方差分析
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方差分析
方差分析方差分析是比较多个总体的均值是否相等，但本质上它所研究的是变量之间的关系。
在研究一个（或多个）分类型自变量与一个数值型因变量之间的关系时，方差分析就是其中的只要方法之一。
一、方差分析引论假设需要检验4个总体的均值分别为4321,,,μμμμ，如果用一般假设检验方法，如t 检验，一次只能研究两个样本，要检验4个总体的均值是否相等，需要做6次检验，如果在0.05的置信水平下检验，每次检验犯第Ⅰ类错误的概率都是0.05，检验完成时，犯第Ⅰ类错误的概率会大于0.05，即连续作6次检验第Ⅰ类错误的概率为6)1(1α--=0.265,而置信水平则会降低到0.735（即695.0）。
随着增加个体显著性检验的次数，偶然因素导致差别的可能性也会增加（并非均值真的存在差别）。
而方差分析方法则是同时考虑所有的样本，因此排除了错误累计的概率，从而避免拒绝一个真实的原假设。
1、方差分析及其有关术语方差分析：就是通过检验各总体均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。
例1：为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本。
其中零售业7家，旅游业抽取6家，航空公司抽取5家，家电制造业抽取5家。
最后统计出最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数。
如下表所示。
消费者对四个行业的投诉次数行业零售业 旅游业 航空业 家电制造业57 68 31 44 66 39 49 51 49 29 21 65 40 45 34 77 34 56 40 58 53 51 44要分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，实际上就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响，做出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等。
在方差分析中，要检验的对象称为因素或因子。
因素不同的表现称为水平或处理。
每个因子水平下得到的样本数据称为观测值。
在例1中，“行业”是要检验的对象，称为“因素”或“因子”；零售业，旅游业，航空公司，家电制造业是行业这一因素的具体表现，称为“水平”或“处理”；在每个行业下得到的样本数据（被投诉次数）称为观测值。
方差分析
Minimum Maximum 125.30 143.10 143.80 162.70 182.80 198.60 212.30 225.80 125.30 225.80
给出了四种饲料分组的样本含量N、平均数Mean、标准差 Std Deviation、
标准误 Std Error、95％的置信区间、最小值和最大值 ；
对照组 10.28 31.35 31.23
去卵巢组 10.01 8.28 6.12
雌激素组 28.88 12.77 27.56
随机误差，例如测量误差造成的差异，称为组 内差异。用变量在各组的均值与该组内变量值 之偏(离均)差平方和的总和表示。记作SS组内。 实验条件, 即不同的处理造成的差异，称为组 间差异。用变量在各组的均值与总均值之偏 (离均)差平方和的总和表示。记作SS组间。 SS组间、SS组内除以各自的自由度得到其均方 值即组间均方和组内均方。
3.1 因素与处理
因素(Factor)是影响因变量变化的客观条件；例如影 响农作物产量的因素有气温、降雨量、日照时间等； 处理(Treatments)是影响因变量变化的人为条件。也 可以称为因素。如研究不同肥料对不同种系农作物产 量的影响时农作物的不同种系可称为因素，所施肥料 可视为不同的处理。 一般情况下Factors与Treatments在方差分析中可作 相同理解。在要求进行方差分析的数据文件中均作为 分类变量出现。即它们的值只有有限个取值。即使是 气温、降雨量等平常看作是连续变量的，在方差分析 中如果作为影响产量的因素进行研究，就应该将其数 值用分组定义水平的方法事先变为具有有限个取值的 离散变量
N A B C D Total 5 5 5 4 19
第九章 方差分析
第九章方差分析前面介绍了两个样本均数比较的t检验，那么多个样本均数的比较应该采用什么方法？方差分析(analysis of variance, ANOV A)是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，由英国著名统计学家R.A.Fisher提出，又称F检验，是通过对数据变异的分析来推断两个或多个样本均数所代表总体均数是否有差别的一种统计学方法。
本章首先介绍方差分析的基本思想和应用条件，然后结合研究设计类型分别介绍各类方差分析方法。
第一节方差分析的基本思想和应用条件一、方差分析的基本思想方差分析的基本思想是把全部观察值间的变异按设计类型的不同，分解成两个或多个组成部分，然后将各部分的变异与随机误差进行比较，以判断各部分的变异是否具有统计学意义。
例9.1 为研究大豆对缺铁性贫血的恢复作用，某研究者进行了如下实验：选取已做成贫血模型的大鼠36只，随机等分为3组，每组12只，分别用三种不同的饲料喂养：不含大豆的普通饲料、含10%大豆饲料和含15%大豆饲料。
喂养一周后，测定大鼠红细胞数(×1012/L)，试分析喂养三种不同饲料的大鼠贫血恢复情况是否不同？表9.1 喂养三种不同饲料的大鼠红细胞数(×1012/L)普通饲料10%大豆饲料15%大豆饲料合计X 4.78 4.65 6.80 4.65 6.92 5.913.984.447.284.04 6.167.51 3.445.997.51 3.776.677.743.65 5.298.194.91 4.707.154.795.058.185.316.01 5.534.055.677.795.16 4.688.03in12 12 12 36 (n)i X ∑ 52.53 66.23 87.62 206.38(X ∑)i X4.385.52 7.30 5.73 (X ) 2i X ∑ 234.2783373.2851647.73121255.2946(2X ∑)表9.1按完全随机设计获得的36个数据(X )中包含以下三种变异： 1. 总变异 36只大鼠喂养一周后测定红细胞数X 各不相同，即X 与总均数X 不同，这种变异称为总变异(total variation)。
方差分析(ANOVA)简介
方差分析(ANOVA)简介方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。
它是通过分析样本之间的方差来判断均值是否存在显著差异的一种方法。
方差分析广泛应用于实验设计、社会科学、医学研究等领域。
单因素方差分析单因素方差分析是最简单的一种方差分析方法，适用于只有一个自变量（因素）的情况。
在单因素方差分析中，我们将样本数据按照因素的不同水平进行分类，然后比较各个水平之间的均值是否存在显著差异。
假设检验在进行单因素方差分析时，我们需要建立以下假设： - 零假设（H0）：各个水平之间的均值没有显著差异。
- 备择假设（H1）：各个水平之间的均值存在显著差异。
方差分解方差分析的核心思想是将总体方差分解为组内方差和组间方差。
组内方差反映了同一水平内个体之间的差异，而组间方差则反映了不同水平之间的差异。
通过比较组内方差和组间方差的大小，我们可以判断均值是否存在显著差异。
统计检验在单因素方差分析中，我们使用F检验来判断均值是否存在显著差异。
F检验是通过计算组间均方与组内均方的比值来进行的。
如果计算得到的F值大于临界值，则拒绝零假设，认为各个水平之间的均值存在显著差异。
多因素方差分析多因素方差分析是在单因素方差分析的基础上引入了多个自变量（因素）的一种方法。
