【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：4-4]

课时作业(四)温馨提示对应课时作业7页(时间：30分钟满分：100分)一、选择题1．(2010·厦门质检)下列元素中核糖与核酸都含有的元素是()A．N B．OC．P D．S解析：核糖和核酸共有的化学元素是C、H、O。

答案：B2．(2010·南京调研)下列物质在元素组成上最相似的一组是()A．ATP、DNA、RNAB．生长素、生长激素、性激素C．核糖、核糖核苷酸、核糖核酸D．淀粉、淀粉酶、控制淀粉酶合成的基因解析：ATP、DNA和RNA中都含有C、H、O、N、P五种元素。

答案：A3．(2010·潍坊质检)下列关于细胞内物质的描述，正确的是()A．不同生物细胞内各种分子的结构和功能都存在差异B．转运RNA不是生物大分子，因为它只由3个碱基组成C．生物体内参与信息传递的物质都是蛋白质D．同一个体内不同的组织细胞中，DNA一般相同，RNA有差异解析：同一个体的不同细胞是由同一受精卵分化产生的，其遗传组成(DNA)相同，只是转录出的mRNA有差异。

答案：D4．(2010·苏州模拟)分析下表某种大肠杆菌细胞的分子组成，能够做出的推论是()B．蛋白质是细胞中含量最多的化合物C．1种DNA转录出1种RNAD．1种DNA分子可控制多种蛋白质的合成答案：D5．(2010·徐州模拟)美国国家航空航天局的研究人员通过研究“卡西尼”号传回的图片和数据发现，土星的卫星表面坑洼多孔，犹如海绵一般，并且含有碳氢化合物。

这一发现预示着银河系中广泛存在着生命所需的化学物质。

细胞中含有C、H、N、O、P的物质可能是()A．主要能源物质B．储备能源物质C．含量最多的化合物D．直接能源物质解析：活细胞中含量最多的化合物是水；主要能源物质是糖类；储备能源物质是脂肪；直接能源物质是A TP(含有C、H、N、O、P)。

答案：D6．(2010·巢湖模拟)某生物体内发生如下的反应：淀粉→麦芽糖→葡萄糖→糖原，则下列说法不正确的是()A．此生物一定是动物，因为能合成糖原B．淀粉和糖原都属于多糖，都是储能物质C．此生物一定是动物，因为能利用葡萄糖D．淀粉→麦芽糖→葡萄糖发生于消化道内，葡萄糖→糖原可发生于肝脏内解析：糖原是动物特有的多糖，由此可确定该生物为动物。

课时作业(二十二)一、选择题1．(2013·天津十二区县联考(一))在钝角△ABC中，已知AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积是()A.32 B.34 C.32 D.34解析：由正弦定理得ACsin B＝ABsin C即112＝3sin C，sin C＝32.则C＝60°或120°，C＝60°时，△ABC为直角三角形(舍去)；C＝120°时，A＝30°所以S＝12×1×3×sin 30°＝34.答案：B2．(2013·辽宁五校第二次模拟)在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C的对边，设A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝() A．45°或135°B．135°C．45°D．以上都不对解析：由正弦定理可得：43sin A＝bsin B⇒sin B＝22，又∵a>b，∴∠A>∠B，故∠B＝45°，所以选C.答案：C3．(2013·泰安市高三复习质检)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为()A. 3 B．3 C.7 D．7解析：S△ABC＝12AB·AC·sin A＝12×2×AC×32＝32，∴AC＝1，由余弦定理得BC＝3，选A.答案：A4．(2013·天津五区县质量调研(一))设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，b ＝3，cos C ＝14，则sin A ＝( )A.154B.158C.64D.68解析：由余弦定理得c ＝10，由cos C ＝14得sin C ＝154，所以由正弦定理得出sin A ＝64，选C.答案：C5．(2013·重庆市六区高三调研抽测)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若C ＝2(A ＋B )，则下列正确的是( )A ．c 2<3abB ．c 2>3abC ．c 2≤3abD ．c 2≥3ab解析：由C ＝2(A ＋B )＝2(π－C )，得C ＝2π3，由余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，故c 2≥3ab .答案：D6．(2013·山东卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．1解析：由已知及正弦定理得1sin A ＝3sin B ＝3sin 2A ＝32sin A cos A ，所以cos A ＝32，A ＝30°.结合余弦定理得12＝(3)2＋c 2－2c ×3×32，整理得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，A ＝C ＝30°，B ＝2A ＝60°，不满足内角和定理，故c ＝2.答案：B 二、填空题7．(2013·北京昌平期末)在△ABC 中，若b ＝3，c ＝1，cos A ＝13，则a ＝________.解析：由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9＋1－2×3×1×13＝8，故a ＝2 2.答案：2 28．(2013·山东泰安第二次模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin B ＝2sin C ，a 2－b 2＝32bc ，则角A 等于________．解析：由sin B ＝2sin C 得：b ＝2c ，又a 2－b 2＝322c ×c ＝3c 2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－2c 24c 2＝－12，∴A ＝2π3.答案：23π9．(2013·河南洛阳高三统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，且b 2＝3ac ，则角A 的大小为________．解析：依题意得，2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B >0，则cos B ＝12，B ＝π3，sin B ＝32，又3sin A sin C ＝sin 2B ＝34，∴4sin A sin C ＝1，即2[cos(A －C )－cos(A ＋C )]＝1,2[cos(A －C )＋cos B ]＝1，∴cos(A －C )＝0.又－π<A －C <π，∴A －C ＝±π2；又A ＋C ＝2π3，∴A ＝π12或A ＝7π12.答案：π12或7π12 三、解答题10．(2014·河北沧州高三质量监测)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－ 3. (1)求角B 的大小；(2)若BA →·BC→＝4，a ＝2c ，求b 的值． 解：(1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－3，得tan B ＋31－3tan B ＝－3，∴tan B ＝3，∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)由BA →·BC →＝4，得ac cos π3＝4，即ac ＝8， ∵a ＝2c ，∴a ＝4，c ＝2.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝12，∴b ＝2 3.11．(2013·江西卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)若C ＝2π3，求ab 的值．解：(1)证明：由已知得sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B ， 因为sin B ≠0，所以sin A ＋sin C ＝2sin B ，由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列．(2)由C ＝2π3，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a )2＝a 2＋b 2＋ab ，即有5ab －3b 2＝0，所以a b ＝35.12．(2014·河北名校名师俱乐部二调)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A2－cos 2A 2＝58.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，cos B ＝35，求b 的值．解：(1)由cos 2A 2－cos 2A 2＝58，得1＋cos A 2－cos 2A 2＝58，得(2cos A －1)2＝0，即cos A ＝12，因为0<A <π，所以A ＝60°. (2)由cos B ＝35，得sin B ＝45， 由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得b ＝a sin B sin A ＝3×4532＝85.[热点预测]13．(2013·海淀区期末)已知函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－12，△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若f (B ＋C )＝1，a ＝3，b ＝1，求角C 的大小．解：(1)因为f (x )＝3sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－12 ＝32sin x ＋cos x ＋12－12 ＝32sin x ＋12cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6又y ＝sin x 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2，(k ∈Z )所以令2k π－π2<x ＋π6<2k π＋π2 解得2k π－2π3<x <2k π＋π3所以函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ－2π3，2kπ＋π3，(k ∈Z ) (2)因为f (B ＋C )＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋C ＋π6＝1，又B ＋C ∈(0，π)，B ＋C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6所以B ＋C ＋π6＝π2，B ＋C ＝π3，所以A ＝2π3 由正弦定理sin B b ＝sin Aa把a ＝3，b ＝1代入，得到sin B ＝12 又b <a ，B <A ，所以B ＝π6，所以C ＝π6.。

课时作业(四十四)温馨提示对应课时作业87页(时间：30分钟满分：100分)一、选择题1．(2010·广州3月)科学家将人体皮肤细胞改造成了多能干细胞——“iPS细胞”，人类“iPS细胞”可以形成神经元等人体多种组织细胞。

以下有关“iPS细胞”的说法，正确的是()A．iPS细胞分化为神经细胞的过程体现了细胞的全能性B．iPS细胞有细胞周期，它分化形成的神经细胞一般不具有细胞周期C．iPS细胞可分化形成多种组织细胞，说明“iPS细胞”在分裂时很容易发生突变D．iPS细胞分化成人体多种组织细胞，是因为它具有不同于其他细胞的特定基因解析：“iPS细胞”是一种多能干细胞，而多能干细胞既能分裂又能进行细胞分化。

细胞的全能性应该体现在由该细胞形成新个体的过程中。

高度分化的细胞如神经细胞等是不能再进行细胞分裂的，不能进行分裂的细胞是不具有细胞周期的。

细胞分化是基因选择性表达的结果，而多细胞生物的各个体细胞由于源自一个受精卵，具有相同的遗传信息。

答案：B2．(2010·南京二模)下列说法错误的是()A．植物组织培养基中生长素和细胞分裂素的不同配比会影响组织分化B．动物细胞培养液中添加的抗生素需进行种类和数量的选择，以抑制细菌生长C．胚胎干细胞培养中需通入氧气和二氧化碳，二氧化碳的主要作用是维持培养液的pH D．早期胚胎的培养液与动物细胞培养的培养液成分不同之处是不含动物血清解析：早期胚胎的培养液与动物细胞培养的培养液都合有动物血清。

答案：D3．科学家运用胚胎移植技术培育试管牛时，首先用激素促进良种母牛多排卵，然后进行体外受精和培育，最后把胚胎送入母牛子宫内，孕育成小牛产生。

下列分析错误的是() A．供体与受体在胚胎移植前后的生理环境须保持一致B．胚胎移植前可采用胚胎分割技术实现快速繁殖良种牛C．运用胚胎移植技术培育的试管牛属于动物克隆范畴D．须配制不同成分的培养液以培养不同发育时期的胚胎解析：克隆动物运用了核移植技术。

