一类拟线性椭圆方程非平凡解的估计

一类拟椭圆边值问题的非平凡解
杨海欧
【期刊名称】《哈尔滨船舶工程学院学报》
【年(卷),期】1994(015)001
【摘要】利用山路引理，在一定条件下证明了拟椭圆边值问题在空间中有非平凡的广义解．
【总页数】7页(P103-109)
【作者】杨海欧
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O176.3
【相关文献】
1.一类椭圆型方程边值问题拟多重网格预处理迭代法 [J], 李晓旋;郑伟珊;肖奕鑫
2.一类椭圆边值问题非平凡解的存在性 [J], 杨明海;罗庆红
3.一类拟周期系数椭圆型边值问题的双尺度分析 [J], 张晓超;冯永平;郑飞艳
4.一类拟性椭圆型方程在无界区域中非平凡解的存在性 [J], 李园庭
5.一类拟线性椭圆型方程超自然边值问题的非平凡解 [J], 张桂宜
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一类带梯度项的拟线性椭圆型方程解的结构研究的
开题报告
题目：一类带梯度项的拟线性椭圆型方程解的结构研究
研究意义和背景：
拟线性椭圆型方程是数学物理学研究中的重要问题之一，其在生物、医学、工程、物理等领域都有广泛的应用。

除了传统的非线性椭圆型方程，还有一类具有梯度项的带有非线性项的拟线性椭圆型方程，对这类
方程的解的结构研究具有重要的理论和实际意义。

然而，这类方程求解
的困难使得其在实际应用中缺少有效的解析方法，因此，研究这类方程
的解的结构，对于深入认识数学物理学的本质和发展数学物理学的新方
法具有重要意义。

研究内容和目的：
本论文拟研究一类带梯度项的拟线性椭圆型方程解的结构问题。

本
论文的主要研究内容包括：(1)针对该类方程解的局部和整体性讨论，研
究解的存在性和唯一性性质；(2)研究方程解的单调性和对称性；(3)探究该类方程解在边界处的行为等问题，分析方程解的稳定性。

