
ｊ “ “ “ ｌ “在Ｑ一一ｌ＋ “ ，中ｌｌ
【一０Ｕ，在ａ上，Ｑ
ｒ９、
其非平凡解存在性问题，即使Ｐ一２时也尚未知．因为此时出现了共振现象，况比较复杂．情由文献［，３Ｔｈ．］们知道，Ｑ为有界光滑区域时，程（）１１我当方１右边ｇｘ，）ｌｌ “ （ “ 一 “ ＋低阶有界挠动项，满足且

磁性物理中的LLG方程的求解与讨论.docx

山西师范大学本科毕业论文磁性物理中的LLG方程的求解与讨论姓名院系专业班级学号指导教师答辩日期成绩郭勤皇物理与信息工程学院物理学135201041354010443白宇浩磁性物理中的LLG方程的求解与讨论内容摘要磁性物质是材料科学研究中的重点课题，研究磁性物质中磁矩随时间的演化行为不仅在基础物理上具有较强的理论意义，而且也是实际磁性器件设计和使用中的一个重要问题。

Landeiu-Lifshitz-Gibert (LLG)方程是描述铁磁物质的磁矩在交变磁场屮随时间变化的基本方程，也是磁学领域中最重要的一个数理方程。

本文叙述了LLG方程的理论背景与发展状况，并以磁隧道结传感器为例，介绍了LLG方程的具体求解过程；另外, 我们对理论计算结果也进行了较为详细的讨论。

木论文的研究结果有利于我们对LLG方程的进一步理解和认识，也有利于我们讨论磁性物质的磁化反转过程。

【关键词】Landau-L i fsh itz-G i bert方程磁性传感器磁矩反转垂直磁各向异性磁阻设备Solution and Discussion of the LLG equation in the field of themagnetic physicsAbstractThe research of the magnetic material is the basic issue in the field of the materials science. The magnetization reversal process in the ferromagnetic materials is very meaningful in the investigation of the theoretical physics. In addition, it can also be useful for the desig n of the related magn etic devices. The Landau-Lifshitz-Gibert(LLG) equation is an basic equation in the field of the magnetism which is used to describe the time evolution of the magnetization under the condition of the alternating electromagnetic field. In this paper, we have introduced the background and the development of the LLG equation. Furthermore, taking the magnetic tunnel junction for example, we introduce the method of solving the LLG equation, at the same time, we also make a detailed discussion about the calculated results・Our investigations are useful to understand the LLG equation. Additionally, it will also be useful to discuss the magnetization reversal process in the ferromagnetic materials.[Key Words] Landau-Lifshitz-Gibert equation Magnetic sensors spin valves,magnetoresistive devices perpendicularmagneticanisotro一、弓I言 (1)二、............................. LLG方程的具体求解过程4（一） ................................. 、单轴铁磁晶体处于交变磁场中的LLG方程4（二） ........................................................ 、LLG方程的求解5三、........................................ 对LLG方程进彳亍讨论................................... 错误!未定义书签。

一类拟线性Choquard方程非平凡解的存在性

[3] COLIN M,JEANJEAN L.SolutionsforaQuasilinearSchrödingerEquation:A DualApproach [J].Nonlinear Anal:Theory MethodsAppl,2004,56(2):213-226.
[4] LIUJQ,WANG Y Q,WANGZQ.SolutionsforQuasilinearSchrödingerEquationsviatheNehariMethod[J]. Comm PartialDifferentialEquations,2004,29(5/6):879-901.
则存在常数 C(N,μ,r,t)>0,使得对任意的u∈Lr(ℝN )和v∈Lt(ℝN ),有
∬ℝ2N u(xx)-·yvμ(y)dxdy ≤ C(N,μ,r,t)‖u‖r‖v‖t.
方程 (3)对应的能量泛函为
∫ ∫ J(u)∶=p1 ℝN (1+2p-1 u p) ∇u pdx-21q ℝN (Iμ* u q)u qdx.
Abstract:Weprovedtheexistenceofnontrivial weaksolutionforaclassofquasilinear Choquard equationswithp-Laplacianoperatoras wellastheconvolutiontermsbyusingthe mountainpass lemma. Keywords:Choquardequation;p-Laplacianoperator;mountainpasslemma;nontrivialsolution
2)方程 (1)中的卷积项导致紧性条件不再成立 ,本文利用一些精细的分析技巧解决了该问题 .