质量检测(四)测试内容：立体几何 时间：90分钟 分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．(2013·烟台诊断)一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A.13B.12C.23D.16解析：V ＝13Sh ＝13×12×2×1×1＝13. 答案：A2．已知水平放置的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′(斜二测画法)是边长为2a 的正三角形，则原△ABC 的面积为( )A.2a 2B.32a 2 C.62a 2D.6a 2解析：斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶24，则易知24S ＝34(2a )2，∴S ＝6a 2.故选D.答案：D3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AA 1，AB 的中点，则EF 与对角面BDD 1B 1所成角的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．150°解析：如图，∵EF ∥A 1B ，∴EF ，A 1B 与对角面BDD 1B 1所成的角相等，设正方体的棱长为1，则A 1B ＝ 2.连接A 1C 1，交D 1B 1于点M ，连接BM ，则有A 1M ⊥面BDD 1B 1，∠A 1BM 为A 1B 与面BDD 1B 1所成的角．Rt △A 1BM 中，A 1B ＝2，A 1M ＝22，故∠A 1BM ＝30°.∴EF 与对角面BDD 1B 1所成角的度数是30°.答案：A4．(2013·山东卷)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83 C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83.答案：B5．(2013·宁波市高三“十校”联考)若有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α解析：α⊥β，m ⊥β，则m ∥α或m ⊂α，又∵m ⊄α，∴m ∥α，选D.答案：D6．(2013·保定第一次模拟)三棱锥V －ABC 的底面ABC 为正三角形，侧面VAC 垂直于底面，VA ＝VC ，已知其正视图(VAC )的面积为23，则其左视图的面积为( )A.32B.36C.34D.33解析：利用三棱锥及三视图的特征，可设底面边长为a ，高为h ，则12ah ＝23，∴ah ＝43，故其左视图的面积为S ＝12·32a ·h ＝32，故选D.答案：D7．(2013·南平质检)如图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积等于( )A ．16＋2πB ．24πC ．16＋4πD ．12π解析：由三视图知，几何体是半个圆柱，而圆柱下底面圆的半径为2，其轴截面为边长为4的正方形，故表面积为4×4＋2π·4＋2·2π＝16＋12π.答案：A8．(2013·荆州质检(Ⅱ))在半径为R 的球内有一内接圆柱，设该圆柱底面半径为r ，当圆柱的侧面积最大时，rR 为( )A.14B.12C.22D.32解析：圆柱的底面半径为r ，则有h ＝2R 2－r 2，侧面积S ＝2πr ·h ＝4πr R 2－r 2＝4πr 2(R 2－r 2)≤4π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2＋R 2－r 222＝2πR 2，当且仅当r 2＝R 2－r 2即r R ＝22时，圆柱的侧面积取得最大值，所以选C.答案：C9．(2013·山东潍坊模拟)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；④若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β.其中正确的命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④D ．②④解析：由面面平行、垂直的定义可知②③正确，故选B. 答案：B10．(2013·东北三校第二次联考)三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC .若球O 与三棱柱ABC －A 1B 1C 1各侧面、底面均相切，则侧棱AA 1的长为( )A.12B.32 C ．1D. 3解析：此三棱柱为正三棱柱，球O 与三个侧面均相切，其俯视图如图所示．其半径为R ，R ＝BD ·13＝12.球O 的半径为12，若球O 与上、下底面均相切，则AA 1＝2R ＝1，故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2013·乌鲁木齐第一次诊断)如图，单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在平面A 1BC 1上，则三棱锥P －ACD 1的体积为________．解析：由图易知，平面A 1BC 1∥平面ACD 1，∴P 到平面ACD 1的距离等于平面A 1BC 1与平面ACD 1间的距离，等于13B 1D ＝33，而S △ACD 1＝12AD 1·CD 1sin 60°＝32，∴三棱锥P －ACD 1的体积为13×32×33＝16. 答案：1612．(2013·汕头质量测评(二))如图，某简单几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为1的正方形，且其体积为π4，则该几何体的俯视图可以是________．解析：该几何体是高为1的柱体，由体积为π4，知底面积为π4，所以填D.答案：D13．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析：过O 作底面ABCD 的垂线段OE ，则E 为正方形ABCD 的中心．由题意可知13×(3)2×OE ＝322，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2＝6，则球的表面积S ＝4πR 2＝24π.答案：24π14．(2013·北京卷)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上．点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．解析：点P 到直线CC 1的距离等于点P 在平面ABCD 上的射影到点C 的距离，设点P 在平面ABCD 上的射影为P ′，显然点P 到直线CC 1的距离的最小值为P ′C 的长度的最小值．当P ′C ⊥DE 时，P ′C 的长度最小，此时P ′C ＝2×122＋1＝255.答案：255三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(满分12分)(2013·重庆卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝23，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积．解：(1)证明：因为BC ＝CD ，所以△BCD 为等腰三角形， 又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC .因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD .从而BD 与平面P AC 内两条相交直线P A ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面P AC .(2)三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.由P A ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·P A ＝13×3×23＝2.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18P A ，故 V F －BCD ＝13·S △BCD ·18P A ＝13×3×18×23＝14， 所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74.16．(满分12分)(2013·辽宁卷)如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC . 证明：(1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ， 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC .(2)连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC的中点．由Q为P A的中点，得QM∥PC，又O为AB的中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.17．(满分13分)(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．解：(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝3，又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA21，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.18．(满分13分)(2013·四川卷)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1－QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)解：(1)证明：如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC .由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD .因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交， 所以直线l ⊥平面ADD 1A 1.(2)过D 作DE ⊥AC 于E .因为AA 1⊥平面ABC ，所以DE ⊥AA 1.又因为AC ，AA 1在平面AA 1C 1C 内，且AC 与AA 1相交， 所以DE ⊥平面AA 1C 1C .由AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，有AD ＝1，∠DAC ＝60°，所以在△ACD 中，DE ＝32AD ＝32，又S △A 1QC 1＝12A 1C 1·AA 1＝1，所以V A 1－QC 1D ＝V D －A 1QC 1＝13DE ·S △A 1QC 1＝13×32×1＝36.因此三棱锥A 1－QC 1D 的体积是36.。

课时作业(三十)一、选择题1．(2013·湖北武汉调研测试)公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1 B．2 C．4 D．8解析：∵公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，a3a11＝16，∴a27＝16，a7＝4，∴22·a5＝4，则a5＝1，选A.答案：A2．(2013·郑州第二次质量预测)在数列{a n}中，a n＋1＝ca n(c为非零常数)，前n项和为S n＝3n＋k，则实数k为()A．－1 B．0 C．1 D．2解析：由a n＋1＝ca n知数列{a n}为等比数列，公比为c，等比数列的前n项和为S n＝a11－c－a11－c·c n＝3n＋k，∴k＝－1，选A.答案：A3．(2013·海淀第二学期期末练习)已知数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1·a3＝4，a4＝8，则a1＋q的值为()A．3 B．2 C．3或－2 D．3或－3解析：由{a n}为等比数列，a1·a3＝a21q2＝4，a1q3＝8得q4＝16，q ＝±2，当q＝2时，a1＝1，此时a1＋q＝3；当q＝－2时，a1＝－1，此时a1＋q＝－3，故选D.答案：D4．(2013·福州质检)已知等比数列{a n}的公比q＝2，且2a4，a6,48成等差数列，则{a n}的前8项和为()A．127 B．255 C．511 D．1 023解析：由已知q ＝2,2a 6＝2a 4＋48可得a 1＝1，S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝255，故选B.答案：B5．(2013·宁波市高三“十校”联考)若方程x 2－5x ＋m ＝0与x 2－10x ＋n ＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m ∶n 值为( )A.14B.12 C ．2 D ．4解析：不妨设方程x 2－5x ＋m ＝0的两根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝m ，方程x 2－10x ＋n ＝0的两根为x 3，x 4，则x 3＋x 4＝10，x 3·x 4＝n ，且此数列公比为q ，|q |>1，此数列为x 1，x 3，x 2，x 4，则x 1＝1，x 2＝4，x 3＝2，x 4＝8，此时m ＝4，n ＝16，∴m ∶n ＝14.答案：A6．(2013·黄冈模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2＋b n x ＋2n 的两个零点，且a 1＝1，则b 10＝( )A ．－64B ．－32C ．－48D ．64解析：由已知a n ，a n ＋1为f (x )＝x 2＋b n x ＋2n 的两个零点，易得a n＋a n ＋1＝－b n ①，a n ·a n ＋1＝2n ②，由②得a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1 ③，则③②＝a n ＋2a n ＝2，故{a n }为隔项成等比数列，a 1＝1，a 11＝a 1·25＝32，a 10＝a 2·24＝25＝32，故b 10＝－(a 10＋a 11)＝－64.答案：A 二、填空题7．(2013·茂名市第一次模拟)已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 3·a 9＝2a 25，则q ＝________.解析：由等比数列性质知a 3·a 9＝a 26＝2a 25，∴q 2＝a 26a 25＝2，∵q >0，∴q ＝ 2.答案： 28．(2013·北京东城综合练习(二))各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝2，S 4＝5S 2，则a 1的值为________，S 4的值为________．解析：由a 3＝2，S 4＝5S 2可得q ≠1，a 1(1－q 4)1－q ＝5·a 1(1－q 2)1－q ⇒q＝2，故a 1＝12；S 4＝12(1－24)1－2＝152.答案：12 1529．(2013·北京东城综合练习(二))在数列{a n }中，若对任意的n ∈N *，都有a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝t (t 为常数)，则称数列{a n }为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列； ②若数列{a n }满足a n ＝2n －1n 2，则数列{a n }是比等差数列，且比公差t ＝12；③若数列{c n }满足c 1＝1，c 2＝1，c n ＝c n －1＋c n －2(n ≥3)，则该数列不是比等差数列；④若{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，则数列{a n b n }是比等差数列．其中所有真命题的序号是________．解析：由所给条件易知若{a n }为等比数列，则a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝q －q＝0，满足题意，而等差数列只有非零的常数列才满足题意，故①正确；对于②，将a n ＝2n －1n 2代入a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n 后其差值非常数，故②错；对于③，由已知c 1＝1，c 2＝1，c 3＝2，c 4＝3，则a 4a 3－a 3a 2＝－12，而a 3a 2－a 2a1＝1，故{c n }不是，则③正确；由上述可知在{a n }等差，{b n }等比时，{a n ·b n }不是比等差数列．综上所述，可知①③为真命题．答案：①③ 三、解答题10．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项； (2)求数列{2a n }的前n 项和S n . 解：(1)由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d1＋2d ，解得d ＝1，d ＝0(舍去)，故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知2a n ＝2n ，由等比数列前n 项和公式得S n ＝2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n)1－2＝2n ＋1－2.11．(2013·乌鲁木齐第一次诊断)已知数列{a n }、{b n }分别是首项均为2，各项均为正数的等比数列和等差数列，且b 2＝4a 2，a 2b 3＝6.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)求使ab n <0.001成立的最小的n 值．解：(1)设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＋d ＝4×2q (2＋2d )·2q ＝6， 解得⎩⎨⎧d ＝2q ＝12，或⎩⎨⎧d ＝－5q ＝－38(舍)，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，b n ＝2n .(2)由(1)得ab n ＝a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －2，∵ab n <0.001，即⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －2<0.001，∴22n －2>1 000，∴2n －2≥10，即n ≥6，∴最小的n 值为6. 12．(2012·陕西卷)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12. (1)若a 3＝14，求数列{a n }的前n 项和；(2)证明：对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列． 解：(1)由a 3＝a 1q 2＝14及q ＝－12，得a 1＝1，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －13. (2)证明：对任意k ∈N ＋，2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝2a 1q k ＋1－(a 1q k －1＋a 1q k ) ＝a 1q k －1(2q 2－q －1)，由q ＝－12得2q 2－q －1＝0，故2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝0. 所以，对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列． [热点预测]13.(1)(2013·湖北七市联考)如图，一单位正方体形积木，平放于桌面上，并且在其上方位置若干个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，如果所有正方体暴露在外面部分的面积之和超过8.8，则正方体的个数至少是( )A ．6B ．7C ．8D ．10(2)(2013·河南十所名校第三次联考)设数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，记数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .若a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，则a 7＋a 5b 7＋b 5＝________.解析：(1)由题意第一个正方体露在外面的面积为4.5，第二个为2.25，第三个为1.125，……，可知此构成首项为4.5，公比q ＝12的等比数列，所以S n ＝4.5⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12>8.8，化简得12n <145，易得n 的最小值为6，故选A.(2)由S 7－S 5＝4(T 6－T 4)可得a 6＋a 7＝4(a 5＋a 6)⇒6a 1＋25d ＝0⇒a 1＝－256d ；q ＝b 6b 5＝a 6a 5＝5，由a 5＝b 5得b 1＝－d6·54，代入a 7＋a 5b 7＋b 5化简得－513.答案：(1)A(2)－5 13。

