求下列第一类曲线积分

曲线积分与曲面积分常见题型攻略以心同学整理一、计算第一类曲线积分步骤：（一）平面曲线积分t t g y t x L ,)()(:1.化简（1）代入化简【常用在k t g t f )](),([ （常数）的情形】Lds y x f ),(Lds t g t f )](),([ kskds L其中s 为积分曲线L 的长度。

（2）利用奇偶对称性化简①若积分曲线L 关于坐标轴y 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L x y x f ds y x f x y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为y 轴右边部分。

②若积分曲线段L 关于坐标轴x 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L y y x f ds y x f y y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为x 轴上边部分。

（3）利用轮换对称性化简若积分曲线L 中把x 与y 互换，积分曲线不变，则有Lds y x f ),( Ldsx y f ),(2.确定积分曲线L 的参数式方程t t g y t x L ,)()(:注：积分曲线一般以)(x f y 或)(y g x 的形式出现，此时参数式为：b x a x f y x x L,)(:，dy c y y y g x L,)(:3.套公式（一代二换三定限）化为定积分Lds y x f ),(dtt g t t g t f )()()](),([22注意：上限 大于下限 4.计算定积分例1【2017-2018期末】设L 是直线)40(1243 x y x 的一段，则Lds y x )43(60；解：Lds y x )43( Lds12代入化简6012 s 。

例2【2018-2019期末】计算Lds x y)(2，其中L 为圆周422 y x .解：法一：L 的参数方程为sin 2cos 2y x （ 20 ），d d ds 2)cos 2()sin 2(22 ，于是Lds x y )(22022)cos 2sin 4(d 0sin 8202d822148 .法二：由对称性有Lds y 2 Lds x 2（轮换对称），0 Lxds （奇偶对称）所以Lds x y )(2 Lds y 2L ds y x )(2122 Lds 421（代入化简）8422 Lds .例3【2019-2020期末】计算曲线积分Lds y xy x )(22，其中L 为平面区域}0,1|),{(22 y y x y x D 的边界曲线。

例1．计算积分⎰。

其中L 是曲线2y x =上介于(0,0)、(1,1)之间的一段弧。

例2．计算⎰+L ds y x )(，L 是由1x y +=、1x y -=-与0y =围成的三角形区域的边界曲线。

例3．计算积分xyzds Γ⎰，Γ为连接(1,0,2)A 与(2,1,1)B -的直线段。

例4．计算积分⎰，L 为圆周：22x y ax +=（0a >）。

例5．求积分222()x y z ds Γ++⎰ ，其中Γ：⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x 。

例6．计算积分32()Lx y ds +⎰，L ：222x y R +=。

例7．求半径为a ，中心角为2ϕ的均匀圆弧的重心坐标。

例8．设螺旋形弹簧一圈的方程为cos x a t =，sin y a t =，z bt =，其中02t π≤≤，其线密度为222(,,)x y z x y z ρ=++， 求相对于z 轴的转动惯量。

例1．计算积分⎰。

其中L 是曲线2y x =上介于(0,0)、(1,1)之间的一段弧。

解：L ：2y x =，01x ≤≤；ds =ds =⎰10=⎰3212012(14)83x =⋅+11)12=例2．计算⎰+L ds y x )(，L 是由1x y +=、1x y -=-与0y =围成的三角形区域的边界曲线。

解：123L L L L =++1L ：1=+y x 或1y x =-，01x ≤≤：1()L x y ds +⎰⎰⎰==1021dx dsL =2L ：1y x =+，10x -≤≤：2()L x y ds +⎰01(x x -=++⎰01(21)x dx -=+0=3L ：0y =，11x -≤≤：3()L x y ds +⎰11(x -=+⎰0=2x⎰+L ds y x )(1()L x y ds =++⎰2()L x y ds +⎰3()L x y ds ++⎰=例3．计算积分xyzds Γ⎰，Γ为连接(1,0,2)A 与(2,1,1)B -的直线段。

