辽宁师大附中2015届高三上学期期中考试 数学(文)

三省二模文科数学答案参考答案：一、选择题13． 4 ； 14． 2 ； 15． 11π ； 16．()1,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题 １７．解： （Ⅰ）⋅m n 22132sincos()2sin 2sin 12(sin )222222=-+=-++=--+A A A A B C ，-------- 3分0A <<π，∴022A π<<，∴当1sin 22A =，即3A π=时，⋅m n 取得最大值； -----------6分（Ⅱ）由2,2sin ,2sin sin sin sin sin 3=====∴=a b c b B c C A B C ， -----------8分2C A B B 3π=π--=- ∴22224sin 4sin 42sin(2)6b c B C B π+=+=+-，---------10分20,3π<<B ∴72666πππ-<-<B ∴1sin(2)1,26π-<-≤B ∴2236<+≤b c∴22b c +的取值范围为(3,6].--------------12分１８．解：（Ⅰ）平均值为104.0, 众数为104.1 -------------4分 -------------7分 （Ⅲ）设＂恰有1个城市CPI 值在[)103.5,104.0中＂为事件Ａ．在[)103.0,103.5中有２个城市，分别设为a,b ，在[)103.5,104.0中有３个城市，分别设为c,d,e 则从[]103.0,104.0区间内随机选取2个城市构成的基本事件为：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d) ，(b,e) ，(c,d)，(c,e)，(d,e)共有１０个，-------------9分事件Ａ＂恰有1个城市CPI 值在[)103.5,104.0中＂包括的基本事件为：(a,c)，(a,d)，(a,e)， (b,c)，(b,d) ，(b,e)共有６个-------------11分 故所求事件Ａ的概率()P A ＝610＝35． 答：恰有1个城市CPI 值在[)103.5,104.0中的概率为35．-------------12分１９．（I ）证明：取BC 的中点F ，连DF ,'FC ，D 为AB 的中点，E 为''A C 的中点∴1//2DF AC ，1'//2EC AC ，所以，//DF EC ，得平行四边形'C EDF ，所以，//'DE FC ， ---------------4分又因为DE ⊄平面''BB C C ，'FC ⊄平面''BB C C ， 所以，//DE 平面''BB C C ． --------------6分（II ）解：取'CC 的中点G ，连'B G ，则''B G CC ⊥， 因为，AC ⊥面''BB C C ，所以，'B G ⊥平面''ACC A ，'B G =''BB C C 中，Ｆ为ＢＣ的中点，所以Ｆ到'C C的距离等于1'22B G =，即Ｆ到平面''ACC A的距离为2． --------------9分 梯形'ACEA 的面积Ｓ＝1(12)22+⨯＝３ 四棱锥'D ACEA -的体积V 133==． -------------12分 5.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则222225a b c a b c a⎧⎪=+⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2,1,a b c ===为2214x y +=.-----------------4分A BC'A'B'CEDFG（Ⅱ）方法一：设交点11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =-，则易得S =. --------------6分 当直线l 的斜率存在时，设其方程为(1)y k x =+（0≠k ），联立椭圆方程2214x y +=，得 2222(41)84(1)0k x k x k +++-=，两个根为12x ,x0∆>恒成立，21228k x x +=-，21224(k 1)x x 4k 1-⋅=+ ---------------7分则12|||PQ x x =-=(0)k ≠，又原点到直线l 的距离d， --------------8分所以1||2S PQ d =⋅==(0)k ≠==242<⋅=--------------11分 所以，当直线l 的方程为1x =-时，∆POQ 面积最大. --------------12分 方法二：设交点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =-，则易得S =. ----------6分 当直线l 的斜率存在时，设其方程为(1)y k x =+（0≠k ），联立椭圆方程2214x y +=，得 2212(4)30+--=y y k k，两个根为12,y y ， 0∆>恒成立，212122223,4141-+=⋅=++k k y y y y k k ， -----------7分12-y y ---------------8分 ()()12121122∆∆∆∴=+=⨯⨯+=⨯-POQ POT QOT S S S OT y y y y2<=--------------11分 所以，当直线l 的方程为1x =-时，∆POQ 面积最大. -----------12分２１．解：（Ⅰ）依题意，知()f x 的定义域为(0,)+∞. -------------1分当0a =时，1()2ln f x x x =+，222121()x f x x x x -'=-=. 令()0f x '=，解得12x =当102x <<时，()0f x '<；当12x >时，()0f x '> .()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增所以12=x 时，()f x 有极小值为1()22ln 22f =-，无极大值---------------3分（Ⅱ）221()2a f x a x x -'=-+222(2)1ax a x x +--=21(21)()(0)-+=<a x x a a x 当2a <-时，112a -<， 令()0f x '<，得1x a <-或12x >，令()0f x '>，得112x a -<<；当20a -<<时，得112a ->，令()0f x '<，得102x <<或1x a >-，令()0f x '>，得112x a<<-；当2a =-时，22(21)()0x f x x -'=-≤.综上所述，当2a <-时，()f x 的递减区间为11(0,),(,)2a -+∞；递增区间为11(,)2a -. 当2a =-时，()f x 在(0,)+∞单调递减. 当20a -<<时，()f x 的递减区间为11(0,),(,)2a-+∞；递增区间为11(,)2a -.---------------7分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当(3,2)a ∈--时，()f x 在[]1,3单调递减. 当1x =时，()f x 取最大值；当3x =时，()f x 取最小值.所以121()()(1)(3)(12)(2)ln 363f x f x f f a a a ⎡⎤-≤-=+--++⎢⎥⎣⎦24(2)ln 33a a =-+-. 因为12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-恒成立， 所以2(ln 3)2ln 34(2)ln 33m a a a +->-+-，整理得243ma a >-. ---------------10分又0a < 所以243m a <-， 又因为32a -<<- ，得122339a -<<-， 所以132384339a -<-<-所以133m ≤- . ---------------12分 ２２．解：(Ⅰ) 连结ON ，则PN ON ⊥，且OBN ∆为等腰三角形，则ONB OBN ∠=∠，OBN OMB PMN ∠-=∠=∠ 90，ONB PNM ∠-=∠ 90P N M P M N∠=∠∴，PN PM =∴． ---------------3分 由条件，根据切割线定理，有 PC PA PN ⋅=2，所以PC PA PM ⋅=2． --------------5分(Ⅱ)2=OM ，在BOM Rt ∆中，422=+=OM OB BM ． 延长BO 交⊙O 于点D ，连结DN ．由条件易知BOM ∆∽BND ∆，于是BDBMBN BO =，即34432=BN ，得 6=BN ．所以246=-=-=BM BN MN . ---------------10分２３．解：(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得051272=--t t设A ，B 对应的参数分别为21,t t ，则 75,7122121-==+t t t t ． ---------------3分 所以771104)(5)4()3(212212122=-+=--+-=t t t t t t AB ． ------5分 (Ⅱ)易得点P 在平面直角坐标系下的坐标为)2,2(-，根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应C的参数为76221=+t t ． ---------8分 所以由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为73076)4()3(22=⋅-+-=PM ． -------10分24解:：(Ⅰ)541≥-+-x x 等价于1255x x <⎧⎨-+≥⎩ 或1435x ≤≤⎧⎨≥⎩ 或4255x x >⎧⎨-≥⎩， 解得：0x ≤或5x ≥．故不等式()5f x ≥的解集为{0x x ≤或5}x ≥． ……5分 (Ⅱ)因为: ()1(1)()1f x x x a x x a a =-+-≥---=-（当1x =时等号成立） 所以：min ()1f x a =- ……8分由题意得：14a -≥， 解得3-≤a 或5≥a ． ……10分。

辽宁师大附中2015届高三上学期10月模块考试数学（文）试题（解析版）【试卷综析】试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。

整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项. 【题文】1、已知集合B A x xx B x x x A 则},02|{},034|{2≤-=>+-=等于（ ） A ．}21|{<<x x B ．}321|{><<x x x 或C ．}10|{<≤x xD ．}310|{><≤x x x 或【知识点】交集及其运算.A1【答案解析】C 解析：由题意解出A ，B ，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【思路点拨】∵集合A={x|x 2﹣4x+3＞0}，∴A={x|x ＞3或x ＜1}， ∵B={x|≤0}，∴B={x|0≤x ＜2}，∴A ∩B={x|0≤x ＜1}，故选C ．【题文】2、已知数列}{n a 为等差数列，且π41371=++a a a ，则)tan(122a a +的值为（ ）A B 、、、【知识点】等差数列的性质；运用诱导公式化简求值；两角和与差的正切函数．C2 C5 D2 【答案解析】B 解析：∵π41371=++a a a ，则a 7=43π，∴tan （a 2+a 12）=tan2a 7=tan83π=，故选B. 【思路点拨】因为π41371=++a a a ，则a 7=43π，所以tan （a 2+a 12）=tan2a 7=tan 83π，由诱导公式计算可得答案．【题文】3、已知b a,是两个非零向量，给定命题b a b a p =⋅:，命题R t q ∈∃:，使得b t a=，则p 是q 的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；向量的几何表示．A2 F2【答案解析】C 解析：（1）若命题p 成立，∵，是两个非零向量，|•|=||||，即|||||•cos ＜，＞|=||||，∴cos ＜，＞=±1，＜，＞=00或＜，＞=1800∴，共线，即；∃t ∈R ，使得=t ，∴由命题p 成立能推出命题q 成立．（2）若命题p 成立，即∃t ∈R ，使得=t ，则，两个非零向量共线，∴＜，＞=00或＜，＞=1800，∴cos ＜，＞=±1，即|||||•cos ＜，＞|=||||，∴|•|=||||，∴由命题q 成立能推出命题p 成立．∴p 是q 的充要条件．故选C ． 【思路点拨】利用两个向量的数量积公式，由命题p 成立能推出命题q 成立，由命题q 成立能推出命题p 成立，p 是q 的充要条件． 【题文】4、函数)42sin(2)(π-=x x f 的一个单调减区间是（ ）A 、 ]89,85[ππB 、 ]83,8[ππ-C 、 ]87,83[ππ D 、 ]85,8[ππ 【知识点】复合三角函数的单调性．