课时作业(七)一、选择题1．(2013·重庆九校联考)下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )A ．①y ＝x 13 ，②y ＝x 2，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x12 ，④y ＝x －1 C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x12 ，④y ＝x －1 D ．①y ＝x 13 ，②y ＝x 12 ，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：由①图可知此函数为奇函数，且单调递增，结合选项对应的函数应为y ＝x 3，由②图可知，此函数为偶函数且过原点，结合选项对应的函数为y ＝x 2，由③图知，函数的定义域为[0，＋∞)，单调递增，由④图知，为奇函数，定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，所以选B.答案：B2．(2013·增城市调研测试)已知函数f (x )＝x －2，则( )A ．f (x )为偶函数且在(0，＋∞)上单调增B ．f (x )为奇函数且在(0，＋∞)上单调增C ．f (x )为偶函数且在(0，＋∞)上单调减D ．f (x )为奇函数且在(0，＋∞)上单调减解析：∵f (－x )＝(－x )－2＝x －2＝f (x )且定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f (x )为偶函数，又f ′(x )＝－2x －3，当x ∈(0，＋∞)时f ′(x )<0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故选C.答案：C3．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( )A ．f (－3)<c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<c <f (－3) C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)<c D ．c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3) 解析：由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (2)＝f (0)＝c . 答案：D4．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0, f ′(x )＝2a (x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1.所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.答案：D5．(2013·温州模拟)方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－235 解析：令f (x )＝x 2＋ax －2，由题意，知f (x )的图象与x 轴在[1,5]上有交点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (5)≥0.解得－235≤a ≤1. 答案：C6．函数f (x )＝－x 2＋(2a －1)|x |＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是( )A ．a >23 B.12<a <32 C ．a >12 D ．a <12解析：f (x )＝－x 2＋(2a －1)|x |＋1是由函数f (x )＝－x 2＋(2a －1)x ＋1变化得到，第一步保留y 轴右侧的图象，再作关于y 轴对称的图象．因为定义域被分成四个单调区间，所以f (x )＝－x 2＋(2a －1)x ＋1的对称轴在y 轴的右侧，使y 轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间．所以2a －12>0，即a >12.故选C.答案：C二、填空题 7.当0<x <1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是______．解析：分别作出f (x )，g (x )，h (x )的图象，如图所示．可知h (x )>g (x )>f (x )．答案：h (x )>g (x )>f (x )8．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1的图象与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值的集合是________．解析：当m ＝1时， f (x )＝4x －1，其图象和x 轴只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0. 当m ≠1时，依题意得Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0，即m 2＋3m ＝0，解得m ＝－3或m ＝0.∴m 的取值的集合为{－3,0,1}．答案：{－3,0,1}9．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________．解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2，则t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋23. 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34. 答案：34三、解答题10．如果幂函数f (x )＝ (p ∈Z )是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．解：∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2－2p －3<0.∴－1<p <3.又∵f (x )是偶函数且p ∈Z ，∴p ＝1，故f (x )＝x 2.11．(2013·宁德市质检)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，且f (－1)＝－1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )＋(2－k )x 在区间[－2,2]上单调递减，求实数k 的取值范围．解：(1)∵二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1为偶函数，∴对称轴x ＝－b 2a ＝0，得b ＝0.由f (－1)＝a ＋1＝－1，得a ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋1.(2)g (x )＝－2x 2＋(2－k )x ＋1∵抛物线g (x )的开口向下，对称轴x ＝2－k 4，∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫2－k 4，＋∞上单调递减． 依题意可得2－k 4≤－2，解得k ≥10.∴实数k 的取值范围为[10，＋∞)．12．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝1得，c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1. 因此， f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减，∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．[热点预测]13．(2013·河北高三质量监测)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足下列条件：①当x ∈R 时， f (x )的最小值为0，且f (x －1)＝f (－x －1)恒成立； ②当x ∈(0,5)时，x ≤f (x )≤2|x －1|＋1恒成立．(1)求f (1)的值；(2)求f (x )的解析式；(3)求最大的实数m (m >1)，使得存在实数t ，当x ∈[1，m ]时， f (x ＋t )≤x 恒成立．解：(1)在②中令x ＝1，有1≤f (1)≤1.故f (1)＝1.(2)由①知二次函数的图象关于直线x ＝－1对称，且开口向上，故设此二次函数为f (x )＝a (x ＋1)2(a >0)．因为f (1)＝1，所以a ＝14，所以f (x )＝14(x ＋1)2.(3)f (x )＝14(x ＋1)2的图象开口向上，而y ＝f (x ＋t )的图象是由y ＝f (x )的图象向左或向右平移|t |个单位得到的，要在区间[1，m ]上使得y ＝f (x ＋t )的图象在y ＝x 的图象下方，且m 最大，则1和m 应当是方程14(x ＋t ＋1)2＝x 的两个根．令x ＝1代入方程，得t ＝0或－4.当t ＝0时，方程的解为x 1＝x 2＝1(这与m >1矛盾，舍去)； 当t ＝－4时，方程的解为x 1＝1，x 2＝9，所以m ＝9.又当t ＝－4时，对任意x ∈[1,9]，y ＝f (x －4)－x ＝14(x －3)2－x ＝14(x 2－10x ＋9)＝14(x －5)2－4≤0， 即f (x －4)≤x 恒成立．所以最大的实数m 为9.。

课时作业(二十四)一、选择题1．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB→＋PC →＝0 D.P A →＋PB→＋PC →＝0解析：如图，根据向量加法的几何意义BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故P A →＋PC→＝0. 答案：B2．(2013·山西考前适应性训练)若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，且a ＝2b ，则|b |＝( )A.13B.23 C ．1 D ．2解析：∵a ＝2b ，|a ＋b |＝1，∴|3b |＝1，|b |＝13. 答案：A3．(2013·北京昌平期末)如图，在△ABC 中，BD ＝2DC .若AB →＝a ，AC→＝b ，则AD →＝( )A.23a ＋13bB.23a －13bC.13a ＋23bD.13a －23b解析：由题可得AD→＝AC →＋CD →，AD →＝AB →＋BD →，又BD →＝2DC →，所以3AD →＝2AC →＋AB →，即AD →＝13a ＋23b ，选C.答案：C4．若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子： ①AB →＋CD →＝BC →＋DA →；②AC →＋BD →＝BC →＋AD →；③AC →－BD →＝DC →＋AB→.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：①式的等价式是AB→－BC →＝DA →－CD →，左边＝AB →＋CB →，右边＝DA→＋DC →，不一定相等；②式的等价式是AC →－BC →＝AD →－BD →，AC →＋CB →＝AD →＋DB →＝AB →成立；③式的等价式是AC →－DC →＝AB →＋BD →，AD →＝AD→成立．答案：C6．已知a 、b 是两个不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件是( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB→＝tAC →(t ∈R )， 所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t1＝tμ，即λμ＝1.答案：D5．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向 解析：∵c ∥d ，∴c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λλ＝－1.答案：D6．(2013·石家庄第二次模拟)如右图，在△ABC 中，AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )A.19B.13 C ．1 D ．3解析：∵AN →＝12NC →，∴AC →＝3AN →，由AP →＝mAB →＋29AC →得AP →＝mAB →＋23AN →，由B 、P 、N 三点共线得m ＋23＝1，∴m ＝13.答案：B7．(2013·资阳市第一次模拟)已知向量a ，b 不共线，设向量AB →＝a －k b ，CB →＝2a ＋b ，CD →＝3a －b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值为( )A ．10B ．2C ．－2D ．－10解析：CB→－CD →＝DB →＝(2a ＋b )－(3a －b )＝－a ＋2b 若A 、B 、D 三点共线，则∃实数λ使AB→＝λDB →，即a －k b ＝λ(－a ＋2b )即⎩⎪⎨⎪⎧－λ＝1－k ＝2λ，∴k ＝2，故选B.答案：B8．已知向量p ＝a |a |＋b|b |，其中a ，b 均为非零向量，则|p |的取值范围是( )A ．[0， 2 ]B ．[0,1]C ．(0,2]D ．[0,2]解析：由已知向量p 是两个单位向量的和，当这两个单位向量同向时，|p |max ＝2，当这两个单位向量反向时，|p |min ＝0.答案：D 二、填空题9．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC→|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.解析：|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|可知，AB →⊥AC →，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM →|＝12|BC →|＝2. 答案：210．(2013·大庆模拟)已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA→，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________．解析：∵OA→＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →， ∴BA→＝CD →.∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：平行四边形 三、解答题11．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上？解：设a －t b ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13(a ＋b )，m ∈R ， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫23m －1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3－t b ， ∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23m －1＝0m3－t ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一直线上．12．已知O ，A ，B 三点不共线，且OP →＝mOA →＋nOB →，(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)∵m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1， ∴OP→＝mOA →＋nOB →＝mOA →＋(1－m )OB →， ∴OP→－OB →＝m (OA →－OB →)． ∴BP→＝mBA →，而BA →≠0，且m ∈R . ∴BP→与BA →共线， 又BP→，BA →有公共点B .∴A ，P ，B 三点共线． (2)∵A ，P ，B 三点共线，∴BP →与BA →共线， ∴存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP→－OB →＝λ(OA →－OB →)． ∴OP→＝λOA →＋(1－λ)OB →. 又∵OP→＝mOA →＋nOB →， ∴mOA→＋nOB →＝λOA →＋(1－λ)OB →. 又∵O ，A ，B 不共线，∴OA→，OB →不共线． 由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，n ＝1－λ.∴m ＋n ＝1. [热点预测]13．(1)(2013·福州质检)已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，边AB 的中点为D ，若2PD →＝(1－λ)P A →＋CB →，其中λ∈R ，则P 点一定在( )A ．AB 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AC 边所在的直线上D ．△ABC 的内部(2)(2013·南平市普通高中毕业班质量检查)已知△ABC 的面积为12，P 是△ABC 所在平面上的一点，满足P A →＋PB →＋2PC →＝3AB →，则△ABP 的面积为( )A ．3B ．4C ．6D ．9(3)(2013·石家庄市高三模拟考试)在△ABC 中，∠B ＝60°，O 为△ABC 的外心，P 为劣弧AC 上一动点，且OP →＝xOA →＋yOC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围为________．解析：(1)2PD →＝P A →＋PB →＝(1－λ)P A →＋CB →⇒PB →－CB →＝－λP A →⇒PC →＝λAP→，易得P 、A 、C 三点共线，故选C. (2)如图．取AC 的中点为D .AB →＝AP →＋PB →代入P A →＋PB →＋2PC →＝3AB →得P A →＋PC →＝AB →＝2PD →，∴PD 綊12AB .∴P 到AB 的距离为AB 边上 高的一半∴S △ABP ＝12S △ABC ＝6. (3)如图，∠B ＝60°，∴∠AOC ＝120°，∵|OA →|＝|OP →|＝|OC →|.∴当P 为劣弧AC 中点时x ＝y ＝1，x ＋y ＝2，当P 向A (或C )靠近时x ＋y 减小，当P 与A (或C )重合时x ＝1(y ＝0)此时x ＋y ＝1，所以x ＋y 的取值范围为[1,2]．答案：(1)C (2)C (3)[1,2]。

