2011年高考数学重点难点讲解十九：解不等式(学生版)

基本不等式及其应用【九大题型】【新高考专用】【题型1基本不等式及其应用】【题型2直接法求最值】【题型3配凑法求最值】【题型4常数代换法求最值】【题型5消元法求最值】【题型6齐次化求最值】【题型7多次使用基本不等式求最值】【题型8利用基本不等式解决实际问题】【题型9与其他知识交汇的最值问题】1.基本不等式及其应用考点要求真题统计考情分析(1)了解基本不等式的推导过程(2)会用基本不等式解决最值问题(3)理解基本不等式在实际问题中的应用2020年天津卷：第14题，5分2021年乙卷：第8题，5分2022年I 卷：第12题，5分2023年新高考I 卷：第22题，12分基本不等式及其应用是每年高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用.【知识点1基本不等式】1.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R )当且仅当“a =b ”时取“=”基本不等式ab ≤a +b2(a >0,b >0)当且仅当“a =b ”时取“=”a +b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2.基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P；(2)如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．3.常见的求最值模型(1)模型一：mx+nx≥2mn(m>0,n>0)，当且仅当x=n m时等号成立；(2)模型二：mx+nx−a =m(x−a)+nx−a+ma≥2mn+ma(m>0,n>0)，当且仅当x−a=n m时等号成立；(3)模型三：xax2+bx+c =1ax+b+cx≤12ac+b(a>0,c>0)，当且仅当x=c a时等号成立；(4)模型四：x(n−mx)=mx(n−mx)m≤1m⋅mx+n−mx22=n24m m>0,n>0,0<x<n m，当且仅当x=n2m时等号成立.4.利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【题型1基本不等式及其应用】1(2023·安徽蚌埠·模拟预测)已知实数a,b,c满足a<b<c且abc<0，则下列不等关系一定正确的是()A.ac<bcB.ab<acC.bc +cb>2 D.ba+ab>22(2023·湖南长沙·一模)已知2m=3n=6，则m，n不可能满足的关系是()A.m+n>4B.mn>4C.m2+n2<8D.(m-1)2+(n-1)2>23(2024·山东枣庄·一模)已知a>0,b>0，则“a+b>2”是“a2+b2>2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4(2023·辽宁·二模)数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD=a，BD=b，用该图形能证明的不等式为( )．A.a+b2≥ab a>0,b>0B.2aba+b≤ab a>0,b>0C.a+b2≤a2+b22a>0,b>0D.a2+b2≥2ab a>0,b>0【题型2直接法求最值】1(2023·湖南岳阳·模拟预测)已知函数f x =3-x-2x，则当x<0时，f x 有()A.最大值3+22B.最小值3+22C.最大值3-22D.最小值3-222(2023·北京东城·一模)已知x>0，则x-4+4x的最小值为()A.-2B.0C.1D.223(22-23高三下·江西·阶段练习)3+1 x21+4x2的最小值为()A.93B.7+42C.83D.7+434(23-24高二下·山东潍坊·阶段练习)函数y=3-4x-x(x>0)的最大值为()A.-1B.1C.-5D.5【题型3配凑法求最值】1(2023·山西忻州·模拟预测)已知a>2，则2a+8a-2的最小值是()A.6B.8C.10D.122(2024·辽宁·一模)已知m >2n >0，则m m -2n +mn的最小值为()A.3+22B.3-22C.2+32D.32-23(2023·河南信阳·模拟预测)若-5<x <-1，则函数f x =x 2+2x +22x +2有()A.最小值1B.最大值1C.最小值-1D.最大值-14(23-24高三下·河南·开学考试)已知a >0,b >0，则a +2b +4a +2b +1的最小值为()A.6B.5C.4D.3【题型4常数代换法求最值】1(2024·江苏南通·二模)设x >0，y >0，1x +2y =2，则x +1y 的最小值为()A.32B.22C.32+2 D.32(2024·黑龙江哈尔滨·二模)已知正实数x ，y 满足1x +2y=1，则2xy -3x 的最小值为()A.8B.9C.10D.113(2024·广东湛江·一模)已知ab >0，a 2+ab +2b 2=1，则a 2+2b 2的最小值为()A.8-227B.223C.34D.7-2284(2023·广东广州·模拟预测)已知正实数x ，y 满足2x +y =xy ，则2xy -2x -y 的最小值为()A.2B.4C.8D.9【题型5消元法求最值】1(2024·陕西西安·三模)已知x >0,y >0，xy +2x -y =10，则x +y 的最小值为42-1．