第二十二章 曲面积分 1 第一型曲面积分一、第一型曲面积分的概念定义1：设S 是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S 上的函数，对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个小曲面块S i (i=1,2,…,n)， 以△S i 记小曲面块S i 的面积，分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径}，在S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)，若极限i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ存在， 且与分割T 及(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)的取法无关，则称此极限为f(x,y,z)在S 上的第一型曲面积分，记作⎰⎰SdS z y x f ),,(.性质：1、存在性：若f(x,y,z)在光滑曲面S 上连续，则第一型曲面积分存在.2、可加性：若曲面S 由互不相交的曲面S 1,S 2,…,S k 组成，且⎰⎰iS dS z y x f ),,((i=1,2,…,k)都存在，则⎰⎰SdS z y x f ),,(也存在，且⎰⎰SdS z y x f ),,(=∑⎰⎰=ki S idS z y x f 1),,(.3、线性：若⎰⎰Si dS z y x f ),,( (i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则⎰⎰∑=S k i ii dS z y x f c 1),,(=∑⎰⎰=ki SiidS z y x f c 1),,(.4、若⎰⎰SdS z y x f ),,(与⎰⎰SdS z y x g ),,(都存在，且f(x,y,z)≤g(x,y,z)，则⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x g ),,(.5、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在，则⎰⎰SdS z y x f |),,(|也存在，且⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x f |),,(|.6、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在，S 的表面积为s ，则存在常数c ，使得⎰⎰SdS z y x f ),,(=cs, 这里),,(infz y x f S≤c ≤),,(sup z y x f S.注：当f(x,y,z)=1时, 曲面积分⎰⎰SdS 就是曲面块S 的面积.二、第一型曲面积分的计算定理22.1：设光滑曲面S ：z=z(x,y), (x,y)∈D ，函数f(x,y,z)在S 上连续，则⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(. 证：由定义知⎰⎰SdS z y x f ),,(=i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 其中 △S i =⎰⎰∆++iD y x dxdy z z 221=i i i y i i xD z z ∆++),(),(122ηξηξ. ∴⎰⎰SdS z y x f ),,(=i i i y i i x ni i i i i T D z z z f ∆++∑=→),(),(1)),(,,(lim 221ηξηξηξηξ =⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(.例1：计算⎰⎰SzdS，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面z=h(0<h<a)所截的顶部.解：曲面S 的方程为z=222y x a --, 定义域为圆域x 2+y 2≤a 2-h 2.∵221yxz z ++=222222221y x a y y x a x --+--+=222yx a a--,∴⎰⎰Sz dS =⎰⎰--⋅--D dxdy y x a ay x a 2222221=⎰⎰--D dxdy y x a a 222=⎰⎰--2202220h a rdr ra a d πθ=2a πln h a.例2：计算⎰⎰++SdS z y x )(222, 其中(1)S ：x 2+y 2+z 2=a 2；(2)S ：x 2+y 2+z 2=2az.解：(1)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SdS a 2= a 2·4πa 2=4πa 4.(2)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SazdS 2=⎰⎰12S azdS +⎰⎰22S azdS ，其中S 1=z 1=a+)222y x a --, (x,y)∈D; S 2=z 2=a-222y x a --, (x,y)∈D.∵21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =22221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =222yx a a --, ∴⎰⎰12S azdS =⎰⎰----+Ddxdy y x a a y x a a a 222222)(2,⎰⎰22S azdS =⎰⎰-----Ddxdy yx a ay x a a a 222222)(2,∴⎰⎰++SdS z y x )(222=4⎰⎰--Ddxdy y x a a 2223=4a3⎰⎰-ar a rdr d 02220πθ=8πa 4.注：在由参量形式表示的光滑曲面S ：⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D上的第一型曲面积分的计算公式为：⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰-Ddudv F EG v u z v u y v u x f 2)),,(),,(),,((, 其中E=x u 2+y u 2+z u 2, F=x u x v +y u y v +z u z v , G=x v 2+y v 2+z v 2, 且雅可比行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂中至少有一个不等于0.