北师大版3.4微积分基本定理导学案

北师大版数学高三上册微积分基础教案第一课时：导数与微分1. 导数的概念及计算方法- 导数的定义：对于函数f(x)，其在某一点x处的导数表示函数在该点的变化率，记作f'(x)或dy/dx。

- 导数的几何意义：导数表示函数曲线在某一点处的切线斜率。

- 导数的计算方法：使用导数的定义公式，或使用导数的基本性质进行计算。

- 常见导数公式：- 常数函数导数：(k)' = 0，其中k为常数。

- 幂函数导数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为自然数。

- 指数函数导数：(a^x)' = ln(a) * a^x，其中a为大于0且不等于1的常数。

- 对数函数导数：(log_a(x))' = 1 / (xln(a))，其中a为大于0且不等于1的常数。

2. 导数的几何意义- 函数的导数可用来刻画函数在某一点附近的变化情况。

导数大于0表示函数递增，导数小于0表示函数递减。

- 导数为0的点称为函数的驻点，此时函数曲线的切线斜率为0，可能是函数的极值点或拐点。

3. 微分的概念及计算方法- 微分的定义：对于函数f(x)，其在某一点x处的微分表示函数在该点的导数与自变量变化量的乘积，记作df = f'(x)dx。

- 微分的计算方法：使用微分的定义公式进行计算，或利用微分的性质进行推导。

4. 实际问题中的应用- 利用导数和微分，可以解决很多实际问题，如最优化问题、曲线的切线问题、极值问题等。

第二课时：函数的求导法则1. 基本导数法则- 常数函数的导数为0。

（常数乘以函数求导）- 幂函数的导数公式。

- 指数函数的导数公式。

- 对数函数的导数公式。

- 三角函数的导数。

2. 复合函数的导数- 复合函数的导数计算方法：链式法则。

- 链式法则的公式推导及应用。

3. 高阶导数- 导数的导数称为高阶导数，记作f''(x)或d^2y/dx^2。

- 高阶导数的计算方法。

4. 隐函数求导- 隐函数的概念及示例。

2013级人教版数学一轮复习 编号： 编制时间： 2015.4.10 编制人：王文东第三章导数及其应用3.4 定积分与微积分基本定理（仅限理科）【考纲要求】1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.【考点预测】高考中对定积分的考查频率不是很高,主要是考查定积分的概念和几何性质,以及使用微积分基本定理计算定积分、使用定积分求曲边图形面积,并能解决一些简单的物理问题等.【使用说明与学法指导】1.复习教材选修2-2 p34——p37，理解和掌握定义，并完成《优化设计》p47知识梳理部分，夯实基础。

2.对探究部分认真审题并完成；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。

【双基自测】1.根据定积分的定义，dx x ⎰22=( )A. n n i ni 1121⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑= B. n n i ni n 1121lim ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=∞→ C. n n i ni 2221⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑= D. n n i ni n 2221lim⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=∞→ 解析：由求定积分的四个步骤：分割，近似代替，求和，取极限.可知选项为D 2.()=--⎰dx x 1211( )A.1B.4π C. 2πD. π 解析：函数()211--=x y 的图像是圆心为()0,1，半径为1的圆的上半部分.由定积分的几何意义知道，所求定积分为圆面积的41，也即是4π，故选B. 3．下列命题：①已知()f x 在[]a b ，上连续，且()0b af x dx >⎰，则()0f x >；②应用微积分基本定理有211(2)(1)dx F F x=-⎰，则()l n ()F x x =-；③ππ22π02cos 2cos xdx xdx -=⎰⎰；④2πs i n 4xd x =⎰．其中正确的是（ ）Ａ．①②③④Ｂ．③④Ｃ．②③④Ｄ．②③答案：Ｂ 4．π20sin 2xdx =⎰ ．答案：π25 列车以72km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m /s a =-，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？思路分析：因列车停在车站时，速度为０，故应先求速度的表达式，之后令0v =，求出t ，再据v 和t 应用定积分计算出路程.解：已知列车的速度072km /h 20m /s v ==，列车制动时获得的加速度20.4m /s a =-．设列车由开始制动到经过t 秒后的速度为v ，则00200.4200.4ttv v adt dt t =+=-=-⎰⎰．令0v =得50t =（s ）．设列车由开始制动到停止时所走过的路程为S ，则有5050(200.4)500S vdt t dt ==-=⎰⎰（m ）．∴列车应在到站前50s ，离车站500m 处开始制动．评注：本题考查的是定积分在变速直线运动中的应用，两次使用定积分物理意义不同，应细心体会.【探究案】探究点一 用定积分的定义计算定积分例1. 求定积分⎰13xdx 的值.解析：（1）分割：把区间[0，1]等分成n 个小区间[n i n i ,1-]（i=1，2，…，n ）.其长度为△x=n1，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积记为△S i （i=1，2，…，n ）.（2）近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积， △S i =f （ni 1-）△x=3)1(312-=⋅-⋅i n n i n i ，（i=1，2，…，n ）. （3）求和：n n n n i n S ni n i i 123)]1(21[3)1(32121-⋅=-+++=-=∆∑∑== .（4）取极限：S=23123lim )1(3lim12=-⋅=-∞→=∞→∑n n i nn ni n . ∴⎰103xdx 23=. 点评：本题如果用微积分基本定理或定积分的几何意义来求，更为简单，在此仅仅为了说明用定积分的定义可以计算定积分.通常在用微积分基本定理或定积分的几何意义计算定积分比较困难时，再用定积分的定义计算定积分。

微积分基本定理导学案及练习题一、基础过关1．已知物体做变速直线运动的位移函数s＝s(t)，那么下列命题正确的是 ( )①它在时间段[a，b]内的位移是s＝s(t)|ba；②它在某一时刻t＝t0时，瞬时速度是v＝s′(t0)；③它在时间段[a，b]内的位移是s＝limn→∞i＝1n b－ans′(ξi)；④它在时间段[a，b]内的位移是s＝ʃbas′(t)dt.A．① B．①②C．①②④ D．①②③④2．若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式不正确的是( )A．F(x)＝13x3 B．F(x)＝x3 C．F(x)＝13x3＋1 D．F(x)＝13x3＋c(c为常数)3． ʃ10(ex＋2x)dx等于 ( )A．1 B．e－1 C．e D．e＋14．已知f(x)＝x2，－1≤x≤0，1，0x≤1，则ʃ1－1f(x)dx的值为 ( )A.32B.43C.23 D．－2． ʃπ20sin2x2dx等于 ( )A.π4B.π2－1 C．2 D .π－246．ʃ1－1| x|dx等于 ( )A．ʃ1－1xdxB．ʃ1－1(－x)dxC．ʃ0－1(－x)dx＋ʃ10xdxD．ʃ0－1xdx＋ʃ10(－x)dx二、能力提升7．设f(x)＝lg x，x0x＋?a03t2dt，x≤0，若f[f(1)]＝1，则a＝________.8．设函数f(x)＝ax2＋c (a ≠0)，若ʃ10f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．9．设f(x)是一次函数，且ʃ10f( x)dx＝5，ʃ10xf(x)dx＝176，则f(x)的解析式为________．10．计算下列定积分：(1)ʃ21(ex＋1x)dx； (2)ʃ91x(1＋x)dx；(3)ʃ200(－0.05e－0.05x＋1)dx；(4)ʃ211xx＋1dx.11．若函数f(x)＝x3，x∈[0，1]，x，x∈1，2]，2x，x∈2，3].求ʃ30f(x)dx的值．12．已知f(a)＝ʃ10(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．。

