最新北师版初中数学九年级上册4.4第3课时三边成比例的两个三角形相似重点习题

第四章图形的相似4.4 探索三角形相似的条件第3课时一、教学目标1．经历两个三角形相似条件的探索过程，增强发现问题、提出问题的意识，进一步体会类比、分类、归纳等思想与方法．2．了解相似三角形的判定定理3．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，发展应用意识．二、教学重点及难点重点：掌握判定定理3，会运用判定定理3判定两个三角形相似．难点：会准确运用三角形相似的判定定理3来判定两个三角形是否相似．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资《复习相似三角形判定AA、SAS》动画，《相似三角形判定SSS》动画，《相似三角形的判定》微课.五、教学过程【复习引入】1．我们学过的相似三角形的判定方法有哪些？它们分别是从哪个角度进行判别的？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论．讨论结果：我们学过的相似三角形的判定方法有：定义法；判定定理1（两个角分别相等的两个三角形是相似三角形）；判定定理2（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．除此之外，是否还有其他的方法来判定两个三角形相似呢？这一问题就是本节课我们需要研究的问题．设计意图：通过复习相似三角形的判定方法，类比之后，学生猜测出其他判定方法，为本节课的学习做好铺垫．【探究新知】想一想现在我们考虑增加“另两边成比例”的条件，看△ABC和△A'B'C'一定相似吗？也就是如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并完成“做一做”．做一做画△ABC与△A'B'C'，使，和都等于给定的值k．设法比较∠A与∠A'的大小．△ABC与△A'B'C'相似吗？改变k值的大小，再试一试．（师生活动：教师引导学生用直尺和圆规任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使，和都等于给定的值k．比较∠A与∠A'的大小来判定△ABC和△A'B'C'是否相似．改变k值的大小，再试一试．发现：三边成比例的两个三角形相似．设计意图：在教师的引导下，学生通过自己动手，探索新知，并与他人交流探讨，感受探索过程．【典例精析】例如图，在△ABC和△ADE中，，∠BAD=20°，求∠CAE的度数．师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，师生共同完成解题过程．解：∵，∴△ABC∽△ADE（三边成比例的两个三角形相似）．∴∠BAC=∠DAE．∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE．∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°．设计意图：培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．【课堂练习】1．若△ABC的各边都分别扩大为原来的2倍，得到△A1B1C1，则下列结论正确的是（）．A．△ABC与△A1B1C1的对应角不相等B．△ABC与△A1B1C1不一定相似C．△ABC与△A1B1C1的相似比为D．△ABC与△A1B1C1的相似比为22．已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm．当△DEF 的另两边长为下列哪一组时，这两个三角形相似？应选（）．A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cmC．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm3．下列图形不一定相似的是（）．A．有一个角是100°的两个等腰三角形B．有一个角是60°的两个等腰三角形C．两个等腰直角三角形D．有一个角是45°的两个等腰三角形4．下列条件中，不能使△ABC和△A′B′C′相似的是（）．A．∠A=∠A′=45°，∠B=26°，∠B′=109°B．AB=1，AC=1.5，BC=2，A′B′=4，A′C′=2，B′C′=3C．∠A=∠B′，AB=2，AC=2.4，A′B′=3.6，B′C′=3D．AB=3，AC=5，BC=7，A′B′=，A′C′=，B′C′=5．如下图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）．6．如图，若A，B，C，D，E，F，G，H，O都是5×7方格纸中的格点，且每个方格都是边长为1的正方形，为使△DME∽△ABC，则点M应是F，G，H，O点中的（）．A．F B．G C．H D．O师生活动：教师出示练习，找几名学生代表回答，讲解出现的问题．设计意图：通过练习，激发学生的学习热情，调动学生的学习积极性，培养学生独立解决问题的能力．7．如图，已知．求证：AD·CE=BD·AE．师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．参考答案1．C．2．C．3．D．4．D．5．B．6．B．7．证明：∵，∴△ABC∽△ADE．∴∠BAC=∠DAE．∴∠BAD=∠CAE．又∵，即，∴△ABD∽△ACE．∴．∴AD·CE=BD·AE．设计意图：通过学生自主练习，可以查看学生答题的情况，统计差错及目标达成率，也可以让学生真正地动手、动脑，从而达到很好地掌握知识的目的．六、课堂小结这节课我们主要学习了相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计4.4 探索三角形相似的条件（3）1．相似三角形的判定定理3。