【浙江省自然科学基金】_边值问题_期刊发文热词逐年推荐_20140811

推荐指数 4 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8
2011年科研热词渐近解奇摄动非线性方程边界层薄板弯曲无限长区域挠度微分系统推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1
2012年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2008年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
科研热词推荐指数存在性 3 leray-schauder非线性抉择 3 解 2 奇摄动 2 三阶两点边值问题 2 非线性 1 边值问题 1 激波 1 渐近展开式 1 极限圆型 1 拟线性 1 微分不等式 1 不动点原理 1 三阶三点边值问题 1 hamilton系统 1 green矩阵函数 1

科研热词边值耦合方程渐近估计无限长区域收缩变换打靶法微分不等式奇摄动唯一解受激布里渊散射反极大值原理反序上下解单调迭代方法半线性匹配渐近展开法一致有效
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年序号 1 2 3 4 5 6
2014年科研热词正解存在性三阶三点边值问题特征值不动点定理 schauder不动点定理推荐指数 2 2 2 1 1 1
科研热词推荐指数边界层 4 非线性 3 渐近解 3 奇摄动 3 匹配 2 非线性奇摄动方程 1 解 1 特异极限 1 渐近展开式 1 存在性 1 三阶三点边值问题 1 leray-schauder非线性抉择 1
2013年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

一类拟线性椭圆方程解的存在性

一类拟线性椭圆方程解的存在性拟线性椭圆方程是现代数学中常见的一类非线性微分方程，在理论数学、物理学、工程学等方面有广泛的应用，是研究解的存在性和结构的重要问题。

本文将围绕“一类拟线性椭圆方程解的存在性”这一主题，通过讨论证明，给出其存在性的数学依据和定理。

首先，我们来回顾一下，什么是拟线性椭圆方程？它是一类椭圆双曲型方程，它比普通的椭圆双曲型方程更加复杂，它的具体形式为： frac{d^2 y}{d x^2} + a(x)frac{d y}{d x} + b(x)y = 0 其中，a(x)和b(x)是拟线性函数，并且a(x)是正的，它们可以用下面的式子表示：a(x) = p(x)frac{d h(x)}{d x}，b(x) = q(x)h(x) 其中，p(x)、q(x)和h(x)是定义在区间Ω上的定义域连续函数，Ω是实数域上的一个有界和连续的区间。

接着，来看看这一类拟线性椭圆方程解存在性研究的背景，类似的问题已经被研究了很多年，但是到目前为止，完整的证明还没有得到解决。

在当前理论的研究中，研究者对a(x)和b(x)的限制条件的研究，可以给出新的结论，优化解的存在性。

接下来，让我们来看一下研究的具体内容，在这里，我们研究的是一类拟线性椭圆方程的解的存在性。

假设h(x)在Ω上是一个连续函数，p(x)和q(x)是定义在Ω上的正定函数，那么一类拟线性椭圆方程frac{d^2 y}{d x^2} + a(x)frac{d y}{d x} + b(x)y = 0其解存在性定理如下：假设非齐次拟线性椭圆方程frac{d^2 y}{d x^2} + a(x)frac{d y}{d x} + b(x)y = 0 具有正定函数p(x)、q(x)和h(x)，它们定义在区间Ω上，那么此方程在Ω上有非平凡解y(x)，其具有如下特征：1. y(x)、y(x)和y(x)在Ω上的所有解都是连续的；2.程的解y(x)在Ω上有解析解；3.任意给定的x∈Ω，它的解y(x)是唯一的。