C3 【答案解析】C 解析：由2k π+≤2x ﹣≤2k π+（k ∈Z ）得：k π+≤x ≤k π+，∴函数)42sin(2)(π-=x x f 的单调递减区间为[k π+，k π+]．当k=0时，函数)42sin(2)(π-=x x f 的一个单调递减区间是]87,83[ππ．故选C ． 【思路点拨】由正弦函数的单调性可求得正弦函数的递减区间，继而可得答案． 【题文】5、设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则 69S S =（ ）A 、 2B 、73 C 、 83D 、3 【知识点】等比数列的前n 项和.D3【答案解析】B 解析：设公比为q ，则63S S ===1+q 3=3，所以q 3=2，所以69S S ===．故选B ．【思路点拨】首先由等比数列前n 项和公式列方程，并解得q 3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案．【题文】6、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A 、3B 、4C 、5D 、2【知识点】等差数列的通项公式．D2 【答案解析】A 解析：根据题意得：115201552530a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：3d =，故选A ．【思路点拨】写出数列的第一、三、五、七、九项的和，写出数列的第二、四、六、八、十项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．【题文】7、已知向量(1,2)a =，向量(,2)b x =-，且()a a b ⊥-，则实数x 等于（ ） A 、4- B 、4 C 、0 D 、9 【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．F3【答案解析】D 解析：由向量(1,2)a =，向量(,2)b x =-，∴a b -=（1﹣x ，4），又()a a b ⊥-，∴1×（1﹣x ）+2×4=0，解得x=9．故选D ．【思路点拨】由给出的向量的坐标求出a b -的坐标，然后直接利用向量垂直的坐标表示列式求解x 的值．【题文】8、已知01a <<，log log aa x =，1log 52a y =，log log a a z =-，则（ ） A ．x y z >> B ．z y x >>C ．y x z >>D ．z x y >>【知识点】对数值大小的比较。

江西师范大学附属中学2015届高三上学期期中考试数学（文）试题2014年11月一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}1,0,1,sin π,,A B y y x x A AB =-==∈=则( )A. {}1-B. {}0C. {}1D. Æ2. 已知平面向量()2,1a =-，()1,3b =，那么a b +等于（ ）A. 5B.C.D. 13 3．已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ,且317S a =，则数列{}n a 的公比q 的值为（ ）A ．2B ．3C ．2或-3D ．2或34．若函数()sin x f x e x =，则此函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 5．“3=a ”是“直线022=++a y ax 和直线07)1(3=+--+a y a x 平行”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件6．已知两条不重合的直线,m n 和两个不重合的平面,,αβ有下列命题： ①若,m n m α⊥⊥，则//n α；②若,,//,m n m n αβ⊥⊥则//;αβ③若,m n 是两条异面直线，,,//,//,m n m n αββα⊂⊂则//;αβ④若,,,,m n n m αβαββ⊥=⊂⊥则n α⊥. 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．函数3()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则( )A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <8. 若ABC ∆的三个内角A ,B ,C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==,则ABC ∆ ( ) A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 9．在ABC ∆中,04,30,AB BC ABC AD ==∠=是边BC 上的高，则AD AC ⋅的值等于（ ） A ．0B ．4C ．8D ．4-10. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线m x a y +=121与圆()1222=+-y x 的两个交点关于直线0=-+d y x 对称，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前10 项和=( )A ．109 B ． 1110C ． 98D ．211．右图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为1V ，俯视图绕底边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记 为2V ,则12:V V =（ ） A． B．C．D．12．若，则下列各结论中正确的是（ ） A．()()2a bf a f f +<<B．()()2a bf f f b +<< C ．D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若为等差数列，是其前n 项和，且，则的值为 14．把函数的图象sin()(0),||2y x πωϕωϕ=+><向左平移3π个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω+φ= 15．如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体,例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第(3)个几何体的表面积是36个平方单位. 依此规律,则第n 个几何体的表面积是___ ____个平方单位.第14题图16．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，对x R ∀∈都有(1)(1)f x f x -=+成立， 当(0,1]x ∈且12x x ≠时，有2121()()0f x f x x x -<-。

辽宁省师大附中2014-2015学年高二上学期10月模块考试数学试卷（解析版）一、选择题1．若0<<b a ，则下列结论中不恒成立．．．．的是（ ） A ．a b > B ．11a b > C ．ab b a 222>+ D．a b +>-【答案】D 【解析】试题分析：由不等式的基本性质可知A 、B 是正确的；选项C 是重要不等式ab b a 222≥+，由于b a <，所以等号不成立，因此C 正确；D 选项中ab b a 2-<+恒成立，答案选D. 考点：不等式的性质2．有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x 、y 、z ，则下列选项中能反映x 、y 、z 关系的是（ ） A ．65=++z y xB ．⎪⎩⎪⎨⎧>>=++z y z x z y x 65 C ．⎪⎩⎪⎨⎧>>>>=++0065z y z x z y xD ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<=++65656565z y x z y x【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知年龄和为65，且父母的年龄比小孩大，小孩的年龄是正数，答案选C.考点：线性规划的约束条件3．等差数列}{n a 的前n 项和为2811,30n S a a a ++=若，那么13S 值的是 （ ） A ．130 B ．65 C ．70 D ．以上都不对 【答案】A 【解析】试题分析：因为71111823)6(3183a d a d a a a a =+=+=++，所以107=a ，因此130132)(13713113==+=a a a S ，答案选A.考点：等差数列的性质与求和4．设}{n a 是等差数列，}{n b 为等比数列，其公比q ≠1, 且0>i b （i=1、2、3 …n ）若11b a =,1111b a =则（ ）A ．66b a =B ．66b a >C ．66b a <D ．66b a >或 66b a < 【答案】B 【解析】试题分析：由等差、等比数列的性质可知221111116b b a a a +=+=，1116b b b =，又0>i b ，由基本不等式可知66b a ≥，而q ≠1，所以等号不成立，因此答案选B. 考点：等差、等比数列的性质和基本不等式5．设等比数列{}n a 的公比2=q ， 前n 项和为n S ，则=45a S （ ） A ．2 B ．4 C ．831 D ．431 【答案】C【解析】试题分析：由等比数列的性质可知8312)21(21)1()1()1()1(35315145145=--=--=--=q a q q a a q q a a S ，答案选C.考点：等比数列的性质6．在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，q ∈R 且｜q ｜≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 【答案】C 【解析】试题分析：由等比数列的性质可知1110143215154321)(a q a q a a a a a a a m ====+++，答案选C. 考点：等比数列的性质7．数列n {a }中，对任意*N n ∈，n 12n a +a ++a =21⋅⋅⋅-，则22212n a +a ++a ⋅⋅⋅等于（ ） A ．()2n2-1B ．3)12(2-n C.14-nD ．314-n【答案】D【解析】试题分析：由1221-=+++n n a a a 得121121-=+++--n n a a a ，两式相减得11222--=-=n n n n a ，所以数列n {a }是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列}{2na 是首项为1，公比为4的等比数列，因此314414122221-=--=+++n n n a a a ，答案选D. 考点：等比数列的性质8．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足5524-+=n n B A n n ，则135135b b a a ++的值为（ ） A.97 B.78 C.2019 D.87【答案】D【解析】 试题分析：由等差数列的性质可知：87517521742/)(172/)(171717171171171171135135=-⨯+⨯==++=++=++B A b b a a b b a a b b a a ，答案选D.考点：等差数列的性质9．已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n ,则312215S S S -+的值是（ ）A ．-76B ．76C ．46D ．13 【答案】A 【解析】试题分析：（并项求和法）由已知可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯--⨯+=为偶数为奇数n n n n S n 2)4(2141，所以2921154115=-⨯+=S ，6121314131=-⨯+=S ，44222)4(22-=⨯-=S ，因此76614429312215-=--=-+S S S ，答案选A.考点：并项求和10．设数列}{n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知99741=++a a a ,852a a a ++93=，若对任意*N n ∈，都有k n S S ≤成立，则k 的值为（ ） A ．22 B ．21 C ．20 D ．19【答案】C 【解析】试题分析：由等差数列的性质可知：9934741==++a a a a ，9335852==++a a a a ，所以31,3354==a a ，因此数列的首项为39，公差为-2，所以412)1(239+-=--=n n a n ，令0>n a 得241<n ，从而有0,02120<>a a ，因此k 的值为20，答案选C. 