第四章图形的相似3 相似多边形教学目标教学反思1.了解相似多边形的定义，掌握相似多边形的性质.2.在探索相似多边形的性质时掌握类比的方法.3.体会相似多边形与相似三角形的区别与联系.教学重难点重点：相似多边形的判定.难点：两个多边形相似性质的简单应用.教学过程导入新课教师用多媒体出示几个图形，让学生找出形状相同的图形，并连线.然后教师提出问题形状相同的两个图形有什么样的关系？由这一问题来引入本节课要研究的课题.探究新知一、预习新知下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF和银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1.它们的形状相同吗？教学反思师：它们的形状相同吗？生：六边形ABCDEF和六边形A1B1C1D1E1F1形状相同.师：在上面的两个多边形中，是否有相等的内角？设法验证你的猜测.生：∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1，∠E与∠E1，∠F与∠F1分别对应相等.师：这样的角我们称为对应角，在上面的两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？生：通过测量AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E1，EF与E1F1，F A与F1A1的比相等.师：这样的边我们称为对应边.师：从上面的讨论结果来看，大家能否猜到相似多边形的定义呢？生：可以，各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.师：相似怎样表示呢？请同学们认真看书.生：六边形ABCDEF和六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1.师：相似多边形对应边的比叫做相似比，一般用字母k表示，“∽”读作“相似于”.在记两个多边形相似时，需要注意什么？生：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.二、合作探究观察下面两组图形.（1）（2）师：（1）中的两个图形相似吗？生：（1）中的两个图形不相似.师：为什么？教学反思生：虽然这两个图形的对应边成比例，但是对应角不相等，所以这两个图形不相似.师：（2）中的两个图形相似吗？生：也不相似.师：这又是为什么呢？生：虽然这两个图形的对应角相等，但是对应边不成比例，所以这两个图形不相似.教师补充：两个多边形不相似，它们的对应角可能相等，如上面的（2）；两个多边形不相似，它们的对应边可能成比例，如上面的（1）.师：任意两个等边三角形相似吗？生：相似，因为它们的对应角都为60°，对应边成比例.师：任意两个正方形呢？生：也是相似的师：那任意两个正n边形呢？生：两个正n边形的对应角相等，对应边成比例，所以它们都是相似的.师：任意两个菱形相似吗？生：不一定相似师：为什么？生：虽然对应边成比例，但是菱形对应角不一定相等，所以不一定相似.巩固练习在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是()答案：A典型例题【例1】如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，求∠A的度数与x 的值．【问题探索】此题考查相似多边形的性质，如何用相似多边形的性质求∠A 的度数与x 的值？【解】由相似图形的性质，知∠A ＝∠A ′＝107°，4x ＝52，x ＝85.【总结】相似多边形的对应边成比例，对应角相等． 【例2】在宽为20 m ，长为30 m 的矩形花坛四周修筑小路．(1)如果四周的小路的宽均相等，都是x ，如图1，那么小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似吗？请说明理由；(2)如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为x ，y ，如图2，试问小路的宽x 与y 的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似？请说明理由．图1 图2【问题探索】判断两个矩形是否相似要从边出发，求小路的宽x 与y的比值，要运用相似图形的性质．【解】(1)如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 不相似．理由：设四周的小路的宽为x m.30230x +＝1515x +，20220x +＝1010x+. ∵ 30230x +20220x+≠， ∴ 小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 不相似． (2)∵ 当20220y +＝30230x+时，小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似，解得xy＝32， 教学反思∴路的宽x与y的比值为3∶2时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似．【总结】相似多边形的对应边成比例，对应角相等，两个边数相同的多边形，如果各边对应边成比例，各角对应相等，那么它们就相似．课堂练习1.放大镜中的多边形与原多边形的关系是()A．形状不同，大小不同B．形状相同，大小相同C．形状相同，大小不同D．形状不同，大小相同2.给出下列命题：①所有的正方形都相似；①所有的矩形都相似；①所有的三角形都相似；①所有的等腰直角三角形都相似；①所有的正五边形都相似.其中，正确命题为()A.①①①B.①①①C.①①①D.①①①3.若△ABC①△A′B′C′，且AB︰A′B′=1∶2，则△ABC与△A′B′C′相似比是，△A′B′C′与△ABC的相似比是．4.如图，ABCD∽AEFB，且AB＝3 cm，BC＝6 cm.求AE的长.参考答案1.C2.C3.1224.解：∵ABCD∽AEFB，∴ABAE =BCEF.又∵AB＝3 cm，BC＝6 cm，EF＝AB＝3 cm，∴AE＝3×36=32.课堂小结(学生总结，老师点评)1.相似多边形的定义2.相似多边形的性质3.相似比的定义布置作业习题4.4第1题、第2题板书设计第四章图形的相似3 相似多边形1.相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.2.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.。

