2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习第12章鸭部分4_5第3讲柯西不等式分层演练文

第3讲绝对值不等式[考纲解读] 1.理解绝对值意义及几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．(重点)2.掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容. 预测2020年将会考查：①绝对值不等式的解法；②绝对值性质的应用及最值；③根据不等式恒成立求参数的取值范围. 以解答题的形式呈现，属中档题型.1．绝对值不等式(1)定理如果a，b是实数，那么|a＋b|≤□01|a|＋|b|，当且仅当□02ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当□03(a－b)(b－c)≥0时，等号成立，即b落在a，c之间．(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式①|a1＋a2＋…＋a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|.②||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.2．绝对值不等式的解法(1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．(2)①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集．②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法．|ax＋b|≤c⇔□03－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔□04ax＋b≤－c或ax＋b≥c(c>0)．1．概念辨析(1)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.()(2)若|x|>c的解集为R，则c≤0.()(3)|ax＋b|≤c(c≥0)的解集，等价于－c≤ax＋b≤c.()(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)设a，b为满足ab<0的实数，那么()A．|a＋b|>|a－b| B．|a＋b|<|a－b|C．|a－b|<||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|答案 B解析∵ab<0，∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|.(2)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.答案 2解析由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.(3)函数y＝|x－3|＋|x＋3|的最小值为________．答案 6解析因为|x－3|＋|x＋3|≥|(x－3)－(x＋3)|＝6，当－3≤x≤3时，|x－3|＋|x ＋3|＝6，所以函数y＝|x－3|＋|x＋3|的最小值为6.(4)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是________．答案(－∞，4)解析|x－1|－|x－5|表示数轴上对应的点x到1和5的距离之差．而数轴上满足|x－1|－|x－5|＝2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x－1|－|x－5|<2的解集是(－∞，4)．题型一解绝对值不等式设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)>2；(2)求函数y＝f(x)的最小值．解(1)解法一：令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－1 2，x＝4.原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧x<－12，－x－5>2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x<4，3x－3>2或⎩⎨⎧x≥4，x＋5>2.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x<－7或x>53.解法二：f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x－5，x<－12，3x－3，－12≤x<4，x＋5，x≥4.画出f(x)的图象，如图所示．求得y＝2与f(x)图象的交点为(－7,2)，⎝⎛⎭⎪⎫53，2.由图象知f(x)>2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x<－7或x>53.(2)由(1)的解法二知，f(x)min＝－92.条件探究把举例说明中函数改为“f(x)＝|x＋1|－|2x－3|”，解不等式|f(x)|>1.解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为{|x x <13或1<x <3或x >5.解|x －a |＋|x －b |≥c 或|x －a |＋|x －b |≤c 的一般步骤 (1)零点分段法①令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间； ③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ④取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集． (2)利用|x －a |＋|x －b |的几何意义数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解．见举例说明．提醒：易出现解集不全的错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．1．求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集．解 当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3； 当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解； 当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2. 综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．2．若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为{|x －53<x <13，求a 的值． 解 ∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5. 当a >0时，－1a <x <5a ，－1a ＝－53， 且5a ＝13无解；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符； 当a <0时，5a <x <－1a ，5a ＝－53，且－1a ＝13， 解得a ＝－3.题型 二 绝对值不等式性质的应用角度1 用绝对值不等式的性质求最值 1．设函数f (x )＝|2x －3|.(1)求不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集；(2)若g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )的最小值为4，求实数m 的值． 解 (1)∵f (x )>5－|x ＋2|可化为|2x －3|＋|x ＋2|>5，∴当x ≥32时，原不等式化为(2x －3)＋(x ＋2)>5，解得x >2， ∴x >2；当－2<x <32时，原不等式化为(3－2x )＋(x ＋2)>5，解得x <0， ∴－2<x <0；当x≤－2时，原不等式化为(3－2x)－(x＋2)>5，解得x<－4 3，∴x≤－2.综上，不等式f(x)>5－|x＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)∵f(x)＝|2x－3|，∴g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)＝|2x＋2m－3|＋|2x－2m－3|≥|(2x＋2m－3)－(2x －2m－3)|＝|4m|，∴依题意有4|m|＝4，解得m＝±1.角度2用绝对值不等式的性质证明不等式(多维探究)2．设a>0，|x－1|<a3，|y－2|<a3，求证：|2x＋y－4|<a.证明因为|x－1|<a3，|y－2|<a3，所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|<2×a3＋a3＝a.即|2x＋y－4|<a.结论探究举例说明条件不变，求证：|x－2y＋1|<a＋2. 