含奇性拟线性椭圆型方程的特征值问题

（ｌＩＪ “ ’
其中１＜Ｐ＜，ｏ（）Ｃ．＞０且ＵＥＣ，ａ，
一
≤ａＩＩＩＣ』．，ｚｂ
摘
要：论奇性拟线性椭圆型方程的特征值问题，中，一特征值对应的特征函数是ｃ（相关的，讨其第ｎ）而且是正
的、一的、立的，关于非负特征函数是唯一的正特征值。此外，些性质也被推广到更一般的奇性情况。单孤且这关键词：性；征值问题；一性；立性奇特单孤
２ＤｅａｔｎｆＳｉｎｅＮａｃａｇＩｓｉｔｆＴｅｈｏｏｙＮａｃａｇ３０９Ｃｈｎ）．ｐｒｍｅｔｏｃｅｃ，ｎｈｎｎｔｕｅｏｃｎｌｇ，ｎｈｎ３０９，ｉａｔ
ＡｂｔａｔＴｈｅｐｒｂｌｍｆｅｇｎｌｅｎｄｅｇｅｕｎｔｏｎｆａｑｕｓｌｎｅｒｅｌｐｔｃｅａｉｎｖｌｎｇｓｎｇｕｓｒｃ：ｏｅｏｉｅｖａｕｓａｉｎｆｃｉｓｏａｉｉａｌｉｉｑｕｔｏｎｉｏｖｉｉ — ｌｒｔｓｓｕｅＴｈｅｆｒｔｅｇｅａｕｅｉｓｏｉｔｄｔ ’ Ｑ）ｅｇｅｆｃｉｎｗｈｉｈｉｏｓｔｖｅａｎｉｕｅａｉｙｉｔｄｉｄ．ｉｓｉｎｖｌｓａｓｃａｅｏａＣ（ｉｎｕｎｔｏｃｓｐｉｉｎｄｕｑ。ｔａｓ，ｈｉｓｉｎｖｌｓｓｍｐｌ．Ｍｏｒｏｖｒｔｉｓｉｎｖｌｓｉｏａｅｎｓｔｉｕｅｐｓｔｖｉｈｔｉｔｅｆｒｔｅｇｅａｕｅｉｉｅｅｅｈｅｆｒｔｅｇｅａｕｅｉｓｌｔｄａｄｉｈｅｕｎｑｏｉｉｅｅ — ｇｅａｕｓｏｉｔｄｔｏｎ— ｎｇｔｖｉｎｆｎｃｉｎ．ｒｈｒｎｖｌｅａｓｃａｅｏａｎｅａｉｅｅｇｅｕｔｏＦｕｔｅｍｏｒｔｓｒｅｔｅｒｘｅｄｅｏｍｏｅｅ。ｈｅｅｐｏｐｒｉｓａｅｅｔｎｄｔｒ

【国家自然科学基金】_拟线性方法_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730

2008年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
科研热词推荐指数山路引理 2 对偶 2 误差估计 1 线性有限自动机 1 粘性解 1 粘弹性方程 1 等价 1 空间衰减 1 空间爆破 1 稳定性 1 混合体积元方法 1 混合体积元 1 比较定理 1 正解 1 模糊特征函数 1 模糊性综合算子 1 模糊度 1 极小化 1 最优误差估计 1 时间间断galerkin法 1 指数时间差分方法 1 拟线性椭圆问题 1 拟线性抛物型积分微分方程 1 拟线性抛物型方程 1 拟线性函数 1 1 拟线性schr(o)dinger方程 1 抛物问题 1 扩散方程 1 奇性 1 半离散有限元迭代算法 1 先验估计 1 偏微分方程 1 倒向随机微分方程 1 不确定度 1 volterra积分微分方程 1 saint-venant原则 1 runge-kutta方法 1 l2:模误差估计 1 hardy-sobolev临界指标 1
科研热词爆破数值模拟非线性渗流非局部源退化抛物型方程组误差估计规律精确解特低渗透油田比较原理有限元逼近整体存在性数学模型拟线性扩散方程拟线性化方法拟线性化平方收敛差分方程存在性奇异系统多孔介质四阶拟线性椭圆方程变渗透率单调迭代低渗透不变集上下解 p-laplacian方程组 p-laplacian方程 leray-schauder度
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78

【国家自然科学基金】_robin边值问题_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140729

科研热词解的存在性正解存在性临界点 robin边值问题 robin边值条件
推荐指数 1 1 1 1 1 12011来自序号 1 2 3 4 5 6
2011年科研热词微分不等式理论单根二重根二次奇摄动三重根 robin问题推荐指数 1 1 1 1 1 1
2012年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2008年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
科研热词奇摄动边值问题拟线性非线性锥脉冲激波解激波正解椭圆型方程时滞广义解存在性奇异摄动双曲型偏微分方程两参数 robin问题 robin边值问题 h-振动
2013年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
科研热词边值问题椭圆方程非线形非平凡解阵列侧向测井解的行为有限元最大值原理无穷边界值捕食-被捕食微分不等式差分方程局部超线性奇摄动叠加原理变分方法反应扩散双参数共轭梯度二次奇摄动问题临界点理论临界点 robin问题 p-函数 jacobi预条件
科研热词推荐指数非线性 1 阻尼项 1 边界值 1 解的存在性 1 角层 1 渐近解 1 椭圆型方程 1 时间 1 奇摄动 1 吉尔伯特 1 一维 1 robin问题 1 robin边值问题 1 landau-lifshitz方程 1 landau-lifshitz equation, robin 1 boundary value pr
推荐指数 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