§2 微积分基本定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现S＝S(t)与v＝v(t)在[a，b]上的位移的关系，推导出微积分基本定理；(2)简单运用微积分基本定理解答求定积分的问题．2．过程与方法通过对变速直线运动物体位移问题的探究，发现微积分基本定理这一过程，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的应用，培养学生独立解决问题的能力，体会用联系的观点认识问题．3．情感、态度与价值观(1)通过对微积分基本定理的探究学习，经历数学的探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识．(2)通过本节的运用和实践，体会导数与定积分的关系，以及数学的应用价值．●重点难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单定积分．难点：微积分基本定理的含义．教学时，引导学生分别用物体运动规律S＝S(t)和速度函数v＝v(t)表示出变速直线运动b 物体在时间段[a，b]上的位移S.然后从导数及定积分两个方面分析S(t)与v(t)的关系及S与⎠⎛a v(t)d t的关系，从而引导学生发现定理，突破难点．通过微积分基本定理求定积分，让学生在应用过程中，更深入地了解定理，以强化重点．(教师用书独具)●教学建议本节内容安排在定积分的概念之后，是对定积分的应用；同时，也是对导数与定积分的关系的探究与延伸．这一过程中，学生既经历了微积分基本定理的发现过程，又直观了解了微积分基本定理的含义．因此本节课宜采取发现式课堂教学模式．即在教师精心设计的问题的引导下，通过学生的作答、交流、探究，发现定理、应用定理．●教学流程创设情境，引出问题：从两个角度求物体走过的路程.⇒引导学生结合导数、定积分的定义求解，通过观察、比较、分析得出规律.⇒通过引导学生回答所提问题，将规律推广，得到定理.⇒运用定理解答例1及其变式训练.⇒通过例2及其互动探究的解答巩固定理，提高性质的运用能力.⇒探究定理的逆向应用，并应用其解决参数的计算问题，完成例3及变式训练.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解微积分基本定理的含义．(难点) 2.会利用微积分基本定理求函数的定积分．(重点)微积分基本定理1．物体走过的路程S 与时间t 的函数为S (t )＝t 2，试求物体从t ＝1到t ＝2走过的路程S .【提示】 S ＝S (2)－S (1)＝3.2．求该物体在t 时刻的瞬时速度v (t )，计算v (t )在[1,2]上的定积分并说明其物理意义． 【提示】 v (t )＝S ′(t )＝2t ，⎠⎛12v (t )d t ＝3，表示物体从t ＝1到t ＝2走过的路程．3．比较1、2中所得的结论，你能发现什么规律？并加以推广． 【提示】 ⎛12v (t )＝S (2)－S (1)，⎛ab v (t )d t ＝S (b )－S (a ).定理内容符号表示 作用 如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，定理中的式子称为牛顿－莱布尼茨公式．通常称F (x )是f (x )的一个原函数⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a ) (1)建立了积分与导数间的密切联系(2)提供了计算定积分的一种有效方法利用微积分基本定理求定积分(1)⎠⎛054x d x ；(2)⎠⎛05(x 2－2x )d x ；(3)⎠⎛12(x －1x )d x ；(4)⎠⎛121x2d x .【思路探究】 先确定被积函数的一个原函数，然后利用微积分基本定理求出定积分．【自主解答】 (1)由于2x 2的导函数是4x ，根据微积分基本定理可得⎠⎛054x d x ＝2x 2|50＝2×52－2×02＝50.(2)由于13x 3－x 2的导函数是x 2－2x ，根据微积分基本定理可得⎠⎛05(x 2－2x )d x ＝(13x 3－x 2)|50＝(13×53－52)－(13×03－02)＝503. (3)由于12x 2－ln x 的导函数是x －1x ，根据微积分基本定理可得⎠⎛12(x －1x )d x ＝(12x 2－ln x )|21＝(12×22－ln 2)－(12×12－ln 1)＝32－ln 2. (4)由于－1x 的导函数是1x 2，根据微积分基本定理可得⎠⎛121x2d x ＝－1x |21＝－(12－11)＝12.1．本题的关键是寻求函数f (x )的一个原函数F (x )．2．应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数．求下列定积分的值．(1)⎠⎛01(2x ＋3)d x ；(2)⎠⎛1－2(1－t 3)d t ；(3)⎠⎛12(t ＋2)d x ；(4)⎠⎛0－π(cos x ＋e x )d x . 【解】 (1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3， ∴⎠⎛01(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪1＝1＋3＝4. (2)∵(t －t 44)′＝1－t 3，∴⎠⎛1－2(1－t 3)d t ＝(t －t 44)⎪⎪⎪1－2＝1－14－[－2－(－2)44]＝7－14＝274.(3)∵(tx ＋2x )′＝t ＋2，∴⎠⎛12(t ＋2)d x ＝(tx ＋2x )⎪⎪⎪21＝(2t ＋4)－(t ＋2)＝t ＋2. (4)⎠⎛0－π(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛0－πcos x d x ＋⎠⎛0－πe x d x＝sin x ⎪⎪0－＋e x ⎪⎪－＝1－1e π.(1)∫π20sin 2 x2d x ；(2)⎠⎛49x (1＋x )d x .【思路探究】 化简被积函数→转化为基本函数的积分→求原函数→求定积分 【自主解答】 (1)原式＝∫π2012(1－cos x )d x ＝12∫π20(1－cos x )d x ＝12∫π201d x －12∫π20cos x d x ＝x 2|π20－sin x 2|π20 ＝π－24.(2)原式＝⎠⎛49(x ＋x )d x ＝⎠⎛49x 12d x ＋⎠⎛49x d x＝23x 32|94＋12x 2|94＝2716.1．本题(1)(2)中的f (x )较为复杂，直接求其原函数不易，故而先化简f (x )再求定积分． 2．求函数f (x )在某个区间上的定积分，要正确运用导数运算求原函数，另外要灵活运用定积分的性质，这样会使计算简便．将本例(1)中“sin 2x 2”改为“(cos x 2－sin x 2)2”，即求∫π20(cos x 2－sin x2)2d x .【解】 ∫π20(cos x 2－sin x 2)2d x ＝∫π20(1－sin x )d x＝∫π201d x ＋∫π20(－sin x )d x ＝π2＋cos x |π20＝π2＋(cos π－cos 0)＝π－1.(1)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛0＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．(2)已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x＝1，求f (x )的解析式． 【思路探究】 (1)先利用微积分基本定理求出定积分⎠⎛01f (x )d x ，然后列出关于x 0的方程，求出x 0的值．(2)设出f (x )的解析式，再根据已知条件列方程组求解． 【自主解答】 (1)因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)， 且(a3x 3＋cx )′＝ax 2＋c ， 所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(a 3x 3＋cx )|10＝a 3＋c ＝ax 20＋c ， 解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． (2)依题意设一次函数f (x )的解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)． ∵函数图像过点(3,4)，∴3k ＋b ＝4.①∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝(k 2x 2＋bx )|10＝k 2＋b ，∴k2＋b ＝1.② 由①②得，k ＝65，b ＝25，∴f (x )＝65x ＋25.1．本题利用函数的性质与微积分基本定理转化为方程求解参数．2．利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，其次要注意积分下限小于积分上限．已知⎠⎛0k(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( )A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对【解析】 ∵⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)|k0＝k 2－k 3， ∴k 2－k 3＝0，解得k ＝1或k ＝0(舍去)，故选B. 【答案】 B数形结合思想在定积分计算中的应用(12分)已知函数f (x )为偶函数，且x ≥0时，f (x )＝4x －x 2，求⎠⎛4－4f (x )d x .【思路点拨】 画出f (x )的图像，利用定积分的几何意义求解． 【规范解答】 当x ≥0时，函数y ＝4x －x 2可化为y 2＝4x －x 2， 即(x －2)2＋y 2＝4(y ≥0).2分它表示以点(2,0)为圆心，2为半径的在x 轴及其上方的圆，4分 其面积为2π，即⎠⎛04f (x )d x ＝2π.6分又∵f (x )为偶函数，∴f (x )的图像关于y 轴对称， ∴⎠⎛0－4f (x )d x ＝⎠⎛04f (x )d x .8分∴⎠⎛4－4f (x )d x ＝⎠⎛0－4f (x )d x ＋⎠⎛04f (x )d x＝2⎠⎛04f (x )d x ＝4π.12分求函数的定积分一般有两种方法：一是当被积函数的原函数容易求出时，可求出原函数，用微积分基本定理求解；二是当被积函数的原函数不易被求出时，可考虑画出被积函数的图像，用定积分的几何意义求解，有时可结合定积分的运算性质．1．用微积分基本定理求定积分⎠⎛ab f (x )d x ，要将f (x )看作导函数，还原得到其原函数F (x )．2．对于复合函数求定积分，如分段函数、带绝对值函数、复杂的三角函数等，要先运用相关公式化简，再用积分性质分解为常见函数求定积分．1．下列式子正确的是( ) A.⎠⎛ab f(x)d x ＝f(b)－f(a)B .⎠⎛ab f (x )d x ＝f (b )－f (a )＋c。

课题：1.6微积分基本定理一、学习目标1.通过实例直观了解微积分积分定理的含义.2.熟练地用微积分积分定理计算微积分.二、教学重难点教学重点：理解微积分基本定理的含义，并能用定理计算简单的定积分．教学难点：理解微积分基本定理的含义．三、自学指导与检测自学指导自学检测及课堂展示阅读课本54-51P完成右框内容1.复习定积分的性质①bakf(x)dx=⎰ .②b12a[f(x)f(x)]dx=±⎰ .③baf(x)dx=⎰ .2.微积分基本定理(1)一般地，如果)(xf是区间[]b a,上的连续函数并且)()(xfxF=',那么=⎰b a dxxf)(___________ .这个结论叫做微积分基本定理，也叫做. (2)符合表示：=⎰b a dxxf)(= .【即式训练1】用微积分基本定理求简单函数的定积分．（1）12x dx⎰；（2）()dxxx⎰-122；（3）⎰102dxe x（4）⎰--22)4)(24(dxxx【变式训练1】计算下列定积分:⎰π0sin xdx,⎰ππ2sin xdx,⎰π20sin xdx.由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.3：用微积分基本定理求分段函数的定积分A 层1．下列积分正确的是( )2.dx x ⎰--1121等于( )A.4πB.2π C.π D.π2B 层3.dx x ⎰11-等于() A.⎰11-xdx B. dx ⎰11- C. ⎰-01-)(dx x ＋⎰10xdx D. ⎰01-xdx ＋⎰-10)(dx xC 层5.已知⎰--=-aa dx x 8)12(,求a 的值.【即时训练2】.求函数3(01)()(14)x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩在区间[0,4]上的积分.。

