江苏省丹阳高级中学高二数学竞赛培训讲义：整数的简单性质1 Word版缺答案

第三课时 数列的递推一、知识回顾本节主要内容两个基本递推：a n ＋1＝a n ＋d ，a n ＝qa n ；线性递推，二阶或高阶递推的特征方程与特征根；其他递推．1．基本概念：①递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ，2-n a ，…，k n a -（n k <）的关系式称为递归式．②递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列． 2．常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等． 3．思想策略：构造新数列的思想． 4．常见类型： 类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归）其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n（3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列．①形如)(1n q a a n n +=+的递归式,其通项公式求法为：1111111()()n n n k k k k a a a a a q k --+===+-=+∑∑②形如nn a n p a )(1=+的递归式,其通项公式求法为：3211121(1)(2)(1)n n n a a a a a a p p p n a a a -=⋅⋅⋅=⋅⋅-L L ③形如)1()(1≠+=+p n q pa a n n 的递推式,两边同除以1+n p 得111)(++=+=n n n n n p n q p a p a ,令nnnb p a =则句可转化为①来处理. 类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归）解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，构造n n n B A a βα+=，代入初始值求得B A ,．①若p+q=1时，有q a a n n -=-+1)(1--n n a a 可知}{1n n a a -+是等比数列，先求得n n a a -+1，再求出n a .②若p+q ≠l ，则存在α，β满足=α-+n n a a 1)(1--βn n a a 整理得11)(-+αβ-β+α=n n n a a a 从而α+β=p ， αβ=q ，可解出α、β，这样可先求出}{1n n a a α-+的通项表达式，再求出n a . 注意α、β实质是二次方程q px x +=2的两个根，将方程q px x +=2叫做递归式n n n qa pa a +=++12的特征方程．在数列{n a }中，给出a 1, a 2，且n n n qa pa a +=++12 ，它的特征方程q px x +=2的两根为α与β．如果α≠β，则n n n B A a βα+=；如果α=β则n n B An a α+=)(，其中A 与B 是常数，可由初始值a 1,a 2 求出．类型Ⅲ. 如果递归数列{a n }满足 a n+1dca baa n n ++=,其中c ≠0,ad －bc ≠0,以及初始值a 0≠f (a 1),则称此数列为分式线性递归数列.我们称方程dcx bax x ++=的根为该数列的不动点.若该数列有两个相异的不动点p 、q ，则 }{q a p a n n --为等比数列；若该数列仅有惟一的不动点p ，则}1{pa n -是等差数列·形如2n n n Aa Ba Ca D++=+的数列对于数列2n n n Aa B a Ca D++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）其特征方程为Ax B x Cx D+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…②若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求c 值。

第43讲 柯西不等式柯西不等式是不等式中的经典之一。

本节主要介绍柯西不等式在求最值、解方程、证明不等式等方面的应用。

柯西不等式的二维形式：若d c b a ,,,都是实数，则)())((222bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =时，等号成立。

柯西不等式的一般形式：设na a a a ,...,,,321，nb b b b ,...,,,321是实数，则222112222122221)...()...).(...(n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++，当且仅当0=i b),...,2,1(n i =或存在一个数k ，使得i i kb a =),...,2,1(n i =时，等号成立。

柯西不等式的变形形式：变形1. 设R a i ∈，0>i b ),...,2,1(n i =，则n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≥+++...)...( (21221222)2121当且仅当nb b b ===...21时，等号成立。

变形2. 设ia ，i b ),...,2,1(n i =同号且不为0，则n n n n n b a b a b a a a a b a b a b a ++++++≥+++...)...( (221122122)11，当且仅当n b b b ===...21时，等号成立。

对于柯西不等式的一般形式，我们将在本节的附录里给出证明。

A 类例题例1 b a ,为正的常数，10<<x ，x b x a x f -+=1)(，求)(x f 的最小值。

分析：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件，这个函数的解析式是两部分的和，x b x a -1,可看作2221,a a ，如再能出现2221,b b ，则可用，注意到11=+-x x解法一：用柯西不等式22)()1.1.()1)(1(1b a x b x x a x x b x a x x x b x a +=--+≥-+-+=-+，因此2min )()(b a x f +=，当且仅当x x bxx a--=1.1.，即b a ax +=时，取得最小值。

整数的简单性质（一）（一）知识、技能、方法一、整数的离散性任何两个整数,x y之间的距离至少为1，因此有不等式<⇔+≤.x y x y1二、整数的奇偶性将全体整数分为两类,凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此,任一偶数可表示为2m（m∈Z）的形式，任一奇数可表示为2m+1或2m－1的形式. 奇、偶数具有如下性质：（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数;偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；（2）两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若为整数，它必为偶数。

（3）奇数的平方都可表示为8m+1形式，偶数的平方都可表示为8m 或8m+4的形式（m∈Z）。

（4）任何一个正整数n，都可以写成ln m2=的形式，其中m为非负整数,l为奇数.三、整数的整除性1．定义：设a，b是整数，且b≠０，若存在整数c，使a＝bc，则称b整除a或a能被b整除，记作b|a，并称b是a的一个约数（因子），称a是b的倍数。

若不存在上述c,则称b不能整除a，记为b| a。

显然，１和-1能整除任意整数，任意整数都能整除０。

2．性质：①若c|b，b｜a,则c｜a. ②若b｜a,则bc|a c.③若c|a，c|b，则对任意整数m、n，有c|m a＋nb。

④若b|a c，且（a，b）＝1，则b|c。

⑤ 若p 为质数，p | a b ，则p | a 或p ｜ b ，特别地，若p ｜ a n ，*n N ∈,则p | a 。

⑥ 若(a ，b ）＝1，且a |c ，b ｜c ，则a b ｜c. ⑦ 带余除法:设b ＞0，对于任意整数a ，总可以找到一对惟一确定的q ，r 满足a =bq+r ，0≤r ＜b.⑧ (a －b ）｜（a n －b n )（n ∈N)，(a ＋b)|(a n ＋b n )(n 为正奇数) .⑨ 如果在等式11n miki k a a ===∑∑中除开某一项外,其余各项都是c 的倍数，则这一项也是c 的倍数。

几何体的面积和体积、截面问题
一、知识要点
1、几何体的面积主要包括表面积和截面的面积.
几何体的体积计算应重视以下常用的方法和技巧：（1）转移法（即利用祖暅原理或等积变换，把所求几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积）；（2）分割求和法；（3）补形求差法；（4）交换底面求三棱锥（或四面体）的体积.
2、截面：用平面去截几何体，平面与几何体表面的交线所围成的平面图形.
截面问题主要包括作图和计算两个方面.处理截面问题一般分为三个步骤：定位、定形、定量.其中，图形的定位是解决截面问题的关键.作截面的方法源于确定平面的公理3及其三个推论，一般都是先确定一个平面，然后在这个平面内完成作图.
二、例题分析
【题组1】
【题组2】。

数列中的整数问题一、基础知识：1、整数的基本性质：（1）整数的和，差，积仍为整数（2）整数的奇偶性：若()21n k k Z =+Î，则称n 为奇数；若()2n k k Z =Î，则称n 为偶数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律：① 奇数±奇数=偶数 ② 奇数±偶数=奇数③ 偶数±偶数=偶数 ④ 奇数´偶数=偶数⑤ 偶数´偶数=偶数 ⑥ 奇数´奇数=奇数（3）若,a b Z Î，且a b <，则1a b £-（4）已知,,a b R a b Î<，若n Z Î，且(),n a b Î，则n 只能取到有限多个整数（也有可能无解）（5）若aZ bÎ，称a 能被b 整除，则有：①b a£②b 为a 的一个因数（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数2、整数性质的应用：（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。

但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4）），例如：若(),2,5n N n ÎÎ，则n 的取值只能是3,4。

所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不等关系依然可以求解。

（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。

（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。

通常的处理方式有两个：① 通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量② 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：① 所解得变量非整数，或不符合已知范围② 等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前n 项和的项数，均为正整数。

集合的性质与划分一、基础知识本讲内容包括集合的划分和子集、子集个数及子集的应用. 集合上的运算问题，形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合,用集合的性质进行组合计数等综合型题目.设a 表示任意元素，A ，B 表示两个集合，若a A a B ∈⇒∈，则A B ⊆，即集合A 是集合B 的子集.规定空集是任何集合的子集.子集是由原集合中的部分元素构成.对于由n 个元素组成的集合，它的每一个子集中元素的构成，都是对这n 个元素进行选择的结果，由于对每一个元素的选择都有两种可能（选上或不选），因此，对这n 个元素共有2n种不同选择结果，即由n 个元素组成的集合共有2n个不同子集。

其中，不同的非空子集有21n-个，不同的真子集有21n -个。

加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。

乘法原理:做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。

容斥原理:用A 表示集合A 的元素个数，则,B A B A B A -+=CB AC B C A B A C B A C B A +---++=,需要此结论可以推广到n个集合的情况,即∑∑∑∑=≠≤<<≤=+-=ni k j i ji nk j i j iini iA A A A AA A 111.)1(11 n i i n A =--+-集合的划分：若I A A A n= 21，且),,1(j i n j i A A j i≠≤≤∅= ，则这些子集的全集叫I 的一个n -划分。