一类二阶拟线性椭圆方程弱解的存在唯一性

一则在rq中有dd一g窜可矿矧使oq数常在存且cj盎矿则ej盎cqh因q日v生n2一易一2lsd2矿l一2lsd2m万方数据湖南城市学院学报自然科学版2008年第4期从而在rq中有kidu12df
第１卷第４７期
２０年１月０８２
湖南城市学院学报
（自然科学版）
ｄ・ｘＰ
，
（３）
（４）
（Ｖ）￡ＤＶ），，Ｈ（，，：∑ Ｄ（・（ｘ“∈ ））ＶＶＱｄ
称ｕｘ ∈Ｈ‘２是方程（）２的弱解．如果对任何ｖｘ ∈ＨＱ）（ｌｖ成立，其（，）（）
文献标识码：Ａ文章编号：１７ —３４２０）４０２－３６２７０（０８０－０００
关键词：拟线性椭圆方程；单调算子；弱解；存在性；唯一性中图分类号：Ｏ１５５７．２
１基础知识
考虑下列二阶拟线性椭圆方程：
一
∑Ｄｋｕ））易），）Ｅ２￣（ｌ＋（＝（，；（ＩＤＸＩ
中（￡圳ｉｄ￡ｖ＋Ｖ，ｖ￡＋ｈ．以芝Ｄ）Ｄｘ，ｄｌ＝Ｖ “ ＝Ｄｙ＋（）ｕｘ（）出
假设下列条件成立：
（）函数ｋＨ１连续有界，即存在正常数ｋ，Ｉｏｋ，使得ｋ（（ｕ）０１ｋＩｌ ≥ｋ＞０；Ｄ
Ｕ的增函数，即ｌ２，恒有ｂｘＵ）（，２；＞Ｕ时（，１≥ｂｘｌ）ｇ
（４存在０，三，使ｂｘ）ａｘ＋ｌｌａｘ ≥０，（）ＮＱ）Ｈ）＜，＿ ± （，（）ｂ（）ｕ， ∈Ｌ（，ｂ＞０；

一类拟线性椭圆型方程Dirchlet问题的非平凡弱解的存在性

一
类拟线性椭圆型方程Ｄｉｃｌｒｈｅｉｔ问题的非平凡弱解的存在性
张和平Ｌ，张曙光，叶留青。一
（．１郑州大学数学系，郑州３漯河职业技术学院，河南漯河．摘
４０５；２焦作师范高等专科学校数学系，５０２．河南焦作
４４０；５０１４３０）５０７
Ｉｕｌ２Ⅱ＞（）。０
铀
引理２对ＶＭ ∈Ｅ，０，ｏ０使时，（ｕ）００Ｕ ≠０］ｔ，２０Ｉｔ０＜．＞
证明由）（，Ｖ＞，ｅ＞，和）对０３ｅＭ（）０使当ＩＩＭ（）＞ｅ时Ｍ－ＵＩ（），）ｓｃＩ故
其Ｆ，＝，ｔ简起，略ｄ，同中（ｕＪ（ｔ，便见省 ‘ ” ．）。）为ｄ下
】引珲
（２）
引理１存在ｐ，。Ｏ使Ｉｕｌ０＞．００＞，（）哆。Ｏ
证由～，如６，－，一＜－时（明对，如－时ＩＩ当－，，Ｖ当有 ∽ “ 彳６ “ Ｉｕ，ｆ）６ｘ
ｃ）ｒ（Ｉ，故
收稿日期：２０ — ３１０７０ —９基金项目：河南省自然科学基金项目资助（６１５１００１０６０）
作者简介：张和平（９５）男，１６一，河南鹤壁人，副教授，硕士研究生，主要从事计算数学及应用研究．
＝
＜一一ｐ
ｓ当ｌＩＭ（），＜ｅ时，Ｍ－
Ｆ２（，）
ｃＩＩ一（）

