九年级数学上册知识点(新北师大版)

北师大版《数学》（九年级上册）知识点总结第一章 证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。

（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。

（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。

（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。

二、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形.三、等边三角形性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）三线合一判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

四、直角三角形（一）、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 其它性质：1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。

北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
一．比例线段：
1两条线段的比是 的比。

将“形”的问题转化为“数”的问题。

2.成比例线段：四条线段a,b,c,d 中，如果 ，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段。

比例线段是有顺序的，即a,b,c,d 是成比例线段，则是a:b=c:d
3.如果c
b b
a ，那么
b 叫做a 和
c 的比例中项； 4.比例的性质：
（1）基本性质：如果 ，那么 。

（）等比性质：如果 ，那么 5.平行线分线段成比例定理：
如图，321////l l l ，则可得比例式： DE//AB,则所得比例式：
6．黄金分割： 黄金比 二．相似三角形：
1.相似三角形的判定方法：
（1）两角对应 的两个三角形相似。

（2）两边对应 且 相等的两个三角形相似。

（3）三边 的两个三角形相似
2.相似三角形的性质：
3.位似图形：
4.位似图形有同向和 两种。

在坐标系中，图形上点的坐标都乘以k 时，得到的图形与原图形关于原点位似，且位似比是|k|.
5.判定两个三角形相似的常用步骤：
先通过已知，平行、对顶角、公共角等，看能否找到两对相等的角； 若只能找到一对相等的角，再分析夹这个角的两边是否成比例； 若找不到相等的角，就分析三边是否成比例。

5.常见的基本模型有 ：
D E F
1l 3
l 2
l m n
B A C。

九年级上册数学知识点归纳总结北师大版3.九班级上册数学学问点归纳总结北师大版篇三1.直线与圆有公共点时，叫做直线与圆相切。

2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心。

3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角。

4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心。

5.垂直于半径的直线必为圆的切线。

6.过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线。

7.垂直于半径的直线是圆的切线。

8.圆的切线垂直于过切点的半径。

4.九班级上册数学学问点归纳总结北师大版篇四单项式与多项式仅含有一些数和字母的乘法包括乘方运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式或字母因数的数字系数，简称系数。

当一个单项式的系数是1或—1时，“1”通常省略不写。

一个单项式中，全部字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

假如在几个单项式中，不管它们的系数是不是相同，只要他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么，这几个单项式就叫做同类单项式，简称同类项全部的常数都是同类项。

1、多项式有有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式。

多项式里每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项，叫做常数项。

单项式可以看作是多项式的特例把同类单项式的系数相加或相减，而单项式中的字母的乘方指数不变。

在多项式中，所含的不同未知数的个数，称做这个多项式的元数经过合并同类项后，多项式所含单项式的个数，称为这个多项式的项数所含个单项式中次项的次数，就称为这个多项式的次数。

2、多项式的值任何一个多项式，就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子。

3、多项式的恒等对于两个一元多项式fx、gx来说，当未知数x同取任一个数值a 时，假如它们所得的值都是相等的，即fa=ga，那么，这两个多项式就称为是恒等的记为fx==gx，或简记为fx=gx。

性质1假如fx==gx，那么，对于任一个数值a，都有fa=ga。

性质2假如fx==gx，那么，这两个多项式的个同类项系数就肯定对应相等。

北师大版九年级上册数学复习知识点及例题数学九年级上册知识点总结第一章特殊的平行四边形复中考考点综述：矩形、菱形、正方形是历年中考的必考内容之一。

这些特殊的平行四边形主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。

考试内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算。

学生需要了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。

知识目标：掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定。

通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。

重难点：1.矩形、菱形性质及判定的应用2.相关知识的综合应用知识点归纳：矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

性质：四个角都是直角；对角线相等，具有平行四边形的所有性质。

判定：1.对角线相等的平行四边形是矩形。

2.四个角都是直角的四边形是矩形。

3.有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例题：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60，则该矩形的面积为？菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