抽屉原理：将1+mn 个元素放入)1(>n n 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+m 个元素，也必有一个抽屉放有不多于m 个元素；将无穷多个元素放入n 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素. 二、基础训练 1、若2{2,|1|}{2,3,21}a aa +⊆+-,则a = _______解得2a =或4-.2、设集合{|11000,}M n n n N =≤≤∈，现对M 的任意一个非空子集X ，令Xa 表示X 中最大数与最小数之和，那么，所有这样的Xa 的算术平均值为_____________【解】将M 中非空子集配对：对每个非空集X M ⊆,令{1001|}X x x X '=-∈，则X M '⊆,如果X X '≠,那么2002XX aa '+=；对于X X '=,必有1001X a =，由此可见所有的算术平均数为1001。

第十七章 整数问题一、常用定义定理1．整除：设a,b ∈Z,a ≠0，如果存在q ∈Z 使得b=aq ，那么称b 可被a 整除，记作a|b ，且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数。

b 不能被a 整除，记作a b.2.带余数除法：设a,b 是两个给定的整数，a ≠0，那么，一定存在唯一一对整数q 与r ，满足b=aq+r,0≤r<|a|，当r=0时a|b 。

3．辗转相除法：设u 0,u 1是给定的两个整数，u 1≠0，u 1 u 0,由2可得下面k+1个等式：u 0=q 0u 1+u 2,0<u 2<|u 1|； u 1=q 1u 2+u 3,0<u 3<u 2； u 2=q 2u 3+u 4,0<u 4<u 3； …u k-2=q k-2u 1+u k-1+u k ,0<u k <u k-1； u k-1=q k-1u k+1,0<u k+1<u k ； u k =q k u k+1.4．由3可得：（1）u k+1=(u 0,u 1)；（2）d|u 0且d|u 1的充要条件是d|u k+1；（3）存在整数x 0,x 1，使u k+1=x 0u 0+x 1u 1.5．算术基本定理：若n>1且n 为整数，则k ak aap p p n 2121=，其中p j (j=1,2,…,k)是质数（或称素数），且在不计次序的意义下，表示是唯一的。

6．同余：设m ≠0,若m|(a-b)，即a-b=km ，则称a 与b 模同m 同余，记为a ≡b(modm)，也称b 是a 对模m 的剩余。

7．完全剩余系：一组数y 1,y 2,…,y s 满足：对任意整数a 有且仅有一个y j 是a 对模m 的剩余，即a ≡y j (modm)，则y 1,y 2,…,y s 称为模m 的完全剩余系。

8．Fermat 小定理：若p 为素数，p>a,(a,p)=1，则a p-1≡1(modp)，且对任意整数a,有a p≡a(modp). 9．若(a,m)=1，则)(m aϕ≡1(modm),ϕ(m)称欧拉函数。