2(2023·上海嘉定·一模)已知实数a 、b 满足ab =-6，则a 2+b 2的最小值为12．3(2024·天津河东·一模)若a >0,b >0,ab =2，则a +4b +2b 3b 2+1的最小值为．4(2024·四川德阳·模拟预测)已知正实数x ，y ，z 满足x 2+xy +yz +xz +x +z =6，则3x +2y +z 的最小值是43-2.【题型6齐次化求最值】1(23-24高一上·湖南娄底·期末)已知x >0，则x 2-x +4x 的最小值为()A.5B.3C.-5D.-5或32(23-24高一上·辽宁大连·期末)已知x ，y 为正实数，且x +y =1，则x +6y +3xy的最小值为()A.24B.25C.6+42D.62-33(23-24高二上·安徽六安·阶段练习)设a+b=1,b>0，则1|a|+9|a|b的最小值是()A.7B.6C.5D.44(23-24高三上·浙江绍兴·期末)已知x为正实数，y为非负实数，且x+2y=2，则x2+1x+2y2y+1的最小值为()A.34B.94C.32D.92【题型7多次使用基本不等式求最值】1(2023·河南·模拟预测)已知正实数a，b，满足a+b≥92a+2b，则a+b的最小值为()A.5B.52C.52 D.5222(2023·全国·模拟预测)已知a为非零实数，b，c均为正实数，则a2b+a2c4a4+b2+c2的最大值为()A.12B.24C.22D.343(2024·全国·模拟预测)已知a>0，b>0，c>1，a+2b=2，则1a+2bc+2c-1的最小值为()A.92B.2 C.6 D.2124(23-24高三下·浙江·开学考试)已知a、b、c、d均为正实数，且1a+2b=c2+d2=2，则a+bcd的最小值为()A.3B.22C.3+22D.3+222【题型8利用基本不等式解决实际问题】1(23-24高二下·北京房山·期中)某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季(其中B，C区域的形状、大小完全相同).设矩形花园的一条边长为xm，鲜花种植的总面积为Sm2.(1)用含有x的代数式表示a；(2)当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？2(23-24高一上·辽宁朝阳·期末)冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的x百万元在第m(1≤m≤8，且m∈N*)年产生的利润(单位：百万元)G m=mx,m∈N*,1≤m≤44-16-mx2,m∈N*,5≤m≤8，记这4百万元投资从2024年开始的第n年产生的利润之和为f n x .(1)比较f42 与f52 的大小；(2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值.3(23-24高一上·河南开封·期末)如图，一份印刷品的排版(阴影部分)为矩形，面积为32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为1的空白.记纸张的面积为S，排版矩形的长和宽分别为x，y.(1)用x，y表示S;(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小?并求最小面积.4(23-24高一上·四川成都·期末)如图所示，一条笔直的河流l(忽略河的宽度)两侧各有一个社区A,B (忽略社区的大小)，A社区距离l上最近的点A0的距离是2km,B社区距离l上最近的点B0的距离是1km，且A0B0=4km.点P是线段A0B0上一点，设A0P=akm.现规划了如下三项工程：工程1：在点P处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；工程2：将直角三角形AA0P地块全部修建为面积至少1km2的文化主题公园，且每平方千米造价为1+92a2亿元；工程3：将直角三角形BB0P地块全部修建为面积至少0.25km2的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.记这三项工程的总造价为W 亿元.(1)求实数a 的取值范围；(2)问点P 在何处时，W 最小，并求出该最小值.【题型9与其他知识交汇的最值问题】1(23-24高三上·江苏南通·阶段练习)已知ΔABC 内接于单位圆，且1+tan A 1+tan B =2，(1)求角C(2)求△ABC 面积的最大值．2(23-24高三上·山东青岛·期末)《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian d u );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥AC .(1)求证:四棱锥B -A 1ACC 1为阳马;(2)若C 1C =BC =2,当鳖膈C 1-ABC 体积最大时,求锐二面角C -A 1B -C 1的余弦值.3(2024·广东珠海·一模)已知A 、B 、C 是ΔABC 的内角，a 、b 、c 分别是其对边长，向量m=a +b ,c ，n =sin B -sin A ,sin C -sin B ，且m ⊥n.