证明|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|<|x－1|＋|2(y－1)|＝|x－1|＋|2(y－2)＋2|<|x－1|＋2|y－2|＋2a3＋2·a3＋2＝a＋2.1．证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．2．用绝对值不等式的性质求最值的方法利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值．(2018·江西南昌模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|. (1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围； (2)当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值． 解 (1)由题意f (x )≤2－|x －1|，即为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1.而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1，由不等式f (x )≤2－|x －1|有解， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1≤1，即0≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是[0,4]．(2)由2x －a ＝0得x ＝a 2， 由x －1＝0得x ＝1， 由a <2知a2<1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x <a 2，x －a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤x ≤1，3x －a －1(x >1).函数的图象如图所示．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 2＋1＝3，解得a ＝－4.题型 三 与绝对值不等式有关的参数范围问题(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎨⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1，不符合题意；若a >0，|ax －1|<1的解集为0<x <2a ，所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．条件探究 把举例说明函数改为“f (x )＝|2x －1|－|x －a |”，若x ∈(－1,0)时，f (x )>1有解，求a 的取值范围．解 当x ∈(－1,0)时，f (x )>1有解⇔|x －a |<－2x 有解⇔2x <x －a <－2x 有解⇔3x <a <－x 有解，∵3x >－3，－x <1，∴－3<a <1，即实数a 的取值范围是(－3,1)．两招解不等式问题中的含参问题(1)第一招是转化．①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .(2)第二招是求最值．求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||；③利用零点分区间法．已知f (x )＝|x －a |，a ∈R .(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＋|2x －5|≥6的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )－|x －3|的值域为A ，且[－1,2]⊆A ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式为|x －1|＋|2x －5|≥6.当x ≤1时，不等式可化为－(x －1)－(2x －5)≥6， 解得x ≤0，所以x ≤0；当1<x <52时，不等式可化为(x －1)－(2x －5)≥6， 解得x ≤－2，所以x ∈∅；当x ≥52时，不等式可化为(x －1)＋(2x －5)≥6， 解得x ≥4，所以x ≥4.综上所述，原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥4}． (2)因为|g (x )|＝||x －a |－|x －3|| ≤|x －a －(x －3)|＝|a －3|， 所以g (x )∈[－|a －3|，|a －3|]，所以函数g (x )的值域A ＝[－|a －3|，|a －3|]， 因为[－1,2]⊆A ，所以⎩⎨⎧－|a －3|≤－1，|a －3|≥2，解得a ≤1或a ≥5.所以实数a 的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．。

教学资料范本2020高考数学一轮复习第12章选考部分章末总结分层演练文-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习第12章选考部分章末总结分层演练文章末总结知识点考纲展示坐标系❶理解坐标系的作用．❷了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．❸能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．❹能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．❺了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．参数方程❶了解参数方程，了解参数的意义．❷能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．❸了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．❹了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用．绝对值不等式理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|．(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c．不等式的证明❶了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．❷会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x)n>1＋nx(x>－1，x≠0，n为大于1的正整数)．了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立．❸会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．❹了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．柯西不等式与排序不等式❶了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．(1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|．(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．(3)（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x3）2＋（y1－y3）2．(此不等式通常称为平面三角不等式)❷会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：❸会用向量递归方法讨论排序不等式．一、点在纲上，源在本里考点考题考源坐标系与参数方程(20xx·高考全国卷Ⅲ，T23，10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为⎩⎨⎧x＝3cos αy＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22．(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．选修4­4 P15习题1．3 T5、P26习题2．1T4(4)、P28例1(20xx·高考全国卷Ⅰ，T22，10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x＝3cos θ，y＝sin θ，(θ为参数)，直线l的参数方程为⎩⎨⎧x＝a＋4t，y＝1－t，(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a．选修4­4P26习题2．1T4(1)绝对值不等式(20xx·高考全国卷Ⅱ，T24，10分)已知函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x－12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x＋12，M为不等式f(x)＜2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|．