初二数学(几何证明Ⅱ倍长中线法及截长补短法专题B)学科教师版

八年级上册数学截长补短法一、截长补短法的概念。

1. 定义。

- 截长补短法是几何证明题中一种常用的辅助线添加方法。

“截长”就是将一条较长的线段截成两段或几段，使得其中的一段或几段与已知线段相等；“补短”就是将一条较短的线段延长，使得延长后的线段与已知的较长线段相等。

- 例如，在三角形ABC中，要证明AB = AC+CD（假设AB>AC），“截长”的做法可以是在AB上截取AE = AC，然后去证明BE=CD；“补短”的做法可以是延长AC到F，使CF = CD，然后去证明AB = AF。

2. 适用情况。

- 当题目中出现证明两条线段之和等于第三条线段或者两条线段之差等于第三条线段等类型的问题时，常常考虑使用截长补短法。

- 比如在四边形或者三角形的边的关系证明中经常用到。

如在等腰三角形的相关证明中，如果要证明等腰三角形腰长与底边一部分线段的关系时，可能就需要用到这种方法。

二、截长补短法的解题步骤。

1. 截长法解题步骤。

- 第一步：观察图形和已知条件，确定要截的线段。

一般选择较长的那条线段进行截取。

- 第二步：根据已知条件截取合适的长度，使得截取后的线段与其他已知线段有一定的联系。

例如，在三角形中，如果有角平分线的条件，可能会截取与角平分线到角两边距离相等的线段。

- 第三步：连接截取点与其他点，构造全等三角形或者其他特殊的几何关系。

- 第四步：利用全等三角形的性质或者其他几何定理进行推理，得出要证明的结论。

- 例如：在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠C = 2∠B，求证：AB = AC+CD。

- 证明（截长法）：在AB上截取AE = AC，连接DE。

- 因为AD是角平分线，所以∠EAD = ∠CAD。

- 在△AED和△ACD中，AE = AC，∠EAD = ∠CAD，AD = AD，根据SAS（边角边）定理，△AED≌△ACD。

- 所以∠AED = ∠C，CD = ED。

- 又因为∠C = 2∠B，∠AED = ∠B + ∠EDB，所以∠B = ∠EDB。

教师姓名学生姓名年级初二上课时间学科数学课题名称几何中的辅助线巩固复习待提升的知识点/题型Ⅰ知识梳理知识点一倍长中线法：延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。

倍长中线法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系。

知识点二角平分线作平行线：对于题目中出现角平分线，常见的一种辅助线是过这条角平分线上的某一点作平行线，使内错角与等角中的一个角处在同一三角形当中，产生等腰三角形。

注意：有时会通过角平分线和等腰寻找平行线，还有通过平行线和等腰反推角平分线，三者属于二推一的形式。

知识点三连线构造全等或等腰三角形：构造几何图形在辅助线中属于比较难的一种，关键在于对一些基本的几何模块比较熟悉，并且能够熟练运用它的性质。

知识点四截长补短法：对于线段中的和线段、差线段问题往往直接入手会很难转化到已经学过的知识上来，所以需要通过截长补短转化到等线段上面来。

Ⅱ知识精析一、倍长中线法（一）典例分析、学一学例1-1如图，在△ABC中，AD是BC边中线；在利用倍长中线法解题时，请用准确的语句描述下图所添加的辅助线：延长到使，联结。