(1)求角A 的大小；(2)若a =2，求ΔABC 面积的最大值.4(2024·黑龙江大庆·一模)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，过点1,32 且离心率为12，A ,B 是椭圆上纵坐标不为零的两点，若AF =λFB λ∈R 且AF ≠FB，其中F 为椭圆的左焦点．(1)求椭圆的方程；(2)求线段AB 的垂直平分线在y 轴上的截距的取值范围．一、单选题1(2023·全国·三模)已知a >0，b >0，且a +b =1，则下列不等式不正确的是()A.ab≤14B.a2+b2≥12C.1a+1b+1>2 D.a+b≤12(2024·甘肃定西·一模)x2+7x2+7的最小值为()A.27B.37C.47D.573(2024·辽宁葫芦岛·一模)已知a>0，b>0，a+b=2，则()A.0<a≤1B.0<ab≤1C.a2+b2>2D.1<b<24(2024·浙江嘉兴·二模)若正数x,y满足x2-2xy+2=0，则x+y的最小值是() A.6 B.62C.22D.25(2024·四川成都·模拟预测)若a,b是正实数，且13a+b+12a+4b=1，则a+b的最小值为()A.45B.23C.1D.26(2024·陕西西安·模拟预测)下列说法错误的是()A.若正实数a,b满足a+b=1，则1a +1b有最小值4B.若正实数a,b满足a+2b=1，则2a+4b≥22C.y=x2+3+1x2+3的最小值为433D.若a>b>1，则ab+1<a+b7(2024·黑龙江哈尔滨·一模)已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1,a2，则()A.a1=a2B.a1<a2C.a1>a2D.a1,a2的大小无法确定8(2024·四川成都·三模)设函数f x =x3-x，正实数a,b满足f a +f b =-2b，若a2+λb2≤1，则实数λ的最大值为()A.2+22B.4C.2+2D.22二、多选题9(2023·全国·模拟预测)已知实数x,y，下列结论正确的是()A.若x+y=3，xy>0，则x2x+1+y2+1y≥3B.若x>0，xy=1，则12x +12y+8x+y的最小值为4C.若x≠0且x≠-1，则yx<y+1x+1D.若x 2-y 2=1，则2x 2+xy 的最小值为1+3210(2023·重庆沙坪坝·模拟预测)某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅a %，第二次涨幅b %；乙：第一次涨幅a +b 2%，第二次涨幅a +b2%；丙：第一次涨幅ab %，第二次涨幅ab %.其中a >b >0，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有()A.方案甲和方案乙工资涨得一样多B.采用方案乙工资涨得比方案丙多C.采用方案乙工资涨得比方案甲多D.采用方案丙工资涨得比方案甲多11(2024·全国·模拟预测)已知a >0，b >0且1a +4b =2，则下列说法正确的是()A.ab 有最小值4B.a +b 有最小值92C.2ab +a 有最小值25D.16a 2+b 2的最小值为42三、填空题12(2024·全国·模拟预测)已知x >1，y >0，且x +2y =2，则1x -1+y 的最小值是．13(2024·上海奉贤·二模)某商品的成本C 与产量q 之间满足关系式C =C q ，定义平均成本C=C q ，其中C =C (q )q ，假设C q =14q 2+100，当产量等于时，平均成本最少.14(2024·全国·模拟预测)记max x 1,x 2,x 3 表示x 1,x 2,x 3这3个数中最大的数．已知a ,b ,c 都是正实数，M =max a ,1a +2b c ,c b，则M 的最小值为．四、解答题15(2023·甘肃张掖·模拟预测)已知正实数x ，y 满足等式1x +3y=2．(1)求xy 的最小值；(2)求3x +y 的最小值．16(2023·全国·模拟预测)已知x,y,z∈0,+∞，且x+y+z=1．(1)求证：yx+zy+xz>1+z-z；(2)求x2+y2+z2+5xy+4yz+4xz的最大值．17(2023·陕西安康·模拟预测)已知函数f x =x+a+x-b．(1)当a=2,b=3时，求不等式f x ≥6的解集；(2)设a>0,b>1，若f x 的最小值为2，求1a +1b-1的最小值．18(23-24高一上·贵州铜仁·期末)2020年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=4-2m+1. 已知生产该产品的固定成本为8万元，生产成本为16万元/万件，厂家将产品的销售价格定为8+16xx万元/万件(产品年平均成本)的1.5倍.(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19(2023·全国·模拟预测)已知x，y，z∈0,+∞．(1)若x+y=1，证明：4x+4y≤48；(2)若x+y+z=1，证明yx+zy+xz>1+z-z．11。