选修4­5 P20习题1．2 T8(3)、P26习题2．2 T9(20xx·高考全国卷Ⅲ，T23，10分)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|．(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．选修4­5 P20习题1．2 T9二、根置教材，考在变中1．(选修4­4 P8习题1．1 T5、P15习题1．3 T5改编)圆C：x2＋y2＝1经过伸缩变换得到曲线C1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝．(1)写出C1的参数方程和l的直角坐标方程；(2)设点M(1，0)，直线l与曲线C1交于A，B两点，求|MA|·|MB|与|AB|．解：(1)由已知得＋＝1，即＋＝1，即C1：＋＝1．即C1的参数方程为(α为参数)．由ρcos＝得1ρcos θ －ρsin θ＝．2则l的直角坐标方程为x－y－1＝0．(2)点M(1，0)在直线l：x－y－1＝0上，直线l的倾斜角为．所以l的参数方程为(t为参数)．代入C1：＋＝1得5t2＋4t－12＝0，所以t1t2＝－，t1＋t2＝－，所以|MA|·|MB|＝|t1|·|t2|＝|t1t2|＝．|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝＝，所以|MA|·|MB|＝，|AB|＝．2．(选修4­4 P36例1改编)已知直线l的参数方程为(t为参数，α为l的倾斜角)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝．(1)写出l 的普通方程与C 的直角坐标方程；(2)设点M 的极坐标为(1，0)，直线l 与C 相交于A ，B 两点，求＋的值．解：(1)l 的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0，C 的直角坐标方程为y2＝4x ．(2)点M 的极坐标为(1，0)，即M 的直角坐标为(cos 0，sin 0)＝(1，0)，显然M 在l 上．将(t 为参数)，代入y2＝4x 得 (sin2α)t2－(4cos α)t－4＝0．Δ＝16>0．所以t1＋t2＝，t1t2＝－，所以＋＝|t1|＋|t2||t1|·|t2|＝（t1＋t2）2＋2|t1t2|－2t1t2|t1t2|＝＝1． 所以＋＝1．3．(选修4­4 P15习题1．3 T4(4)、P37例3改编)曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ－4sin θ，过点M(1，0)的直线l 的参数方程为(t 为参数，α为直线l 的倾斜角)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点．(1)求证：|MA|·|MB|为定值；(2)D 是曲线C 上一点，当α＝45°时，求△DAB 面积的最大值． 解：(1)证明：C 的直角坐标方程为x2＋y2－2x ＋4y ＝0．① 将直线l ：(t 为参数)代入①得t2＋(4sin α)t －1＝0．②所以|MA|·|MB|＝|t1t2|＝|－1|＝1．即|MA|·|MB|为定值1．(2)当α＝45°时，②式即为t2＋2t－1＝0，t1＋t2＝－2，t1t2＝－1，所以|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝＝2．由①得(x－1)2＋(y＋2)2＝5，所以曲线C的参数方程为(r为参数)．可设点D的坐标为(1＋cos r，－2＋sin r)，直线l的普通方程为x－y－1＝0，点D到l的距离d＝|1＋5cos r＋2－5sin r－1|2＝．所以dmax＝＋．所以△DAB面积的最大值为Smax＝|AB|·dmax＝×2(＋)＝＋．4．(选修4­4 P28例1改编)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l与椭圆C的极坐标方程分别为ρcos θ＋2ρsin θ＋3＝0，ρ2＝．(1)求直线l与椭圆C的直角坐标方程；(2)若P是直线l上的动点，Q是椭圆C上的动点，求|PQ|的最小值，并求此时Q点的坐标．解：(1)ρcos θ＋2ρsin θ＋3＝0⇒x＋2y＋3＝0，即直线l的直角坐标方程为x＋2y＋3＝0．ρ2＝⇒ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4⇒x2＋4y2＝4，即椭圆C 的直角坐标方程为＋y2＝1．(2)因为椭圆C ：＋y2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos αy ＝sin α(α为参数)，所以可设Q(2cos α，sin α)． 因此点Q 到直线l 的距离d ＝＝，所以当α＝2k π＋，k∈Z 时，d 取得最小值， 所以|PQ|的最小值为． 此时点Q 的坐标为，k∈Z， 即Q 的坐标为．5．(选修4­5 P16例3、P35例3改编)已知函数f(x)＝|3x －1|．(1)设f(x)≤2的解集为M ，记集合M 中的最大元素为amax ，最小元素为amin ，求amax －amin ；(2)若a ，b∈R＋，且a ＋b ＝amax ，求＋的最小值． 解：(1)f(x)≤2，即为 |3x －1|≤2，所以－2≤3x－1≤2，即－≤x≤1． 所以M ＝．即amax ＝1，amin ＝－，amax －amin ＝1－＝． (2)由(1)知，a ＋b ＝1，且a ，b∈R＋， 所以(a ＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4． 当且仅当a ＝b ＝时取等号， 即＋≥4，所以＋的最小值为4．6．(选修4­5 P20习题1．2 T9、P37习题3．1 T8改编)(1)若关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|≤a 的解集不是空集，求a 的取值范围；(2)若g(x)＝，且p>0，q>0，p ＋q ＝1，求证：pg(x1)＋qg(x2)≤g(px1＋qx2)(x1，x2∈[0，＋∞))．解：(1)法一：|x －3|＋|x －4|≥|(x－3)－(x －4)|＝1． 即|x －3|＋|x －4|的最小值为1．所以|x －3|＋|x －4|≤a 的解集不是空集时，a≥1．法二：设f(x)＝|x －3|＋|x －4|＝⎩⎨⎧－2x ＋7，x ＜3，1，3≤x≤4，2x －7，x>4.函数f(x)的图象为所以f(x)min ＝1．则f(x)≤a 的解集不是空集时，a≥1． (2)证明：由p>0，q>0，p ＋q ＝1，要证不等式pg(x1)＋qg(x2)≤g(px1＋qx2)成立，即为证明p ＋q≤ 成立．(*)法一：(分解法)要证(*)式成立，即证 (p ＋q)2≤()2成立．即证：p2x1＋2pq ＋q2x2≤px1＋qx2， 即证px1(1－p)＋qx2(1－q)－2pq≥0． 因为p ＋q ＝1．只需证pqx1＋pqx2－2pq≥0成立． 即证(－)2≥0．因为(－)2≥0显然成立．所以原不等式成立． 法二：(柯西不等式法)因为(p ＋q)2＝(·＋·)2 ≤[()2＋()2][()2＋()2]＝(p＋q)(px1＋qx2)．又因为p＋q＝1．所以(p＋q)2≤(px1＋qx2)．所以p＋q≤ ．即pg(x1)＋qg(x2)≤g(px1＋qx2)．7．(选修4­5 P17例5、P26习题2．2 T9改编)已知函数f(x)＝|x＋1|．(1)求不等式f(x)<|2x＋1|－1的解集M；(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(a)－f(－b)．解：(1)①当x≤－1时，原不等式可化为－x－1<－2x－2，解得x<－1；②当－1<x<－时，原不等式可化为x＋1<－2x－2，解得x<－1，此时原不等式无解；③当x≥－时，原不等式可化为x＋1<2x，解得x>1．综上，M＝{x|x<－1或x>1}．(2)证明：因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，所以，要证f(ab)>f(a)－f(－b)，只需证|ab＋1|>|a＋b|，即证|ab＋1|2>|a＋b|2，即证a2b2＋2ab＋1>a2＋2ab＋b2，即证a2b2－a2－b2＋1>0，即证(a2－1)(b2－1)>0．因为a，b∈M，所以a2>1，b2>1，所以(a2－1)(b2－1)>0成立，所以原不等式成立．8．(选修4­5 P41习题3．2 T2、T4改编)设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝3．(1)求＋＋的最小值；(2)求证：a2＋b2＋c2≥3，且ab ＋bc ＋ca≤3．解：(1)因为a ，b ，c∈R＋，且a ＋b ＋c ＝3．所以(a ＋b)＋(b ＋c)＋(c ＋a)＝6．由柯西不等式得[(a ＋b)＋(b ＋c)＋(c ＋a)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ·1a ＋b ＋b ＋c ·1b ＋c ＋c ＋a ·1c ＋a 2 ＝9，即6≥9．所以＋＋≥，即＋＋的最小值为．(2)证明：因为a ＋b ＋c ＝3，所以(a ＋b ＋c)2＝9，①9＝a2＋b2＋c2＋2ab ＋2bc ＋2ca ，9≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2，即3(a2＋b2＋c2)≥9，所以a2＋b2＋c2≥3．②9＝a2＋b2＋c2＋2ab ＋2bc ＋2ca＝＋＋＋2ab ＋2bc ＋2ca≥ab ＋bc ＋ca ＋2ab ＋2bc ＋2ca ．即3(ab ＋bc ＋ca)≤9，所以ab ＋bc ＋ca≤3．综上a2＋b2＋c2≥3且ab＋bc＋ca≤3成立．。

