江苏省丹阳高级中学高一数学必修2第1章立体几何初步教案：1.2.3 直线与平面的位置关系2 精品

1.2.3直线与平面的位置关系第1课时直线与平面平行的判定学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.掌握空间中直线与平面平行的判定定理.知识点一直线与平面的位置关系思考如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？★★答案★★三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行. 梳理直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个1个0个符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示知识点二直线与平面平行的判定定理思考1如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？★★答案★★平行.思考2如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？★★答案★★由于直线a∥b，所以两条直线共面，直线a与平面α不相交. 梳理表示定理图形文字符号直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行错误!⇒a∥α类型一直线与平面的位置关系例1下列说法中，正确的个数是________.①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.★★答案★★ 1解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，但AA′在过BB′的平面AB′内，故①不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.反思与感悟(1)此类题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行.(2)判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法.跟踪训练1若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是________.(填序号)①α内的所有直线都与直线a异面；②α内不存在与a平行的直线；③α内的直线都与a相交；④直线a 与平面α有公共点. ★★答案★★ ④解析 直线a 不平行于平面α，则a 与平面α相交或a ⊂α，故④正确. 类型二 线面平行的判定定理及应用 命题角度1 以锥体为背景证明线面平行例2 如图，M ，N 分别是底面为矩形的四棱锥P —ABCD 的棱AB ，PC 的中点，求证：MN ∥平面P AD .证明 如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，NE ， ∵N 是PC 的中点，∴EN ∥DC ， EN ＝12DC .又∵AM ∥CD ，AM ＝12CD ，∴NE ∥AM ，NE ＝AM .∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE . 又∵AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD .反思与感悟 利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找出一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等.跟踪训练2 已知空间四边形ABCD ，P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心，如图所示，求证：PQ ∥平面ACD .证明 如图所示，取BC 的中点E ，连结AE ，DE .∵P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心，∴A ，P ，E 三点共线且AE ∶PE ＝3∶1，D ，Q ，E 三点共线且DE ∶QE ＝3∶1，∴在△AED 中，PQ ∥AD . 又AD ⊂平面ACD ，PQ ⊄平面ACD ， ∴PQ ∥平面ACD .命题角度2 以柱体为背景证明线面平行例3 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，A 1C 1的中点，求证：EF ∥平面A 1CD .证明 ∵在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，F 为A 1C 1的中点， ∴A 1F 綊12AC ，∵D 、E 分别是棱AB ，BC 的中点， ∴DE 綊12AC ，∴A 1F 綊DE ，则四边形A 1DEF 为平行四边形， ∴EF ∥A 1D .又EF ⊄平面A 1CD 且A 1D ⊂平面A 1CD ， ∴EF ∥平面A 1CD .反思与感悟 证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线的方法. 跟踪训练3 如图所示，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1.(1)求证：BC 1∥平面AB 1D 1；(2)若E ，F 分别是D 1C ，BD 的中点，求证：EF ∥平面ADD 1A 1.证明 (1)∵BC 1⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1∥AD 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1.(2)∵点F 为BD 的中点，∴F 为AC 的中点. 又∵点E 为D 1C 的中点， ∴EF ∥AD 1，∵EF ⊄平面ADD 1A 1，AD 1⊂平面ADD 1A 1， ∴EF ∥平面ADD 1A 1.1.下列命题中正确命题的个数是________. ①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. ★★答案★★ 0解析 ①中，当l ∩α＝A 时，除A 点以外所有的点均不在α内；②中，当l ∥α时，α中有无数条直线与l 异面；③中，另一条直线可能在平面内.2.观察下列命题，在“________”处缺少一个条件，补上这个条件使其构成正确命题(其中l ，m 为直线，α，β为平面)，则此条件为________.⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α. ★★答案★★ l ⊄α3.如图(1)，已知正方形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，如图(2)所示，则BF 与平面ADE 的位置关系是________.★★答案★★ 平行解析 ∵BF ∥DE ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ， ∴BF ∥平面ADE .4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是面对角线A 1D 、B 1D 1的中点，则正方体6个面中与直线EF 平行的平面有________________. ★★答案★★ 平面C 1CDD 1和平面A 1B 1BA解析如图，连结A1C1，C1D，在△A1C1D中，EF为中位线，∴EF∥C1D，又EF⊄平面C1CDD1，C1D⊂平面C1CDD1，∴EF∥平面C1CDD1.同理可得EF∥平面A1B1BA.故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.5.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点O是AC与BD的交点.求证：B1O∥平面A1C1D.证明如图，连结B1D1，交A1C1于点O1，连结DO1.∵O1B1＝DO，O1B1∥DO，∴四边形O1B1OD为平行四边形，∴B1O∥O1D.∵B1O⊄平面A1C1D，O1D⊂平面A1C1D，∴B1O∥平面A1C1D.1.直线与平面的位置关系，其分类方式有两种：一类是按直线与平面是否有公共点，另一类是按直线是否在平面内.2.直线与平面平行的关键是在已知平面内找出一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化.课时作业一、填空题1.下列命题正确的是________.(填序号)①若一条直线a与平面α平行，则直线a与平面α没有公共点；②若一条直线a与平面α有公共点，则直线a与平面α相交；③若一条直线a与平面α有两个公共点，则a⊂α.★★答案★★①③解析因为当a∥α时，a与α无公共点，所以①正确；因为当直线a与平面α有两个公共点时，a⊂α，所以②错误，③正确.2.若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是______.(填序号)①α内的所有直线都与直线l异面；②α内不存在与l平行的直线；③α内的直线与l相交；④直线l与平面α有公共点.★★答案★★④解析①中，过公共点的直线与直线l相交，不异面，①错误；②③中，当l⊂α时，α内有无数多条直线与l平行，故②③错；④中，直线l与平面α不平行，则直线l与平面α相交或在平面内，所以l与平面α有公共点，故④正确.3.若平面外一条直线上有两点到该平面的距离相等，则这条直线与平面的位置关系是________.★★答案★★平行或相交解析当两点在平面的一侧时，这条直线与平面平行；当两点在平面的两侧时，这条直线与平面相交.所以这条直线与平面的位置关系是平行或相交.4.若P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图中与过E，F，G的截面平行的线段有________条.★★答案★★ 2解析由题意知，EF∥AC，FG∥PB，∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段.5.如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________.(填“平行”或“相交”)★★答案★★平行解析∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.6.如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，与BC平行的平面是________；与BC1平行的平面是________；与平面A1C1和平面A1B都平行的棱是________.★★答案★★平面A1C1与平面AD1平面AD1CD解析观察图形，根据判定定理可知，与BC平行的平面是平面A1C1与平面AD1；与BC1平行的平面是平面AD1；由于平面A1C1与平面A1B的交线是A1B1，所以与其都平行的棱是CD.7.若AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是________.★★答案★★平行把解析这三条线段放在正方体内如图，显然AC∥EF，AC⊄平面EFG.EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG.8.过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条.★★答案★★12解析如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与平面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条.9.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________.★★答案★★平行解析∵AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，∴EF∥AC.又∵EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.10.如图，四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________.(写出所有符合要求的图形序号)★★答案★★①③解析①如图(1)，Q为所在棱的中点，连结MQ，NQ，PQ，则NQ∥AB，且NQ⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB∥平面MNP.②过N作AB的平行线交底面正方形于其中心O，NO⊄平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行.③易知AB∥MP，MP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB∥平面MNP.④如图(2)，过M作MC∥AB，∵MC⊄平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行.二、解答题11.如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，Q是P A的中点.求证：PC∥平面BDQ.证明连结AC，交BD于O，连结OQ，因为底面ABCD为正方形，所以O为AC的中点.又因为Q是P A的中点，所以OQ∥PC，又因为OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，所以PC∥平面BDQ.12.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，点G为BC 的中点.求证：OG∥平面EFCD.证明 ∵四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD ＝O ，∴点O 是BD 的中点.又点G 为BC 的中点，∴OG ∥CD .又OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴OG ∥平面EFCD .13.如图，在直棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2.若P 为A 1B 1的中点，求证：DP ∥平面ACB 1，且DP ∥平面BCB 1.证明 由P 为A 1B 1的中点，得PB 1∥AB ，且PB 1＝12AB . 又∵DC ∥AB ，DC ＝12AB ， ∴DC ∥PB 1，且DC ＝PB 1，∴四边形DCB 1P 为平行四边形.从而CB 1∥DP .又CB 1⊂平面ACB 1，DP ⊄平面ACB 1，∴DP ∥平面ACB 1.同理，DP ∥平面BCB 1.三、探究与拓展14.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)与直线AB 平行的平面是________；(2)与直线AA 1平行的平面是________；(3)与直线AB 1平行的平面是________.★★答案★★ (1)平面A 1B 1C 1D 1，平面CDD 1C 1(2)平面BCC 1B 1，平面CDD 1C 1(3)平面CDD 1C 1解析 如图，可知AB ∥平面A 1B 1C 1D 1，AB ∥平面CDD 1C 1；AA 1∥平面BCC 1B 1； AA 1∥平面CDD 1C 1，AB1∥平面CDD1C1.15.已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.解SG∥平面DEF.证明如下：连结CG交DE于点H，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H是CG的中点.∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.。