北师大版九年级数学上册第四章4.4.3三边成比例的判定方法同步测试题一、选择题1．甲三角形的三边分别为1，2，5，乙三角形的三边分别为5，10，5，则甲、乙两个三角形( )A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断是否相似2．下列数据分别表示两个三角形的三边长，则两个三角形相似的是( )A．3，2，4与9，12，6 B．2，4，5与4，9，12C．3，4，5与2，2.5，1 D．2.5，5，4与0.5，1.1，1.53．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是( )4．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比( )A．增加了10% B．减少了10% C．增加了(1＋10%) D．没有改变5．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是( )A．①② B.②③C．①③D．②④二、填空题6．一个三角形的三边长分别为8 cm，6 cm和12 cm，另一个与它相似的三角形的最短边长为3 cm，则其余两边长为_______．7．如图，在边长为1的正方形网格中有点P，A，B，C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是_______．8．如图，在5×5的方格纸上建立平面直角坐标系，已知A(1，0)，B(0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC，使得△ABC∽△AOB，则点C坐标为_______9．如图，△OPQ在边长为1个单位长度的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△OPQ相似，那么这个三角形是_______10.已知△ABC的三边长分别为2，6，2，△A1B1C1的两边长分别为1，3，要使△A1B1C1∽△ABC，那么△A1B1C1的第三边长为_______．11.如图，图中的每个点(包括△ABC的各个顶点)都在边长为1的小正方形的顶点上，在P，Q，G，H中找一个点，使它与点D，E构成的三角形与△ABC相似，这个点可以是_______．(写出满足条件的所有的点)12．若将三角形纸片(△ABC)按图所示的方法折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF，已知AB＝AC＝3，BC＝4，要使以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF 的长是_______三、解答题13．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是CA ，AB ，BC 的中点．求证：△ABC ∽△FDE.14.如图，已知AB AD ＝BC DE ＝ACAE，求证：(1)∠BAD ＝∠CAE ； (2)△ABD ∽△ACE.15.如图，已知AD AC ＝DE AB ＝AE BC.求证：(1)AB ＝AE ；(2)AD 2＝DE ·CD.16．如图，O为△ABC内一点，A′，B′，C′分别是OA，OB，OC上的点，且OA′∶AA′＝OB′∶BB′＝1∶2，已知OB＝6.(1)若OC′∶CC′＝1∶2，求证：△A′B′C′∽△ABC；(2)若OC′∶CC′＝2∶1，以O，B′，C′为顶点的三角形是否可能与△OBC相似？如果可能，求OC的长；如果不可能，请说明理由．17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)求证：△ABC是直角三角形；(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点，并且与△ABC 相似．18．学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．(1)“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形全等”．类似地可以得到：“满足一个锐角对应相等或两直角边对应成比例的两个直角三角形相似”；(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地可以得到“满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”．请结合所给图形，写出已知，并完成说明过程．已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，ABA′B′＝ACA′C′．试说明：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.答案一、选择题：1-5、AABDC二、填空题：6、4_cm 和6_cm ．7、△APB ∽△CPA ．8、(4，4)．9、△CDB ．10、2．11、Q 或G ． 12、2或127．三、解答题13、证明：∵点D ，E ，F 分别是CA ，AB ，BC 的中点， ∴DE ，DF ，EF 是△ABC 的中位线．∴DE BC ＝DF AB ＝EF AC ＝12. ∴△ABC ∽△FDE.14、证明：(1)∵AB AD ＝BC DE ＝ACAE ，∴△ABC ∽△ADE. ∴∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ， 即∠BAD ＝∠CAE.(2)∵∠BAD ＝∠CAE ，AB AD ＝ACAE ，∴AB AC ＝ADAE .∴△ABD ∽△ACE. 15、证明：(1)∵AD AC ＝DE AB ＝AEBC ，∴△ADE ∽△CAB. ∴∠AED ＝∠B. ∴AB ＝AE.(2)∵△ADE ∽△CAB ，∴∠DAE ＝∠ACB. 又∵∠ADE ＝∠CDA ， ∴△ADE ∽△CDA. ∴AD CD ＝DE AD.∴AD 2＝DE ·CD. 16、解：(1)证明：∵OA ′∶AA ′＝OB ′∶BB ′＝1∶2， ∴OA ′∶OA ＝OB ′∶OB ＝1∶3. ∵∠A ′OB ′＝∠AOB ， ∴△OA ′B ′∽△OAB. ∴A ′B ′AB ＝OA ′OA ＝13，同理B ′C ′BC ＝A ′C ′AC ＝13，∴△A ′B ′C ′∽△ABC.(2)可能相似．理由如下：∵OA ′∶AA ′＝OB ′∶BB ′＝1∶2，OB ＝6， ∴OB ′＝2.∵OC ′∶CC ′＝2∶1，∠COB ＝∠C ′OB ′，设CC ′＝x ，OC ′＝2x ，OC ＝3x ， 要使以O ，B ′，C ′为顶点的三角形与△OBC 相似， 只要满足OB ′OC ＝OC ′OB ，∴23x ＝2x6.∴x ＝± 2. ∵x ＞0，∴x ＝ 2. ∴OC ＝3 2.17、解：(1)证明：根据勾股定理，得AB ＝25，AC ＝5，BC ＝5，则AB 2＋AC 2＝BC 2， ∴△ABC 为直角三角形． (2)△ABC 和△DEF 相似．理由：根据勾股定理，得AB ＝25，AC ＝5，BC ＝5， DE ＝42，DF ＝22，EF ＝210. ∴AB DE ＝AC DF ＝BC EF ＝104. ∴△ABC ∽△DEF.(3)如图，△P 2P 4P 5即为所作．18、解：设AB A ′B ′＝AC A ′C ′＝k(k>0)，则AB ＝kA ′B ′，AC ＝kA ′C ′.在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，BC B ′C ′＝AB 2－AC 2A ′B ′2－A ′C ′2＝k 2A ′B ′2－k 2A ′C ′2A ′B ′2－A ′C ′2＝k ， ∴AB A ′B ′＝AC A ′C ′＝BCB ′C ′. ∴Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′.19．如图，在△ABC 中，已知BA ＝BC ＝20 cm ，AC ＝30 cm ，P 从A 点出发沿AB 以每秒4 cm 速度向B 点运动，同时点Q 从C 点出发沿CA 以每秒3 cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x(s)．(1)当x 为何值时，PQ ∥BC ；(2)△APQ 能否与△CQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由．解：(1)由题意，得AP ＝4x cm ， CQ ＝3x cm.∴AQ ＝AC －CQ ＝30－3x. ∵PQ ∥BC ， ∴△AQP ∽△ACB.∴AQ AC ＝AP AB ，即30－3x 30＝4x20. 解得x ＝103.∴当x ＝103时，∴∠PQ ∥BC.(2)∵BA ＝BC ，∴∠A ＝∠C. 分两种情况讨论：①当△APQ ∽△CQB 时，则AP CQ ＝AQCB，即4x 3x ＝30－3x 20，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝109. ∴AP ＝409cm.②当△APQ ∽△CBQ 时，AP CB ＝AQCQ，即4x 20＝30－3x 3x ，解得x 1＝－10(舍去)，x 2＝5. ∴AP ＝20 cm.综上所述，AP 的长为409 cm 或20 cm.。

