2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 3-1 双曲线及其标准方程 精品

§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程自主整理1.双曲线的定义:平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的___________等于常数(_________|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线,这两个定点F 1、F 2叫作双曲线的___________,两焦点之间的距离叫作双曲线的___________.2.双曲线的标准方程当焦点在x 轴上时,双曲线的标准方程为___________,焦点坐标为___________、___________,其中a 、b 、c 间的关系是___________;当焦点在y 轴上时,双曲线的标准方程为_______________________,焦点坐标为__________、__________.3.设双曲线两焦点之间距离为2c(c>0),双曲线上任一点M 与两焦点距离之差的绝对值为常数2a(0<a<c),则M 所满足的关系式是______________________.高手笔记1.双曲线定义与椭圆定义的异同(1)两者都是描述动点与两定点距离的关系,但有本质区别,双曲线是动点到两定点距离的差的绝对值是常数,而椭圆则是动点到两定点距离之和是常数.(2)a 、b 、c 之间的关系,双曲线与椭圆有区别,在椭圆中有a 2=b 2+c 2,而在双曲线中有c 2=a 2+b 2,这些隐含条件在解题时一定不要混淆.2.在双曲线的定义中,不要忽视绝对值．．．这一中心词,若不加绝对值,则仅表示双曲线的一支. 3.可用x 、y 项的系数正负来判断双曲线焦点在哪一个坐标轴上.4.求双曲线方程的基本方法是待定系数法,在解决此类问题时,应考虑双曲线标准方程有一种还是两种形式.名师解惑1.在平面内,与两个定点F 1、F 2的距离之差等于常数的点M 的轨迹是什么?剖析:(1)当其中的常数等于零时,相应的动点M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线;(2)当其中的常数的绝对值小于定点F 1、F 2的距离时,即|MF 1|-|MF 2|<|F 1F 2|,相应的动点M 的轨迹是以定点F 1、F 2为焦点的双曲线的一支(注:如果这个常数为正,相应的轨迹是含焦点F 2的一支;如果这个常数是负,相应的轨迹是含焦点F 1的一支);(3)当其中的常数的绝对值等于定点F 1、F 2的距离时,即||MF 1|-|MF 2||=|F 1F 2|,相应的动点M 的轨迹是一条射线(注:如果这个常数为正,相应的轨迹是以F 2为端点、方向与21F F 相同的一条射线;如果这个常数是负,则相应的轨迹是以F 1为端点、方向与21F F 相反的一条射线);(4)当其中的常数的绝对值大于定点F 1、F 2的距离时,相应的动点M 的轨迹不存在.2.在给出一条双曲线的方程(能够化为标准方程的形式)时如何判断其焦点处于哪条数轴上?与给出一个椭圆的方程(能够化为标准方程的形式)判断其焦点处于哪条数轴上一样吗?剖析:如果所给的双曲线的方程不是标准方程的形式,首先将其转化为标准方程的形式,然后看被减式对应的分子中的字母即是相应的焦点所在的数轴.这一点显然就与给出椭圆的方程判定焦点所在的数轴的方法不同.3.双曲线与椭圆是两种不同的圆锥曲线,其标准方程形式能够统一吗?剖析:尽管双曲线与椭圆是两种不同的圆锥曲线,但其标准方程形式能够统一.只要仔细观察一下它们的标准方程形式就不难看出.在方程22ax +22b y =1中,令21a =m,21b =n,则对应的方程为mx 2+ny 2=1;同样地,在方程2222b y a x -=1中,只要令21a =m,21b -=n,则对应的方程为mx 2+ny 2=1.由此可见,双曲线与椭圆的标准方程都能够化为mx 2+ny 2=1(对于焦点在纵轴上的椭圆与双曲线的标准方程也不难得出相同的结论).因此,在具体问题中可以考虑将所要求的椭圆或双曲线的标准方程设为mx 2+ny 2=1的形式,只是要注意这个方程要表示椭圆与双曲线时,对于m 、n 的要求不一样.4.双曲线2222by a x -=1(a>0,b>0)的焦点是(-c,0)、(c,0),那么对于焦点是(-c,0)、(c,0)的双曲线的方程就一定是2222by a x -=1吗? 剖析:不一定.根据双曲线的定义可知,即使其两个焦点确定了,但定义中的常数(也就是实轴长)不定时,相应的双曲线也不定.那么对于具体问题中,如果要求与2222by a x -=1同焦点的双曲线的标准方程,可以将所求的双曲线方程设为λλ--+2222b y a x =1的形式,从而将问题解决.讲练互动【例1】P 是双曲线366422y x -=1上一点,F 1、F 2是双曲线的两个焦点,且|PF 1|=17,求|PF 2|的值. 解析:利用双曲线的定义求解.解:在双曲线366422y x -=1中,a=8,b=6,故c=10. 由P 是双曲线上一点,得||PF 1|-|PF 2||=16.∴|PF 2|=1,或|PF 2|=33.又|PF 2|≥c -a=2,得|PF 2|=33.黑色陷阱本题容易忽略|PF 2|≥c -a 这一条件,而得出错误的结论|PF 2|=1,或|PF 2|=33.变式训练1.双曲线16922y x -=1的两个焦点为F 1、F 2,点P 是双曲线上的点,若PF 1⊥PF 2,求点P 到x 轴的距离.解:方法一:由题意得F 1(-5,0)、F 2(5,0),设P 的坐标是(x 0,y 0),又PF 1⊥PF 2,则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,故有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-+++.1169,100)5()5(202020202020y x y x y x 解得|y 0|=516,故P 到x 轴的距离为516. 方法二:以O 为圆心,以2||21F F =5为半径作圆x 2+y 2=25,与16922y x -=1联立得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,1169,252222y x y x 解得y 2=25162,即|y|=516. ∴P 到x 轴的距离为516. 【例2】在周长为48的Rt △MPN 中,∠MPN=90°,tan ∠PMN=43,求以M 、N 为焦点,且过点P 的双曲线方程.解析:首先应建立适当的坐标系.由于M 、N 为焦点,所以建立如图所示直角坐标系,可知双曲线方程为标准方程.由双曲线定义可知||PM|-|PN||=2a,|MN|=2c,所以利用条件确定△MPN 的边长是关键.解:∵△MPN 的周长为48,且tan ∠PMN=43,∴设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.由3k+4k+5k=48,得k=4.∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.以MN 所在直线为x 轴,以MN 的中点为原点建立直角坐标系. 设所求双曲线方程为2222by a x -=1(a>0,b>0). 由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a 2=4.由|MN|=20,得2c=20,c=10.则b 2=c 2-a 2=96,所求双曲线方程为96422y x -=1. 绿色通道选取的坐标系不同,则双曲线的方程不同,但双曲线的形状不会发生变化,解题中应注意合理选取坐标系,这样能使所求曲线的方程更简捷.变式训练2.已知点M(-3,0)、N(3,0)、B(1,0),圆O′与MN 相切于点B,过M 、N 与圆O′相切的两直线相交于点P,则P 点的轨迹方程为______________.解析:如图所示,|PM|-|PN|=|PA|+|AM|-|PC|-|CN|=|MA|-|NC|=|MB|-|NB|=4-2=2.∴P 点的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支,c=3,a=1,b 2=8.∴所求的轨迹方程是x 282y -=1(x>1). 答案:x 282y -=1(x>1) 3.已知双曲线的两个焦点分别为F 1(2-,2-)、F 2(2,2),双曲线上一点P 到F 1、F 2的距离的差的绝对值等于22,求双曲线的方程.解析:由双曲线定义可得|PF 1|-|PF 2|=±22,整理化简即得.解:设P 点坐标为(x,y),∵|PF 1|=22)2()2(+++y x , |PF 2|=22)2()2(-+-y x ,|PF 1|-|PF 2|=±22, ∴22)2()2(-+-y x 22)2()2(-+--y x =±22.将这个方程移项后,两边平方,得 (x+2)2+(y+2)2=8±42×22)2()2(--y x +(x-2)2+(y-2)2,即x+y-2=±22)2()2(-+-y x .两边再平方,得x 2+y 2+2+2xy-22x-22y=x 2-22x+2+y 2-22y+2,整理,得xy=1,此即为所求双曲线方程.。