第3课时直线与平面垂直的判定学习目标1.理解直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直．知识点一直线与平面垂直的定义知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．思考1折痕AD与桌面一定垂直吗？★★答案★★不一定．思考2当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？★★答案★★当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．梳理1．若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(×) 2．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(×)3．若a⊥b，b⊥α，则a∥α.(×)类型一线面垂直的定义例1下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．★★答案★★③④解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确．故填③④.反思与感悟(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任意一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.跟踪训练1设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________．(填序号)①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.★★答案★★②解析对于①，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于②，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m 与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故②正确；对于③，也有可能是l，m 异面；对于④，l，m还可能相交或异面．类型二线面垂直的判定定理的应用命题角度1证明线面垂直例2如图所示，已知P A垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.证明∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.引申探究若本例中其他条件不变，作AF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面AEF.证明∵P A⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE，又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC，又∵PB⊂平面PBC，∴AE⊥PB，又∵AF⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.反思与感悟应用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：OE ⊥平面ACD 1.证明 连结BD ，AE ，CE ，D 1O ，D 1E ，B 1D 1，设正方体的棱长为a ，易证AE ＝CE .∵AO ＝OC ，∴OE ⊥AC .在正方体中易求出D 1O ＝DD 21＋DO 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝62a ， OE ＝BE 2＋OB 2＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝32a ，D 1E ＝D 1B 21＋B 1E 2＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝32a ，∴D 1O 2＋OE 2＝D 1E 2，∴D 1O ⊥OE . ∵D 1O ∩AC ＝O ，D 1O ，AC ⊂平面ACD 1，∴OE⊥平面ACD1.命题角度2证明线线垂直例3如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD 上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE.证明(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面BCDE，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.反思与感悟线线垂直的证明，常用方法是利用线面垂直的定义证明，即欲证线线垂直，可先证线面垂直．跟踪训练3如图所示，若MC⊥菱形ABCD所在的平面，求证：MA⊥BD.证明连结AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.1．若一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，则能保证该直线与平面垂直的是_____．(填序号)①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．★★答案★★①③解析由线面垂直的判定定理可知，①③能判定直线与平面垂直；②中梯形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直；④中正六边形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直．2．给出下列命题，其中正确命题的序号是________．①垂直于平面内任意一条直线的直线垂直于这个平面；②垂直于平面的直线垂直于这个平面内的任意一条直线；③过一点和已知平面垂直的直线只有一条；④过一点和已知直线垂直的平面只有一个．★★答案★★①②③④解析由直线与平面垂直的定义知，①②正确；③④显然正确．3.如图，平行四边形ADEF的边AF垂直于平面ABCD，AF＝2，CD＝3，则CE＝________.★★答案★★13解析∵AF⊥平面ABCD，又DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥CD.∵DE＝AF＝2，CD＝3，∴CE＝DE2＋CD2＝22＋32＝13.4．已知P A垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD的形状是________．★★答案★★菱形解析如图，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD.又PC⊥BD，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥AC，则平行四边形ABCD是菱形．5.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.证明如图，连结PE，EC，在Rt△P AE和Rt△CDE中，P A＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，所以EF⊥PC.因为BP＝AP2＋AB2＝22＝BC，又F是PC的中点，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，所以PC⊥平面BEF.1．线线垂直和线面垂直的相互转化2．证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．3．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．一、填空题1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是________．(填序号)①m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α；②m⊥b，b∥α；③m∩b＝A，b⊥α；④m∥b，b⊥α.★★答案★★④解析由线线平行及线面垂直的判定知④正确．2．如图(1)，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个如图(2)所示的几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，则下面结论成立的是________．(填序号)①SG⊥平面EFG; ②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF; ④GD⊥平面SEF.★★答案★★①解析在图(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，因此在图(2)中，SG⊥GE，SG⊥GF.又GE∩GF＝G，∴SG⊥平面EFG.3．已知ABCD—A1B1C1D1为正方体，下列结论正确的是________．(填序号)①BD∥平面CB1D1; ②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1; ④AC1⊥BD1.★★答案★★①②③解析正方体中由BD∥B1D1，易知①正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1易得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即②正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即③正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故填①②③.4.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM 与直线BC的位置关系为________．★★答案★★AM⊥BC解析∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC.又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又AM⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AM.5．已知直线l，m，n与平面α，给出下列说法：①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；④若m∥n，n⊂α，则m∥α.其中正确的说法为________．(填序号)★★答案★★①③解析由l⊥α，得l与α相交，所以①正确；若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，因为m，n不一定相交，所以l不一定垂直于α，所以②不正确；由m⊥α，n⊥α，可得m∥n，又l∥m，所以l∥n，所以③正确；由m∥n，n⊂α，得m∥α或m⊂α，所以④不正确．6.如图所示，P A⊥平面ABC，在△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．★★答案★★ 4 解析 ∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .又AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB ，△P AC ，△ABC ，△PBC ，共4个．7.如图所示，AB 是⊙O 的直径，P A ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，P A ＝AB ，则直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为________．考点 直线与平面所成的角 题点 直线与平面所成的角 ★★答案★★ 2解析 因为P A ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 与平面ABC 所成的角．在Rt △P AC 中，AC ＝12AB ＝12P A ，所以tan ∠PCA ＝P AAC＝2.8．在三棱锥P－ABC中，P A⊥PB，P A⊥PC，PC⊥PB，则定点P在底面上的投影是底面△ABC________心．考点直线与平面垂直的判定题点三角形的四心★★答案★★垂解析设O是P在底面ABC上的投影，∵PB⊥P A，PB⊥PC，P A∩PC＝P，∴PB⊥平面P AC，∴PB⊥AC.①又∵O是P在底面ABC上的投影，∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC.②由①②可得，AC⊥平面PBO，∴AC⊥BO.同理可得AO⊥BC，∴O是△ABC的垂心．9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝______.★★答案★★90°解析∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°.10．在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)★★答案★★A1C1⊥B1C1(★★答案★★不唯一)解析如图所示，连结B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可．由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)11．在正四棱锥P—ABCD中，P A＝32AB，M是BC的中点，G是△P AD的重心，则在平面P AD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．★★答案★★无数解析设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为3 2a.∵PM ⊥BC ， ∴PM ＝ ⎝⎛⎭⎫32a 2－⎝⎛⎭⎫a 22 ＝22a . 连结PG 并延长与AD 相交于N 点， 则PN ＝22a ，MN ＝AB ＝a .∴PM 2＋PN 2＝MN 2， ∴PM ⊥PN .∵AD ∥BC ，∴PM ⊥AD ，又PN ∩AD ＝N ，∴PM ⊥平面P AD ， ∴在平面P AD 中经过G 点的任意一条直线都与PM 垂直． 二、解答题12.如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3.证明：BE ⊥平面BB 1C 1C .证明 过点B 作CD 的垂线交CD 于点F ，则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BFE中，BE＝3，在Rt△CFB中，BC＝ 6.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，所以BE⊥BC.又由BB1⊥平面ABCD，得BE⊥BB1，且BB1∩BC＝B，故BE⊥平面BB1C1C.13.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E，F分别是AB，PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.证明(1)因为P A⊥底面ABCD，所以CD⊥P A.又在矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，所以CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连结AG ，FG .因为底面ABCD 是矩形，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，所以GF 綊12CD ， 所以GF 綊AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF .因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ，由(1)知，CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .三、探究与拓展14．设三棱锥P —ABC 的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下命题：①若P A ⊥BC ，PB ⊥AC ，则H 是△ABC 的垂心；②若P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则H 是△ABC 的垂心；③若∠ABC ＝90°，H 是AC 的中点，则P A ＝PB ＝PC .其中正确命题的序号是________．★★答案★★ ①②③解析 因为PH ⊥底面ABC ，所以PH ⊥BC ，又P A ⊥BC ，所以BC ⊥平面P AH ，所以BC ⊥AH ，同理BH ⊥AC ，得H 是△ABC 的垂心，所以①正确；由P A ，PB ，PC 两两互相垂直，易推出BC ⊥AH ，BH ⊥AC ，得H 是△ABC 的垂心，所以②正确；由∠ABC ＝90°，H 是AC 的中点，得P A ，PB ，PC 在平面ABC 上的射影相等，所以P A ＝PB ＝PC ，所以③正确．15.如图，P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AD ；(2)若PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求证：MN ⊥平面PCD .考点 直线与平面垂直的判定题点 直线与平面垂直的证明证明 (1)取PD 的中点E ，连结NE ，AE ，如图．又∵N 是PC 的中点，∴NE ∥DC 且NE ＝12DC .又∵DC ∥AB 且DC ＝AB ，AM ＝12AB ， ∴AM ∥CD 且AM ＝12CD ，∴NE ∥AM ，且NE ＝AM ， ∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE . ∵AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴∠PDA 即为PD 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PDA ＝45°，∴AP ＝AD ，∴AE ⊥PD .又∵MN ∥AE ，∴MN ⊥PD .∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD . 又∵CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥平面P AD .∵AE ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AE ，∴CD ⊥MN .又CD ∩PD ＝D ，CD ，PD ⊂平面PCD ， ∴MN ⊥平面PCD .。