E DB CA例1-2已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE（二）限时巩固，练一练在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( )A.2＜AB＜12B.4＜AB＜12C.9＜AB＜19D.10＜AB＜19二、角平分线作平行线（一）典例分析、学一学例2-1△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，且BD=CD ，求证：AB=AC例2-2已知：如图，△ABC （AB≠AC ）中，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF=AC ．求证：AE 平分∠BAC ．（二）限时巩固、练一练如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．D B C AFGE DCBA三、连线构造全等或等腰三角形（一）典例分析，学一学例3-1如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，F是AC延长线上一点，连DF交BC于E，若DB=CF，求证：DE=EF．例3-2如图，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点．求证：AF⊥CD（二）限时巩固、练一练如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD交BD延长线于点E．求证：BD＝2CE．四、截长补短（一）典例分析、学一学例4-1（1）如图：在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B =2∠C，求证：AB + BD = DC．（2）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB+BD＝DC．求证：∠B＝2∠C例4-2如图，已知在△ABC中，∠A = 2∠B，CD平分∠ACB，试猜想BC、AD、AC三线段之间有着怎样的数量关系，并加以证明．ADB CⅢ课堂测评1.如图，点E 是BC 的中点，∠BAE=∠CDE ，延长DE 到点F 使得EF=DE ，联结BF ，则下列说法正确的是（ ） ①BF ∥CD ②△BFE ≌△CDE ③AB=BF ④△ABE 为等腰三角形 A .①②③ B .②③④ C .①③④ D .①②③④2.如图，在△ABC 中，AB=2AC ，AD 平分BC ，AD ⊥AC ，则∠BAC 的度数为（ ） A ．100° B . 105° C . 120° D . 135°3.如图，已知CB 、CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC=AB ，给出下列结论：①AE=2AC ；②CE=2CD ；③∠ACD=∠BCE ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是（ ）A .①②④B .①③④C .①②③D .①②③④4.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，在AB 边上取点D ，在AC 的延长线上取点E ，使得BD=CE ，联结DE 交BC 于点G ，求证：DG=GE ．FEB CDA5.如图：已知EC 与AD 相交于点B ，∠AEC = ∠A +∠C ，EB = BC ．求证：AB = BD+DC ．Ⅳ 回顾总结一、常用的辅助线做法有哪些？ 二、作辅助线的题型如何识别？三、作辅助线时要注意什么？有哪些技巧？Ⅴ 课后挑战1.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 与CE 相交于点O ，BO ＝CO ．求证：∠B ＝∠C ．EOBCAD2.如图，在四边形ABDC 中，点E 是线段CD 上的一点，∠CAE=∠EAB ， （1）若∠DBE=∠EBA ，AD//BC ，求证：AB=AC+BD ；（2）若点E 为CD 中点，AB=AC+BD ，求证：∠DBE=∠EBA 。