一、知识梳理１．定积分的概念在错误!f（x）d x中，a，b分别叫作积分下限与积分上限，区间[a，b]叫作积分区间，f（x）叫作被积函数，x叫作积分变量，f（x）d x叫作被积式．２．定积分的性质（１）错误!kf（x）d x＝k错误!f（x）d x（k为常数）；（２）错误![f１（x）±f２（x）]d x＝错误!f１（x）d x±错误!f２（x）d x；（３）错误!f（x）d x＝错误!f（x）d x＋错误!f（x）d x（其中a<c<b）．３．微积分基本定理一般地，如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，且F′（x）＝f（x），那么错误!f（x）d x＝F（b）—F（a），这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿­莱布尼茨公式．其中F（x）叫作f（x）的一个原函数．为了方便，常把F（b）—F（a）记作F（x）错误!，即错误!f（x）d x＝F（x）错误!＝F（b）—F （a）．常用结论１．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．２．若函数f（x）在闭区间[—a，a]上连续，则有（１）若f（x）为偶函数，则错误!f（x）d x＝２错误!f（x）d x.（２）若f（x）为奇函数，则错误!f（x）d x＝0．二、教材衍化１．设f（x）＝错误!则错误!f（x）d x的值是（）Ａ．错误!x２d xＢ．错误!２x d xＣ．错误!x２d x＋错误!２x d xＤ．错误!２x d x＋错误!x２d x解析：选Ｄ．由分段函数的定义及定积分运算性质，得错误!f（x）d x＝错误!２x d x＋错误!x２d x.故选Ｄ．２．错误!错误!d x＝________．解析：错误!错误!d x＝ln（x—１）|错误!＝ln e—ln １＝１．答案：１３．若错误!（sin x—a cos x）d x＝２，则实数a等于________．解析：由题意知（—cos x—a sin x）错误!＝１—a＝２，a＝—１．答案：—１４．汽车以v＝（３t＋２）m/s作变速直线运动时，在第１s至第２s间的１s内经过的位移是________m.解析：s＝错误!（３t＋２）d t＝错误!错误!１＝错误!×４＋４—错误!＝１0—错误!＝错误!（m）．答案：错误!一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）设函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，则错误!f（x）d x＝错误!f（t）d t.（）（２）若f（x）是偶函数，则错误!f（x）d x＝２错误!f（x）d x.（）（３）若f（x）是奇函数，则错误!f（x）d x＝0．（）（４）曲线y＝x２与直线y＝x所围成的区域面积是错误!（x２—x）d x.（）答案：（１）√（２）√（３）√（４）×二、易错纠偏错误!错误!（１）误解积分变量致误；（２）不会利用定积分的几何意义求定积分；（３）f（x），g（x）的图象与直线x＝a，x＝b所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错．１．定积分错误!（t２＋１）d x＝________．解析：错误!（t２＋１）d x＝（t２＋１）x|错误!＝２（t２＋１）＋（t２＋１）＝３t２＋３．答案：３t２＋３２．错误!错误!d x＝________解析：错误!错误!d x表示以原点为圆心，错误!为半径的错误!圆的面积，故错误!错误!d x＝错误!π×（错误!）２＝错误!.答案：错误!３．如图，函数y＝—x２＋２x＋１与y＝１相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是________．解析：由错误!得x１＝0，x２＝２．所以S＝错误!（—x２＋２x＋１—１）d x＝错误!（—x２＋２x）d x＝错误!错误!＝—错误!＋４＝错误!.答案：错误![学生用书P５３]定积分的计算（多维探究）角度一利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!cos x d x；（３）错误!错误!d x.【解】（１）因为（ln x）′＝错误!，所以错误!错误!d x＝２错误!错误!d x＝２ln x错误!＝２（ln ２—ln １）＝２ln ２．（２）因为（sin x）′＝cos x，所以错误!cos x d x＝sin x错误!＝sin π—sin 0＝0．（３）因为（x２）′＝２x，错误!′＝—错误!，所以错误!错误!d x＝错误!２x d x＋错误!错误!d x＝x２错误!＋错误!错误!＝错误!.角度二利用定积分的几何意义求定积分计算下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!（３x３＋４sin x）d x.【解】（１）根据定积分的几何意义，可知错误!错误!d x表示的是圆（x—１）２＋y２＝１的面积的错误!（如图中阴影部分）．故错误!错误!d x＝错误!.（２）设y＝f（x）＝３x３＋４sin x，则f（—x）＝３（—x）３＋４sin（—x）＝—（３x３＋４sin x）＝—f（x），所以f（x）＝３x３＋４sin x在[—５，５]上是奇函数．所以错误!（３x３＋４sin x）d x＝—错误!（３x３＋４sin x）d x.所以错误!（３x３＋４sin x）d x＝错误!（３x３＋４sin x）d x＋错误!（３x３＋４sin x）d x＝0．错误!计算定积分的解题步骤（１）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．（２）把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．（３）分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．（４）利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[提醒] 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分．１．错误!e|x|d x的值为（）Ａ．２Ｂ．２eＣ．２e—２Ｄ．２e＋２解析：选Ｃ．错误!e|x|d x＝错误!e—x d x＋错误!e x d x＝—e—x错误!＋e x错误!＝[—e0—（—e）]＋（e—e0）＝—１＋e＋e—１＝２e—２，故选Ｃ．２．错误!错误!d x＝________．解析：错误!错误!d x＝错误!错误!d x＋错误!错误!x d x，错误!错误!x d x＝错误!，错误!错误!d x表示四分之一单位圆的面积，为错误!，所以结果是错误!.答案：错误!利用定积分求平面图形的面积（师生共研）（一题多解）求由抛物线y２＝２x与直线y＝x—４围成的平面图形的面积．【解】如图所示，解方程组错误!得两交点的坐标分别为（２，—２），（8，４）．法一：选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和，即S＝２错误!错误!d x＋错误!（错误!—x＋４）d x＝１8．法二：选取纵坐标y为积分变量，则图中阴影部分的面积S＝错误!错误!d y＝１8．错误!设阴影部分的面积为S，则对如图所示的四种情况分别有：（１）S＝错误!f（x）d x.（２）S＝—错误!f（x）d x.（３）S＝错误!f（x）d x—错误!f（x）d x.（４）S＝错误!f（x）d x—错误!g（x）d x＝错误![f（x）—g（x）]d x.１．已知曲线C：y＝x２＋２x在点（0，0）处的切线为l，则由C，l以及直线x＝１围成的区域的面积等于________．解析：因为y′＝２x＋２，所以曲线C：y＝x２＋２x在点（0，0）处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝２，所以切线方程为y＝２x，所以由C，l以及直线x＝１围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S＝错误!（x ２＋２x—２x）d x＝错误!x２d x＝错误!错误!＝错误!.答案：错误!２．已知函数f（x）＝—x３＋ax２＋bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为错误!，则a的值为________．解析：f′（x）＝—３x２＋２ax＋b，因为f′（0）＝0，所以b＝0，所以f（x）＝—x３＋ax２，令f （x）＝0，得x＝0或x＝a（a＜0）．S阴影＝—错误!（—x３＋ax２）d x＝错误!a４＝错误!，所以a＝—１．答案：—１定积分在物理中的应用（师生共研）（１）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7—３t＋错误!（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）Ａ．１＋２５ln ５B．8＋２５ln 错误!Ｃ．４＋２５ln ５D．４＋５0ln ２（２）一物体在力F（x）＝错误!（单位：N）的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝４（单位：m）处，则力F（x）做的功为________J.【解析】（１）令v（t）＝0得，３t２—４t—３２＝0，解得t＝４错误!.汽车的刹车距离是错误!错误!d t＝[7t—错误!t２＋２５ln（t＋１）]错误!＝４＋２５ln ５．（２）由题意知，力F（x）所做的功为W＝错误!F（x）d x＝错误!５d x＋错误!（３x＋４）d x＝５×２＋错误!错误!＝１0＋错误!＝３6（J）．【答案】（１）C （２）３6错误!定积分在物理中的两个应用（１）求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v（t），那么从时刻t＝a 到t＝b所经过的路程s＝错误!v（t）d t.（２）变力做功，一物体在变力F（x）的作用下，沿着与F（x）相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F（x）所做的功是W＝错误!F（x）d x.１．物体A以v＝３t２＋１（m/s）的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方５m处，同时以v＝１0t（m/s）的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t （s）为（）Ａ．３B．４Ｃ．５D．6解析：选Ｃ．因为物体A在t秒内行驶的路程为错误!（３t２＋１）d t，物体B在t秒内行驶的路程为错误!１0t d t，因为（t３＋t—５t２）′＝３t２＋１—１0t，所以错误!（３t２＋１—１0t）d t＝（t３＋t—５t２）错误!＝t３＋t—５t２＝５，整理得（t—５）（t２＋１）＝0，解得t＝５．２．设变力F（x）作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝１运动到x＝１0，已知F（x）＝x２＋１且方向和x轴正向相同，则变力F（x）对质点M所做的功为________J（x的单位：m；力的单位：N）．解析：变力F（x）＝x２＋１使质点M沿x轴正向从x＝１运动到x＝１0所做的功为W＝错误!F（x）d x＝错误!（x２＋１）d x，因为错误!′＝x２＋１，所以原式＝３４２（J）．答案：３４２[学生用书P２7４（单独成册）][基础题组练]１．定积分错误!（３x＋e x）d x的值为（）Ａ．e＋１Ｂ．eＣ．e—错误!Ｄ．e＋错误!解析：选Ｄ．错误!（３x＋e x）d x＝错误!错误!＝错误!＋e—１＝错误!＋e.２．若f（x）＝错误!f（f（１））＝１，则a的值为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．—１Ｄ．—２解析：选Ａ．因为f（１）＝lg １＝0，f（0）＝错误!３t２d t＝t３错误!＝a３，所以由f（f（１））＝１得a３＝１，所以a＝１．３．若f（x）＝x２＋２错误!f（x）d x，则错误!f（x）d x＝（）Ａ．—１Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．１解析：选Ｂ．因为f（x）＝x２＋２错误!f（x）d x，所以错误!f（x）d x＝错误!|错误!＝错误!＋２错误!f（x）d x，所以错误!f（x）d x＝—错误!.４．设f（x）＝错误!则错误!f（x）d x的值为（）Ａ．错误!＋错误!Ｂ．错误!＋３Ｃ．错误!＋错误!Ｄ．错误!＋３解析：选Ａ．错误!f（x）d x＝错误!错误!d x＋错误!（x２—１）d x＝错误!π×１２＋错误!错误!＝错误!＋错误!，故选Ａ．５．由曲线y＝x２和曲线y＝错误!围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由错误!解得错误!或错误!所以阴影部分的面积为错误!（错误!—x２）d x＝错误!.故选Ａ．6．定积分错误!（x２＋sin x）d x＝________．解析：错误!（x２＋sin x）d x＝错误!x２d x＋错误!sin x d x＝２错误!x２d x＝２·错误!错误!＝错误!.答案：错误!7．错误!（x２tan x＋x３＋１）d x＝________．解析：因为x２tan x＋x３是奇函数．所以错误!（x２tan x＋x３＋１）d x＝错误!１d x＝x|错误!＝２．答案：２8．一物体受到与它运动方向相反的力：F（x）＝错误!e x＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝１时F （x）所做的功等于________．解析：由题意知W＝—错误!错误!d x＝—错误!错误!＝—错误!—错误!.答案：—错误!—错误!9．求下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!（cos x＋e x）d x.解：（１）错误!错误!d x＝错误!x d x—错误!x２d x＋错误!错误!d x＝错误!错误!—错误!错误!＋ln x错误!＝错误!—错误!＋ln ２＝ln ２—错误!.（２）错误!（cos x＋e x）d x＝错误!cos x d x＋错误!e x d x＝sin x错误!＋e x错误!＝１—错误!.１0．已知函数f（x）＝x３—x２＋x＋１，求其在点（１，２）处的切线与函数g（x）＝x２围成的图形的面积．解：因为（１，２）为曲线f（x）＝x３—x２＋x＋１上的点，设过点（１，２）处的切线的斜率为k，则k＝f′（１）＝（３x２—２x＋１）|x＝１＝２，所以过点（１，２）处的切线方程为y—２＝２（x—１），即y＝２x.y＝２x与函数g（x）＝x２围成的图形如图中阴影部分所示，由错误!可得交点A（２，４），O（0，0），故y＝２x与函数g（x）＝x２围成的图形的面积S＝错误!（２x—x２）d x＝错误!错误!＝４—错误!＝错误!.[综合题组练]１．由曲线xy＝１，直线y＝x，x＝３所围成的封闭平面图形的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．４—ln ３Ｃ．４＋ln ３Ｄ．２—ln ３解析：选Ｂ．画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy＝１，直线y＝x，x＝３所围成的封闭的平面图形如图所示：由错误!得错误!或错误!由错误!得错误!故阴影部分的面积为错误!错误!d x＝错误!错误!＝４—ln ３．２．设函数f（x）＝ax２＋c（a≠0），若错误!f（x）d x＝f（x0），0≤x0≤１，则x0的值为________．解析：错误!f（x）d x＝错误!（ax２＋c）d x＝错误!错误!＝错误!a＋c＝f（x0）＝ax错误!＋c，所以x错误!＝错误!，x0＝±错误!.又因为0≤x0≤１，所以x0＝错误!.答案：错误!３．错误!（错误!＋e x—１）d x＝________．解析：错误!（错误!＋e x—１）d x＝错误!错误!d x＋错误!（e x—１）d x.因为错误!错误!d x表示单位圆的上半部分的面积，所以错误!错误!d x＝错误!.而错误!（e x—１）d x＝（e x—x）错误!＝（e１—１）—（e—１＋１）＝e—错误!—２，所以错误!（错误!＋e x—１）d x＝错误!＋e—错误!—２．答案：错误!＋e—错误!—２４．若函数f（x）在R上可导，f（x）＝x３＋x２f′（１），则错误!f（x）d x＝________．解析：因为f（x）＝x３＋x２f′（１），所以f′（x）＝３x２＋２xf′（１）．所以f′（１）＝３＋２f′（１），解得f′（１）＝—３．所以f（x）＝x３—３x２.故错误!f（x）d x＝错误!（x３—３x２）d x＝错误!错误!＝—４．答案：—４５．如图，在曲线C：y＝x２，x∈[0，１]上取点P（t，t２），过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x＝0，x＝１及直线l围成的图形包括两部分，面积分别记为S１，S２.当S１＝S２时，求t的值．解：根据题意，直线l的方程是y＝t２，且0＜t＜１．结合题图，得交点坐标分别是A（0，0），P（t，t２），B（１，１）．所以S１＝错误!（t２—x２）d x＝错误!错误!＝t３—错误!t３＝错误!t３，0＜t＜１．S２＝错误!（x２—t２）d x＝错误!错误!＝错误!—错误!＝错误!t３—t２＋错误!，0＜t＜１．由S１＝S２，得错误!t３＝错误!t３—t２＋错误!，所以t２＝错误!.又0＜t＜１，所以t＝错误!.所以当S１＝S２时，t＝错误!.。