第41讲 解不等式本节主要内容为高次不等、分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式、含肯定值的不等式的解法． 解不等式的根据是不等式的性质和不等式的同解原理． 解不等式与解方程以及寒暑地图象、性质有着较为亲密的联络，它们互相转化、互相浸透，又有所区分． A 类例题 例1 解不等式0)6)(4)(1)(1(2>--++-x x x x x解：对随意x ，012>+-x x ，因此该式可省略，再把6－x 变为x －6，不等号方向作相应变更，即原不等式与不等式0)6)(4)(1(<--+x x x 同解．用数轴标根法原不等式的解集为}641|{<<-<x x x 或说明：高于二次的不等式称为高次不等式．解高次不等式一般都将多项式尽可能地分解，使每个因式成为一次或二次式，而且各因式中x 的最高次数的那一项的系数应为正数． 链接：早年，人们解高次不等式都要列表，过程有点繁．1977年美国人普鲁特和莫里〔M.H.protter, C.B.Morrey 〕将列表法简化为数轴上干脆表示的方法，既快捷又便利，答案在数轴上一目了然．例2 解不等式||112x x x ≤-解：〔1〕当x >0时，原不等式化为⎪⎩⎪⎨⎧>≥--⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤-001201110112x x x x x x x x x102012<<≥⇒⎩⎨⎧><≥⇒x x x x x 或或；〔2〕当x <0时，原不等式化为⎩⎨⎧<≤>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-≤-00101110112x x x x x x x x x 或 0<⇒x .综合〔1〕〔2〕，原不等式的解集为}2100|{≥<<<x x x x 或或说明：解不等式讲究一个“化〞字，也就是将原不等式化为同解的最简洁的不等式．解分式不等式时都是把它化成同解的整式不等式．例如不等式1)()(>x g x f 与不等式0)()()(>-x g x g x f 同解，也就是与[]0)(.)()(>-x g x g x f 同解．一般状况下分式不等式是不能去分母的，但假设能断定分母恒大于0或恒小于0，那么可以去分母． 例3 解不等式152+>+x x 〔1985年 全国高考题.理科〕解：原不等式化为⎩⎨⎧<+≥+01052x x 〔1〕或⎪⎩⎪⎨⎧+>+≥+>+2)1(5201052x x x x 〔2〕对于〔1〕125125-<≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≥x x x对于〔2〕2121125<≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≥->x x x x因此，原不等式的解集为}225|{<≤-x x说明：解无理不等式时，为了化成有理不等式，一般都有乘方．但这时候肯定要留意式子的取值范围，否那么乘方后会破坏不等式的同解性．例如x =1是不等式10->x 解集中的一个元素，而x =1就不是不等式2)10(->x 解集中的元素．一般地，⎩⎨⎧>≥⇔>)()(0)()()(x x f x x x f ϕϕϕ⎩⎨⎧≥>⎩⎨⎧<≥⇔>0)()]([)(0)(0)()()(2x x x f x x f x x f ϕϕϕϕ或⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x x f x x f x x f ϕϕϕ 另外在解题过程忠，集合之间的“交〞、“并〞关系也必需理清晰，这样才能保证答案的正确性．情景再现1. 解不等式02)1(22≥-+-x x x x 2. 设a >0，解关于x 的不等式x a x a a 2)(->- 3. 设函数ax x x f -+=1)(2，其中a >0，解不等式1)(≤x f〔2000年全国高考题.理科〕B 类例题例4 解不等式xxx964>+分析：这是一个指数不等式．留意到其底数4、6、9有如下关系2)32()94(=，3296=，199=，因此类似于解指数方程，可以将不等式两边同除以x 9． 解：原不等式化为1)96()94(>+xx令u x =)32(，那么2)94(u x = )0(>u ，那么有⇒>-+012u u⇒+->⇒+->⇒>+++--251)32(2510)251).(251(x u u u 原不等式的解为15log 32-<x说明：xy )32(=为减函数，忽略了这一点，解的最终一步就会出错．解指数不等式一般应先解出xa 的范围，进而再求x 的范围． 例5 假设10<<a ，解不等式1log 6log ->a x x a解：令u x a =log ，由对数换底公式u a x 1log =，原不等式化为⇒->16uu 0)3)(2(062>+-⇒>-+u u u uu u ．由数轴标根法得：203><<-u u 或，留意到原不等式解集为⇒<<10a }01|{23a x a x x <<<<-或说明：由2>u ，得22log a x x a <⇒>，留意到x y a log =中，0>x，因此这部分的结果应是20a x <<．如仅写成2a x <那就不正确了．例6 使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是___________ 〔2003年全国高考题.理科〕 分析：不等式的左边是含x 的对数式，右边是x 的一次式，这种不等式用通常的推理方法是无法求解的，因此考虑图象法．解：如下列图，在同一坐标系内分别作出函数)(log 2x y -=与1+=x y 的图象〔它们的共同定义域为0<x 〕．从图象上看出，当且仅当01<<-x 时，1+=x y 的图象在)(log 2x y -=图象的上方，因此x 的取值范围为01<<-x ．例7 解不等式 1. 02|3|22≥-++x x x2. 12|2|2+≤-x x 〔2004年全国联赛四川省初赛〕3. 3|2||1|+>-+-x x x解：1. 原不等式化为2222232|3|x x x x x x -≥+⇒-≥+ 〔1〕或)2(322x x x --≤+ 〔2〕 对于〔1〕解得221-≤≥x x 或，对于〔2〕解得32-≤x ．取其并集，因此原不等式解集为}2132|{≥-≤x x x 或2. 原不等式化为⎩⎨⎧≥-+≤--⇒⎩⎨⎧+-≥-+≤-012032)12(21222222x x x x x x x x⎩⎨⎧--≤-≥≤≤-⇒211231x x x 或，因此，原不等式解集为}312|{≤≤-x x3. 分析：0|1|=-x 那么1=x ，0|2|=-x 那么2=x ．数1和2将数轴分为三段，根据肯定值的定义，通过分段探讨把肯定值的不等式化为不含肯定值的不等式．解法一 划分区间分类探讨：1<x 时，原不等式化为03211<⇒⎩⎨⎧+>-+-<x x x x x21≤≤x 时，原不等式化为φ∈⇒⎩⎨⎧+>-+-≤≤x x x x x 321212>x 时，原不等式化为63212<⇒⎩⎨⎧+>-+->x x x x x综上，原不等式解集为}60|{><x x x 或 解法二 构造函数，画图象：令|2||1|)(-+-=x x x f ，3)(+=x x g ，可得⎪⎩⎪⎨⎧<+-≤≤>-=)1(32)21(1)2(32)(x x x x x x f ，在同一坐标系内作出)(x f y =和)(x g y =的图象，可求得A 〔0，3〕，B 〔6，9〕．因为)()(x g x f >，所以原不等式解集为}60|{><x x x 或说明：本例三个小题的解法在对待含肯定值的不等式上，具有普遍意义，是通法．链接：一般地，)(|)(|x g x f >与)()(x g x f >或)()(x g x f -<同解，)(|)(|x g x f <与⎩⎨⎧-><)()()()(x g x f x g x f 同解．有些不等式用图象法既精确又直观，在特定条件下这种做法别的方法不能取代．例8 设实数a ，b 满意不等式|||||)(|||b a a b a a +-<+-，试确定a ，b 的正、负．解：由得⇒+-<+-22|)|()](|[|b a a b a a).(||||.)(||2)().(||22222b a a b a a b a b a a a b a b a a a +<+⇒+++-<+++-，由于x x ≥||，因此立得).(||||).(0b a a b a a a +<+--⇒<，约去-a 得b a b a +<+-||00>->⇒>+⇒a b b a ，a 为负数且b 为正数．链接：如a ，b 是实数，那么22||||b a b a <⇔<．这是去掉肯定值的又一途径． 情景再现4. 不等式xx321<+的解是__________ 〔2003年上海高中数学奥林匹克〕5. 设]1)(2[log 2221+-+=x x x b ab ay 〔0>a ，0>b 〕，求使y 为负值的x 的取值范围． 〔上海1998年高考题〕 6. 求函数x y tan log 221++=的定义域． 〔上海1989年高考题〕7. 1〕不等式03||42||23<+--x x x 的解集是__________ 〔2003年全国联赛题〕2〕不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->|22|330xx x x x 的解集为__________ 〔1997年全国高考题〕 3〕1|32|2+<+-x x x 的解集为__________ C 类例题例9 假设关于x 的不等式074)54(74)22(222222<-+--++-+-++a a x a a x a a x a x 的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和不小于4，那么实数a 的取值范围为__________〔2001年上海高中数学奥林匹克〕 分析：区间的长度取决于数轴上点与点的间隔 ．因此此题应从整体着眼探讨根的分布，应用韦达定理．假如求一个个根的数值势必会陷入繁冗的计算之中，解题效率极低．解：03)2(7422<---=-+-a a a ，令74)22()(222-+-++=a a x a x x f ，74)54()(222-+--++=a a x a a x x g ，那么方程0)(=x f 及0)(=x g 都各有两个实根，简洁推断这两个方程的根有两正两负，而且互不相等．设0)(=x f 的根为1x ，2x ，021<x x ，不妨设21x x <．又设0)(=x g 的根为3x ，4x ，那么043<x x ，令43x x <，由韦达定理22)54()()(222143++-+-=+-+a a a x x x x0742>+-=a a ，所以0)(2143>+-+x x x x ．我们证明⎩⎨⎧>>1324x x x x 反证：设12424≤⇒≤x x x x ，又13124≤=x xx x 〔03<x 〕31x x ≥⇒，这样便有 21431324x x x x x x x x +≤+⇒⎩⎨⎧≤≤，此与已有事实2143x x x x +>+冲突，故24x x >．再由24x x >及4321x x x x =，得13x x >．因此有42310x x x x <<<<．原不等式等价于0)().(<x g x f ，由数轴标根法，得原不等式解为),(),(4231x x x x ⋃，区间长度之和为74)()(221431324+-=+-+=-+-a a x x x x x x x x ．由题设134742≤≥⇒≥+-a a a a 或，这就是a 的取值范围．说明：以上过程稍长，主要是对根的分布状况作了严格论证，解填空题，只要关键之处能把握得准，中间过程可大大压缩．例10 设0a 为常数，对随意1≥n 的正整数01.2.)1(]2.)1(3[51a a n n n n nn -+-+=-，且有1->n n a a ，求0a 的取值范围． 〔据2003年全国高考天津卷试题改编〕解：由n a 的表达式，011111.2.3.)1(52.3.)1(32a a a n n n n n n n ------+-+⨯=-，对于随意正整数n ，1->n n a a 等价于201)23()15()1(--<--n n a 〔1〕i ）当,...)2,1(12=-=k k n 时，〔1〕式即为32022)23()15()1(--<--k k a51)23(51320+<⇒-k a ，32)23(-k 为单调增，因此此时0a 应小于51)23(5132+-k 的最小值〔1=k 〕时，5132.510+<a ，得310<a ．ii ） 当,...)2,1(2==k k n 时，〔1〕式即为22012)23()15()1(--<--k k a 51)23(51220+->⇒-k a ，此时0a 应大于51)23(5122+--k 的最大值〔1=k 〕时，51)32(5100+->a ，即00>a ．对n 取奇数或偶数时，总有1->n n a a ，那么)31,0(031000∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧><a a a ．说明：由于n a 与1-n a 的差式中含有1)1(--n ，而1)1(--n 的符号不确定，因此对n 分奇数和偶数探讨就是顺理成章的事，当然也是解这道题的必经之路．例11 解不等式)0(1)2(>->-a x x a a解：原不等式化为 一、 ⎩⎨⎧<-≥-0102x x a或 二、⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-2)1()2(0102x x a a x x a 不等式组一化为21,20)2 ,20)112a x a a x a x ≤<≤<≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤解集为如解集为如φ 不等式组二化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∆<-+--≤<))1(8(01)22(1222a a a x a x x a x1〕0≤∆时，即10≤<a ，解集为φ．2〕⎩⎨⎧≤<>∆210a 时，原不等式二化为⎪⎩⎪⎨⎧-+-<<---<)1(21)1(212a a a x a a a a x ，由于2)1(21aa a a ≤-+- 〔2=a 时取等号〕，因此不等式解为 )1(21)1(21-+-<<---a a a x a a a3〕⎩⎨⎧>>∆20a 时，原不等式二化为⎩⎨⎧-+-<<---≤)1(21)1(211a a a x a a a x ，由于a a a >-)1(2 〔2>a 时〕，因此不等式解为1)1(21≤<---x a a a ．将不等式组一、二并便得原不等式解为：10≤<a 时，φ∈x ．21≤<a 时，)1(21)1(21-+-<<---a a a x a a a ． 2>a 时，2)1(21a a a a ≤---． 说明：对含参数的不等式，除去原有的根本解法之外，还要学会探讨，探讨要把握住时机和线索．此题就是以a 的取值为线索，条理清晰有分有合，不重复不遗漏，步步紧扣，一挥而就．擅长探讨是学好数学的必备根本功． 例12 1. 设1,>m a ，0>>b a ，证明mm ba b a log log <2. 解不等式xx 165log )1(log >+1. 证明：)lg (lg lg )lg (lg lg )lg (lg lg lg lg lg lg lg lg log log m a a m b a m a b m a m b a b mm b a ba ++-+=++-=- 0)lg (lg lg )lg (lg lg <+-=m a a a b m ，因此mm b a b a log log <．2. 分析：原不等式等价于不等式x x 45log )1(log >+，直觉告知我们16=x 时，据图象猜测160<<x 时，x x 45log )1(log >+．解：1〕160<<x 时，x >4，据此题1所证，)4(log log log 5)411()411.(44x xx x+=<++ )1(log )416(log 55x x +=+<，因此160<<x 是原不等式的解． 2〕16=x 时，)1(log log 54x x+=3〕16>x 时，4>x ，据此题1，1>b 时，mmab a b log log >，可得)45.(log log 4544x x⨯> )1(log )416(log )4(log 555x x x x +=+>+=．综合1〕，2〕，3〕知，原不等式的解是160<<x ．u )情景再现8. 解不等式1log 2log 3-<-x x x a a 〔1,0≠>a a 〕 〔1999年全国高考试题〕9. 0>c ，设 P ：函数xc y =在R 上单调递减．Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ．假如P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围． 〔2003年全国高考试题〕10. 数列}{n a 的首项21=a ，且3121+=+n n a a 〔+∈z n 〕，求使不等式 9110||-+<-n n a a 成立的最小正整数n ． 〔2005年上海TI 杯高二年级数学奥林匹克〕习题一 A 类1. 解不等式x x>12. 设集合}2|||{<-=a x x A ，}1212|{<+-=x x x B ，假设B A ⊆，务实数a 的取值范围． 〔1999年上海高考试题〕 3. 解不等式)lg()3lg()1lg(x a x x -≥-+- B 类4. 1,0≠>a a ，试求使方程)(log )(log 222a x ak x a a -=-有解的k 的取值范围．〔1989年全国高考试题〕5. 解不等式0111222>+-++x x xx6. 设na n n x f x x x x .)1(...321lg )(+-++++=，其中a 是实数，n 是随意给定的自然数，且2≥n ．假如)(x f 当]1,(-∞∈x 时有意义，求a 的取值范围．〔1990年全国高考试题〕7. 对实数a ，b ，不等式13cos cos >+x b x a 无解，求证1||≤b ． 8. R x ∈，解不等式|4||2||3||2||3||1||4|--+-<------x x x x x x x〔2000年莫斯科高校数力系入学试题〕 9. 解不等式1234.39.26.52+<+--x x x x x C 类10. 解不等式1log.log422284≤x x x x11. )2,1(∈x 总满意关于x 的不等式1)lg(2lg <+x a ax，务实数a 的取值范围．{12. 关于x 的不等式a x a ax 32-<- 〔0≠a 〕在]3,4[--上恒成立，务实数a 的取值范围．本节情景再现解答1. 原不等式化为⎩⎨⎧≠-≠≤--+⇒⎩⎨⎧≠-+≥-+-210)2)(1)(1(020)2)(1(2222x x x x x x x x x x x x 且原不等式解集为}2110|{<≤-<=x x x x 或或2. 原不等式化为⎩⎨⎧<-≥-020x a x a 〔1〕或⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-2)2()(020x a x a a x a x a 〔2〕，对于〔1〕解得a x a ≤<2，对于〔2〕解得20ax ≤<，因此原不等式解集为}0|{a x x ≤<3.ax x +≤+112，由此得0≥ax 〔常数0>a 〕，01>+ax ，所以原不等式等价于⎩⎨⎧≥+-≥⇒⎩⎨⎧≥+≤+02)1(00)1(1222a x a x x ax x ，所以当10<<a 时，所给不等式的解集为}120|{2aax x -≤≤；当1≥a 时，所给不等式的解集为}0|{≥x x 4. 原不等式化为1)32()31(<+x x ，当1=x 时，1)32()31(11=+，所以1=x 不是不等式的解．1<x 时，1)31()31(>x ，)1(3231)32()31()32()32(1=+>+⇒>x x x ，因此1<x 也不是不等式的解．1>x 时，1)31()31(<x ，1)32()31()32()32(1<+⇒<xx x ，也就是x x 321<+，因此原不等式的解为1>x5. 据⇒>-+⇒>+-+0..211)(22222x x x x x x xb b a a b ab a12)(0]21)].[(21)[(012.)()(2->⇒>-+++⇒>-+x x x x x bab a b a b a b a 01 当b a =时，解为R x ∈．02 当b a >时，解为)12(log ->ba x ．03 当b a <时，解为)12(log -<ba x ．6. 原问题化为解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧∈+<≤≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+z k k x k x x x ,2400tan 0log 221πππ，所以函数y 的定义域为]4,[)2,0(ππ⋃7. 1〕R x ∈，22||x x =，由原不等式分解可得0)1|||)(|3|(|2<-+-x x x ，由此得所求不等式解集为)3,215()251,3(-⋃--2〕原不等式化为6006003322332202<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<->>⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+->+-+-<+->x x x x x x x x x x x x x ，此即原不等式的解．3〕原不等式化为2121)1(3213222<<⇒⎩⎨⎧∈<<⇒⎩⎨⎧+-<+-+<+-x Rx x x x x x x x ，因此原不等式的解集为}21|{<<x x8. 原不等式等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><>≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<->-≥-1log 43log 21log 32log )1log 2(2log 301log 202log 32x x x x x x x x a a a a a a a a 或 当1>a 时，得所求解是}|{}|{4332a x x a x a x >⋃<≤ 当10<<a 时，得所求解是}0|{}|{3243a x x a x a x <<⋃≤<9. 函数xc y =单调减10<<⇔c ，不等式1|2|>-+c x x 的解集为⇔R 函数|2|c x x y -+=在R 上恒大于1．因为⎩⎨⎧<≥-=-+)2(2)2(2|2|c x c c x c x c x x ，所以c c x x 2|2|min =-+，于是应有2112>⇒>c c ．假如P 正确，且Q 不正确，那么210≤<c ．假如P 不正确，且Q 正确，那么1≥c ．所以c 的取值范围是),1[]21,0(+∞⋃，此题也可以运用图象法．10. 简洁求得该数列的通项公式为1)32(1-+=n n a ，⇒<---9110|)32()32(|n n4492lg 3lg 3lg 913lg 932lg )1(10)32(3191⋅>⇒-->-⇒+-<-⇒<--n n n n ，所以所求最小正整数50=n 本节习题解答1. 原不等式等价于0)1)(1(012<+-⇒<-x x x xx ，得101<<-<x x 或 2. 由2||<-a x 得22+<<-a x a ，所以{}22|+<<-=a x a x A ，由1212<+-x x 得， }32|{<<-=x x B ，因为B A ⊆，所以⎩⎨⎧≤+-≥-3222a a ，于是10≤≤a3. 图象法，)3)(1(x x y --=及x a y -=1≤a 时，无解． 31<<a 时，解为a x a≤≤--24135． 3=a 时，解为32<≤x ．4133≤<a 时，解为2413524135a x a -+≤≤--． 413>a 时，无解．4. 原方程的解x 应满意⎩⎨⎧>--=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->--=-)2(0)1()(00)(22222222ak x a x ak x a x ak x a x ak x ，由〔1〕得)1(22k a kx +=，0=k 时无解．0≠k 时，解为kk a x 2)1(2+=，将此代入〔2〕得，1010102102)1(222<<-<⇒<-⇒>-+⇒>-+k k kk k k k ak k k a 或．即当k 在集合)1,0()1,(⋃--∞内取值时，原方程有解．5. 解法一：原不等式化为1122->+x x x1〕如0<x ，那么有033333301)1()1(01022222<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+>-<-<x x x x x x x x 2〕如0≥x ，那么有⎩⎨⎧<-≥0102x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≥-≥0)1(010222x x x x ，得0≥x ．综合1〕，2〕得原不等式的解为33->x ．解法二：三角代换，令θtan =x ，)2,2(ππθ-∈，原不等式化为01sin sin 22<--θθ 21sin ->⇒θ，33tan )26(->⇒<<-θπθπ ，即33->x ．6. )(x f 当]1,(-∞∈x 时有意义的条件是0.)1(...321>+-++++a n n xxxx，即x x x n n n n a )1(...)2()1[(-+++->，2≥n ，x nk)(-在]1,(-∞上都是增函数，从而它在1=x 时获得最大值)1(21)1...21(--=-+++-n n n n n ，因此)1(21-->n a 就是a 的取值范围．7. 依题意，对随意实数x b a ,,均有13cos cos ≤+x b x a ，取特别值32,3,,0πππ=x ，依次有⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+-≤-≤--≤+2221112111121211a b b a b a b a b a b a b a b a ，相加得333≤≤-b ，即1||≤b ．8. 原不等式化为⎪⎩⎪⎨⎧---<----≠->-222)2()3(|4|.|1|)4(4|2||3|x x x x x x x x 〔1〕或⎪⎩⎪⎨⎧--->+---≠-<-2222)2()3(|45|)4(4|2||3|x x x x x x x x 〔2〕不等式组〔1〕无解，不等式组〔2〕的解为43<<x 或74<<x ．综上，原不等式的解为}7443|{<<<<x x x 或9. 原不等式化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<≤--⇒⎪⎩⎪⎨⎧-->->≥--+0)2.43.3(2.230)23)(2.233()4.39.26.5(4)32(32.204.39.26.5221x x xx x x x x x x x x x x x xxx⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≤⇒34log 102.43.32.233223x x xx x x x ，因此原不等式的解为 }34log 10|{23≠≤≤x x x 且10. 令u x =||，原不等式化为⇒≤1)log 2.(log 222u u uu⇒≤+++-⇒≤++0)22lg )(lg 2lg (lg )2lg )(lg 2lg 3(lg 1)22lg )(lg 2lg (lg lg .lg 2u u u u u u uu8||2221||422lg 3lg 2lg 2lg lg )22lg(11≤≤<<⇒≤≤-<<--x x u u 或或，因此原不等式解为}22882221424221|{-≤≤-≤≤<<-<<-x x x x x 或或或．11. )2,1(∈x ，02>ax ，所以1,0>+>x a a ，因此原不等式化为)lg(2lg x a ax +<x a ax +<⇒2，即xx xa 12112-=-<，在)2,1(∈x 上恒成立，而112132<-<x，因此a的取值范围为320≤<a ．12. 先求出不等式的解⎪⎩⎪⎨⎧+-<-≥->-⇔≠-<-2222296003)0(3a ax x a ax a ax a x a a x a ax ，解此不等式得：当0>a 时，不等式的解为),5(+∞a ；当0<a 时，不等式的解为],2(a a ．当0>a 时，原不等式在[-4，-3]上不成立；当0<a 时，a 满意的充要条件为],2(]3,4[a a ⊆-- 23342-<≤-⇔⎩⎨⎧-≥-<⇔a a a ，这就是所求的取值范围．。