考点：等差数列的性质11．设数列}{n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，}{n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则=+++1021b b b a a a （ ）A ．1033B ．2057C ．1034D ．2058 【答案】A 【解析】试题分析：（分组求和法）由已知得1+=n a n ，12-=n n b ，所以121+=-n b n a ，因此103310212110)222()12()12()12(1091911011=+--=++++=++++++=+++ b b b a a a ，故答案选A.考点：等差数列与等比数列的性质与求和 12．已知0,0>>b a ，4112=+b a ，若不等式m b a 42≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 【答案】B 【解析】 试题分析：由已知可得1)12(4=+ba ，所以36)45(4)225(4)12(4)2(2=+≥++=+⋅+=+abb a b a b a b a ，所以364≤m 即9≤m ，答案选B.考点：基本不等式的应用二、填空题13．已知0<ab ，则||||||ab ab b b a a ++＝ . 【答案】-1 【解析】试题分析：由已知知a ，b 异号，所以0||||=+b ba a ，1||-=ab ab ，所以答案为-1. 考点：不等式的性质14．不等式0)12(1≥--x x 的解集为____________【答案】),21[+∞ 【解析】试题分析：去绝对值得⎩⎨⎧≥--≥0)12)(1(1x x x 或⎩⎨⎧≥--<0)12)(1(1x x x ，解得1≥x 或121<≤x ，故答案为),21[+∞. 考点：解不等式15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若272k S =，且118k k a a +=-，则正整数=k ．【答案】4 【解析】试题分析：由已知可得181=++k k a a ，72)(2)(221212=+=+=k k k a a k a a k S ，而121++=+k k k a a a a ，所以k 1872=，解得k=4.考点：等差数列的性质16．关于数列有下列命题：①数列{n a }的前n 项和为n S ，且)(1R a a S n n ∈-=，则{n a }为等差或等比数列； ②数列{n a }为等差数列，且公差不为零，则数列{n a }中不会有)(n m a a n m ≠=， ③一个等差数列{n a }中，若存在)(0*1N k a a k k ∈>>+，则对于任意自然数k n >，都有0>n a ；④一个等比数列{n a }中，若存在自然数k ，使01<⋅+k k a a ，则对于任意*N n ∈，都有01<⋅+n n a a ，其中正确命题的序号是___ __。

哈师大附中2024—2025学年度高三上学期期中考试数学试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷(选择题,共58分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|230A x x x =-+≤，(){}2ln 2B x y x==-，则A B = （）A ．()13，B．3⎡-⎣C．⎡⎤⎣⎦D．(⎤⎦2．复数2025z=2025i -在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.函数()2cos f x x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A.2πB .2C.6π+ D.13π+4．已知a 是单位向量，则“||||1a b b +-= 是“a b∥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知函数()()e 1x a xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,0-上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．[)2,-+∞C ．(],0-∞D ．(],2-∞-6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614S S =，则1236SS S =+（）A.43B.8C.9D.167.菱形ABCD 边长为2，P 为平面ABCD 内一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为()A.0B.2- C.2D.4-8.已知函数()f x 为偶函数，且满足(13)(13)f x f x -=+，当(0,1)x ∈，()31xf x =-，则323(log )f 的值为（）A.31B.5932C.4932D.21132二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数()2sin(1)3f x x πωω=+≤的图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A ．1ω=B ．函数的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将()y f x =向左平移3π个单位长度，得到函数()2cos(6g x x π=+D ．若方程(2)f x m =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，则m的取值范围是2⎤⎦10．设正实数,m n 满足1m n +=，则（）A ．1m nm+的最小值为3B+C的最小值为12D ．33m n +的最小值为1411.已知函数1()(0)xf x x x =>,则下列说法中正确的是（）A.方程1()(f x f x=有一个解B.若()()g x f x m =-有两个零点，则10em e<<C.若21()(log ())2a h x x f x =-存在极小值和极大值，则(1,e)a ∈D.若()0f xb -=有两个不同零点，2(())()0f x b x cx d --+≤恒成立，则2ln b c <<第Ⅱ卷(非选择题,共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．12.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为π36的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为π81的圆锥，则该圆锥的高度为.13．已知某种科技产品的利润率为P ，预计5年内与时间(t 月)满足函数关系式(t P ab =其中a b 、为非零常数).若经过12个月，利润率为10%，经过24个月，利润率为20%，那么当利润率达到50%以上，至少需要经过________________个月(用整数作答，参考数据：lg 20.3010)≈14.已知b 为单位向量，,a c 满足42a b c b ⋅=-= ，则12a c -的最小值为四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题13分）在△ABC 中，a b c 、、分别为角A B C 、、所对的边，且22()b a a c c -=-(1)求角B .(2)若b =△ABC 周长的最大值.16.（本小题15分）已知数列{}n a 满足*3212122,N 22n n a a a n a n -++++=∈ (1)求{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使得这2n +个数依次构成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．17．（本小题15分）行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如11122122a a a a 的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：1112112212212122a a a a a a a a =-，设函数22sin sin ()()π26cos()x xf x x x =∈+R ．(1)求()f x 的对称轴方程及在[0,]π上的单调递增区间；(2)在锐角ABC ∆中，已知()32f A =-,2133AD AB AC =+，cos B =，求tan BAD ∠18.（本小题17分）已知数列}{n a 满足111,,333,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数（*∈N n ）.(1)记232-=n n a b （*∈N n ），证明：数列}{n b 为等比数列，并求}{n b 的通项公式；(2)求数列}{n a 的前n 2项和n S 2；(3)设12121--=+n n n b b c （*∈N n ），且数列}{n c 的前n 项和为n T ，求证：1133ln --<-n n n n T （*∈N n ）.19.（本小题17分）已知函数ln ()sin ,(0,)x a f x e x x -=-∈+∞.(1)当a e =时，求()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；(2)若32(())(())ln(1())0f x f x f x -++≥恒成立，求a 的范围；(3)若()f x 在(0,)π内有两个不同零点12,x x ，求证：122x x ππ<+<2024—2025学年度上学期高三学年期中考试数学答案一、单选题1.D 2.D 3.A 4.A 5.D 6.B7.D8.C二、多选题9.AC 10.ABD 11.ACD 三、填空题12.213.4014.1四、解答题15.（1）22()b a a c c -=-即222b a c ac =+-∵2222cos b a c ac B =+-∴1cos 2B =，又(0,)B π∈∴3B π=（2）由sin sin a c AC =可得，2sin a A =，2sin c C=2sin 2sin l a b c A C =++=+∵2+3A C π=∴23C Ap =-∴22sin 2sin()3l a b c A A π=++=+-3sin A A =)6A π=+∵203A π<<∴l的最大值为16.(1)321212222nn na a a a -++++= 当2n ≥时，312122)2222(1n n a a a n a --++++=- 两式相减，得122nn a -=，即2n n a =.又当1n =时，12a =符合题意，所以2n n a =.(2)由（1）得2n n a =，所以11222111n n nn n n b b d n n n ++--===+++，则112nn n d +=，所以()123111123412222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12341111112341222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得：()()112111111111113342211112222222212n n n nn n n T n n ++++⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅++⋅⋅⋅+-+=+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以332n nn T +=-．17.（1）221()2sin cos()2sin 2sin (cos sin )2sin 226f x x x x x x x xπ=+-=--23323sin sin 2(1cos 2)sin(2)22232x x x x x π=---+-，由22,32x k k πππ+=+∈Z ，得,12x k k ππ=+∈Z ，所以()f x 的对称轴为ππ()122kx k =+∈Z .