[考纲传真] １．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.２．了解微积分基本定理的含义．１．定积分的概念与几何意义（１）定积分的定义如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点δi（i＝１,２，…，n），作和式s′＝f（δ１）Δx１＋f（δ２）Δx２＋…＋f（δi）Δx i＋…＋f（δn）Δx n.当每个小区间的长度Δx趋于0时，s′的值趋于一个常数Ａ．我们称常数A叫作函数f（x）在区间[a，b]上的定积分，记作错误!f（x）dx，即错误!f（x）dx＝Ａ．在错误!f（x）dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式．（２）定积分的几何意义图形阴影部分面积S＝错误!f（x）dxS＝—错误!f（x）dxS＝错误!f（x）dx—错误!f（x）dxS＝错误!f（x）dx—错误!g（x）dx＝错误![f（x）—g（x）]dx２．定积分的性质（１）错误!１dx＝b—a；（２）错误!k f（x）dx＝k错误!f（x）dx（k为常数）；（３）错误![f１（x）±f２（x）]dx＝错误!f１（x）dx±错误!f２（x）dx；（４）错误!f（x）dx＝错误!f（x）dx＋错误!f（x）dx（其中a<c<b）．３．微积分基本定理如果连续函数f（x）是函数F（x）的导函数，即f（x）＝F′（x），那么错误!f（x）dx＝F（b）—F （a），这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿­莱布尼茨公式．通常称F（x）是f（x）的一个原函数．为了方便，常把F（b）—F（a）记作F（x）|错误!，即错误!f（x）dx＝F（x）|错误!＝F（b）—F（a）．错误!函数f（x）在闭区间[—a，a]上连续，则有（１）若f（x）为偶函数，则错误!—af（x）dx＝２错误!f（x）dx.（２）若f（x）为奇函数，则错误!—af（x）dx＝0．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）设函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，则错误!f（x）dx＝错误!f（t）dt. （）（２）定积分一定是曲边梯形的面积．（）（３）若错误!f（x）dx＜0，那么由y＝f（x）的图像，直线x＝a，直线x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．（）[答案] （１）√（２）×（３）×２．错误!e x dx的值等于（）Ａ．eＢ．１—eＣ．e—１Ｄ．错误!（e—１）C[错误!e x dx＝e x错误!＝e—１．]３．（教材改编）已知质点的速率v＝１0t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是（）Ａ．１0t错误!Ｂ．５t错误!Ｃ．错误!t错误!Ｄ．错误!t错误!B[S＝∫t00v dt＝∫t00１0tdt＝５t２|t00＝５t错误!.]４．（教材改编）曲线y＝x２与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．错误![如图，阴影部分的面积即为所求．由错误!得A（１,１）．故所求面积为S ＝错误!（x —x ２）dx ＝错误!错误!错误!＝错误!.] ５．错误!错误!dx ＝________.错误! [错误!错误!dx 表示曲线y ＝错误!与直线x ＝—１，x ＝１及x 轴围成的曲边梯形的面积，故错误!错误!dx ＝错误!.]定积分的计算１．（２0１9·玉溪模拟）计算错误!错误!dx 的值为（ ） Ａ．错误! Ｂ．错误!＋ln ２ Ｃ．错误!＋ln ２Ｄ．３＋ln ２B [错误!错误!dx ＝错误!错误!错误!＝２＋ln ２—错误!＝错误!＋ln ２．故选 Ｂ．]２．（２0１8·吉林三模）错误!|x —１|dx ＝（ ） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３Ｄ．错误!D [错误!|x —１|dx ＝错误!（１—x ）dx ＝错误!错误!错误!＝１—错误!＝错误!.] ３．设f （x ）＝错误!则错误!f （x ）dx 等于（ ） Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．错误!Ｄ．不存在C [如图，错误!f （x ）dx ＝错误!x ２dx ＋错误!（２—x ）dx ＝错误!x ３错误!＋错误!错误!错误! ＝错误!＋错误!＝错误!.]４．错误!（sin x —cos x ）dx ＝________.２ [错误!（sin x —cos x ）dx ＝（—cos x —sin x ）|错误!＝１+１＝２．] [规律方法] １．运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 （１）对被积函数要先化简，再求积分．（２）求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．（３）对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分．（４）注意用“F′（x）＝f（x）”检验积分的对错．２．根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分．定积分的几何意义【例１】（１）（２0１9·皖南八校联考）用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值，设f（x）＝min错误!错误!，则由函数f（x）的图像，x轴与直线x＝错误!和直线x＝２所围成的封闭图形的面积为________．（２）（２0１9·黄山模拟）已知曲线y＝x２与直线y＝k x（k＞0）所围成的曲边图形的面积为错误!，则k＝________.（１）错误!＋ln２（２）２[（１）由题意，围成的封闭图形如图中阴影部分，由题意，S＝错误!错误!错误!dx＋错误!错误!dx＝错误!x错误!１错误!＋ln x错误!＝错误!错误!＋ln２＝错误!＋ln２，故答案为错误!＋ln２．（２）由错误!得错误!或错误!则曲线y＝x２与直线y＝k x（k＞0）所围成的曲边梯形的面积为错误!（k x—x２）dx＝错误!|错误!＝错误!—错误!k３＝错误!，即k３＝8，所以k＝２．][规律方法] 利用定积分求平面图形面积的步骤１根据题意画出图形.２借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限.３把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和.４计算定积分，写出答案.易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况讨论.（２）如图所示，由抛物线y＝—x２＋４x—３及其在点A（0，—３）和点B（３,0）处的切线所围成图形的面积为________．（１）错误!（２）错误![（１）如图所示，由y＝错误!及y＝—x＋２可得交点横坐标为x＝１．由定积分的几何意义可知，由y＝错误!，y＝—x＋２及x轴所围成的封闭图形的面积为错误!错误!dx＋错误!（—x＋２）dx＝错误!x错误!|错误!＋错误!|错误!＝错误!.（２）由y＝—x２＋４x—３，得y′＝—２x＋４，∴y′|x＝0＝４，y′|x＝３＝—２，∴抛物线在A点处的切线方程为y＝４x—３，在B点处的切线方程为y＝—２x＋6，联立方程错误!解得错误!∴两切线交点的横坐标为错误!，定积分在物理中的应用【例２】（１）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7—３t ＋错误!（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）Ａ．１＋２５ln５Ｂ．8＋２５ln错误!Ｃ．４＋２５ln５Ｄ．４＋５0ln２（２）（２0１9·渭南模拟）一物体在变力F（x）＝５—x２（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成３0°方向作直线运动，则由x＝１运动到x＝２时，F（x）做的功为（）Ａ．错误!JＢ．错误!JＣ．错误!JＤ．２错误!J（１）C（２）C[（１）由v（t）＝7—３t＋错误!＝0，可得t＝４错误!，因此汽车从刹车到停止一共行驶了４s，此期间行驶的距离为错误!v（t）dt＝错误!错误!dt＝错误!|错误!＝４＋２５ln５．（２）变力F在位移方向上的分力为Fcos３0°，故F（x）做的功为W＝错误!（５—x２）cos３0°dx ＝错误!错误!（５—x２）dx＝错误!５x—错误!x３错误!＝错误!.][规律方法] 定积分在物理中的两个应用１求物体变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v t，那么从时刻t＝a 到t＝b所经过的路程s＝错误!v t dt.２变力做功，一物体在变力F x的作用下，沿着与F x相同方向从x＝a运动到x＝b时，力F x所做的功是W＝错误!F x dx.２线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方５m处以v＝１0t（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是________m.１３0 [设A追上B时，所用的时间为t0，则S A＝S B＋５，即∫t00（３t２＋１）dt＝∫t00（１0t）dt＋５，∴（t３＋t）t00＝５t错误!＋５∴t错误!＋t0＝５（t错误!＋１）即t0＝５，∴S A＝５t错误!＋５＝５×５２＋５＝１３0（m）．]。