整数的p 进位制（一）知识、技能、方法给定一个m 位的正整数A ，其各位数字上的数字分别记为120,,,m m a a a -- ，则此数可以简记为120m m A a a a --= ，其中10m a -≠.由于我们所研究的整数通常都是十进制的，因此A 可以表示成10的1m -次多项式，即121210101010m m m m A a a a a ----=⨯+⨯++⨯+ ， 其中{0,1,2,,9}i a ∈ ，1,2,,1i m =- 且10m a -≠.为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：121210m m m m A a p a p a p a ----=⨯+⨯++⨯+ ，其中{0,1,2,,1}i a p ∈- ，1,2,,1i m =- 且10m a -≠.而m 仍然为十进制数字，简记为120()m m p A a a a --= .（二）例题分析例1、将一个十进制数字2004转化成二进制与八进制，并将其表示成多项式形式.例2、设一个五位数abcde ，其中3d b -=，试问,a c 为何值时，这个五位数被11整除.例3、设72|673a b ，试求,a b 的值.例4、一个正整数，如果用７进制表示为abc ，如果用５进制表示为cba ，请用10进制 表示这个数.例5、请确定最小的正整数A ，其末位数是6，若将未位的6移至首位，其余数字不变，其值变为原数的4倍.例6、求满足3()abc a b c =++所有的三位数abc .例7、一个四位数，它的个位数字与百位数字相同，如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来，（即个位数字与千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数.例8、递增数列1，3，4，9，10，12，13，……是由一些正整数组成，它们或是3的幂，或是若干个3的幂之和，求该数列的第100项.例9、1987可以在b 进制中写成三位数xyz ，如果1987x y z ++=+++，试确定所有可能的,,x y z 和b .例10、设n是五位数（第一个数码不是零），m是由n取消它的中间一个数码后所成的四位数，试确定一切n使得nm是整数.例11、若{1,2,,100}n 且n是其各位数字和的倍数，这样的n有多少个？例12、如果一个正整数n在三进制下表示的各数字之和可以被3整数，那么我们称n为“好的”，则前2005个“好的”正整数之和是多少？。