第1讲 坐标系[考纲解读] 1.了解坐标系的作用，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．2.了解极坐标的基本概念，能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．(重点)3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心为极点的圆)的方程．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容. 预测2020年将会考查：极坐标与直角坐标的转化，极坐标方程化为直角坐标方程，要特别注意图象的伸缩变换. 题型为解答题，属中、低档题型.1．伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：□01⎩⎨⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝□01ρcos θ，y ＝□02ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝□03x 2＋y 2，tan θ＝□04y x (x ≠0).1．概念辨析(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )(2)点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.( )(3)过极点作倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或θ＝π＋α.( )(4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．小题热身(1)设平面内伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为( )A ．y ＝13sin2x B ．y ＝3sin 12x C ．y ＝13sin x2 D ．y ＝3sin2x答案 D解析由已知得⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′代入y ＝sin x ，得13y ′＝sin2x ′，即y ′＝3sin2x ′，所以y ＝sin x 的方程变为y ＝3sin2x .(2)在极坐标系中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3两点间的距离为________． 答案 6解析 解法一：(数形结合)在极坐标系中，A ，B 两点如图所示， |AB |＝|OA |＋|OB |＝6.解法二：∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3的直角坐标为A (1，－3)，B (－2,23)，∴|AB |＝(－2－1)2＋(23＋3)2＝6.(3)曲线C 1：θ＝π6与曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32的交点坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6解析 将θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，得ρsin π3＝32，所以ρ＝1，所以曲线C 1与曲线C 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6.(4)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________． 答案522解析 由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2，ρsin θ－ρcos θ＝1，化为直角坐标方程得y －x ＝1即x －y ＋1＝0，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 7π4，22sin 7π4，即(2，－2)，所以点A 到直线l 的距离为|2－(－2)＋1|12＋(－1)2＝522.题型 一 平面直角坐标系中的伸缩变换在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.解 设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，由题知λ2x 29＋μ2y 24＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ22y 2＝1.与x 2＋y 2＝1比较系数，得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫μ22＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝2，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，再将该椭圆上点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．见举例说明．提醒：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x ，y )与变换后的坐标(x ′，y ′).若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期．解 由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π.题型 二 极坐标与直角坐标的互化(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线，曲线C 1的方程为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2，x ≥0，－kx ＋2，x <0.记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以|k＋2|k2＋1＝2，故k＝0或k＝43.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝43时，l2与C2没有公共点.综上，所求C1的方程为y＝－43|x|＋2.条件探究把举列说明中曲线C1的极坐标方程改为“θ＝α(0≤α≤2π)”，曲线C2的极坐标方程改为“ρ2－2ρcosθ－23ρsinθ＋3＝0”，若C1与C2有且仅有两个公共点，求α的取值范围．解由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－23y ＋3＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝1，由题意知α≠π2，可设曲线C1的直角坐标方程为y＝kx，k＝tanα，当曲线C1与曲线C2相切时，|k－3|k2＋12＝1，解得k＝33，即tanα＝33，又0≤α≤2π，所以α＝π6.结合图形可知，若C1与C2有且仅有两个公共点，则α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.1．极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．2．极角的确定由tan θ确定角θ时，应根据点P 所在象限取最小正角． (1)当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．(2)当x ＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；当x ＝0，y >0时，可取θ＝π2；当x ＝0，y <0时，可取θ＝3π2.已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.题型 三 极坐标方程的应用角度1 极径几何意义的应用1．(2018·日照一模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．解 (1)将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α，消去参数α得x 2＋y 2－4x －12＝0，∴曲线C 的普通方程为x 2＋y 2－4x －12＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12，∴曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝12.