通过分析这
些问题，以期对该类方程解的结构性质做出深入的探究，为实际应用中
的问题提供理论支持。

研究方法：
本论文将采用椭圆型偏微分方程理论和深度学习算法的结合，以探
究一类带梯度项的拟线性椭圆型方程解的结构问题。

具体地，将采用变
分法、对称性分析等方法对方程解的局部和整体性进行分析，结合深度
学习算法对方程解的单调性和对称性等性质进行探究。

研究预期结果：
本论文预期得到一类带梯度项的拟线性椭圆型方程解的结构问题的深入探究。

具体地，本论文将得出方程解的存在性和唯一性性质，解的单调性和对称性等性质，方程解在边界处的行为，以及解的稳定性等结论，为实际应用中的问题提供理论支持。

一类非局部椭圆方程正解的存在性陈林【摘要】本文研究了一类非局部椭圆方程非平凡弱解的存在性问题.利用Nehari 流形及纤维环映射,获得了该问题正解的存在性条件,推广了该领域的相关结果.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2019(039)002【总页数】11页(P249-259)【关键词】椭圆型方程;Nehari流形;纤维环映射;正解【作者】陈林【作者单位】伊犁师范学院数学与统计分院,新疆伊宁835000【正文语种】中文【中图分类】O175.251 引言椭圆型方程是偏微分方程理论的一个重要组成部分,其解的存在性问题具有很高的学术价值和理论价值,是偏微分方程领域中一个重要的研究课题.文献[1]研究了如下拟线性椭圆边值问题多个正解的存在性,其中是边界光滑的有界区域,函数且满足本文运用Nehari流形和极小-极大原理证明了当Ω是一不可收缩区域且g在¯Ω上恒等于1而f在¯Ω上充分小时,问题(1.1)至少存在三个解,从而进一步证明了对于一般的区域,当f的正部在¯Ω上足够小时,问题(1.1)至少存在两个正解.近年来,对非局部椭圆方程的研究日益受到人们的重视[2–5].本文研究如下一类非局部椭圆方程非平凡弱解的存在性,其中λ>0是实参数,1<p<N(N≥3),1<n<p<m<p∗,0≤a<(N−p)/p,p∗=Np/(N−pd),a≤b<a+1,d=a+1−b>0,h( x),H(x)是在RN上可变号的权函数.文献[6]运用Nehari流形及纤维环映射的方法得到当a=0,p=2时,问题(1.2)在有界区域上至少存在两个正解;文献[7]运用山路引理和Ekeland变分原理证明了当a=0时,问题(1.2)至少存在两个非平凡的弱解.受文献[1,6,7]的启发,我们将运用Nehari流形及纤维环映射证明问题(1.2)在全空间RN上至少存在两个非平凡的弱解.由于所讨论的问题定义区域是全空间RN,从而本文不能得到类似于文献[1]中三个弱解的存在性结果.设是空间的完备化空间,其上的范数定义为而问题(1.2)所使用的函数空间为它是空间关于范数的完备化空间.由文献[8]可知,存在一常数S>0使得其中−∞<a<(N−p)/p,a≤b<a+1,d=a+1−b,p∗=pN/(N−pd).此不等式被称为Ca ff arelli-Kohn-Nirenberg不等式.在证明本文的主要结论时,此不等式将被反复使用.为研究问题的方便,做如下假设:本文的主要结果为定理1.1 若条件(A1)–(A3)成立.则存在正数λ1使当λ∈(0,λ1)时,问题(1.2)至少具有两个正解.2 预备知识定义2.1若u∈X且对于任意的ϕ∈X有成立,则称u为问题(1.2)的一个弱解.显然问题(1.2)具有变分结构.设Iλ(u)是问题(1.2)所对应的Euler泛函,其具体表达式为其中σ=p(τ+1).则Iλ(u)∈C1(X,R)且对于任意的ϕ∈X 有特别地,由于Iλ在X上无界,因此引入Nehari流形其中指的是通常的对偶积.从而u∈Nλ当且仅当从而当u∈Nλ时,有引入纤维环映射φu:t∈ R+7→ Iλ(tu),则易见,u∈Nλ当且仅当(1)=0.更一般地,(t)=0当且仅当tu∈Nλ.将Nλ分成由于当u∈Nλ时,(1)=0,从而引理2.2 Iλ是强制的且在Nλ上有下界.证由Hölder不等式及不等式(1.3),得其中同理其中从而有由于n<p≤σ<m,从而Iλ在Nλ上强制有下界.引理2.3存在λ0>0使得当λ∈(0,λ0)时=∅.证设.假设结论不真,则存在λ ∈(0,λ0)使得从而存在u∈使得将(2.18)及(2.19)式运用于(2.21)式得从而由此可得λ≥λ0,矛盾！