第3课时 三边成比例的两个三角形相似
●教学目的: 使学生掌握三角形相似的判定定理3和它的应用．
●教学重点： 判定定理3
●教学难点： 判定定理3的应用
●教学过程：
一、复习：
1.判定三角形相似目前有哪些方法？
2.回忆三角形相似判定定理1和2的证明的方法．
二、新授
（一）导入新课
三角形全等的判定中AA S 和ASA 对应于相似三角形的判定的判定定理1，SAS 对应于相似三角形的判定的判定定理2，那么SSS 对应的三角形相似的判定命题是否正确，这就是本节研究的内容．（板书）
（二） 做一做
画△ABC 与△A ′B ′C ′，使
B A AB ''、
C B BC ''和A C CA '
'都等于给定的值k . （1）设法比较∠A 与∠A ′的大小；
（2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？说说你的理由.
改变k 值的大小，再试一试.
定理3：三边:成比例的两个三角形相似．
（三）例题学习
例：如图，在△ABC 和△ADE 中，AB AD =BC DE =AC AE ，∠BAD=20°，求∠CAE 的度数.
解：∵AB AD =BC DE =AC AE
， ∴△ABC ∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE ，
∴∠BAC －∠DAC =∠D AE －∠DAC ，
即∠BAD=∠CAE .
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
三、巩固练习
四、小结
本节学习了相似三角形的判定定理3，使用时一定要注意它使用的条件．五、作业：
板书设计：
教学后记：。