例3：计算⎰⎰SzdS ,其中S 为螺旋面的一部分.⎪⎩⎪⎨⎧===vz v u y vu x sin cos , (u,v)∈D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤π200v a u . 解：E=x u 2+y u 2+z u 2=cos 2v+sin 2v=1; G=x v 2+y v 2+z v 2=u 2sin 2v+u 2cos 2v+1=u 2+1; F=x u x v +y u y v +z u z v =-usinvcosv+ucosvsinv=0；∴⎰⎰SzdS =⎰⎰+Ddudv u v 12=dv v du u a⎰⎰+π20021=2π2[])1ln(122++++a a a a .习题1、计算下列第一型曲面积分：(1)⎰⎰++SdS z y x )(，其中S 为上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0；(2)⎰⎰+SdS y x )(22，其中S 为立体22y x +≤z ≤1的边界曲面；(3)⎰⎰+Syx dS 22，其中S 为柱面x 2+y 2=R 2被平面z=0, z=H 所截取的部分； (4)⎰⎰SxyzdS ，其中S 为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分.解：(1)∵z=222yx a --, z x 2=22z x , z y 2=22z y , ∴221y x z z ++=222zx a a --. 又D={(x,y)|x 2+y 2≤a 2}. ∴⎰⎰++SdS z y x )(=()⎰⎰----++Ddxdyz x a y x a y x a 222222 =a ⎰⎰+-+πθθθ20220)1sin cos (rd r a r r dr a=2πa ⎰ardr 0=πa 3.(2)S=S 1+S 2, 其中S 1：z 1=22y x +, S 2：z 2=1.∵21⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x z =222y x x +; 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y z =222y x y +; ∴21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =2. 又22221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =1, D={(x,y)|x 2+y 2≤1}； ∴⎰⎰+1)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(222=⎰⎰103202dr r d πθ=22π; ⎰⎰+2)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(22=⎰⎰1320dr r d πθ=2π; ∴⎰⎰+SdS y x )(22=⎰⎰+1)(22S dS y x +⎰⎰+2)(22S dS y x =)12(2+π.(3)⎰⎰+Sy x dS 22=⎰⎰SdS R 21=21R ·2πRH=RH π2. (4)z=1-x-y, z x =-1, z y =-1, ∴221y x z z ++=3.又D={(x,y)|x+y ≤1,0≤x ≤1}, ∴⎰⎰SxyzdS =⎰⎰--Ddxdy y x xy )1(3=⎰⎰---xdyy x xy dx 1010)1(3=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-10432612121613dx x x x x =1203.2、求均匀曲面：x 2+y 2+z 2=a 2, x ≥0,y ≥0,z ≥0的质心. 解：∵z=222yx a --, z x 2=2222y x a x --, z x 2=2222yx a y --,∴221y x z z ++=222y x a a--, 又曲面面积为21πa 2,D 为四分之一圆域x 2+y 2≤a 2在第一象限部分.∴x =⎰⎰SxdS a22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222cos 2θθππ=⎰20cos 2πθθd a =2a ；y =⎰⎰SydS a 22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222sin 2θθππ=⎰20sin 2πθθd a =2a；z =⎰⎰SzdS a22π=dr ar d a a⎰⎰222πθπ=2a . ∴曲面的质心为(2a ,2a ,2a ).3、求密度为ρ的均匀球面x 2+y 2+z 2=a 2 (z ≥0)对于z 轴的转动惯量. 解：J z =⎰⎰SdS z ρ2=ρdr r a ar d a⎰⎰-02220πθ=34πa 4ρ.4、计算.⎰⎰SdS z2, 其中S 为圆锥表面的一部分S ：⎪⎩⎪⎨⎧===θθϕθϕcos sin sin sin cos r z r y r x , (r,φ)∈D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤πϕ200a r ,θ为常数(0<θ<2π). 解：E=x r 2+y r 2+z r 2=cos 2φsin 2θ+sin 2φsin 2θ+cos 2θ=1; G=x φ2+y φ2+z φ2=r 2sin 2φsin 2θ+r 2cos 2φsin 2θ=r 2sin 2θ; F=x r x φ+y r y φ +z r z φ=-rsin φcos φsin θ+rsin φcos φsin θ=0； ∴⎰⎰S dS z 2=⎰⎰⋅Ddrd r r ϕθθsin cos 22=sin θcos 2θdr r d a⎰⎰0320πϕ=24a πsin θcos 2θ.。