高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．(2)双曲线的焦点和焦距__________________________________， 两焦点间的距离叫作________________．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________， F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F 1________， F 2________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是______________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( )A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B .x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y 22＝14．双曲线x 2m －y 23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A .12B ．1或3C .1＋22D .2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y 22＝1 题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7.设F 1、F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝______.8．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 9．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝______.三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升12.若点O 和点F(-2,0)分别为双曲线2221xy a -=(a>0)的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞) 13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程知识梳理1．(2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0) (－c,0) (c,0) (2)y 2a 2－x 2b2＝1(a>0，b>0) (0，－c) (0，c) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙，只有当2a<|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab<0，所以b a<0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线，故选B .]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)． 由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b2＝1.② 由①②解得a 2＝1，b 2＝3， ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.] 4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m ＋3＋m ＝c 2＝4.∴m ＝12.] 5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B .] 7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4，又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2.8．－1<k<1解析 因为方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k ＋1)(k －1)<0.所以－1<k<1.9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0. ∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1 (a>0，b>0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A(±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5， 所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 11．解 设A 点的坐标为(x ，y)，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，代入sin B －sin C ＝12sin A ， 得|AC|2R －|AB|2R ＝12·|BC|2R，又|BC|＝8， 所以|AC|－|AB|＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1 (x>2)． 12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设P(x ，y)(x ≥3)，OP →·FP →＝(x ，y)·(x ＋2，y)＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x ≥3)． 令g(x)＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min ＝g(3)＝3＋2 3. ∴OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1， 且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知， 中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1， ∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y 25＝1.。

2.2抛物线的简单性质[学习目标] 1.通过图形理解抛物线的对称性、范围、顶点等简单性质.2.掌握抛物线的四种位置及相应的焦点坐标和准线方程.3.能够运用一元二次方程的根的性质解决直线与抛物线的位置关系等问题．知识点一抛物线的简单性质知识点二焦点弦直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝x1＋x2＋p.知识点三直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．题型一抛物线的简单性质例1过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．答案322解析 由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4.∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.反思与感悟 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．跟踪训练1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M (1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程． 解 (1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2＝mx (m ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得m ＝4. ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x ；(2)当抛物线的焦点在y 轴上时，设其标准方程为x 2＝ny (n ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得n ＝－12.∴抛物线的标准方程为x 2＝－12y .故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2＝－12y .准线方程为x ＝－1或y ＝18.题型二 抛物线的焦点弦问题例2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0. 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2. 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝52p ， 解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2 或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p2. 反思与感悟 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F ⎝⎛⎭⎫32，0. 所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . 所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.题型三 直线与抛物线的位置关系例3 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点； (2)两个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴． 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点．反思与感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．跟踪训练3 在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t ).代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y 答案 C解析 设抛物线y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，依题意得x ＝p2，代入y 2＝2px 或y 2＝－2px ，得|y |＝p ，∴2|y |＝2p ＝8，p ＝4.2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．(14，±24)B ．(18，±24)C ．(14，24)D ．(18，24)答案 B解析 由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F (14，0)，所以点P 的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为(18，±24)，故选B.3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为( ) A ．(1,2) B ．(0,0) C ．(12，1) D ．(1,4)答案 C解析 因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交，设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ⇒4x 2－4x －m ＝0.① 设此直线与抛物线相切，此时有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1. 将m ＝－1代入①式，x ＝12，y ＝1，故所求点的坐标为(12，1)．4．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0 B ．3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0 D ．2x ＋3y －1＝0答案 A解析 设直线l 的方程为3x －2y ＋c ＝0，抛物线y 2＝2x 的焦点F (12，0)，所以3×12－2×0＋c ＝0，所以c ＝－32，故直线l 的方程是6x －4y －3＝0.选A.5．已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 答案 －14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x －1＝0， ∵直线与抛物线相切，∴a ≠0且Δ＝1＋4a ＝0. ∴a ＝－14.1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用． 3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图像，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．(2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0)．相交：①有两个交点：⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ>0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ<0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．。

§3双曲线3．1双曲线及其标准方程●三维目标1．知识与技能：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，了解双曲线的实际背景和在解决实际问题中的作用．2．过程与方法：通过类比椭圆的定义和标准方程的推导过程，得出双曲线的定义和标准方程，体会椭圆、双曲线的定义、标准方程的区别和联系，培养分析、归纳、推导能力．3．情感、态度与价值观：通过探索双曲线的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养观察能力和创新意识．●重点难点重点：双曲线的定义．难点：双曲线标准方程推导过程中的化简．教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生类比椭圆的定义及标准方程，让学生学习双曲线的对应知识．在标准方程的化简时，与化简椭圆方程联系，运用化简椭圆方程的经验，从而化解难点．●教学建议问题：(1)我们已经学习过椭圆．椭圆是平面上一个动点到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，当然这个定长要大于这两个定点之间的距离．那么，平面上到两个定点距离的差是一个定长的点的轨迹是什么呢？设计意图：数学教学应当从问题开始．首先设疑，提出新的问题，打破知识结构的平衡，引发学习兴趣．师生活动：学生动手实验参考课本图2－18体会画图过程．问题：(2)在运动中，这条曲线上的点所满足的几何条件是什么？设计意图：弄清曲线上的点所满足的几何条件是建立曲线方程的关键之一．师生活动：分析实验中的“变”与“不变”的条件．在拉链未拉开时，|MF1|＝|MF2|，拉开后，|FF2|是定长，|MF1|，|MF2|都在变化，但是它们的差|MF1|－|MF2|不变．问题：(3)应该如何描述动点M所满足的几何条件？设计意图：整理实验，归纳抽象的数学问题．师生活动：双曲线是平面上一个动点到两个定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹．●教学流程创设问题情境，提出问题 学生通过回答问题，掌握双曲线的定义及标准方程 通过例1及变式训练，使学生掌握待定系数法求双曲线标准方程 通过例2及变式训练，使学生掌握双曲线定义求轨迹方程 通过例3及互动探究，使学生掌握双曲线中焦点三角形问题 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识问题：2011年3月16日，中国海军第7批、第8批护航编队“温州号”导弹护卫舰，“马鞍山”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”舰哨兵相距1 600 m的“温州号”舰，3秒后也监听到了马达声(声速340 m/s)，用A、B分别表示“马鞍山”舰和“温州号”舰所在的位置，点M表示快艇的位置．(1)快艇距我两护卫舰的距离之差是多少？(2)我两护卫舰为辨明快艇意图，保持不动，持续监测，发现快舰到我两舰距离之差保持不变，快艇运动有何特点？【提示】(1)|MB|－|MA|＝340×3＝1 020 m；(2)始终满足|MB|－|MA|＝1 020 m.双曲线的定义平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1、F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．上述问题中，设|AB|＝1 600 ＝2c，|MB|－|MA|＝1 020＝2a，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则点M的轨迹方程是什么？【提示】(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．(1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．(2)已知双曲线通过M(1，1)，N(－2，5)两点．【思路探究】根据一定条件求双曲线的标准方程，通常用待定系数法，但要注意根据双曲线焦点的位置设方程．另外，如果知道了双曲线的两个焦点和双曲线上任一点，也可利用双曲线的定义求解．【自主解答】(1)法一由题意知双曲线的两焦点F1(0，－3)，F2(0，3)．设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，将点A(4，－5)代入双曲线的方程得25 a2－16b2＝1，又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为y25－x24＝1.法二2a＝||AF1|－|AF2||＝|20－80|＝25，∴a＝5，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.∴标准方程为y25－x24＝1.(2)法一若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．。

北师大版高中数学选修1-1教学设计第二章 圆锥曲线双曲线及其标准方程赣州市南康区第三中学 谢志坚2021年11月9日如图（B），类比椭圆，归纳双曲线的定义掉常数的范围，这个问题暂时保留，下一个环节来解决。

保留常数的范围这一问题，由学生自己发现，方能印象更加深刻四齐思共想，推导方程回顾椭圆的标准方程的推导步骤，推导双曲线的标准方程标准方程为其中.,00>>ba椭圆的标准方程有两种，双曲线的方程在推导时也可以换一种建系方式，得到另一种形式的方程：.12222=-bxay其中.,00>>ba两种形式的标准方程，应该如何判断焦点所在轴？学生思考并做答：在等式右边是1或其它正常数时，焦点在系数为正数的轴上这与椭圆判断焦点所在轴的方法也不一样，同样要给学生强调1.类比椭圆标准方程的建立过程，如何求双曲线的标准方程呢2.如何建系化简？3.为何可222c a b-=？4.a和b有没有大小关系？5.椭圆中a和b谁大？6.椭圆分焦点在轴上，和轴上两种？双曲线是否也有类似情况？7.焦点在轴上的双曲线的标准方程如何求？学生说明自己的思路，具体推导由学生课后完成。