(2)设A ，B 两点的极坐标方程分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6，由⎩⎨⎧ρ2－4ρcos θ＝12，θ＝π6，消去θ得ρ2－23ρ－12＝0，根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－23ρ－12＝0的两根，∴ρ1＋ρ2＝23，ρ1ρ2＝－12，∴|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝215.角度2 用极坐标解最值和取值范围问题2．(2018·南平二模)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的方程为x 22＋y 2＝1.曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ (φ为参数)，曲线C 3的方程为y ＝x tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，x >0，曲线C 3与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程； (2)求|OP |2·|OQ |2的取值范围．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ2＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝21＋sin 2θ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，消去φ， 即得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1； 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入化简， 可得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(2)曲线C 3的极坐标方程为θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ>0，0<α<π2，由(1)得|OP |2＝21＋sin 2α；|OQ |2＝4sin 2α， 即|OP |2·|OQ |2＝8sin 2α1＋sin 2α＝81sin 2α＋1，因为0<α<π2，所以0<sin α<1， 所以|OP |2·|OQ |2∈(0,4)．极坐标方程及其应用的类型及解题策略(1)求极坐标方程．可在平面直角坐标系中，求出曲线的方程，然后再转化为极坐标方程．(2)求点到直线的距离．先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解．(3)求线段的长度．先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度．1．(2018·南宁模拟)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，直线l 的直角坐标方程为y ＝33x .(1)求曲线C 1和直线l 的极坐标方程；(2)已知直线l 分别与曲线C 1，曲线C 2相交于异于极点的A ，B 两点，若A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值．解 (1)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，其普通方程为x 2＋(y－1)2＝1，极坐标方程为ρ＝2sin θ.因为直线l 的直角坐标方程为y ＝33x ， 故直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ， 直线l 的极坐标方程为θ＝π6，将θ＝π6代入C 1的极坐标方程得ρ1＝1， 将θ＝π6代入C 2的极坐标方程得ρ2＝4， ∴|ρ2－ρ1|＝3.2．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.。

2018届高三数学一轮复习第十二章复数、算法、推理与证明第三节合情推理与演绎推理夯基提能作业本理2018届高三数学一轮复习第十二章复数、算法、推理与证明第三节合情推理与演绎推理夯基提能作业本理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018届高三数学一轮复习第十二章复数、算法、推理与证明第三节合情推理与演绎推理夯基提能作业本理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2018届高三数学一轮复习第十二章复数、算法、推理与证明第三节合情推理与演绎推理夯基提能作业本理第三节合情推理与演绎推理A组基础题组1。

正弦函数是奇函数,f(x)=sin（x2+1）是正弦函数,因此f（x）=sin（x2+1）是奇函数，以上推理（）A.结论正确B。

大前提不正确 C.小前提不正确D。

全不正确2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”;②“(m+n）t=mt+nt”类比得到“(a+b）·c=a·c+b·c”;③“（m·n)t=m(n·t)”类比得到“（a·b)·c=a·(b·c）";④“t≠0,mt=xt⇒m=x”类比得到“p≠0，a·p=x·p⇒a=x";⑤“｜m·n｜=｜m｜·｜n|”类比得到“|a·b|=｜a｜·｜b|”;⑥“="类比得到“="。

【2019最新】精选高考数学一轮复习鸭部分不等式选讲学案文第1课绝对值不等式[过双基]1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c|≤|a－b|＋|b －c|，当且仅当(a －b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集①|ax ＋b|≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ；②|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c.(3)|x －a|＋|x －b|≥c，|x －a|＋|x －b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解；②利用零点分段法求解；③构造函数，利用函数的图象求解．1．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________．解析：f(x)＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x≤－1，2x －1，－1<x<2，3，x≥2.当－1<x<2时，由2x －1≥1，解得1≤x<2.又当x≥2时，f(x)＝3>1，所以不等式的解集为.答案：{x|x≥1}2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.答案：[－2,4]3．若不等式|kx－4|≤2的解集为，则实数k＝________.解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.∵不等式的解集为，∴k＝2.答案：2 4．设不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值范围为____________．解析：∵||x＋1|－|x－2||≤3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3，∴k＜(|x＋1|－|x－2|)的最小值，即k＜－3.答案：(－∞，－3)[清易错]1．对形如|f(x)|>a或|f(x)|<a型的不等式求其解集时，易忽视a的符号直接等价转化造成失误．2．绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|中易忽视等号成立的条件．如|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≤0时等号成立，其他类似推导．1．设a，b为满足ab<0的实数，那么( )A．|a＋b|>|a－b|B．|a＋b|<|a－b|C．|a－b|＜||a|－|b||D．|a－b|<|a|＋|b|解析：选B ∵ab<0，∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|.2．若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤5.答案：5绝对值不等式的解法[典例] 设函数(1)当a＝1时，求不等式f(x)>0的解集；(2)若方程f(x)＝x只有一个实数根，求实数a的取值范围．[解] (1)依题意，原不等式等价于：|x＋1|－|x－1|＋1>0，当x<－1时，－(x＋1)＋(x－1)＋1>0，即－1>0，此时解集为∅；当－1≤x≤1时，x＋1＋(x－1)＋1>0，即x>－，此时－<x≤1；当x>1时，x＋1－(x－1)＋1>0，即3>0，此时x>1.综上所述，不等式f(x)>0的解集为.