性质：对边平行，四边相等；对角相等；互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。

判定：四边相等的四边形；是平行四边形且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角；是平行四边形且两条对角线互相垂直。

例题：菱形具有而矩形不具有的性质是？正方形：定义：四边相等且四个角都是直角的平行四边形叫做正方形。

性质：对边平行，四边相等；四个角都是直角；互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角。

判定：四边相等的四边形；是平行四边形且有一组邻边相等；是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角；是平行四边形且两条对角线互相垂直。

例题：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证四边形EFGH是矩形。

总结：掌握特殊平行四边形的定义、性质和判定方法，能够灵活运用所学知识解决实际问题，是数学研究的基础。

九年级第三章
概率的进一步认识
一、用树状图或表格求概率
知识点1：用列表法求概率
1.列表法：用表格的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能出现的次数和方式，并求出概率。

2.适当条件：当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果的数目较多时为了不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法
3.具体步骤：
（1）列表；
（2）计数；确定所有等可能的结果数n和符合要求的结果数m
m
（3）求值利用概率公式P（A）=
n
知识点2：用画树状图法求概率
1.画树状图法：用树状图的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能出现的次数和方式，并求出概率。

2.适当条件：当一次试验涉及两个或者更多因素时，为了不重不漏地列出可能的结果，通常采用画树状图法。

知识点3：游戏的公平性
1.游戏是否公平，即判断双方的概率是否相等
2.把不公平的游戏变公平的方法
改变游戏规则，使双方获胜的概率相等
若游戏中涉及得分情况，先计算出概率后，再根据游戏规则，改变游戏得分，使双方平均每次游戏所得分数相等。

二、用频率估计概率
1.一般地，大量重复试验中，如果事件A 发生频率
n m 稳定于某个常数p ，那么事件A 发生的概率为p 2.P(A)=n
m （当试验的结果有无限多个，或者可能出现的结果发生的可能性不相同时，我们一般通过频率来估计概率）。

九年级数学上册知识点归纳（北师大版）第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与视图第六章反比例函数（八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。

※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。

※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。

这个距离称为平行线之间的距离。

第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

2矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。

矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。

（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。

北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结第一章特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。

（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。

（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

注意：平行线间的距离处处相等。

5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。

（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。

（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。

（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。

（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

新版九年级数学上册知识点归纳北师大版新版九年级数学上册知识点归纳（北师大版）一、整数的运算1. 整数的加法和减法运算a) 同号数相加、相减b) 异号数相加、相减c) 加法的交换律和结合律d) 减法与加法的关系2. 整数的乘法和除法运算a) 同号数相乘、相除b) 异号数相乘、相除c) 乘法的交换律和结合律d) 除法的定义和性质3. 整数运算的综合应用a) 数线和整数运算b) 整数的乘方运算c) 分数与整数的运算d) 整数运算在解决实际问题中的应用二、平方根与立方根1. 平方根的定义和性质a) 平方根的概念b) 完全平方数和非完全平方数c) 求平方根的方法2. 平方根的运算a) 平方根的加法和减法b) 平方根的乘法和除法c) 求平方根的应用3. 立方根的定义和性质a) 立方根的概念b) 立方根的运算三、代数式的定义与运算1. 代数式的概念和基本性质a) 变量、常数和代数式的关系b) 代数式的展开与因式分解2. 代数式的加法和减法a) 同类项与合并同类项b) 代数式的加减运算规则c) 根据题意列代数式3. 代数式的乘法和除法a) 代数式的乘法规则b) 代数式的除法规则c) 根据题意列代数式四、一次函数1. 一次函数的定义和性质a) 一次函数的概念b) 一次函数的图象特点c) 一次函数的斜率和截距2. 一次函数的图象与方程a) 一次函数的图象和方程的关系b) 根据图象写出方程c) 根据方程画出图象3. 一次函数的应用a) 一次函数在实际问题中的应用b) 利润、成本和收入的关系五、二次根式1. 二次根式的定义和性质a) 二次根式的概念b) 二次根式的化简与还原c) 二次根式的近似计算2. 二次根式的加法和减法a) 同类项的概念和加减运算b) 多个二次根式的相加相减3. 二次根式的乘法和除法a) 二次根式的乘法运算b) 二次根式的除法运算4. 二次根式的应用a) 二次根式在图形的计算中的应用b) 二次根式在实际问题中的应用六、三角形的性质1. 三角形的基本概念a) 三角形的定义b) 三角形的分类2. 三角形的角度与边的关系a) 三角形内部角的性质b) 三角形外角的性质3. 三角形的边与边的关系a) 三角形边长的大小关系b) 三角形边长的和差关系4. 三角形的中线与垂直平分线a) 三角形的中线性质b) 三角形的垂直平分线性质七、相似三角形1. 相似三角形的概念和性质a) 相似三角形的定义b) 相似三角形的判定条件c) 相似三角形的性质2. 相似三角形的比例关系a) 相似三角形的边比例b) 相似三角形的角度对应关系3. 相似三角形的应用a) 相似三角形在图形中的应用b) 相似三角形在实际问题中的应用以上是新版九年级数学上册的知识点归纳，包括整数的运算、平方根与立方根、代数式的定义与运算、一次函数、二次根式、三角形的性质以及相似三角形等内容。