第2课时直线与平面平行的性质学习目标 1.理解直线与平面平行的性质定理.2.掌握直线与平面平行的性质定理，并能应用定理证明一些简单的问题.知识点直线与平面平行的性质定理思考1如图，直线l∥平面α，直线a⊂平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？★★答案★★不一定，因为还可能是异面直线.思考2如图，直线a∥平面α，直线a⊂平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？★★答案★★无数个，a∥b.梳理表示定理图形文字符号直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行错误!⇒a∥b类型一线面平行的性质定理的应用命题角度1用线面平行的性质定理证明线线平行例1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明连结MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.反思与感悟(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤①确定(或寻找)一条直线平行于一个平面.②确定(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面.③确定交线.④由定理得出结论.(2)常用到中位线定理、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等.具体应用时，应根据题目的具体条件而定.跟踪训练1如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.证明因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN ∥PQ .同理可得MQ ∥NP . 所以截面MNPQ 是平行四边形.命题角度2 用线面平行的性质求线段比例2 如图，已知E ，F 分别是菱形ABCD 边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，点P 在平面ABCD 之外，M 是线段P A 上一动点，若PC ∥平面MEF ，试求PM ∶MA 的值.解 如图，连结BD 交AC 于点O 1，连结OM ， 因为PC ∥平面MEF ，平面P AC ∩平面MEF ＝OM ， 所以PC ∥OM ，所以PM P A ＝OCAC ，在菱形ABCD 中，因为E ，F 分别是边BC ，CD 的中点，所以OC O 1C ＝12.又AO 1＝CO 1， 所以PM P A ＝OC AC ＝14，故PM ∶MA ＝1∶3.反思与感悟 破解此类题的关键：一是转化，即把线面平行转化为线线平行；二是计算，把要求的线段长或线段比问题，转化为同一个平面内的线段长或线段比问题去求解，此时需认真运算，才能得出正确的结果.跟踪训练2 如图所示，棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，则A 1D ∶DC 1的值为______.★★答案★★ 1解析 连结BC 1，设B 1C ∩BC 1＝E ， 连结DE .由A1B∥平面B1CD可知，A1B∥DE.因为E为BC1的中点，所以D为A1C1的中点，所以A1D∶DC1的值为1.类型二线线平行与线面平行的相互转化例3已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.已知如图，直线a、b，平面α，且a∥b，a∥α，a、b都在平面α外.求证b∥α.证明过a作平面β，使它与平面α相交，交线为c.因为a∥α，a⊂β，α∩β＝c，所以a∥c，因为a∥b，所以b∥c，又因为c⊂α，b⊄α，所以b∥α.反思与感悟直线和平面的平行问题，常常转化为直线和直线的平行问题，而直线和直线的平行问题也可以转化为直线与平面的平行问题，要作出命题的正确转化，就必须熟记线面平行的定义、判定定理和性质定理.跟踪训练3如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.证明因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.1.已知a，b表示直线，α表示平面.下列命题中，正确的个数是________.①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α.★★答案★★0解析①错，直线a与b的关系可以是平行，也可以是相交或异面；②错，a与b可能平行，也可能异面；③错，直线a也可能在平面α内.2.直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线________.(填序号)①只有一条，不在平面α内；②有无数条，不一定在α内；③只有一条，且在平面α内；④有无数条，一定在α内.★★答案★★③解析由线面平行的性质定理知，过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故填③.3.一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行，那么这四个交点围成的四边形是________.★★答案★★梯形解析如图所示，AC∥平面EFGH，则EF∥HG.而对角线BD与平面EFGH不平行，所以EH与FG不平行.所以EFGH是梯形.4.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF ∥平面AB1C，则线段EF的长度为________.★★答案★★ 2解析∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC，∴EF∥AC.∵E是AD的中点，∴EF＝12AC＝12×22＝ 2.5.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F 分别是P A，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面P AC的位置关系，并加以证明.解直线l∥平面P AC.证明如下：因为E，F分别是P A，PC的中点，所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l⊄平面P AC，EF⊂平面P AC，所以l∥平面P AC.1.在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.2.要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.课时作业一、填空题1.过平面α外的直线l作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为________.①都平行；②都相交但不一定交于同一点；③都相交且一定交于同一点；④都平行或都交于同一点.★★答案★★④解析分l∥α和l与α相交两种情况作答，对应的结果是都平行或都交于同一点.2.如图，已知平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是__________.★★答案★★平行解析∵a∥b，a⊄γ，b⊂γ，∴a∥γ.又∵a⊂α，α∩γ＝c，∴a∥c，∴a∥b∥c.3.已知异面直线a，b外的一点M，那么过点M可以作________个平面与直线a，b都平行. ★★答案★★0或1解析过点M分别作直线a，b的平行线，若其中一条平行线与已知直线a或b相交，则满足题意的平面不存在.否则过点M的两条相交直线确定的平面与a，b都平行.4.如图，a∥α，A是α另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于E，F，G，则BD与EG的位置关系是________.★★答案★★BD∥EG解析因为a∥α，平面α∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG.5.如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为____________.★★答案★★3＋2 3解析∵CD∥AB，CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，∴CD∥平面SAB.又平面CDEF ∩平面SAB ＝EF ，∴CD ∥EF ， 又CD ∥AB ，∴AB ∥EF .∵SE ＝EA ，∴EF 为△ABS 的中位线， ∴EF ＝12AB ＝1，又DE ＝CF ＝3，∴四边形DEFC 的周长为3＋2 3.6.如图，已知A ，B ，C ，D 四点不共面，且AB ∥α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 的形状是______.★★答案★★ 平行四边形解析 ∵AB ∥α，平面ABC ∩α＝EG ，∴EG ∥AB .同理FH ∥AB ，∴EG ∥FH .又CD ∥α，平面BCD ∩α＝GH ，∴GH ∥CD .同理EF ∥CD ，∴GH ∥EF ， ∴四边形EFHG 是平行四边形.7.如图，四边形ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是四边上的点，它们共面，且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，则当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.★★答案★★ m ∶n 解析 ∵AC ∥平面EFGH ， ∴EF ∥AC ，HG ∥AC ， ∴EF ＝HG ＝BEAB m .同理，EH ＝FG ＝AEAB n ，∴BE AB m ＝AE AB n ， ∴AE ∶EB ＝m ∶n .8.已知正方体AC 1的棱长为1，点P 是平面AA 1D 1D 的中心，点Q 是平面A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AA 1B 1B ，则线段PQ 的长为________.★★答案★★22解析 如图，连结AD 1，AB 1，∵PQ ∥平面AA 1B 1B ，平面AB 1D 1∩平面AA 1B 1B ＝AB 1， PQ ⊂平面AB 1D 1，∴PQ ∥AB 1， ∴PQ ＝12AB 1＝1212＋12＝22.9.如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，过C 1，E ，F 的截面的周长为________.★★答案★★ 45＋6 2解析 由EF ∥平面BCC 1B 1可知，平面BCC 1B 1与平面EFC 1的交线为BC 1，平面EFC 1与平面ABB 1A 1的交线为BF ，所以截面周长为EF ＋FB ＋BC 1＋C 1E ＝45＋6 2.10.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝13，过点P ，E ，F 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________.★★答案★★223解析 易知EF ∥平面ABCD ，PQ ＝平面PEF ∩平面ABCD ，∴EF ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝23，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝223.二、解答题11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.证明∵AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1EC1，AC⊄平面A1EC1，∴AC∥平面A1EC1.又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，∴AC∥FG.12.如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论.(1)证明∵BC∥AD，AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，∴BC∥平面P AD.又平面P AD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，∴BC∥l.(2)解MN∥平面P AD.证明如下：如图所示，取PD的中点E.连结EN、AE.∵N为PC的中点，∴EN 綊12AB . ∴EN 綊AM ，∴四边形ENMA 为平行四边形，∴AE ∥MN .又∵AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .13.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点，点M 在侧棱PC 上，且PM ＝tPC ，若P A ∥平面MQB ，试确定实数t 的值.解 如图，连结BD ，AC ，AC 交BQ 于点N ，交BD 于点O ，连结MN ，则O 为BD 的中点.∵BQ 为△ABD 中AD 边的中线， ∴N 为正三角形ABD 的中心.设菱形ABCD 的边长为a ，则AN ＝33a ，AC ＝3a . ∵P A ∥平面MQB ，P A ⊂平面P AC ，平面P AC ∩平面MQB ＝MN ，∴P A ∥MN ，∴PM ∶PC ＝AN ∶AC ，即PM ＝13PC ，则t ＝13. 三、探究与拓展14.长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形.E ，F 分别是侧棱AA 1，CC 1上的动点，AE ＋CF ＝8.P 在棱AA 1上，且AP ＝2，若EF ∥平面PBD ，则CF ＝________.★★答案★★ 2解析连结AC交BD于点O，连结PO，过点C作CQ∥OP交AA1于点Q.∵EF∥平面PBD，EF⊂平面EACF，平面EACF∩平面PBD＝PO，∴EF∥PO.又∵CQ∥OP，∴EF∥QC，QE＝CF，∵四边形ABCD是正方形，CQ∥OP，∴PQ＝AP＝2.∵AE＋CF＝AP＋PQ＋QE＋CF＝2＋2＋CF＋CF＝8，∴CF＝2.15.如图所示，已知正三棱柱ABC－A′B′C′中，D是AA′上的点，E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明.解点D为AA′的中点.证明如下：取BC的中点F，连结AF，EF，如图.设EF与BC′交于点O，易证A′E∥AF，A′E＝AF，易知A′，E，F，A共面于平面A′EF A.因为A′E∥平面DBC′，A′E⊂平面A′EF A，且平面DBC′∩平面A′EF A＝DO，所以A′E∥DO.在平行四边形A′EF A中，因为O是EF的中点(因为EC′∥BF，且EC′＝BF)，所以点D为AA′的中点.。