课时作业(十九)一、选择题1．(2013·安徽亳州高三摸底联考)函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈RB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈R D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，x ∈R 解析：函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈R 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈R 的图象，故选C.答案：C2．(2013·东北三校第一次联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 解析：函数的最大值为4，最小值为0，∴A ＝2，k ＝2，由最小正周期为π2得ω＝4，又因x ＝π3是其一条对称轴，∴43π＋φ＝π2＋kπ，φ＝kπ－56π，k∈Z，所以选D.答案：D3．(2013·汕头市质量测评)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()解析：把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数y＝cos x＋1，然后向左平移1个单位得到y＝cos(x ＋1)＋1再向下平移1个单位得到函数y＝cos(x＋1)其对应的图象为A.答案：A4．(2013·江西南昌高三第一次模拟)已知函数f(x)＝A cos(ωx＋θ)的图象如图所示f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( ) A ．－23 B ．－12 C.23 D.12解析：由图象知T ＝23π，ω＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ＝A sin θ＝23.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－A sin θ＝－23，选A. 答案：A5．(2014·河北沧州高三质量监测)已知函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的最小正周期为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，则函数y ＝f (x )的图象向左平移13个单位所得图象的函数解析式为( )A ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π3 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋13 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx －13 解析：函数f (x )周期T ＝2πω＝2，得ω＝π，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝A sin π6＝1，∴A ＝2.∴f (x )＝2sin πx ，将f (x )图象向左平移13个单位所得图象解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3. 答案：B6．(2014·河北唐山一中第二次月考)要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位解析：因为要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x 的图象向左平移π12个单位得到 y ＝sin 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，故选A. 答案：A7．(2013·海宁市高三测试)已知函数f (x )＝sin(x －π)，g (x )＝cos(x ＋π)，则下列结论中正确的是( )A ．函数y ＝f (x )·g (x )的最小正周期为2πB ．函数y ＝f (x )·g (x )的最大值为1C ．将函数y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位后得g (x )的图象 D ．将函数y ＝f (x )的图象向左平移π2个单位后得g (x )的图象 解析：f (x )＝sin(x －π)＝－sin x ，g (x )＝cos(x ＋π)＝－cos x ，f (x )·g (x )＝12sin 2x ，T ＝π最大值为12，A 、B 均不正确．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos x ≠g (x )，故C 错．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－cos x ，故D 正确，选D.答案：D8．(2013·安徽省江南十校高三模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0) 的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f (x )的图象向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数；③f (0)＝1；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π11<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π13；⑤f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x .其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①④⑤D ．②③⑤ 解析：由图可知：A ＝2，T 4＝712π－π3＝π4⇒T ＝π， ∴ω＝2,2×712π＋φ＝2kπ＋3π2，φ＝2kπ＋π3，k ∈Z . f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⇒f (0)＝3， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝2cos π3＝1，对称轴为直线x ＝kπ2＋π12，k ∈Z ，一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，所以②、③不正确；因为f (x )的图象关于直线x ＝13π12对称，且f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12，12π11－13π12＝π11×12>13π12－14π13＝π13×12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π11<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π13，即④正确；设[x ，f (x )]为函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上任意一点，其关于对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0的对称点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x ，－f (x )还在函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x ＝－f (x )⇒f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x ，故⑤正确，综上所述，①④⑤正确，选C.解法二：判断出①正确，②不正确之后，选C. 答案：C二、填空题 9.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如右图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.解析：从图可看出周期T ＝π2，∴πω＝π2，ω＝2又f (x )＝A tan(2x ＋φ) x ＝38π时，A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋φ＝0tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋φ＝0，|φ|<π2，∴φ＝π4. ∴f (x )＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.取x ＝0，A tan π4＝1，∴A ＝1，∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3. 答案： 310．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3(x >0)的图象与x 轴的交点从左到右依次为(x 1,0)，(x 2,0)，(x 3,0)，…，则数列{x n }的前4项和为________．解析：令f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3＝0，则π3x ＋π3＝k π， ∴x ＝3k －1(k ∈N *)，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝3(1＋2＋3＋4)－4＝26. 答案：2611．(2013·乌鲁木齐第一次诊断)点A (x ，y )在单位圆上从A 0⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32出发，沿逆时针方向做匀速圆周运动，每12秒运动一周，则经过时间t 后，y 关于t 的函数解析式为________．解析：由题意知∠xOA 0＝π3，点A 每秒旋转2π12＝π6，所以t 秒旋转π6t ，∠A 0OA ＝π6t ，∠xOA ＝π6t ＋π3，则y ＝sin ∠xOA ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3. 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3三、解答题 12.设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π.且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象； (3)若f (x )>22，求x 的取值范围． 解：(1)周期T ＝2πω，∴ω＝2，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， ∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3>22，∴2kπ－π4<2x －π3<2kπ＋π42kπ＋π12<2x <2kπ＋712π， kπ＋π24<x <kπ＋724π，k ∈Z ，∴x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫kπ＋π24<x <kπ＋724π，k ∈Z .13．(2013·上海卷)已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω>0；(1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解：(1)因为ω>0，根据题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≥－π22π3ω≤π2⇒0<ω≤34.(2)f (x )＝2sin(2x )，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1g (x )＝0⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝kπ－π3或x ＝kπ－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.[热点预测]14．(1)(2013·泉州市质检)定义区间[a ，b ]的长度为b －a .若⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的一个长度最大的单调递减区间，则( )A ．ω＝8，φ＝π2 B ．ω＝8，φ＝－π2 C ．ω＝4，φ＝π2D ．ω＝4，φ＝－π2(2)(2013·山东泰安第二次模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )A ．－32B ．－62 C. 3D ．－ 3解析：(1)若⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个长度最大的单调减区间，则函数f (x )的周期为2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝π2，∴ω＝4，且函数f (x )在x＝π4时取得最大值．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ()π＋φ＝1，∴φ＝－π2，故选D. (2)f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数得φ＝π2，△EFG 为边长为2的等边三角形，所以T ＝4，∴ω＝π2，A ＝3，∴f (x )＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ， ∴f (1)＝－ 3.答案：(1)D (2)D。

质量检测(六)测试内容：统计、概率算法初步时间：90分钟分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．一个容量为100的样本，其频数分布表如下A．0.13 B．0.39C．0.52 D．0.64解析：由题意可知样本在(10,40]上的频数是：13＋24＋15＝52，由频率＝频数÷总数，可得样本数据落在(10,40]上的频率是0.52.答案：C2．(2013·江门佛山两市高三质检)为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如下图)，那么在这100株树木中，底部周长小于110 cm的株数是()A ．30B ．60C ．70D ．80解析：100×(0.1＋0.2＋0.4)＝70. 答案：C3．(2013·山东泰安第二次模拟)设某高中的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该高中某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该高中某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 解析：若该高中某女生身高为170 cm ，则其体重大约为58.79 kg ，故选项D 是不正确的．答案：D4．(2013·安徽江南十校开学第一考)下图是甲、乙两名运动员某赛季6个场次得分的茎叶图，用x 甲，x 乙分别表示甲，乙得分的平均数，则下列说法正确的是( )A ．x 甲>x 乙且甲得分比乙稳定B ．x 甲＝x 乙且乙得分比甲稳定C ．x 甲＝x 乙且甲得分比乙稳定D ．x 甲<x 乙且乙得分比甲稳定解析：由茎叶图所给数据，经计算x －甲＝x －乙＝25，而方差S 甲<S乙．答案：C5．(2013·山西第三次四校联考)下列说法错误的是( ) A ．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B ．线性回归方程对应的直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过其样本数据点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，…，(x n ，y n )中的一个点C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．在回归分析中，相关指数R 2为0.98的模型比相关指数R 2为0.80的模型拟合的效果好解析：线性回归方程对应的直线y ^＝b ^x ＋a ^可以不经过其样本数据点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，…(x n ，y n )中的任一点．答案：B6．(2013·福建卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．如果输入某个正整数n 后，输出的S ∈(10,20)，那么n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：当n ＝1时，S ＝1；当n ＝2时，S ＝1＋2×1＝3；当n ＝3时，S ＝1＋2×3＝7；当n ＝4时，S ＝1＋2×7＝15∈(10,20)，故选B.答案：B7．(2013·天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：第1次，S ＝－1，不满足判断框内的条件；第2次，n ＝2，S ＝1，不满足判断框内的条件；第3次，n ＝3，S ＝－2，不满足判断框内的条件；第4次，n ＝4，S ＝2，满足判断框内的条件，结束循环，所以输出的n ＝4.答案：D8．(2014·河北沧州名师名校俱乐部二调)如图是甲、乙两同学连续4次月考成绩的茎叶图，其中数据x (x ∈Z )无法确认，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.25B.12C.35D.45解析：由14×(92＋97＋88＋89)>14×(90＋x ＋99＋83＋89)，得x <5，故x 取值为0,1,2,3,4，所以所求概率为P ＝510＝12.答案：B9．(2013·淄博高三检测)设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( )A.15B.25C.35D.45解析：由⎩⎪⎨⎪⎧p 2－4≥0，0≤p ≤5得2≤p ≤5，故所求概率为5－25－0＝35.答案：C10．(2013·山西太原高三模拟(一))已知函数f (x )＝log 2x ，若在[1,4]上随机取一个实数x 0，则使得f (x 0)≥1成立的概率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：f (x 0)＝log 2x 0≥1，则x 0≥2 当x 0∈[1,4]时，所求概率为4－24－1＝23.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2013·成都第二次诊断)在某大型企业的招聘会上，前来应聘的本科生、硕士研究生和博士研究生共2 000人，各类毕业生人数统计如图所示，则博士研究生的人数为________．解析：由图可知，博士生人数所占比例为1－62%－26%＝12%，故博士生人数为2 000×12%＝240.答案：24012．(2013·泰安高三质检)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．解析：男生人数为280560＋420×560＝160.答案：16013．(2013·宁夏银川月考)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y ＝25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．解析：(1)圆心坐标为(0,0)，圆心到直线4x＋3y＝25的距离d＝|4×0＋3×0－25|42＋32＝5.(2)如图l ′∥l ，且O 到l ′的距离为3，sin ∠ODE ＝323＝32，所以∠ODE ＝60°，从而∠BOD ＝60°，点A 应在劣弧BD 上，所以满足条件的概率为16.答案：5 1614．(2013·温州市高三第二次适应性测试)经过随机抽样获得100辆汽车经过某一雷达测速地区的时速(单位：km/h)，并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中这100辆汽车时速范围是[35,85]，数据分组为[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)．由此估计通过这一地区的车辆平均速度为________．解析：40×0.05＋50×0.2＋60×0.4＋70×0.25＋80×0.1＝61.5.答案：61.5三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(满分12分)(2013·安徽卷)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 1，x 2，估计x 1－x 2的值．解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n .由题意知，30n ＝0.05，即n ＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1－530＝56.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x 1′，x 2′.根据样本茎叶图可知，30(x 1′－x 2′)＝30x 1′－30x 2′＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92 ＝15.因此x 1′－x 2′＝0.5.故x 1－x 2的估计值为0.5分． 16．(满分12分)(2013·河南开封高三第一次模拟)为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：“m ，n 均不小于25”的概率；(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？(参考公式：b ＝ni ＝1xiyi －n x －y －n i ＝1x 2i －n x 2，a ＝y －－b x －)(参考数据：3i ＝1xiyi＝977，3i ＝1x 2i ＝434)解：(1)m ，n 的所有的基本事件为(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共10个．设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)．所以P (A )＝310，故事件A 的概率为310.(2)由数据得从5天中未选取的3天的平均数x －＝12，y －＝27,3x －y －＝972,3x 2＝432，又3i ＝1x i y i ＝977，3i ＝1x 2i ＝434，所以b ＝977－972434－432＝52，a ＝27－52×12＝－3，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3.(3)依题意得，当x ＝10时，y ^＝22，|22－23|<2；当x ＝8时，y ^＝17，|17－16|<2，所以得到的线性回归方程是可靠的．17．(满分12分)(2013·福建卷)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：χ2＝11221221n1＋n2＋n＋1n＋2(注：此公式也可以写成K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)) 解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．其中，至少1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得K2＝(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(15×25－15×45)260×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．18．(满分14分)(2013·天津卷)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，(ⅰ)用产品编号列出所有可能的结果；(ⅱ)设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B发生的概率．解：(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：124579一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)(ⅰ)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．(ⅱ)在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝615＝2 5.。

