二维贴体坐标系下的非均质河床组成空间插值

非理想爆轰波阵面传播的Level Set方法在爆轰驱动计算中的应用研究姜洋*，钟敏，孙承纬，李平，柏劲松(中国工程物理研究院流体物理研究所，四川绵阳 621900)摘要：基于爆轰冲击波动力学(DSD)理论，研究了计算二维贴体坐标系中非理想爆轰波阵面传播问题的Level Set方法。

根据Hamilton-Jacobi方程的Godunov差分格式，提出了非正交的贴体坐标系中Level Set函数方程的差分格式及其相应的数值方法。

将Level Set方法应用于自行研制的二维流体动力学程序TDY2D得到编码TDY_DSD，对爆轰波的传播及爆轰驱动的实验模型进行了数值模拟计算，所得的计算值均与实验值符合较好，具有较高精度。

关键词：爆炸力学；爆轰驱动；DSD理论；Level-Set方法；贴体坐标系；数值模拟中图分类号：O241;O382;O383文献标识码：AApplication of the Level Set method for propagation of non-ideal detonation to the numerical simulation for acceleration of metals by detonation waveAbstract：Based on the DSD (Detonation Shock Dynamics) theory, the Level Set method in body-fitted coordinate for propagation of non-ideal detonation is studied in this paper. According to the Hamilton-Jacobi formulation of the Godunov’s scheme, the finite difference method and algorithm for the propagation equation of non-ideal detonation in non-orthogonal body-fitted coordinate are studied. Then the Level Set method is incorporated into the 2D hydrodynamic code TDY2D to form a combination code TDY_DSD and it is used to compute some models about the propagation of detonation wave and the motion of flyers driven by explosive. The computation results are in good agreement with the experimental data and the precision in calculation is high.Key words: Mechanics of explosion; Acceleration by detonation products; DSD theory; Level set method; Body-fitted coordinate; Numerical simulation*作者简介：姜洋（1976－），女，助理研究员，博士生 从事计算流体力学、计算爆炸力学的理论和数值计算方法方面研究通信地址：四川绵阳919信箱105分箱 邮编621900电话：***********Email：**********************0引言对复杂几何形状炸药中爆轰波阵面传播过程的描述是炸药驱动装置设计中的一个重要课题，在军事及工程研究中具有重要的实际应用价值。

复杂地层结构三维地质建模空间插值方法研究作者：郑杨简季来源：《城市地质》2024年第01期摘要：三维地质体对于自然资源勘探、环境保护、自然灾害风险评估等领域都具有重要意义。

在建模过程中，地质体的模型精度与插值算法有着直接关系。

为研究不同插值算法的适用情况，文章对云南陆良某污染场地进行浅层三维地质建模，分别选取反距离权重法和自然邻域法，利用钻孔数据插值建模，并对模型结果进行目视检验和误差对比分析。

研究结果表明：反距离权重法适用范围广，建模精度较高；相较于自然邻域法，反距离权重法更适用于地层结构复杂的三维地质建模，该方法对断层细节的描述更细致，模型更符合实际情况；而自然邻域法在断层明显的区域插值效果较差，不适用于地层结构复杂的情况。

关键词：三维地质模型；钻孔数据；反距离权重法；自然邻域法；精度验证Spatial interpolation methods for 3D geological modeling of complex strata structuresZHENG Yang， JIAN Ji（School of Earth Sciences， Chengdu University of Technology， Chengdu 610059，Sichuan， China）Abstract： Three-dimensional （3D） geological bodies are of great significance in natural resources exploration， environmental protection， natural disaster risk assessment， and other fields. In the modeling process， the accuracy of geological body models is directly related to interpolation algorithms. To study the applicability of different interpolation algorithms， this paper conducted shallow 3D geological modeling in a heavy metal pollution area in Luliang， Yunnan. The inverse distance weighting method and natural neighborhood method were selected to interpolate the drilling data in the study area. Visual inspection and error comparison were carried out of the model results. The results show that the inverse distance weighting method has a wider applicability range and higher modeling accuracy. Compared to the natural neighborhood method， the inverse distance weighting method is more suitable for complex geological modeling with distinct stratigraphic structures， providing a more detailed description of fault details and a model that better reflects reality. On the other hand， the natural neighborhood method has poor interpolation performance in areas with distinct faults and is not suitable for complex stratigraphic structures.Keywords： 3D geological model; drill data; inverse distance weighting method; natural neighborhood method; accuracy verification三维地质模型的建立极大程度上依赖于钻孔数据，地层单元的原始状态信息能够通过钻孔数据详细、准确且直观地展现出来，其在三维地质建模过程中是不可替代的，钻孔数量越多，钻孔数据越准确，构建的三维地质模型越符合实际情况（林冰仙等，2013；习龙等，2022；张园园等，2021）。

２０２３年１０月水 利 学 报ＳＨＵＩＬＩ ＸＵＥＢＡＯ第５４卷　第１０期文章编号：０５５９－９３５０（２０２３）１０－１２３６－１２收稿日期：２０２３－０４－０８；网络首发日期：２０２３－１０－１９网络首发地址：ｈｔｔｐｓ：??ｋｎｓ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ?ｋｃｍｓ?ｄｅｔａｉｌ?１１．１８８２．ＴＶ．２０２３１０１８．１０５１．００１．ｈｔｍｌ基金项目：国家自然科学基金重点项目（Ｕ２１Ａ２００４）作者简介：刘墉达（１９９８－），硕士生，主要从事地下水数值模拟研究。