它可以同时考虑多个因素对样本均值的影响，并判断这些因素是否存在交互作用。
交互作用交互作用是指两个或多个因素同时对样本均值产生影响时所产生的效应。
在多因素方差分析中，我们需要考虑各个因素之间是否存在交互作用，以更准确地判断均值之间的差异。
二元因子设计二元因子设计是多因素方差分析中常用的一种设计方法。
它将两个因素进行组合，得到不同水平的组合，然后比较各个组合之间的均值是否存在显著差异。
统计检验在多因素方差分析中，我们同样使用F检验来判断均值是否存在显著差异。
不同的是，多因素方差分析需要考虑组间方差的来源，包括主效应和交互效应。
方差分析
p p q 1 1 q 1 . j i 1 ij , i . j 1 ij , i 1 j 1 ij p q pq
因子A的水平效应: i i . , i 1, , p 因子B的水平效应:
j . j , j 1, , q
p r 2 p r j 1 i 1 p j 1 i 1 2
S A r X j X r j j
2 p j 1 j 1 p
2
r p 2 并且有：ES E E ij j r 1 2 n p 2 j 1 i 1 j 1 E S A p 1 r j
SE
2
~ n p ,
2
SA
2
~
2
p 1, 并且
SE
2
和
SA
2
相互独立。
当H0成立时，
SA F p 1 2
方差分析
SA SE ~ F p 1, n p 2 n p S E
14
3、方差分析表
方差来源 因子A的影响 误差 总和 平方和S SA SE ST 自由度f fA=p-1 fE=n-p fT=n-1 均方S SA=SA/(p-1) SE=SE/(n-p) F值 F=SA/SE 显著性
A1 B1 B2 平均 αi 100 130 115 -10 A2 120 150 135 10 平均 110 140 125 βj -15 15
μij=μ+αi+βj, α1+α2=0, β1+β2=0 Xij=μij+εij=μ+αi+βj+ εij
什么是方差分析
什么是方差分析关键信息项：1、方差分析的定义2、方差分析的目的3、方差分析的应用场景4、方差分析的类型5、方差分析的步骤6、方差分析的结果解读7、方差分析的局限性8、方差分析与其他统计方法的比较11 方差分析的定义方差分析（Analysis of Variance，简称 ANOVA）是一种用于比较两个或多个总体均值是否存在显著差异的统计方法。
它通过分析数据的变异来源，来判断不同因素对观测变量的影响程度。
111 基本原理方差分析基于总体方差可以分解为各个因素所引起的方差之和的原理。
通过比较不同因素水平下的组间方差和组内方差，来确定因素对观测变量的影响是否显著。
112 数学模型一般来说，方差分析的数学模型可以表示为：观测值＝总体均值＋因素效应＋随机误差。
12 方差分析的目的其主要目的是检验不同水平的因素对因变量的均值是否有显著影响。
121 探究因素的作用确定哪些因素对观测结果有重要影响，哪些因素的影响可以忽略不计。
122 比较不同处理的效果例如在实验研究中，比较不同实验处理条件下的结果是否存在显著差异。
13 方差分析的应用场景131 农业科学用于比较不同种植方法、施肥量、品种等对农作物产量的影响。
132 医学研究分析不同药物剂量、治疗方案对患者康复效果的差异。
133 工业生产研究不同生产工艺、原材料对产品质量的作用。
134 社会科学例如在心理学、教育学中，比较不同教学方法、教育环境对学生成绩或心理状态的影响。
14 方差分析的类型141 单因素方差分析只考虑一个因素对观测变量的影响。
142 双因素方差分析同时考虑两个因素的交互作用对观测变量的影响。
143 多因素方差分析涉及多个因素及其交互作用对观测变量的综合影响。
15 方差分析的步骤151 提出假设包括零假设（各总体均值相等）和备择假设（至少有两个总体均值不相等）。
152 计算统计量根据数据计算组间平方和、组内平方和等，进而得到 F 统计量。
153 确定显著性水平通常设定为 005 或 001 等。
方差分析
当g=2时，方差分析结果与两样本t检验结果完全 等价，且t2=F。
第三节 随机区组设计资料的方差分析
一、随机区组设计
1。随机区组设计
随机区组设计又称配伍组设计，是配对设计的扩展。 首先从总体中随机抽样，然后将样本中的所有受试对 象，按条件相同或相近配成若干组（随机区组或配伍 组），再将每组中的几个受试对象随机分配到不同的 处理组中去，这种设计的方法称随机区组设计。
变异程度。计算公式如下：
SS总
2
Xij X
X
2 ij
C
其中：
C X 2 N
用离均差平方和表示总变异大小受样本容量
的影响，样本容量越大，SS越大，所以必须扣 除n的影响，严格的讲是扣除ν的影响。
总变异的自由度：ν 总=N-1
SS总总 称为总变异的均方，用MS总表示。
2。完全随机设计资料的分析方法
完全随机设计资料在进行统计分析时，需根 据数据的分布特征选择方法，对于正态分布且方 差齐的资料，常采用完全随机设计的单因素方差
分析（one-way ANOVA）或两样本t检验（g=2）；
对于非正态或方差不齐的资料，可进行数据变换 或采用秩和检验。
二、完全随机设计方差分析
SS区组 区组
MS区组 MS误差
误差 SS总 SS处理 SS区组 (g 1)(n 1) SS误差 误差
其中：C ( X )2 N
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三 种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤 小白鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小白鼠 随机接受三种抗癌药物（具体分配结果见例4-3），以 肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的 药物的抑瘤效果有无差别？
第三节 随机区组设计资料的方差分析
一、随机区组设计
1。随机区组设计
随机区组设计又称配伍组设计，是配对设计的扩展。 首先从总体中随机抽样，然后将样本中的所有受试对 象，按条件相同或相近配成若干组（随机区组或配伍 组），再将每组中的几个受试对象随机分配到不同的 处理组中去，这种设计的方法称随机区组设计。
变异程度。计算公式如下：
SS总
2
Xij X
X
2 ij
C
其中：
C X 2 N
用离均差平方和表示总变异大小受样本容量
的影响，样本容量越大，SS越大，所以必须扣 除n的影响，严格的讲是扣除ν的影响。
总变异的自由度：ν 总=N-1
SS总总 称为总变异的均方，用MS总表示。
2。完全随机设计资料的分析方法
完全随机设计资料在进行统计分析时，需根 据数据的分布特征选择方法，对于正态分布且方 差齐的资料，常采用完全随机设计的单因素方差
分析（one-way ANOVA）或两样本t检验（g=2）；
对于非正态或方差不齐的资料，可进行数据变换 或采用秩和检验。
二、完全随机设计方差分析
SS区组 区组
MS区组 MS误差
误差 SS总 SS处理 SS区组 (g 1)(n 1) SS误差 误差
其中：C ( X )2 N
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三 种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤 小白鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小白鼠 随机接受三种抗癌药物（具体分配结果见例4-3），以 肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的 药物的抑瘤效果有无差别？
方差分析
k
nkΒιβλιοθήκη 2总平方和：SST
实验中产生的总变异
组内平方和：SSW
实验误差（包括个体差异）由于不同的实验处理而造 造成的变异 成的变异