高二数学期末复习（立体几何）一、基础训练1.在三棱锥S－ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥S－ABC的表面积是________．2.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是________．(填序号)①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n③若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β④若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β3.已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球表面积等于________．4.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是________．(填序号)①平面ABD⊥平面ABC②平面ADC⊥平面BDC③平面ABC⊥平面BDC④平面ADC⊥平面ABC5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．6.如图，在三棱柱ABC－A 1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.二、典型例题例1如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．(1)求三棱锥A—PDE的体积；(2)AC边上是否存在一点M，使得P A∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．例2如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，D为AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1；(3)在(2)的条件下，设AB＝1，求三棱锥B－A1C1D的体积．例3如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.例4如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．课后作业一、填空题1.在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ABD 的面积分别为22， 32，62，则三棱锥A －BCD 的外接球体积为________． 2.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．3.(·江苏)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________ cm 3.4.若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．5.已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确的是________．(填序号)①若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α②若l 上有两个点到α的距离相等，则l ∥α③若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β④若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β答案6.下列命题中，m 、n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面． ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ.正确命题是的序号为________．7.一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开， 使截面平行于棱VB 和AC ，若木块的棱长为a ，则截面面积为________． 答案二、解答题8.(·重庆)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝23，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3. (1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积．9.(·广东)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积；(3)证明：EF ⊥平面P AB .参考答案1. 3＋ 32. ④3.16π4. ④5.16.6. x ＝a 或x ＝2a .例1解 (1)因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD .又因ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD .因PD ∩CD ＝D ，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD 是三棱锥A —PDE 的高．因为E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4，所以S △PDE ＝12S △PDC ＝12×⎝⎛⎭⎫12×4×4＝4. 又AD ＝2，所以V A —PDE ＝13AD ·S △PDE ＝13×2×4＝83. (2)取AC 中点M ，连结EM ，DM ，因为E 为PC 的中点，M 是AC的中点，所以EM ∥P A .又因为EM ⊂平面EDM ，P A ⊄平面EDM ，所以P A ∥平面EDM .所以AM ＝12AC ＝ 5. 即在AC 边上存在一点M ，使得P A ∥平面EDM ，AM 的长为 5.例2(1)证明 如图所示，连结AB 1交A 1B 于E ，连结ED .∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，且AB ＝BB 1，∴侧面ABB 1A 1是正方形，∴E 是AB 1的中点，又已知D 为AC 的中点，∴在△AB 1C 中， ED 是中位线，∴B 1C ∥ED ，∴B 1C ∥平面A 1BD .(2)证明 ∵AC 1⊥平面A 1BD ，∴AC 1⊥A 1B .∵侧面ABB 1A 1是正方形，∴A 1B ⊥AB 1.又AC 1∩AB 1＝A ，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1，∴A 1B ⊥B 1C 1.又∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴BB 1⊥B 1C 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.(3)解 ∵AB ＝BC ，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面DC 1A 1.∴BD 是三棱锥B －A 1C 1D 的高．由(2)知B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，∴BC ⊥平面ABB 1A 1.∴BC ⊥AB ，∴△ABC 是等腰直角三角形．又∵AB ＝BC ＝1，∴BD ＝22，∴AC ＝A 1C 1＝ 2. ∴三棱锥B －A 1C 1D 的体积V ＝13·BD ·S △A 1C 1D ＝13×22×12A 1C 1·AA 1＝212×2×1＝16.例3. (1)如图，取CE 的中点G ，连结FG ，BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE . ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB .又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB . ∴四边形GF AB 为平行四边形，则AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又CD ∩DE ＝D ，故AF ⊥平面CDE .∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .例4(1)证明 因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE ∥BC .又因为DE ⊄平面A 1CB ，BC ⊂平面A 1CB ，所以DE ∥平面A 1CB .(2)证明 由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ，所以DE ⊥AC .所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD .所以DE ⊥平面A 1DC .而A 1F ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F .又因为A 1F ⊥CD ，所以A 1F ⊥平面BCDE ，所以A 1F ⊥BE .(3)解 线段A 1B 上存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ .理由如下：如图，分别取A 1C ，A 1B 的中点P ，Q ，则PQ ∥BC .又因为DE ∥BC ，所以DE ∥PQ .所以平面DEQ 即为平面DEP .由(2)知，DE ⊥平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1C .又因为P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点，所以A 1C ⊥DP .所以A 1C ⊥平面DEP .从而A 1C ⊥平面DEQ .故线段A 1B 上存在点Q ，使得A 1C ⊥平面DEQ .课后作业 1.6π 2. 56π3. 64. 33π5. ③6. ①④7. a 248. (1)证明 因为BC ＝CD ，所以△BCD 为等腰三角形，又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC .因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD .从而BD 与平面P AC 内两条相交直线P A ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面P AC .(2)解 三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3. 由P A ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·P A ＝13×3×23＝2. 由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18P A ， 故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18P A ＝13×3×18×23＝14， 所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74. 9. (1)证明 因为AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ，所以PH ⊥AB . 因为PH 为△P AD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD .因为PH ⊄平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD .(2)解 如图，连结BH ，取BH 的中点G ，连结EG .因为E 是PB 的中点，所以EG ∥PH ，且EG ＝12PH ＝12. 因为PH ⊥平面ABCD ，所以EG ⊥平面ABCD .因为AB ⊥平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥AD ，所以底面ABCD 为直角梯形，所以V E －BCF ＝13S △BCF ·EG ＝13·12·FC ·AD ·EG ＝212. (3)证明 取P A 中点M ，连结MD ，ME .因为E 是PB 的中点，所以ME 綊12AB . 又因为DF 綊12AB ，所以ME 綊DF ， 所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD .因为PD ＝AD ，所以MD ⊥P A .因为AB ⊥平面P AD ，所以MD ⊥AB .因为P A ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面P AB ，所以EF ⊥平面P AB .10. 证明 (1)由题意，得△A ′DE 是△ADE 沿DE 翻折而成的，∴△A ′DE ≌△ADE . ∵∠ABC ＝120°，四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝60°.又∵AD ＝AE ＝2，∴△A ′DE 和△ADE 都是等边三角形．如图，连结A ′M ，MC ，∵M 是DE 的中点，∴A ′M ⊥DE ，A ′M ＝ 3.在△DMC 中，MC 2＝DC 2＋DM 2－2DC ·DM cos 60°＝42＋12－2×4×1×cos 60°，∴MC ＝13.在△A ′MC 中，A ′M 2＋MC 2＝(3)2＋(13)2＝42＝A ′C 2.∴△A ′MC 是直角三角形，∴A ′M ⊥MC .又∵A ′M ⊥DE ，MC ∩DE ＝M ，∴A ′M ⊥平面BCD .又∵A ′M ⊂平面A ′DE ，∴平面A ′DE ⊥平面BCD .(2)取DC 的中点N ，连结FN ，NB .∵A ′C ＝DC ＝4，F ，N 分别是A ′C ，DC 的中点，∴FN ∥A ′D .又∵N ，E 分别是平行四边形ABCD 的边DC ，AB 的中点，∴BN ∥DE .又∵A ′D ∩DE ＝D ，FN ∩NB ＝N ，∴平面A ′DE ∥平面FNB .∵FB ⊂平面FNB ，∴FB ∥平面A ′DE .。

高斯函数按实数定义，对任一实数x ，总有,,01x n n Z αα=+∈≤<.这样的n 通常记为[]x . 数论函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.（一）知识、技能、方法1、有关概念对任意实数x ，[]x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分。

与它相伴随的是小数部分函数{}y x =，{}[]x x x =-.2、重要性质由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：（1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[.（2）对任意实数x ，都有[]{}x x x =+，且0{}1x ≤<.（3）对任意实数x ，都有[][]1x x x ≤<+，1[]x x x -<≤.（4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I ；}{x y =是以1为周期的周期函数，如图Ⅱ.图Ⅰ 图Ⅱ（5）[][]x n n x +=+；{}{}x n x +=，其中*∈∈N n R x ,.（6）对任意x 、y ∈R ，有[x ]+[y ]≤[x +y ]≤[x ]+[y ]+1.（7）对任意,x y R +∈，有[][][]xy x y ≥⋅.（8）[][][]x x n n=，其中n ∈N +，x ∈R. （9）若1x >，m N ∈，则从1到x 的整数中，m 的倍数有[]x m 个. （10）在!n 的标准分解式中，素数p 的最高指数2(!)[][][]k nn n p n p p p=+++ ， 这里1k k p n p +≤<，k 是非负整数.3、常用方法⑴定义法； ⑵讨论法； ⑶分组法； ⑷去整法； ⑸构造法（二）例题分析例1、求适合20x --=的一切实数x .变题：解方程26[]20x x -+=.例2、证明：1[][2][][(1)]2x x nx n n x +++≤+ .例3、求证：方程[][2][4][8][16][32]12345x x x x x x +++++=无实数解.例4、求20022001200019994321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 的未尾的“0”的个数.例5、证明：若,x R n N ∈∈，则121[][][][][]n x x x x nx n n n-+++++++= .（厄米特恒等式）例6、若实数x 满足192091[][][]546100100100x x x ++++++= ，求[100]x 的值.例7、在]20021[2，]20022[2，]20023[2，…，]20022002[2中有多少个不同的整数？四、课后作业金版奥数教程高一分册P73-78。