2011届高考数学第二轮知识点复习不等式第13 不等式【学法导航】1不等式的概念和性质是本部分内容的基础，要高度重视不等式的概念和性质，弄清每一个性质和结论，做到深刻理解并能够灵活应用。

2熟练掌握不等式的解法即含有参数的不等式的解法。

解不等式是研究函数和方程的重要工具，在学习中不仅要注重不等式在研究函数与方程的工具作用，更要重视不等式、方程、函数三者之间的相互转化。

3均值不等式应用范围非常广泛，可与高中数学大部分节的知识进行综合考查，但在高考中的考查却不外乎大小判断、求最值、求取值范围等。

因此，把握均值不等式应用的前提以及均值不等式的构造是复习这个知识点的关键。

4重视不等式的综合应用。

不等式单独命题较少，常在函数、数列、立体几何、解析几何和应用题解题过程中涉及，加强不等式的应用能力是提高解综合问题的关键，因此，在复习时应加强这方面知识和能力的训练，提高应用意识。

注重思想方法的复习和应用。

解决不等式问题中经常用到的思想方法有：等价转化思想、分论讨论思想、函数与方程的思想、化归思想等总之，学习本应做到立足基础、培养能力、有的放矢、重点突出、学会建模、提高素质。

【专题综合】高考资网在《考试大纲》中，虽然没有对利用不等式解决实际问题和不等式在函数、方程、数列、解析几何、平面向量、导数、极限和概率与统计等方面的综合应用提出具体要求，但在解答高考题时，无处不涉及到不等式的有关知识，特别是综合性强的题更要以不等式作“工具”解决．不等式的综合应用主要涉及以下三个方面:1．建立函数关系，利用均值不等式求最值根据题设条建立函数关系式，并创设基本不等式应用背景．在应用均值不等式求最值时要注意的是“一正二定三等”，即求和（积）的最小值（最大值）时，必须使其积（和）为定值，并且要注意各项是否为正，确保等号成立的条是否成立（即各项是否能相等）2．建立不等式求参数的取值范围常见的问题有：( l）在集合问题中的应用；(2）在方程（组）的解的讨论中的应用；(3）在函数、导数和数列问题中的应用；(4）在平面向量、解析几何和立体几何中的应用;() 在概率与统计中的应用等等．解决这类问题的基本方法是根据条列出相关的不等式（组）解不等式，或利用函数单调性、均值不等式求其值域．3．利用不等式解决实际问题不等式的应用题大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题，另一类是建立函数关系，利用均值不等式或函数的单调性求最值问题．应用不等式解题的关键是建立不等关系．解不等式应用问题步骤：审题，建立不等模型，利用不等式有关知识解题．解决问题的具体模式如下: 现实世界中的实际问题不等式模型实际问题的解不等式的解1不等式与方程例1 (2007广东) 已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围解：若, ,显然在上没有零点, 所以令, 解得①当时, 恰有一个零点在上;②当，即时，在上也恰有一个零点③当在上有两个零点时, 则或解得或综上所求实数的取值范围是或2不等式与数列例2(2008安徽卷21）设数列满足为实数（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条是；（Ⅱ）设，证明：;（Ⅲ）设，证明：解(1) 必要性：，又，即充分性：设，对用数学归纳法证明当时，假设则，且，由数学归纳法知对所有成立(2) 设，当时，，结论成立当时，,由（1）知，所以且(3) 设，当时，，结论成立当时，由（2）知3不等式与解析几何例3 (2008年全国Ⅱ理科21科22）高考)设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相较于E、F两点(Ⅰ)若,求的值；(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，．如图，设，其中，高考资网且满足方程，故．①由知，得；由在上知，得．所以，化简得，解得或．（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，．又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．解法二：由题设，，．设，，由①得，，故四边形的面积为，当时，上式取等号．所以的最大值为．4不等式与概率统计例4（2006辽宁卷）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是12万元、118万元、117万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是13万元、12万元、02万元随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润(I) 求、的概率分布和数学期望、;(II) 当时,求的取值范围分析解决问题的关键是准确求出事的分布列解(I) 的概率分布为12118117pE =12 +118 +117 =118由题设得,则的概率分布为012P故的概率分布为131202P∴的数学期望为E = + + =(II) 由,得:∵0&lt;p&lt;1,∴时,点评本题考查二项分布、分布列、数学期望、方差和不等式等基础知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力不等式与概率与统计的综合考查,是高考出现的新亮点, 2006年北京卷的第18题也是这种题,这是一种新的命题趋向,应引起足够的重视不等式与函数例（2009全国卷Ⅰ理）设函数在两个极值点，且（I）求满足的约束条，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条的点的区域；(II)证明：分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。