椭圆方程在球型域上的三重径向解的存在性

１１）ｉｍ
“一０
（１）
其中Ｂ。Ｒ是中以原点为圆心Ｒ。为半径的球形域，口Ｏ是常数，（）Ｏ＋。）单调递增非负连续，＞厂￡为［，。上
一０备知识
２２正０１
河北大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆＨｅｅｎｖｒｉ（ａｕａｃｅｃｉｏ）ｏｒａｂｉｏＵｉｅｓｔＮｔｒｌｉｎｅＥｄｔｎｙＳｉ
２２０１
第３２卷
第４期
Ｖｏ．２ＮＯ４Ｉ３．
ｔｏｉｎ，ａｉｈｔｅｂｏｄａｙｖｌｎｔｘｓｅｅｏａｉｌｓｌｔｏｏｒｔｉｌｈｅｒｓｌｓｗｈｎｃｒａｎｎｄｗｔｈｕｎｒａｕｅｏｈｅｅｉｔｎｃｆｒｄａｏｕｉｎｓｆｒｐｅｔｅｕｔｅｅｔｉ
至少存在１个正的径向解，还得到与边值有关的三重正径向解的存在性．关键词：向正解；圆方程；径椭多解性
中图分类号：７．５Ｏ１５２文献标志码：Ａ文章编号：００５５２１）４— ３９— ４１０ —１６（０２００４０
１ｒ，ｆｒｅｏ。』Ｒ。）一（一＝一ｇ口ｒＥＲ（Ｏ）０，ｒ ‘ ＋，， — 一． — －（
直接对式子两边进行二次积分，可解得
（２）
（）＝ｆＸｒ）－ｇ（）ｇ（））ｒｓｒ：』（Ｎ１ｒ厂（ｒ＋ｎｄｄ，＝ｏ

奇异拟线性椭圆型方程Brezis-Nirenberg型问题的可解性

u =
Ω
|x|−ap |Du|p dx
1/p
.
From the boundedness of Ω and the standard approximation argument, it is easy 1,p (Ω) in the sense: to see that (1.2) holds for any u ∈ Da |x|−α |u|r dx
−∆u = |u|q−2 u + λu, in Ω u = 0, on ∂ Ω,
(1.6)
_______________________________________________________________________________ 中国科技论文在线
Rn
where −∞ < a <
|x|−bq |u|q dx
p/q
≤ Ca,b
Rn
|x|−ap |Du|p dx,
(1.2)
np n−p , d = 1 + a − b. (1.3) , a ≤ b ≤ a + 1, q = p∗ (a, b) = n − dp p
∞ 1,p (Rn ), with respect to the norm · deﬁned (Ω) be the completion of C0 Let Da by
Ω
1,p 1,p (Ω), R). Furthermore, (Ω), and Eλ ∈ C 1 (Da From (1.4), Eλ is well-deﬁned in Da the critical points of Eλ are weak solutions of problem (1.1). We note that for p = 2, a = b = 0 and c = 2, problem (1.1) becomes

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拟线性椭圆型方程三解存在性
抛物线，有可能是椭圆，还有可能是双曲线。

当一个抛物线是椭圆时，它可以
用一个被称为虚拟线性椭圆型方程的式子来描述。

虚拟线性椭圆型方程，是一种椭圆型方程，其中一个单变量既影响椭圆的长轴又影响椭圆的短轴。

它的定义为：
ax2 + by2 +cxy + dx +ey +f = 0。

以这个式子描述的椭圆，在一些特殊的情况下会出现三解的情况，比如：当下
列关系满足时：4c^2 = 4ae + b^2，6cd = 3 be + 2 a^2，6ef = 4 a^2+ 3 c^2。

另外满足一些特定的约束条件时，也有可能会出现三解。

抛物线实际上可以用一个二元二次方程来描述，但这里使用虚拟线性椭圆型
方程来描述可以更准确的描述抛物线的形态，所以它的应用范围更大一些，也更灵活一些。

虽然不同的抛物线，可以构成不同的椭圆，但使用虚拟线性椭圆型方程来描述
的椭圆，有可能出现三解的情况。

一般来说，当椭圆曲率，长短轴系数，长短轴平方根，满足特定的约束条件时，就会出现三解情况，而且这样的情况是非常少见的。

总之，虚拟线性椭圆型方程可以精确的描述抛物线的形态，并且在一些特殊的
情况下，也可以出现三解的情形。

但是由于需要满足特定的约束条件才能出现三解，所以这种情况非常罕见，通常是在特殊的情况出现的。