本环节不断刺激学生回顾椭圆的标准方程的推导过程，类比说明双曲线的标准方程推导的关键步骤。

体会椭圆与双曲线的的区别与联系，同时强化求曲线方程的一般步骤。

培养学生的运算能力师生问答积极评价.12222=-byax。

北师大选修1-1数学教案【篇一：北师大版数学选修1-1教案：第2章-知识归纳：双曲线】2.2 双曲线2.2.1双曲线及其标准方程1、定义：平面内与两个定点f1、f2的距离的差的绝对值等于常数（小于|f1f2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距.x2y2y2x22、标准方程：2?2?1(a＞0,b＞0)或2?2?1(a＞0,b＞0) abab3、a、b、c三者之间的关系：a2+b2=c24、与椭圆定义对照，比较两者有什么相同点与不同点？两者都是平面内动点到两个定点的距离问题，两者的定点都是焦点，两者定点间的距离都是焦距，所不同的是椭圆是距离之和，双曲线是距离之差的绝对值.5、椭圆是平面内到两定点的距离和为常数的点的轨迹，双曲线是平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹，只说“差”不行吗？为什么要加“绝对值”三个字呢？只说差表示双曲线的一支，加上“绝对值”三个字，才能表示整条双曲线.6、双曲线的定义中为什么要强调常数——差的绝对值小于|f1f2|呢？如果差的绝对值即常数等于|f1f2|，那么图形为两条射线；如果差的绝对差即常数大于|f1f2|，那么无轨迹.2.2.2 双曲线的简单几何性质1、范围：双曲线位于x≥a与x≤-a的区域内；2、对称性：双曲线关于坐标轴、原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心.x2y24、实（虚）轴：双曲线2?2?1(a＞0,b＞0)与y轴没ab有交点，但我们也把b1（0，-b),b2（0，b）画在y轴上. 线段a1a2叫做双曲线的实轴，线段b1b2叫做双曲线的虚轴，实轴的长为2a,虚轴的长为2b，a是实半轴的长，b是虚半轴的长，焦点始终在实轴上.cc5、离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e=a叫做双曲线的离心率.e=a且e∈(1,+∞)，这是因为c＞a＞0.bx2y2?2?12b7、等轴双曲线：在方程a中，如果a=b，那么双曲线的方程为x2-y2=a2,8、双曲线的画法：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后再过这两个点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分.最后根据双曲线的对称性画出完整的双曲线.9、.由等式c2-a2=b2可得【篇二：北师大版高中数学选修1-1学案全集】第一章常用逻辑语1.1 命题命题及其关系学习目标：理解命题的概念和命题的构成，能判断命题的真假；了解四种命题的的含义，能写出给定命题的逆命题、否命题和逆否命题；会分析四种命题之间的相互关系；重点难点：命题的概念、命题的构成；分清命题的条件、结论和判断命题的真假。

3．1双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一双曲线的定义思考1如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？思考2已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？(1)|(x＋5)2＋y2－(x－5)2＋y2|＝6；(2)(x＋4)2＋y2－(x－4)2＋y2＝6.梳理把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1，F2叫作________________，两个焦点之间的距离叫作________________．知识点二双曲线的标准方程思考1双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？思考2如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使|OB|＝b吗？类型一双曲线的定义及应用命题角度1双曲线中的焦点三角形问题例1 (1)如图，已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，点A ，B 均在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为双曲线的左焦点，则△ABF 1的周长为________．引申探究本例(2)中若∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积．(2)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ； ②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式S △PF 1F 2＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．(2)方法二：利用公式S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|·|PF 2|间的关系．跟踪训练1 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( ) A.14 B.35 C.34 D.45命题角度2 由双曲线定义求轨迹方程例2 已知在△ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，B (－1,0)，C (1,0)，求满足sin C －sin B ＝12sin A 的顶点A 的轨迹．反思与感悟 定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题． (3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．跟踪训练2 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 22－y 214＝1(x ≥2) B.x 22－y 214＝1 C.x 214－y 22＝1 D.x 22＋y 214＝1 类型二 求双曲线的标准方程 例3 求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆y 225＋x 216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)； (3)过点P (3，154)，Q (－163，5)，且焦点在坐标轴上．反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式．①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)；②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2＜k ＜a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练3 根据条件求双曲线的标准方程． (1)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上； (2)经过点P (4，－2)和点Q (26，22)；(3)已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)．类型三 由双曲线标准方程求参数 例4 已知曲线x 216－m －y 2m＝1.(1)当曲线为椭圆时，求m 的取值范围，并写出焦点坐标； (2)当曲线为双曲线时，求m 的取值范围，并写出焦点坐标．反思与感悟 (1)对于方程x 2m ＋y 2n ＝1，当mn <0时表示双曲线．进一步，当m >0，n <0时表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n >0时表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)对于方程x 2m －y 2n ＝1，则当mn >0时表示双曲线．且当m >0，n >0时表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n <0时表示焦点在y 轴上的双曲线．(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围． 跟踪训练4 已知方程x 216m －y 29m ＝1表示双曲线，并且焦距为10，求实数m 的值．1．已知F 1(3,3)，F 2(－3,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝4，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．不存在D ．一条射线2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左，右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．8 3 C ．24 D ．483．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．14．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( )A ．m >－1B ．m <－1C ．m >3D ．－1<m <35．与椭圆x 2＋5y 2＝5共焦点且过点(6，1)的双曲线的方程为________．1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立，要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式求解．答案精析问题导学知识点一思考1曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．思考2(1)∵|(x＋5)2＋y2－(x－5)2＋y2|表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线．(2)∵(x＋4)2＋y2－(x－4)2＋y2表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)、F2(4，0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线的右支．梳理双曲线的焦点双曲线的焦距知识点二思考1双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴．当x2的系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．思考2以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点B.题型探究例1(1)4a＋2m(2)16 3解析(1)由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a.又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a ＋2|AB |＝4a ＋2m .(2)由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理，得 |PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 引申探究解 由双曲线方程知 a ＝3，b ＝4，c ＝5，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36.① 在Rt △F 1PF 2中，由勾股定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2 ＝(2c )2＝100.②将②代入①得|PF 1|·|PF 2|＝32， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝16.跟踪训练1 C [由双曲线的定义得 |PF 1|－|PF 2|＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42， |F 1F 2|＝4，在△F 1PF 2中由余弦定理：cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.]例2 解 如图所示， ∵sin C －sin B ＝12sin A ， ∴根据正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝csin C， 得c －b ＝12a ＝12×2＝1，即|AB |－|AC |＝1<|BC |.∴点A 的轨迹符合双曲线的定义．∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的右支(不包括点A 在BC 上的情况)． 跟踪训练2 A [设动圆M 的半径为r ，则由已知得|MC 1|＝r ＋2， |MC 2|＝r －2， 所以|MC 1|－ |MC 2|＝2 2.又C 1(－4,0)，C 2(4,0)，所以|C 1C 2|＝8，所以22<|C 1C 2|，根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4，0)，C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支， 因为a ＝2，c ＝4， 所以b 2＝c 2－a 2＝14， 所以点M 的轨迹方程是x 22－y 214＝1(x ≥2)．] 例3 解 (1)方法一 椭圆x 216＋y 225＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4. 故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1. 方法二 由椭圆方程x 216＋y 225＝1知焦点在y 轴上， 设所求双曲线方程为y 225－λ－x 2λ－16＝1(16<λ<25)． 因为双曲线过点(－2，10)，所以1025－λ－4λ－16＝1， 解得λ＝20或λ＝7(舍去)，故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1. (2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25.∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. (3)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．因为点P (3，154)，Q (－163，5)在双曲线上， 所以⎩⎨⎧ 9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝－116，n ＝19.故所求双曲线方程为y 29－x 216＝1. 跟踪训练3 解 (1)设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝6－a 2.由题意知25a 2－4b 2＝1，∴25a 2－46－a 2＝1， 解得a 2＝5或a 2＝30(舍)．∴b 2＝1.∴双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1. (2)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．∵点P (4，－2)和点Q (26，22)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 16m ＋4n ＝1，24m ＋8n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝18，n ＝－14，∴双曲线的方程为x 28－y 24＝1. (3)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为 F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1. 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝9，42a 2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.例4 解 (1)当曲线为椭圆时，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 16－m >0，－m >0，16－m ≠－m ，解得m <0，即m 的取值范围为(－∞，0)．此时，椭圆的焦点在x 轴上，焦点坐标为(±4,0)．(2)当曲线为双曲线时，依题意得(16－m )m >0，解得0<m <16，即m 的取值范围为(0,16)．此时，双曲线的焦点在x 轴上，焦点坐标为(±4,0)． 跟踪训练4 解 ∵2c ＝10，∴c ＝5.当m >0时，方程x 216m －y 29m＝1表示焦点在x 轴上的双曲线， a 2＝16m ，b 2＝9m ，由c 2＝a 2＋b 2，得25＝16m ＋9m ，故m ＝1；当m <0时，方程x 216m －y 29m ＝1可化为y 2－9m －x 2－16m＝1， 表示焦点在y 轴上的双曲线，∴a 2＝－9m ，b 2＝－16m ，由c 2＝a 2＋b 2，得25＝－16m －9m ，∴m ＝－1.故实数m 的值为1或－1.当堂训练1．B 2.C 3.D 4.A 5.x 23－y 2＝1。