不等式的解法时间：45分钟分值：100分一、选择题（每小题5分，共30分）1．不等式错误!≥2的解集为( ) A．[－1,0）B．［－1,＋∞)C．（－∞，－1］D．(－∞，－1]∪（0，＋∞)解析：∵错误!≥2，∴错误!－2≥0,即错误!≤0，解得－1≤x<0。

答案:A2．若a>0,b>0，则不等式－b<错误!〈a等价于( ）A．－错误!〈x〈0或0<x〈错误!B．－错误!〈x〈错误!C．x<－错误!或x〉错误!D．x〈－错误!或x>错误!解析：即当a>0，b〉0时解不等式－b〈错误!<a⇔错误!⇔错误!⇔错误!⇔错误!利用数轴:图1可得x〉错误!或x〈－错误!。

答案：D3．已知向量a＝（x，－1)与向量b＝(1,错误!)，则不等式a·b≤0的解集为( )A．｛x|x≤－1或x≥1｝B．｛x｜－1≤x〈0或x≥1}C．｛x｜x≤－1或0≤x≤1}D．{x｜x≤－1或0〈x≤1｝解析：a·b＝x－错误!,由x－错误!≤0⇒错误!≤0⇒错误!≤0.∴x≤－1或0<x≤1.答案：D4．已知函数f（x)为偶函数，在(－∞，0]上为减函数,并且f（6)＝0，则不等式xf(x）〈0的解集为( ）A．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B．（－∞，－6)∪（0,6）图2C．(－6,0）∪（6,＋∞）D．(－6,6)解析：∵f（x）为偶函数且在(－∞，0]上为减函数，∴在[0，＋∞)上为增函数，作f(x)的大致图象，如图2，由图可得xf（x）〈0的解集为(－∞，－6）∪（0，6）．图3答案：B5．(2010·北京东城一模)函数y＝f（x）的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图3),则不等式f(x)<f（－x)＋2x的解集为（)A．｛x｜－错误!〈x〈0或错误!<x≤1｝B．{x|－1≤x〈－错误!或错误!〈x≤1}C．｛x|－1≤x<－错误!或0〈x<错误!｝D．{x|－错误!<x<错误!且x≠0｝图4解析:f(x）＝错误!该函数f（x）是奇函数．由f（x)<f（－x）＋2x，得f（x)〈x.作直线y＝x，满足f(x)〈x的x如图4所示:∴－错误!〈x<0或错误!〈x≤1。