第3课时 三边成比例的两个三角形相似1、已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两数的比例中项，第三个数是 (只需写出一个即可).2、在△ABC 中，AB=8，AC=6，点D 在AC 上，且AD=2，若要在AB 上找一点E ，使△ADE 与原三角形相似，那么AE= 。

3、如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB ，那么可添加的条件是4、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件， 使ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的条件即可).5、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中正确的是 (把你认为正确的说法的序号都填上).6、如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为 或时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与ΔAOB 相似(至少写出两个满足条件的点的坐标).7、下列命题中正确的是 （ ）①三边对应成比例的两个三角形相似②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似④一个角对应相等的两个等腰三角形相似A 、①③B 、①④C 、①②④D 、①③④8、如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ） A AC AE AB AD = B FB EA CF CE = C BD AD BC DE = D CBCF AB EF =9、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是 （ ）A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC. BE=CD，AB=ACD. AD∶AC=AE∶AB10、在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有（）A ΔADE∽ΔAEFB ΔECF∽ΔAEFC ΔADE∽ΔECFD ΔAEF∽ΔABF11、如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（）A 1对B 2对C 3对D 4对12、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）①②③④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④.13、如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC，②ΔBCD，③ΔBDE，④ΔBFG，⑤ΔFGH，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（）(A)②③④(B)③④⑤(C)④⑤⑥(D)②③⑥14、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使ΔA1B1C1与格点三角形ABC相似(相似比不为1).15、如图，ΔABC 中，BC=a .(1)若AD 1=31AB ，AE 1=31AC ，则D 1E 1= ；(2)若D 1D 2=31D 1B ，E 1E 2=31E 1C ，则D 2E 2= ； (3)若D 2D 3=31D 2B ，E 2E 3=31E 2C ，则D 3E 3= ； ……(4)若D n -1D n =31D n -1B ，E n -1E n =31E n -1C ，则D n E n = .16、如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长.17、已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ， Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似？为什么？。

第 3 课时三边成比率的两个三角形相像1、已知两数 4 和 8，试写出第三个数，使这三个数中，此中一个数是其他两数的比率中项，第三个数是(只要写出一个即可 ).2、在△ ABC中， AB=8，AC=6，点 D在 AC上，且 AD=2，若要在 AB上找一点 E，使△ ADE与原三角形相像，那么AE=。