第1章 立体几何初步 第十一课时 1.2.3 直线与平面的位置关系(3)【教学目标】1.理解垂线段,斜线段,射影的概念；2.了解直线与平面所成的角；3.进一步理解“线线垂直” “线面垂直”的等价转换思想。

【教学重点】直线和平面垂直的判定定理和性质定理的综合应用。

【教学难点】直线和平面垂直的判定定理和性质定理的应用时定理成立条件的构建。

【过程方法】通过探究、思考，运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理解决有关的问题，使学生进一步理解解决立体几何问题的基本指导思想，即创造条件将空间的问题转化为平面的问题来解决。

【教学过程】 一、复习引入1．直线与平面的位置关系；2．直线与平面平行的判定与性质； 3．直线与平面垂直的判定与性质；4．观察长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,判断直线A 1B ，A 1C ，A 1D 与平面ABCD 的位置关系。

二、讲授新课1．斜线、斜足、斜线段一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。

斜线与这个平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。

2．射影 过平面外一点P 向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q 和垂足P 1的直线就是斜线在这个平面内的正投影，简称射影。

3．直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做直线与这个平面所成的角。

规定：一条直线垂直于一个平面，则说它们所成的角为直角；一条直线与平面平行或在平面内，则说它们所成的角是00的角。

三、例题选讲A BC D A 1 B 1D C 1例1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，22AB =。