由222,232k x k k πππππ-+<+<+∈Z ，[]0,x π∈，所以单调递增区间为701212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，（2）由（1）知，33())322f A A π=+-=-，则πsin(2)03A +=，由02A π<<，得ππ4π2333A <+<，则π23A π+=，解得π3A =，因为ABC V中，cos B =，则B 为锐角，所以sin 3B ===，因为π3A =，πA B C ++=，所以2π3C B =-，所以2π2π2π11sin sin sin cos cos sin 333232326C B B B ⎛⎫=-=-=⨯+⨯=+⎪⎝⎭，设BADθ∠=，则π3 CADθ∠=-，在ABD△和ACD中，由正弦定理得sin sinBD ADBθ==πsinsin3CD ADCθ=⎛⎫-⎪⎝⎭因为2CD BD=(π3sin3θθ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，(1cos sin3sin22θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sinθθ=+，所以tan tanBADθ∠==18.（1）证明：2123123)1231(231212221-+=-++=-=++++nanaabnnnnnnnnbaanna31)23(312131212)6(31222=-=-=-+-=，又212313123121=-+=-=aab，所以，数列}{nb为以21为首项，31为公比的等比数列.（2）由（1）可知13121-⎪⎭⎫⎝⎛=nnb，又232-=nnab，23312112+⎪⎭⎫⎝⎛=∴-nna.设nnaaaP242++=，则nnPnnn233143432331131121+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=，设1231-++=nnaaaQ ，1231122-+=-naann，2312)121(31nQnnQPnnn+=-+⋅+=∴，233nPQnn-=∴，故21223631334nnnPQPSnnnnn-+⎪⎭⎫⎝⎛-=-=+=-.（3）nnnnnnnc321132113331311311-<--=--=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=-，n n n n n n n T 311311()313131(22+-=--=+++-<∴ ，所以欲证1133ln --<-n n n n T ，只需证)311ln(313ln 133ln 31n n n n n n --=--=-<，即证n n 31311ln(-<-.设)0,1(),1ln()(-∈+-=x x x x f ，01)(<+='∴x xx f ，故)(x f 在)0,1(-上单调递减，0)0()(=>f x f ，)0,1(-∈∴x 时，)1ln(x x +>.)0,31[31-∈-n ，n n 31311ln(-<-∴得证.19.1) =s =K1−sins 0=−1,n =K1−coss n 0=−1−1∴−−1=−1−12）3−2+ln 1+≥0.令=s 3−2+ln 1+≥0(1)t >-令=3−2+ln 1+,n =32−2+1r1=33+2−2r1r1，当≥0,'≥0∴在0,+∞单调递增，当()32322(0,1),ln 1(1)0t t t t t t t t t t ∈+++<++=++<∴≥0解集为≥0∴≥0>0,sins1≥sin=ℎ. ℎ' = cosKsin =, ∴ 在 单调递增, (4,54)单调递减,当>54时,ℎ<154∴ℎ=224∴1≥224,0<≤243）ℎ=sin ∴sin=1有两个根1,2。

江西师大附中2013届高三上学期期中考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确.1．（5分）已知z∈C，映射的实部，则3+4i的像为（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算；映射．专题：计算题．分析：3+4i的像为的实部，化简后由实部的定义可得答案．解答：解：由题意可得：3+4i的像为的实部，化简得===，故其实部为，故选C点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及模长和映射，属基础题．2．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+2的值域为[1，2]，则f（x）的定义域不可能是（）A．（0，2]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，3]考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：先对函数解析式平方，再求出f（x）=1或2对应的自变量，根据对称轴和值域判断符合条件的区间．解答：解：∵f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，∴f（1）=1，令f（x）=2得，x2﹣2x=0，解得，x=0或2，∵对称轴x=1，∴f（x）的定义域必须有1、0或2，且不能小于0或大于2，∴区间（0，2]，[0，1]，[1，2]都符合条件，由于区间[0，3]中有大于2的自变量，故函数值有大于2的，故答案为：D．点评：本题考查了二次函数的性质，即由值域确定函数的定义域问题．3．（5分）直线y=k（x﹣1）与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相交或相切考点：直线与圆的位置关系．专题：探究型；直线与圆．分析：利用直线y=k（x﹣1）恒过点（1，0），且直线的斜率存在，即可得到结论．解答：解：直线y=k（x﹣1）恒过点（1，0），且直线的斜率存在∵（1，0）在圆x2+y2=1上∴直线y=k（x﹣1）与圆x2+y2=1的位置关系是相交故选C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，确定直线y=k（x﹣1）恒过点（1，0），且直线的斜率存在是关键．4．（5分）下列命题中，真命题的个数为（）①直线的斜率随倾斜角的增大而增大；②若直线的斜率为tanα，则直线的倾斜角为α；③“两直线斜率相等”是“两直线平行”的必要不充分条件；④过一点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线一定有3条；⑤双曲线的实轴长为2a．A．0个B．1个C．2个D．3个考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题．分析：根据正切函数在（0°，180°）上不是单调函数，可得α∈（0°，180°）时，α越大k越大是不正确的；因为斜率为tanα的角由无数个，而直线的倾斜角仅有一个，故②不正确；“两直线斜率相等”是“两直线平行”的即不充分也不必要条件，故③不正确；过坐标轴上一点（非原点），在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有2条，故④不正确；双曲线的实轴长为2b，故⑤不正确；解答：解：正切函数在（0°，90°）和（90°，180°）上均为增函数，但在（0°，180°）上不是单调函数，故①直线的斜率随倾斜角的增大而增大不正确；若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为β=α+k×180°，k∈z，且0°≤β＜180°，故②不正确．“两直线斜率相等”时，两直线可能重合，“两直线平行”时两直线斜率可能同时不存在，故“两直线斜率相等”是“两直线平行”的即不充分也不必要条件，故③不正确；过过坐标轴上一点（非原点），在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有2条，过原点在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有无数条，过象限内一点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条，故④不正确；双曲线的实轴长为2b，故⑤不正确故选A点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，直线平行的充要条件，直线的截距，双曲线的简单性质等知识点，难度中档．5．（5分）过点P（3，4）且与坐标轴围成的三角形面积为25的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：根据题意可设所求直线的方程为：y﹣4=k（x﹣3），其中k≠0，然后令x、y分别为0，可求出三角形的边长，可得=25，研究方程解的情况即可．解答：解：由题意所求直线的斜率必存在且不为0，并设其斜率为k，（k≠0）于是所求直线方程为y﹣4=k（x﹣3），令x=0，可得y=4﹣3k，令y=0，可得x=，故面积为=25，即（3k﹣4）2=50|k|，∴当k＞0时，上式可化为9k2﹣74k+16=0，有△＞0且k1+k2＞0，k1k2＞0，故此方程有两个大于0的实数解，即有两条斜率大于0的直线满足题意；同理当k＜0时，上式可化为9k2+26k+16=0，有△＞0且k1+k2＜0，k1k2＞0，故此方程有两个小于0的实数解，即有两条斜率小于0的直线满足题意；综上共有4条直线满足题意，故选D点评：本题考查直线方程的求解，解题的关键是得出所求直线方程的斜率存在且不为0，根据题意列出关于k的方程，并由根与系数的关系作出解的个数的判断．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项积为T n，a2、a4是方程x2+5x+4=0的两个根，且b1=a2，b5=a4，则S5T5=（）A．400 B．﹣400 C．±400 D．﹣200考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：等差数列{a n}中，由a2、a4是方程x2+5x+4=0的两个根，知a2+a4=﹣5，a2•a4=4，由此能求出S5；由等比数列{b n}中，b1=a2，b5=a4，得到=±2，由等比数列{b n}的前n项积为T n，能求出T5．由此能够求出S5T5．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2、a4是方程x2+5x+4=0的两个根，∴a2+a4=﹣5，a2•a4=4，∴S5===﹣，∵等比数列{b n}中，b1=a2，b5=a4，∴b1b5=（b1q2）2=a2•a4=4，∴=±2，∵等比数列{b n}的前n项积为T n，∴T5==（）5=±32，∴S5T5=±400．故选C．点评：本题考查等差数列和等比数列的性质及其应用，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．7．（5分）已知，则下列说法不正确的是（）A．若，则sin（α﹣θ）=0 B．若，则cos（α﹣θ）=0C．D．与的夹角为|α﹣θ|考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量；数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据向量数量积的坐标运算法则，结合三角函数的性质对选项进行逐一验证即可．解答：解：∵，∴若，则cosθsinα﹣sinθcosα=0，∴sin（α﹣θ）=0，故A正确；∵，∴若，则cosθcosα+sinθsinα=0∴cos（α﹣θ）=0，故B正确；∵，∴=1，=1，∴﹣=（）（）=0，∴（）⊥（），故C正确；∵，∴cos＜＞==cos＜θ﹣α＞，∴与的夹角为|θ﹣α|，或π﹣|θ﹣α|．故D不成立．故选D．点评：本题主要考查向量数量积的运算．解题时要明确两向量互相垂直时，二者的数量积等于0．8．（5分）在△ABC中，B（﹣2，0），C（2，0），A（x，y），若△ABC满足条件分别为①周长为10；②∠A=90°；③k AB k AC=1．则A的轨迹方程分别是a：x2+y2=4（y≠0）；；c：x2﹣y2=4（y≠0），则正确的配对关系是（）A．①a②b③c B．①b②a③c C．①c②a③b D．①b②c③a考点：轨迹方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①由△ABC的周长为10，知AB+AC=6＞BC，故动点A的轨迹为椭圆，与b对应；②∠A=90°，由向量知识导出x2+y2﹣4=0，与c对应；③k AB k AC=1，由直线斜率导出x2+y2=4，与a对应．解答：解：△ABC中，∵B（﹣2，0），C（2，0），A（x，y），∴BC=4，=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），k AB=，k AC=，①△ABC的周长为10，即AB+AC+BC=10，而BC=4，所以AB+AC=6＞BC，故动点A的轨迹为椭圆，与b对应；②∠A=90°，故•=（﹣2﹣x，﹣y）（2﹣x，﹣y）=x2+y2﹣4=0，与a对应；③k AB k AC=1，故．即x2﹣y2=4，与c对应．故选B．点评：本题考查轨迹方程的求法，具体涉及到椭圆、圆、双曲线、向量、直线等基本知识点，解题时要注意等价转化思想的合理运用．9．（5分）（2012•朝阳区一模）已知点集A={（x，y）|x2+y2﹣4x﹣8y+16≤0}，B={（x，y）|y≥|x﹣m|+4，m是常数}，点集A所表示的平面区域与点集B所表示的平面区域的边界的交点为M，N．