高二数学竞赛班二试讲义整数的性质班级姓名一、知识点金一、整数的性质1．两个连续整数之间不再有其他整数，两个连续整数的完全平方数之间不存在完全平方数；2．若,,i a b x Z ∈，1,2,3,,i n =⋅⋅⋅，|i a b ，则1|n i ii a b x =∑。

3．n 个连续整数的乘积一定能被!n 整除。

4．设N 是自然数，在十进制中的1n +位数可表示为1210n n N a a a a a -=⋅⋅⋅，09(0,1,2,,),0i n a i n a ≤≤=⋅⋅⋅≠（1）若03|ni i a =∑，则3|N 。

（2）若104|a a ，则4|N 。

（3）若1107|(2)n n a a a a -⋅⋅⋅-，则07|(21)7|N a N -⇒。

（4）若2108|a a a ，则8|N 。

（5）若09|n i i a=∑，则9|N 。

（6）若02413511|[()()]a a a a a a +++⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅，则11|N 。

5．算术基本定理：任何一个正整数n ，都可以唯一分解成素因数乘积的形式，其中1212k k n p p p ααα=⋅⋅⋅。

12,,,k p p p ⋅⋅⋅均为素数，12,,,k ααα⋅⋅⋅为非负整数。

6．设12121212,k k k k m p p p n p p p αβααββ=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，12,,,k p p p ⋅⋅⋅均为素数，,i i αβ为非负整数。

,m n 的最大公约数1212(,),min(,)k k i i i m n p p p γγγγαβ=⋅⋅⋅=，1,2,,i k =⋅⋅⋅,m n 的最小公倍数1212[,],max(,)k k i i i m n p p p γγγγαβ=⋅⋅⋅=，1,2,,i k=⋅⋅⋅二、例题分析例1．设,x y 是正整数，,667x y x y <+=，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商为120，求x 和y 。

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

复 数一、知识、方法、技能1．复数的四种表示形式代数形式：(,)z a bi a b R =+∈ 几何形式：复平面上的点(,)Z a b 或由原点出发的向量OZ uuu r三角形式：(cos sin ),0,z r i r R θθθ=+≥∈指数形式：i z re θ=（令cos sin i e i θθθ=+）2．复数的运算法则加、减法：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±乘法：()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++111222121212(cos sin )(cos sin )[cos()sin()]r i r i r r i θθθθθθθθ+⋅+=+++ 除法：2222(0)a bi ac bd bc ad i c di c bi c d c d ++-=++≠+++111112122222(cos sin )[cos()sin()](cos sin )r i r i r i r θθθθθθθθ+=-+-+乘方：[(cos sin )](cos sin )()n nr i r n i n n N θθθθ+=+∈ 开方：复数(cos sin )r i θθ+的n 次方根是22sin )(0,1,,1)k k i k n n n θπθπ+++=-L 3．复数的模与共轭复数复数的模的性质：①|||Re()|z z ≥，||Im()|z z ≥；②1212||||||||n n z z z z z z ⋅=⋅L L ； ③11222||||(0)||z z z z z =≠； ④1212||||||||z z z z -≤+，与复数1z 、2z 对应的向量1OZ u u u u r 、2OZ u u u u r 反向时取等号；⑤||||||||2121n n z z z z z z +++≤+++ΛΛ，与复数n z z z ,,,21Λ对应的向量 12,,n OZ OZ OZ u u u u r u u u u r u u u u r L 同时取等号.共轭复数的性质：①22||||z z z z ⋅==r r ； ②2Re(),2Im()z z z z z z +=-=r r ； ③z z =； ④2121z z z z ±=±； ⑤1121z z z z ⋅=⋅； ⑥11222()(0)z z z z z =≠； ⑦z 是实数的充要条件是z z =，z 是纯虚数的充要条件是).0(≠-=z z z4．复数解题的常用方法与思想（1）两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主值相等（辐角相差2π的整数倍）. 利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径.（2）复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质，是模运算中的一个突出方面.二、例题分析例1、若225,arg(4),arg(4)63z C z z ππ∈-=+=，则z 的值是____________例2、设复数12,z z 满足11212||||3,||z z z z z =+=-= 则=+|)()(|log 2000212000212z z z z ___________例3、设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为,,,,2021z z z Λ则复数1995201995219951,,,z z z Λ所对应的不同的点的个数是__________例4、关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z 、2z 、m 均是复数，且i z z 20164221+=-.设这个方程的两个根为α、β，且满足72||=-βα，求|m |的最大值和最小值.例5、求和：S=cos200+2cos400+…+18cos(18×200).B ACD E例6、证明：sin 2n+1 sin 22n+1…sin n 2n+1= 2n+12n .例7、已知cos cos cos sin sin sin cos (y z)sin (y z)x y z x y z a x x ++++==++++，求下列三角函数值： （1）cos(y)cos(y z)cos(z )x x +++++； （2）sin(y)sin (y z)sin (z )x x +++++．例8、如图，△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形。

高二数学奥赛讲义一、整除1. 整数的简单性质（1）素数与合数；仅有1和它本身这两个正因数且大于1的整数叫素数（或质数），一个正整数除1和它本身以外，还有其他正因数的数叫做合数，1既不是素数也不是合数.{正整数}={1}⋃{素数}⋃{合数}.（2）互素；如果两个整数p 与q 没有共同的素因数，则称p 与q 互素，记为（p ，q ）=1. （3）设a 为大于1的整数，则a 的大于1的最小因数一定是素数.（4）设a 为大于1p ，有p ？q （表示a 不被p 整除），则a 是素数.2.整数的奇偶性（1）能被2整除的数称偶数，可表示为2()n n Z ∈的形式；不能被2整除的数称为奇数，可表示为21()n n Z -∈的形式.（2）奇数与偶数的性质：①奇数≠偶数；②奇数个奇数之和为奇数，偶数个奇数之和这偶数，奇数加偶数为奇数，偶数加偶数为偶数；③两数和与两数差的奇偶性相同；④积为奇数的充要条件是各个因数均为奇数；⑤偶数与任何整数的乘积都为偶数；⑥n 个偶数的积为2n 的倍数. 3. 带余除法若,a b 是两个整数，0b ≠，则一定有且只有两个整数q ，r ，使得(0)a bq r r b =+≤<成立. 0r =时，称b 整除a ，记作|b a .（1）若两个整数m 与n 被b 除的余数相同，则();|()m n b m n b --反之,若，则m 与n 被b 除的余数相同；（2）n 个连续整数中有且仅有一个是n 的倍数；（3）设b 是整数，则任意()p p b >个整数中，至少有两个数被b 除的余数相同.4. 整除的性质设d 为,a b 的最大公因数，记为(,);,a b d m a b =是的最小公倍数，记为[,]a b m =，整除有以下性质； （1）若|,|,|a b b c a c 则； （2）若|,0,|a b c ac bc ≠则； （3）若|,|,,,|;c a c b m n c ma nb +则对任何有 （4）若(),1,|,|a b a bc ab c =则（5）若(,)1,|,|,|a b a c b c ab c =则 （6）若(,)1,(,)(,)a b ac b c b ==则（7）若(,),(,)()a b d a b ta d t =+=则为整数； （8）若0,c >则(,)(,)a b c ac bc ⋅=；（9）若0,c >且c 是,a b 的公因数，则(,),;a b a b c c c⎛⎫=⎪⎝⎭（10）[,a b ](,)a b a b ⋅=⋅；（11）*||()n n b a b n N a ⇔∈；（12）若p 为素数，1 1.(,)1,|n a p p a -==则例1.证明：对于任何自然数n k 和,数3410(.)2k k n f n k n ++=都不能分解成若干个连续的正整数之积. 例2. 设127,,a a a L 是1，2，L ，7的一个排列，求证：127(1)(2)(7)p a a a =---L 必是偶数.例3. 若三个大于3的素数,,a b c 满足关系式25,9|.a b c a b c +=++求证:例4. 试求出所有的正整数,,a b c ，其中1,(1)(1)(1)1a b c a b c abc <<<----使得是的因数.例5. 设a 是正整数，3100,23a a <+并且能被24整除，求所有这样的a 的个数.二、同余 定义设m 是一个给定的正整数，如果两个整数,a b m 用除所得的余数相同，则称,a b 对模m 同余，记为(mod )a b m = 同余的基本性质（1）反身性：(mod )a a m =.（2）对称性：若(mod )a b m =，则(mod )b a m =.（3）传递性：若(mod ),(mod ),(mod )a b m b c m a c m ===则. （4）若(mod ),(mod ),(mod )a b m c d m a c b d m ==±=±则 （5）若(mod ),(mod ),(mod )a b m c d m ac bd m ===则 （6）若*(mod )(mod )()nna b m a b m n N ==∈则.（7）若(mod ),0,(mod),(,)1,(mod ).(,)mac bc m c a b c m a b m c m =≠===则当时有 （8）若*(mod ),|,,(mod )a b m n m n N a b n =∈=则（9）若*12(mod ),1,2,,,(mod[,,])()i n a b m i n a b m m m n N ===∈L L（10）完全平方数模4同余于0或1；模8同余于0，1或4；模3同余于0或1；模5同余于0，1或-1，完全立方数模9同余于0，1或-1，整数的四次方模16同余于0，1. 例1. 求2004818(736)+的个位数字是？例2.若*n N ∈，且2131n n ++与都是完全平方数，那么n 必为40的倍数.例 3. 设12100{1,2,3,,200},{,,,},E G a a a E G ⊂≠==L L 且具有下列两条性质；（1）对任何1100,i j ≤<≤恒有201;i j a a +≠ （2）100110080i ai ==∑.证明：G 中的奇数的个数是4的倍数，且G 中所有数字的平方和为一个定值.例4. 写出所有的由3个素数组成公差为8的等差数列.三、抽屉原理 抽屉原理又称为鸽笼原理或狄利克雷原理，它是数学中证明存在性的一种特殊方法. 定理1 把1mn +个元素分成n 个集合，其中必有一个集合至少含有1m +个元素. 定理1还有无限形式，但不管是有限还是无限形式，我们考虑的总是元素多的集合，其实元素少的集合有时也很有用，所以抽屉原理还有另一种形式； 定理2 把1mn -个元素分成n 个集合，其中必有一个集合至多含有1m -个元素. 我们将从数论、集合、几何、三角不等式证明等来说明抽屉原理的应用.利用抽屉原理解题，关键是构造合适的抽屉.例1. 设θ为无理数.证明：对任意的正整数n ，存在整数,(||)p q q n ≤，满足1.q p nθ-<例2. 求所有的正整数n ，使得集合{1,2,,50}M =L 的任意35元子集至少存在两个不同的元素a.b 满足.a b n a b n +=-=或例3. 设有六个点，每两点之间用红色或蓝色线段相连，且任意三点不共线，求证：总可以找到三个点，以这三点构成的三角形的三边涂有相同的颜色.例4. 在ABC ∆中，求证：3cos cos cos .2A B C ++≤变式：在ABC ∆中，求证：2229sin sin sin .4A B C ++≤四、客斥原理 客斥原理，又称为包容排斥原理或逐步淘汰原理.顾名思义，即先计算一个较大集合的元素的个数，再把多计算的那一部分去掉.它由英国数学家J.J.西尔维斯特首先创立.当12,,,n A A A L 是有限集合A 的一个分划，即12,,n i j A A A A A A ==∅⋃⋃⋃⋂L这时我们有12.n A A A A =+++L这实际上是组合计数中的加法原理.但当i j A A =∅⋂时，又该如何计数A 呢？这就有下面的所谓的容斥原理.容斥原理设12,,,n A A A L 为集合A 的有限子集，其元素个数分别为1A ，2A ，L ，n A ，则12111n i i j i j k i j ni j ni j k nA A A A A A A A A ≤≤≤≤≤≤≤<<≤=-+⋃⋃⋃⋂⋂⋂∑∑∑L 1(1)n --+-L12.n A A A ⋂⋂⋂L由集合知识，有1212,n n A A A A A A =⋂⋂⋂⋃⋃⋃L L 从而容斥原理还有另一种表现形式1212111(1)n n i i j i j k ni ni j ni j k nA A A A A A A A A A A A A ≤≤≤<≤≤<<≤=-+-++-⋂⋂⋂⋂⋂⋂⋂⋂⋂∑∑∑L L L 容斥原理可用数学归纳法证明.对于n=2的情形，可以用组合恒等式证明中的“贡献法”来证明。