.（1）求A 1B 与平面AC 所成的角；（2）设BD 与AC 的交点为O ，求D 1O 与平面ABCD 所成的角。

例2．如图AB =2a ，AC ⊥α于C ，BD ⊥α于D ，CD = a ，那么直线AB 与平面α所成的角是多少度?例3．如图，已知AC ，AB 分别是平面α的垂线和斜线，C ，B 分别是垂足和斜足，α⊂a ，a ⊥BC 。

高中数学第1章立体几何1.2.3 直线与平面的位置关系同步教学案苏教版必修2【课时目标】1．理解直线与平面平行的判定定理的含义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理；2．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示2．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和________________________平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为a⊄α，b⊂α且a∥b⇒a∥α．一、填空题1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b．2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是________．3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系是______________________________________________________________________．4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面为____________个．6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______________；(2)与直线AA1平行的平面是______________；(3)与直线AD平行的平面是______________．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是__________________________________________________________________．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．11．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．能力提升12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP ＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)直线与平面平行的判定方法(1)利用定义：证明直线a 与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．(2)利用直线和平面平行的判定定理：a ⊄α，a∥b，b ⊂α，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b ，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．1．2．3 直线与平面的位置关系 第1课时 直线与平面平行的判定答案知识梳理1．直线在平面外 a ⊄α 2．这个平面内的一条直线 作业设计 1．0解析 ①a ⊂α也可能成立；②a，b 还有可能相交或异面；③a ⊂α也可能成立；④a，b 还有可能异面．2．b∥α或b 与α相交 3．平行或相交4．平行 5．0,1或无数 6．12解析 如图所示，与BD 平行的有4条，与BB 1平行的有4条，四边形GHFE 的对角线与面BB 1D 1D 平行，同等位置有4条，总共12条．7．无数8．(1)平面A 1C 1和平面DC 1 (2)平面BC 1和平面DC 1 (3)平面B 1C 和平面A 1C 1 9．平行解析 设BD 的中点为F ，则EF∥BD 1． 10．证明 取D 1B 1的中点O ， 连结OF ，OB ．∵OF 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OF 綊BE ．∴四边形OFEB 是平行四边形， ∴EF∥BO．∵EF ⊄平面BDD 1B 1， BO ⊂平面BDD 1B 1， ∴EF∥平面BDD 1B 1．11．证明 连结AF 延长交BC 于G ， 连结PG ．在▱ABCD 中，易证△BFG∽△DFA． ∴GF FA ＝BF FD ＝PE EA ， ∴EF∥PG．而EF ⊄平面PBC ， PG ⊂平面PBC ， ∴EF∥平面PBC ． 12．①③13．证明 方法一 如图(1)所示，作PM∥AB 交BE 于M ，作QN∥AB 交BC 于N ，连结MN ． ∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ， ∴AE＝BD ．又∵AP＝DQ ，∴PE＝QB ． 又∵PM∥AB∥QN， ∴PM AB ＝PE AE ，QN DC ＝BQ BD ． ∴PM 綊QN ．∴四边形PQNM 是平行四边形．∴PQ∥MN． 又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ∥平面BCE ．方法二 如图(2)所示，连结AQ 并延长交BC(或其延长线)于K ，连结EK ．∵KB∥AD，∴DQ BQ ＝AQQK．∵AP＝DQ ，AE ＝BD ，∴BQ＝PE ． ∴DQ BQ ＝AP PE ．∴AQ QK ＝APPE．∴PQ∥EK． 又PQ ⊄面BCE ，EK ⊂面BCE ，∴PQ∥面BCE ．第2课时直线与平面平行的性质【课时目标】1．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．直线与平面平行的性质定理：经过一条直线和一个平面________，经过这条直线的平面和这个平面__________，那么这条直线就和交线________．(1)符号语言描述：______________．(2)性质定理的作用：可以作为________________平行的判定方法，也提供了一种作__________的方法．一、填空题1．已知直线l∥平面α，直线m⊂α，则直线l和m的位置关系是________．2．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC与面α的位置关系为____________．3．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是________(填序号)．①α内的所有直线与m异面；②α内不存在与m平行的直线；③α内存在唯一的直线与m平行；④α内的直线与m都相交．4．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是________．5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线条数为________．6．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是__________(填序号)．①l1平行于l3，且l2平行于l3；②l1平行于l3，且l2不平行于l3；③l1不平行于l3，且l2不平行于l3；④l1不平行于l3，但l2平行于l3．7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________．(用序号表示)8．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________．9．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH ，BD∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当四边形EFGH 是菱形时，AE∶EB＝________．二、解答题10．ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP∥GH．11．如图所示，三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH ． 求证：CD∥平面EFGH ．能力提升12．如图所示，在透明塑料制成的长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1容器中灌进一些水，将固定容器底面一边BC 置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH 的面积不变；③A 1D 1始终水面EFGH 平行．其中正确的命题序号是________．13．如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD∩平面PBC ＝l ．(1)求证：BC∥l；(2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论．直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如下示意图：线线平行――→在平面内作或找一直线线面平行――→经过直线作或找平面与平面相交的交线线线平行．第2课时 直线与平面平行的性质 答案知识梳理平行 相交 平行⎭⎪⎬⎪⎫a∥αa ⊂ββ∩α＝b ⇒a∥b 直线和直线 平行线作业设计1．平行或异面 2．平行或相交 3．② 4．平行解析 ∵E、F 分别是AA 1、BB 1的中点，∴EF∥AB． 又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ， ∴AB∥平面EFGH ． 又AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD∩平面EFGH ＝GH ， ∴AB∥GH． 5．0或1解析 设这n 条直线的交点为P ，则点P 不在直线a 上，那么直线a 和点P 确定一个平面β，则点P 既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b ，则直线b 过点P ．又直线a∥平面α，则a∥b．很明显这样作出的直线b 有且只有一条，那么直线b 可能在这n 条直线中，也可能不在，即这n 条直线中与直线a 平行的直线至多有一条．6．①解析 ∵l 1∥l 2，l 2⊂γ，l 1⊄γ， ∴l 1∥γ．又l 1⊂β，β∩γ＝l 3， ∴l 1∥l 3∴l 1∥l 3∥l 2．7．①②⇒③(或①③⇒②)解析 设过m 的平面β与α交于l ． ∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l， ∵n ⊄α，l ⊂α，∴n∥α． 8．223a解析 ∵MN∥平面AC ，平面PMN∩平面AC ＝PQ ，∴MN∥PQ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a 3．9．m∶n解析 ∵AC∥平面EFGH ，∴EF∥AC，GH∥AC，∴EF＝HG ＝m·BE BA ，同理EH ＝FG ＝n·AEAB．∵EFGH 是菱形，∴m·BE BA ＝n·AEAB，∴AE∶EB＝m∶n．10．证明 如图所示，连结AC 交BD 于O ，连结MO ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点， 又M 是PC 的中点， ∴AP∥OM．根据直线和平面平行的判定定理， 则有PA∥平面BMD ．∵平面PAHG∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， ∴PA∥GH．11．证明∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH．又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD．∴EF∥平面BCD．而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD．而EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．12．①③13．(1)证明因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD．又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l．(2)解MN∥平面PAD．证明如下：如图所示，取DC的中点Q．连结MQ、NQ．因为N为PC中点，所以NQ∥PD．因为PD⊂平面PAD，NQ⊄平面PAD，所以NQ∥平面PAD．同理MQ∥平面PAD．又NQ⊂平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD．所以MN∥平面PAD．第3课时直线与平面垂直的判定【课时目标】1．理解直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用．1．如果直线a与平面α内的__________________，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作：________．图形如图所示．2．从平面外一点引平面的垂线，这个点和________间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．3．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线______于这个平面．图形表示：用符号表示为：______________________________________________________________．一、选择题1．下列命题中正确的是________(填序号)．①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是________．3．若a、b、c表示直线，α表示平面，下列条件中能使a⊥α为________．