1. 计算第一型曲线积分:(1)⎰+Lds y x )(,其中L 是以)1,0(),0,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形 分析：先将L 分段表示，在利用第一型曲线积分的性质。

L=OA+AB+BO ，又OA ：010x x x y =⎧≤≤⎨=⎩ AB ：011x xx y x =⎧≤≤⎨=-⎩BO ：001x y y y =⎧≤≤⎨=⎩ 解：⎰+Lds y x )(=⎰+OA ds y x )(+⎰+AB ds y x )(+⎰+BO ds y x )( =.212101010+=++⎰⎰⎰dy y dx dx x (2)⎰+L ds y x 2122)(,其中L 是以原点为中心,R 为半径的右半圆周; 分析：是以原点为中心,R 为半径的右半圆周的参数方程为：)22.(sin ,cos πθπθθ≤≤-==R y R x 解：⎰+L ds y x 2122)(=.2222R d R πθππ=⎰- .(3)⎰L xyds , 其中L 为椭圆12222=+by a x 在第一象限中的部分; 分析：先将椭圆12222=+by a x 在第一象限中的部分表示为:0y x a =≤≤ 解：因为,,2222x a bx y x a a b y --='-=从而 ⎰L xyds =dx y x a x a b a 2220)(1'+-⎰=dx x a a x b x a x a b a)(122222220-+-⎰ =⎰+-a dx x ab x a a b 02222222=⎰--a dx x b a a a b 0222242)(2 =)(3)(22b a b ab a ab +++. 此题也可将椭圆12222=+by a x 在第一象限中的部分表示为参数方程：cos 0sin 2x a y b θπθθ=⎧≤≤⎨=⎩ (4) ⎰L ds y ,其中L 为单位圆周122=+y x ;解：由于单位圆的参数方程为:cos ,sin (02)x y θθθπ==≤≤,从而⎰L ds y =4sin sin 20=-⎰⎰πππθθθθd d . (5) ⎰++L ds z y x )(222,其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一段;解：⎰++L ds z y x )(222=222222222202)43(32)(b a b a dt b a t b a ++=++⎰πππ. (6) ⎰L xyzds ,其中L 是曲线)10(21,232,23≤≤===t t z t y t x 的一段; 解：⎰L xyzds =dt t t t t t 223102121232++⋅⋅⎰ =.143216)1(32102/9=+⋅⎰dt t t (7)ds z y L ⎰+222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆.分析：2222a z y x =++与y x =相交的圆⎩⎨⎧=+=2222a z y y x 的 其参数方程为)20(,cos ,sin 2π≤≤===t t a z t ay x 解：ds z y L ⎰+222=.2cos sin 2202222ππa dt t a t a a =+⎰注意：计算第一型曲线积分的关键是将L 的表达式正确的给出来。