因此,存在λ0>0使当λ∈(0,λ0)时=∅.引理2.4假定u0是Iλ在Nλ上的一个局部极小值点.如果u06∈,则u0是Iλ(u)的一个临界点.证设考虑最优化问题:在F(u)=0的条件下求由Lagrange乘子原理知存在µ∈R使得因由于u0∈Nλ,从而然而因此,如果u06∈,则.进而由(2.25)式知µ=0.从而.证毕.由引理2.3,当λ∈(0,λ0)时,.定义引理2.5设则当0<λ<λ1时有(1)<0;(2)存在k0>0,使得≥k0.证(1)设u∈N+λ,则由(2.13)和(2.17)式得从而从而<0.(2)设u∈,则由(2.14)和(2.16)式得从而对于任意u∈,当0<λ<λ1时,存在某常数k0=k0(m,n,p,hα,Hβ,S)>0,使得Iλ(u)≥ k0.证毕.设u∈X且.令则z0(t)=tp−n−1E(t),其中则令E0(t)=0得则E(t)在[0,t∗)单调递增,在(t∗,+∞)单调递减.从而E(t)在t∗处取得最大值.由于E(0)=k(p−n)kukp>0,E(+∞)=−∞,因此存在唯一的tl>t∗>0,使得E(tl)=0且当t∈[0,tl)时函数z(t)递增,当t∈(tl,+∞)时,函数z(t)递减;在tl处取得最大值.特别地,当l=0时,有由E(t0)=E(tl)=0可知t0≤tl.从而引理2.6对于满足的u∈X及0<λ<λ0,有(1)若H(x)|u|ndx≤0,则存在唯一的t−>tl使得t−u∈且有Iλ(t−u)=(2)若H(x)|u|ndx>0,则存在唯一的0<t+<tl<t−使得且证设则(1)若,则存在唯一的t−>tl使得z以及z0(t−)<0.从而Ψ0(t−)=0且有t−u∈Nλ.又,从而易见,且当t∈ [0,t−)时 (t)>0;当t∈ [t−,+∞)时(t)<0.所以Ψ2(t)在t−处取得最大值,即(2)若.由(2.36)式,当λ∈(0,λ0)时有从而由函数z(t)的特性可知存在0<t+<tl<t−使得以及z0(t+)>0>z0(t−).由于Ψ1(t)=tn+1z0(t),从而t+u∈,t−u∈N−λ.由于当t∈ [0,t+)时,<0;当t∈ [t+,tl)时,(t)>0,从而另外,易验证当t∈ [t+,t−)时,(t)>0;当t∈ [t−,+∞)时,(t)<0;当t∈ [0,t+]时,Ψ2(t)≤ 0.又由于t−u∈,从而由引理2.5中的(2)可知Ψ2(t−)>0.从而由Ψ2(t)的单调性可知证毕.对于任意.定义函数则η(0+)=−∞,η(+∞)=0,η(t)在某个t=Tl>0处取得最大值.引理2.7对于每一满足的u∈X,当0<λ< λ1时,有(1)若h(x)|u|mdx≤0,则存在唯一的0<t+<Tl使得t+u∈且有Iλ(t+u)=(2)若,则存在唯一的0<t+<Tl<t− 使得t+u∈,t−u∈且有证由于,从而可应用引理2.6的证明方法得到引理2.7的证明,故在此略去.引理2.8假定(A1)–(A3)成立.若{uk}在X中收敛于u∈X,则存在{uk}的一个子列(不妨仍记为{uk})满足证只证明(2.42),(2.41)式的证明是类似的,在此略去.因为从而对于任意ε>0,存在R0>0使得其中Br={x∈RN:|x|≤r}而.由于{uk}在X中弱收敛于u,则{uk}在X中有界且{uk}在空间中弱收敛于u.进而,由不等式(2.43)推出{uk}在空间中有界.因此,存在的子列(不妨仍记为)使得在中弱收敛于u,在RN中几乎处处收敛于u.从而对于任意k≥1存在与k无关的常数M使得因此对于足够大的k成立,另一方面,由Hölder不等式,当k足够大时,有因此.证毕!3 正解的存在性引理3.1如果0<λ<λ1,则泛函Iλ在上存在一个最小值点且有(1)Iλ(u0)=;(2)u0是问题(1.2)的一个非平凡的非负解.证由引理2.2知Iλ在Nλ上有下界(从而在上有下界),因此存在一个极小化序列使得因为泛函Iλ 是强制的,所以{uk}在X 中有界.不失一般性,可假定{uk}在X中弱收敛于u0.由引理2.5和引理2.8可得,当k→∞时,有由(2.8)式得因此在(3.3)式的两边取极限k→∞,则有.进而由引理2.7,存在唯一的<Tl使得接下来证明{un}在X中强收敛于.假若结论不成立,则有,则对两边当n→∞取极限,再由=0可得,当n充分大时,另一方面,由{un}⊆可知,且当0<t<1时,从而由(3.5)式知>1.