难点1 集合思想及应用集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.●难点磁场(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠∅,求实数m的取值范围.●案例探究［例1］设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=∅，证明此结论.命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.［例2］向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.●锦囊妙计1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)集合M ={x |x =42π+kx ,k ∈Z },N ={x |x =22ππ+k ,k ∈Z },则( )A.M =N B.M N C.M N D.M ∩N =∅2.(★★★★)已知集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m －1}且B ≠∅,若A ∪B =A ，则( )A.－3≤m ≤4B.－3<m <4C.2<m <4D.2<m ≤4二、填空题3.(★★★★)已知集合A ={x ∈R |a x 2－3x +2=0,a ∈R },若A 中元素至多有1个，则a 的取值范围是_________.4.(★★★★)x 、y ∈R ,A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|by a x - =1,a >0,b >0},当A ∩B 只有一个元素时，a ,b 的关系式是_________.三、解答题5.(★★★★★)集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B ∅和A ∩C =∅同时成立.6.(★★★★★)已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ,设集合A ={(a n ,nS n )|n ∈N *},B ={(x ,y )|41 x 2－y 2=1,x ,y ∈R }.试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.(1)若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2)A ∩B 至多有一个元素；(3)当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅.7.(★★★★)设f (x )=x 2+px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }.(1)求证：A ⊆B ;(2)如果A ={－1，3}，求B .。