组间平方和：SSB
三者之间的关系如下：
SS 总 SS 组间 SS 组内
组间自由度： 组内自由度: 总体自由度： 书266：这样
df B = k-1
df W = k(n-1)
df T = nk-1
在方差分析中，比较组间变异与组内变异时，不 能直接比较各自的平方和。因为平方和的大小与 项数有关，应该将项数的影响去掉。因此用平方 和除以各自自由度得到均方，再进行比较。
SS B MS B df B
书266
MSW
SSW df W
方差分析就是通过比较组内均方MS组内 和组间均方 MS组间 的大小关系来判断处 理因素有无效应。
变异分解
SS 总(T) SS 组间(B) SS 区组(R) SS 误差(E)
SS R
1 n
( R ) 2 k
( R ) 2 nk
总自由度也被分为三部分： dfT = nk-1
df B k 1
dfE=(k-1)(n-1)
dfR=n-1
例4：5名被试在四种不同的环境条件下参加某一心理测验， 结果如下。问不同的测验环境是否对这一测验成绩有显著影 响。
SSB n ( X j X t ) 2
j 1 k
SSw ( X ij X j ) n s j
2 j 1
k
2
1、求平方和
Xt
X1 X 2 X 3 X 4 6.4 4
k
SSB n ( X j X t ) 2 30.08
方差分析 (共72张PPT)
2.总体变异的构成
总体变异 组间变异： 组内变异：组内变异理论上要求齐性，实际计算取其 均值
3.方差的基本公式
一般总体方差称方差，样本方差称均方 能使变量发生变异的原因很多，这些原因我们都将其称为变异
因素或变异来源。
方差分析就是发现各类变异因素相对重要性的一种方法
方差分析的思路就是：把整个试验（设有 k 个总体）的样本资料作 为一个整体来考虑。
原理是变异的可加性。
即每一个数据与数据的总体平均数差的平方和，可以分解为每一组数 据各自的离差平方和与由各组数据的平均数组成的一组数据的
离差平方和两部分。前者表达的是组内差异，即每组数据中 各个数据之间的差异，也就是个体差异，表达的是抽样误差或 随机误差程度；后者表达的是组间差异，即各组平均数之间的差 异，表达的是实验操纵的差异程度，实验操纵即指自变量的操 纵，这两部分差异之间相互独立。
3、这种两两比较会随着样本组数的增加而加大犯Ⅰ型错的差异显著性检验，若两两比较推 断正确的概率为95%,则所有比较都正确的概率为6=0.74,则降低
了推断的可靠性。
• 几个常用术语:
1、试验指标(experimental index) 为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低 ，在试验中具体测
(1).计算平方和：
组间平方和
SB SX n2X n2 71 .5 6 65 8 .1 7 8 20 8 .47
¨ 组内平方和
SW SX 2X n2 7 6 7 41 4 .5 6 4 45 7 .5 7 8
¨ 总平方和
SS T X 2X n2
764414252 876.396
23
(2)．计算自由度
因此，方差分析可以帮助我们抓住试验的主要矛盾和技术关键，发 现主要的变异来源，从而抓住主要的、实质性的东西。
方差分析
1. 2.
3.
检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就 是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同 设1为无色饮料的平均销售量，2粉色饮料的 平均销售量，3为橘黄色饮料的平均销售量， 4为绿色饮料的平均销售量，也就是检验下面 的假设 H0: 1 2 3 4 H1: 1 , 2 , 3 , 4 不全相等 检验上述假设所采用的方法就是方差分析
的 比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同
方差分析中的基本假定
1.
2.
在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有 显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四 个正态总体的均值是否相等的问题 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本 的均值也会很接近 四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值
相等的证据也就越充分 样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据 就越充分
2.
3.
方差分析中的基本假定
方差分析中的基本假定
1.
每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分
2.
各个总体的方差必须相同 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取
布总体的简单随机样本 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布
3.
观察值是独立的 比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立
水平A ( i )
粉色(A2)
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
147.8
四种颜色饮料的销售量及均值
橘黄色(A3)
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5
132.2
无色(A1)
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
136.6
绿色(A4)
3.
检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就 是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同 设1为无色饮料的平均销售量，2粉色饮料的 平均销售量，3为橘黄色饮料的平均销售量， 4为绿色饮料的平均销售量，也就是检验下面 的假设 H0: 1 2 3 4 H1: 1 , 2 , 3 , 4 不全相等 检验上述假设所采用的方法就是方差分析
的 比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同
方差分析中的基本假定
1.
2.
在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有 显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四 个正态总体的均值是否相等的问题 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本 的均值也会很接近 四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值
相等的证据也就越充分 样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据 就越充分
2.
3.
方差分析中的基本假定
方差分析中的基本假定
1.
每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分
2.
各个总体的方差必须相同 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取
布总体的简单随机样本 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布
3.