课时作业(二十六)一、选择题1．(2013·辽宁五校第一次联考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|得AB →·AC →＝0，所以AM 为直角三角形ABC 斜边上的中线，所以|AM →|＝12|BC →|＝2.答案：A2．(2013·内江第二次模拟)已知向量m ＝(1,2)，n ＝(1,1)且向量m 与m ＋λn 垂直，则λ＝( )A ．－35B ．－53 C.35 D.53解析：向量m 与m ＋λn 垂直，所以m ·(m ＋λn )＝m 2＋λm ·n ＝5＋3λ＝0得λ＝－53，选B.答案：B3．(2013·绵阳第三次诊断)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 的中点，BP ⊥DA ，垂足为P ，且BP ＝2，则BC →·BP →＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：BP ⊥DA 则BP →·PD →＝0，D 为BC 中点，所以BC →·BP →＝2BD →·BP →＝2(BP →＋PD →)·BP →＝2BP →2＝8，选C.答案：C4．(2013·泰安质检)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析：设a 与b 夹角为θ，则a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝|a ||b |cos θ－|a |2＝1×6×cos θ－1＝2，∴cos θ＝12，∴θ＝π3，选B.答案：B5．(2013·辽宁六校联考)已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点解析：取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，∴OP →＝13[2(1－λ)·OD →＋(1＋2λ)OC →]＝2(1－λ)3OD →＋1＋2λ3OC →，而2(1－λ)3＋1＋2λ3＝1，∴P 、C 、D 三点共线，∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．答案：C6．(2013·淄博阶段性检测)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →等于( )A ．－32 B.32 C ．－1 D ．1解析：DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13DC →，DB →＝DA →＋DC →，∠ADC ＝120°， ∴DM →·DB →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫DA →＋13DC →·(DA →＋DC →)＝DA →2＋13DC →2＋43DA →·DC →＝1＋43＋43×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1，选D. 答案：D 二、填空题7．(2013·山东泰安第二次模拟)设单位向量e 1，e 2满足e 1·e 2＝－12，则|e 1＋2e 2|＝________.解析：|e 1＋2e 2|＝e 21＋4e 1·e 2＋4e 22＝5－2＝ 3. 答案： 38．(2013·陕西宝鸡第三次模拟)a ＝(0,1)，b ＝(1,0)且(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值为________．解析：(a －c )·(b －c )＝0得a ·b －|c |·|b ＋a |·cos θ＋|c |2＝0，〈c ，a ＋b 〉＝θ得|c |＝2cos θ，∴cos θ＝1时，|c |max ＝ 2.答案： 29．(2013·安徽卷)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________．解析：对向量的模同时平方可得，|a |2＝9|b |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，所以有4a ·b ＝－4|b |2，即cos 〈a ，b 〉＝－|b ||a |＝－13.答案：－1310．(2013·湖北武汉调研测试)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则(1)DE →·CB →的值为________． (2)DE →·DC →的最大值为________．解析：(1)由正方形的性质，正方形的边长为1，DE →·CB →＝|DE →|·|CB →|cos ∠ADE ，而在直角三角形ADE 中，DA ＝DE ·cos ∠ADE ，∴DE →·|CB →|＝|DA →|·|DA →|＝1×1＝1.(2)法一：DE →·DC →＝|DE →|·|DC →|cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－∠ADE ＝|DE →|sin ∠ADE ＝|AE→|≤|AB →|＝1，∴DE →·DC →的最大值为1.法二：由数量积的几何意义DE →·CB →为|CB →|与DE →在CB →上投影的积，而无论E 点在AB 的哪个位置DE →在CB →上的投影均为1∴DE →·CB →＝1同理DE →·DC →的最大值为E 在B 点时其值为1. 答案：1 1 三、解答题11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n )，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 解：(1)a ·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4，∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0(n >1)， ∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6)． (2)由(1)知，a ·b ＝10，|a |2＝5.又c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)，(c －a )·a ＝0， ∴λb ·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b ·a＝510＝12，∴c ＝12b ＝(－1,3)．12．(2013·辽宁卷)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 解：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.13．(2013·无锡第一中学质检)已知圆心为O ，半径为1，弧度数为π的圆弧上有两点P ，C ，其中(如图)．(1)若P 为圆弧的中点，E 在线段OA 上运动，求|OP →＋OE →|的最小值；(2)若E ，F 分别为线段OA ，OC 的中点，当P 在圆弧上运动时，求PE →·PF →的最大值．解：(1)设OE ＝x (0≤x ≤1)，则|OP →＋OE →|2＝1＋2×1×x ×cos 3π4＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋12，所以当x ＝22时，|OP →＋OE →|的最小值为22.(2)以O 为原点，BA 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)， PE →·PF →＝⎝⎛⎭⎪⎫12－x ，－y ·⎝⎛⎭⎪⎫－x ，12－y ＝1－12(x ＋y )， 所以PE →·PF →的最大值是32. [热点预测]14．(1)(2013·湖北武汉调研测试)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝________.(2)(2013·资阳第一次模拟)已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为________．(3)(2013·荆州质检(Ⅱ))在△ABC 中，O 是中线AM 上一个动点，若AM ＝4，则OA →·(OB →＋OC →)的最小值是( )A ．－4B ．－8C ．－10D ．－12 解析：(1)∵AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B )＝1， ∴|BC |cos B ＝－12，由余弦定理，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB |·|BC |cos B ∴32＝22＋|BC |2＋2，∴|BC |＝ 3.(2)由|a ＋b |＝|a －b |两边平方得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，∴a ·b ＝0由|a ＋b |＝233|a |两边平方得a 2＋b 2＋2a ·b ＝43a 2， ∴b 2＝13a 2设a ＋b 与a －b 夹角为θ，∴cos θ＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |＝a 2－b 2233|a |·233|a |＝23a 243a 2＝12，∴θ＝60°.(3)令|OA →|＝x ，则|OM →|＝4－x .(0<x <4)，M 为BC 边中点，∴OB →＋OC →＝2OM →∴OA →·(OB →＋OC →)＝OA →·2OM →＝－2x (4－x )≥－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4－x 22＝－8，当且仅当x ＝4－x ，即x ＝2时，取得最小值，即O 为AM 中点时OA →·(OB →＋OC →)的最小值是－8.选B.答案：(1)3 (2)60° (3)B。