若点D（m，4）在点集A所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN的面积的最大值是（）A．1B．2C．D．4考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：先确定点D在直线y=4上，集合A表示的平面区域是图中圆O′的内部，集合B表示的平面区域是图中直角的内部，由此可得结论．解答：解：由题意，点D在直线y=4上，集合A表示的平面区域是图中圆O′的内部，集合B表示的平面区域是图中直角的内部当D运动到O′时，△DMN的面积的最大值，此时三角形是一个直角边为2的等腰直角三角形，所以面积为2故选B．点评：本题考查图形面积的计算，考查平面区域的确定，正确确定平面区域是关键．10．（5分）（2013•成都一模）定义在（﹣1，1）上的函数；当x∈（﹣1，0）时，f（x）＞0，若，，则P，Q，R的大小关系为（）A．R＞Q＞P B．R＞P＞Q C．P＞R＞Q D．Q＞P＞R考点：不等关系与不等式．专题：新定义．分析：在已知等式中取x=y=0，可求得f（0）=0，取﹣1＜x＜y＜1，能说明，所以说明，从而说明函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数，再由已知等式把化为一个数的函数值，则三个数的大小即可比较．解答：解：取x=y=0，则f（0）﹣f（0）=f（0），所以，f（0）=0，设x＜y，则，所以所以f（x）＞f（y），所以函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数，由，得：取y=，，则x=，所以，因为0＜，所以所以R＞P＞Q．故选B．点评：本题考查了不等关系与不等式，考查了特值思想，解答此题的关键是能够运用已知的等式证出函数是给定区间上的减函数，同时需要借助于已知等式把P化为一个数的函数值，是中等难度题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.11．（5分）直线3x+4y﹣15=0被圆x2+y2=25截得的弦AB的长为8．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：求出圆的圆心坐标、半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出半弦长即可．解答：解：x2+y2=25的圆心坐标为（0，0）半径为：5，所以圆心到直线的距离为：d=，所以|AB|==4，所以|AB|=8故答案为：8点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离、弦长问题，考查计算能力．12．（5分）已知P是椭圆上一点，若，则|PF1||PF2|=4．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由P是椭圆上一点，，利用椭圆的第一定义和余弦定理联立，能够求出|PF1||PF2|．解答：解：∵P是椭圆上一点，∴|PF1|+|PF2|=4，两边平方，得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16，①在△F1PF2中，∵|F1F2|=2，，∴由余弦定理，得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°=4，即|PF1|2+|PF2|2﹣|PF1||PF2|=4，②①﹣②，得：3|PF1||PF2|=12，∴|PF1||PF2|=4．故答案为：4．点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意椭圆的第一定义和余弦定理的灵活运用．13．（5分）已知a，b∈R+，直线bx﹣ay﹣ab=0始终平分圆（x﹣1）2+（y+4）2=4，则a+b的最小值为9．考点：基本不等式；直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可知直线经过圆的圆心，求出圆的圆心，代入直线方程得到a，b的关系，然后利用基本不等式求出a+b的最小值．解答：解：圆（x﹣1）2+（y+4）2=4圆心为（1，﹣4），因为直线bx﹣ay﹣ab=0（a＞0，b＞0）始终平分圆（x﹣1）2+（y+4）2=4，所以直线经过圆的圆心，所以4a+b﹣ab=0，即=1，（a＞0，b＞0）∴a+b=（a+b）（）=5+≥5+2=9当且仅当，即a=3，b=6时，a+b的最小值为9故答案为：9点评：本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式的应用，注意等号成立的条件，考查计算能力，属于中档题．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴交点为B，抛物线上一点A（x0，2）满足，则p=2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线y2=2px（p＞0）焦点F（，0），准线与x轴交点B（﹣，0），由抛物线上一点A（x0，2），知A（，2），再由，利用两点间距离公式建立方程能求出p的值．解答：解：∵抛物线y2=2px（p＞0），∴它的焦点F（，0），准线与x轴交点B（﹣，0），∵抛物线上一点A（x0，2），∴2px0=4，解得x0=，∴A（，2），∵，∴=，整理，得p4﹣8p2+16=0，解得p2=4．∵p＞0，∴p=2．故答案为：2．点评：本题考查抛物线的简单性质的应用，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的灵活运用．15．（5分）已知直线l：xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0，下列命题中真命题序号为②③④①直线l的斜率为tanθ；②存在实数λ，使得对任意的θ，直线l恒过定点；③对任意非零实数λ，都有对任意的θ，直线l与同一个定圆相切；④若圆O：（x+1）2+y2=4上到直线l距离为1的点恰好3个，则λ=±1．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；直线与圆．分析：①当cosθ=0时，直线l没有斜率；②存在实数λ=0，使得对任意的θ，直线l恒过定点（0，0），故②正确；③对任意非零实数λ，都有对任意的θ，直线l与同一个定圆（x+1）2+y2=λ2相切；④由圆O：（x+1）2+y2=4上到直线l距离为1的点恰好3个，知圆（x+1）2+y2=4的圆心（﹣1，0）到直线xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0的距离为1，由此求出λ=±1．解答：解：①当cosθ=0时，直线l没有斜率，故①不正确；②当λ=0时，直线l：xsinθ﹣ycosθ+sinθ=0，当sinθ=0时，cosθ=1，直线l：﹣y=0过定点（0，0），当sinθ≠0时，直线l：x﹣y=0过定点（0，0），∴存在实数λ=0，使得对任意的θ，直线l恒过定点（0，0），故②正确；③∵直线l：xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0，∴点（﹣1，0）到直线l的距离d==|λ|，∴对任意非零实数λ，都有对任意的θ，直线l与同一个定圆（x+1）2+y2=λ2相切，故③正确；④∵圆O：（x+1）2+y2=4上到直线l距离为1的点恰好3个，∴圆（x+1）2+y2=4的圆心（﹣1，0）到直线xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0的距离为1，∴|﹣sinθ﹣0+sinθ+λ|=1，解得λ=±1．故④正确．故答案为：②③④．点评：本题考查命题的真假判断，是中档题．解题时要认真审题，注意直线、圆、点到直线距离公式等知识点的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足（sinB+sinA）（b﹣a）=c（sinB ﹣sinC）（1）求角A的值；（2）求f（x）=sin2xcosA+cos2xsinA，x∈[0，π]的最值及单调递减区间．考点：余弦定理的应用；复合三角函数的单调性．专题：综合题；解三角形．分析：（1）根据（sinB+sinA）（b﹣a）=c（sinB﹣sinC），利用正弦定理，再结合余弦定理，即可求角A的值；（2）将函数化简，确定，从而可求函数的最值及单调递减区间．解答：解：（1）由题意，（sinB+sinA）（b﹣a）=c（sinB﹣sinC）∴（b+a）（b﹣a）=c（b﹣c）∴b2+c2﹣a2=bc，∴∵A∈（0，π），∴（2）∵x∈[0，π]，∴从而当，即时，f（x）max=1由得，从而f（x）的单调递减区间为点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，正确化简函数是关键．17．（10分）（2010•崇文区一模）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1．（2）求证：MN⊥平面A1B1C．（3）求三棱锥M﹣A1B1C的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：证明题；综合题；转化思想．分析：（Ⅰ）连接BC1，AC1，通过M，N是AB，A1C的中点，利用MN∥BC1．证明MN∥平面BCC1B1．（Ⅱ）说明四边形BCC1B1是正方形，连接A1M，CM，通过△AMA1≌△AMC．说明MN⊥A1C 然后证明MN⊥平面A1B1C．（Ⅲ）由（Ⅱ）知MN是三棱锥M﹣A1B1C的高．在直角△MNC中．求出．即可解得．解答：（Ⅰ）证明：连接BC1，AC1，∵M，N是AB，A1C的中点∴MN∥BC1．又∵MN不属于平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．（Ⅱ）解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∴四边形BCC1B1是正方形．∴BC1⊥B1C．∴MN⊥B1C．连接A1M，CM，△AMA1≌△AMC．∴A1M=CM，又N是A1C的中点，∴MN⊥A1C．∵B1C与A1C相交于点C，∴MN⊥平面A1B1C．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知MN是三棱锥M﹣A1B1C的高．在直角△MNC中，，∴．又．．点评：本题是中档题，考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．18．（10分）已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和为10，是一个与n无关的常数，数列{a n}的前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式及数列的前n项和T n；（2）若a1，a2，a4恰为等比数列{b n}的前三项，记数列c n=a n（cosnπ+b n），求{c n}的前n项和为K n．考点：等差数列的通项公式；等比关系的确定；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的通项公式和前n项和公式及裂项求和即可求出；（2）利用等比数列的前n项和公式即可求出．注意对n分奇偶讨论．解答：解（1）∵是一个与n无关的常数，∴a1=d．又，∴a1=1，∴a n=n，，∴，∴T n=…+=…+==．（2）∵b1=a1=1，b2=a2=2，是等比数列{b n}的前3项，∴．∴c n=n（﹣1）n+n×2n﹣1，记，则，B n=1+2×21+3×22+…n×2n﹣1=（n﹣1）2n+1．K n=．点熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式是解题的关键．评：19．（15分）已知椭圆的左右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点．（1）若k=1，求|AB|的长度、△ABF1的周长；（2）若，求k的值．考点：直线与圆锥曲线的关系；平行向量与共线向量．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的定义，可求△ABF1的周长，直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可求|AB|的长度；（2）设直线方程为y=k（x﹣1）代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可求k的值．解答：解：（1）椭圆中a=2，∴△ABF1的周长4a=8，由联立得7x2﹣8x﹣8=0∴（2）设直线方程为y=k（x﹣1）代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵，∴1﹣x1=2（x2﹣1）﹣﹣③由①③得，代入②，∴点评：本题考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．