因为在上是递减的,所以这与下确界的定义矛盾！故{un}在X中强收敛于.从而即是Iλ在上的一个极小值点.又由于且从而由引理2.4可知是问题(1.2)的非负弱解.再由极值原理(参见文献[9])知引理3.2假定λ∈(0,λ1),则泛函Iλ在上有极小值点使得(1)(2)是问题(1.2)的一个非平凡的非负解.证由引理2.2知Iλ在上是强制的.从而存在一极小化序列{uk}⊆使得由于Iλ强制,从而{uk}在X中有界.因此,存在{uk}的一个子列(不妨仍记为{uk})在X 中弱收敛于元.由引理2.5可知,当u∈时,Iλ(u)>0,因此有进而由(2.9)式得令k→ ∞,由引理2.8得.因此由引理2.6,存在唯一的t0使得接下来证明{uk}在X中强收敛于.假若不然,则有由于uk∈,从而当t≥0时,Iλ(uk)≥Iλ(tuk).因此有这与δ−的定义矛盾！从而{uk}在X中强收敛于.从而类似于引理3.1的讨论可知是问题(1.2)的一个正解.证毕！定理1.1的证明由引理3.1和引理3.2知,当λ∈(0,λ1)时,问题(1.2)有两个非平凡的正解∈和∈.又由于∩=∅,从而和是问题(1.2)的两个不同的正解.定理1.1证毕！参考文献【相关文献】[1]Fan H N,Liu X C.Multiple positive solutions to a class of quasi-linear elliptic equations involving critical Sobolev exponent[J].Monatsh Math.,2014,174:427–447.[2]Figueiredo G M,Morales-Rodrigo C,Santos Júnior J R.Study of a nonlinear Kirchho ffequation with non-homogeneous material[J].J.Math.Anal.Appl.,2014,416:597–608. [3]Aouaoui S.Multiplicity result for some nonlocal anisotropic equation via nonsmooth critical point theory approach[J]pu.,2011,218:532–541.[4]Cheng B.New existence and multiplicity of nontrivial solutions for nonlocal elliptic Kirchho fftype problems[J].J.Math.Anal.Appl.,2012,394:488–495.[5]Wu Y Z,Huang Y S,Liu Z.On a Kirchho fftype problem inRN[J].J.Math.Anal.Appl.,2015,425:548–564.[6]Chen C Y,Kuo Y C,Wu T F.The Nehari manifold for a Kirchho fftype problem involving signchanging weight functions[J].J.Di ff.Equ.,2011,250:1876–1908.[7]Chen C S,Huang J C,Liu L H.Multiple solutions to the nonhomogeneous p-Kirchho ffelliptic equation with concave-convex nonlinearities[J].Appl.Math.Lett.,2013,26:754–759.[8]Ca ff arelli L,Kohn R,Nirenberg L.First order interpolation inequalities withweights[J].Compos.Math.,1984,53:437–477.[9]Struwe M.Variational methods,applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems(3rd ed.)[M].New York:Springer-Verlag,2000.。