Ｅ－ｍａｉｌ：ｌｉｕｙｏｎｇｄａ＠ｔｊｕ．ｅｄｕ．ｃｎ通信作者：陈喜（１９６４－），博士，教授，主要从事地下水数值模拟研究。

Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｉ＿ｃｈｅｎ＠ｔｊｕ．ｅｄｕ．ｃｎ基于ＭＣＭＣ和ＥＳ－ＭＤＡ方法的地下水数值模型非均质参数场及开采量的反演研究刘墉达，陈　喜，高　满，孟详博，刘维翰，黄日超（天津大学地球系统科学学院表层地球系统科学研究院，天津３０００７２）摘要：马尔科夫链蒙特卡罗方法（ＭＣＭＣ）和多重数据同化集合平滑器方法（ＥＳ－ＭＤＡ）近年来在地下水参数反演得到广泛应用，但对三维多层非均质含水层参数反演精度和计算效率还缺乏对比分析。

本文构建了含有基于Ｋａｒｈｕｎｅｎ－Ｌｏèｖｅ展开的非均质参数场的潜水和多层承压水含水层案例，并建立了地下水数值模型和基于Ｋｒｉｇｉｎｇ方法的替代模型，模拟含水层分层水头变化，探讨了基于替代模型的ＭＣＭＣ、替代模型和数值模型相结合的两阶段ＭＣＭＣ以及ＥＳ－ＭＤＡ方法反演的含水层渗透系数以及开采量。

结果表明，针对本文算例，在非均质参数和开采量的反演中，相比而言，两阶段ＭＣＭＣ反演参数精度更高，ＥＳ－ＭＤＡ方法计算效率更高。

本研究为地下水数值模型参数反演方法选择提供参考依据。

关键词：ＭＣＭＣ算法；ＥＳ－ＭＤＡ算法；替代模型；地下水参数；地下水数值模拟 中图分类号：ＴＶ１２３文献标识码：Ａｄｏｉ：１０．１３２４３?ｊ．ｃｎｋｉ．ｓｌｘｂ．２０２３０１９７１　研究背景对于复杂的多层含水层，根据有限的地下水水位等观测数据，反演水文地质参数、开采量等通常存在不唯一性、不确定性问题，且在调用地下水数值模型进行参数反演时，随着调用次数和参数维度增加，反演计算成本变高。