新北师大版九年级上册数学全册课件新北师大版九年级上册数学全册课件介绍：本课件是新北师大版九年级上册数学的完整课件，旨在帮助学生更好地掌握数学知识和技能。

本课件包括各章节的重点、难点、例题、练习题和思考题等，是学生自主学习和教师教学的有力辅助工具。

第一章：锐角三角函数学习目标：1、理解锐角三角函数的定义和意义。

2、掌握正弦、余弦、正切的概念和计算方法。

3、会使用锐角三角函数解决实际问题。

重点：1、锐角三角函数的定义和计算方法。

2、使用锐角三角函数解决实际问题。

难点：1、对于锐角三角函数的理解和应用。

2、对于特殊角的三角函数值的记忆和应用。

例题：已知锐角α，求sinα、cosα、tanα的值。

分析：根据特殊角的三角函数值直接计算。

解答： sinα= ，cosα= ，tanα= 。

第二章：概率初步学习目标：1、理解概率的概念和意义。

2、掌握概率的基本计算方法。

3、会使用概率解决实际问题。

重点：1、概率的基本计算方法。

2、使用概率解决实际问题。

难点：1、对于概率的理解和应用。

2、对于概率的加法和乘法法则的理解和应用。

例题：已知一个袋子中有3个红球、2个白球、1个黄球，求取出红球的概率。

分析：根据概率的基本计算方法计算。

解答：取出红球的概率为 = 。

第三章：数据集中趋势及人口数量变化的描述学习目标：1、理解数据集中趋势的意义。

2、掌握计算数据集中趋势的方法。

3、会使用数据集中趋势描述人口数量变化。

重点：1、计算数据集中趋势的方法。

2、使用数据集中趋势描述人口数量变化。

难点：1、对于数据集中趋势的理解和应用。

2、对于人口数量变化的描述方法和技巧。

例题：已知某城市各年龄段人口数量，求该城市人口数量的平均年龄和中位数。

分析：根据平均数和中位数的计算方法计算。

解答：平均年龄为（岁），中位数为（岁）。

新北师大版四年级上册数学全册课件新北师大版四年级上册数学全册课件【内容简析】四年级数学上册是新北师大版教材，本教材根据《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的精神，在总结实验教材和教学经验的基础上编写而成。

北师大版数学九年级上册课本知识点第一章证明（二）1、（2页）公理三边对应相等的两个三角形全等。

（sss）公理两边及其夹角对应成正比的两个三角形全系列等。

（sas）公理两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

（asa）公理全系列等三角形的对应边成正比、对应角成正比。

推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（aas）2、（3页）定理等腰三角形的两个底角成正比。