高二数学期末复习讲义二（椭圆）1、已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为2、如图，在平面直角坐标系x y O 中，1F ，2F 分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线2F B 与椭圆的另一个交点为D ，若13tan F 4∠BO =，则直线CD 的斜率为 ． 3、椭圆2211612x y +=的左焦点为1F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点M 在y 轴的正半轴上，那么以线段1PF 为直径的圆的标准方程为4、已知直线2:+=kx y l 过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的上顶点B 和左焦点F ，且被圆422=+y x 截得的弦长为L ，若554≥L ，则椭圆离心率e 的取值范围是5、设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b b y x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为__________6、已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A=，则21cos AF F ∠=7、已知椭圆：()222210y x a b a b +=>>，离心率为2，焦点()()120,,0,F c F c -过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，且2F MN∆的周长为4.（1）求椭圆方程；（2）与y 轴不重合的直线l 与y 轴交于点()()0,0P m m ≠，与椭圆C 交于相异两点,A B 且AP PB λ=u u u r u u u r ,若4OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r，求m 的取值范围.8、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为18，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，过2F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若1F AB∆的周长为8.（1）求椭圆方程；（2）若直线l 的斜率不为0，且它的中垂线与y 轴交于Q ，求Q 的纵坐标的范围； （3）是否在x 轴上存在点(,0)M m ，使得x 轴平分AMB ∠?若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.9、已知()2,0A -，()2,0B 是椭圆C 的左、右顶点，F 是其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且∆APB面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）直线AP 与过点B 关于x 轴的垂直交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以D B 为直径的圆与直线F P 的位置关系，并加以证明．10、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，连结椭圆C 的四个顶点所形成的四边形面积为43．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过椭圆C 的下顶点A 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C 于点M ，N ，设直线AM 的斜率为k ．直线21:k l y x k -=分别与直线AM ，AN 交于点P ，Q ．记AMN △，APQ △的面积分别为1S ，2S ，是否存在直线l ，使得126465S S =？若存在，求出所有直线的方程；若不存在，说明理由．课后作业：1．已知F 是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，PF ⊥xMx AOy P Q(第19N轴．若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是．2、若椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，点P是两条曲线的一个交点，则PF1PF2的值是．3、我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，己知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°，则这一对相关曲线中椭圆的离心率是．4、已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为A，右焦点为F，椭圆C上存在点P 使线段OP被直线AF平分，则椭圆C的离心率的取值范围是______．5、椭圆C：+=1的左右焦点为F1，F2，M为椭圆C上的动点，则+的最小值为．6、已知A为椭圆的上顶点，B，C为该椭圆上的另外两点，且△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形．若满足条件的△ABC只有一解，则椭圆的离心率的取值范围是．7、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（m＞0）的离心率为．（1）求m的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，其满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值？若不存在，说明理由．9、如图，过坐标原点O的直线椭圆Г：+=1（a＞b＞0）于P，A两点，其中P在第一象限，B在椭圆Г上，直线AB与x轴交于点C．（1）若椭圆Г的焦距为2，点P坐标为（，1），求椭圆Г的标准方程；（2）求证：k BP•k BA=﹣；（3）若BP⊥AP，PC⊥x轴，求椭圆Г的离心率．10、已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），离心率为，过F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；（3）若弦AB，CD的斜率均存在，求△FMN面积的最大值．1.2.3.4.]55 2,0(5.6.7. 2）8.1）2）3）9.10.课后作业1.2. 163.4.5.6.7.【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（m＞0）的离心率为，∴a2=m+8，b2=m，c2=a2﹣b2=8，∵离心率为，∴=，解得m=4．（2）由（1）知椭圆C的方程为=1，∴A（0，2），假设存在椭圆C的一条弦AB满足条件，当直线AB的斜率不存在时，直线AB的直线为x=0，符合题意，此时，P（0，0），r=1．当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+2，P（x0，y0），由，消去y，整理，得：（1+3k2）x2+12kx=0，解得x=0，或x=﹣，∴，，由×k=﹣1，得3k2+4k+1=0，解得k=﹣1或k=﹣．∴直线AB：y=﹣x+2，r=，或直线AB：y=﹣，r=．综上，存在这样的弦AB，直线AB：x=0，r=1，或直线AB：y=﹣x+2，r=，或直线AB：y=﹣，r=．8.【解答】解：（1）由题意可知，c=1，又|PF1|+|PF2|=2a=2|F1F2|=4c，∴2a=4，a=2，则b2=a2﹣c2=3．∴椭圆C的标准方程为；（2）当AD所在直线与x轴垂直时，则AD所在直线方程为x=1，代入，得y=，∴平行四边形ABCD的面积S=2×3=6；当AD所在直线斜率存在时，设直线方程为y=kx﹣k，联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．设A（x1，y1），D（x2，y2），则，∴|AD|===．两条平行线间的距离d=．∴平行四边形ABCD的面积S===＜6．综上，平行四边形ABCD面积的最大值为6．9.解：（1）由题意可得2c=2，即为c=，即a2﹣b2=2，将P（，1）代入椭圆方程可得，+=1，解得a=2，b=，则椭圆Г的标准方程为+=1；（2）证明：设A（x1，y1），P（﹣x1，﹣y1），B（x2，y2），即有+=1，+=1，两式相减可得，+=0，则k BP•k BA=•==﹣；（3）由BP⊥AP，可得k BP•k AP=﹣1，由k BP•k BA=﹣，可得k AP=k BA，（*）设P（x0，y0），则A（﹣x0，﹣y0），C（x0，0），则k AP=，k BA=k CA=，代入（*），可得=•，即有a2=2b2，由a2﹣b2=c2，可得a2=2c2，e==．10. 解：（1）由题意：c=1，=，∴a=，b=c=1，则椭圆的方程为+y2=1；（2）∵AB，CD斜率均存在，∴设直线AB方程为：y=k（x﹣1），再设A（x1，y1），B（x2，y2），则有M（，k（﹣1）），联立得：，消去y得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，∴，即M（，），将上式中的k换成﹣，同理可得：N（，），若=，解得：k=±1，直线MN斜率不存在，此时直线MN过点（，0）；下证动直线MN过定点P（，0），若直线MN斜率存在，则k MN===×，直线MN为y﹣=×（x﹣），令y=0，得x=+×=×=，综上，直线MN过定点（，0）；（3）由第（2）问可知直线MN过定点P（，0），故S△FMN=S△FPM+S△FPN=×||+×|=×，令t=|k|+∈[2，+∞），S△FMN=f（t）=×=×，∴f（t）在t∈[2，+∞）单调递减，当t=2时，f（t）取得最大值，即S△FMN最大值，此时k=±1．。