20．（15分）已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C过点M（2，1），离心率为．如图，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A，B．（1）当直线l经过椭圆C的左焦点时，求直线l的方程；（2）证明：直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由e=，设椭圆方程为，将M（2，1）代入，得b2=2，由此能求出椭圆C的方程，从而能够求出直线l的方程．（2）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2），则，，设l：y=+m，由，得x2+2mx+2m2﹣4=0，推导出k1+k2==0，由此能证明直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形．解答：（1）解：∵e=，∴设椭圆方程为，将M（2，1）代入，得，解得b2=2，所以椭圆C的方程为，因此左焦点为（﹣，0），斜率，所以直线l的方程为y=（x+），即y=．（2）证明：设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴k1+k2====，（*）设l：y=+m，由，得x2+2mx+2m2﹣4=0，所以x1+x2=﹣2m，，代入（*）式，得k1+k2===0．所以直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形．点评：本题考查直线方程的求法，考查直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形的证明．具体涉及到椭圆的简单性质、直线方程的性质、韦达定理等基本知识点．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．21．（15分）（2011•镇江一模）设函数f（x）=x（x﹣1）2，x＞0．（1）求f（x）的极值；（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数的最小值；（3）设函数g（x）=lnx﹣2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）求导，令f′（x）=0得x=或x=1，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0得f（x）的单调性，确定函数f（x）的极值．（2）由（1）知f（x）的单调性，以极值点为界，把a分成两类讨论，在两类分别求出F（a），求G（a），求G（a）最小值，两个最小值最小者，即为所求．（3）把连等式分成两个不等式x+m﹣g（x）≥0和f（x）﹣x﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立的问题，把不等式的左边看作一个函数，利用导数求最小值，两个范围求交集再由实数m有且只有一个，可求m，进而求t．解答：解：（1）f′（x）=（x﹣1）2+2x（x﹣1）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），x＞0．令f′（x）=0，得x=或x=1，f（x），f′（x）随x的变化情况如下表∴当x=时，有极大值f（）=，当x=1时，有极小值f（1）=0．（2）由（1）知：f（x）在（0，]，[1，+∞）上是增函数，在[，1]上是减函数，①0＜a≤时，F（a）=a（a﹣1）2，G（a）=（a﹣1）2≥特别的，当a=时，有G（a）=，②当＜a≤1时，F（a）=f（）=，G（a）=≥特别的，当a=1时，有G（a）=，由①②知，当0＜a≤1时，函数的最小值为．（3）由已知得h1（x）=x+m﹣g（x）=2x2﹣3x﹣lnx+m﹣t≥0在（0，+∞）上恒成立，∵，∴x∈（0，1）时，h′1（x）＜0，x∈（1，+∞）时，h1（x）＞0∴x=1时，h′1（x）取极小值，也是最小值，∴当h1（1）=m﹣t﹣1≥0，m≥t+1时，h1（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，同样，h2（x）=f（x）﹣x﹣m=x3﹣2x2﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立，∵h′2（x）=3x（x﹣），∴x∈（0，）时，h′2（x）＜0，x∈（，+∞），h′2（x）＞0，∴x=时，h2（x）取极小值，也是最小值，∴=﹣﹣m≥0，m≤﹣时，h2（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴t+1≤m≤﹣，∵实数m有且只有一个，∴m=﹣，t=．点评：本题了考查导数与极值的关系，若f（a）=0：a的左侧f'（x）＞0，a的右侧f'（x）＜0则a 是极大值点；a的左侧f'（x）＜0，a的右侧f'（x）＞0则a是极小值点；求F（a）时，要分类讨论，在求参数的范围时，经过两次转化为求函数的最值，使问题得以解决．。

辽宁师大附中2015届高三上学期期中考试 数学（理））命题人：高三理科备课组 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知集合{}{}R x y y N x x x M x∈==≥=,2,2，则MN =( )A ．）（1,0B ．]1,0[C ．)1,0[D ．]1,0( 2.已知平面γβα、、,则下列命题中正确的是 ( )A ．αβαβα⊥⊥=⊥b b a a ，则，，B ．γαγββα∥，则，⊥⊥C ．b a b a ⊥⊥==，则，，βαγββαD ．γαγββα⊥⊥，则，∥ 3．已知命题2:11xp x <-，命题:()(3)0q x a x +->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(]3,1-- B ．[]3,1-- C ．(],1-∞- D ．(],3-∞- 4．在ABC ∆中，90C =，且3C A C B ==，点M 满足→→=MA BM 2则→→⋅CB CM 等于（ ）A ．2B ．3C ．3-D ．65．一个棱锥的三视图如图（单位为cm ），则该棱锥的全面积是 ( )（单位：cm 2）．A 、4+2 6B 、4+ 6C 、4+2 2D 、4+ 2 6. 把函数)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐 标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 ( ) A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．4π=x7．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中m ，n 均大于0，则nm 21+的最小值为A ．2B ．4C ．8D ．16 （ ）8．已知实数,x y 满足：210210x y x x y -+ ⎧⎪<⎨⎪+- ⎩，221z x y =--，则z 的取值范围是( ) A ．5[,5]3B ．[]0,5C ．[)0,5D ．5[,5)39 .已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有 条。

辽宁师大附中2015高三上期中考试数学（文）试题一．选择题（每题5分共60分）1．对于非零向量a 、b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为( )．A ．(－4,0)∪(0,4)B ．(－4，－1)∪(1,4)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－4，－2)∪(2,4)3．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )．A ．m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥nB ．m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥nC ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥βD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β4.已知向量()()()()1,1,2,2,,==+=++⊥-m n m n m n λλλ若则（ ）A.4-B. 2-C. -3D.-1 5．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R )(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A.12B.22C.32 D ．16.设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝( )．A ．5B ．6C ．5或6D ．6或77．设x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )． A ．40 B ．10 C ．4 D ．28．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，若目标函数z ＝y －ax 取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围为( )． A ．(－∞，－1) B ．(0,1) C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)9．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是( )．A ．12πB ．24πC ．32πD ．48π10．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ） A ．24 B ．48 C ．60D ．8411．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )． A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4) D ．(－4,2)12．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围为( )A ．[2，2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[－2,2]二．填空题（每题5分共20分）13.函数2x 的最小正周期T 为_______14．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________. 15．已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．16.已知,a b 是单位向量，0=∙b a.若向量c 满足1,--=c a b c 则的取值范围是________．三．解答题17．(10分)设函数f(x)＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f(x)<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f(x)<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．18．(12分)已知向量＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x4，cos 2x 4.(1)若∙ ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝∙,在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．19．(本小题满分12分)已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 2是a 1和a 3－1的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ＝a n (n ∈N *)，求{b n }通项公式b n20． (本小题满分12分)设a ＞0，a ≠1，t ＞0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小，并证明你的结论．