前言浙江大学数学系计算机辅助几何设计与图形学科研组（CAGD&CG Group）开展计算机图形学和几何设计的研究已有二十余年历史．近十年来，科研组在国家自然科学基金资助和兄弟单位帮助下，针对计算机辅助曲线曲面造型的国际前沿课题和我国工业界提出的专业技术难点开展攻关研究，取得了一批理论成果．这些成果先后总结成论文，发表在Computer Aided Geometric Design, CVGIP: Graphical Models and Image Processing, Computer Aided Design, Computing, Computer Graphics, Computers and Graphics, Computers in Industry, Journal of Approximation Theory, Chinese Science Bulletin, Progress in Natural Science, Journal of Computer Science and Technology, Journal of Computational Mathematics, Computer AidedDrafting, Design and Manufacturing等国际期刊和《中国科学》、《计算机学报》、《软件学报》、《数学年刊》、《应用数学学报》、《计算数学》、《高校应用数学学报》、《计算机辅助设计与图形学学报》等国内核心刊物上，累计逾百篇．其中有30篇被SCI(Science Citation Index)摘录，有34篇被EI(Engineering Index)摘录，有2篇在SIGGRAPH计算机图形与交互技术国际会议上宣读，又被作为第一作者的国际学者100多人次在70多篇文章中引用150多次，在CAGD&CG这一高技术领域为我国争得了一席之地．为了与广大读者共享我们的科研成果，为祖国的四化尽绵薄之力；为了与同行们进行学术交流，起到抛砖引玉的作用，我们在国家自然科学基金研究成果专著出版基金的资助下，把这些论文进行系统的归纳整理，写成本书印刷出版．2前言计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design)主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面信息的表示、逼近、分析和综合．它肇源于飞机、船舶的外形放样(Lofting)工艺，由Coons(1912 - 1979)、Bézier(1910 - 1999)等大师于20世纪60年代奠定理论基础．典型的曲面表示，20世纪60年代是Coons技术和Bézier技术，20世纪70年代是B样条技术，20世纪80年代是有理B样条技术．现在，曲面表示和造型已经形成了以非均匀有理B样条（NURBS：Non-Uniform Rational B-Spline）参数化特征设计(Parameterized and Characteristic Design)和隐式代数曲面表示（Implicit Algebraic Surface Representation）这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、拟合(Fitting)、逼近(Approximation)这三种手段为骨架的几何理论体系．随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的日益增强，随着几何设计对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这种趋势的日益明显，随着图形工业和制造工业迈向一体化、信息化和网络化步伐的日益加快，随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的日益完善，计算机辅助几何设计在近几年来得到了长足的发展．这主要表现在研究领域的急剧扩展和表示方法的开拓创新．从研究领域来看，计算机辅助几何设计技术已从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面位差；从表示方法来看，以网格细分(Subdivision)为特征的离散造型与传统的连续造型相比，大有后来居上的创新之势．而且，这种曲面造型方法在生动逼真的特征动画和雕塑曲面的设计加工中如鱼得水，前言 3 得到了高度的运用．在这本书中，大部分章节反映了当前的国际研究热点，如有理参数曲面的多项式逼近，降阶逼近和隐式逼近，网格曲面的细分逼近，曲面互化和变形，曲面重建和简化，曲面拼接和求交，曲面位差计算和曲面区间分析等．因此本书的第一个特点是题材新颖、接触前沿．在这本书中，展示的最新理论成果涵盖了曲线曲面的计算机表示、插值、拟合、逼近、拼接、离散、转换、求交、求导、求积、变形、区间分析和等距变换等方面，这些都是计算机辅助几何设计的重要研究领域．因此本书的第二个特点是内容丰富、涉猎广泛．在这本书中，重点介绍了浙江大学数学系CAGD&CG Group近十年来独立创造的计算机辅助几何设计的许多新技术和新方法，例如Bézier/B-Spline/NURBS曲线的包络生成技术，离散B样条计算技术，有理圆锥曲线段Bernstein基表示技术，广义Ball曲线曲面表示和求值技术，复杂B样条曲线曲面节点插值技术，有理曲面任意阶几何连续拼接技术，参数曲线曲面求交中离散层数的先验性技术和离散最佳终判技术，有理Bézier曲线曲面的求导求积技术，曲线曲面等距性中的复分析、重新参数化和代数几何技术，曲面变形中的活动球面坐标技术等等．因此本书的第三个特点是自成体系、浙大特色．在这本书中，各章内容充分体现了计算机辅助几何设计这一新兴边缘学科与应用逼近论、微分几何、代数几何、线性代数、数值分析、拓扑学、微分方程、分形小波等近代数学各个分支以及计算机图形学、几何造型、数据结构、程序语言、机械加工、外形检测、4前言三维医学图象学、人体解剖学等学科的交叉和渗透；同时，部分内容是我们在完成国内前西安飞机公司、成都飞机公司、上海船舶运输科学研究所、杭州妇幼保健医院、前浙江医科大学解剖学教研室等单位的实际课题中所总结写成的；即使是理论推导的内容，我们在写作中也尽量描述其来龙去脉和应用背景，希望对我国的工业产品造型、机械设计制造、动画制作、计算机图形软件编制会有一定的帮助；全书总结的曲线曲面的所有算法都被编制了程序，在SGI图形工作站和微机上反复调试，得到实现．因此，本书的第四个特点是学科交叉、面向应用．最后，这本书的写作采取了由叙述基本概念出发，从几何直观的角度步步深入展开的做法；推导严谨，重点突出，对原发表论文中的定理和算法以再创作的态度作了改写和简缩，以全书统一的符号加以描述，并尽量阐明其创新思路、几何意义及应用步骤．全书集中介绍我们的理论成果，为保持内容的系统性和完整性，对国际国内的重要相关理论也作扼要介绍．