3、（4页）推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

随堂练习1.证明：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60。

4、（7页）定理存有两个角成正比的三角形就是等腰三角形。

（等角对等边）5、（8页）在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法。

6、（11页）定理存有一个角等同于60的等腰三角形就是等边三角形。

7、（12页）定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

8、（13页）随堂练1.证明：三个角都成正比的三角形就是等边三角形。

9、（16页）定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的一半。

10、（17页）定理如果三角形两边的平方和等同于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

11、（18页）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

一个命题就是真命题，它的逆命题却不一定就是真命题。

如果一个定理的逆命题经过证明就是真命题，那么它也就是一个定理，这两个定理称作互逆定理。

12、（23页）定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（“斜边、直角边”或“hl”）13、（26页）定理线段垂直平分线上的的边这条线段两个端点的距离成正比。

14、（27页）定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

九年级数学上册知识点归纳（北师大版）第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章图形的相似第四章投影与视图第五章反比例函数第六章概率的进一步认识（八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。

※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。

※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。

这个距离称为平行线之间的距离。

第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

2矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。

矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。

（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。

北师大版《数学》（九年级上册）知识点总结第一章证明（二）1、你能证明它吗？（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、（2）等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

或者三个角都相等的三角形是等边三角形。

（4）含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。

（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）3、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。

4、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

北师大版九年级数学上册《特殊平行四边
形》知识点归纳
北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》知识点归纳
第一章特殊平行四边形
一. 菱形的性质与判定
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2性质：（1）菱形是轴对称图形。

（2）菱形的四条边相等。

（3）菱形的对角线互相垂直平分。

（4）
3.判定：（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（2）四边相等的四边形是菱形。

二、矩形的性质与判定
1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，
2、性质：（1）、矩形是轴对称图形。

（2）、矩形的四个角都是直角。

（3）矩形的对角线相等。

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3、判定：（1）对角线相等的平行四边形是矩形。

（2）有三个角是直角的四边形是矩形。

三.正方形的性质与判定
1、定义：有一组邻边相等，并且有地全直角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、性质：（1）正方形的四个角是直角，四条边相等。