21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥ CD ， AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD . E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ； (3)平面BEF ⊥平面PCD .22．(本小题满分12分)已知函数kx x f =)(，（1 （2）若不等式)()(x g x f ≥在区间（0,+)∞上恒成立，求k 的取值范围；（32014—2015学年第一学期期中考试高三数学（文）试题答案一．选择题1—5 A BBCC 6—10 CDDDC 11—12 DA二．填空题13. π 14. 10 15. 6 16. ⎤⎦三．解答题17.[解析] (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. 所以m 的取值范围是(－4,0]．(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，就是要使m (x －12)2＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一：令g (x )＝m (x －12)2＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0， 所以m <67，则0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0. 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是{m |m <67}． 方法二：因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0， 所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6(x －12)2＋34， 在[1,3]上的最小值为67， 所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是{m |m <67}．18(2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B －cos B sin C ＝sin B cos C ，19.解 (1)由题意，得2a 2＝a 1＋a 3－1，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－1，整理得2q ＝q 2.又q ≠0，解得q ＝2，∴a n ＝2n －1. (2)当n ＝1时，b 1＝a 1＝1；当n ≥2时，nb n ＝a n －a n －1＝2n －2，即b n ＝2n －2n ，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2n，n ≥2.20.解：log a t ＋12－12log a t ＝log a t ＋12－log a t ＝log a t ＋12t，∵t ＞0，t ＋1≥2t (当且仅当t ＝1时等号成立)， ∴t ＋12t≥1. 当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t ；当t ≠1时，t ＋12t ＞1.若a ＞1，则log a t ＋12t ＞0，即log a t ＋12＞12log a t ；若0＜a ＜1，则log at ＋12t＜0，即log a t ＋12＜12log a t . 21.证明 (1)因为平面P AD ∩平面ABCD ＝AD .又平面P AD⊥平面ABCD，且P A⊥AD.所以P A⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD.所以CD⊥平面P AD，从而CD⊥PD.又E，F分别是CD和CP的中点，所以EF∥PD，故CD⊥EF.CD⊂平面PCD，由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.∴。

阶段性测试题九(立体几何)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·抚顺二中期中)已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下述命题中真命题的是()A．若a⊥c，b⊥c，则a∥b或a⊥bB．若α⊥β，β⊥γ，则α∥βC．若a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α⊥βD．若a⊥α，b⊂β，a∥b，则α⊥β[答案] D[解析]由a⊥c，b⊥c知，a与b可平行可相交，也可异面，故A错；由直棱柱相邻两个侧面与底面都垂直知B错；当α∩β＝l，a⊥l，b∥c∥l时，可满足C的条件，故C错；∵a∥b，a⊥α，∴b⊥α，又b⊂β，∴α⊥β，∴D正确．2．(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知不重合的两条直线l，m和不重合的两个平面α，β，下列命题正确的是()A．l∥m，l∥β，则m∥βB．α∩β＝m，l⊂α，则l∥βC．α⊥β，l⊥α，则l∥βD．l⊥m，m⊥β，l⊥α，则α⊥β[答案] D[解析]l⊄β，l∥m，m⊂β时，l∥β，故A错；α∩β＝m，当l⊂α且l∥m时，l∥β，当l与m 相交时，l与β相交，故B错；α⊥β，当l⊂β，l与α和β的交线垂直，l⊥α时，但l∥β不成立，故C错；∵l⊥m，l⊥α，∴m⊂α或m∥α，又m⊥β，∴α⊥β，故D正确．3．(2014·山东省博兴二中质检)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积值最大的是()A．8B．6 2C．8 2 D．10[答案] D[解析]由三视图知，该几何体直观图如图，其中△ABC为以B为直角的直角三角形，AB＝4，BC＝3，高P A＝4，∴S△ABC＝12×4×3＝6，S△P AB＝12×4×4＝8，S△PBC＝12PB·BC＝12×42×3＝62，S△P AC＝12AC·P A＝12×5×4＝10，故选D.4．(2014·河南淇县一中模拟)将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥，得到图(b)所示的几何体，则该几何体的侧视图为()[答案] B[解析]在侧视图中，D1的射影为C1，A的射影为B，D的射影为C，AD1的射影BC1为实线(右下到左上)，B1C为虚线，故选B.5．(文)(2014·浙北名校联盟联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A ．4B ．8C ．4 3D ．8 3[答案] B[解析] 作出几何体的直观图如图，这是一个三棱锥P －ABC ，其中P 在底面射影为D 点，PD ＝23，AD ＝3，CD ＝1，E 为AC 的中点，BE ⊥AC ，BE ＝23，故几何体的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13×(12·AC ·BE )·PD ＝8，故选B.(理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] A[解析] 由三视图知，该几何体是一个三棱锥P －ABC ，其中底面△ABC 为直角三角形，∠A 为直角，顶点P 到A ，C 的距离相等，P 点在底面的射影D ，满足AC ∥BD ，且BD ＝12AC ＝1，PD ＝3，画出其直观图如图所示，其体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13×(12×2×1)×3＝1.6．(2014·辽宁师大附中期中)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．24＋6πB ．24＋4πC ．28＋6πD ．28＋4π [答案] A[解析] 由三视图知，该几何体为组合体，其上部为半球，半球的直径为22，下部为长方体，长、宽、高为2,2,3，其表面积为2×4×3 ＋12×4π·(222)2＋π·(222)2＝24＋6π，故选A.7．(2014·高州四中质量监测)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为2，则该几何体的体积为( )A ．24－π3B ．24－π2C ．24－32πD ．24－π[答案] C[解析] 由三视图知，该几何体是由长、宽、高分别为3、4、2的长方体内挖去一个底半径为1，高为3的半圆柱后剩余部分，其体积V ＝3×4×2－12(π×12×3)＝24－32π.8．(2014·山西曲沃中学期中)已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2.∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S －ABC 的体积为( )A.33B.233C.433D.533[答案] C[解析] 设球心为O ，△ABO 所在平面截球O 得截面如图，∵OA ＝OB ＝AB ＝OS ＝OC ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，∴SC ⊥平面ABO ，V S －ABC ＝V S －ABO ＋V C －ABO ＝2V S －ABO ＝2×13×(34×22)×2＝433，故选C.9．(文)(2014·陕西工大附中四模)如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )[答案] C[解析] 若俯视图为A ，则该几何体是棱长为1的正方体，体积V ＝1；若俯视图为B ，则该几何体是底半径为12，高为1的圆柱，其体积V ＝π·(12)2·1＝π4；若俯视图为D ，则该几何体是底半径为1，高为1的圆柱的14，其体积V ＝14·π·12·1＝π4；若俯视图为C ，则该几何体是直三棱柱，底面直角三角形两直角边长为1，棱柱高为1，体积为V ＝(12×1×1)×1＝12，因此选C.(理)(2014·开滦二中期中)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，D 、E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2[答案] A[解析] 取AC 中点F ，则DF 綊BE ，∴DE ∥BF ， ∴BF 与平面BB 1C 1C 所成的角为所求， ∵AB ＝1，BC ＝3，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AB ⊥BB 1，∴AB ⊥平面BCC 1B 1，作GF ∥AB 交BC 于G ，则GF ⊥平面BCC 1B 1，∴∠FBG 为直线BF 与平面BCC 1B 1所成的角，由条件知BG ＝12BC ＝32，GF ＝12AB ＝12，∴tan ∠FBG ＝GF BG ＝33，∴∠FBG ＝π6.10．(2014·绵阳市南山中学检测)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α； ②若α∥β，m ⊂α，则m ∥β； ③若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α，则m ⊥β. 其中正确命题的序号是( ) A ．①③ B ．①② C ．③④ D ．②③[答案] D[解析] 由两个平面平行的性质知②正确；∵n ⊥α，n ⊥β，∴α∥β，又m ⊥α，∴m ⊥β，∴③正确，故选D.11．(文)(2014·云南景洪市一中期末)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是( )A.4π3 B ．π C.2π3 D.π3[答案] B[解析] 由三视图知，这是一个半径为1的球，截去14，故其体积为V ＝34·(4π3·13)＝π.(理)(2014·吉林延边州质检)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点(如图)，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )[答案] C[解析] 由条件知AE ∥平面DD 1C 1C ，平面AEC 1与平面DD 1C 1C 相交，故交线与AE 平行，∵E 为BB 1的中点，故取DD 1的中点F ，∴AE 綊C 1F ，故截面为AEC 1F (如图1)，截去正方体的上半部分后，剩余部分几何体直观图如图2，故其左视图形状与直角梯形FD 1A 1A 相同，且C 1E 的射影为虚线，由于B 1E ＝12AA 1，故E 点射影在直角梯形下底的中点，故选C.12．