RN上一类拟线性椭圆型方程弱解的多重性贾高; 陈洁; 郭露倩【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2014(029)004【总页数】9页(P453-461)【关键词】拟线性椭圆型方程; 不光滑临界点理论; 变分法【作者】贾高; 陈洁; 郭露倩【作者单位】上海理工大学理学院上海200093【正文语种】中文【中图分类】O175.252000年,Gazzola和Radulescu[1]在RN上研究了方程的解的存在性.2010年,Aouaoui[2]在RN上讨论了拟线性椭圆型方程的多解性问题,其中As(x,u)=事实上还有许多学者对半线性或拟线性方程的多解性进行研究,如文献[3-6].本文在RN中,对A(x,s)及f(x,s)在适当的假设之下,研究下列方程弱解的多重性.所谓是(1.1)的弱解,是指下列关系成立根据变分原理,研究(1.1)弱解的存在性等价于寻求如下泛函的临界点其中首先指出,由于被积函数A(x,u)依赖于未知函数u,这使得泛函J在空间中可能不Gateaux可微,而只在(在下文中,将空间简记为HL)中可微.因此运用古典的临界点理论不能解决(1.1)弱解的存在性问题,将利用不光滑临界点理论和山路定理,研究(1.1)弱解的多重性.另外,在本文中主要是依靠条件(f-3)来证明紧性,而在文献[6]中,在得到紧性过程中,条件定义2.1称u为泛函J的临界点,如果即为了得到(PS)c序列(见定义2.4)的紧性,进而证明方程(1.1)具有多重解,假设N≥3,2∗=函数A(x,s)和f(x,s)分别满足:(A-1)A(·,·):RN×R→R,使得(i)对于每个s∈R,A(x,s)关于x是可测的,(ii)对几乎所有的x∈RN,A(x,s)关于s是属于C1;(A-2)存在0＜α＜β＜+∞,使得(A-3)存在使得(f-1)设Carathodary函数f(·,·):RN×R→R,满足:f(x,0)=0,a.e.x∈RN,其中θ与(A-3)中一致;定义2.2[7]设X是完备的度量空间,泛函I:X→R为连续泛函,|dI|(u)表示实数σ的上确界,并称|dI|(u)为I在u处的弱斜率.其中σ＞0满足:存在δ＞0和连续映射H(u,t): B(u,δ)×[0,δ]→X,使得对任意v∈B(u,δ)和任意t∈[0,δ],当d(H(v,t),t)≤t时,有定义2.3[7]设c∈R,称泛函I在水平c满足具体的Palais-Smale条件(简称(CPS)c 条件),如果对任意序列(RN),满足:〈I′(un),v〉≤εn‖v‖,∀v∈HL,其中εn≥0,且则中有强收敛子列.定义2.4[7]设X为完备的距离空间,I:X→R为连续泛函且c∈R.称I在水平c满足Palais-Smale条件(简写(PS)c),如果X中的每一序列{un}满足则{un}存在强收敛子列.本文的主要结果是:定理3.1假设A(x,s)和f(x,s)满足条件(A-1)−(A-3),(f−1)−(f−3).进一步假设A(x,−s)=A(x,s),f(x,−s)=−f(x,s),a.e.x∈RN,∀s∈R.那么存在序列{un}⊂HL是问题(1.1)的弱解,且有J(un)→+∞.为了证明定理3.1,先建立或给出下列命题和引理.命题3.2在满足假设(A-1)−(A-3),(f−1)−(f−3)之下,则泛函J(由(1.2)给出,以下均如此)是连续的,且对每一个有其中|dJ|(u)表示J在u的弱斜率.证容易验证J是连续的,且对每一个u∈和v∈HL,有进一步,函数u｜→〈J′(u),v〉也是连续的.如果sup{〈J′(u),v〉,v∈HL,‖v‖≤1}=0,命题显然成立.否则,考虑σ＞0使得则存在v∈HL,‖v‖≤1,使得利用连续性,存在ζ＞0,使得对每一个ω∈B(u,ζ),成立显然‖H(ω,t)−ω‖=‖tv‖≤t.另一方面,由(3.1)容易得到J(H(ω,t))≤J(ω)−σt,即由弱斜率的定义,对于给定且满足上述条件的σ＞0,则有|dJ|(u)≥σ.再利用σ的任意性,便得到命题3.3设c∈R,如果J满足(CPS)c条件,则J满足(PS)c条件.证设中序列{un}满足注意到,对v∈HL,有|〈J′(un),v〉|≤sup{〈J′(un),v〉,‖v‖≤1}‖v‖.由命题3.2,有|dJ|(un)≥sup{〈J′(un),v〉,‖v‖≤1}.取εn=sup{〈J′(un),v〉,‖v‖≤1},故结论成立. 为了得到本文的结论,还需要下面的几个引理.引理3.4如果是泛函J的临界点,则u∈L∞(RN).证对于k＞1,M＞0,考虑定义在R上的实函数Tk,UM,WM,其中定义s+=max(s,0),s-=max(−s,0).在(2.1)中取测试函数v=UM(u+)∈HL,便有因为因此当M→+∞时,有UM(u+)→Tk(u+)几乎处处成立,和在中有UM(u+)⇀Tk(u+).从而当M→+∞时,有定义如果那么结论成立.在接下来的讨论中,假设由假设(A-2)可得利用[8]的定理5.2知u+∈L∞(RN).将WM(−u-)代替UM(u+),同样方法可以证明u-∈L∞(RN).从而u∈L∞(RN).引理3.5设{un}是中的有界序列且其中{εn}是收敛于0的实数序列,则存在,使得在RN上∇un→∇u几乎处处成立,并且存在子序列(不妨仍记为{un}),有un⇀u在H01(RN)中.进一步成立即u是J的临界点.证因为中有界,则存在使得n→∞时,存在{un}的子序列(仍记为{un})成立中,un→u,a.e.在RN中.进一步,因为{un}满足(3.6),由文献[9]的定理2.1有(可能是子序列)∇un→∇u,a.e.在RN中.下面将用文献[10]中的方法进行分析和讨论.考虑测试函数由(3.13)及上式,可得结合(3.9)及上式,利用Fatou引理,可以得到引理3.8设序列{un}由引理3.5给出,则存在{un}的子列(仍记为{un}),在中强收敛于点u.证由引理3.5知,u是泛函J的临界点,由引理3.4得到u∈L∞(RN).因此,在(3.7)式中取v=u,有根据引理3.5的证明知∇un→∇u,a.e.x∈RN.因此,利用Fatou引理,可以得到运用类似于证明(3.10)的方法可以得到,对于r＞1,成立因为q+1∈[2,2∗),故对给定ε＞0,当r足够大时,对所有n成立进一步,由(f-3)存在R1＞0,使得另外,因为un→u在Lq(B(0,R1))中.再次利用(f-2),对足够大的n,有结合(3.22)-(3.23)及上式,对足够大的n成立由弱收敛的定义,对足够大的n,有综合上述讨论有由(3.21),(3.25),对(3.17)式取上极限,得到另一方面,由Lebesgue控制收敛定理和un⇀u在中,可得由于A(x,un)∇un在L2(RN)上有界,则有A(x,un)∇un⇀A(x,u)∇u在L2(RN),因此由弱收敛的定义,有结合(3.25)-(3.30),得到所以,在中序列{un}强收敛于u.