第二十一章 曲线积分和曲面积分的计算§1. 第一类曲线积分的计算1． 计算下列第一型曲线积分：(1)22()L x y ds +⎰，其中L 是以（0，0），（2，0），（0，1）为顶点的三角形；(2)⎰，其中L 是圆周22x y ax +=； (3)L xyzds ⎰，其中L 为螺线cos ,sin x a t y a t ==,(0),02z bt a b t π=<<≤≤； (4)222()L x y z ds ++⎰，其中L 与(3)相同； (5)4433()L x y ds +⎰，其中L 为内摆线222333x y a +=； (6)2L y ds ⎰，其中L 为摆线的一拱(sin ),(1cos ),02x a t t y a t t π=-=-≤≤； (7)L xyds ⎰，其中L 为球面2222x y z a ++=与平面0x y z ++=的交线； (8)()L xy yz zx ds ++⎰，其中L 同(7)；(9) L xyzds ⎰，其中L 是曲线21,(01)2x t y z t t ===≤≤；(10) ⎰，其中L 是2222x y z a ++=与x y =相交的圆周．2． 设曲线L 的方程为cos ,sin ,t t t x e t y e t z e === 0(0)t t ≤≤，它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比，且在点(1,0,1)处为1，求它的质量．3． 若曲线以极坐标给出：()ρρθ=12()θθθ≤≤，试给出计算(,)L f x y ds ⎰的公式，并用此公式计算下列曲线积分：(1)L ⎰，其中L 是曲线(0)4a πρθ=≤≤； (2) L xds ⎰，其中L 是对数螺线(0)k ae k θρ=>在圆r a =内的部分．4． 求螺线的一支L ：cos ,sin ,(02)2h x a t y a t z t t ππ===≤≤对x 轴的转动惯量22()LI y z ds =+⎰．设此螺线的线密度是均匀的．5． 求抛物面壳221()2z x y =+，01z ≤≤的质量．设此壳的密度z ρ=． §2. 第一类曲面积分的计算1． 计算下列第一型曲面积分：(1) 22()Sx y dS +⎰⎰，其中S1z ≤≤的边界曲面； (2)22S dS x y +⎰⎰，其中S 为柱面222x y R +=被平面0z =和z H =所截取的部分； (3)32||S x y z dS ⎰⎰，其中S 为曲面22z x y =+被1z =割下的部分； (4) 2Sz dS ⎰⎰，其中S 为螺旋面的一部分：cos ,sin ,x u v y u v z v === (0,02)u a v π≤≤≤≤； (5)22()Sx y dS +⎰⎰，S 是球面2222x y z R ++=． 2． 计算()(,,)SF t f x y z dS =⎰⎰，其中S 是一平面x y z t ++=，而2222222221, 1,(,,) 0, 1.x y z x y z f x y z x y z ⎧---++≤⎪=⎨++>⎪⎩当当.§3. 第二类曲线积分1． 计算下列第二型曲线积分：(1) (2)La y dx dy -+⎰，其中L 为摆线(sin ),(1cos ),(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤沿t 增加的方向； (2) 22L xdx ydy ds x y-++⎰，其中L 为圆周222x y a +=依逆时针方向； (3)L xdx ydy zdz ++⎰，其中L 为从（1,1,1）到（2,3,4）的直线段； (4)22(2)(2)L x xy dx y xy dy -+-⎰，L 为2y x =从(1,1)到(-1,1)； (5) 22()Lydx xdy x y dz -++⎰，L 为曲线,,t t x e y e z at -===从(1,1,0)到1(,,)e e a -；(6) 2222()()L x y dx x y dy ++-⎰，L 为以(1,0),(2,0),(2,1),(1,1)A B C D 为顶点的正方形沿逆时针方向．2． 计算曲线积分222222()()()Ly z dx z x dy x y dz -+-+-⎰． (1) L 为球面三角形2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥的边界线，从球的外测看去，L 的方向为逆时针方向；(2) L 是球面2222x y z a ++=和柱面22x y ax +=(0)a >的交线位于Oxy 平面上方的部分，从x 轴上(,0,0)b ()b a >点看去，L 是顺时针方向．3． 求闭曲线L 上的第二型曲线积分 22L ydx xdy x y -+⎰， (1) L 为圆222x y a +=，逆时针方向；(2) L 为椭圆22221x y a b+=，顺时针方向； (3) L 为以(0,0)为中心，边长为a ，对边平行于坐标轴的正方形，顺时针方向；(4) L 是以(-1,-1)，(1,-1)，(0,1)为顶点的三角形，顺时针方向．4． 求力场F 对运动的单位质点所作的功，此质点沿曲线L 从A 点运动到B 点：(1) 22(2,2)F x xy y x y =--，L 为平面曲线2y x =，(0,0),(1,1)A B ；(2) (,)F x y xy =+，L 为平面曲线1|1|y x =--，(0,0),(2,0)A B ；(3) (,,)F x y y z z x =---，L 的矢量形式为23()r t ti t j t k =++，(0,0,0),(1,1,1)A B ；(4) 222(,,)F y z x =，L 的参数式为cos ,sin ,x t y t z t αβγ===（,,αβγ为正数），(,0,0),(,0,2)A B ααπγ．5． 设,,P Q R 在L 上连续，L 为光滑弧段，弧长为l ，证明：||LPdx Qdy Rdz Ml ++≤⎰．其中(,,)max x y z L M ∈=． 6． 设光滑闭曲线L 在光滑曲面S 上，S 的方程为(,)z f x y =，曲线L 在Oxy 平面上的投影曲线为l ，函数(,,)P x y z 在L 上连续，证明：(,,)(,,(,))L lP x y z dx P x y f x y dx =⎰⎰ ． 7． 计算L I xyzdz =⎰，其中L ：2221x y z ++=与y z =相交的圆，其方向按曲线依次经过1,2,7,8卦限．§4. 第二类曲面积分1． 计算下列第二型曲面积分：(1) 22()()Sy x z dydz x dzdx y xz dxdy -+++⎰⎰，其中S 为0x y z ===，x y z a === 六个平面所围的正立方体的外测；(2) ()()()Sx y dydz y z dzdx z x dxdy +++++⎰⎰，其中S 是以原点为中心，边长为2的正立方体表面的外测；(3) Syzdzdx ⎰⎰，S 为2222221x y z a b c ++=的上半部分的上测； (4) Szdxdy xdydz ydzdx ++⎰⎰，S 为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截部分的外测；(5) Sxydydz yzdzdx xzdxdy ++⎰⎰，S 是由平面0x y z ===和1x y z ++=所围的四面体表面的外测；(6)333S x dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰，S 为球面2222x y z a ++=的外测； (7) 222Sx dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰，S 是球面2222()()()x a y b z c R -+-+-=的外测． 2． 设某流体的流速为(,,0)v k y =，求单位时间内从球面2224x y z ++=的内部流过球面的流量．3． 设流体的流速为55(,0,)x v xy z x =，求穿过柱面222()x y a h z h +=-≤≤外测的流量．。