(2)依题意，方程f(x)＝x等价于a＝|x－1|－|x＋1|＋x，令g(x)＝|x－1|－|x＋1|＋x.∴g(x)＝.画出函数g(x)的图象如图所示，∴要使原方程只有一个实数根，只需a>1或a<－1.∴实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．[方法技巧](1)求解绝对值不等式的两个注意点：①要求的不等式的解集是各类情形的并集，利用零点分段法的操作程序是：找零点、分区间、分段讨论．②对于解较复杂绝对值不等式，要恰当运用条件，简化分类讨论，优化解题过程．(2)求解该类问题的关键是去绝对值符号，可以运用零点分段法去绝对值，此外还常利用绝对值的几何意义求解．[即时演练]1．解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6.解：法一：当x>时，原不等式转化为4x≤6⇒<x≤；当－≤x≤时，原不等式转化为2≤6⇒－≤x≤；当x<－时，原不等式转化为－4x≤6⇒－≤x<－.综上知，原不等式的解集为.法二：原不等式可化为＋≤3，其几何意义为数轴上到，－两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x＝或x＝－时，到，－两点的距离之和恰好为3，故当－≤x≤时，满足题意，则原不等式的解集为.2．解不等式|x－1|－|x－5|<2.解：当x<1时，不等式可化为－(x－1)－(5－x)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x≤5时，不等式可化为x－1－(5－x)<2，即2x－6<2，解得x<4，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x>5时，不等式可化为(x－1)－(x－5)<2，即4<2，显然不成立．所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．绝对值不等式的证明[典例] 已知x求证：|x＋5y|≤1.[证明] ∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.∴由绝对值不等式的性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1.即|x ＋5y|≤1. [方法技巧]绝对值不等式证明的3种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．[即时演练]已知f(x)＝|x ＋2|－|2x －1|，M 为不等式f(x)>0的解集． (1)求M ；(2)求证：当x ，y∈M 时，|x ＋y ＋xy|<15.解：(1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x<－2，3x ＋1，－2≤x≤12，－x ＋3，x>12，当x<－2时，由x －3>0，得x>3，舍去； 当－2≤x≤时，由3x ＋1>0，得x>－， 即－<x≤；当x>时，由－x ＋3>0，得x<3，即<x<3， 综上，M ＝.(2)证明：∵x，y∈M，∴|x|<3，|y|<3，∴|x ＋y ＋xy|≤|x ＋y|＋|xy|≤|x|＋|y|＋|xy|＝|x|＋|y|＋|x|·|y|<3＋3＋3×3＝15.绝对值不等式的综合应用[典例] (2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．[解] (1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f(x)≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，由f(x)≥1，解得x ＞2. 所以f(x)≥1的解集为{x|x ≥1}．(2)由f (x)≥x2－x ＋m ，得m≤|x＋1|－|x －2|－x2＋x.而|x ＋1|－|x －2|－x2＋x ≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤， 且当x ＝时，|x ＋1|－|x －2|－x2＋x ＝. 故m 的取值范围为. [方法技巧](1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．(2)f(x)＜a 恒成立⇔f(x)max ＜a.f(x)＞a 恒成立⇔f(x)min ＞a.[即时演练]已知函数f(x)＝|x －a|－|2x －1|. (1)当a ＝2时，求f(x)＋3≥0的解集；(2)当x∈[1,3]时，f(x)≤3恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，由f(x)＋3≥0， 可得|x －2|－|2x －1|≥－3， ①或②或③⎩⎪⎨⎪⎧x≥2，x －2－2x ＋1≥－3.解①得－4≤x<；解②得≤x<2；解③得x ＝2. 综上所述，不等式的解集为{x|－4≤x≤2}． (2)当x∈[1,3]时，f(x)≤3恒成立，即|x－a|≤3＋|2x－1|＝2x＋2.故－2x－2≤x－a≤2x＋2，即－3x－2≤－a≤x＋2，∴－x－2≤a≤3x＋2对x∈[1,3]恒成立．∴a∈[－3,5]．1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1＜x≤.所以f(x)≥g(x)的解集为.(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1]．2．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x<－1，3x ＋1－2a ，－1≤x≤a，－x ＋1＋2a ，x>a.所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ，B(2a ＋1,0)，C(a ，a ＋1)，△ABC 的面积为(a ＋1)2. 由题设得(a ＋1)2>6，故a>2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．3．(2016·江苏高考)设a ＞0，|x －1|＜，|y －2|＜，求证：|2x ＋y －4|＜a. 证明：因为|x －1|＜，|y －2|＜，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x－1|＋|y －2|＜2×＋＝a. 4．(2013·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a ＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－2时，不等式f(x)＜g(x)可化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x≤1，3x －6，x ＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0. 所以原不等式的解集是{x|0＜x ＜2}． (2)当x∈时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3. 所以x≥a－2对x∈都成立． 故－≥a－2，即a≤.从而a 的取值范围是.1．(2018·唐山模拟)已知函数f(x)＝|2x －a|＋|x ＋1|. (1)当a ＝1时，解不等式f(x)<3； (2)若f(x)的最小值为1，求a 的值．解：(1)因为f(x)＝|2x －1|＋|x ＋1|＝且f(1)＝f(－1)＝3， 所以f(x)<3的解集为{x|－1<x<1}．(2)|2x －a|＋|x ＋1|＝＋|x ＋1|＋≥＋0＝， 当且仅当(x ＋1)≤0且x －＝0时，取等号． 所以＝1，解得a ＝－4或0.2．已知函数f(x)＝|2x ＋1|，g(x)＝|x －1|＋a. (1)当a ＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；(2)若对任意x∈R，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，由f(x)≥g(x)，得|2x ＋1|≥|x－1|， 两边平方整理得x2＋2x≥0，解得x≥0或x≤－2. 所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)． (2)由f(x)≥g(x)，得a≤|2x＋1|－|x －1|. 令h(x)＝|2x ＋1|－|x －1|，则h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x≤－12，3x ，－12<x<1，x ＋2，x≥1.故h(x)min ＝h ＝－.故所求实数a 的取值范围为.3．已知函数f(x)＝|2x －a|＋|2x －1|，a∈R. (1)当a ＝3时，求关于x 的不等式f(x)≤6的解集； (2)当x∈R 时，f(x)≥a2－a －13，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝3时，不等式f(x)≤6可化为|2x －3|＋|2x －1|≤6.当x<时，不等式可化为－(2x －3)－(2x －1)＝－4x ＋4≤6，解得－≤x<； 当≤x≤时，不等式可化为－(2x －3)＋(2x －1)＝2≤6，解得≤x≤； 当x>时，不等式可化为(2x －3)＋(2x －1)＝4x －4≤6，解得<x≤. 