2011年高考数学试题分类解析（六）--不等式
王连笑
【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》
【年(卷),期】2011(000)007
【摘要】不等式是高中数学的一个主干知识，是高考命题的一个热点，分析命题特点，有新意的试题及学生易犯的解题错误及原因，指出不等式备考的一些方法．【总页数】8页(P50-57)
【作者】王连笑
【作者单位】天津市实验中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
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（2011高考备战冲刺指导）难点19 解不等式不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式.●难点磁场(★★★★)解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1). ●案例探究［例1］已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m +n ≠0时nm n f m f ++)()(＞0.(1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式：f (x +21)＜f (11-x )； (3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围.命题意图：本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用.错解分析：(2)问中利用单调性转化为不等式时，x +21∈［－1，1］，11-x ∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方.技巧与方法：(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f (x )转化成“1”是点睛之笔.(1)证明：任取x 1＜x 2，且x 1，x 2∈［－1，1］，则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=2121)()(x x x f x f --+·(x 1－x 2)∵－1≤x 1＜x 2≤1，∴x 1+(－x 2)≠0，由已知2121)()(x x x f x f --+＞0，又 x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在［－1，1］上为增函数. (2)解：∵f (x )在［－1，1］上为增函数，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x 解得：{x |－23≤x ＜－1，x ∈R } (3)解：由(1)可知f (x )在［－1，1］上为增函数，且f (1)=1，故对x ∈［－1，1］，恒有f (x )≤1，所以要f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，即要t 2－2at +1≥1成立，故t 2－2at ≥0，记g (a )=t 2－2at ，对a ∈［－1，1］，g (a )≥0，只需g (a )在［－1，1］上的最小值大于等于0，g (－1)≥0，g (1)≥0，解得，t ≤－2或t =0或t ≥2.∴t 的取值范围是：{t |t ≤－2或t =0或t ≥2}.［例2］设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值 范围.命题意图：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系，属★★★★级题目.知识依托：本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想.错解分析：M =∅是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a 的不等式要全面、合理，易出错.技巧与方法：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗.解：M ⊆［1，4］有n 种情况：其一是M =∅，此时Δ＜0；其二是M ≠∅，此时Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围.设f (x )=x 2 －2ax +a +2，有Δ=(－2a )2－(4a +2)=4(a 2－a －2) (1)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M =∅［1，4］(2)当Δ=0时，a =－1或2.当a =－1时M ={－1} ［1，4］；当a =2时，m ={2}［1，4］. (3)当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f (x )=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M =［x 1，x 2］，M ⊆［1，4］⇔1≤x 1＜x 2≤4⎩⎨⎧>∆≤≤>>⇔0,410)4(,0)1(且且a f f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<>>->+-210071803a a a a a 或，解得：2＜a ＜718，∴M ⊆［1，4］时，a 的取值范围是(－1，718). ●锦囊妙计解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题：(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法.(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法. (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论. ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+)1(11)11(22)1()1(2x xx x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(－21，+∞) B.(－21，21) C.(－∞，－2)∪(－21，1)D.(－2，－21)∪(1，+∞)二、填空题2.(★★★★★)已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b)，则f (x )·g (x )＞0的解集是__________. 3.(★★★★★)已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________. 三、解答题4.(★★★★★)已知适合不等式|x 2－4x +p |+|x －3|≤5的x 的最大值为3. (1)求p 的值；(2)若f (x )=11+-x x p p ，解关于x 的不等式f -－1(x )＞k x p +1log (k ∈R +)5.(★★★★★)设f (x )=ax 2+bx +c ，若f (1)=27，问是否存在a 、b 、c ∈R ，使得不等式：x 2+21≤f (x )≤2x 2+2x +23对一切实数x 都成立，证明你的结论. 6.(★★★★★)已知函数f (x )=x 2+px +q ，对于任意θ∈R ，有f (sin θ)≤0，且f (sin θ+2)≥2.(1)求p 、q 之间的关系式； (2)求p 的取值范围；(3)如果f (sin θ+2)的最大值是14，求p 的值.并求此时f (sin θ)的最小值. 7.(★★★★)解不等式log a (x －x1)＞1 8.(★★★★★)设函数f (x )=a x 满足条件：当x ∈(－∞，0)时，f (x )＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案难点磁场解：原不等式可化为：2)2()1(--+-x a x a ＞0，即［(a －1)x +(2－a )］(x －2)＞0.当a ＞1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2)＞0同解. 若12--a a ≥2，即0≤a ＜1时，原不等式无解；若12--a a ＜2，即a ＜0或a ＞1，于是a ＞1时原不等式的解为(－∞，12--a a )∪(2，+∞).当a ＜1时，若a ＜0，解集为(12--a a ，2)；若0＜a ＜1，解集为(2，12--a a )综上所述：当a ＞1时解集为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a =0时，解集为∅；当a ＜0时，解集为(12--a a ，2）.