第一类曲线积分的计算第一类曲线积分的计算1、定义定义1 :设L为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L上的函数•对曲线L作分割T,它把L分成n个可求长度的小曲线段L i(i 1,2, ,n)，L j的弧长记为s i，分割T的细度为||T max s i，在L i上任取一点1 i n........... n(i, i)(i 1,2, ,n).若存在极限Im f( i, i) S i J|T 0i 1且J的值与分割T及点(i, i)的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L上的第一型曲线积分，记作L f(x,y)ds. ( 1)定义2:若L为空间可求长曲线段，f(x,y)为定义在L上的函数，则可类似地定义f(x,y,z)在空间曲线L上的第一型曲线积分为I m f ( i, i, i) s i J，(此处s i为L i的弧长,||T|| max s i, J为一常I T 0i 1 1 i n数)，并且记作L f(x,y,z)ds. (2) 2、物理意义(1)设某物体的密度函数f ( P)是定义在上的连续函数•当是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。

现在研究当是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题•首先对作分割，把分成n个可求长度的小i曲线段i (i=1，2,…，n)，并在每一个i上任取一点P由于f (P)为上i 的连续函数，故当i的弧长都很小时，每一小段i的质量可近似地等于f (P )i，其中i为小曲线段i的长度.于是在整个上的质量就近似地等于和f(R) ii 1当对的分割越来越细密时，上述和式的极限就应是该物体的质量(2)空间曲线L 的重心坐标为(3)曲线L 的绕z 轴(x, y 轴)的转动惯量是J z (x 2 y 2) (x, y, z)dlL3、几何意义1)当被积函数为1时，积分的值恰为曲线的长度。

(2)当f(x,y) 0, L f(x,y)ds 表示以L 为准线，以平行于z 轴的线为母线的 曲柱面的面积。