课时作业(四十三)一、选择题1．(2013·潍坊模拟)已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件解析：l⊥α，α∥β则l⊥β，又m∥β，所以l⊥m；l⊥α，l⊥m则m⊂α或m∥α，又m∥β，所以α∥β或α与β相交，所以“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件，选A.答案：A2．(2013·汕头质量测评)设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是() A．当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥αB．当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥βC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c解析：b⊂α且α⊥β，若α∩β＝l，b⊥l，则b⊥β，所以b⊂α，若α⊥β，则b⊥β，不正确，选C.答案：C3．(2013·广东省华附、省实、广雅、深中四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为() A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB ．过点P 垂直于直线l 的直线在平面α内C ．过点P 垂直于平面β的直线在平面α内D ．过点P 在平面α内作垂直于l 的直线必垂直于平面β解析：由于过点P 垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此平行于平面β，因此A 正确，B 不正确．根据面面垂直的性质定理知，选项C 、D 正确．答案：B4．(2013·泉州质检)已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥βB ．若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥βC ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥βD ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β解析：m ⊥α，m ⊥n ，那么n ⊂α或n ∥α，①当n ⊂α时，若n ⊥β，则α⊥β，②当n ∥α时，则平面α内存在一条直线l ∥n ，若n ⊥β，则l ⊥β，所以有α⊥β，综合可知，m ⊥α，n ⊥β且m ⊥n ，则α⊥β正确，选A.答案：A5．(2013·广西卷)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13解析：如图，连接AC与BD交于点O，连接OC1，过C作CE⊥OC1，垂足为E，连接DE，则∠CDE就是CD与平面BDC1所成的角，设AB＝1，则AA1＝CC1＝2，OC＝22，OC1＝322，因为12OC1·CE＝12OC·CC1，所以CE＝23，所以sin∠CDE＝CECD＝23，故选A.答案：A6．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n ⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l 满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.答案：D二、填空题7．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l ⊥m且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)解析：若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，若l⊥m且l ⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.答案：充分不必要8．(2013·常州期末调研)给出下列命题：①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为________．解析：根据定理和一些常用结论得：①、③、④正确．②中没有强调两条直线一定相交，否则就不一定平行．答案：①③④9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件________时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件________时，就有MN∥平面B1D1C.解析：可证A1C1⊥平面EGM，故当N在EG上时，MN⊥A1C.可证平面MEH∥平面B1CD1，故当N在EH上时，MN∥平面B1D1C.答案：点N在EG上点N在EH上三、解答题10．(2013·常州市高三期末调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝2AD＝2，CD＝3，直线P A与底面ABCD所成角为60°，点M，N分别是P A，PB的中点．(1)求证：MN∥平面PCD；(2)求证：四边形MNCD是直角梯形；(3)求证：DN⊥平面PCB.证明：(1)因为点M，N分别是P A，PB的中点，所以MN∥AB.因为CD∥AB，所以MN∥CD.又CD⊂平面PCD，MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD.(2)因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD，又因为PD⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PD，又AD∩PD＝D，所以CD⊥平面P AD.因为MD⊂平面P AD，所以CD⊥MD，所以四边形MNCD是直角梯形．(3)因为PD⊥底面ABCD，所以∠P AD就是直线P A与底面ABCD 所成的角，从而∠P AD＝60°.在Rt△PDA中，AD＝2，PD＝6，P A＝22，MD＝ 2.在直角梯形MNCD中，MN＝1，ND＝3，CD＝3，CN＝MD2＋(CD－MN)2＝6，从而DN2＋CN2＝CD2，所以DN⊥CN.在Rt△PDB中，PD＝DB＝6，N是PB的中点，则DN⊥PB.又因为PB∩CN＝N，所以DN⊥平面PCB.11．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB ⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别为CD和PC的中点，求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD.所以P A⊥CD.所以CD⊥平面P AD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.12．(2013·河北唐山一中第二次月考)在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC＝AD＝CD＝DE＝2，AB＝1.(1)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；(2)求直线EC与平面ABED所成角的正弦值．解：如图，(1)由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥ED ，设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接FH ，则FH 綊12ED ，FH 綊AB ，∴四边形ABFH 是平行四边形，∴BF ∥AH ，BF ⊄平面ACD ，AH ⊂平面ACD ，∴BF ∥平面ACD ；(2)取AD 中点G ，连接CG 、EG ，则CG ⊥AD ，又平面ABED ⊥平面ACD ，∴CG ⊥平面ABED ，∴∠CEG 即为直线CE 与平面ABED 所成的角，设为α，则在Rt △CEG 中，有sin α＝CG CE ＝322＝64. [热点预测]13．(2013·江西省高三联考)如图，△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点P在平面ABC射影为AB的中点D，O是线段CD的中点，∠APC＝60°(1)判断PC与AB是否垂直(不需说明理由)；(2)求PD与平面PBC所成角的正切值；(3)在PB上是否存在点E，使OE∥平面P AC.若存在，求出PE 的长，若不存在，说明理由．解：(1)不垂直(2)由题意知：P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，OD ＝DB ＝52，取BC 的中点Q ，连接PQ 、DQ ，则BC ⊥DQ ，BC ⊥PQ ，∴BC ⊥面PDQ ，∴面PDQ ⊥面PBC ，∴D 在面PBC 上的射影落在PQ 上，则PD 与平面PBC 所成角即为∠QPD ，由于PD ＝392，DQ ＝2，PD ⊥DQ ，故所求角的正切值为43939.(3)过O 作OM ∥AB 交AC 于M ，在平面P AB 内平面直线AB ，使之交PB 于E ，交P A 于N ，并使OM ＝EN ，此时MOEN 为平行四边形，易知OE ∥平面P AC .由于OM 是△CAD 的中位线，∴PE ∶PB ＝NE ∶AB ＝MO ∶AB ＝1∶4.又△ABC 是直角三角形，CD 是斜边上的中线，PD ⊥平面ABC ，有△P AD ≌△PCD ≌△PBD∴P A ＝PC ＝PB ，由于∠APC ＝60°，△P AC 为正三角形，所以PB ＝PC ＝AC ＝4，∴PE ＝14PB ＝1，即在线段PB 上存在点E ，当PE ＝1时，OE ∥平面P AC .。

课时作业(二十五)一、选择题1．(2013·成都市第三次诊断)已知向量a ＝(－2,4)，b ＝(－1，m )．若a ∥b ，则实数m 的值为( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12解析：由a ∥b 可得－2m ＝－4得m ＝2，故选C.答案：C2．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝( )A ．3B ．0C ．5D ．－5解析：由已知得：(a －c )＝(3－k ，－6)，又∵(a －c )∥b ，∴3(3－k )＋6＝0，∴k ＝5.答案：C3．设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a ∥b ，则b ＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 解析：设b ＝(x ，y )，由a ∥b 可得3y －3x ＝0，又x 2＋y 2＝1得b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12或b ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32，－12. 答案：D4．如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设OP →＝mOP 1→＋nOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m ，n 满足()A ．m >0，n >0B ．m >0，n <0C ．m <0，n >0D ．m <0，n <0解析：由题意及平面向量基本定理易得在OP →＝mOP 1→＋nOP 2→中，m >0，n <0.答案：B5．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件是( )A ．m ≠－2B ．m ≠12C ．m ≠1D ．m ≠－1解析：若点A 、B 、C 不能构成三角形，则只能共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(m ＋1，m －2)－(1，－3)＝(m ，m ＋1)．假设A 、B 、C 三点共线，则1×(m ＋1)－2m ＝0，即m ＝1.∴若A 、B 、C 三点能构成三角形，则m ≠1.答案：C6．(2013·广东卷)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a ＝λb＋μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb ＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：显然①②正确；对于③，当μ<|a|sin〈a，b〉时，不存在符合题意的单位向量c和实数λ，③错；对于④，当λ＝μ＝1，|a|>2时，易知④错．答案：B二、填空题7．(2013·河南郑州第一次质量预测)已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，且a∥b，则|a－b|＝________.解析：由a＝(1,2)，b＝(x,6)，a∥b，得x＝3，故|a－b|＝(－2)2＋(－4)2＝2 5.答案：2 58．(2013·安徽亳州摸底联考)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若m a＋n b与a－2b共线，则nm等于________．解析：m a＋n b＝m(2,3)＋n(－1,2)＝(2m－n,3m＋2n) a－2b＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)∵m a ＋n b 与a －2b 共线，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0∴n m ＝－2.答案：－29．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB的中点，设AB →＝a ，AD →＝b .若MN →＝m a ＋n b ，则n m ＝________.解析：∵MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b ，∴m ＝14，n ＝－1.∴n m ＝－4.答案：－4三、解答题10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.11．(2013·江西南昌调研)已知向量OA →＝3i －4j ，OB →＝6i －3j ，OC →＝(5－m )i －(3＋m )j ，其中i ，j 分别是直角坐标系内x 轴与y 轴正方向上的单位向量．(1)A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件．(2)对任意m ∈[1,2]使不等式AC →2≤－x 2＋x ＋3恒成立，求x 的取值范围．解：(1)AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，∵AB →，AC →不共线，∴3(1－m )≠2－m ，m ≠12.(2)因为AC →2＝(2－m )2＋(1－m )2＝2m 2－6m ＋5，所以，当m ＝1或2时，AC →2最大，最大值是1，所以1≤－x 2＋x ＋3，即x 的取值范围是[－1,2]．12．(2013·四川省成都市一诊)在△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2B ，2cos 2B 2－1，且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．解：(1)∵m ∥n⇒2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos 2B ∴tan 2B ＝－3，又0<B <π2，∴0<2B <π，∴2B ＝2π3，B ＝π3(2)由tan 2B ＝－3，0<B <π，得B ＝π3，5π6①当B ＝π3时，已知b ＝2，由余弦定理得：4＝a 2＋c 2－ac ≥ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，∴△ABC 的面积最大值为 3②当B ＝5π6时，已知b ＝2，由余弦定理得：4＝a 2＋c 2＋3ac ≥(2＋3)ac ⇒ac ≤4(2－3)(当且仅当a ＝c ＝6－2时等号成立)∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝14ac ≤2－ 3∴△ABC 的面积最大值为 3.[热点预测]13．(1)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p ∥q ，则角C ＝________.(2)(2013·浙江杭州第二次质检)在△OAB 中，C 为OA 上的一点，且OC →＝23OA →，D 是BC 的中点，过点A 的直线l ∥OD ，P 是直线l 上的动点，OP →＝l 1OB →＋l 2OC →，则l 1－l 2＝________.解析：(1)因为p ∥q ，则(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 结合余弦定理知，cos C ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°.(2)由已知OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋λOD →＝32OC →＋12λ(OB →＋OC →)＝λ2OB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋λ2OC →＝l 1OB →＋l 2OC →，即可得l 1＝λ2，l 2＝32＋λ2，则l 1－l 2＝－32. 答案：(1)60° (2)－32。