(填序号)①a⊥b，b⊥c，b⊂α，c⊂α；②a⊥b，b∥α；③a∩b＝A，b⊂α，a⊥b；④a∥b，b⊥α．4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC的形状为__________三角形．5．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图②使G1、G2、G3三点重合于一点G)，则下列结论中成立的有________(填序号)．①SG⊥面EFG；②SD⊥面EFG；③GF⊥面SEF；④GD⊥面SEF．6．△ABC的三条边长分别是5、12、13，点P到三点的距离都等于7，那么P到平面ABC 的距离为__________________________________________________________________．7．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件______时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，S A⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．2．在线面垂直的问题中，通过直线与直线垂直，可以证明直线与平面垂直；直线与平面垂直后，直线和平面内的任何直线都垂直．这样，就形成了线线垂直与线面垂直连环使用的思维形式，它对解题方法、策略乃至人们的思维，无疑都是一种提示．第3课时直线与平面垂直的判定答案知识梳理1．任意一条直线都垂直 a⊥α 2．垂足3．相交 垂直 m ，n ⊂α，m∩n＝O ，l⊥m，l⊥n ⇒l⊥α 作业设计1．④ 2．a ⊂β或a∥β 3．④ 4．直角解析 易证AC⊥面PBC ，所以AC⊥BC． 5．① 6．323解析 由P 到三个顶点距离相等．可知，P 为△ABC 的外心，又△ABC 为直角三角形，∴P到平面ABC 的距离为h ＝PD ＝72－⎝ ⎛⎭⎪⎫1322＝323．7．4解析⎭⎪⎬⎪⎫PA⊥平面ABC BC ⊂平面ABC⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA⊥BC AC⊥BC ⇒BC⊥平面PAC ⇒BC⊥PC， ∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC． 8．∠A 1C 1B 1＝90° 解析如图所示，连结B 1C ，由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC 即可． 因为A 1C 1∥AC，B 1C 1∥BC， 故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可．(或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1＝90°等) 9．90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN． 又∵MN⊥B 1M ， ∴MN⊥面C 1B 1M ， ∴MN⊥C 1M ．∴∠C 1MN ＝90°．10．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E≌△CBF， ∴∠B 1BE ＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB⊥CF，AB∩BE＝B ，∴CF⊥平面EAB ． 11．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD ， ∴CD⊥PA．又矩形ABCD 中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A ， ∴CD⊥平面PAD ， ∴CD⊥PD．(2)取PD 的中点G ，连结AG ，FG ．又∵G、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG∥EF． ∵PA＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ． ∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．∵PD∩CD＝D ，∴EF⊥平面PCD ．12．证明 连结AB 1，CB 1，设AB ＝1． ∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO＝CO ，∴B 1O⊥AC． 连结PB 1．∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94，OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21． ∴B 1O⊥PO，又∵PO∩AC＝O ， ∴B 1O⊥平面PAC ．13．证明 (1)∵SA⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴SA⊥BC．又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A ， ∴BC⊥平面SAB ． 又∵AQ ⊂平面SAB ，∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B ， ∴AQ⊥平面SBC ．(2)∵AQ⊥平面SBC ，SC ⊂平面SBC ，∴AQ⊥SC．又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A ， ∴SC⊥平面APQ ．∵PQ ⊂平面APQ ，∴PQ⊥SC．第4课时 直线与平面垂直的性质【课时目标】 1．掌握直线与平面垂直的性质定理．2．会求直线与平面所成的角．1．直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线________．该定理用图形表示为：用符号表示为：________________________．2．直线和平面的距离：一条直线和一个平面________，这条直线上______________到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．3．平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面______________．规定：若直线与平面垂直，则直线与平面所成的角是________．若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面所成的角是________的角．一、填空题1．与两条异面直线同时垂直的平面有________个．2．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为________．① ⎭⎪⎬⎪⎫m∥n m⊥α⇒n⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn⊥α⇒m∥n； ③⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn∥α⇒m⊥n； ④⎭⎪⎬⎪⎫m∥αm⊥n ⇒n⊥α． 3．已知直线PG⊥平面α于G ，直线EF ⊂α，且PF⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是______________．4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系正确的是________(填序号)．①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC ； ③AC⊥PB； ④PC⊥BC．5．P 为△ABC 所在平面外一点，O 为P 在平面ABC 内的射影．(1)若P 到△ABC 三边距离相等，且O 在△ABC 的内部，则O 是△ABC 的________心； (2)若PA⊥BC，PB⊥AC ，则O 是△ABC 的______心；(3)若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是△ABC的________心．6．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．7．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．9．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是________．(正三棱柱：侧棱与底面垂直，底面为正三角形的棱柱)二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．能力提升12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC．13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．1．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行．2．求线面角，确定直线在平面内的射影的位置，是解题的关键．因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解．第4课时直线与平面垂直的性质答案知识梳理1．平行 a⊥α，b⊥α⇒a∥b 2．平行 任意一点3．所成的角 直角 0° 作业设计 1．0 2．3解析 ①②③正确，④中n 与面α可能有：n ⊂α或n∥α或相交(包括n⊥α)． 3．PE>PF>PG解析 由于PG⊥平面α于G ，PF⊥EF， ∴PG 最短，PF<PE ，∴PE>PF>PG． 4．①②④解析 PA⊥平面ABC ，得PA⊥BC，①正确； 又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC ， ∴BC⊥PC，②、④均正确． 5．(1)内 (2)垂 (3)外 6．4解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB 中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．7．①②③解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．8．(1)45° (2)30° (3)90° 解析(1)由线面角定义知∠A 1BA 为A 1B 与平面ABCD 所成的角，∠A 1BA ＝45°． (2)连结A 1D 、AD 1，交点为O ，则易证A 1D⊥面ABC 1D 1，所以A 1B 在面ABC 1D 1内的射影为OB ， ∴A 1B 与面ABC 1D 1所成的角为∠A 1BO ，∵A 1O ＝12A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°．(3)∵A 1B⊥AB 1，A 1B⊥B 1C 1，∴A 1B⊥面AB 1C 1D ，即A 1B 与面AB 1C 1D 所成的角为90°． 9．30°解析 取AC 的中点E ，连结C 1E ，BE ，则∠BC 1E 即为所求的角．又由BC 1＝3，BE ＝32，所以sin ∠BC 1E ＝12，∠B C 1E ＝30°．10．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD⊥平面ADD 1A 1，∴CD⊥AD 1． ∵A 1D∩CD＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN⊥平面A 1DC ， ∴MN∥AD 1．(2)连结ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON∥AM． 又∵MN∥OA，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON＝AM ．∵ON＝12AB ，∴AM＝12AB ，∴M 是AB 的中点．11．证明连结AG 并延长交BC 于D ，连结A′G′并延长交B′C′于D′，连结DD′，由AA′⊥α，BB′⊥α，CC′⊥α，得AA′∥BB′∥CC′．∵D、D′分别为BC 和B′C′的中点， ∴DD′∥CC′∥BB′，∴DD′∥AA′，∵G、G′分别是△ABC 和△A′B′C′的重心， ∴AG GD ＝A′G′G′D′，∴GG′∥AA′， 又∵AA′⊥α，∴GG′⊥α．12．证明 ∵M、N 分别是EA 与EC 的中点， ∴MN∥AC，又∵AC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ， ∴MN∥平面ABC ，∵DB⊥平面ABC ，EC⊥平面ABC ， ∴BD∥EC，四边形BDEC 为直角梯形， ∵N 为EC 中点，EC ＝2BD ，∴NC 綊BD ，∴四边形BCND 为矩形， ∴DN∥BC，又∵DN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴DN∥平面ABC ， 又∵MN∩DN＝N ，∴平面DMN∥平面ABC ． 13．(1)证明 如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC 1， 得BC⊥平面ACC 1A 1．连结AC 1，则BC⊥AC 1．由已知，可知侧面ACC 1A 1是正方形，所以A 1C ⊥AC 1． 又BC∩A 1C ＝C ，所以AC 1⊥平面A 1BC ．因为侧面ABB 1A 1是正方形，M 是A 1B 的中点，连结AB 1，则点M 是AB 1的中点．又点N 是B 1C 1的中点，则MN 是△AB 1C 1的中位线，所以MN∥AC 1．故MN⊥平面A 1BC ． (2)解 如图所示，因为AC 1⊥平面A 1BC ，设AC 1与A 1C 相交于点D ，连结BD ， 则∠C 1BD 为直线BC 1和平面A 1BC 所成的角．设AC ＝BC ＝CC 1＝a ，则C 1D ＝22a ，BC 1＝2a ．在Rt △BDC 1中，sin ∠C 1BD ＝C 1D BC 1＝12，所以∠C 1BD ＝30°，故直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30°．。