3、如图，在△ ABC中，点 D 在 AB上，请再添一个适合的条件，使△ADC∽△ ACB，那么可增添的条件是4、已知 D、E 分别是ABC的边AB 、AC上的点，请你增添一个条件，使ABC 与AED 相像 .(只要增添一个你以为适合的条件即可).5、以下说法：①全部的等腰三角形都相像；②全部的等边三角形都相像；③全部等腰直角三角形都相像；④全部的直角三角形都相像 .此中正确的选项是(把你以为正确的说法的序都填上).6、如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)、 B(0,2)，假如点 C 在 x 轴上(C 与 A 不重合 )，当点 C 的坐标为或时，使得由点 B、 O、C 构成的三角形与AOB 相像 (起码写出两个知足条件的点的坐标 ).7、以下命题中正确的选项是（）①三边对应成比率的两个三角形相像②二边对应成比率且一个角对应相等的两个三角形相像③一个锐角对应相等的两个直角三角形相像④一个角对应相等的两个等腰三角形相像A、①③B、①④C、①②④D、①③④8、如图，已知 DE∥BC ， EF∥AB ，则以下比率式中错误的选项是（）A AD AEAB AC B CEEACF FBC DEADBC BDD EF CFAB CB9、如图， D、 E 分别是 AB 、AC 上两点， CD 与 BE 订交于点 O，以下条件中不可以使ABE 和ACD 相像的是（）A. ∠B=∠CB. ∠ADC= ∠AEBC. BE=CD，AB=ACD. AD ∶AC=AE ∶ AB10、在矩形 ABCD 中， E、F 分别是 CD、 BC 上的点，若∠ AEF=90°，则必定有（）A ADE ∽Δ AEFB ECF∽ΔAEFC ADE ∽Δ ECFD AEF∽ΔABF11、如图， E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 的延伸线上的一点，连接 AE 交 CD 于 F，则图中共有相像三角形（）A1对B2对C3对D4对12、如图，在大小为4× 4 的正方形格中，是相像三角形的是（）①②③④A. ①和②B.②和③C.①和③D.②和④.13、如图，在正方形格上有 6 个斜三角形：①ΔABC ，②Δ BCD，③ΔBDE ，④ΔBFG，⑤Δ FGH，⑥EFK.此中②～⑥中，与三角形①相像的是（）(A) ②③④(B) ③④⑤(C)④⑤⑥(D) ②③⑥14、在方格纸中，每个小格的极点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形 . 如图，请你在 4×4 的方格纸中，画一个格点三角形 A 1B1C1，使 A 1B1C1与格点三角形ABC 相像 (相像比不为 1).15、如 ，ABC 中， BC=a.(1)若 AD 1=1，AE 1=1 ；AB AC ， D 1E 1=33(2)若 D 1D 2= 1 D 1B ，E 1E 2= 1 E 1C ， D 2E 2=；33(3)若 D 2D 3= 1D 2B ，E 2E 3= 1E 2C ， D 3E 3=；33⋯⋯(4)若 D n - 1D n = 1 D n - 1B ，E n - 1E n = 1E n - 1C ， D n E n =.3 316、如 ， ABC 与 ADB 中，∠ABC= ∠ADB=90 °，AC=5cm ，AB=4cm ，假如 中的两个直角三角形相像，求 AD 的 .17、已知：如 ，在正方形 ABCD 中， P 是BC上的点，且BP=3PC ， Q 是CD 的中点. ADQ 与 QCP 能否相像？ 什么？。