3.2 双曲线的简单性质[学习目标] 1.了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．知识点一 双曲线的简单性质知识点二 双曲线的渐近线(1)根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程，简单且实用的方法是如果两条渐近线的方程为x a ±yb＝0，那么双曲线的方程为⎝⎛⎭⎫x a ＋y b ⎝⎛⎭⎫x a －y b ＝m (m ≠0)． (2)共渐近线y ＝±b a x 的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ＜0，焦点在y 轴上．思考 (1)椭圆与双曲线的离心率都是e ，其范围一样吗？ (2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？答案 (1)不一样．椭圆的离心率0<e <1，而双曲线的离心率e >1.(2)当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y ＝±b a x 的双曲线可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0，λ∈R )，当λ>0时，焦点在x 轴上，当λ<0时，焦点在y 轴上．题型一 已知双曲线的标准方程求其几何性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．解 将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1， ∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .反思与感悟 讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．跟踪训练1 求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．解 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4.∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝4 3.焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0,4)，顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝2.题型二 根据双曲线的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13， 又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12， 故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.②联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.反思与感悟 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求出来．当双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x 时，可以将方程设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2 根据条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解 (1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，由题意可知(－3)29－(23)216＝λ，解得λ＝14.∴所求双曲线的标准方程为x 294－y 24＝1.(2)设所求双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(16－k >0，4＋k >0)，∵双曲线过点(32，2)，∴(32)216－k －44＋k ＝1，解得k ＝4或k ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.题型三 直线与双曲线的位置关系例3 直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l 的方程．解 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 23－y 22＝1，得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.(*) 设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2)．又y 1＝2x 1＋m ，y 2＝2x 2＋m ， ∴y 1－y 2＝2(x 1－x 2)，∴|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1－x 2)2 ＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5[3625m 2－4×310(m 2＋2)]．∵|AB |＝4，∴365m 2－6(m 2＋2)＝16.∴3m 2＝70，m ＝±2103. 由(*)式得Δ＝24m 2－240，把m ＝±2103代入， 得Δ>0，∴m 的值为±2103. ∴所求直线l 的方程为y ＝2x ±2103. 反思与感悟 直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y 的一元二次方程．要注意根与系数的关系，根的判别式的应用．若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解．跟踪训练3 设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求实数a 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若P A →＝512PB →，求a 的值．解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a 2－y 2＝1(a >0)，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)>0， 所以0<a <2且a ≠1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 依题意得P (0,1)，因为P A →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0， 所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2.消去x 2得－2a 21－a 2＝28960.由a >0，解得a ＝1713.分类讨论思想的应用例4 已知双曲线方程为2x 2－y 2＝2.(1)过定点P (2,1)作直线l 交双曲线于P 1，P 2两点，当点P (2,1)是弦P 1P 2的中点时，求此直线方程；(2)过定点Q (1,1)能否作直线l ，使l 与此双曲线交于Q 1，Q 2两点，且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．分析 (1)点P 是弦P 1P 2的中点，其端点是直线与双曲线的交点，所以设出直线方程后，将其与双曲线方程组成方程组，结合根与系数的关系和中点坐标公式可求解．(2)先假设直线存在，将交点的坐标代入原曲线方程得方程组，再将中点坐标公式代入求出k 的值，得直线方程，最后与曲线方程联立，验证根的情况．解 (1)若直线的斜率不存在，即P 1P 2⊥x 轴，则由双曲线的对称性，知弦P 1P 2的中点在x 轴上，不可能是点P (2,1)，所以直线l 的斜率存在． 故可设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)， 即y ＝kx －2k ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2，y ＝kx －2k ＋1消去y 并化简， 得(2－k 2)x 2＋2k (2k －1)x －4k 2＋4k －3＝0.设直线l 与双曲线的交点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． ①当2－k 2≠0，即k 2≠2时，x 1＋x 2＝－2k (2k －1)2－k 2.因为点P (2,1)是弦P 1P 2的中点， 所以－k (2k －1)2－k 2＝2，解得k ＝4.当k ＝4时，Δ＝4k 2(2k －1)2－4(2－k 2)(－4k 2＋4k －3)＝280＞0.②当k 2＝2，即k ＝±2时，直线与双曲线渐近线的斜率相等，即斜率为k ＝±2的直线l 与双曲线不可能有两个交点．综上所述，所求直线方程为4x －y －7＝0.(2)假设这样的直线l 存在，设Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)， 则x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1.所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2.两式相减，得(2x 21－2x 22)－(y 21－y 22)＝0，所以2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 所以2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0.若直线Q 1Q 2⊥x 轴，则线段Q 1Q 2的中点不可能是点Q (1,1)， 所以直线Q 1Q 2的斜率存在，故k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2.所以直线Q 1Q 2的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，2x 2－y 2＝2，得2x 2－(2x －1)2＝2， 即2x 2－4x ＋3＝0，得Δ＝16－24＜0.这就是说，直线l 与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在．解后反思 在本题的解答过程中，共有3次用到了分类讨论思想：在(1)中，先对直线的斜率是否存在进行了讨论，再对一元二次方程的二次项系数是否为零进行了讨论；在(2)中，对Q 1Q 2是否与x 轴垂直进行了讨论．1．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 3B ．2 C. 3 D ．1答案 A解析 ∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点为F (4,0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F (4,0)到3x －y ＝0的距离为432＝2 3.2．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．－14 B ．－4 C ．4 D.14答案 A解析 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0， 则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选A.3．双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．4x ±3y ＝0C ．9x ±16y ＝0D ．16x ±9y ＝0 答案 A解析 由x 216－y 29＝1得a 2＝16，b 2＝9，∴渐近线方程为y ＝±34x ，即3x ±4y ＝0.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1 D .x 220－y 280＝1 答案 A解析 双曲线C 的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0，点P (2,1)在渐近线上，∴4a 2－1b 2＝0，即a 2＝4b 2，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，故选A.5．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________． 答案62解析 设双曲线的焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 虚轴两个端点为B 1(0，－b )，B 2(0，b )， ∵c >b ，∴只有∠B 1F 1B 2＝60°， ∴tan 30°＝b c ，∴c ＝3b ，又a 2＝c 2－b 2＝2b 2， ∴e ＝c a ＝3b 2b ＝62.1.渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．。