观察值是独立的 比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立
水平A ( i )
粉色(A2)
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
147.8
四种颜色饮料的销售量及均值
橘黄色(A3)
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5
132.2
无色(A1)
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
136.6
绿色(A4)
方差分析
二、方差分析的基本假定
每个总体都应服从正态分布 各个总体的方差 σ 2 必须相同 观测值是独立的
三、方差分析的分类
单因素方差分析 双因素方差分析 多因素方差分析 协方差分析 多元方差分析
单因素方差分析
单因素方差分析研究的是一个分类型自 变量对一个数值型因变量的影响。例如， 要检验不同行业被投诉次数的均值是否 相等，这里只涉及行业一个因素，因而 属于单因素方差分析。
计算统计量
由于各误差平方和的大小与观测值的多少有关，为了消 除观测值多少对误差平方和的影响，需要将其平均，也就是 用各平方和除以它们对应的自由度，这一结果称为均方，也 称为方差。 SST的自由度为n-1，其中n为全部观测值的个数。 SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平（总体）的个数。 SSE的自由度为n-k。 SSA的均方也称为组间均方或组间方差，记为MSA SSA MSA=组间平方和/自由度= k − 1 代入例题得 MSA=485.536232 SSE MSE=组内平方和/自由度= n − k 代入例题得MSE=142.526316
则根据上面计算出F=3.40643，若取显著性水 平 α = 0 . 05 ，根据自由度 df 2 = n − k = 23 − 4 = 19 和分母自由度 df 1 = k − 1 = 4 − 1 = 3 ，查F分布 F0.05 (3,19) = 3.13 表得到临界值 。由于 F > Fα 拒绝原假设 H 0 : µ1 = µ 2 = µ3 = µ 4 ，表明 µ1, µ 2, µ3, µ 4, 之间有显著的差异，即行业对投诉次数有显著影响。
k
x）
k
∑ ∑
x =
代入得：
i=1
ni
j =1
x ij =
方差分析
• 例题：探讨噪音对解决数学问题的影响作用。
噪音是自变量，划分为三个强度水平：强、中、 弱。因变量是解决数学问题时产生的错误频数。 随机抽取12名被试，再把他们分到强、中、无 三个实验组。每组被试接受数学测验时戴上耳 机。强噪音组、中噪音组的被试通过耳机分别 接受100、50分贝的噪音； 无噪音组的被试 则没有任何噪音。数学测验完后，计算每位被 试的错误频数。
查F值表进行F检验并作出决断
• 注意：
• 1.确定显著性水平 • 2.明确用单侧检验还是双侧检验
方差齐性检验
• 哈特莱最大F比率法：找出要比较的几个组内 方差中的最大值与最小值代入下式:
F max
S 2 S
2
max min
• 然后查F max临界值表，当算出的 F max小于表中相 应的临界值，就可认为要比较的样本方差两两 之间均无显著差异。
SSB MSB df B
SSW MSW df w
自由度的计算
• 组间自由度
• 组内自由度 • 总自由度
df B =k-1 df w =N-k
dfT
=N-1
• dfT = df B + df w
两个均方值之比为F统计量：
SSB / (k 1) MSB F SSW / (N k ) MSWE0.05来自SE X MS
n
E
• 4 用标准误乘以q的临界值就是对应于某 一个r值的两个平均数相比较时的临界值。
• 临界值,又称阀值，英文称 critical value，是指一个效应能 够产生的最低值或最高值。临界 值在数据分析中常常用来判定差 异情况 。
4、把5个平均数两两之间的差异与相应的 比较。但用这些差数与 q .SE 比较时一定要注意对应 于哪个r值。 例如： X E - X C =4.5，这时r=4-2+1=3，当r=3时 q0.05.SE X =3.49×1.738=6.06，因此应该将4.5与6.06 相比较。
方差分析
方差分析一．方差分析的概念及意义方差分析，又称“变异数分析”或“F检验”，用于两个及两个以上样本均数差别的显著检验。
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。
造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究种施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析的意义，工业生产中产品质量优劣，农业生产中产量高低，由诸多因素造成。
如农业生产中，肥料，浇灌，良种，管理等；化工生产中，原料成分，催化剂，剂量，反应温度，压力，溶液，机器设备与操作人员水平。
每种因素的改变，可影响产品质量与数量，那么在诸因素中找出对质量的某种指标有显著影响的因素，还要弄清这些显著因素在什么状态下（水平）起的作用大。
方差分析就是根据试验结果进行分析，鉴别各个因素对试验结果影响的有效方法。
二．方差分析的基本思想根据实验设计的类型及研究目的,将全部观察值之间所表现出来的总变异,分解为两个或多个部分。
除随机误差作用外,其余每个部分的变异均可由某个因素的作用加以解释。
通过比较不同变异来源的均方(MS),借助F分布做出统计推断,从而推断研究因素对试验结果有无影响三．方差分析的假定条件及假设检验3.1方差分析的假定条件为：（1）各处理条件下的样本是随机的。
（2）各处理条件下的样本是相互独立的，否则可能出现无法解析的输出结果。
（3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否则使用非参数分析。
（4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。
3.2方差分析的假设检验假设有K个样本，如果原假设H0样本均数都相同，K个样本有共同的方差σ，则K 个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。
如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。
否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差异。
四．方差分析中的常用术语4.1 因素（Factor）因素是指所要研究的变量，它可能对因变量产生影响。
如果方差分析只针对一个因素进行，称为单因素方差分析。
方差分析
2.确定显著性水平，用 表示，常取0.05。 3.计算统计量F（见下张） 4.求概率值P： 5.做出推论：统计学结论和专业结论。
计算统计量F
F=MS组间/MS组内 公式是在H0成立的条件下进行的，即MS组间与 MS组内差别应该很小， F值应该接近于1。那么 要接近到什么程度呢？（Fisher计算出了F的分 布规律，即标准的F値） 通过这个公式计算出统计量F，查表求出对应的 P值，以确定是否为小概率事件。