综上所述，关于x 的不等式f(x)≤6的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －12≤x≤52.(2)当x∈R 时，f(x)＝|2x －a|＋|2x －1|≥|2x－a ＋1－2x|＝|1－a|， 所以当x∈R 时，f(x)≥a2－a －13等价于|1－a|≥a2－a －13. 当a≤1时，等价于1－a≥a2－a －13，解得－≤a≤1； 当a>1时，等价于a －1≥a2－a －13，解得1<a≤1＋， 所以a 的取值范围为[－，1＋]． 4．已知函数f(x)＝|x －a|＋|2x ＋1|. (1)当a ＝1时，解不等式f(x)≤3；(2)若f(x)≤2a＋x 在[a ，＋∞)上有解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f(x)≤3化为|x －1|＋|2x ＋1|≤3，则或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x≤1，1－x ＋2x ＋1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x>1，x －1＋2x ＋1≤3，解得－1≤x<－或－≤x≤1或∅. 所以原不等式解集为{x|－1≤x≤1}．(2)因为x∈[a，＋∞)，所以f(x)＝|x －a|＋|2x ＋1|＝x －a ＋|2x ＋1|≤2a＋x ， 即|2x ＋1|≤3a 有解，所以a≥0， 所以不等式化为2x ＋1≤3a 有解， 即2a ＋1≤3a，解得a≥1， 所以a 的取值范围为[1，＋∞)． 5．设函数f(x)＝|2x －a|＋2a.(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－6≤x≤4}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若不等式f(x)≤(k2－1)x －5的解集非空，求实数k 的取值范围．解：(1)∵|2x－a|＋2a≤6，∴|2x －a|≤6－2a,2a －6≤2x －a ≤6－2a ， ∴a －3≤x ≤3－.而f(x)≤6的解集为{x|－6≤x≤4}， 故有解得a ＝－2.(2)由(1)得f(x)＝|2x ＋2|－4， ∴不等式|2x ＋2|－4≤(k2－1)x －5， 化简得|2x ＋2|＋1≤(k2－1)x ， 令g(x)＝|2x ＋2|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，x≥－1，－2x －1，x<－1.画出函数y ＝g(x)的图象如图所示．要使不等f(x)≤(k2－1)x －5的解集非空，只需k2－1>2或k2－1≤－1， 解得k>或k<－或k ＝0，∴实数k 的取值范围为(－∞，－)∪{0}∪(，＋∞)． 6．设函数f(x)＝|ax －1|.(1)若f(x)≤2的解集为[－6,2]，求实数a 的值；(2)当a ＝2时，若存在x∈R，使得不等式f(2x ＋1)－f(x －1)≤7－3m 成立，求实数m 的取值范围．解：(1)显然a≠0， 当a ＞0时，解集为， 则－＝－6，＝2，无解； 当a ＜0时，解集为， 则－＝2，＝－6，得a ＝－. 综上所述，a ＝－.(2)当a ＝2时，令h(x)＝f(2x ＋1)－f(x －1)＝|4x ＋1|－|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －4，x≤－14，6x －2，－14＜x ＜32，2x ＋4，x≥32，由此可知，h(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，则当x ＝－时，h(x)取到最小值－，由题意知，－≤7－3m ，解得m≤， 故实数m 的取值范围是.7．(2018·九江模拟)已知函数f(x)＝|x －3|－|x －a|. (1)当a ＝2时，解不等式f(x)≤－；(2)若存在实数a ，使得不等式f(x)≥a 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵a＝2，∴f(x)＝|x －3|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≤2，5－2x ，2<x<3，－1，x ≥3，∴f(x)≤－等价于或或⎩⎪⎨⎪⎧x≥3，－1≤－12，解得≤x＜3或x≥3， ∴不等式的解集为.(2)由不等式性质可知f(x)＝|x －3|－|x －a|≤|(x－3)－(x －a)|＝|a －3|， ∴若存在实数x ，使得不等式f(x)≥a 成立，则|a －3|≥a ，解得a ≤， ∴实数a 的取值范围是.8．已知函数f(x)＝|2x ＋1|－|x|＋a ， (1)若a ＝－1，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若方程f(x)＝2x 有三个不同的解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，不等式f(x)≥0可化为 |2x ＋1|－|x|－1≥0，...∴⎩⎪⎨⎪⎧x<－12，－＋－－－1≥0或或⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，＋－x －1≥0，解得x≤－2或x≥0，∴不等式的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)． (2)由f(x)＝2x ，得a ＝2x ＋|x|－|2x ＋1|， 令g(x)＝2x ＋|x|－|2x ＋1|，则g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x<－12，－x －1，－12≤x<0，x －1，x≥0，作出函数y ＝g(x)的图象如图所示，易知A ，B(0，－1)，结合图象知：当－1<a<－时，函数y ＝a 与y ＝g(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)＝2x 有三个不同的解，∴a 的取值范围为.第2课不等式证明[过双基]1．基本不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b＞0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．比较法(1)比差法：依据是a－b＞0⇔a＞b；步骤是“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B＞0，欲证A≥B，只需证≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．4．柯西不等式(1)设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则≥2，当且仅当＝＝…＝(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1,2，…，n)时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立．1．若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则m与n的大小关系为________．解析：∵n－m＝a＋b2＋1－a－2b＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴n≥m.答案：n≥m2．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(填序号)．①ab ≤1；② ＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.解析：令a ＝b ＝1，排除②④；由2＝a ＋b≥2⇒ab≤1，命题①正确；a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab ＝4－2ab≥2，命题③正确；1a＋＝＝≥2，命题⑤正确．答案：①③⑤3．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则＋＋的最小值为________．解析：把a ＋b ＋c ＝1代入＋＋1c得＋＋a ＋b ＋cc＝3＋＋＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝时，等号成立．答案：9[清易错]1．在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．1．已知a>0，b>0，则aabb________(ab)(填大小关系)． 解析：∵＝， ∴当a ＝b 时，＝1，当a>b>0时，>1，>0，∴>1， 当b>a>0时，0<<1，<0，则>1，∴aabb≥(ab).答案：≥2．设x>y>z>0，求证：x－z＋≥6.证明：x－z＋＝(x－y)＋(y－z)＋≥3＝6.当且仅当x－y＝y－z＝时取等号，所以x－z＋≥6.比较法证明不等式[典例] a2＋b2≥(a＋b)．[证明] (a2＋b2)－(a＋b)＝(a2－a)＋(b2－b)＝a(－)＋b(－)＝(－)(a－b)＝(a－b)(a－b)．