北师大版数学九年级上册三边成比例的判定方法同步课时练习题及答案4.4.3 三边成比例的判定方法 同步课时练习题1. 甲三角形的三边区分是1，2，5，乙三角形的三边区分是5，5，10，那么甲，乙两个三角形( )A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法判别 2．△ABC 与△DEF 满足以下条件，其中能使△ABC ∽△DEF 的是( ) A ．AB ＝1，BC ＝1.5，AC ＝2，DE ＝8，EF ＝12，DF ＝16 B ．AB ＝2，BC ＝3，AC ＝5，DE ＝6，EF ＝3，DF ＝3 C ．AB ＝3，BC ＝4，AC ＝6，DE ＝6，EF ＝8，DF ＝16 D ．AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，DE ＝3，EF ＝2，DF ＝ 53．如图，点O 是△ABC 内任一点，点D ，E ，F 区分为OA ，OB ，OC 的中点，那么图中相似三角形有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对4. 如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，那么与△ABC 相似的三角形所在的网格是( )5. 如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，点P 是AC 的中点，过点P 的直线交AB 于点Q ，假想象失掉以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么AQ 的长为( )A ．3B ．3或43C ．3或34 D.436. 如下图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC ；②△BCD ；③△BDE ；④△BFG ；⑤△FGH ；⑥△EFK.其中②～⑥中与①相似的是( ) A ．②③④ B ．③④⑤ C ．④⑤⑥ D ．②③⑥7. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的一组是( ) A ．①和② B ．②和③ C ．①和③ D ．②和④8. 一个三角形的边长区分为5 cm ，8 cm ，12 cm ，另一个三角形的最长边为7.2cm ，那么当另一个三角形的另外两边长是_______________cm 时，这两个三角形相似．9. 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，在△A′B′C′中，A′B′＝8，A′C′＝6，那么当BC ∶B′C′＝_______时，△A ′B ′C ′∽____________．10. 一个铝质的三角形框架的三边长区分为24 cm ，30 cm ，36 cm ，要做一个与它相似的铝质三角形的框架，现有长27 cm ，45 cm 的两根铝材，要求以其中的一根为边，从另一根上截下两段(允许缺乏材)，那么截法有______种． 11. △ABC 的三边长区分为2，6，2，△A 1B 1C 1的两边长为1，3，要使△ABC ∽△A 1B 1C 1，那么△A 1B 1C 1的第三边长为_______．12. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 区分是CA ，AB ，BC 的中点，求证：△ABC∽△FDE. 13. 如图，在1×5的正方形的网格中有四边形ABCD ，求∠BDC 的度数． 14. 如图，AB BD ＝BC BE ＝CAED，求证：∠ABD ＝∠CBE.15. 如图，在4×4的正方形网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的正方形的顶点上．(1)填空：∠ABC ＝__________度，BC ＝_________；(2)求证：∠C ＝∠E .16. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P 1，P 2，P 3，P 4，P 5是△DEF 边上的5个格点，请按要求完成以下各题： (1)试证明△ABC 为直角三角形；(2)判别△ABC 和△DEF 能否相似，并说明理由；(3)画一个三角形，它的三个顶点为P 1，P 2，P 3，P 4，P 5中的3个格点并且与△ABC 相似．(要求：用尺规作图，保管痕迹，不写作法与证明) 参考答案： 1---7 AADBB BC 8. 3和4.8 9. △ACB 1∶2 10. 1 11. 212. ∵点D ，E ，F 区分是CA ，AB ，BC 的中点，∴DE BC ＝EF AC ＝DF AB ＝12，∴△ABC ∽△FDE13. 由图知AB ＝2，AD ＝1，BD ＝5，BC ＝5，DC ＝10，∴AD BD ＝15，AB DC ＝210＝15，BD BC ＝55＝15，∴AD BD ＝AB DC ＝BDBC ，∴△ABD ∽△DCB ，∴∠BDC ＝∠BAD ＝135°14. ∵AB BD ＝BC BE ＝CAED ，∴△ABC ∽△DBE ，∴∠ABC ＝∠DBE ，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE15. (1) 135° 22(2) 由图知，AB ＝2，BC ＝22，AC ＝25，DF ＝2，EF ＝2，DE ＝10，∴DFAB ＝22，EF BC ＝222＝22，ED AC ＝1025＝22，∴DF AB ＝EF BC ＝ED AC ，∴△DEF ∽△ACB ，∴∠C ＝∠E16. (1)由题意得AB ＝25，AC ＝5，BC ＝5，∵AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形(2)△ABC 与△DEF 相似，理由如下：由勾股定理，得DE ＝42，DF ＝22，EF ＝210，那么AB DE ＝AC DF ＝BC EF ＝104，∴△ABC ∽△DEF(3)衔接P 2P 5，P 2P 4，P 4P 5，在△P 4P 5P 2中，∵P 2P 5＝10，P 4P 5＝22，P 2P 4＝2，∴P 2P 5BC ＝P 4P 5AB ＝P 2P 4AC ＝105，∴△ABC ∽△P 4P 5P 2，图略。

第3课时三边成比例的两个三角形相似一、教学目标1．初步掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法．2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：掌握判定方法3，会运判定方法3判定两个三角形相似．2．难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．3．难点的突破方法讲判定方法3时，要扣住“对应”二字，一般最短边与最短边，最长边与最长边是对应边．三、课堂引入1．提出问题：由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？2.教材P93做一做带领学生画图探究。

【归纳】三角形相似的判定方法3 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．3．（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）教师带领学生探求证明方法．4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：（1）提出问题：由三角形全等的SAS判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？（2）让学生画图，自主展开探究活动．（3）【归纳】三角形相似的判定方法2三边成比例的两个三角形相似．四、例题讲解例1（教材P94例3）解：略五、课堂练习1．教材P94随堂练习2如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．六、课后练习教材P95 习题4.7教学反思。