数据 Id x1 x2 d 1 5 6 -1 2 76 1 3 88 0
……… 15 6 9 -3
成组双样本比较
统计假设: H0：μ1=μ2 vs H1：μ1≠μ2
公式:
假设条件: 1) 每组数据服从正态分布; 2) 两组数据的方差一致。
回忆
数据 Id A B 1 56 2 76 3 88
……… 15 6 9
组内变异
E 组内均方MS组内
方差分析是先将总变异分解，然后计算变异间的比值。若比值接近 1，认为处理因素无作用；若比值远大于1，且大于F界值 [F0.05(1,2)]时，认为处理因素有作用。
方差分析的步骤
1.建立假设 H0 ：1 = 2 = 3 =…. H1 ： 1 、 2 、 3 ….各总体均数不全相等
方差分析的概念
方差是描述变异的一种指标，方差分析也就是 对变异的分析。
对总变异进行分析。看总变异是由哪些 部分组成的，这些部分间的关系如何。
列举存在的变异及意义
1、全部的19个实验数据之间大小不等， 存在变异（总变异）。
2、各个组间存在变异：反映处理因素之 间的作用，以及随机误差。
3、各个组内个体间数据不同：反映了观 察值的随机误差。
二）多选题（选一个或多个正确答案；共5题）
计算统计量F
F=MS组间/MS组内 公式是在H0成立的条件下进行的，即MS组间与 MS组内差别应该很小， F值应该接近于1。那么 要接近到什么程度呢？（Fisher计算出了F的分 布规律，即标准的F値） 通过这个公式计算出统计量F，查表求出对应的 P值，以确定是否为小概率事件。
数据 Id x1 x2 d 1 5 6 -1 2 76 1 3 88 0
……… 15 6 9 -3
成组双样本比较
统计假设: H0：μ1=μ2 vs H1：μ1≠μ2
公式:
假设条件: 1) 每组数据服从正态分布; 2) 两组数据的方差一致。
回忆
数据 Id A B 1 56 2 76 3 88
……… 15 6 9
组内变异
E 组内均方MS组内
方差分析是先将总变异分解，然后计算变异间的比值。若比值接近 1，认为处理因素无作用；若比值远大于1，且大于F界值 [F0.05(1,2)]时，认为处理因素有作用。
方差分析的步骤
1.建立假设 H0 ：1 = 2 = 3 =…. H1 ： 1 、 2 、 3 ….各总体均数不全相等
方差分析的概念
方差是描述变异的一种指标，方差分析也就是 对变异的分析。
对总变异进行分析。看总变异是由哪些 部分组成的，这些部分间的关系如何。
列举存在的变异及意义
1、全部的19个实验数据之间大小不等， 存在变异（总变异）。
2、各个组间存在变异：反映处理因素之 间的作用，以及随机误差。
3、各个组内个体间数据不同：反映了观 察值的随机误差。
二）多选题（选一个或多个正确答案；共5题）
方差分析
F
MSBetween MSWithin
~ F(1 , 2 )
F分布
方差分析的最终统计推断和假设检验均依靠F分 布，所以适当了解一下F分布的特点十分有益。
F分布是英国统计学 家Fisher和Snedecor(斯内德 克 )提出的。
为了表示对Fisher的尊重， Snedecor将其命名为F分布。
进行一次假设检验，犯第一类错误的概率：
进行多次(k)假设检验，犯第一类错误的概率：
1－(1－)k
组数为3, k=3, 1－(1－0.05)k=0.1426 组数为4, k=6, 1－(1－0.05)k=0.2649 组数为5, k=10, 1－(1－0.05)k=0.4013 组数为6, k=15, 1－(1－0.05)k=0.5400
方差分析
方差分析，又称变异数分析。 Analysis of Variance，简写为ANOVA。 由英国统计学家R.A.Fisher提出。 方差分析的起源。 F检验。
Sir Ronald Aylmer Fisher
Fisher于Rothamste研究作物产量 时，完善了方差分析的思想
F 3.98
F(2,57)的F分布及界值
1
.8
.6
.4
.2
0.05
0
0
1
2
3
4
5
3.1588
完全随机设计资料的方差分析
1. H0: 1=2=3 ,即三总体均数相等； H1: 1, 2, 3 不等或不全相等。
＝0.05。 2. 计算检验统计量: F=3.98 >3.1588(界值) 3. 对应的概率: P=0.0241(p<0.05) 4. 结论: 在＝0.05水准，拒绝H0，接受H1，
anova方差分析
anova方差分析ANOVA（Analysis of Variance，方差分析）是一种统计分析方法，用于比较两个或两个以上样本的均值是否具有显著差异。
它通过计算总体方差以及各组内部的方差，来推断样本之间的差异是否随机发生。
一、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过对总体方差进行分解，将样本之间的差异归结为因子差异和误差差异两个部分。
当因子差异显著大于误差差异时，我们可以得出结论：样本之间存在显著差异，即各组均值不全相等。
在方差分析中，我们通常将因子称为自变量，将被观察的变量称为因变量。
自变量可以是分类变量（如不同的药物治疗方法）或连续变量（如不同的剂量水平）。
因变量可以是定量变量（如收缩压）或定性变量（如治疗成功与否）。
二、单因素方差分析单因素方差分析是最简单的一种方差分析形式，适用于只有一个自变量的情况。
假设我们有k个独立的样本，每个样本包含n个观测值。
我们的目标是判断不同样本之间的均值是否存在显著差异。
为了进行单因素方差分析，我们需要计算各组样本的均值和方差。
然后，我们通过计算组间差异（组间方差）和组内差异（组内方差）来评估总体方差。
在显著性检验中，我们会计算F值，通过与临界F值进行比较来判断差异是否显著。
三、多因素方差分析在实际应用中，我们往往需要考虑多个自变量对因变量的影响。
这时，我们就需要使用多因素方差分析。
多因素方差分析可以同时考虑多个自变量之间的交互作用，得出更准确的结论。
多因素方差分析的计算方法与单因素方差分析类似，只是要考虑到不同自变量之间的交互作用。
我们需要计算各组样本的均值和方差，并通过计算组间差异和组内差异来评估总体方差。
最后，我们计算F值并与临界F值进行比较，判断差异是否显著。
四、方差分析的应用领域方差分析在各个领域都有广泛的应用。
在医学研究中，方差分析用于比较不同药物或治疗方法的疗效；在社会科学中，方差分析用于比较不同人群之间的行为差异；在工程领域中，方差分析用于比较不同工艺参数对产品质量的影响等等。
方差分析(ANOVA)简介
方差分析(ANOVA)简介方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是统计学中用来比较三个或三个以上总体均值是否相等的一种方法。
它以F检验为基础，通过比较组间差异与组内差异的大小，来确定总体均值是否存在差异。
ANOVA广泛应用于实验设计和数据分析领域，为研究人员提供了一种有效的比较多个总体均值的工具。
方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较不同来源的变异来确定总体均值是否相等。
它将总体的变异分解为组间变异和组内变异，然后通过F 检验来判断组间变异是否显著大于组内变异。
如果组间变异显著大于组内变异，就可以得出结论，总体均值存在显著差异。