歼灭难点训练一、1.解析：由f (x )及f (a )＞1可得：⎩⎨⎧>+-≤1)1(12a a ① 或⎩⎨⎧>+<<-12211a a ② 或⎪⎩⎪⎨⎧>-≥1111aa ③ 解①得a ＜－2，解②得－21＜a ＜1，解③得x ∈∅ ∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－21，1）答案：C 二、2.解析：由已知b ＞a 2∵f (x )，g (x )均为奇函数，∴f (x )＜0的解集是(－b ，－a 2)，g (x )＜0的解集是(－2,22a b -).由f (x )·g (x )＞0可得：⎪⎩⎪⎨⎧-<<--<<-⎪⎩⎪⎨⎧<<<<⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>2222,0)(0)(0)(0)(2222a x b a x b b x a b x a x g x f x g x f 或即或 ∴x ∈(a 2，2b )∪(－2b，－a 2) 答案：(a 2，2b )∪(－2b，－a 2)3.解析：原方程可化为cos 2x －2cos x －a －1=0，令t =cos x ，得t 2－2t －a －1=0，原问题转化为方程t 2－2t －a －1=0在［－1，1］上至少有一个实根.令f (t )=t 2－2t －a －1，对称轴t =1，画图象分析可得⎩⎨⎧≤≥-0)1(0)1(f f 解得a ∈［－2，2］.答案：［－2，2］三、4.解：(1)∵适合不等式|x 2－4x +p |+|x －3|≤5的x 的最大值为3，∴x －3≤0，∴|x －3|=3－x .若|x 2－4x +p |=－x 2+4x －p ，则原不等式为x 2－3x +p +2≥0，其解集不可能为{x |x ≤3}的子集，∴|x 2－4x +p |=x 2－4x +p .∴原不等式为x 2－4x +p +3－x ≤0，即x 2－5x +p －2≤0，令x 2－5x +p －2=(x －3)(x －m )，可得m =2，p =8.(2)f (x )=1818+-x x ，∴f -－1(x )=log 8xx -+11 (－1＜x ＜1)，∴有log 8x x-+11＞log 8kx +1，∴log 8(1－x )＜log 8k ，∴1－x ＜k ，∴x ＞1－k . ∵－1＜x ＜1，k ∈R +，∴当0＜k ＜2时，原不等式解集为{x |1－k ＜x ＜1}；当k ≥2时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}.5.解：由f (1)=27得a +b +c =27，令x 2+21=2x 2+2x +23x ⇒=－1，由f (x )≤2x 2+2x +23推得 f (－1)≤23. 由f (x )≥x 2+21推得f (－1)≥23，∴f (－1)=23，∴a －b +c =23，故 2(a +c )=5，a +c =25且b =1，∴f (x )=ax 2+x +(25－a ).依题意：ax 2+x +(25－a )≥x 2+21对一切x ∈R 成立，∴a ≠1且Δ=1－4(a －1)(2－a )≤0，得(2a －3)2≤0，∴f (x )=23x 2+x +1 易验证：23x 2+x +1≤2x 2+2x +23对x ∈R 都成立.∴存在实数a =23，b =1，c =1，使得不等式：x 2+21≤f (x )≤2x 2+2x +23对一切x ∈R 都成立.6.解：(1)∵－1≤sin θ≤1，1≤sin θ+2≤3，即当x ∈［－1，1］时，f (x )≤0，当x ∈［1，3］时，f (x )≥0，∴当x =1时f (x )=0.∴1+p +q =0，∴q =－(1+p )(2)f (x )=x 2+px －(1+p )，当sin θ=－1时f (－1)≤0，∴1－p －1－p ≤0，∴p ≥0 (3)注意到f (x )在［1，3］上递增，∴x =3时f (x )有最大值.即9+3p +q =14，9+3p －1－p =14，∴p =3.此时，f (x )=x 2+3x －4，即求x ∈［－1，1］时f (x )的最小值.又f (x )=(x +23)2－425，显然此函数在［－1，1］上递增.∴当x =－1时f (x )有最小值f (－1)=1－3－4=－6.7.解：(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-a xx11011由此得1－a ＞x 1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a-11＜x ＜0. (2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-a xx11011由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜a -11，∴1＜x ＜a -11. 综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x |a-11＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜a-11}.8.解：由已知得0＜a ＜1，由f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)，x ∈(0，1]恒成立.⎪⎩⎪⎨⎧+<-+-+<-⇔2111322m x mx xmx mx 在x ∈(0，1]恒成立. 整理，当x ∈(0，1)时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m x x 恒成立，即当x ∈(0，1]时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m xx m 恒成立，且x =1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m xmx 恒成立， ∵2121212-=-x x x 在x ∈(0，1]上为减函数，∴x x 212-＜－1， ∴m ＜x x 212-恒成立⇔m ＜0.又∵2112)1(112+-+-=-+x x x x ，在x ∈(0，1]上是减函数， ∴112-+x x ＜－1.∴m ＞112-+x x 恒成立⇔m ＞－1当x ∈(0，1)时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m xx m 恒成立⇔m ∈(－1，0)① 当x =1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m xmx ，即是⎩⎨⎧<<100m ∴m ＜0 ②∴①、②两式求交集m ∈(－1，0）,使x ∈(0，1]时，f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，m 的取值范围是(－1，0)① ②。

2011年高考数学复习知识点之不等式1、不等式的性质：（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤b aa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；2. 不等式大小比较的常用方法：比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当43x =时，1+3log x ＝2log 2x ）3. 利用重要不等式求函数最值（1）下列命题中正确的是A 、1y xx =+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2-D 、423(0)y x x x=-->的最小值是2-（答：C ）；（2）若21x y +=，则24x y+的最小值是______（答：）；（3）正数,x y 满足21x y +=，则yx 11+的最小值为______（答：3+；4.常用不等式有：如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_____（答：[)9,+∞）5、证明不等式的方法：（1）已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ；(2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++；（3）已知,,,a b x y R +∈，且11,x y a b>>，求证：x y x a y b>++；(4)已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22()c a abc a b c +≥++； 6.简单的一元高次不等式的解法：（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。