引理3.9对每一个实数c,泛函J满足(CPS)c条件.证设中序列{un}满足(3.6)和(3.18).由引理3.7得,序列{un}在上有界.因此,由引理3.8可以推出结论.证明定理3.1还基于下列基本引理[11].引理3.10设X是无限维Banach空间,I:X→R为连续偶泛函,并且对任意c∈R,I满足(PS)c条件.更进一步假设:(i)存在ρ＞0,α＞I(0)和一个余维数有限的子空间V⊂X,满足:(ii)对于任意有限维子空间W⊂X,存在R＞0,使得则I存在临界点序列{uh}满足定理3.1的证明容易验证泛函J是连续且为偶泛函.进一步,由命题3.3和引理3.9,对于∀c∈R,泛函J满足(PS)c.另一方面,由(1.2),(A-2),(f-1)和(f-2),对,有因此,存在ρ＞0,δ＞0,使得当‖u‖=ρ时,J(u)≥δ.这说明泛函J在V=H10(RN)上满足引理3.10的条件(i).现在考虑的有限维子空间W.设u∈WZ,J(u)≥0.由(A-2),有由(f-1)和(f-2),存在z(x)∈L∞(RN)满足z(x)＞0,a.e.x∈RN和一个正常数C2,使得结合(3.32)-(3.33),有由于W是有限维空间,而W上所有范数等价.注意到也是W中范数,由(3.34)知存在C3＞0,使得‖u‖θ≤C3‖u‖2.因为θ＞2,故集合上有界,说明引理3.10的条件(ii)成立.这样便得到定理3.1的结论.【相关文献】[1]Gazzola F,Radulescu V.A nonsmooth critical point theory approach to some nonlinear elliptic equations in RN[J].Di ff erential and Integral Equations,2000,13(1-3):47-60.[2]Aouaoui S.Multiplicity of solutions for quasilinear elliptic equations in RN[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2010,370(2):639-648.[3]Chen Yu,Li Yongqing.In fi nitely many solutions for a semilinear elliptic equations with sign-changing potential[J].Boundary Value Problems,2009,2009:1-7.[4]Squassina M.Weak solutions to general Euler’s via nonsmooth critical point theory[J]. Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse,2000,9(1):113-131.[5]Pellacci B,Squassina M.Unbounded critical points for a class of lower semicontinuous functionals[J].Journal of di ff erential equations,2004,201(1):25-62.[6]Jia Gao,Chen Jie,Zhang Longjie.In fi nitely many solutions for a class of quasilinear elliptic equations with p-Laplacian in RN[J].Boundary Value Problems,2013,179:1-13. [7]Degiovanni M,Marzocchi M.A critical point theory for nonsmooth functionals[J].Annali di Matematica Pura ed Applicata,1994,167(4):73-100.[8]Ladyzenskaya O A,Uralceva N N.Equations aux derivees partielles de type elliptiques[M]. Paris:Dunod,1968,88-225.[9]Boccardo L,Murat F.Almost everywhere convergence of the gradients of solutions to elliptic and parabolic equations[J].Nonlinear Analysis,1992,19(6):581-597.[10]Boccardo L,Murat F,Puel J P.Existence de solutions non bornées pour certaineséquations qu asi-linéaires[J].Portugaliae Mathematica,1982,41:507-534.[11]Rabinowitz P H.Minimax methods in critical point theory with applications to di ff erential equations[A].Conference Board of the Mathematics Sciences,Regional Conference series in Mathematics,Vol.65[C].Providence:American Mathematical Society,1986.。

一类拟线性方程的非平凡解
一类拟线性方程的非平凡解是指那些不能由平凡解（即常数解）表示的解。

这类解通常是非常数解，可能是特解或通解。

具体来说，一类拟线性方程的非平凡解可以分为特解和通解两类。

特解是与特定的初始条件相对应的解。

它是基于特定的初始条件所得到的解，在没有其他限制条件的情况下是独立于其他条件的。

通解是所有解的总和，包括特解和一般解。

通解可以由特解和一般解组合而成，可以用来求解任意初始条件下的解。

举个例子：设方程为dy/dx + 2y = e^x
特解为y=Ce^(-2x)+1/2*e^x
通解为y=y_c+y_p
其中y_c 为一般解，y_p 为特解
总之，非平凡解是指那些不能由常数解表示的解，这类解通常是非常数解，可能是特解或通解。