锥曲线与方程抛物线2.1抛物线及其标准方程［学习目标】1•掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念2掌握抛物线的标准方程及其推导过程3明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题.IT问题导字--------------------------知识点一抛物线的定义思考1如图，在黑板上画一条直线EF,然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？思考2 抛物线的定义中，I能经过点F吗？为什么?梳理(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线1(1不过F)的距离_______________ 的点的集合叫作抛物线.(2)焦点： _______ .⑶准线：________ .知识点二抛物线的标准方程思考1抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？思考2抛物线标准方程的特点？思考3已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向?题型探究类型一抛物线定义的解读类型二抛物线的标准方程及求解命题角度1抛物线的焦点坐标或准线方程的求解 例2已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程. (1) y 2=— 6x ; (2)3 x 2+ 5y = 0; 22(3)y = 4x ; (4)y = ax (a z 0).引申探究1. 将例2（4）的方程改为y 2= ax （a 丰0）结果如何？2. 将例2（4）的方程改为x 2= ay （a 丰0），结果如何?反思与感悟如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物 线的对称轴和开口方向•一次项的变量若为 x （或y ），则x 轴（或y 轴）是抛物线的对称轴, 次项系数的符号决定开口方向.A •圆B •椭圆C .线段D .抛物线反思与感悟根据式子的几何意义 ，利用抛物线的定义，可确定点的轨迹，注意定义中“点F 不在直线 l 上”这个条件. 跟踪训练1若动圆与圆（x — 2）2+ y 2= 1相外切，又与直线 x + 1 = 0相切，则动圆圆心的轨方程寸（x + 3f +（y — 12 =|X丁表示的曲线是( )迹是 ________跟踪训练2已知抛物线y2= 2px(p>0)的准线与曲线x2+ y2- 6x—7= 0相切，则p为()A . 2 B. 11 1CQ D.4命题角度2求抛物线的标准方程例3求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(—3,2);⑵焦点在直线x—2y—4= 0上；(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y=—3与抛物线相交于点A, |AF|= 5.反思与感悟抛物线标准方程的求法(1) 定义法：建立适当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p,最后写出标准方程.(2) 待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值.跟踪训练3根据下列条件，求抛物线的标准方程.(1) 焦点为(一2,0);(2) 焦点到准线的距离是4;⑶过点(1,2).类型三抛物线在实际生活中的应用例4河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4m、高2 m,载货后船露出水面上的部分高0.75 m,问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.跟踪训练4 某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长.当堂训练1抛物线y2+ x = 0的开口（）A .向上B .向下C.向左 D .向右2.抛物线y2= 8x的焦点坐标和准线方程分别为()A . (1,0), x=- 1 B. (2,0), x=- 2C. (3,0), x= —3 D . (4,0), x= —43•已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则抛物线方程可以为()A . y2= x B. /= 2x2 2C. x =—3yD. x =—6y4.抛物线x2= 8y上的点M到x轴的距离为6，则点M与抛物线的焦点间的距离为_____________ 5•分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)准线方程为y= —3;2 2⑵抛物线与椭圆严 + — = 1的一个焦点相同.4 + m 3 + m厂规律与方迭 ---- ----------------------------------------------- ,1. 焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2= mx(m^ 0)，此时焦点坐标为卩(冒,m 20),准线方程为x=—4；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x = my(m M 0),此时焦点为F(0,罗)，准线方程为y= —m.2. 设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫作抛物线的焦半径.若M(X0, y°)在抛物线y2= 2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|= X0+ 2.答案精析问题导学知识点一思考1平面内与一个定点F和一条定直线1（定点不在定直线上）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线I叫作抛物线的准线.思考2不能，若I经过点F，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于I的一条直线.梳理⑴相等⑵点F ⑶直线I知识点二思考1 p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向.思考2 （1）原点在抛物线上；（2）对称轴为坐标轴；（3）p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；⑷准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；⑸焦点、准线到原点的距离都等于p.思考3 一次项变量为x（或y）,则焦点在x轴（或y轴）上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上.焦点确定，开口方向也随之确定.题型探究例1 D 认+ 3$+（y-仃|x—y+ 3|=2 ，它表示点M（x, y）与点F（—3,1）的距离等于点M到直线x—y+ 3= 0的距离，且点F（—3,1）不在直线上.根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线. ]跟踪训练1抛物线解析由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x + 1 = 0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以（2,0）为焦点，x= —2为准线的抛物线，其方程为y2= 8x.例2解（1）由方程y2=—6x,知抛物线开口向左，p 32p= 6, p = 3, 2= 2，3所以焦点坐标为（一2，0）,3准线方程为x =2.225(2)将 3x + 5y = 0 化为 x =- §y ,知抛物线开口向下,所以焦点坐标为（0, - 12）, 5准线方程为y =—.2 2 1 ⑶将y = 4x 化为x = 4y ,知抛物线开口向上, 1 1 p 1 2p=4, p=8, 2=16，1 所以焦点坐标为（0, 16）, 1 准线方程为y =——.⑷抛物线方程y = ax 2可化为x 2 = ay , 1 1当 a>o 时，2p =a , p = 2a , 故焦点坐标是（o ,右）, 1准线方程是y =—厂.4a1 1当 a<0 时，2p =— a , p =—务,1故焦点坐标是（0,扃）, 准线方程是y =—亠4a2 1综上，抛物线y = ax 的焦点坐标（0, 4a ）, 1准线方程为y =—厂. 引申探究1焦点是(a , 0)，准线方程是X =- 4aac 55 p 2p=3, p = 6, 2 _5 12,2.焦点是(0, 4),准线方程是y= —4.跟踪训练2 A [注意到抛物线y2= 2px的准线方程为x= —2,2 2曲线x + y —6x—7= 0,即(x—3)2+ y2= 16,它表示圆心为(3,0)，半径为4的圆.由题意得号+ 3 = 4. 又p>0 ,因此有p + 3= 4, 解得p= 2,故选A.]例3解(1)当抛物线的焦点在x轴上且过点(—3,2)时,可设抛物线方程为y2= —2px(p>0),把(一3,2)代入得2 = —2p X (—3),•••所求抛物线方程为y2= —4x.3当抛物线的焦点在y轴上且过点(一3,2)时，可设抛物线方程为x2= 2py( p>0),把(—3,2)代入得(—3)2= 2p X 2,9•p=9,•所求抛物线方程为x2= |y.4 9综上，所求抛物线方程为y = —4X或x = ^y.⑵直线x—2y—4 = 0与x轴的交点为(4,0)，与y轴的交点为(0, —2), 故抛物线的焦点为(4,0)或(0, —2),当抛物线的焦点为(4,0)时,设抛物线方程为y2= 2px(p>0), •- 2= 4,••• p= 8,•••抛物线方程为y2= 16x.当抛物线的焦点为(0,—2)时，设抛物线方程为x2=—2py(p>0),•—2=—2, • p = 4,•抛物线方程为x2=—8y.综上，所求抛物线方程为y2= 16x或x2= —8y.⑶设所求焦点F在x轴上的抛物线的标准方程为2 y = 2px(p z 0), A(m,—3).则由抛物线的定义得AF|= m+ 2 = 5,• •点A在抛物线上，•- ( —3)2= 2pm,从而可得p= ±1或p= ±9.•所求抛物线的标准方程为y2= ±2x或y2= ±8x.跟踪训练3解(1)焦点在x轴的负半轴上，2= 2，即p= 4.所以抛物线的方程是y2= —8x.(2) p= 4，抛物线的方程有四种形式：2 2 2 2 y = 8x, y =—8x, x = 8y, x = —8y.(3) 方法一点(1,2)在第一象限，要分两种情形讨论: 当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2= 2px (p>0),则22= 2p 1，解得p= 2,•••抛物线方程为y2= 4x;当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2= 2py(p>0),2 1则 1 = 2p 2，解得p= 4,•抛物线方程为X2= 1y.方法二设所求抛物线的标准方程为y2= mx 或x2= ny,1将点(1,2)代入，得m = 4, n =-,故所求的方程为y2= 4x或x2= 2y.例4 解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为2x轴，建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x =- 2py(p>0) •由题意可知，点B(4,- 5)在抛物线上，故8 16p= 5，得x2=- —y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA',贝U A(2, 沁2 16 5由 2 =- —y A,得y A=- 4.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m ,所以h=以|+ 0.75 = 2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航.跟踪训练4解如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为依题意知，点P(10, - 4)在抛物线上，2x =- 2py( p>0).所以100 = - 2p X (—4), 2p = 25.即抛物线方程为x2=- 25y.因为每4米需用一根支柱支撑, 所以支柱横坐标分别为—6, —2,2,6. 由图知，AB 是最' 长的支柱之一.设点B的坐标为(2, y B),2 4代入x =—25y,得y B=—44所以|AB|= 4— - = 3.84,25即最长支柱的长为 3.84米.当堂训练1. C2.B3.D4.85.解(1)准线方程为y= —3,则2= 3, p= 6,所以抛物线的标准方程为x2= 12y.2 2⑵椭圆+ —J = 1的焦点坐标为F i(1,0),4+ m 3+ mF2（—1,0）,所以抛物线的标准方程为y2= ±lx.。