因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a－b与a－b同号，所以(a－b)(a－b)≥0，所以a2＋b2≥(a＋b)．[方法技巧]比较法证明不等式的方法和步骤(1)求差比较法：由a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法．(2)求商比较法：由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为求商比较法．(3)用比较法证明不等式的一般步骤是：作差(商)—变形—判断—结论，而变形的方法一般有配方、通分和因式分解．[即时演练]求证：当x∈R 时，1＋2x4≥2x3＋x2. 证明：法一：(1＋2x4)－(2x3＋x2) ＝2x3(x －1)－(x ＋1)(x －1) ＝(x －1)(2x3－x －1) ＝(x －1)(2x3－2x ＋x －1) ＝(x －1)[2x(x2－1)＋(x －1)] ＝(x －1)2(2x2＋2x ＋1) ＝(x －1)2≥0，所以1＋2x4≥2x3＋x2. 法二：(1＋2x4)－(2x3＋x2) ＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1 ＝(x －1)2·x2＋(x2－1)2≥0， 所以1＋2x4≥2x3＋x2.[典例] 已知a ，b (1)(ax ＋by)2≤ax2＋by2； (2)2＋2≥.[证明] (1)(ax ＋by)2－(ax2＋by2)＝a(a －1)x2＋b(b －1)y2＋2abxy ， 因为a ＋b ＝1，所以a －1＝－b ，b －1＝－a ，又a ，b 均为正数， 所以a(a －1)x2＋b(b －1)y2＋2abxy ＝－ab(x2＋y2－2xy)＝－ab(x －y)2≤0，当且仅当x ＝y 时等号成立． 所以(ax ＋by)2≤ax2＋by2.(2)2＋2＝4＋a2＋b2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2＝4＋a2＋b2＋＋＝4＋a2＋b2＋1＋＋＋＋＋1＝4＋(a2＋b2)＋2＋＋≥6＋＋4＋2＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以2＋2≥.[方法技巧]1．综合法证明不等式的方法综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．综合法证明时常用的不等式(1)a2≥0.(2)|a|≥0.(3)a2＋b2≥2ab，它的变形形式有：a2＋b2≥2|ab|；a2＋b2≥－2ab；(a＋b)2≥4ab；a2＋b2≥(a＋b)2；≥2.(4)≥，它的变形形式有：a＋≥2(a>0)；＋≥2(ab>0)；a＋≤－2(ab<0)．b[即时演练]设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.[典例] 设a，b，求证：(1)a＋b＋c≥.(2) ＋＋≥(＋＋)．[证明] (1)要证a＋b＋c≥，由于a，b，c＞0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．所以原不等式成立．(2) ＋＋＝.在(1)中已证a＋b＋c≥.因此要证原不等式成立，只需证明≥ ＋＋，即证a＋b＋c≤1，即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.而a＝≤，b≤，c≤.所以a＋b＋c≤ab＋bc＋ca当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．所以原不等式成立．[方法技巧]1．用分析法证“若A则B”这个命题的模式为了证明命题B为真，只需证明命题B1为真，从而有…只需证明命题B2为真，从而有………只需证明命题A为真，而已知A为真，故B必真．2．分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．[即时演练]已知a>0，b>0,2c>a＋b，求证：c－<a<c＋.证明：要证c－<a<c＋，即证－<a－c<，即证|a－c|<，即证(a－c)2<c2－ab，即证a2－2ac<－ab.因为a>0，所以只要证a－2c<－b，即证a＋b<2c.由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立．1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a ＋b)3＝a3＋3a2b ＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a ＋b)≤2＋(a ＋b)＝2＋，所以(a ＋b)3≤8，因此a ＋b≤2.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M 为不等式f(x)<2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b∈M 时，|a ＋b|<|1＋ab|.解：(1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x≤－12，1，－12<x<12，2x ，x≥12.当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1；当－<x<时，f(x)<2恒成立；当x≥时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1.所以f(x)<2的解集M ＝{x|－1<x<1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b∈M 时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a ＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0.因此|a ＋b|<|1＋ab|.3．(2015·全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab>cd ，则＋>＋；(2)＋>＋是|a －b|<|c －d|的充要条件．证明：(1)因为(＋)2＝a ＋b ＋2，(＋)2＝c ＋d ＋2，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab>cd ，得(＋)2>(＋)2.因此＋>＋.(2)①必要性：若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)，得＋>＋.②充分性：若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a＋b＋2>c＋d＋2.。

最新高三毕业班金榜大联考理数本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分考试时间120分钟第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的l 已知全集U=R ，集合 {}4|,0,|2,1x A y y x B y y x x ⎧⎫==>==<⎨⎬⎩⎭则 A.(0，2) B. (],0-∞C.[2，+∞)D.{}[)02,+∞U2．已知双曲线 22221(,,0,0)x y m n R m n m n -=∈≠≠的离心率为 3，则 A. m n > B. m n <C. m n =D. m n <3已知不等式 220kx kx -+>的解集为 {}|2x x m -<<，设， ()log (0,m f x x k m =+>且1m ≠），则 ()0f x <的解集为A. 33)B. 33)C. 3(3)-∞D. 33,)+∞4.从编号为001，002，……，1000的1000个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，巳知样本中两个相邻的编号分别为885，915，则样本中最小的编号应该为A. 5B. 10C. 12D. 155.若 1sin 5a =，且a 是第二象限角，则 22sin 2sin cos a a a +的值为 A.6464- C. 61624+ D.61624-+ 6已知[M]表示不超过实数村的最大整数，如： []2,13-=-[][],2,12,22,==已知 []11322log 3,2,3a b c -⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则a ，b ，c 的大小关系是A.a=b<cB.a=b >cC.a<b<cD.a>b>c7.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A.403B. 40C. 203D. 20 8.已知抛物线 2:2(0)C y px p =>与圆 22':()4C x p y ++=只有唯一的公共点，则抛物线C 的准线与圆C '相交的弦长为A.3B. 2C. 23D. 4 9.的值为 A. 5B. 0 C. -5 D.1010．给定命题p ：“复数z 是纯虚数”是“ 20z <”的充要条件；命题q ：已知非零向量a ，b 满足a 在b方向上的投影为。