第3课时 三边成比例的两个三角形相似
●教学目的: 使学生掌握三角形相似的判定定理3和它的应用．
●教学重点： 判定定理3
●教学难点： 判定定理3的应用
●教学过程：
一、复习：
1.判定三角形相似目前有哪些方法？
2.回忆三角形相似判定定理1和2的证明的方法．
二、新授
（一）导入新课
三角形全等的判定中AA S 和ASA 对应于相似三角形的判定的判定定理1，SAS 对应于相似三角形的判定的判定定理2，那么SSS 对应的三角形相似的判定命题是否正确，这就是本节研究的内容．（板书）
（二） 做一做
画△ABC 与△A ′B ′C ′，使
B A AB ''、
C B BC ''和A C CA '
'都等于给定的值k . （1）设法比较∠A 与∠A ′的大小；
（2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？说说你的理由.
改变k 值的大小，再试一试.
定理3：三边:成比例的两个三角形相似．
（三）例题学习
例：如图，在△ABC 和△ADE 中，AB AD =BC DE =AC AE ，∠BAD=20°，求∠CAE 的度数.
解：∵AB AD =BC DE =AC AE
， ∴△ABC ∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE ，
∴∠BAC －∠DAC =∠D AE －∠DAC ，
即∠BAD=∠CAE .
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
三、巩固练习
四、小结
本节学习了相似三角形的判定定理3，使用时一定要注意它使用的条件．五、作业：
板书设计：
教学后记：。

第3课时 三边成比例的两个三角形相似
●教学目的: 使学生掌握三角形相似的判定定理3和它的应用．
●教学重点： 判定定理3
●教学难点： 判定定理3的应用
●教学过程：
一、复习：
1.判定三角形相似目前有哪些方法？
2.回忆三角形相似判定定理1和2的证明的方法．
二、新授
（一）导入新课
三角形全等的判定中AA S 和ASA 对应于相似三角形的判定的判定定理1，SAS 对应于相似三角形的判定的判定定理2，那么SSS 对应的三角形相似的判定命题是否正确，这就是本节研究的内容．（板书）
（二） 做一做
画△ABC 与△A ′B ′C ′，使
B A AB ''、
C B BC ''和A C CA '
'都等于给定的值k . （1）设法比较∠A 与∠A ′的大小；
（2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？说说你的理由.
改变k 值的大小，再试一试.
定理3：三边:成比例的两个三角形相似．
（三）例题学习
例：如图，在△ABC 和△ADE 中，AB AD =BC DE =AC AE ，∠BAD=20°，求∠CAE 的度数.
解：∵AB AD =BC DE =AC AE
， ∴△ABC ∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE ，
∴∠BAC －∠DAC =∠D AE －∠DAC ，
即∠BAD=∠CAE .
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
三、巩固练习
四、小结
本节学习了相似三角形的判定定理3，使用时一定要注意它使用的条件．五、作业：
板书设计：
教学后记：。

最新北师大版九年级上 4.4 相似三角形(知识点练习例题答案)学生姓名所属年级九年级辅导学科数学任课教师作业时限90分钟布置时间月日一、填空题1.已知：在△ABC中，P是AB上一点，连结CP，当满足条件∠ACP= 或∠APC= 或AC2= 时，△ACP∽△ABC．2.两个相似三角形周长之比为4∶9，面积之和为291，则面积分别是。

3.如图，DEFG是Rt△ABC的内接正方形，若CF＝8，DG＝42，则BE＝。

4．如图，直角梯形ABCD中，AD‖BC，AD⊥CD，AC ⊥AB，已知AD＝4，BC＝9，则AC＝。

5．△ABC中，AB＝15，AC＝9，点D是AC上的点，且AD=3，E在AB上，△ADE与△ABC相似，则AE的长等于。

6.如图，在正方形网格上画有梯形ABCD，则∠BDC的度数为。

7.△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BC＝1，BD平分∠ABC交于D，则BD＝，AD＝，设AB＝x,则关于x的方程是 .8．如图，已知D是等边△ABC的BC边上一点，把△ABC 向下折叠，折痕为MN，使点A落在点D处，若BD∶DC ＝2∶3，则AM∶MN= 。

二、选择题9.如图，在正△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AC AD=31，AE=BE，则有（）A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD10．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC=6，AC＝3，则CD的长为（）A.1B.23C.2D.2511．如图，□ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD 交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对12．P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）A．1条 B.2条C．3条D．4条13．如图，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC=3，若在AB上取一点P，使以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，这样的P点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答下列各题14.如图，长方形ABCD中，AB=5，BC＝10，点P从A点出发，沿AB作匀速运动，1分钟可以到达B点，点Q从B点出发，沿BC作匀速直线运动，1分钟可到C点，现在点P点Q同时分别从A点、B点出发，经过多少时间，线段PQ恰与线段BD垂直？15．已知：如图，正方形DEFG内接于Rt△ABC，EF在斜边BC上，EH⊥AB于H．求证：（1）△ADG≌△HED；（2）EF2＝BE·FC（答案）例1分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。