3.1双曲线及其标准方程[学习目标] 1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一双曲线的定义我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.知识点二双曲线的标准方程思考(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？答案(1)当距离之差等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1、F2，当距离之差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.(2)a，b的值及焦点所在的位置.题型一 求双曲线的标准方程例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上. 解 (1)方法一 若焦点在x 轴上， 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于点P (3，154)和Q (－163，5)在双曲线上，∴⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9，(舍去).若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.方法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0).∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)方法一 依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0).则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.方法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6).∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去).∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.反思与感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，从而简化求解过程. 跟踪训练1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22). 解 (1)由双曲线的定义知，2a ＝8，所以a ＝4， 又知焦点在x 轴上，且c ＝5， 所以b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， 所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)因为焦点在x 轴上，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点(4，－2)和(26，22)代入方程得⎩⎨⎧16a 2－4b 2＝1， ①24a 2－8b 2＝1，②解得a 2＝8，b 2＝4，所以双曲线的标准方程为x 28－y 24＝1.题型二 双曲线定义的应用例2 若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)如图，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积.解 双曲线的标准方程为x 29－y216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22. 故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2| ＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002×32＝0，且∠F 1PF 2∈(0°，180°)，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16. 反思与感悟 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a ).(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.跟踪训练2 设双曲线x 2－y 23＝1的左、焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________. 答案 (27，8)解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上， 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形， 结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋2）2＜m 2＋42，42＜（m ＋2）2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8.题型三 与双曲线有关的轨迹问题例3 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.解 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0).由正弦定理得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R (R 为△ABC 的外接圆半径).∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |，从而有|AC |－|BC |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点). ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6， 即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2).反思与感悟 (1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.跟踪训练3 如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1； 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1(x ≤－32).数形结合思想的应用例4 已知F 1、F 2是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，A 是双曲线右支上的动点.(1)若点M (5,1)，求|AM |＋|AF 2|的最小值； (2)若点M (5，n )，求|AM |＋|AF 2|的最小值. 分析 画出草图，结合焦点三角形进行考虑. 解 (1)草图如图所示.由双曲线的定义，知|AM |＋|AF 2|＝|AM |＋|AF 1|－2a .由于点M 在双曲线右支的右边，故由图知当点A 在线段MF 1上时，|AM |＋|AF 1|最小，即|AM |＋|AF 2|最小. 故所求的最小值为|MF 1|－2a ＝101－8.(2)类似(1)可知，当点M 在双曲线右支的右边，即|n |＜94时，|AM |＋|AF 2|＝|AM |＋|AF 1|－2a ≥|MF 1|－2a ＝100＋n 2－8.当M在双曲线右支的外边或其上，即|n|≥94时，|AM|＋|AF2|≥|MF2|＝|n|.故当|n|＜94时，|AM|＋|AF2|的最小值为100＋n2－8；当|n|≥94时，|AM|＋|AF2|的最小值为|n|.解后反思解决这类综合性较强的双曲线问题时，应利用图形的形象直观的特点画图分析，并注意运用双曲线的定义，对所求解的问题进行恰当转化，使问题顺利地得到解决.。

3. 1双曲线及其标准方程［学习目标】1•了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程 程及其求法.3•会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.IT 问题导字 -------------------------- 知识点一双曲线的定义 思考1如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F i , F 2上，把笔尖放在点 M 处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲 线上的点应满足怎样的几何条件？思考2已知点P(x,y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点 P 的轨迹是什么图形?(1) | . x + 5 2+ y 2- . X -5 2+6; (2) 寸(x + 4(+ y 2-寸(x - 4y 2 = 6.梳理 把平面内到两定点 F i , F 2的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于|F I F 2|）的点的第二章 锥曲线与方程§3双曲线.2.掌握双曲线的标准方集合叫作双曲线.定点F i，F2叫作____________________________ ，两个焦点之间的距离叫作知识点二双曲线的标准方程思考1双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴?思考2如图，类比椭圆中a, b, c的意义，你能在y轴上找一点B,使|OB|= b吗?护M+'+T题型探究类型一双曲线的定义及应用命题角度i双曲线中的焦点三角形问题1线段AB 经过双曲线的右焦点F 2, AB|= m , F i 为双曲线的左焦点，则△ ABF i 的周长为引申探究 本例⑵中若/ F i PF 2= 90°其他条件不变，求 △ F 1PF 2的面积.2 2⑵已知双曲线X9- 16= 1的左、右焦点分别是F i 、F 2,若双曲线上一点P 使得/ F i PF 2= 60° 则厶F 1PF 2的面积为 ________ •反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法(1) 方法一：①根据双曲线的定义求出||PF i |- |PF 2||= 2a ； ② 利用余弦定理表示出|PF 1|, |PF 2|, IF 1F 2I 之间满足的关系式； ③ 通过配方，利用整体的思想求出 |PF 1||P F 2|的值； ④ 利用公式 S A PF 1F 2=IPF 1I |PF 2|sin Z F 1PF 2求得面积.1⑵方法二：利用公式 S A PF 1F 2 = 2X |F 1F 2|X |y p |(y p 为P 点的纵坐标)求得面积. 特别提醒：禾U 用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件 ||PF 1|-|PF 2|| =2a 的变形使用，特别是与|PF 『+ |PF 2|2, |PF 1||PF 21间的关系.跟踪训练1已知F 1,F 2为双曲线C ：x 2— y 2= 2的左，右焦点，点P 在C 上, |PF 1|= 2|PF 2|, 则 cos Z F 1PF 2 等于( )133 4 A. B. C. D. 4 545命题角度2由双曲线定义求轨迹方程 例2 已知在△ ABC 中，三边长分别为 a , b , c , B(— 1,0), C(1,0)，求满足sin C — sin sin A 的顶点A 的轨迹.例1(1)如图，已知双曲线的方程为 2 2x y 7-b 2 = 1(a>°,b>0)，点A , B 均在双曲线的右支上,反思与感悟 定义法求双曲线方程的注意点 (1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值.⑵当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题.