课时作业(八)一、选择题1．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 D ．y ＝1－2x解析：∵1－x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的值域是正实数集，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x的值域是正实数集．答案：B2．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 解析：由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3， 两边平方得22a ＋2－2a ＋2＝9， 即22a ＋2－2a ＝7，故f (2a )＝7. 答案：B3．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )解析：∵f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，∴根据分段函数即可画出函数图象．答案：B4．设Q 为有理数集，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q －1，x ∈∁RQ ，g (x )＝e x －1e x ＋1，则函数h (x )＝f (x )·g (x )( )A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是偶函数也不是奇函数 解析：当x ∈Q 时，－x ∈Q ，∴f (－x )＝f (x )＝1；当x ∈∁R Q 时，－x ∈∁R Q ，∴f (－x )＝f (x )＝－1.综上有，对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数．∵g (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－e x －11＋e x ＝－g (x )，∴函数g (x )为奇函数．∴h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝f (x )·[－g (x )]＝－f (x )g (x )＝－h (x )， ∴函数h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数．∵h (1)＝f (1)·g (1)＝e －1e ＋1，h (－1)＝f (－1)·g (－1)＝1×e －1－1e －1＋1＝1－e1＋e， ∴h (－1)≠h (1)，∴函数h (x )不是偶函数．综上，应选A. 答案：A解析：法一：先比较b 与c ，构造函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x.∵0<25<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 为减函数且35>25，答案：A6．(2013·山东滨州质检)已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：作y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，如图．当x <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，则有a <b <0，②成立．当x >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，则有0<b <a ，①成立．当x ＝0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，则有a ＝b ＝0，⑤成立．故③④不成立． 答案：B 二、填空题解析：答案：28．设函数f (x )＝a －|x |(a >0且a ≠1)，若f (2)＝4，则f (－2)与f (1)的大小关系是________．解析：由f (2)＝a －2＝4，解得a ＝12，∴f (x )＝2|x |，∴f (－2)＝4>2＝f (1)． 答案：f (－2)>f (1)9．已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a ＝________.解析：当0<a <1时，函数f (x )＝a x 在区间[1,2]上为减函数， 最小值为f (2)＝a 2，最大值为f (1)＝a ，依题意，可得a －a 2＝a 2，解得a ＝0(舍去)或a ＝12；当a >1时，函数f (x )＝a x 在区间[1,2]上为增函数， 最小值为f (1)＝a ，最大值为f (2)＝a 2，依题意，可得a 2－a ＝a 2，解得a ＝0(舍去)或a ＝32. 综上，a ＝12或a ＝32. 答案：12或32 三、解答题10．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求 f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值．解：由3－4x ＋x 2>0，得x >3或x <1， ∴M ＝{x |x >3或x <1}，f (x )＝－3×(2x )2＋2x＋2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －162＋2512.∵x >3或x <1，∴2x >8或0<2x <2，∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值．11．已知f (x )＝aa －1(a x －a －x )(a >0，且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时， f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． 解：(1)函数定义域为R ，关于原点对称．又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0.y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时， f (x )在定义域为单调递增函数． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， 所以在区间[－1,1]上也是增函数． 所以f (－1)≤f (x )≤f (1)．所以f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a ＝－1.所以要使f (x )≥b 在[－1,2]上恒成立，则只需b ≤－1. 故b 的取值范围是(－∞，－1]． 12．已知函数f (x )＝3x－13|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值； (2)判断x >0时，f (x )的单调性；(3)若3tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[12，1]恒成立，求m 的取值范围．解：(1)当x ≤0时，f (x )＝3x －3x ＝0， ∴f (x )＝2无解．当x >0时，f (x )＝3x－13x ，令3x－13x ＝2.∴(3x )2－2·3x －1＝0，∴3x ＝1±2. ∵3x >0，∴3x ＝1－2(舍)，∴3x ＝1＋2， ∴x ＝log 3(1＋2)． (2)当x >0，f (x )＝3x －13x .∵y ＝3x在(0，＋∞)上单调递增，y ＝13x 在(0，＋∞)上单调递减．∴f (x )＝3x－13x 在(0，＋∞)上单调递增．(3)∵t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴f (t )＝3t－13t >0.∴3tf (2t )＋mf (t )≥0化为3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫32t－132t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －13t ≥0.即3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t＋13t ＋m ≥0，即m ≥－32t －1.令g (t )＝－32t－1，则g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上递减， ∴g (x )max ＝－4.∴所求实数m 的取值范围是[－4，＋∞)． [热点预测]13．(1)集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．R(2)设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时， f (x )＝2x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.解析：(1)若A ∩B 只有一个子集，则这个子集为空集Ø，即A ∩B ＝Ø，作出y ＝a 和y ＝b x ＋1(b >0且b ≠1)的图象．由图可知a ≤1时，y ＝a 与y ＝b x ＋1无公共点．(2)由①知f (x )是奇函数，由②知f (x )的周期为2∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (2)＝f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝0 ∴原式＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＝2－1＋21－1＝ 2答案：(1)B (2) 2。

测试内容：解析几何时间：90分钟 分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32B.32 C ．3D ．－3解析：由两点式，得y －31－3＝x －0－1－0，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0，得x ＝－32，即在x 轴上的截距为－32.答案：A2．到直线3x －4y ＋1＝0的距离为3且与此直线平行的直线方程是( ) A ．3x －4y ＋4＝0B ．3x －4y ＋4＝0或3x －4y －2＝0C ．3x －4y ＋16＝0D ．3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0 解析：设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0. 由|m －1|5＝3，解得m ＝16，或m ＝－14. 即所求直线方程为3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0 答案：D3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析：由题意a 2－b 2a ＝32，所以a 2＝4b 2.故双曲线的方程可化为x 24b 2－y 2b2＝1，故其渐近线方程为y ＝±12x .答案：A4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14B ．－4C ．4D.14解析：双曲线方程化为标准形式：y 2－x 2－1m＝1则有：a 2＝1，b 2＝－1m，∴2a ＝2,2b ＝2－1m，∴2×2＝2 －1m ，∴m ＝－14. 答案：A5．过点A (0,3)，被圆(x －1)2＋y 2＝4截得的弦长为23的直线的方程是( ) A ．y ＝－43x ＋3B ．x ＝0或y ＝－43x ＋3C ．x ＝0或y ＝43x ＋3D ．x ＝0解析：当过点A (0,3)且斜率不存在的直线与圆的相交弦长为23，此时，弦所在直线方程为x ＝0；当弦所在的直线斜率存在时，设弦所在直线l 的方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0. 因为弦长为23，圆的半径为2，所以弦心距为22－32＝1，由点到直线距离公式得|k ＋3|k 2＋－2＝1，解得k ＝－43.综上，所求直线方程为x ＝0或y ＝－43x ＋3.答案：B6．如果实数x 、y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值( ) A.12 B.33C.22D. 3解析：设y x＝k ，则得直线l ：kx －y ＝0，∴圆心(2,0)到直线l 的距离d ＝|2k －0|k 2＋1≤ 3解得－3≤k ≤ 3，∴k max ＝3，故选D.答案：D7(2013·江西六校联考)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115D ．3解析：由抛物线定义知动点P 到l 2的距离与到焦点F 的距离相等，故将问题转化成焦点F (1,0)到直线l 1的距离即可．d ＝|4×1－3×0＋6|32＋42＝2，故选B. 答案：B8．(2012·课标全国卷)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝1，抛物线的准线为x ＝－4，且|AB |＝43，故可得A (－4,23)，B (－4，－23)，将点A 坐标代入双曲线方程得a 2＝4，故a ＝2，故实轴长为4.答案：C9．(2013·大纲卷)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 解析：由题意知点P 在第一象限，设P 点横坐标为x ，则纵坐标为y ＝32×4－x 2，由PA 2的斜率得：1≤32× 2＋x 2－x ≤2，即23≤ 2＋x 2－x ≤43，PA 1的斜率为32× 2－x2＋x，所以PA 1的斜率取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.故选B.答案：B10．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：由椭圆x 24＋y 23＝1可得点F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →· FP→＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．“直线ax ＋2y ＋1＝0和直线3x ＋(a －1)y ＋1＝0平行”的充要条件是“a ＝________”．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧aa －－2×3＝0，a －，得a ＝－2，∴两直线平行的充要条件是“a ＝－2”． 答案：－212．(2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析：根据双曲线方程的结构形式可知，此双曲线的焦点在x 轴上，且a 2＝m ，b 2＝m 2＋4，故c 2＝m 2＋m ＋4，于是e 2＝c 2a 2＝m 2＋m ＋4m＝(5)2，解得m ＝2，经检验符合题意．答案：213．(2013·温州市高三第二次适应性测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．解析：如图，根据双曲线的定义知|AF 1|－|AF 2|＝2， 又|AF 2|＝2，∴|AF 1|＝4. 又|BF 1|－|BF 2|＝2， 得|BF 1|＝|AB |.∴△F 1AB 是等腰直角三角形，其中∠ABF 1＝90°. ∴|AB |＝|BF 1|＝22， ∴S △F 1AB ＝12×22×22＝4.答案：414．(2013·山东泰安第二次模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是________．解析：当直线斜率不存在时|AF |·|BF |＝4 当直线斜率存在时，设y ＝k (x －1)与y 2＝4x联立得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1|AF ||BF |＝(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2>4∴最小值为4. 答案：4三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(满分12分)求经过7x ＋8y ＝38及3x －2y ＝0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程．解：设所求直线为7x ＋8y －38＋λ(3x －2y )＝0， 即(7＋3λ)x ＋(8－2λ)y －38＝0， 令x ＝0，y ＝388－2λ，令y ＝0，x ＝387＋3λ，由已知，388－2λ＝387＋3λ，∴λ＝15，即所求直线方程为x ＋y －5＝0.又直线方程不含直线3x －2y ＝0，而当直线过原点时，在两轴上的截距也相等，故3x －2y ＝0亦为所求．16．(满分12分)设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解：设所求圆的圆心为(a ，b )，半径为r ，∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上， ∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上， ∴a ＋2b ＝0，① (2－a )2＋(3－b )2＝r 2②又直线x －y ＋1＝0截圆所得的弦长为22， ∴r 2－(a －b ＋12)2＝(2)2③解由方程①、②、③组成的方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，a ＝6，r 2＝52.或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－7，a ＝14，r 2＝244，∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.17．(满分12分)(2013·福建卷)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 解：(1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|OC |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.18．(满分14分)(2013·天津五区县高三质量调查(一))已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的两倍，且过点C (2,1)，点C 关于原点O 的对称点为点D .(1)求椭圆E 的方程；(2)点P 在椭圆E 上，直线CP 和DP 的斜率都存在且不为0，试问直线CP 和DP 的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；(3)平行于CD 的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，求△CMN 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．解：(1)∵2a ＝2·2b ，∴a ＝2b ， 椭圆E 过点C (2,1)，代入椭圆方程得 224b 2＋1b2＝1，∴b ＝2，a ＝22， 所求椭圆E 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)依题意得D (－2，－1)在椭圆E 上，CP 和DP 的斜率K CP 和K DP 均存在，设P (x ，y )则K CP ＝y －1x －2，K DP ＝y ＋1x ＋2， K CP ×K DP ＝y －1x －2×y ＋1x ＋2＝y 2－1x 2－4，又∵点P 在椭圆E 上，∴x 28＋y 22＝1，∴x 2＝8－4y 2.∴x 2＝8－4y 2代入K CP ×K DP ＝y 2－1x 2－4＝－14.所以CP 和DP 的斜率K CP 和K DP 之积为定值－14.(3)CD 的斜率为12，∵CD 平行于直线l ，∴设直线l 方程为y ＝12x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋t x 28＋y 22＝1消去y ，整理得x 2＋2tx ＋(2t 2－4)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4t 2－t 2－＝－t2x 1＋x 2＝－2t x 1·x 2＝2t 2－4，|MN |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝ 54－t 2(－2<t <2)， d ＝|t |1＋14＝2|t |5， S ＝12|MN |·d ＝12·54－t 2·2|t |5 ＝|t |·4－t 2＝t2－t2≤42＝2. 当且仅当t 2＝4－t 2时取等号，即t 2＝2时取等号． 所以△MNC 面积的最大值为2. 此时直线l 的方程y ＝12x ± 2.。