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直线与平面的位置关系一、学习目标1。

直线与平面的位置关系及其符号表示；2。

直线与平面平行的判定定理、性质定理及其应用．二、学习重点、难点空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系；用图形表达直线与平面的位置关系；直线与平面平行的判定定理及应用．三、学习过程（一) 引入新课1．通过观察身边的实物发现直线与平面的位置关系2．直线和平面位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点符号表示图形表示3．直线和平面平行的判定定理语言表示：符号表示：图形表示：4．直线和平面平行的性质定理 语言表示:符号表示：（二） 典例分析例1。

如图，已知E 、F 分别是三棱锥A －BCD 的侧棱AB 、AD 中点,求证:EF//平面BCD ．[变式]：若M 、N 分别是△ABC 、△ACD 的重心，则MN//平面BCD 吗？例2.一个长方体木块如图所示，要经过平面A 1C 1内一点P 和棱BC 将木块锯开，应怎样画线?［思考］:在平面A 1B 1C 1D 1内所画的线与平面ABCD 有何位置关系？图形表示：PA BCDA 1D 1C 1B 1·例 3.求证: 如果三个平面两两相交于直线，并且其中两条直线平行，那么第三条直线也和它们平行．[思考］：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中的两条直线相交，那么第三条直线和这两条直线有怎样的位置关系?(三) 巩固练习1．指出下列命题是否正确,并说明理由：（1）如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行；（2）过直线外一点有无数个平面与这条直线平行;（3）过平面外一点有无数条直线与这个平面平行．2．已知直线a,b与平面α，下列命题正确的是（）A、若a//α，b⊂α，则a//bB、若a//α,b//α，则a//bC、若a//b，b⊂α，则a//αD、若a//b，b⊂α，则a//α或a⊂α3．如图,在长方体AC的侧面和底面所在的平面中：1（1)与直线AB平行的平面是（2）与直线AA平行的平面是1(3）与直线AD平行的平面是4．如图：一块矩形木板ABCD 的一边AB 在平面α内， 把这块矩形木板绕AB 转动，在转动过程中，AB 的对边 CD 是否都和平面α平行？为什么？四、课堂小结直线与平面的位置关系,直线与平面平行的判定定理和性质定理．ABCDA 1D 1 C 1B 1。

第1章 立体几何初步 第九课时 1.2.3 直线与平面的位置关系(1)【教学目标】1．了解直线与平面的位置关系及图形语言和符号语言； 2．了解直线与平面平行的定义；3．理解和掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理并初步用； 4．进一步培养学生的观察发现能力和空间想象能力。

【教学重点】直线与平面平行的判定定理，性质定理及应用。

【教学难点】直线与平面平行的性质定理的发现和理解。

【过程方法】1．通过师生之间、学生之间的互相交流，促使学生的共同学习；2．通过直观感知、操作演示归纳出直线和平面的三种位置关系的概念，明确数学概念的严谨性和科学性；3．通过两个定理解决有关问题，使学生感受到化归的数学思想，培养学生科学地分析问题、解决问题的能力。

【教学过程】 一、引入新课观察下图正方体1111D C B A ABCD ，回答下列问题： （1）棱11B A （或11D C ）所在直线与平面AC 有几个公共点； （2）对角线C A 1（或棱1AA ）所在直线与平面AC 有几个公共点；（3）棱AD 所在直线与平面AC 有几个公共点。

二、讲授新课1．直线与平面的位置关系如果一 条直线a 和一 个平面α没有公共点，则称直线a 与平面α平行。

如果一 条直线a 和一 个平面α有且只有一个公共点，则称直线a 与平面α相交。

A BC DA 1B 1D 1C 1如果一 条直线a 和一 个平面α有无数个公共点，则称直线a 在平面α内。

我们把直线与平面相交或平行的情况称为直线在平面外，用符号表示为α⊄a 。

2．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。

用符号表示： α⇒⎪⎭⎪⎬⎫α⊂α⊄//a b //a b a 。

三、例题选讲例1．如图，已知E ，F 分别是三棱锥A-BCD 的侧棱AB ，AD 的中点，求证：EF//平面BCD 。

3．直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

1.2.2 空间两直线的位置关系(2)【教学目标】 1． 理解异面直线的定义、异面直线所成角的定义、两条异面垂直的定义； 2． 理解异面直线判定的方法，并会求简单的异面直线所成的角。

【教学重点】1．异面直线及异面直线所成的角的概念的理解； 2．异面直线的判定；异面直线所成角的计算方法。

【教学难点】将异面直线所成的角转化为平面相交直线所成的锐角和直角。

【过程方法】通过探究、思考抽象出两条异面直线的概念以及异面直线所成的角的概念，培养学生空间想象能力、理性思维能力、观察能力及判断能力。

【教学过程】一、新授 1．异面直线①定义：不同在任何一个平面内的两直线称为异面直线； ②特点：既不相交又不平行； ③画法：2．异面直线的判定①定义法：由定义判定两直线不能同在一个平面内，直接证明比较困难，常用反证法。

②结论：过平面外一点与平面内的一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。

（证明题不宜采用此法） 3．两条异面直线所成的角 ①定义：直线a 和b 是异面直线，经过空间的任意一点O 分别作直线a 和b 的平行线a ’和b ’，则相交直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。

②范围：00900≤θ<。

4．求异面直线所成角的步骤 一作二证三求。

5．两异面直线垂直如果两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线是垂直的。

记作b a ⊥。

二、例题选讲例1．两条直线异面是指（ ）A ．不同在一个平面内的两条直线B ．分别在某两个平面内的两条直线C ．既不平行又不相交的两条直线D ．平面内的一条直线和平面外的一条直线 例2．判断下列命题是否正确，并说明理由。