至于基本概念的叙述，又尽可能不落俗套，尽量采用我们自己的新观点和新思想．例如，Bézier曲线的引入，采用了空间割角多边形序列一致收敛的极限形式并给予严格证明；B样条基函数，采用了新推导的一般递推公式；NURBS曲线的引入，采用了递归的包络定义；细分曲面的引入，采用了我们提倡的切割磨光法；区间曲面的引入，采用了我们给出的中心表达形式等等．这样做的好处一是再次体现专著特色，二是使读者不必多找其他参考书籍，只要具备数学分析(微积分)、线性代数和应用微分几何知识就能读懂全书，登堂入室．因此，本书的第五个特点是论述简明、深入浅出．前言 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正因为本书是按照由浅入深、循序渐进、严格定义、严密推理、算法详细、注重应用的原则写成的，所以它虽然是一本专著，但却可兼而用作大学的研究生教材，其中第1、2、3、7章的全部以及第5、6、9、10章的前几节也可用作大学高年级学生的选修课教材，更适合于有志从事计算机图形和计算机辅助设计研究者作为自学入门的向导．本书可供高等院校计算机科学与工程系、应用数学系、机械工程系、航空航天、舰船、汽车、模具、机器人制造、建筑、测绘、勘探、气象、公路设计、服装鞋帽设计、工业造型、工艺美术、电子通讯、生物、医学图象处理等专业的广大师生和研究生阅读；对从事曲面造型理论研究与工程应用和从事科学计算可视化的广大科技人员，对从事计算机图形、影视动画软件开发和从事产品外形设计、制造与工艺(CAD/CAM/CAPP)方面有关软件开发的计算机工作者也有较大参考价值．本书作者从1984年起为浙江大学应用数学系(1999年起更名为数学系)、计算机系、机械系以及后来建立的浙江大学CAD&CG国家重点实验室的研究生开设学位课程《计算几何》．十多年来，遵照教材现代化、教材与国际接轨的要求，把CAGD领域的国际研究进展和本课题组的最新研究成果一点一滴地及时充实到课程讲义之中，不断更新教学内容，以科研带教学，以教学促科研，受到了听讲学生的普遍欢迎．正是这多年的教学经验积累和科学研究收获，为本书的写作奠定了坚实的基础．本书共有二十章．首先由王国瑾教授拟定各章内容和细目，与其余作者进行了充分的6前言讨论和修改．汪国昭教授撰写了第11章、第20章和第1章的前四节；郑建民教授撰写了第10章、第18章和第16章的第1、2、3、7、8、9节；杨勋年副教授撰写了第6章的前二节；王国瑾教授撰写了本书其余的十三章以及第1章的后二节、第6章的后三节和第16章的第4、5、6、10节；最后由王国瑾教授负责全书的统稿、润色和校订．这本书是在前浙江大学应用数学系主任和浙江大学CAD&CG国家重点实验室学术委员会前主任梁友栋教授的关心和支持下写成的，浙江大学数学系的董光昌教授和金通洸教授也对本书的写作给予热情的鼓励．作者衷心感谢兄弟院校的师长们，他们多年来都在学术上给作者以丰富的启迪，在工作中给作者以巨大的帮助；尤其是亲自倡导并身体力行开展中国CAGD研究事业的著名数学家苏步青院士，他对科学的执著和创造精神，他以七十多高龄下厂解决实际课题的研究作风，一直激励着作者们奋发进取．博士生刘利刚、陈国栋、陈动人、钟纲、吕勇刚、张宏鑫、满家巨、寿华好、车武军、吕晟珉、张景峤以及硕士生解本怀、金雷为本书文稿的打字和排版付出了辛勤的劳动，作者也向他们表示诚挚的感谢．在本书面世之际，三位作者还要对养育自己的父母以及各自的妻子吴定安、林亚平、任开文表示深深的敬意．他们以自己的爱心和操劳，默默地支持着作者们长年累月的科研工作和本书的写作．如果说，本书对我国的科学研究、工业和软件业会有一点微薄贡献的话，那么这里面也有他们的一份功劳．前言7 由于时间仓促，加之水平有限，本书中难免会有错误和不足，敬请读者不吝指正．作者谨识于浙江大学求是园欧阳纯美楼目录第一章Bézier曲线 (1)1.1自由曲线造型概论 (1)1.1.1样条函数插值的Hermite基表示 (1)1.1.2端点条件及追赶法 (2)1.1.3样条曲线 (3)1.2割角多边形序列的生成及收敛(Bézier曲线的几何生成法I) (4)1.2.1简单割角法 (4)1.2.2割角多边形序列的两个性质 (4)1.2.3割角多边形序列的极限形式 (6)1.3Bézier曲线的基本几何性质及几何生成法II和III (7)1.4Bézier曲线的离散构造与平面Bézier曲线的保凸性质 (10)1.4.1离散公式的导出 (10)1.4.2离散公式的应用(平面Bézier曲线的保凸性) (12)1.5Bézier曲线的包络性质(几何生成法IV) (12)目录91.6Bézier曲线的代数性质 (13)1.6.1Bézier曲线两种代数定义的等价性 (13)1.6.2Bézier曲线的幂基表示 (14)1.6.3Hermite插值曲线的Bézier表示 (15)主要文献 (16)参考文献 (16)第二章B样条曲线 (18)2.1B样条基函数的递推定义及其性质 (18)2.2B样条曲线的包络生成及几何定义 (20)2.3B样条曲线的基本几何性质及连续阶 (21)2.4B样条曲线求值和求导的de Boor算法 (23)2.5三次均匀B样条曲线的几何作图及设计技巧 (24)2.6带重节点的三次B样条曲线的基本性质 (25)2.7广义差商及B样条基函数的差商定义 (27)2.8嵌入一个节点改变B样条基函数和B样条曲线表示 (28)2.9连续嵌入同一个节点达k 1重时的B样条曲线 (30)2.10离散B样条及离散B样条曲线 (31)10目录2.11平面B样条曲线的保凸性和变差缩减性(V.D.)性 (32)主要文献 (33)参考文献 (33)第三章有理Bézier曲线 (35)3.1圆锥曲线的经典数学表示及其有理二次参数化 (35)3.2有理Bézier曲线的定义及其基本几何性质 (36)3.3有理Bézier曲线的离散构造及包络性 (39)3.4平面有理Bézier曲线的隐式化 (40)3.4.1隐式方程的导出 (40)3.4.2平面n次代数曲线有理参数化的条件 (41)3.5有理二次Bézier曲线的分类 (42)主要文献 (43)参考文献 (43)第四章有理B样条曲线 (44)4.1NURBS曲线的一般定义、递推求值及离散构造 (44)4.2平面NURBS曲线的保形性 (46)4.3NURBS曲线的包络生成及几何定义 (47)4.3.1包络的存在性 (47)4.3.2包络的唯一性 (48)4.3.3NURBS曲线的几何定义 (50)4.4NURBS曲线的显式矩阵表示 (51)4.4.1基于差商的系数矩阵显式表示 (51)4.4.2基于Marsden恒等式的系数矩阵显式表示 (53)4.4.3特殊NURBS曲线的系数矩阵显式表示 (54)主要文献 (55)参考文献 (56)第五章有理圆弧段与有理圆锥曲线段 (57)5.1圆弧曲线段的有理二次Bézier表示 (57)5.2圆弧曲线段的有理三次Bézier表示 (58)5.2.1充分条件和充要条件的导出 (58)5.2.2圆心角范围与顶点的几何作图 (59)5.3圆弧曲线段的有理四次Bézier表示 (60)5.3.1充要条件的导出 (60)5.3.2圆心角范围 (62)5.4圆锥曲线段的有理三次Bézier表示 (63)5.4.1有理三次Bézier曲线的降阶条件与有理保形参数变换下的不变量 (63)5.4.2有理三次圆锥曲线段向单位圆弧的转换 (64)5.4.3有理三次圆锥曲线段的充要条件 (65)5.4.4有理三次圆锥曲线段的分类条件 (67)5.5圆弧曲线段与整圆的有理B样条表示 (68)主要文献 (68)参考文献 (69)第六章几何样条插值、逼近及平面点列光顺 (70)6.1平面点列的双圆弧样条插值 (71)6.1.1最优切矢的确定 (71)6.1.2双圆弧插值的算法 (72)6.2平面点列光顺算法 (72)6.2.1多余拐点的去除 (73)6.2.2基于改进最小能量法的离散曲率光顺方法 (74)6.3平面曲线的圆弧样条逼近和空间曲线的圆柱螺线样条逼近 (76)6.3.1平面曲线的圆弧样条逼近 (76)6.3.2空间曲线的圆柱螺线样条逼近 (76)6.4空间型值点位矢和单位切矢的双圆柱螺线插值 (78)6.5由散乱型值点构造插值曲面 (78)主要文献 (80)参考文献 (80)第七章矩形域和三角域上的参数函数曲面 (82)7.1插值算子布尔和与张量积 (82)7.2矩形域上的Bézier曲面及其几何性质 (84)7.3三角域上的Bézier曲面及其几何性质 (86)7.3.1三角域上的Bézier参数曲面及其基本性质 (86)7.3.2三角域上Bézier函数曲面的正性和凸性 (90)7.4矩形域上的B样条曲面、有理Bézier曲面与有理B样条曲面 (94)7.5旋转曲面的有理Bézier表示 (95)7.5.1有理双二次Bézier表示 (95)7.5.2有理双三次Bézier表示 (96)7.6球面的有理参数表示 (97)主要文献 (97)参考文献 (98)第八章广义Ball曲线与广义Ball曲面 (99)8.1CONSURF系统中机身造型曲线的几何性质 (100)8.2两种广义Ball曲线 (102)8.3Wang-Ball基函数的性质 (102)8.4Said-Ball、Wang-Ball曲线与Bézier曲线的比较 (103)8.4.1递归求值 (103)8.4.2与Bézier曲线的互化 (105)8.4.3升阶和降阶 (107)8.5利用广义Ball曲线曲面对Bézier曲线曲面求值 (109)8.6三角Ball曲面 (110)8.6.1三角Wang-Ball基及三角Wang-Ball曲面 (110)8.6.2三角Wang-Ball曲面的升阶和递归求值 (111)主要文献 (112)参考文献 (112)第九章曲线曲面的插值与拟合 (113)9.1B样条曲线曲面的节点插值法 (113)9.2C2连续的三次B样条插值曲线 (114)9.3C1和C0连续的三次B样条插值曲线 (116)9.3.1选取二重节点和三重节点的准则 (116)9.3.2以重节点为界对插值曲线分段反求控制顶点的原理和算法 (117)9.4参数无重节点的双三次B样条插值曲面 (118)9.5参数有重节点的双三次B样条插值曲面 (120)9.6C2, C1和C0连续的三次Bézier样条插值曲线 (120)9.7C2, C1和C0连续的双三次Bézier样条插值曲面 (122)9.8构造插值样条曲面时型值点不一致分布的均匀性检查 (124)9.9带插值条件的B样条曲线光顺拟合 (124)9.10带插值条件的B样条曲面光顺拟合 (125)9.11带插值条件且与已知曲面作C1连续拼接的Bézier曲面光顺拟合 (126)主要文献 (128)参考文献 (128)第十章曲线曲面的几何连续性 (129)10.1几何连续性概念的提出 (129)10.2曲线的几何连续性 (131)10.2.1曲线几何连续性的定义 (131)10.2.2曲线的有理连续性 (134)10.2.3有理连续性条件 (136)10.3几何光滑拼接曲线的构造 (138)10.4曲面的曲率连续 (140)10.4.1曲率连续的一般条件 (140)10.4.2矩形域上有理Bézier曲面的G2条件 (142)10.4.3曲率连续拼接的有理Bézier曲面的构造 (144)10.4.4简单曲率连续拼接曲面的构造 (147)10.5曲面的任意阶几何连续 (147)10.5.1曲面G n连续的定义 (147)10.5.2有理几何连续的一般条件 (149)10.5.3有理几何连续条件的求解 (149)10.5.4有理几何连续的简单形式 (153)10.6矩形域上有理Bézier曲面的G n拼接 (154)10.6.1有理Bézier曲面几何连续拼接的判定 (154)10.6.2有理Bézier曲面几何连续拼接的构造 (155)10.7三角域和矩形域上有理Bézier曲面的拼接 (156)主要文献 (157)参考文献 (157)第十一章参数曲线曲面的求交技术 (159)11.1B样条曲线转化为Bézier曲线 (160)11.2B样条曲面转化为Bézier曲面 (161)11.3Bézier曲线曲面的高度分析 (162)11.4Bézier曲线曲面离散层数的先验性公式 (166)11.5对Riesenfeld关于曲线离散终判准则的改进 (167)11.5.1三次Bézier曲线的化直准则 (168)11.5.2n次有理Bézier曲线的化直准则 (168)11.5.3一个极值问题 (169)11.6Bézier曲线和B样条曲线的离散求交法 (170)11.7Bézier曲面和B样条曲面的离散求交法 (171)11.8Bézier曲面与平面的求交 (172)11.9有理Bézier曲线曲面离散终判的先验性公式 (172)11.10离散差分跟踪求交法 (175)11.10.1 多项式曲面的差分表示 (175)11.10.2 Bézier 曲面的差分矩阵和差分表示 (176)11.10.3 Bézier 曲面求交中跟踪子曲面片的选定 (177)11.10.4 离散差分跟踪求交 (178)11.11 曲面求交的活动仿射标架跟踪法 (179)11.11.1 球变换 (179)11.11.2 求交算法 (180)11.12 Bézier 曲面的环检测 ............................................................................................ 180 主要文献 .......................................................................................................................... 