学习目标：1.直观了解微积分基本定理的含义，能运用微积分基本定理计算简单的定积分。

2.通过学习微分与积分的关系，体会数学的博大精深，为进一步学好微积分打好基础。

学习重点：微积分基本定理的理解；学习难点：运用微积分基本定理计算简单的定积分 一、预学部分【自主学习】新课知识1、微积分基本定理：如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即 ，那么ʃb a f (x )d x ＝ ． 2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃb a f (x )d x ＝．(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝ ．(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f (x )d x ＝ ，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝ .3、定积分公式： （1）=⎰bacdx （2）=⎰bandx x （3）=⎰baxdx cos（4）=⎰ba xdx sin （5）)0(___________1>=⎰x dx xba（6）=⎰bax dx e （7）=⎰n mx dx a4、定积分性质（1）⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(（k 为常数 （2）⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f )()()]()([（3）,)()()(⎰⎰⎰+=bccabadx x f dx x f dx x f二、导学模块 【合作探究】计算下列定积分1、ʃ31(2x －1x2)d x ； 2、ʃ0－π(cos x －e x)d x .3、ʃ31(x ＋1x)26x d x . 4、⎰-32|4|dx x5、设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x ；6、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．【拓展延伸】 高（中）考对接1． 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23D ．－23三、固学提高 【课堂检测】1． (1＋cos x )d x 等于 ( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋22．若ʃa1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是 ( )A ．5B ．4C ．3D ．23．dx e ex x⎰-+1)(=（ ）A ．e e 1+B ．2eC ．e 2D ．ee 1-4．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________.5.计算⎰-11)(dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,)(23x x x x x f课后反思。