1初二秋季·第2讲·提高班·教师版三角形9级 全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一） 三角形7级倍长中线与截长补短倍长中线与截长补短满分晋级漫画释义2倍长中线 与截长补短2初二秋季·第2讲·提高班·教师版定 义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角．EDABC其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =． 【解析】 延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ．则CDE BDA △≌△，∴CE AB =，CED BAD ∠=∠， ∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CED CAD ∠=∠，∴CE AC =， ∴AB AC =．思路导航例题精讲知识互联网题型一：倍长中线EABCDABCD3初二秋季·第2讲·提高班·教师版【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1； 已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1； 已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．【拓展1】已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90° ∴△ABD ≌△ACD (SAS) ∴AB =AC ．【拓展2】已知△ABC 中，AD ⊥BC ，且BD CD =，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD ⊥BC ，且BD CD =∴AD 所在直线是线段BC 的垂直平分线 根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 故AB =AC ．【例2】 ⑴如图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD AB =．给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ． 【解析】 ①正确．∵AB AC =，BD AB =，∴AD =2AC ．②、④正确．延长CE 到F ，使EF CE =，连接BF ． ∵CE 是AB 的中线，∴AE EB =． 在EBF △和EAC △中 AE BEAEC BEF CE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩典题精练ABDEDCBA4初二秋季·第2讲·提高班·教师版∴EBF EAC ≌△△∴BF AC AB BD ===，EBF EAC ∠=∠ ∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ 在FBC △和DBC △中 FB DB FBC DBC BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FBC DBC ≌△△∴2CD CF CE ==，∠FCB =∠DCB 即CD =2CE ，CB 平分∠DCE ．③错误．∵∠FCB =∠DCB ，而CE 是AB 边上中线而不是∠ACB 的角平分线故∠ACE 和∠BCD 不一定相等．⑵如图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ．NM ED CBAEDCBA【解析】 点D 、E 为边BC 的三等分点，∴BD =DE =CE 延长AD 至点M ，AE 至点N ，使得DM =AD ，EN =AE ，连接EM 、CN ，则可证明△ABD ≌△MED ，进而可得AB +AE ＞2AD ，再证明△ADE ≌△NCE ，进而可得AD +AC ＞2AE ，将两式相加可得到AB +AE +AD +AC ＞2AD +2AE ，即AB +AC ＞AD +AE ． ∴①②③④均正确．【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FCAEBD5初二秋季·第2讲·提高班·教师版【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连接BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB △≌△， ∴AC GB =，G EAF ∠=∠ 又∵AF EF =，∴EAF AEF BED ∠=∠=∠ ∴G BED ∠=∠，∴BE BG =，∴AC BE =．【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．NABCDMPQ Q PMDCBA【解析】 延长PM 至点N ，使PM =MN ，连结CP 、CN 、DN ．易证△PMQ ≌△NMD ， ∴PB =PQ =DN ，∠PQD =∠NDM ∴PQ ∥DN ，又∵∠BPQ =∠BDN= 90° ∴∠PBQ =∠BDC=∠NDC =45° 再证△BPC ≌△DNC (SAS) 易证△PCN 为等腰直角三角形， 又∵PM =MN ，∴PM ⊥MC ,且PM =CM ．GFEDCBA FE D CBA6初二秋季·第2讲·提高班·教师版定 义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段DCBA在线段AB 上截取AD AC =补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等AB C D延长AC ，使得AD AB =【例5】 在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=︒，求C ∠的大小．（希望杯培训题）D C B AED CB A【解析】 在AB 上截取AE AC =，连接DE ．∵AE AC =，BAD CAD ∠=∠，AD AD =，∴ACD AED △≌△， ∴C AED ∠=∠，CD DE =，∵AB AC CD =+，AE AC =，∴CD BE DE == ∴40EBD EDB ∠=∠=︒，80C AED ∠=∠=︒例题精讲思路导航题型二：截长补短7初二秋季·第2讲·提高班·教师版D CB AEDCB AD CEBAE DCB A【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．求证：AB BD AC +=． 【解析】方法一：（截长）在AC 上截取AB AE =，连接DE ．在ABD △和AED △中AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =∴ABD AED △≌△∴BD ED =，B AED ∠=∠又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠ ∴EDC C ∠=∠，∴ED EC =∴AB BD AC +=． 方法二：（补短）延长AB 到点E 使得AC AE =，连接DE ． 在AED △和ACD △中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD = ∴AED ACD △≌△，∴C E ∠=∠ 又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE BD =，∴AB BD AC +=．方法三：（补短）延长DB 到点E 使得AB BE =，连接AE 则有EAB E ∠=∠，2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠ 又∵2ABC C ∠=∠，∴C E ∠=∠ ∴AE AC = EAD EAB BAD E DAC ∠=∠+∠=∠+∠C DAC ADE =∠+∠=∠∴AE DE =，∴AB BD EB BD ED AE AC +=+=== ∴AB +BD=AC若题目条件或求证结论中含有“a b c =+”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法.【例7】 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C ∠=∠．【解析】 方法一：在DC 上取一点E ，使BD DE =，如图1，在ABD △和AED △中，AD BC ⊥，BD ED =，AD AD =．典题精练DC BA8初二秋季·第2讲·提高班·教师版∴ABD AED △≌△． ∴AB AE =，B AED ∠=∠．又∵AE AB CD BD CD DE EC ==-=-= ∴C EAC ∠=∠，∴2C EAC AED C ∠+∠=∠=∠ ∴2B C ∠=∠．图1E AB CD图2EAB CD方法二：延长DB 到点E ，使BE AB =，如图2， ∴E EAB ∠=∠．∵AB CD BD =-，∴ED CD =．在AED △和ACD △中，AD BC ⊥，ED CD =，AD AD =． ∴AED ACD △≌△． ∴E C ∠=∠． ∵2ABD E ∠=∠ ∴2B C ∠=∠．【探究对象】截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有： 截长法：⑴过某一点作长边的垂线；⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