单因素方差分析单因素方差分析是指在一个自变量（因素）下进行的方差分析。
例如，研究不同药物对某种疾病的疗效，药物的种类即为自变量，而观测结果（比如患者的症状改善程度）即为因变量。
通过单因素方差分析，可以确定不同药物对症状改善程度是否存在显著影响。
双因素方差分析双因素方差分析是指在两个自变量（因素）下进行的方差分析。
例如，研究不同药物在不同剂量下对某种疾病的疗效，药物的种类和剂量即为自变量，观测结果为因变量。
通过双因素方差分析，可以确定药物种类和剂量对症状改善程度的影响是否存在交互作用。
方差分析的假设条件进行方差分析时，需要满足一些基本的假设条件，包括观测值的正态性、各组方差的齐性和独立性等。
如果这些假设条件不满足，可能会影响到方差分析结果的准确性。
方差分析的应用领域方差分析广泛应用于医学、经济学、生态学等多个领域。
在医学领域，方差分析常用于评价不同药物治疗效果的显著性；在经济学领域，方差分析常用于进行市场调查和产品定价；在生态学领域，方差分析常用于研究环境因素对生物群落的影响。
总结方差分析作为一种常用的统计方法，能够有效比较多个总体均值的差异性，适用于单因素和双因素的不同研究设计。
它的应用领域广泛，为研究人员提供了一种有效的数据分析工具。
第九章 方差分析506312261
第九章 方差分析第一节 方差分析的基本原理及步骤一、方差分析的基本原理假设从一个实验中抽取了9名被试的学习成绩，如表9-1所示。
随后又抽取了9名被试的学习成绩，如表9-2所示。
你能从这些数据发现什么问题吗？首先，从数据可知，不仅组与组之间存在不同，而且同一组内部也存在着不同。
前者称组间变异，后者称组内变异。
其次，从组间变异看，表9-1组间变异大于表9-2。
表9-1 第1次抽取结果表9-2 第2次抽取结果 方法 学生实验成绩 Xt X方法 学生实验成绩 Xt XA 6 5 7 6A 1 7 4 4B 11 9 10 10 7B 6 2 8 6 5C5465C3655再次，从看组内变异看，表9-1比 9-2差异小。
综上所述，表10-1组间变异较大而组内变异较小，表10-2组间变异较小而组内变异较大，组间变异大小与组内变异大小并非正比关系。
这表明，若组间变异与组内变异的比率越大，各组平均数的差异越大。
因此，通过组间变异和组内变异比率大小来推论几个相应平均数差异显著性的思想就是方差分析的逻辑依据或基本原理。
所以说，方差分析是将实验中的总变异分解为组间变异和组内变异，并通过组间变异和组内变异比率的比较来确定影响实验结果因素的数学方法，其实质是以方差来表示变异的程度。
总变异组间变异实验条件随机误差组内变异个体差异随机误差实验误差图10-1 总变异的分解图二、方差分析的基本过程（一）综合虚无假设与部分虚无假设方差分析主要处理多于两个的平均数之间的差异检验问题，需要检验的虚无假设就是“任何一对平均数”之间是否有显著性差异。
综合虚无假设：样本所归属的所有总体的平均数都相等 备择假设：至少有两个总体的平均数不相等（二）方差的可分解性总变异 = 组间变异 + 组内变异变异（V ariance ，用V 表示）即方差（S 2），又称均方差或均方（M ean S quare ，MS ），其公式为()df SS n X X MS V S =--=∑1),(22或或其中，分子为离均差平方和，简称平方和，记为SS ；分母为自由度，记为df ，所以总变异及各变异源记为w b t MS MS MS +=总变异的数学意义是每一原始分数（X ）与总平均数（t X ）的离差，记为()tX X -组间变异的数学意义是每一组的平均数（i X ）与总平均数的离差，记为()t iX X-组内变异的数学意义是每一组内部的原始分数与其组平均数（i X ）的离差，记为()iX X -（二）总变异的分解及各部分的计算 1．平方和的分解与计算 1）平方和的定义式根据变异的可加性，任何一个原始分数都有()()()i t itX X X XX X -+-=-对容量为n 的某一小组而言，则有()()()[]∑∑-+-=-i t it X X X XX X为了使平方和不为0，须做代数的处理，即有()()()[]22∑∑-+-=-i t itX X X XX X对k 组页言，则有()()()[]∑∑∑∑-+-=-22ititX X X X X X()()()()∑∑∑∑∑∑-+--+-=222iititiX X X X X X X X ∵ ()()0=--∑∑i t iX X X X∴ ()∑∑-2tX X ()()∑∑∑∑-+-=22itiX X X X即 总平方和 = 组间平方和 + 组内平方和 或 w b t SS SS SS += 2）平方和的计算式()()nX XX X 222∑∑∑-=-总平方和：()()∑∑∑∑∑∑∑-=-=nX X X X SS t t 222组间平方和：()()()∑∑∑∑∑∑∑-=-=n X n X X X SS tib222组内平方和：()∑∑-=2i wX X SS ()∑∑-=2i w X X SS b tSS SS-=例9-1：要探讨噪音对解决数学问题的影响。
anova方差分析
anova方差分析ANOVA（方差分析）ANOVA（analysis of variance），即方差分析，是一种统计方法，用于比较三个或三个以上样本均值是否存在显著差异。
ANOVA分析可以帮助研究人员确定是否存在群组间差异，进而推断原因并做出相应的决策。
本文将介绍ANOVA的基本概念、原理和具体应用。
一、ANOVA的基本概念1. 方差方差是指一组数据离其均值的平均偏差平方之和除以观测次数的结果。
方差分析就是通过比较组间方差和组内方差的大小来判断样本均值是否存在显著差异。
如果组间方差显著大于组内方差，说明样本均值之间存在显著差异。
2. 方差分析的假设方差分析中有以下两个基本假设：- 原假设（H0）：样本的总体均值相等，即各组样本均值没有差异。
- 备择假设（H1）：样本的总体均值不全相等，至少有一组样本均值存在差异。
3. 方差分析的类型方差分析一般分为单因素方差分析和双因素方差分析：- 单因素方差分析（One-Way ANOVA）：用于比较一个自变量对一个因变量的影响。
- 双因素方差分析（Two-Way ANOVA）：用于比较两个自变量对一个因变量的影响，并考虑两个自变量之间的交互效应。
二、ANOVA的原理1. 总平方和（SST）总平方和是各个观测值与总体均值之差的平方和。
计算SST的目的是用来衡量数据的总体变异程度。
2. 组间平方和（SSB）组间平方和是各组均值与总体均值之差的平方和，它反映了不同组别之间的差异。
计算SSB的目的是用来衡量组间均值的变异程度。
3. 组内平方和（SSW）组内平方和是各个观测值与其所在组别均值之差的平方和，它反映了同一组别内的个体差异。
4. 方差比（MSB和MSW）方差比是组间平方和与组内平方和的比值，用以判断样本均值之间的差异是否显著。
5. F统计量F统计量是方差比的比例，计算公式为组间平方和除以组内平方和。
通过比较F统计量与临界值，可以判断均值之间是否存在显著差异。
方差分析
（1.2）
27 May 2020
方差分析
一、单因素方差分析的统计模型：
yij
诸 ij
i ij , j 1, 2,..., mi , i
相互独立，且都服从N
1,（21,..3.）., r,
(0, 2 )
总均值与效应的概念:
1）称诸 i 的平均
为总均值(或一般平均).