①空间两直线可确定一个平面； ②垂直于同一直线的两直线平行；③直线a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交； ④直线a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面；⑤一条直线和两平行直线中的一条垂直，则一定与另一条也垂直。

必修2 第一章《立体几何初步》单元教学分析一.教材分析1.本章节的课时分配情况如下：2.本章节在整个教材体系中的地位和作用本章教材是高中数学学习的重点之一，通过研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图、表面积和体积等，运用直观感知、操作确认、度量计算等方法，认识和探索空间图形及其性质，使学生建立空间概念，掌握思考空间几何体的分类方法，在认识空间点、直线、平面位置的过程中，进一步提高学生的空间想像能力，发展推理能力，通过对实际模型的认识，学会将文字语言转化为图形语言和符号语言；以具体的长方体中的点、线、面之间的关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察和实验，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用.本章内容在每年的高考中都必考，在选择题、填空题和解答题中均能出现，分值约20分左右，主要考查线、面之间的平行、垂直关系.3.本章节的教学目标、数学思想、数学方法通过对空间几何体的整体观察，使学生直观认识空间几何体的结构特征，理解空间点、线、面的位置关系，并会用数学语言表述空间有关平行、垂直的判定与性质，能运用这些结论对有关空间图形位置关系的简单命题进行论证，了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法.培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、合情推理能力、运用图形语言进行交流的能力.4.本章节的教学重点、教学难点、教学特点：本章的重点是空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的判定和性质.本章的难点是建立空间概念，培养学生的空间想象，空间识图能力.5.本章节的知识结构和框架体系二.学情分析：1.师生双边教学活动设计：本章内容是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，重点是帮助学生逐步形成空间想像能力，为了符合学生的认知规律，培养学生对几何学习的兴趣，增进学生对几何本质的理解，本章在内容的编选及内容的呈现方式上，与以往的处理相比有较大的变化.首先，通过观察和操作，使学生了解空间简单几何体（柱、锥、台、球）的结构特征，以此作为发展空间想像能力的基本模型；然后，通过归纳和分析，使学生进一步认识和理解空间的点、线、面之间的位置关系，作为思辩论证的基础，由于几何图形的面积和体积的计算和体积的计算需要应用垂直的概念，因而这一部分内容放入本章最后一节.本章内容的设计遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，强调借助实物模型，通过整体观察、直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算，引导学生多角度、多层次地揭示空间图形的本质；重视合情推理与逻辑听结合，注意适度形式化；倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，帮助学生完善思维结构，发展空间想像能力.2.本章的教学建议：（1）、由于是从运动变化的观点来认识柱、锥、台、球的几何特点，因此教学时要通过大量的柱、锥、台、球实物模型进行演示，有条件的可以使用计算机演示柱、锥、台、球的生成过程，以帮助学生认识空间简单几何体的结构特征，并逐步形成空间观念.（2）、本章内容设计遵循从整体到局部的原则，因而有些概念在教学时只需通过大量实例让学生感受、认识即可，不必给出它们的严格定义，如关于棱台的部分中涉及的“两个平面平行”与关于正投影的部分中涉及的“天对着（直线与平面垂直）”等.（3）、在研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系时，首先应强调位置关系的分类标准，然后引导学生给出正确分类.由于是通过直观感知、操作确认，探索关于“垂直”、“平行”的判定定理，所以教学中要给出大量的空间图形，有条件的可用计算机演示，让学生通过观察、实验，确认“垂直”、“平行”的判定方法.关于“垂直”、“平行”的判定与性质定理的应用，教学时应先让学生理解定理成立的条件，着重引导学生创设定理成立的条件.并逐渐让学生感悟到：空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直或平行问题常常相互转化，将空间问题化归为平面问题是处理立体几何问题的重要思想，对空间中“角”与“距离”的度量问题，教学中不必拓展延伸，随意地提高教学要求.（4）、关于“柱、锥、台、球的表面积和体积”一节的教学，对一些简单组合体的表面积和体积计算，重在通过分析得到它是由哪些简单几何体组合而成.在介绍求柱、锥、台、球的表面积和体积的方法时，应着重让学生体会祖恒原理和积分思想在表面积与体积计算中的应用.（5）、本章教学中要注意联系平面图形的知识，利用类比、引申、联想等方法，理解平面图形和立体图形的异同，以及两者的内在联系，逐步培养学生的空间想像能力.三.教学手段、数学思想和数学方法：立体几何适宜采用多媒体教学手段，本章涉及的思想方法有：1、反证法与同一法；2、分类的思想；3、转化与化归思想；4、构造法，主要包括辅助线、面、体的添作，包括割补的思想方法；5、函数、方程和参数的思想方法.转化与化归思想是立体几何中最常见、最重要的数学思想方法，证明题实际上是定理间的相互转化和化归；证明或计算时，经常需要把空间图形化归为平面图形，把陌生问题纳入到原有的认知结构中，用熟悉的平面几何或三角的方法进行处理.立体几何中角与距离的计算建立在弄清概念、准确作图、严格论证的基础上，三种空间角，最终都化为两条相交直线的夹角，通常通过“线线角抓平移，线面角抓射影，二面角抓平面角”达到转化的目的；有关距离的问题通常化归为两点间的距离或点到直线的距离或点到平面的距离来解决，而点到平面的距离有时可以借助三棱锥的体积而求得.。

1.1。

3 投影和三视图【教学目标】1.了解中心投影和平行投影的概念;2.掌握几何体的三视图的概念、画法及步骤，并能根据三视图了解几何体的形状；3．会画复杂组合体的三视图.【教学重点】理解平行投影的基础上掌握三视图的画法及空间几何体的三视图。

【教学难点】作复杂组合体的三视图.【过程方法】通过本课的学习，进一步培养空间想象能力和观察能力。

【教学过程】1．投影投影是指光线（投射线)通过物体，向指定的面(投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。

（1）中心投影投射线交于一点的投影称为中心投影。

中心投影形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体,但直观图的大小会发生改变,在工程制图及技术图形中一般不采用中心投影，而采用平行投影的方法。

(2)平行投影投影线相互平行的投影称为平行投影,平行投影按投影方向是否正对着投影面，可分为斜投影和正投影两种，本节学习的三视图就是一种正投影。

2．三视图视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形。

（1）三视图光线自物体的前面向后投影所得的投影称为主视图或正视图，自上向下的称为俯视图，自左向右的称为左视图，用这三种视图刻画空间物体的结构，三种视图合称为三视图.（2）画三视图的方法和步骤①选择确定正前方，确定投影面，正前方应垂直于投影面，然后画出此时的正投影-—主视图；②正前方确定的情况下，从左向右的方向也随之确定,然后确定此时的投影面,画出此时的正投影——左视图；③自上到下的方向是固定不变的，在物体下方确定一个水平面作为投影面，画出正投影——俯视图；3．物体与其三视图的关系（1)物体的方位关系当物体与投影面的相对位置确定后，就有上下、左右和前后六个确定的方向：主视图反映的是物体的左右、上下的位置关系;俯视图反映的是物体的左右、前后的位置关系；左视图反映的是物体的上下、前后的位置关系.（2）三视图的位置关系一般地，主视图、左视图分别在左右两边，俯视图画在主视图的下边。

（3)投影对应关系及其规律由三视图可知：主视图反映它的长和高，左视图反映物体的长和宽,俯视图反映的是物体的宽和高。