学科教师辅导讲义 年 级： 科 目：数学 课时数：3课 题 几何证明教学目的 能够灵活运用本节课复习的两种解题方法更好的解决证明题.教学内容【例题讲解】题型一：截长补短法【例1】已知：如图，在△ABC 中，2ABC ACB ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线.求证：AB BD AC +=.（根据图中添加的辅助线用两种方法证明）ABDC【提示】截长补短，2种方法‘方法一：方法二：【例2】已知：如图，在△ABC 中，2AB BC ，∠B =60°.求证：∠ACB =90°.【提示】截长补短（两种方法）方法一：方法二：【方法总结】当已知（或求证）“一条线段的长度是另一条线段长度的n 倍”或“一条线段的长度等于两条线段长度的和”时，通常用截长补短法.题型二：倍长中线法（一）求线段取值范围【例3】已知三角形的两边长分别为7和9，求第三边上中线长的取值范围.【提示】倍长中线（二）证明线段不等【例4】如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AB +AC ＞2AD ．【提示】延长AD 至点E ，使DE =AD ，连接CE ．易证△ABD ≌△ECD ．所以AB =EC ．在△ACE 中，因为AC +EC ＞AE =2AD ，所以AB +AC ＞2AD ．（三）证明线段相等.求证：AC=BF. 【例5】已知：如图，AD为△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE EF【提示】倍长中线法，2种方法方法一：方法二：【方法总结】当已知“三角形一边中线”通常运用“倍长中线法“解决问题（注：有时倍长的并不一定是中线）.可以倍长过中点的任意一条线段.（如下题）【例6】如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．【分析】可以把FE看作△FBC的一条中线．延长FE至点H，使EH=FE，连接CH．则△CEH≌△BEF．所以CH=BF，∠H=∠1．因为EG//AD，所以∠1=∠2，∠3=∠G．又因为∠2=∠3，所以∠1=∠G．所以∠H=∠G．由此得CH=CG．所以BF=CG．方法二：延长GE到H使得EH=EG（四）证明线段倍分【例7】如图，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD．CAD B E【分析】延长CD至点F，使DF=CD，连接BF．则由△ADC≌△BDF可得AC=BF，∠1=∠A．由AC=AB得∠ACB=∠2．因为∠3=∠A+∠ACB，所以∠3=∠CBF．再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，可得△CBE≌△CBF，所以CE=CF，即CE=2CD（五）证明两直线垂直【例8】如图，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：MA⊥BC．FEB CDAMHG【分析】设MA的延长线交BC于点D，延长AM至点N，使MN=AM，连接FN．则由△FMN≌△HMA可得FN=AH=AC，FN//AH，所以∠AFN+∠F AH=180°．因为∠BAC+∠F AH=180°，所以∠AFN=∠BAC．又因为AF=AB，所以△AFN ≌△BAC，得∠1=∠2．因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠ADB=90°．从而得出MA⊥BC．【借题发挥】1．已知：如图，DA⊥AC，FC⊥AC，ADB BDF∠=∠，CFB DFB∠=∠.求证：DF AD CF=+.【提示】截长补短，2种方法方法一：方法二：2．已知：如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，点P在DC边上，且AP AB CP=+.求证：2BAP BAM∠=∠.AD CBMP【提示】截长补短，2种方法方法一：方法二：3．已知：如图，C是AB的中点，点E在CD上，且AE BD=.求证：AEC BDC∠=∠.【提示】倍长中线法，2种方法方法一：方法二：+=. 4．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，作DH⊥BC于点H.求证：DC CH BH【提示】截长补短法，两种方法方法一：方法二：【课堂总结】【课后作业】1．已知D为EC的中点，EF∥AB，且EF=AC，求证：AD平分∠BAC【提示】倍长中线法：延长FD至G，使FD=DG，联结CG2．已知如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB BD DC+=.求证:∠2B=∠C.【提示】截长补短法，两种方法方法一：方法二：二、综合提高训练1．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC, ∠B的平分线与AC交于点D，过点C作CH⊥BD，H为垂足。