2）称第 ia水i=平i -下的为均A值i 的效i 与应总。均1n值ir1m的i 差i :
27 May 2020
方差分析
第26页
➢ 由于组间差异除了随机误差外，还反映了效应间 的差异，故由效应不同引起的数据差异可用组间
偏差平方和 SA r mi ( yi• y )2 表示，也称为 i 1
因子A的偏差平方和(或称为因子A的效应平方 和) ，其自由度为 fA=r1；
27 May 2020
27 May 2020
方差分析
第11页
本例中，我们要比较的是三种饲料对鸡的增肥作用是否相同。为 此，我们把饲料称为因素，记为A，而三种不同的配方称为因素A的三 个水平，记为A1, A2, A3，使用配方Ai下第 j 只鸡60天后的重量用yij表 示，i=1, 2, 3, j=1, 2,, 10。
我们的目的是比较三种饲料配方下鸡的平均重量是否相等，为此， 需要做一些基本假定，把所研究的问题归结为一个统计问题，然后用 方差分析的方法进行解决。
27 May 2020
方差分析
第15页
为对假设（1.1）进行检验，需要从每一水平下的
r
总体抽取样本，设n从 i第1 mi i个水平下的总体获得mi个试验结
果，记 yij 表示第i个总体的第j次重复试验结果。共得如
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第七章方差分析[本章提要]本章主要通过对试验结果进行分析，鉴别其各有关因素对试验结果影响的实例，介绍了单因素方差分析和双因素重复试验方差分析的基本方法与应用，最后简单讨论了双因素无重复试验的方差分析。
在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素往往是很多的。
例如，在化工生产中，有原料成分、原料剂量、催化剂、反应温度、压力、溶液浓度、反应时间、机器设备及操作人员水平等因素。
每一因素的改变都有可能影响产品的数量和质量，有的因素影响大些，有的小些。
为了使生产过程稳定，达到优质、高产、低消耗、高效益，就需要找出对产品质量影响显著的那些因素。
方差分析就是鉴别各因素效应的一种有效方法，它被广泛地应用于生产实践中。
在试验中，将要考察的指标称为试验指标。
影响试验指标的条件称为因素。
因素所处的状态，称为该因素的水平。
如果在一项试验中只有一个因素在改变称为单因素试验，如果多于一个因素在改变称为多因素试验。
相应的方差分析称为单因素试验的方差分析和多因素试验的方差分析。
在方差分析方面，Excel 2000提供的分析工具有：单因素方差分析、双因素重复试验方差分析和双因素不重复试验方差分析。
本章将通过实例，分别说明这三种方差分析的基本理论以及如何使用Excel 2000提供的方差分析工具来解决实际问题。
7.1 单因素方差分析例如，将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。
下表列出了5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。
现需要在显著性水平=0.05下检验这些百分比的均值有无显著的差异。
设各总体服从正态分布，且方差相同。
在这里，试验的指标是抗生素与血浆蛋白质结合的百分比，抗生素为因素，不同的5种抗生素就是这个因素的五个不同的水平。
假定除抗生素这一因素外，其余的一切条件都相同。
这就是单因素试验。
试验的目的是要考察这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著的差异。
即考察抗生素这一因素对这些百分比有无显著影响。
这就是一个典型的单因素试验的方差分析问题。
7.1.1 单因素方差分析的基本理论与通常的统计推断问题一样，方差分析的任务也是先根据实际情况提出原假设H0与备择假设H1，然后寻找适当的检验统计量进行假设检验。
本节将借用上面的实例来讨论单因素试验的方差分析问题。
1. 提出假设在上例中，因素A（即抗生素）有s（=5）个水平，在每一个水平（j=1，2，…，s）下进行了= 4次独立试验，得到如上表所示的结果。
这些结果是一个随机变量。
表中的数据可以看成来自s个不同总体（每个水平对应一个总体）的样本值，将各个总体的均值依次记为，则按题意需检验假设：：不全相等为了便于讨论，现在引入总平均其中再引入水平的效应显然有，表示水平下的总体平均值与总平均的差异。
利用这些记号，本例的假设就等价于假设：：不全为零因此，单因素方差分析的任务就是检验s个总体的均值是否相等，也就等价于检验各水平的效应是否都等于零。
2. 检验所需的统计量假设各总体服从正态分布，且方差相同，即假定各个水平（j=1，2，…，s）下的样本来自正态总体，与未知，且设不同水平下的样本之间相互独立，则单因素方差分析所需的检验统计量可以从总平方和的分解导出来。
下面先引入：水平下的样本平均值数据的总平均总平方和总平方和反映了全部试验数据之间的差异，因此又称为总变差。
将其分解为其中上述的各项表示了在水平下，样本观察值与样本均值的差异，这是由随机误差所引起的，因此叫做误差平方和。
的各项表示了在水平下的样本平均值与数据总平均的差异，这是由水平以及随机误差所引起的，因此叫做因素A的效应平方和。
可以证明与相互独立，且当：为真时，与分别服从自由度为的分布，即于是，当：为真时这就是单因素方差分析所需的服从F分布的检验统计量。
3. 假设检验的拒绝域通过上面的分析可得，在显著性水平下，本检验问题的拒绝域为为了方便分析比较，通常将上述分析结果编排成如下表所示的方差分析表。
表中的，分别称为的均方。
7.1.2 单因素方差分析的基本操作从上面的分析可以看出，如果用手工完成单因素试验方差分析，需要进行大量的计算。
借助于Excel 2000的单因素方差分析工具，可以方便地自动完成。
具体操作步骤如下：选择工具菜单中的数据分析命令，此时弹出数据分析对话框。
在分析工具列表框中，选方差分析：单因素方差分析工具。
这时将弹出方差分析：单因素方差分析对话框，如图7－1中间所示。
图7－1在输入框中指定输入参数。