181 参考文献 .......................................................................................................................... 182 第十二章 有理Bézier 曲线曲面的多项式逼近 (183)12.1 有理Bézier 曲线的两类多项式逼近〉〈p r ,h 和〉〈p r ,H (184)12.1.1 有理曲线Hermite 逼近与Hybrid 逼近的定义 (184)12.1.2 用传统的逼近论方法求〉〈s s ,h 的收敛条件 (185)12.1.3 〉〈p r ,h 逼近与〉〈p r ,H 逼近的关系 (186)12.2 〉〈p r ,h 逼近与〉〈p r ,H 逼近的余项 ....................................................................... 188 12.3 h 逼近曲线)(,t p r h 与Hybrid 曲线)(,t p r H ............................................................ 189 12.4 〉〈s s ,h 逼近与〉〈s s ,H 逼近的收敛条件 .. (192)12.5 低次〉〈s s ,h 逼近与〉〈s s ,H 逼近的收敛准则 (193)12.5.1 一次有理曲线多项式逼近收敛的充要条件 (193)12.5.2 关于多项式根的几个引理 (193)12.5.3 二次有理曲线多项式逼近的收敛准则 (194)12.5.4 三次有理曲线多项式逼近的收敛准则 (195)12.5.5 重新参数化技术对收敛条件的影响 (195)12.6 〉〈0,s h 逼近与〉〈0,s H 逼近的收敛条件.................................................................. 196 12.7 )/(p r 有定极限值的〉〈p r ,h 逼近与〉〈p r ,H 逼近的收敛条件 ............................ 196 12.8 Hybrid 曲线的移动控制顶点)(,t p r r H 的界 (196)12.8.1 对具有对称权因子的低次有理曲线求)(,t s s s H 的界 (197)12.8.2 利用矩阵方法对一般有理曲线求)(,t s s s H 的界 (198)12.8.3 利用复平面上的围道积分求p r r p r r t ,,)(H H -的界 (200)12.9 一般情况下〉〈p r ,h 逼近和〉〈p r ,H 逼近收敛的充要条件 ................................... 202 12.10 用新的观点研究有理Bézier 曲线的〉〈p r ,H 逼近 ............................................. 205 12.11 有理Bézier 曲面的Hybrid 表示 .......................................................................... 208 12.12 有理Bézier 曲面的两类多项式逼近〉〈q s p r ,;,H 和〉〈q s p r ,;,h (212)12.12.1 有理曲面Hybrid 逼近与Hermite 逼近的定义 (212)12.12.2 〉〈q s p r ,;,H 逼近的余项 (213)12.12.3 〉〈q s p r ,;,h 逼近与〉〈q s p r ,;,H 逼近的关系 (213)12.13 Hybrid 曲面),(,;,v u q s p r H 的递推计算公式 (216)12.13.1 一般情况 (216)12.13.2 简化情况 (219)12.14 有理Bézier 曲面〉〈q s p r ,;,H 逼近的收敛条件 (221)12.14.1 〉〈q s p r ,;,H 逼近余项的界 (221)12.14.2 〉〈s s s s ,;,H 逼近收敛的一个充分条件 (222)12.14.3 〉〈q s p r ,;,H 逼近收敛的充要条件 (222)主要文献 .......................................................................................................................... 223 参考文献 .. (223)第十三章 有理Bézier 曲线曲面的求导和求积 (224)13.1 有理Bézier 倍式化速端曲线 (224)13.1.1 Dir 函数的定义和性质 (224)13.1.2 倍式化速端曲线的导出 (225)13.1.3 曲线导矢方向的界 (226)13.1.4 曲线导矢大小的界 (226)13.2 有理Bézier 倍式化速端曲面 (227)13.2.1 倍式化速端曲面的导出 (227)13.2.2 曲面导矢方向的界 (228)13.2.3曲面导矢大小的界 (229)13.3动曲线轨迹的速端曲线 (230)13.3.1速端曲面的直接导出 (230)13.3.2曲面导矢界的估计 (231)13.4有理Bézier曲面的法矢 (232)13.4.1Nrm函数的定义和性质 (232)13.4.2曲面法矢的计算 (232)13.4.3曲面法矢方向的界 (233)13.5有理Bézier曲线的高阶导矢 (234)13.5.1高阶导矢的递推算法 (234)E表示的应用I：有理Bézier曲线的弧长估计 (236)13.5.2导矢1-niE表示的应用II：有理Bézier曲线端点处的三阶导矢的计算 (236)13.5.3导矢1-niE表示的应用III：有理Bézier曲线的导矢界的估计 (237)13.5.4导矢1-ni13.6二次有理Bézier曲线的精确求积 (238)13.6.1求积问题的提法与积分模型的简化 (238)13.6.2精确求积公式的导出 (239)13.7平面有理Bézier曲线求积的多项式逼近 (241)13.7.1平面Bézier曲线求积 (241)13.7.2平面有理Bézier曲线求积的多项式逼近的误差界及其算法 (242)13.8平面有理Bézier曲线求积的降阶逼近 (244)13.8.1降阶求积的误差估计 (244)13.8.2降阶求积的算法 (247)13.9二次和三次NURBS曲线求积 (247)主要文献 (247)参考文献 (247)第十四章Bézier曲线曲面的降阶逼近 (249)14.1Bézier曲线、Bézier矩形片与Bézier三角片的退化条件 (250)14.2Bézier曲线降阶的B网扰动和约束优化法 (251)14.2.1降阶的显式算法和误差估计 (251)14.2.2离散/降阶算法 (253)14.2.3降阶中的G1连续条件 (253)14.3Bézier矩形片与Bézier三角片降阶的B网扰动和约束优化法 (254)14.3.1Bézier矩形片的降阶 (254)14.3.2Bézier三角片的降阶 (255)14.4基于广义逆矩阵的Bézier曲线一次性降多阶逼近 (257)14.4.1端点不保插值的降多阶逼近 (257)14.4.2保端点插值的降多阶逼近 (258)14.4.3误差分析及实例 (258)14.5保端点高阶插值的Bézier曲线一次性降多阶逼近 (259)主要文献 (263)参考文献 (263)第十五章曲线曲面形式之间的互化 (264)15.1二次NURBS曲线与二次有理Bézier曲线之间的互化 (265)15.2双二次NURBS曲面与双二次有理Bézier曲面之间的互化 (266)15.3三次NURBS曲线与三次有理Bézier曲线之间的互化 (267)15.4Bézier三角片到退化矩形片的转化 (270)15.5Bézier三角片到三张非退化矩形片的转化 (272)15.6Bézier矩形片用线性函数实现广义离散及其到三角片的转化 (274)15.6.1矩形参数域被分割为两块梯形域的广义离散算法 (274)15.6.2矩形参数域被分割为三边区域和五边区域的广义离散算法 (275)15.6.3Bézier矩形片到两张三角片的转化 (276)15.7Bézier矩形片用高次代数曲线实现广义离散并用于曲面拼接 (277)15.7.1矩形参数域被分割为两块曲边梯形域的广义离散算法 (277)15.7.2矩形参数域被分割为三边和五边曲边区域的广义离散算法 (278)15.7.3广义离散在几何连续拼接和trimmed曲面参数表示中的应用 (279)15.8基于de Casteljau算法的有理二次Bézier曲线隐式化 (279)15.9基于de Casteljau算法的平面有理n次Bézier曲线隐式化 (281)主要文献 (285)参考文献 (285)第十六章等距曲线与等距曲面 (287)16.1平面等距曲线 (289)16.2Pythagorean-hodograph(PH)曲线 (291)16.2.1定义和表示 (291)16.2.2三次PH曲线的构造、特征和性质 (292)16.2.3四次和五次PH曲线的构造 (293)16.2.4PH曲线的等距曲线和弧长 (295)16.3具有有理等距曲线的参数曲线(OR曲线) (295)16.3.1参数曲线的复形式表示 (295)16.3.2参数曲线具有有理等距曲线的充要条件 (297)16.3.3具有有理等距曲线的低次Bézier曲线 (299)16.4PH曲线和OR曲线的插值构造算法 (300)16.4.1平面五次PH曲线的G2 Hermite插值 (300)16.4.2平面三次PH曲线偶的C1 Hermite插值 (300)16.4.3平面八次抛物 PH曲线的C2 Hermite插值 (301)16.5基于法矢曲线逼近的等距曲线最佳逼近 (302)16.5.1法矢曲线最佳多项式逼近的导出 (302)16.5.2具有端点约束的法矢曲线最佳逼近 (303)16.5.3Legendre级数与Jacobi级数的系数计算 (304)16.5.4NURBS曲线的等距曲线逼近 (305)16.6基于刘徽割圆术的等距曲线逼近算法 (306)16.7具有有理中心线的管道曲面 (309)16.8二次曲面的等距曲面 (310)16.8.1椭圆抛物面和双曲抛物面的等距曲面 (311)16.8.2椭球面的等距曲面 (311)16.8.3单叶双曲面的等距曲面 (312)16.8.4双叶双曲面的等距曲面 (313)16.9有理直纹面的等距曲面 (313)16.10基于球面三角网格逼近的等距曲面逼近算法 (315)主要文献 (315)参考文献 (316)第十七章区间曲线与区间曲面 (319)17.1区间Bézier曲线的边界 (320)17.1.1区间算术和区间点算术 (320)17.1.2区间Bézier曲线及其中心表达形式 (320)17.1.3平面区间Bézier曲线的边界 (321)17.1.4空间区间Bézier曲线的边界 (326)17.2区间Bézier曲线与Offset曲线之间的关系 (330)17.3区间Bézier曲面及其中心表达形式和边界结构 (331)17.4区间Bézier曲面与Offset曲面之间的关系 (333)17.5区间Bézier曲面逼近 (334)17.5.1利用区间Bézier曲面对可微参数曲面作Taylor逼近 (334)17.5.2利用区间Bézier曲面对有理曲面作多项式逼近 (335)主要文献 (336)参考文献 (336)第十八章基于切割磨光的曲线曲面离散造型 (338)18.1切割磨光空间多边形的迭代算法 (339)18.2切割磨光曲线的性质 (341)18.2.1逼近性 (341)18.2.2连续性 (342)18.2.3光滑性 (344)18.2.4几何性质 (346)18.3切割磨光曲面造型的原理和算法 (347)18.4切割磨光曲面造型的技巧和性质 (351)18.4.1切割磨光的技巧 (351)18.4.2切割磨光曲面的收敛性 (352)18.4.3切割磨光曲面的光滑性 (355)18.5任意拓扑网格的切割磨光法 (358)18.5.1原理和方法 (358)18.5.2切割磨光曲面的光滑性 (359)18.6Catmull-Clark曲面和Doo-Sabin曲面 (362)18.6.1Catmull-Clark曲面的生成 (362)18.6.2Catmull-Clark曲面的连续性分析 (364)18.6.3Doo-Sabin曲面的生成 (366)18.7非均匀Doo-Sabin曲面和非均匀Catmull-Clark曲面 (367)18.7.1非均匀Doo-Sabin曲面和非均匀Catmull-Clark曲面的生成 (367)18.7.2非均匀Doo-Sabin曲面的特征根分析 (371)18.8 蜂窝细分 (375)主要文献 (376)参考文献 (377)第十九章曲面的形状调配和变形 (379)19.1简单曲面变形的顶点对应算法 (380)19.2平面多边形的内在量及其调配算法 (380)19.3空间多边形的内在量及其调配算法MSI (381)19.3.1内在变量集的定义及其与空间多边形的关系 (381)19.3.2空间多边形调配的内在解 (382)19.4空间四边形网格的形状调配算法 (384)19.5空间三角网格的形状调配算法 (385)19.5.1空间n次Bézier三角网格的情形 (385)19.5.2一般空间三角网格的情形 (386)19.6自由曲线曲面的调配算法 (387)。