§2 微积分基本定理课时目标 1.了解微积分基本定理的内容与含义.2.会利用微积分基本定理求函数的定积分．微积分基本定理：如果连续函数f (x )是________________________，则有ʃba f (x )d x ＝__________.一、选择题1．设f (x )在[a ，b ]上连续，且(F (x )＋C )′＝f (x )(C 为常数)，则lim Δx →0F x ＋Δx －F xΔx等于( )A ．F (x )B ．f (x )C ．0D ．f ′(x )2．由曲线y ＝x 3，直线x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积为( )A ．1B.12C.13D.143．220sin cos 22x x dx π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰的值是( )A.π2B.π2＋1C ．－π2D ．04．ʃ0－4|x ＋3|d x 的值为( ) A ．－2B ．0C ．5D.125．若m ＝ʃ10e x d x ，n ＝ʃe 11xd x ，则m 与n 的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．无法确定6．ʃ421xd x 等于( )A ．－2ln 2B ．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2 二、填空题7．ʃ10(2x k＋1)d x ＝2，则k ＝________. 8．定积分ʃ10x1＋x 2d x 的值为________．9．定积分20π⎰1－sin 2x d x 的值为__________．三、解答题10．计算：(1)ʃ5－5(sin 5x ＋x 13)d x ；(2) 22ππ-⎰(cos 2x ＋8)d x .11.已知f (x )＝a sin x ＋b cos x ，20π⎰f (x )d x ＝4，60π⎰f (x )d x ＝7－332，求f (x )的最大值和最小值．能力提升12．f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，那么f (x )的解析式是( ) A ．4x ＋3 B ．3x ＋4 C ．－4x ＋2 D ．－3x ＋413．已知ʃ1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6且f (t )＝ʃt 0(x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，求a ，b .1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，即找到被积函数的原函数．2．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分． 答 案知识梳理函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x ) F (b )－F (a ) 作业设计 1．B2．D [曲边梯形面积A ＝ʃ10x 3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4|10＝14.]3．B [20π⎰⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22d x ＝20π⎰(1＋sin x )d x ＝x |20π＋(－cos x )20π＝π2＋1.] 4．C [原式＝ʃ－3－4(－x －3)d x ＋ʃ0－3(x ＋3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－3x |－3－4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋3x |0－3＝5.] 5．A [∵m ＝ʃ10e x d x ＝e x |10＝e －1，n ＝ʃe 11xd x ＝ln x |e1＝ln e －ln 1＝1，m －n ＝e －1－1＝e －2>0，∴m >n .]6．D [ʃ421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2.]7．1解析 ∵ʃ10(2x k ＋1)d x ＝ʃ102x k d x ＋ʃ10d x＝2ʃ10x k d x ＋x |10＝2x k ＋1k ＋1|10＋1 ＝2k ＋1＋1＝2，∴2k ＋1＝1， 即k ＝1. 8.12ln 2 解析 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12ln 1＋x 2′＝x 1＋x 2， ∴ʃ10x 1＋x 2d x ＝12ln(1＋x 2)|10＝12ln 2. 9．2(2－1) 解析 20π⎰cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x d x ＝20π⎰sin x －cos x2d x＝20π⎰|cos x －sin x |d x ＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x ) 40π－(cos x ＋sin x )24ππ＝2(2－1)．10．解 (1)∵f (x )＝sin 5x ＋x 13，x ∈[－5,5]是奇函数， ∴由定积分的几何意义知 ʃ0－5(sin 5x ＋x 13)d x ＝－ʃ50(sin 5x ＋x 13)d x ，∴ʃ5－5(sin 5x ＋x 13)d x ＝ʃ0－5(sin 5x ＋x 13)d x ＋ʃ50(sin 5x ＋x 13)d x ＝0.(2)∵f (x )＝cos 2x ＋8，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，∴22ππ-⎰ (cos 2x ＋8)d x ＝220π⎰(cos 2x ＋8)d x＝20π⎰2cos 2x d x ＋20π⎰16d x＝20π⎰(1＋cos 2x )d x ＋16x20π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12sin 2x 20π＋16x 20π＝172π. 11．解20π⎰f (x )d x ＝20π⎰(a sin x ＋b cos x )d x＝(b sin x －a cos x ) 20π＝b ＋a ＝4.60π⎰f (x )d x ＝(b sin x －a cos x )60π＝12b －32a ＋a ＝7－332， 解得a ＝3，b ＝1.所以f (x )＝3sin x ＋cos x ＝10sin(x ＋φ)，(其中tan φ＝13)．故f (x )的最大值为10，最小值为－10. 12．A [设f (x )＝ax ＋b ，则ʃ1(ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 22＋bx |10＝a2＋b ，ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋bx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 33＋bx 22|10＝a 3＋b 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝5a 3＋b 2＝176，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.]13．解 ∵f (x )＝x 3＋ax 为奇函数，∴ʃ1－1(x 3＋ax )d x ＝0， ∴ʃ1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝ʃ1－1(x 3＋ax )d x ＋ʃ1－1(3a －b )d x＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b . ∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3. ① 又f (t )＝⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 44＋a 2x 2＋3a －b x t 0 ＝t 44＋at 22＋(3a －b )t 为偶函数，∴3a －b ＝0. ② 由①②得a ＝－3，b ＝－9.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

1.4.2 微积分基本定理预习案自学指导1.计算山坡的高度（结合课本内容P 40） （1）在爬山路线上每一点(,())x F x ，山坡的斜率为 ；（2）将区间[,]a b n 等分，记x = ；以1[,]k k x x +为例。

EF 为曲线过点E 的 ，斜率为 ；于是GF = ,GH = , 当x 很小时，GH ≈GF ,即有1()()k k F x F x +-≈这样我们得到了一系列近似等式（见课本） （3）山高12()()n h h h h F b F a =+++=-≈ ；由定积分的定义知，当0x → 时， ； 由此可见 这一公式告诉我们学习案一.微积分基本定理 如果'()(),F x f x =且()f x 在[a,b]上可积，则 ，其中()F x 叫做()f x 的一个原函数..一般地，原函数在[a,b ]上的改变量()()F b F a -简记为()|b a F x ，因此，微积分的基本定理可以写成形式 . 注意：（1）若'()(),F x f x =则()F x 叫做()f x 的一个原函数.但是[()]'()F x C f x +=，所以()F x C +都是()f x 的原函数.（2）探究一：求积分的关键是 （3）探究二：利用公式求平面图形面积的步骤：（4）探究三：判断下列式子是否成立 ①()()bbaaCf x dx C f x dx =⎰⎰；其中C 为常数；②设(),()f x g x 可积，则[]()()()()b bb aaaf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰；③()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰；④()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰二、典例分析 1、求定积分例1、求下列定积分（1）2230(34)x x dx +⎰； （2）122(2)x dx --+⎰； （3）3311(2)x dx x-⎰.2.求面积例2.求24y x =-和0y =围成的区域面积.例3.求2y x =和3y x =围成的区域面积.三、当堂检测 1、计算下列定积分 （1）302xdx =⎰ ； （2）0=⎰; （3）211dx x=⎰； （4）2211dx x=⎰；2.求曲线y =4,0x y ==所围成的曲边梯形的面积.《微积分基本定理》课后巩固案A 组1.22(sin cos )x x dx ππ-+⎰的值是（ ）A.0B.4π C.2 D.42.下列式子正确的是（ ） A.()()()b a f x dx f b f a c =-+⎰B.'()()()baf x dx f b f a =-⎰C.()()baf x dx f x c =+⎰ D.[()]'()b af x dx f x =⎰3.函数0cos xy xdx =⎰的导数是（ ）A.cos xB.sin x -C.cos 1x -D.sin x 4.已知函数2()321f x x x =++，若11()2()f x dx f a -=⎰成立，则a = ；B 组5.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围成的面积是（ ）A.2B.3C. 52D.46.在曲线2(0)y x x =≥上某一点A 处作一切线使之于曲线及x 轴所围成的面积为112，试求：（1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程.。