在输入区域框中指定试验数据所在区域A1:E5；在分组方式中选定列单选钮；选中标志位于第一行复选框；在框内输入显著性水平0.05。
在输出选项框内指定输出选项。
本例选定输出区域，并键入输出区域左上角单元格地址A7。
单击确定按钮。
即可得到单因素方差分析的结果，如图7－2所示。
在图7－2给出的统计结果中，单元格区域A18:E23中的数据正好与表7－1所列出的单因素试验方差分析表中的各个统计量相对应，其中组间即为因素A，组内即为误差，总计即为总和，差异源即为方差来源，SS即为平方和，df即为自由度，MS即为均方，F即为F比，P-value为接受原假设的概率（此值越接近0，说明接受原假设的可能性就越小，反之亦然），F crit为拒绝域的临界值。
根据图7－2给出的方差分析结果知=40.885＞=3.055568，故在显著性水平0.05下拒绝原假设，认为各抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有显著的差异，即各抗生素对这些百分比有显著影响。
图7－27.2 双因素方差分析如果在一项试验中只有两个因素在改变，而其他因素保持不变，则称为双因素试验。
双因素试验的方差分析就是观察两个因素的不同水平对研究对象的影响是否有显著性的差异。
根据是否考虑两个因素的交互作用，又将双因素方差分析分为双因素重复试验的方差分析和双因素不重复试验的方差分析。
7.2.1 重复试验的方差分析例如，在生产某种金属材料时，使用了四种原料、三种热处理温度。
对于每种原料与每种热处理温度的组合各生产两次，产品强度的测定结果如图7－3所示。
问原料、处理温度以及这两者的交互作用对产品强度是否有显著的影响（取显著性水平=0.05）？图7－3在这里，试验的指标是产品强度，原料和处理温度是因素，它们分别有4个、3个水平，这是一个双因素的试验。
试验的目的是要考察在各种因素的各个水平下产品强度有无显著的差异。
即考察原料和处理温度这两个因素对产品强度有无显著影响。
这就是一个双因素重复试验方差分析问题。
在这种方差分析中，除了考虑两个因素A、B各水平的效应之外，还要考虑A、B各水平的搭配作用即交互作用。
也就是说，本例既要考虑不同的原料、不同的处理温度是否对产品强度有显著影响，还要考虑原料和处理温度这两因素各方案的配合对产品强度是否有影响作用。
1. 基本理论在本例中，有两个因素A（即原料）、B（即处理温度）作用于试验的指标（即产品强度）。
行因素A有r（=4）个水平，列因素B有s (=3)个水平。
现对因素A、B的水平的每对组合()进行了t (=2，要求t≥2）次试验（称为等重复试验），共得到24（）个试验值，i = 1，2，…，r，j = 1，2，…，s，k = 1，2，…，t，如图7－3所示。
假设，且各相互独立，其中均为未知参数。
①提出假设与单因素方差分析类似，先引入水平的效应，水平的效应，以及水平与水平的交互效应（这是由，搭配起来联合作用而引起的），则双因素重复试验的方差分析问题就是检验假设：行因素A的检验（即检验因素A的每个水平的效应是否都等于零）：：至少有一个不为零列因素B的检验（即检验因素B的每个水平的效应是否都等于零）：：至少有一个不为零因素A、B交互作用I=A×B的检验（即检验因素A与因素B搭配的每对组合()的效应是否都等于零）：：至少有一个不为零②检验统计量与单因素方差分析类似，双因素方差分析所需的检验统计量也是从总平方和的分解导出来的。
下面先引入再引入总平方和总平方和反映了全部试验数据之间的差异，将其分解为其中误差平方和因素A的效应平方和因素B的效应平方和因素A、B的交互效应平方和可以证明，，，，分别服从自由度为，，，，的分布，且相互独立。
当：为真时，可以证明类似地，当，为真时这就是双因素方差分析所需的F检验统计量。
③假设检验的拒绝域在显著性水平下，假设检验的拒绝域分别为，拒绝因素A的原假设，拒绝因素B的原假设，拒绝因素A、B交互作用I的原假设将上述分析结果汇总成如下表所示的方差分析表。
2. 基本操作下面利用Excel 2000提供的方差分析：可重复双因素分析工具求解本例。
具体操作步骤如下：选择工具菜单中的数据分析命令，此时弹出数据分析对话框。
在分析工具列表框中，选方差分析：可重复双因素分析工具。
这时弹出方差分析：可重复的双因素分析对话框，如图7－4所示。
图7－4在输入框中指定输入参数。
在输入区域框中指定试验数据所在区域A1:D9(通常为了使输出结果容易阅读理解，在原始数据区域中应包含标识行和列的标记信息)；在每一样本的行数中键入2（因本例的每种原料有两行数据，即对因素A、B的水平的每对组合进行了t=2次试验）；在框内输入显著性水平为0.05。
在输出选项框内指定输出选项。
本例选定输出区域，并键入输出区域左上角单元格地址A11。
单击确定按钮。
所得本例的方差分析结果如图7－5所示。
图7－5在图7－5给出的统计结果中，单元格区域A46:E52中的数据正好与表7－2所示的双因素重复试验方差分析表中的各个统计量相对应，其中样本即为行因素A，列即为列因素B，交互即为因素A与B的交互作用，内部即为误差，总计即为总和，差异源即为方差来源，SS即为平方和，df即为自由度，MS即为均方，F即为F比，P-value为接受原假设的概率，F crit为拒绝域的临界值。
根据图7－5给出的方差分析结果可知：原料因素=4.4174＞=3.4903，拒绝原假设温度因素=9.3939＞=3.8853，拒绝原假设两因素的交互作用=14.9288＞=2.9961，拒绝原假设因此，可以得出这样的结论：在显著性水平0.05下，原料和处理温度这两个因素对产品强度的影响都是显著的，且=14.9288远大于=2.9961，故两者的交互作用效应是高度显著的。
再比较图7－6中的求和或平均项可以看出，与或与的搭配都使得产品强度较之其他水平的搭配要高得多。
所以在实际中可以选最优的搭配方案与或与来生产这种金属材料。
再如，某林场对果树采用了不同的剪枝方案和施肥方案进行试验（如图7－7所示），观察剪枝和施肥对果树的产量是否有显著影响？两者的交互作用是否显著？在这里，试验的指标是果树产量，剪枝和施肥是因素，它们分别有3个、4个水平，这也是一个双因素的试验。