（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分。

3、判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。

（2）对角线互相垂直的矩形是正方形（3）有一个角是直角的菱形是正方形（4）对角线相等的菱形是正方形。

特殊的平行四边形考点一：直角三角形斜边上的中线的性质1.如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BD 平分∠ABC ，P 是BD 的中点，若AD=6，则CP 的长为（ ） A.3 B. 3.5 C.4 D. 4.52.如图2，平行四边形ABCD 中，AC ⊥BC ，E 为AB 的中点.若CE=2,则CD=（ ） A.2 B.3 C.4 D.5总结：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.本次期中考试考到的可能性还是有的，一旦考了，我们可能就会手足无措，为什么呢，因为我们忘了这一性质，需引起重视.考点二：特殊的平行四边形1.如图3，在菱形ABCD 中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC 的周长等于（ ）A.20B.15C.10D.5思考：为什么要出这样一道题，因为菱形中出现了120°（或60°），就会产生等边三角形2.如图4，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E ，若∠ADC=130°，则∠AOE 的大小为（ ） A.75° B.65° C.55° D.50°3.如图5,在菱形ABCD 中,∠A=110°,E,F 分别是边AB 和BC 的中点,EP ⊥CD 于点P,则∠FPC=( ) A.35° B.45° C.50° D.55°思考：有中点，应该想到倍长中线.【课堂练】4.如图6，在菱形ABCD 中，AB =5，对角线AC =6．若过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则AE 的长为______.5.如图7，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，E 为AB 的中点，P 为对角线BD 上任意一点，AB=4，PA+PE 的最小值为（ ）A.4 B.2 C.32 D.336.如图8，在菱形ABCD 的边长是6，∠ABC=60°，点E 、F 、G 是BC 、CD 、BD 上的任意一点，则EG+FG 的最小值是（ ） A.33 B.2 C.32 D.6思考：几何中的一个、两个或多个动点问题如何求解，关键在于通过对称将点转化到一条直线上再求.【课堂练】7.如图9，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，AC 于点E ，O ，连接CE ，则CE 的长为（ ）A.3.5 B.3 C.2.8 D.2.5思考：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,但是我们却常常将它忘掉.【课堂练】8.如图10，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为( ). A.3 B.2.4 C.4 D.4.89.如图11，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为________.10.如图12，在矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，若M 、N 分别是线段AC 、AB 上的两个动点，则BM+MN 的最小值为______.【课堂练】11.在□ABCD 中，AB=10，BC=14，E 、F 分别为边BC 、AD 上的点，若四边形AECF 为正方形，则AE 的长为（ ） A.7 B.4或10 C.5或9 D.6或8【课堂练】12.如图13，在矩形ABCD 中，AD=2AB,点M 、N 分别在AD 、BC 上，连接BM 、DN.若四边形MBND 是菱形，则MD AM 等于（ ） A.83 B.32 C.53 D.54 13.如图14，边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点T ，交FG 于点P ，则GT=（ ） A.2 B.22 C.2 D.1【课堂练】14.如图15，边长为6的大正方形中有两个小正方形.若两个小正方形的面积分别为21S S ，,则1S +2S 的值为（ ） A.16 B.17 C.18 D.19【课堂练】15.如图16，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值是（ ）A.B．C．D．※【难题】16.如图17，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_____．【课堂练】17.如图18，正方形ABCD中，∠DAC的平分线交DC于点E．若P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ能取到的最小值为42时，此正方形的边长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【必须做】18.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD，OC 上，且DE=CF，连接DF与AE的延长线交DF于点M．求证：AM⊥DF．考点三特殊的平行四边形的判定【课堂练】1.如图，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线.添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（）A.AE=AFB.EF⊥ACC.∠B=60°D.AC是∠EAF的平分线【必须做】2.如图，AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE，求证：四边形BCDE是矩形. 【必须做】3.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形.(1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠AED=2∠EAD，求证四边形ABCD是正方形.【必须做】4.如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACD平分线于点F．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由．（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．警示：解答题，考虑好再写，写的过程要思路清晰，有条理.考点四探究问题1.在正方形地块内修两条笔直的道路，把正方形分成形状相同且面积相等的四部分，道路宽度忽略不计.请设计三种不同的方案，在给出的三张正方形图纸上分别画出来，并简述绘图步骤.2.你能用手中的矩形纸片折出一个菱形吗？（1）聪明的你能够想出菱形应该怎样折出来吗？请你在下图中画出菱形的面积.(2)在矩形ABCD中，设AB=3，AD=4，请你用尺规在图中画出面积最大的菱形（保留作图痕迹，不用说明理由），标注上适当的字母，并求出这个菱形的面积.（3）已知：平行四边形ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）．请你求出AB与BC的比值.3.（2013.河池）如图（1），在Rt△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M．（1）求证：△ABD≌△FBC；（2）如图（2），已知AD=6，求四边形AFDC的面积；（3）在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，当∠ACB≠90°时，c2≠a2+b2．在任意△ABC中，c2=a2+b2+k．就a=3，b=2的情形，探究k的取值范围（只需写出你得到的结论即可）．4.(2013.陕西)（1）请在图①中，作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由。

北师大版初中数学九年级(上册)各章知识点第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与视图第六章反比例函数第一章特殊平行四边形菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。

矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。

（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

鹏翔教图3※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

※夹在两条平行线间的平行线段相等。

※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程认识一元二次方程．．．．．．用．配方法求解．．．．．一元二次方程．．．．．．用公式法求解一元二次方程用因式分解法求解一元二次方程一元二次方程的跟与系数的关系应用一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。