(3) 求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上.跟踪训练2已知动圆M 与圆 C i： (x + 4)2+ y 2= 2 外切，与圆 C 2： (x — 4)2+ y 2= 2 内切，则2 22动圆圆心M的轨迹方程为(2 2玄—右=1(x> 2)2 2x y .C ——二=114 22 2B.X—匚=12 142 2D J y- = 12 14类型二求双曲线的标准方程例3求下列双曲线的标准方程.2 2(1)与椭圆25+16=1有公共焦点，且过点(一2, . 10)；⑵焦距为26，且经过点M(0,12);(3)过点P(3,学),Q(—乎，5)，且焦点在坐标轴上.反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1) 定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2) 设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式.①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2+ By2= 1(AB<0)；2v k v a ).⑶计算：禾U 用题中条件列出方程组，求出相关值. ⑷结论：写出双曲线的标准方程.跟踪训练3根据条件求双曲线的标准方程. (1)c = 6，经过点 A( — 5,2)，焦点在x 轴上；⑵经过点P(4, — 2)和点Q(2 6, 2.2);2 2⑶已知双曲线与椭圆27+3^= i 有共同的焦点，且过点(“5,4).类型三由双曲线标准方程求参数2 2例4 已知曲线一—y= 1. 16 — m m(1)当曲线为椭圆时，求 m 的取值范围，并写出焦点坐标； ⑵当曲线为双曲线时，求 m 的取值范围，并写出焦点坐标.②与双曲线 拿一古=l(a >0, b > 0)共焦点的双曲线的标准方程可设为a 2— k yb 2 + k=1( — b 22 222 2反思与感悟 ⑴对于方程—+ — = 1，当mn<0时表示双曲线.进一步，当 m>0, n<0时表示 m n 焦点在x 轴上的双曲线；当 m<0, n>0时表示焦点在y 轴上的双曲线.2 2⑵对于方程—1= 1，则当mn>0时表示双曲线.且当 m>0, n>0时表示焦点在x 轴上的双 曲线；当m<0, n<0时表示焦点在y 轴上的双曲线.（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方2 2跟踪训练4已知方程盘-穿1表示双曲线，并且焦距为10,求实数m 的值.当堂训练1.已知 F i （3,3）, F 2（ — 3,3），动点 P 满足 |PF i |—|PF 2|= 4，则 P 点的轨迹是（ ）A .双曲线B .双曲线的一支C .不存在D .一条射线22. 设分别是双曲线X 2— 2—4=1的左，右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF j |= 4|PF 2|,则厶PF 1F 2的面积等于（ ）A . 4 2B . 8 .3C . 24D . 48222 23.椭圆X+ —2= 1与双曲线X — — = 1有相同的焦点，贝V a 的值是（）4 a a 2 1A.2B . 1 或一21程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式 （组）求解参数的取值范围.C. 1 或§D. 12 24. 若方程Z —X—= 1表示双曲线，则实数m的取值范围是(4 m+ 1A . m> —1 B. m<—1C. m>3D. —1<m<35. 与椭圆X + 5y2= 5共焦点且过点仁6, 1)的双曲线的方程为厂规律与方法------------------------------------ !1. 双曲线定义中||PF1|—|PF2||= 2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号射线.2. 在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立，要注意与椭圆中a2= b2+ c2,在双曲线中c2= a2+ b2.3. 用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，条件列出a, b, c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如解.当2a= IF1F2I时表示两条a, b, c的区别.在椭圆中设出标准方程后，由mx2+ n y2= 1(m n<0)的形式求答案精析问题导学知识点一思考1曲线上的点满足条件：|MF2| =常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|- |MF i|=常数，可得到另一条曲线.思考 2 (1) •••|, x+ 5 2+ y2—x— 5 2+ y2表示点P(x, y)到两定点F i(—5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F i F2|= 10,A ||PF i|—|PF2||= 6<|F i F2|,故点P的轨迹是双曲线.⑵- 7(x + 4 $+ y2—亍(X- 4 $ + y2表示点P(x,y)到两定点F” —4,0)、F2(4,0)的距离之差，|F i F2|=8,•••|PF i|—|PF2|= 6<|F i F2|,故点P的轨迹是双曲线的右支.梳理双曲线的焦点双曲线的焦距知识点二思考i双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴•当x2的系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关.思考2以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF?为半径画圆交y轴于点B.1J\liy 1otr=c—Zr题型探究例i (i)4a + 2m (2)i6 ,3解析(i)由双曲线的定义，知|AF i|—|AF2|= 2a,|BF i|—|BF2|= 2 a.又|AF2|+ |BF2|= |AB|,所以△ ABF i的周长为AF i|+ |BF i|+ |AB|=4a + 2|AB|= 4a+ 2m.2 2X y(2)由§ —16= 1，得a= 3, b= 4, c= 5.由定义和余弦定理，得|PF i|—|PF2|= ±2 2 2 |F i F2| = |PF i| + |PF2| —2|PF i| |P F2|COS 60 ,2 2所以10 = (|PF1|—|PF2|) + |PF1| |PF2|,所以|PF1| |PF2|= 64,1••• S A F 1PF2= 2|PF1 ||PF2|sin / F1PF2=2x 64X-23= 16 .3.引申探究解由双曲线方程知a= 3，b= 4，C= 5,由双曲线的定义得||PF11—|PF 2||= 2a = 6,所以|PF『+ IPF2I2—2|PF1| |PF2|= 36.①在Rt△ F1PF2中，由勾股定理得2 2 2|PF1| + |PF2| TF1F2I=(2C)2= 100.②将②代入①得|PF1| |PF2|= 32,1所以S A F1PF2= 2|PF1| |PF2|= 16.跟踪训练1 C ［由双曲线的定义得|PF1|—|PF2|= 2 2,又|PF1|= 2|PF2|,•- |PF2|= 2 .2, |PF1|= 4 2,|F1F2|= 4,在厶F1PF2中由余弦定理:2 2 2 |PF i | + |PF 2| - |F I F 2|2|PF i | |PF 2|(4逛2+』2回-42 =色]2X 4 .'2X 2 2 = 4.] 例2解如图所示,■/ sin C — sin B1 . A=qsin A ,•••根据正弦定理a = bsin A sin B=c=sin C ，1 1得 c — b = ?a = 2 x 2 = 1,即 |AB|— |AC|= 1<|BC|.•••点A 的轨迹符合双曲线的定义.•点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的右支（不包括点A 在BC 上的情况）.跟踪训练2 A ［设动圆M 的半径为r ，则由已知得fV |MC 1 = r + 迈,|MC 2= r -迈,X所以|MC 1| —|MC 2= 2 逅又 C 1(— 4,0), C 2(4,0),所以 C 1C 2= 8,所以 ^2<|C 1 C 2|,根据双曲线定义知，点 M 的轨迹是以C 1（ — 4, 0）, C 2（4,0）为焦点的双曲线的右支, 因为 a = 2, c = 4,所以 b 2= c 2— a 2= 14,cos / F PF所以点M的轨迹方程是2 2I- 14= 1（x》.2）-]2 2例3解（1）方法一椭圆X6+ ^5= 1的焦点为F i（o, - 3）, F2（0,3）.2 2设双曲线的方程为学—p = 1（a>0, b>0）,10 4孑—b^= 1 则有a ba2+ b2= 9，a2= 5,b2= 4.2 2故所求双曲线的方程为电-X =1.2 2方法二由椭圆方程1X6+ 2y5= 1知焦点在y轴上,2 2设所求双曲线方程为—^― = 1(16<X25).25 —入「16因为双曲线过点(一2, TO),10 4所以-^—— = 1,25 —入116解得L 20或入=7(舍去),2 2故所求双曲线的方程为y—X= 1.5 4⑵•••双曲线经过点M(0,12), ••• M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上,又2c= 26, •- c= 13, •- b2= c2—a2= 25.2 2•双曲线的标准方程为士—= 1.144 25O O⑶设双曲线方程为mx + ny = 1(m *0). 因为点P(3,曽)，Q(—晋,5)在双曲线上,所以2259m + 16 n =1,2569m+ 25n= 1a= 12.1• c = 6, •- b 2= c 2- a 2= 6 — a 2.解得a 2= 5或a 2= 30(舍).• b 2= 1.2 •双曲线的标准方程为|-y 2=1.⑵设双曲线方程为 mx 2+ ny 2= 1(m *0). •••点P(4, - 2)和点Q(2 6, 2 2)在双曲线上,2 2x y ⑶椭圆27+ 36= 1F i (0，- 3), F 2(0,3),2 2 故可设双曲线的方程为a 2-餌1m =- 16 解得1 n = G故所求双曲线方程为 2 2 y x 1— 一 —= 1 9 16 跟踪训练3解(1)设双曲线标准方程为 2 2 X 2-*= 1(a>0, b>0), 由题意知约-右=1, • 254a b 'a 6-P = 1,16m + 4n = 1,24m + 8n = 1,£ 7 解得1 m = 8, 1 n = — 4, •••双曲线的方程2 2节 t= 1. 的焦点坐标为故双曲线的方程为 2 2y -1= 1.=1 ,解得b 2= 5.例4解（1）当曲线为椭圆时,M6-m>0,依题意得《； — m>0,.16 — m ^ — m ,解得m<0，即m 的取值范围为（一8, 0）.此时，椭圆的焦点在 x 轴上，焦点坐标为（±,0）.（2）当曲线为双曲线时，依题意得（16 — m ）m>0,解得0<m<16，即m 的取值范围为（0,16）.此时，双曲线的焦点在 x 轴上，焦点坐标为（±,0）. 跟踪训练4 解 T 2c = 10，二c = 5.当m>0时，2 2方程ig'm —9m =1表示焦点在x 轴上的双曲线， 2 2a = 16m ，b = 9m ，由 c 2 = a 2 + b 2，得 25= 16m + 9m ，故 m = 1; 表示焦点在y 轴上的双曲线， .2^,2 2 2,2…a =— 9m , b =— 16m ，由 c = a + b ,得 25=— 16m — 9m , /• m =— 1.故实数m 的值为1或—1.当堂训练2 1. B 2.C 3.D 4.A 5.3 — y 2= 1 当m<0时,2 方程倉 2 29m =1可化为尢 —16m=1,。