直线与平面一、知识要点1、直线与平面的位置关系及转化2、直线、平面之间的平行与垂直的证明方法①运用定义证明（有时要用反证法）； ②运用平行关系证明；③运用垂直关系证明； ④建立空间直角坐标系，运用空间向量证明.二、例题分析【题组1】1．已知一直线和直线外不共线的三点，且其中只有两个点所连直线与已知直线在同一平面内，那么这条直线和直线外三点可确定平面的个数是___________2．设D 是ABC ∆所在平面外一点，点E F G H 、、、分别在线段AB BC CD DA 、、、上，且直线EF 与HG 相交于点P ，则下列说法正确的是____________①点P 一定在直线AC 上； ②点P 一定在直线BD 上；③点P 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上；④点P 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上.3．在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数是____4．下列两个关于异面直线的命题，真命题的个数是_________①若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么c 至多与a b 、中的一条相交；②不存在这样的无穷条直线，它们中的任意两条都是异面直线.5．已知空间不共面的四个点，则与这四个点距离相等的平面的个数为____________6．已知a b c 、、是两两垂直的异面直线，d 是b c 、的公垂线，那么d 与a 的位置关系是_____7．若直线l 与平面α相交于O 点，点A B l ∈、，点C D α∈、，且AC ∥BD ，则O C D 、、三点的位置关系是_______8．从正方体的12条棱和各面的12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为________9．过空间一点P 作不在同一个平面内的三条射线PA PB PC 、、，证明：APB BPC ∠∠、的平分线与CPA ∠的邻补角的平分线在同一平面内.10．设a b 、是异面直线，点P a ∉，P b ∉，问：过P 点是否可作直线l 与a b 、都相交？如果可作，能作多少条？如果不可作，请说明理由.【题组2】、是两条相交直线，其中a∥平面α，则b与平面α的位置关系是______ 1.已知a b【题组3】10。

江苏省丹阳高级中学高二数学竞赛培训讲义：排列组合Word版缺答案预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制排列与组合一、知识回顾1、排列与组合问题是一类特殊的计数问题，它的解决需要用到以下几个基本工具：①对应原理；②分类计数原理；③分步计数原理；④容斥原理2、排列与组合问题的求解策略：（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除．（2）分类与分步：有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理．（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数．（4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列．（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为311C ，这也就是方程12=+++d c b a 的正整数解的个数．3、圆排列（1）从集合},,,,{321n a a a a A Λ=的n 个不同元素中取出r 个元素按照某种顺序（如逆时针）排成一个圆圈，叫做一个圆排列（或叫环状排列）．（2）圆排列有三个特点：（i ）无头无尾；（ii ）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii ）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同时，才是不同的圆排列．（3）定理：从集合},,,,{321n a a a a A Λ=的n 个元素中取出r 个不同的元素进行圆排列的圆排列数为!()!r n A n r r n r =-． 4、不尽相异元素的全排列如果n 个元素中，有1p 个元素相同，又有2p 个元素相同，…，又有s p 个元素相同（12s p p p n +++=L ），这n 个元素全部取出的排列叫做不尽相异的n 个元素的全排列，它的排列数是!21s p p p n ???Λ. 5、可重排列与组合（1）定义：元素可以多次重复出现的集合称为重集，元素出现的次数叫做该元素的重数.一般地，重集S 可以表示为1122{,,,}k k S n a n a n a =L ，其中12,,,k a a a L 为S 中k 个不同类型的元素，(1,2,,)i n i k =L 为i a 的重数，i n 是正整数，也可以是∞.若i a 的重数是∞，表示S 中有无限多个i a .重集S 的一个m 排列仍是S 中的m 个元素的一个有序摆放；重集S 的一个m 组合仍是S 中的m 个元素的一个无序选择.（2）重集12{,,,}n S a a a =∞?∞?∞?L 的m 排列的个数为m n .（3）设重集1122{,,,}k k S n a n a n a =L ，且S 的元素个数为12k n n n n =+++L 则S 的全排列数为12k n n n n L .（4）重集12{,,,}n S a a a =∞?∞?∞?L 的m 组合的个数为1m n m C +-.（5）设重集12{,,,}n S a a a =∞?∞?∞?L ，要求12,,,n a a a L 至少出现一次的m 组合的个数为11n r C --.（6）方程12k x x x m +++=(1,,)i i x x Z m Z +≥∈∈的解有11k m C --组；方程12k x x x m +++=(0,,)i i x x Z m Z +≥∈∈的解有11k m k C -+-组.二、例题分析例1、有2n 个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？例2、在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少个？例3、数1447，1005和1231有某些共同点，即每个数都是首位为1的四位数，且每个四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？例4、在xOy 平面上，顶点的坐标(,)x y 满足14,14x y ≤≤≤≤，且,x y 是整数的三角形有多少个？例5、（1）有8人围圆桌就餐，问有多少种就座方式？如果有两人不愿坐在一起，又有多少种就座方式？（2）4男4女围圆桌交替就座有多少种方式？例6、将r 个相同的小球，放入n 个不同的盒子（n r ≥）．（1）有多少种不同的放法？（2）如果不允许空盒应有多少种不同的放法？例7、如果从1，2，…，14中，按从小到大的顺序取出123,,a a a ，使同时满足：213a a -≥，323a a -≥，那么所有符合要求的不同取法有多少种？例8、由数字1，2，3组成n 位数(n ≥3)，且在n 位数中，1，2，3每一个至少出现1次，问：这样的n 位数有多少个？例9、用1，2，3三个数字来构造n 位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n 位数中，问：能构造出多少个这样的n 位数？例10、设一个圆分成S 1，S 2，…，S n 共n 个扇形，用m 种不同的颜色对这n 个扇形着色（m ≥3，n ≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，那么，共有多少种不同的着色方法？三、课后练习1、设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共_______种．2、从1到100的正整数中每次取出不同的2个数，使它们的和大于100，则不同的取法有多少种？3、平面上给定5点，这些点两两间的连线互不平行，又不垂直，也不重合，现从任一点向其余四点两两之间的连线作垂线，则所有这些垂线间的交点数最多是________4、如果：（1）a,b,c,d都属于{1,2,3,4}；（2）a≠b,b≠c,c≠d,d≠a；(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是__________5、（1）10人围圆桌而做，如果甲、乙二人中间相隔4人，有_______种坐法．（2）圆桌的9个位置上放着9样不同的点心和饮料，6为先生和3为女士共进早餐，3位女士两两不相邻的坐法有多少种？6、由1，2，3，4，5，6这六个数字能组成多少个五位数？又可组成多少个大于34500的五位数？（数字允许重复）7、由4面红旗、3面蓝旗、2面黄旗、5面绿旗可以组成多少种由14面旗子组成的一排彩旗？8、用字母A、B和C组成五个字母的符合，要求在每个符号里，A至多出现2此，B至多出现1次，C至多出现3次，求此类符号的个数.。

平面向量的基本运算及应用一、知识回顾1．向量的运算： 加法：;AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r设1122(,),(,)a x y b x y ==r r则1212(,)a b x x y y +=++r r减法：;AB AC CB -=u u u r u u u r u u u r 设1122(,),(,)a x y b x y ==r r 则1212(,)a b x x y y -=--r r实数与向量的积： 向量a λr与a r的关系； 设(,),a x y =r 则(,)()a x y R λλλλ=∈r||,||||||a a a λλ==⋅rr r 22||a a a a =⋅=r r r r向量的数量积： ||||cos (a b a b θθ⋅=⋅⋅r r r r 是a r 与b r的夹角）； 设1122(,),(,)a x y b x y ==r r则1212a b x x y y ⋅=+r r2．向量的关系： ①不等关系： ||||||||||||a b a b a b -≤±≤+u u r r r r r r ||||||a b a b ⋅≤⋅r r r r（注意等号的条件）对于n 维向量12(,,,)n a x x x =r L ，12(,,,)n b y y y =r L 同样有||||||a b a b ⋅≤⋅r r r r，化简即为柯西不等式:,22212(,,,)n x x x L 22212(,,,)n y y y L 21122()n n x y x y x y ≥+++L .对于任意n 个向量12,,n a a a u u r u u r u u r L ，有1212n n a a a a a a +++≤+++u u r u u r u u u r u u r u u r u u rL L②设1122(,),(,),0a x y b x y b ==≠r r r r 则a b ⇔r rP ,a b λ=r r 12210a b x y x y ⇔-=r rP12120;0a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⊥⇔+=r r r r r r3．平面向量的基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的不共线向量，那么对于这个平面内的任一向量a r，有且只有一对实数,λμ，使12a e e λμ=+r u r u u r。