§2 微积分基本定理1.了解微积分基本定理的含义.(难点)2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.(重点)[基础·初探]教材整理 微积分基本定理 阅读教材P 82～P 84，完成下列问题. 1.微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有⎠⎛a b f (x )dx ＝F (b )－F (a ).2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则(1) 图4-2-1(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图4-2-1(1)，则⎠⎛a b f (x )dx ＝S 上.(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图4-2-1(2)，则⎠⎛ab f (x )dx ＝－S 下.(2) (3)图4-2-1(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图4-2-1(3)，则⎠⎛a bf (x )dx ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛ab f (x )dx ＝0.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数.( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.( )【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ 2.⎠⎛02π(－sin x )dx 等于( ) A.0 B.2 C.－2D.4【解析】 ⎠⎛02π(－sin x )dx ＝cos x ⎪⎪⎪2π0＝cos 2π－cos 0＝0.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)dx ；(2)⎠⎛－π0(cos x －e x )dx ； (3)⎠⎛122x 2＋x ＋1x dx ；(4) ⎠⎛0π2 sin 2x 2dx . 【思路探究】 (1)、(2)先求被积函数的一个原函数F (x )，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解.【自主解答】 (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)dx＝⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛122xdx ＋⎠⎛123dx ＝x 33⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪21＋3x ⎪⎪⎪21＝253.(2)⎠⎛－π0(cos x －e x )dx ＝⎠⎛－π0cos xdx －⎠⎛－π0e x dx ＝sin x ⎪⎪⎪0－π－e x ⎪⎪⎪0－π＝1e π－1.(3)2x 2＋x ＋1x ＝2x ＋1＋1x ，而(x 2＋x ＋ln x )′＝2x ＋1＋1x .∴⎠⎛122x 2＋x ＋1x dx ＝(x 2＋x ＋ln x )⎪⎪⎪21＝4＋ln 2. (4)原式＝⎠⎛0π2 12(1－cos x )dx ＝12⎠⎛0π2 (1－cos x )dx ＝12⎠⎛0π21dx －12⎠⎛0π2cos xdx ＝x 2⎪⎪⎪π20－sinx 2⎪⎪⎪π20＝π－24.求简单的定积分应注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限.[再练一题]1.⎠⎛12x －1x 2dx ＝________. 【解析】 ⎠⎛12x －1x 2dx ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ⎪⎪⎪20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12. 【答案】 ln 2－12(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )dx ；(2)⎠⎛02|x 2－1|dx . 【精彩点拨】 (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2，4]三段求定积分，再求和.(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分. 【自主解答】 (1)⎠⎛04f (x )dx ＝⎠⎜⎛0π2sin xdx ＋⎠⎜⎛π221dx ＋⎠⎛24(x －1)dx ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π20＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|dx ＝⎠⎛01(1－x 2)dx ＋⎠⎛12(x 2－1)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2.1.本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解.2.分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行.3.带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解.[再练一题]2.计算定积分：⎠⎛－33(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx .【解】 设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |，x ∈[－3，3]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32<x ≤3.所以⎠⎛－33(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx ＝⎠⎜⎛-3-32(－4x )dx ＋⎠⎜⎜⎛-32326 dx ＋⎠⎜⎛3234x dx ＝－2x 2⎪⎪⎪⎪-32-3＋6x ⎪⎪⎪⎪32-32＋2x 2⎪⎪⎪⎪332＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫94－9＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9－94＝45. [探究共研型]探究1 【提示】 不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值. 探究2 如何求对称区间上的定积分？【提示】 在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便.(1)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f （x ）dx ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值；(2)已知f (x )是一次函数，其图像过点(3，4)，且⎠⎛01f （x ）dx ＝1，求f (x )的解析式.【精彩点拨】 (1)先利用微积分基本定理求出定积分⎠⎛01f （x ）dx ，然后列出关于x 0的方程，求出x 0的值.(2)设出f (x )的解析式，再根据已知条件列方程组求解. 【自主解答】 (1)因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)， 且⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋cx ′＝ax 2＋c ， 所以⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax 2＋c )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋cx |10＝a 3＋c ＝ax 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去). (2)依题意设一次函数f (x )的解析式为 f (x )＝kx ＋b (k ≠0).∵函数图像过点(3，4)，∴3k ＋b ＝4.①∵⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(kx ＋b )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx |10＝k2＋b ，∴k2＋b ＝1.②由①②得，k ＝65，b ＝25， ∴f (x )＝65x ＋25.1.含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提.2.计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念.[再练一题]3.已知⎠⎛0k (2x －3x 2)dx ＝0，则k 等于( )【导学号：94210072】A.0B.1C.0或1D.以上都不对【解析】 ∵⎠⎛0k (2x －3x 2)dx ＝(x 2－x 3)|k＝k 2－k 3， ∴k 2－k 3＝0，解得k ＝1或k ＝0(舍去)，故选B . 【答案】 B[构建·体系]微积分基本定理—⎪⎪⎪⎪—定理—定积分的计算—定积分的几何意义1.下列定积分的值等于1的是( ) A.⎠⎛01xdx B.⎠⎛01(x ＋1)dx C.⎠⎛011dx D.⎠⎛0112dx 【解析】 选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01xdx ＝x 22⎪⎪⎪10＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ⎪⎪⎪10＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011dx ＝x ⎪⎪⎪10＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112dx ＝12x ⎪⎪⎪10＝12.【答案】 C2. ⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )dx 的值是( ) A.0 B.π4 C.2D.4【解析】 ⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )dx ＝⎠⎜⎛-π2π2sin xdx ＋⎠⎜⎛-π2π2cos xdx ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π2-π2＋sin x ⎪⎪⎪⎪π2-π2＝2. 【答案】 C3.计算⎠⎛01x 2dx ＝________.【导学号：94210073】【解析】 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2dx ＝13x 3⎪⎪⎪10＝13.【答案】 134.已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)dx ≤4，则实数k 的取值范围为________.【解析】 ⎠⎛12(kx ＋1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪21＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，25.已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛－11f 2(x )dx ＝1，求f (a )的取值范围.【解】 由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛－11f 2(x )dx ＝1，得2a 2＋6b 2＝3，2a 2＝3－6b 2≥0， 所以－22≤b ≤22，所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32 ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912， 所以－22≤f (a )≤1912.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1.⎠⎛241x d x 等于( ) A.－2ln 2 B.2ln 2 C.－ln 2D.ln 2【解析】 ⎠⎛241x d x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2.【答案】 D2.设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a【解析】 ∵a ＝⎠⎛01x 13d x ＝x 4343⎪⎪⎪10＝34，b ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪10＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44⎪⎪⎪10＝14，∴a >b >c . 【答案】 A3.(2016·东莞高二检测)已知⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，则实数k ＝( )A.2B.－2C.1D.－1【解析】 ⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪10＝12k ＋1＝k ，∴k ＝2.【答案】 A4.已知f (x )＝2－|x |，则⎠⎛－12f (x )d x ＝( ) A.3 B.4 C.72D.92【解析】 因为f (x )＝2－|x |＝⎩⎨⎧2＋x ，x ≤0，2－x ，x ≥0，所以⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－10(2＋x )d x ＋⎠⎛02(2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 22⎪⎪⎪0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 22⎪⎪⎪20＝32＋2＝72. 【答案】 C5.设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，0≤x ＜1，2－x ，1＜x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.23B.34C.45D.56【解析】 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋12＝56. 【答案】 D 二、填空题6.(2015·长沙高二检测)若f (x )＝sin x ＋cos x ， 则⎠⎜⎛-π2π2f (x )d x ＝________. 【解析】 因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f (x )的一个原函数F (x )＝sin x －cos x ， 则⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2－cos π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2. 【答案】 27.(2016·长沙高二检测)f (x )＝sin x ＋cos x ，则⎠⎜⎛-π2π2f (x )d x ＝__________. 【解析】⎠⎜⎛-π2π2f (x )d x ＝⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2-π2＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝sin π2＋sin π2＝1＋1＝2. 【答案】 28.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝__________.【导学号：94210074】【解析】 因为f (1)＝lg 1＝0，且⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3－03＝a 3， 所以f (0)＝0＋a 3＝1，所以a ＝1. 【答案】 1 三、解答题9.已知f (x )＝⎠⎛－a x (12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值.【解】 因为f (x )＝⎠⎛－a x (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )⎪⎪⎪x－a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2， F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )⎪⎪⎪10＝2＋2a ＋a 2＝(a ＋1)2＋1≥1.∴当a ＝－1时，F (a )有最小值1.10.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝196，求f (x ).【解】 因为f (1)＝4，所以a ＋b ＋c ＝4，① f ′(x )＝2ax ＋b ，因为f ′(1)＝1，所以2a ＋b ＝1，② ⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪1＝13a ＋12b ＋c ＝196，③由①②③可得a ＝－1，b ＝3，c ＝2. 所以f (x )＝－x 2＋3x ＋2.[能力提升]1.已知等比数列{}a n ，且a 4＋a 8＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( )A.π2B.4C.πD.－9π【解析】 ⎠⎛024－x 2d x 表示以原点为圆心，半径r ＝2在第一象限的面积，因此⎠⎛024－x 2d x ＝π，a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6·a 2＋2a 6·a 6＋a 6·a 10＝a 24＋2a 4·a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2，故选A .【答案】 A2.如图4-2-2所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为()图4-2-2A.14 B.15 C.16D.17【解析】 因为S 正方形＝1，S 阴影＝⎠⎛01(x －x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪10＝23－12＝16，所以点P 恰好取自阴影部分的概率为161＝16. 【答案】 C3.计算：⎠⎛－22(2|x |＋1)d x ＝__________.【解析】 ⎠⎛－22(2|x |＋1)d x ＝⎠⎛－20(－2x ＋1)d x ＋⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝(－x 2＋x )|0－2＋(x 2＋x )|20 ＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12. 【答案】 124.定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，x ，y ∈(0，＋∞).令函数f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9))的图像为曲线C 1，曲线C 1与y 轴交于点A (0，m )，过坐标原点O 作曲线C 1的切线，切点为B (n ，t )(n >0)，设曲线C 1在点A ，B 之间的曲线段与OA ，OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值.【解】 ∵F (x ，y )＝(1＋x )y ， ∴f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9)) ＝2log 2(x 2－4x ＋9)＝x 2－4x ＋9，故A (0，9)，f ′(x )＝2x －4. 又∵过O 作C 1的切线， 切点为B (n ，t )(n >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝n 2－4n ＋9，t n＝2n －4，解得B (3，6).∴S ＝⎠⎛03(x 2－4x ＋9－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－3x 2＋9x ⎪⎪⎪30＝9.。

微积分【学习目标】1．了解数学发展的脉络。

2．了解微积分发展的背景和过程。

3．通过对微积分的发展的背景和过程的学习，加深对数学知识的进一步认识。

【学习重难点】重点：了解微积分的发展的背景和过程。

难点：通过对微积分的发展的背景和过程的学习，加深对数学知识的进一步认识。

【学习过程】一、探究新知知识点一：微积分的创立。

从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代。

整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿。

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。

归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了一个基本概念，在那以后的二百年里，这个概念在几乎所有的工作中占中心位置，这就是函数——或变量间关系——的概念。

紧接着函数概念的采用，产生了微积分，它是继欧几里得几何之后，全部数学中的一个最大的创造。

围绕着解决上述四个核心的科学问题，微积分问题至少被十七世纪十几个最大的数学家和几十个小一些的数学家探索过。

其创立者一般认为是牛顿和莱布尼茨。

根据前面的知识做一做：练习：1．牛顿和莱布尼茨的贡献是_____。

2．微积分诞生后的18世纪，这个时代被称为数学史上的_____。

知识点二：牛顿在微积分诞生和发展中的伟大功绩。

牛顿在《流数简论》中提出并解决了如下基本问题：（1）设有两个或更多个物体在同一时间内描画线段，，，…，已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度，q，r，…。

4.2微积分基本定理一、学习目标知识与技能目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二、学习重难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

难点：了解微积分基本定理的含义 三、学习方法：探析归纳，讲练结合 四、学习过程（一）、复习：定积分的概念及用定义计算 （二）、探究新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -而()()S t v t '=。

对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()baf x dx F b F a =-⎰若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。

注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰证明：因为()x Φ=()xaf t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）其中C 为某一常数。