水文统计学题集一、选择题1. 在水文统计学中，以下关于随机事件的说法正确的是（）。

A. 随机事件是指在一定条件下必然发生的事件。

B. 随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。

C. 随机事件是指在任何条件下都不会发生的事件。

D. 随机事件是指在任何条件下都会发生的事件。

答案：B。

解析：在水文统计学中，随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。

随机事件的发生具有不确定性，但可以通过概率来描述其发生的可能性大小。

2. 对于水文事件的概率，下列说法错误的是（）。

A. 概率是对随机事件发生可能性大小的定量描述。

B. 概率的取值范围是 0 到 1。

C. 概率为 0 表示事件一定不发生，概率为 1 表示事件一定发生。

D. 概率可以大于 1。

答案：D。

解析：在水文统计学中，概率是对随机事件发生可能性大小的定量描述，其取值范围是 0 到 1。

概率为 0 表示事件一定不发生，概率为 1 表示事件一定发生，概率不可能大于 1。

3. 若某水文事件发生的概率为 0.3，那么其不发生的概率为（）。

A. 0.3B. 0.7C. 1D. 0答案：B。

解析：对于一个随机事件，其发生的概率与不发生的概率之和为 1。

已知该水文事件发生的概率为 0.3，那么其不发生的概率为 1 0.3 = 0.7。

4. 在水文统计学中，两个相互独立的水文事件同时发生的概率等于（）。

A. 两个事件概率之和。

B. 两个事件概率之差。

C. 两个事件概率之积。

D. 两个事件概率之商。

答案：C。

解析：在水文统计学中，如果两个事件相互独立，那么它们同时发生的概率等于两个事件概率之积。

5. 若事件 A 在水文统计中的概率为 0.4，事件 B 的概率为 0.5，且 A 与 B 相互独立，那么事件 A 和事件 B 至少有一个发生的概率为（）。

A. 0.2B. 0.7C. 0.9D. 1答案：B。

解析：首先求事件 A 和事件 B 都不发生的概率，因为 A 与B 相互独立，所以两个事件都不发生的概率为（1 0.4）×（1 0.5）= 0.6×0.5 = 0.3。

¤Grid Generation Series¤网格生成•••适体坐标系•••代数方法•••无限插值法Copyright © 2007 版权所有目录1. 概述 (1)1.1前序 (1)1.2名词解释 (1)1.3映射关系 (1)2. 二维无限插值法生成网格 (2)2.1模型公式 (2)2.2操作步骤 (3)2.3编程实例 (3)3. 三维无限插值法生成网格 (9)3.1计算公式 (9)3.2编程实例 (11)4. 参考文献 (16)5. 版权声明 (17)1. 概述1.1前序网格生成技术的编程实现与应用曾是笔者感觉深奥而有趣的事情。

因对这方面并不熟悉，2006年夏初，笔者决定做网格生成方面的努力。

查看了若干资料后，虽对其数学原理未有涉足，但还是有幸获得或推出了生成二维网格和三维网格生成的TFI实现公式，并编写了测试程序进行验证，如封面图片的网格就是当时笔者用TFI方法编程生成的。

后来忙别的事情，就一直落在“纸堆”里。

2007年夏初，有网友询问TFI，又想起来，于是四处找了找，看着笔记，发现一年前的清晰思路都模糊了。

当时在图书馆借过一本书对我的帮助也很大，但书名已记不起来了，无法在后面的参考文献中列出。

现在决定用休息时间把笔记整理一下，以供需要的朋友查阅。

无限插值法（TFI）是结构化网格生成技术中属于适体坐标系的代数方法。

其优点是算法简单、生成网格速度很快，对于较规则区域，TFI法得到的网格效果也令人满意。

对于没有把握的复杂区域，笔者认为最好采用TFI方法生成初始网格场，然后采用PDE(偏微分网格生成技术)进行网格场优化。

1.2名词解释（1）网格生成技术：对给定区域进行离散以生成计算网格的方法。

（2）结构化网格：排列有序、相邻节点位置关系明确的网格。

（3）适体坐标系：坐标轴与计算区域的边界一致的坐标系，又称贴体坐标系、附体坐标系。

（4）代数方法：通过代数关系式创建物理平面上的区域与计算平面上的区域的映射方法。