课时作业(十七)一、选择题1．sin 2 014°＝( )A ．sin 34°B ．－sin 34°C ．sin 56°D ．－sin 56° 解析：sin 2 014°＝sin(5×360°＋214°) ＝sin 214°＝sin(180°＋34°)＝－sin 34°.故选B. 答案：B2．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )A ．sin θ<0，cos θ>0B ．sin θ>0，cos θ<0C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0，∴cos θ<0. 答案：B3．(2013·东北三校模拟)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13解析：∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2 ＝－1－sin 2θ＝－23.答案：B4．已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2解析：由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0，且1－sin α≠0，∴1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，∴cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝12.答案：A5.1－2sin (π＋2)cos (π＋2)等于( ) A ．sin 2－cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．±(sin 2－cos 2)D ．sin 2＋cos 2解析：原式＝1－2sin 2cos 2＝|sin 2－cos 2|∵2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 2>cos 2，原式＝sin 2－cos 2.答案：A6．(2013·泉州模拟)已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )A.32B.12C.22 D ．－12解析：f (α)＝sin αcos α(－cos x )(－tan α)＝sin αcos αsin α＝cos α∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－253π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos π3＝12. 答案：B 二、填空题7.1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________. 解析：原式＝(sin 40°－cos 40°)2cos 40°－cos 50°＝cos40°－sin 40°cos 40°－sin 40°＝1.答案：18．(2013·中山模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＝________.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－35.答案：－359．(2013·临沂模拟)设f (x )＝sin x ＋cos x, f ′(x )是f (x )的导函数，若f (x )＝2f ′(x )，则sin (π－x )·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos xcos 2x＝________. 解析：f ′(x )＝cos x －sin x ，由f (x )＝2f ′(x )得sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x∴tan x ＝13，原式＝sin 2x ＋sin x cos x cos 2x ＝tan 2x ＋tan x ＝19＋13＝49. 答案：49 三、解答题10．已知cos (π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π－α)；(2)sin [α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2nπ)cos (α－2nπ)(n ∈Z )．解：∵cos(π＋α)＝－12，∴－cos α＝－12，cos α＝12. 又∵α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－32.(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32； (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2nπ)·cos (α－2nπ)＝sin (2nπ＋π＋α)＋sin (－2nπ－π＋α)sin (2nπ＋α)·cos (－2nπ＋α)＝sin (π＋α)＋sin (－π＋α)sin α·cos α＝－sin α－sin (π－α)sin α·cos α ＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.11．已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根．(1)求角A ；(2)若1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B ＝－3，求tan B .解：(1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1. 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin 2A ＋(3sin A －1)2＝1， 即4sin 2A －23sin A ＝0，得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32，则A ＝π3或2π3，将A ＝π3或2π3代入①知A ＝2π3时不成立，故A ＝π3. (2)由1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B ＝－3，得sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0， ∵cos B ≠0，∴tan 2B －tan B －2＝0， ∴tan B ＝2或tan B ＝－1.∵tan B ＝－1使cos 2B －sin 2B ＝0，舍去， 故tan B ＝2.12．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件，则⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝2sin β3cos α＝2cos β①②.由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6；当α＝－π4时，cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．[热点预测]13．(1)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A ．－104B ．－64 C.64 D.104(2)(2013·河北高三质量监测)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A.355B.377C.31010D.13解析：(1)根据题意得cos α＝x 5＋x 2＝24x ，解得x ＝3或x ＝－ 3. 又α是第二象限角，∴x ＝－ 3.即cos α＝－64，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－64，故选B. (2)由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.答案：(1)B (2)C。

【与名师对话】2015高考数学一轮复习 算法初步课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(2013·汕头市质量测评(二))执行下边的框图，若输出的结果为12，则输入的实数x的值是( )A.14B.32C.22D. 2 解析：x >1时，log 2x ＝12得x ＝2成立，而x <1时，x －1＝12得x ＝32>1与x <1矛盾，故选D.答案：D第1题图 第2题图2．(2013·天津卷)阅读上边的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )A ．64B ．73C ．512D ．585解析：第1次循环，S ＝1，不满足判断框内的条件，x ＝2；第2次循环，S ＝9，不满足判断框内的条件，x ＝4；第3次循环，S ＝73，满足判断框内的条件，跳出循环，输出S ＝73.答案：B3．(2013·浙江卷)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( )A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝7解析：k ＝1，S ＝1＋1－12＝32；k ＝2，S ＝1＋1－13＝53；k ＝3，S ＝1＋1－14＝74；k ＝4，S＝1＋1－15＝95.输出结果是95，这时k ＝5>a ，故a ＝4.答案：A第3题图 第4题图4．(2013·湖北七市联考)已知全集U ＝Z ，Z 为整数集，如上图程序框图所示，集合A ＝{x |框图中输出的x 值}，B ＝{y |框图中输出的y 值}；当x ＝－1时，(∁U A )∩B ＝( )A ．{－3，－1,5}B ．{－3，－1,5,7}C ．{－3，－1,7}D ．{－3，－1,7,9}解析：由程序框图的运行程序可知，集合A ＝{0,1,2,3,4,5,6}，B ＝{－3，－1,1,3,5,7,9}，所以(∁U A )∩B ＝{－3，－1，7,9}，故选D.答案：D5．(2013·辽宁大连第一次模拟)如图是用模拟方法估计椭圆x 24＋y 2＝1面积的程序框图，S 表示估计的结果，则图中空白处应该填入( )A ．S ＝N 250 B ．S ＝N 125 C ．S ＝M 250 D ．S ＝M125解析：区间0～2构成边长为2的正方形，其面积为4，由程序框图的运行程序可知在2 000个点中落在椭圆第一象限内的点共有M 个，而椭圆自身是关于x 轴、y 轴、原点对称的，故空白处应填入M 2 000×4×4＝M125，故选D.答案：D6．(2013·辽宁卷)执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出S ＝( ) A.511 B.111 C.3655 D.7255解析：S ＝122－1＋142－1＋162－1＋182－1＋1102－1＝511.答案：A第6题图 第7题图7．(2013·重庆六区高三调研抽测)一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为910，则判断框内应填入的条件是( )A ．i >9B ．i ≥9 C．i >10 D ．i ≥8 解析：S ＝11×2＋12×3＋…＋1n n ＋＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1，由S ＝910，得n ＝9，故选A.答案：A8．(2013·山西适应性训练考试)执行如图所示的程序框图，输入m＝1 173，n＝828，则输出的实数m的值是( )A．68B．69C．138D．139解析：1 173÷828＝1…345,828÷345＝2…138，354÷138＝2…69,138÷69＝2…0，∴m＝n＝69，n＝r＝0.∴输出的实数m的值为69.答案：B9．(2013·石家庄第二次模拟)定义min{a1，a2，…，a n}是a1，a2，…，a n中的最小值，执行程序框图(如图)，则输出的结果是( )A.15B.14C.13D.23解析：n＝2时，a2＝2，n＝3时，a3＝1a2＝12；n＝4时，a4＝a2＋1＝3，n＝5时，a5＝1a4＝1 3；n ＝6时，a 6＝a 3＋1＝32，n ＝7时，a 7＝1a 6＝23；n ＝8时，a 8＝a 4＋1＝4，T ＝min⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12，3，13，32，23，4＝13. 答案：C第9题图 第10题图10．(2013·云南昆明高三调研)某班有24名男生和26名女生，数据a 1，a 2，…，a 50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0)，如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A ，男生平均分：M ，女生平均分：－W .为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( )A ．T >0？，A ＝M ＋W50 B ．T <0？，A ＝M ＋W50 C ．T <0？，A ＝M －W 50D ．T >0？，A ＝M －W50解析：依题意得，全班成绩的平均数应等于班级中所有的学生的成绩总和除以总人数，注意到当T>0时，输入的成绩表示的是某男生的成绩；当T<0时，输入的成绩表示的是某女生的成绩的相反数．因此结合题意得，选D.答案：D二、填空题11．(2013·广东卷)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为________．解析：第1次循环：s＝1＋(1－1)＝1，i＝1＋1＝2；第2次循环：s＝1＋(2－1)＝2，i＝2＋1＝3；第3次循环：s＝2＋(3－1)＝4，i＝3＋1＝4；第4次循环：s＝4＋(4－1)＝7，i＝4＋1＝5.循环终止，输出s的值为7.答案：7第11题图第12题图12．(2013·山东卷)执行上面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．解析：逐次计算的结果是F1＝3，F0＝2，n＝2；F1＝5，F0＝3，n＝3，此时输出，故输出结果为3.答案：313．(1)(2013·宁德质检)运行下图所示的程序，输入3,4时，则输出________．INPUT a ，bIF a >b THENm ＝aELSE m ＝bEND IFPRINT mENDS ←0n ←0While S ≤1 023S ←S ＋2nn ←n ＋1End WhilePrint n第(1)题图 第(2)题图(2)(2013·常州市高三教学期末调研测试)根据上图所示的算法，可知输出的结果为________．解析：(1)程序的功能是比较两个数的大小且输出较大的数，所以输入3,4时输出4. (2)根据算法语句可知这是一个循环结构，S n 是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前n 项和，即：S n ＝1－2n1－2＝2n－1，可见n ＝10时，S 10＝1 023，所以n ＝10时进行最后一次循环，故n ＝11.答案：(1)4 (2)11 [热点预测]14．(1)(2013·安徽省“江南十校”高三联考)下图是寻找“徽数”的程序框图．其中“S mod 10”表示自然数S 被10除所得的余数，“S /10”表示自然数S 被10除所得的商．则根据上述程序框图，输出的“徽数S ”为( )A ．18B ．16C ．14D ．12第(1)题图 第(2)题图(2)(2013·江西重点中学第一次联考)如图所示的程序框图中，令a ＝tan θ，b ＝sinθ，c ＝cos θ，若在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|－π4<θ<3π4，θ≠0，π4，π2中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ，则θ的值所在范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π4C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2解析：(1)法一：S ＝10，则x ＝S MOD 10＝10，y ＝S /10＝1,3(x ＋y ＋1)＝6，不符合判断条件，S ＝11，则x ＝1，y ＝1，3(x ＋y ＋1)＝9，不符合判断条件．S ＝12，则x ＝2，y ＝1，3(x ＋y ＋1)＝12，符合判断条件，输出S ＝12，选D.法二：由题意知，此程序的功能是寻找“徽数”，所谓“徽数”的定义是个位数与S 被10除所得的商的和加1后，再乘以3等于这个数本身，所以从选项验证可知D 正确．(2)由程序框图可知，本程序的功能是输入的三个数中输出最大的一个，现在tan θ，sin θ，cos θ，输出了sin θ，所以sin θ是最大的，在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－π4<θ<3π4，θ≠0，π4，π2中θ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π.答案：(1)D (2)C。