课题 微积分基本定理学案
班级：__________ 姓名：__________ 小组号：_________ 一【学习目标】
1. 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义
2. 会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分
二【课前学习】
1.复习回顾 求下列函数的导函数
(1)y ＝x 8 (2)y ＝1x 4 (3)y ＝3x (4)y ＝2x
2．定积分的概念及用定义计算
二．知识梳理
如果函数()f x 是[,]a b 上的连续函数，并且 ，那么
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼兹公式 注：为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a - 三【例题与变式】
计算下列定积分：
例1 （1）
211dx x ⎰； （2）3211(2)x dx x -⎰
变式1(1)计算1
20x dx ⎰
例2.⎰⎰⎰π
πππ2020sin ;sin ;sin xdx xdx xdx 计算
五【课堂小结】
本节课你学到了什么？
六【课后巩固】
A 组 课本第55页的练习题
B 组 步步高第34-35页的例题和跟踪训练
四【目标检测】
(1).计算：211()x dx x
-⎰ (2)计算0sin xdx π-⎰
（3）计算下列式子 ⎰5
0x 4dx ⎰-502)2x dx x （。

sx-14-(2-2)-0261.6《微积分基本定理》导学案编写：刘威 审核：陈纯洪 编写时间:2014.5.13班级＿＿＿＿＿组名＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿等级＿＿＿＿＿＿＿【学习目标】1. 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分；2. 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

【重点与难点】：重点：微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹公式及其运用 难点：微积分基本定理的含义 【知识链接】知识点一：微积分基本定理自学教材 51—53页.探究一下导数和定积分的联系).知识点二：利用微积分基本定理求定积分阅读教材53-54，完成下列问题()()1322220111::1;22;(3)(2cos sin 1)dx x dx x x dx x x π--⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰例计算下列定积分202:,()f x dx ≤≤⎧⎨≤⎩⎰2x 0x 1例设f(x)=求5 1<x 2感悟提升：,微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系同时它也提供了计算定积分的一种()()()()()'.,.b af x dx F x f x F x F x =⎰计算定积分的关键是找到满足的函数通常我们可以运用基本初函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出【小结】1.微积分基本定理（牛顿—莱布尼茨公式）：2.变速直线运动中位移函数与速度函数的联系：3.利用微积分基本定理求定积分的方法步骤：【当堂检测】1.计算下列各定积分：（1）220(42)(4)x x --⎰ （2）1dx ⎰（3）212()x e dx x-⎰2. （1）计算定积分30sin xdxπ⎰的值，并从几何上解释这个值表示什么（2）计算定积分2sin x dxπ⎰.【课后反思】本节课我还有哪些疑惑？。

4.2 微积分基本定理[学习目标] 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.知识点一 函数的原函数如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即F ′(x )＝f (x )，通常称F (x )是f (x )的一个原函数. 知识点二 微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a ).定理中的式子称为微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式).题型一 求简单函数的定积分例1 计算下列定积分：(1)⎠⎛123d x ； (2)⎠⎛02(2x ＋3)d x ；(3)⎠⎛－13 (4x －x 2)d x . 解 (1)因为(3x )′＝3，所以⎠⎛123d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3， 所以⎠⎛02(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪ 20 ＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10.(3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33′＝4x －x 2， 所以⎠⎛－13 (4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1 ＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×(－1)2－(－1)33＝203. 反思与感悟 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤：①求f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a ).(2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②若F (x )是f (x )的原函数，则F (x )＋C (C 为常数)也是f (x )的原函数.随着常数C 的变化，f (x )有无穷多个原函数，这是因为F ′(x )＝f (x )，则[F (x )＋C ]′＝F ′(x )＝f (x )的缘故.因为⎠⎛ab f (x )d x ＝[F (x )＋C ]|b a ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )＝F (x )|b a ，所以利用f (x )的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C 了.跟踪训练1 求下列定积分：(1)⎠⎜⎛0π2 (3x ＋sin x )d x ；(2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e x －1x d x . 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ′＝3x ＋sin x ，∴⎠⎜⎛0π2 (3x ＋sin x )d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ⎪⎪⎪⎪ π20＝⎣⎡⎦⎤32×⎝⎛⎭⎫π22－cos π2－⎝⎛⎭⎫32×0－cos0 ＝3π28＋1； (2)∵(e x －ln x )′＝e x －1x， ∴⎠⎛12 (e x－1x )d x ＝()e x －ln x ⎪⎪⎪21 ＝(e 2－ln2)－(e －0)＝e 2－e －ln2.题型二 求较复杂函数的定积分例2 求下列定积分：(1)⎠⎛14x (1－x )d x ； (2)⎠⎜⎛0π22cos 2x 2d x ； (3)⎠⎛14 (2x ＋1x)d x .解 (1)∵x (1－x )＝x －x ，又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2′＝x －x . ∴⎠⎛14x (1－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪41 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×432－12×42－⎝⎛⎭⎫23－12＝－176. (2)∵2cos 2x 2＝1＋cos x ，(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴原式＝⎠⎜⎛0π2 (1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π20＝π2＋1. (3)∵⎝⎛⎭⎫2x ln2＋2x ′＝2x ＋1x， ∴⎠⎛14 (2x ＋1x )d x ＝⎝⎛⎭⎫2x ln2＋2x ⎪⎪⎪41 ＝⎝⎛⎭⎫24ln2＋24－⎝⎛⎭⎫2ln2＋2＝14ln2＋2. 反思与感悟 求较复杂函数的定积分的方法：(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正弦(余弦)函数、指数、对数函数与常数的和与差.(2)确定积分区间，分清积分下限与积分上限.跟踪训练2 计算下列定积分：(1)⎠⎛12(x －1)5d x ； (2)⎠⎜⎛0π2 (sin 3x cos x )d x ； (3)⎠⎛121x (x ＋1)d x . 解 (1)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以⎠⎛12(x －1)5d x ＝ 16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16×(2－1)6－16×(1－1)6＝16. (2)因为⎝⎛⎭⎫14sin 4x ′＝sin 3x cos x ，所以⎠⎜⎛0π2 (sin 3x cos x )d x ＝ ⎝⎛⎭⎫14sin 4x ⎪⎪⎪⎪π20 ＝14sin 4π2－14sin 40＝14. (3)令f (x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1， 取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln x x ＋1， 则F ′(x )＝1x －1x ＋1. 所以⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12(1x －1x ＋1)d x ＝ ln x x ＋1⎪⎪⎪21＝ln 43. 题型三 定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值. 解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ， ∴⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10 ＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 反思与感悟 定积分的应用体现了定积分与函数的内在联系，可以通过定积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用.跟踪训练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求A.B.c 的值.解 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2.① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01 (ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪ 10＝13a ＋12b ＋c ，∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.题型四 求分段函数的定积分例4 计算下列定积分：(1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 (x ≤0)cos x －1 (x >0)，求⎠⎜⎛－1π2f (x )d x ；(2)⎠⎛03|x 2－4|d x .解 (1)⎠⎜⎛－1π2f (x )d x ＝⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎜⎛0π2 (cos x －1)d x ，又∵⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，(sin x －x )′＝cos x －1∴原式＝13x 3⎪⎪⎪ 0－1＋(sin x －x )⎪⎪⎪⎪π2＝⎝⎛⎭⎫0＋13＋⎝⎛⎭⎫sin π2－π2－(sin0－0)＝43－π2.(2)∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4 (x ≥2或x ≤－2)，4－x 2 (－2<x <2)，又∵⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ′＝x 2－4，⎝⎛⎭⎫4x －13x 3′＝4－x 2，∴⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02 (4－x 2)d x ＋⎠⎛23 (x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎫4x －13x3⎪⎪⎪ 20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32 ＝⎝⎛⎭⎫8－83－0＋(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＝233. 反思与感悟 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式；(2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数；(3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论.跟踪训练4 求⎠⎛－33 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x . 解 ∵|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ，x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，x >32，∴⎠⎛－33 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x ＝⎠⎛－3－32 (－4x )d x ＋⎠⎜⎛32-326d x ＋⎠⎛3234x d x ＝－2x 2⎪⎪⎪⎪ －32－3＋6x ⎪⎪⎪ 32－32＋2x 2⎪⎪⎪⎪ 332＝45.1.定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( ) A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －1 答案 C解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10＝e.故选C. 2.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 的值是( ) A.5B.4C.3D.2答案 D 解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1x d x ＝x 2⎪⎪⎪ a 1＋ ln x ⎪⎪a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln2， 解得a ＝2.3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝________. 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33⎪⎪20－x 23⎪⎪20＝83－43＝43. 4.已知f (x )＝⎩⎨⎧ 4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算⎠⎛0πf (x )d x . 解 ⎠⎛0πf (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2f (x )d x ＋⎠⎛π2πf (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2 (4x －2π)d x ＋⎠⎛π2πcos x d x ， 取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π；取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x .所以⎠⎜⎛0π2 (4x －2π)d x ＋⎠⎛π2πcos x d x ＝(2x 2－2πx )⎪⎪⎪⎪ π20＋sin x ⎪⎪⎪⎪ ππ2=－12π2－1， 即⎠⎛0πf (x )d x ＝－12π2－1.1.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求定积分.(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和.(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.。