三角形全等之倍长中线、截长补短所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 方式1： 延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE△ABC 中AD 是BC边中线方式2：间接倍长①作CF ⊥AD 于F ，②延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD【经典例题】例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠练习：1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且 AE=EF ，求证：AC=BF2、如图，AB=AE ，A B ⊥AE ，AD=AC ，A D ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE=2AM第 1 题图ABFDECC M角平分线中截长补短方法在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗。

例１．已知：如图，在△ABC 中，AB>AC ∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.例２．如图，在△ABC 中，AB >AC ，∠1=∠2，P 为AD 上任意一点，连接BP ，CP ． 求证：AB -AC >PB -PC ．例3.已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．例4.已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .DC B A12图4-121PD CB A D OECB AF EDC B A练习：1、已知：△ABC 中，AB=4cm ，BC=6cm ，BD 是AC 边上的中线，求BD 的取值范围。

专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED=证明∵//CE AB （已知）∴ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，∵ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），∴()A.A.S ABD ECD △△≌，∴AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB = ，在ACE ∆中，AC CE +> ，2AB AC AD +>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_ 及位置关系_ ．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

倍长中线与截长补短互动精讲知识点一.倍长中线【知识梳理】∆ABC中AD是BC边中线方式延长AD到E,使DE二AD,连接BE•E方式2：间接倍长，延长MD到N,使DfMD,连接CN作CF丄AD于F,作BE丄AD的延长线于E连接BE【例题精讲】例1、∆ABC 中，AB 二5, AC=3,求中线AD 的取值范围。

.∙. BD= CD I∙.∙ BD = CD t ZADC=ZBDE t AD=DE t ：.AADC 9 ΔEDB t：.EB=AC I 根据三角形的三边关系定理：5-3<∕lE<5 + 3 r .•・ 1 < AD < 4.例2、已知：如图，在ΔABC 中，ABHAC, D 、E 在BC 上，且DE 二EC,过D 作DF//BA 交AE 于点F, DF=AC.求证：AE 平分ZBAC≡ΔPEF 和 ZSCEG 中. ED= EC ZDEF = ZCEG , FE=EG・・^DEF 竺ΔCEG. ∖ DF=GC t ZDFE=ZG. ・• DF // AB l ・.ZDFE=乙BAE. :DF = AC l •・ GC=AC.・.厶G =ECAE..ZBAE=ZCA E .即AE 平分上BAC.{证明：如图，延长FE 到G,使EG=EF ,连接CG.E'：AD 是厶ABC 的中线，【课堂练习】1、在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于F,求证：AF = EFOCG-AD是BC边上的中线（已知），•・.DC=DB .在厶ADC和AGDB中，'AD=DG< Z4DC-ZGDB(对顶角相等)DC=DBj.^ADC ^GDB(SAS) I:•厶CAD =厶G ■ BG=ACXv BE=AC e・・.BE=BG ,・・・ZBED ZG ,・.・ ZBED= ZAEF t .∖ΛΛEF^= Z.CAD t 即：/.AEF≈ΔFAE t.・・ AF = EF.2、如图，∆ABC中，E、F分别在AB、AC ±, DE丄DF, D是中点，试比较BE+CF 与EF的大小・BE + CF > FP = EF・延长ED 至P , ^DP = DE t连接FP l CP t•・・D是BC的中点，/. BD= CD I在HBDE和ΔCZ)Pφf(DP=DE< 乙EDB=乙CDP[BD=CD・•・ 5BDE ^^CDP(SAS) f.∙. BE=CP l∖∙ DELDF I DE=DP J.∙. EF = FP,(垂直平分线上的点到线段两端点距离相等) 在厶CFP中.CP + CF = BE+ CF > FP = EF・知识点二.截长补短 【知识梳理】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。