［学习目标】1•掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程2掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3•掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题4掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.|f知识梳理-----------------------------椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F i, F2的距离之和等于常数（大于|F i F2|）的点的集合平面内到两定点F1, F2的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于F1F2I）的点的集合平面内与一个定点F和一条定直线1（1不过点F）距离相等的点的集合标准方程2 2 2 2x y 亠y x孑+ b"=1或孑+孑=1(a>b>0)2 2 2 2 討苗1或話-話=1(a>0, b>0)y2= 2px 或y2=- 2px或x2= 2py 或x2=-2py(p>0)关系式a2- b2= c2a2+ b2= c2图形封闭图形无限延展，但有渐近线y=£x 或y= ±bx无限延展，没有渐近线变量范围|x|w a, |y|< b 或|y|w a, |x|< b|x|> a 或|y|> ax > 0或x< 0或y》0或y w 0对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e= c，且0<e<1 a e=£且e>1 a e= 1决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小知识点二椭圆的焦点三角形锥曲线与方程2 2设P为椭圆字+ y= 1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上),F I,F2为焦点且/ F I PF2=讪忆PFp为焦点三角形(如图).2 a(1)焦点三角形的面积S= b tan 2 ⑵焦点三角形的周长L= 2a + 2c.知识点三双曲线及渐近线的设法技巧1•由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0,2 2 2 2即可得到两条渐近线的方程.如双曲线字—y2 = 1(a>0, b>0)的渐近线方程为予―^2= 0(a>0,2 2 2 2b>0)，即y = ________________ ;双曲线p= l(a>0, b>0)的渐近线方程为卡—含=0(a>0,b>0)，即y= ___________ .2 •如果双曲线的渐近线为X±; = 0时，它的双曲线方程可设为______________________a D知识点四求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.(1)定形一一指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.⑵定式一一根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ n/= 1(m>0 , n>0).(3)定量一一由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.知识点五三法求解离心率1•定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上, 都有关系式a2—b2= c2(a2+ b2= c2)以及e=已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法. 2•方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.3 •几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观. 知识点六直线与圆锥曲线位置关系1•直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行.2 •直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题•解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等.题型探究 ---------------------------类型一圆锥曲线定义的应用2 2例1若F!, F2是双曲线X—16= 1的两个焦点，P是双曲线上的点，且IPFJPF Z L 32，试求厶F!PF2的面积.引申探究将本例的条件|PF I| |PF2|= 32改为|PF I|： |PF2|= 1 : 3，求△ F1PF2的面积.反思与感悟涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决.2 2跟踪训练1已知椭圆m+ y2= 1(m>1)和双曲线Xn —y2= 1(n>0)有相同的焦点F1, F2, P是它们的一个交点，则△ F1PF2的形状是()A •锐角三角形B •直角三角形C .钝角三角形D .随m, n变化而变化类型二圆锥曲线的性质及其应用2 2 2 2例2 (1)已知a > b> 0,椭圆6的方程为X2+ y2 = 1,双曲线C2的方程为X2—y2= 1, C1与C2a b a b的离心率之积为宁，则的渐近线方程为()A . x ±, 2y= 0 B. .2x±y= 0C. x±2y= 0D. 2x±/= 02⑵已知抛物线y2= 4x的准线与双曲线亏—y2= 1交于A, B两点，点F为抛物线的焦点，若a△ FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是反思与感悟有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利解决.2跟踪训练2如图，F l, F2是椭圆C i : X + y2= 1与双曲线C2的公共焦点，A, B分别是C i,4C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(A. 2B.,3C.|D._2类型三直线与圆锥曲线的位置关系2 2例3已知椭圆a + y^= 1(a>b>0)上的点P到左，右两焦点F i, F2的距离之和为2 2，离心(1)求椭圆的标准方程；J|⑵过右焦点F2的直线I交椭圆于A, B两点，若y轴上一点M(0,―)满足|MA|=|MB|,求直线I的斜率k 的值.反思与感悟解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：(1) 函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.(2) 不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围.跟踪训练3如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A, B，且AB与n = ( .2, —1)共线.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 若直线y = kx + m 与椭圆E 有两个不同的交点 P 和Q ,且原点0总在以PQ 为直径的圆的 内部，求实数m 的取值范围.当堂训练2x 2—m = 1的离心率大于.2的充要条件是()iA . m>2D • m>22•中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆2 23 •设椭圆器+ *= 1 (m>0, n>0)的右焦点与抛物线y 2= 8x 的焦点相同，离心率为寺则此椭 圆的方程为（ ）2 2x , y “ A —+ 匸=11 •双曲线 C • m>1A.—+ 工=1 B&+V = 1 81 7281 92 22 2x V , '+ 匚=1 X V ,D.—+ = 81 25 81 362 2B&+匚=116 122 2D.—+ y= 164 48C. 2 2的方程是( )2 212 162 2 x V , C + 4 = 1C.48 十64 44 .已知点A( —2,3)在抛物线C: y2= 2px(p>0)的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.1B.33 4c・4 D.35.点P(8,1)平分双曲线x2—4y2= 4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是广T规律与有法---------------------------------- ,在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计算的繁杂、琐碎问题.问题导学 知识点三 i . ±bx ±x2 2冷-»仔0) 题型探究2 2例i 解由双曲线方程X9-16=1, 可知 a = 3, b = 4, c =" a 2+ b 2= 5. 由双曲线的定义，得||PF I |-|PF 2||= 6,将此式两边平方，得2 2|PF I | + |PF 2| — 2|PF I | |PF 2|= 36,所以 |PF I |2+ |PF 2|2= 36 + 2|PF I | |PF 2|=36 + 2X 32= 100.如图所示，在△ F 1PF 2中，由余弦定理，得2 2|PF I |+ |PF 2| — |F I F 2| cos / F I PF 2 = 100—100 = =0,2|PF 1||PF 2|'所以 / F 1PF 2 = 90°1所以 袒 F 1PF 2= 2|PF 1| |PF 2| sin / F 1PF 2 1=X 32X 1 = 16. 引申探究解由条件知答案精析2|PF I ||PF 2||PF2|= 3|PF I|,1|PF2|- |PF i|= 2a = 6,£|PF i|= 3,所以|PF2|= 9,2 2 2___ |PF i| + |PF2| - |F I F2|所以cos Z F I PF2= ________ 2|PF I||PF2|9 + 81 - 100 5双曲线6的方程为予—y =1,••• C i 与C 2的离心率之积为 —即 x ± 2y = 0.⑵抛物线y 2= 4x 的准线方程为x =— i ，又△ FAB 为直角三角形,则只有/ AFB = 90°如图, 则A( — 1,2)应在双曲线上,故 e = c =6.a跟踪训练2 D ［由椭圆可知 |AF i |+ |AF 2|= 4, |F i F 2|= 2 3.T 四边形AF 1BF 2为矩形,•- |AF i |2 + |AF 2|2= |F i F 2|2 = i2,2 2 22 2 2•••(|AF 2|— AF i |) = |AF i | + |AF 2| — 2AF i ||AF 2|= 12 — 4 = 8, ••• IAF 2— |AF I |= 2 2.因此对于双曲线C 2有a = .2, c = 3,C l 的离心率为a 2—b 2C 2的离心率为'a 2+ b 22 1代入双曲线方程可得 a 25'•- C 2的渐近线方程为y =•- 2|AF i|AF2|= (|AF i|+ |AF2|) —(|AF i| + |AF2| )= i6—i2= 4,二C ?的离心率e =- = J.] a 2 例3解(1)由题意知， |PF i |+ |PF 2|= 2a = 2 2, 所以a = 2. 又因为e = - =¥， a 2 所以 c =¥ X 2= 1, 所以 b 2 = a 2-c 2= 2- 1 = 1, 2 所以椭圆的标准方程为X2 + y 2= 1. (2)已知F 2(1,0)，直线斜率显然存在, 设直线的方程为y = k(x - 1), A (X 1, y 1), B(X 2, y 2), y = k(x — 1 ) 联立直线与椭圆的方程得转2 o 入 1 2 A 2 +y =1, 化简得(1 + 2k 2)x 2- 4k 2x + 2k 2-2 = 0, 2 4k 2,1 +2 k 2—2ky 1 + y 2= k(X 1 + X 2)- 2k = 21 + 2k所以AB 的中点坐标为2k 2 ―k(1 + 2k" 1 + 2k 2)'①当k z 0时，AB 的中垂线方程为1 2k 2y -1 + 2厂 E - 1+ 2k 2)，因为 |MA|= |MB|,所以 X 1 + x =所以点M 在AB 的中垂线上,将点M 的坐标代入直线方程得,即 2 3k 3— 7k + 3= 0,解得k = 3或k =¥； 6②当k = 0时，AB 的中垂线方程为x = 0，满足题意. 所以斜率k 的取值为0, 3或跟踪训练3解⑴因为2c = 2,所以c = 1.又AB = (— a , b),且 AB // n ,所以 2b = a ，所以 2b 2 = b 2+ 1, 所以 b = 1, a = 2. 2 所以椭圆E 的标准方程为| + y 2= 1.2 X 2(2)设P(x 1, y 1), Q(X 2, y 2)，把直线方程y = kx + m 代入椭圆方程-+ y = 1, 消去y , 得2 2 2 (2 k + 1)x + 4kmx + 2m — 2= 0,2 23 2 △= 16k 2— 8m 2+ 8>0 ,即 m 2<2k 2 + 1.(*)因为原点o 总在以PQ 为直径的圆的内部, 所以 OP OQ<0, 即 X 1X 2+ y 1y 2<0.又 y 『2= (kx 1+ m)(kx 2+ m)所以 4km 2 , 2k + 1 2m 2— 2x 1X 2= 2 2k + 1 2k 2, 1+ 2k2 2 m —2k=k x i x2 + mk(x i + X2)+ m = ―2 ---------------2k2+ 12 2 22m2— 2 m2—2k2 由—2 + —2 <0,2k2+ 1 2k2+ 1得m2<fk2+ f.2 2依题意且满足(*)得，m育,故实数m的取值范围是(—f,* •当堂训练1 • C 2.A 3.B 4.D 5.2x—y—15= 0—2 X 3X 9 ―-27.所以sin Z F i PF2= 8^711,1所以袒 F1PF2= 2|PF1||PF2|sin Z F1PF2=1X 3X 9X 冷驴=4.11.即厶F1PF2的面积为4 11.跟踪训练1 B [设P为双曲线右支上的一点.2X 2 2对椭圆m+ y = 1(m>1), c = m- 1,|PF1|+ |PF2|= 2 ,m,2对双曲线X—y* 1 2= 1, c2= n+1,n|PF1|- |PF2|= 2 ,n,•••|PF1|= ,m+ .n, |PF2|= m- , n ,2 2|F1F2| = (2 c) = 2(m+ n),而|PF1|2+ |PF2|2= 2(m+ n) = (2c)2= |F1F2|2, F1PF 2是直角三角形，故选B.]例 2 (1)A (2) 6解析(1)a> b> 0 ,2 2椭圆C的方程为X2 + y2= 1 ,a b。