(文)(2014·吉林省实验中学一模)已知正三棱锥P －ABC ，点P 、A 、B 、C 都在半径为3的球面上，若P A 、PB 、PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为( )A. 2B. 3C.33D.233[答案] C[解析] 由条件知，以P A 、PB 、PC 为三棱作长方体P ADB －CA 1D 1B 1，则该长方体内接于球，体对角线PD 1为球的直径，由于三棱锥P －ABC 为正三棱锥，∴AB ＝AC ＝BC ，∴P A ＝PB ＝PC ，设P A ＝a ，则3a ＝23，∴a ＝2.设球心到截面的距离为h ，则由V A －PBC ＝V P －ABC 得， 13(12×2×2)×2＝13×34×(22)2×(3－h )， ∴h ＝33. (理)(2014·成都七中模拟)平面四边形ABCD 中，AD ＝AB ＝2，CD ＝CB ＝5，且AD ⊥AB ，现将△ABD 沿着对角线BD 翻折成△A ′BD ，则在△A ′BD 折起至转到平面BCD 内的过程中，直线A ′C 与平面BCD 所成的最大角的正切值为( )A ．1 B.12 C.33D. 3[答案] C[解析] 如下图，OA ＝1，OC ＝2，在△ABD 绕直线BD 旋转过程中，OA 绕点O 旋转形成半圆，显然当A ′C 与圆相切时，直线A ′C 与平面BCD 所成角最大，最大角为30°，其正切值为33，选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13.(2014·山西省太原五中月考)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋P A 1的最小值为________．[答案]8＋2 6[解析] 由题意可知，△BCC 1为等腰直角三角形，∵AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，∠ACB ＝90°，∴∠A 1B ＝10，BC 1＝2，∵A 1B 2＝A 1C 21＋BC 21，∴∠AC 1B 为直角，将△BCC 1与△A 1BC 1所在平面铺平如图，设A 1C 交BC 1于Q ，则当点P 与Q 重合时，CP ＋P A 1取到最小值，最小值为A 1C .A 1C ＝A 1C 21＋C 1C 2－2A 1C 1·C 1C cos135° ＝6＋2－2×6×2×(－22)＝8＋2 6.14．(文)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．[答案] 12π[解析] 由V ＝13Sh ＝13×(3)2·h ＝322知，h ＝322，设正方形ABCD 的中心为M ，则MA ＝62，∴OA 2＝OM 2＋MA 2＝(322)2＋(62)2＝3，∴S 球＝4π·OA 2＝12π.(理)(2014·抚顺二中期中)右图是一个空间几何体的三视图，如果主视图和左视图都是边长为2的正三角形，俯视图为正方形，那么该几何体的体积为________．[答案]433[解析] 由三视图知，几何体是正四棱锥，底面正方形边长为2，棱锥的斜高为2，故高h ＝22－12＝3，∴体积V ＝13×4×3＝433.15．(文)(2014·西安市长安中学期中)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为________．[答案]3(8－π)6[解析] 根据三视图，该几何体是一个组合体，其中左侧是半个圆锥，右侧是底面为正方形的四棱锥，由于侧视图是一个边长为2的等边三角形，所以高为 3.所以其体积为V ＝13·(12π·12＋22)·3＝3(8＋π)6.(理)(2014·浙江台州中学期中)把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成三棱锥C －ABD ，它的主视图与俯视图如图所示，则二面角C －AB －D 的正切值为________．[答案] 2[解析] 三棱锥C －ABD 直观图如图，由主视图与俯视图知，平面CBD ⊥平面ABD ，CO ⊥平面ABD ，作OE ∥AD ，∵AD ⊥AB ，∴OE ⊥AB ，连结CE ，则CE ⊥AB ，∴∠CEO 为二面角C －AB －D 的平面角，在Rt △COE 中，OE ＝12AD ＝12，CO ＝22，∴tan ∠CEO ＝COOE＝ 2.16．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中，龙海二中六校联考)点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确的命题序号是________． [答案] ①②④[解析] ①VA －D 1PC ＝VP －AD 1C ，∵BC 1∥AD 1，AD 1⊂平面AD 1C ，∴BC 1∥平面AD 1C ，∴无论P 在BC 1上任何位置，P 到平面AD 1C 的距离为定值，∴三棱锥A －D 1PC 的体积不变，∴①正确；②∵A 1C 1∥AC ，BC 1∥AD 1，A 1C 1∩BC 1＝C 1，AC ∩AD 1＝A ，∴平面A 1BC 1∥平面AD 1C ，∵A 1P ⊂平面A 1BC 1，∴A 1P ∥平面ACD 1，∴②正确；③假设DP ⊥BC 1，∵DC ⊥平面BCC 1B 1，∴DC ⊥BC 1， ∴BC 1⊥平面ABCD ，与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1矛盾， ∴③错误；④∵B 1B ⊥AC ，BD ⊥AC ，∴AC ⊥平面B 1BD ，∴AC ⊥B 1D ，同理可证AD 1⊥B 1D ，∴B 1D ⊥平面ACD 1，∵B 1D ⊂平面PDB 1，∴平面PDB 1⊥平面ACD 1，∴④正确．(理)(2014·成都七中模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 是BC 1的中点，P 是BB 1一动点，则(AP ＋MP )2的最小值为________．[答案] 52[解析] 将平面ABB 1A 1展开到与平面CBB 1C 1共面，如下图，易知当A 、P 、M 三点共线时(AP ＋MP )2最小．AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ×BM cos135°＝12＋(22)2－2×1×22×(－22)＝52. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2014·天津市六校联考)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，已知BC ＝1，∠BCC 1＝π3，AB ＝CC 1＝2.(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)试在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上确定一点E 的位置，使得EA ⊥EB 1； (3)(理)在(2)的条件下，求AE 和平面ABC 1所成角正弦值的大小． [解析] (1)∵BC ＝1，∠BCC 1＝π3，CC 1＝2，∴BC 1＝3，∴BC 2＋BC 21＝CC 21，∴BC 1⊥BC ，∵AB ⊥侧面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴BC 1⊥AB 且BC ∩AB ＝B ， ∴BC 1⊥平面ABC .(2)E 为C 1C 的中点．连接BE ，∵BC ＝CE ＝1，∠BCC 1＝π3，等边△BEC 中，∠BEC ＝π3，同理：B 1C 1＝C 1E ＝1，∠B 1C 1E ＝2π3，∴∠B 1EC 1＝π6，∴∠BEB 1＝π2，∴EB 1⊥EB ，∵AB ⊥侧面BB 1C 1C ，EB 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴EB 1⊥AB 且EB ∩AB ＝B ，∴B 1E ⊥平面ABE ，EA ⊂平面ABE ，∴EA ⊥EB 1. (3)∵AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ⊂平面ABC 1， ∵平面BCC 1B 1⊥平面ABC 1，过E 作BC 1的垂线交BC 1于F ，则EF ⊥平面ABC 1， 连接AF ，则∠EAF 为所求， ∵BC ⊥BC 1，EF ⊥BC 1，∴BC ∥EF ， ∵E 为C 1C 的中点，∴F 为C 1B 的中点，∴EF ＝12，由(2)知AE ＝5，∴sin ∠EAF ＝125＝510.18．(本小题满分12分)(文)(2014·长沙市重点中学月考)如图所示，圆柱的高为2，底面半径为7，AE 、DF是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC ，四边形ABCD 是正方形．(1)求证BC ⊥BE ；(2)求四棱锥E －ABCD 的体积． [解析] (1)∵AE 是圆柱的母线，∴AE ⊥底面EBC ，又BC ⊂底面EBC ，∴AE ⊥BC ， 又∵截面ABCD 是正方形，所以BC ⊥AB ， 又AB ∩AE ＝A ，∴BC ⊥平面ABE ， 又BE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥BE .(2)∵母线AE ⊥底面EBC ，∴AE 是三棱锥A －BCE 的高， 由(1)知BC ⊥平面ABE ，BC ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ABE ， 过E 作EO ⊥AB ，交AB 于O ，又∵平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，EO ⊂平面ABE ， ∴EO ⊥平面ABCD ，即EO 就是四棱锥E －ABCD 的高， 设正方形ABCD 的边长为x ，则AB ＝BC ＝x ， BE ＝AB 2－AE 2＝x 2－4，又∵BC ⊥BE ，∴EC 为直径，即EC ＝27， 在Rt △BEC 中，EC 2＝BE 2＋BC 2， 即(27)2＝x 2＋x 2－4，∴x ＝4， ∴S 四边形ABCD ＝4×4＝16，OE ＝AE ·BE AB ＝2×42－44＝3，∴V E －ABCD ＝13·OE ·S 四边形ABCD ＝13×3×16＝1633.(理)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1，ACC 1A 1均为正方形，∠BAC ＝90°，点D 是棱B 1C 1的中点．(1)求证：A 1D ⊥平面BB 1C 1C ； (2)求证：AB 1∥平面A 1DC ； (3)求二面角D －A 1C －A 的余弦值．[解析] (1)证明：因为侧面ABB 1A 1，ACC 1A 1均为正方形， 所以AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ，所以AA 1⊥平面ABC ， 所以AA 1⊥平面A 1B 1C 1.因为A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1D ， 又因为CC 1∥AA 1，所以CC 1⊥A 1D ， 又因为A 1B 1＝A 1C 1，D 为B 1C 1中点， 所以A 1D ⊥B 1C 1. 因为CC 1∩B 1C 1＝C 1， 所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C .(2)证明：连结AC 1，交A 1C 于点O ，连结OD ， 因为ACC 1A 1为正方形，所以O 为AC 1中点， 又D 为B 1C 1中点，所以OD 为△AB 1C 1中位线， 所以AB 1∥OD ，因为OD ⊂平面A 1DC ，AB 1⊄平面A 1DC ， 所以AB 1∥平面A 1DC .(3)因为侧面ABB 1A 1，ACC 1A 1均为正方形，∠BAC ＝90°，所以AB ，AC ，AA 1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A －xyz . 设AB ＝1，则C (0,1,0)，B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，D (12，12，1)．A 1D →＝(12，12，0)，A 1C →＝(0,1，－1)，设平面A 1DC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1D →＝0，n ·A 1C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y －z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，－1，－1)．又因为AB ⊥平面ACC 1A 1，所以平面ACC 1A 1的法向量为AB →＝(1,0,0)， 设二面角D －A 1C －A 的平面角为θ，则θ＝π－〈n ，AB →〉， ∴cos θ＝cos(π－〈n ，AB →〉) ＝－n ·AB →|n |·|AB →|＝－13＝－33，所以，二面角D －A 1C －A 的余弦值为－33. 19．(本小题满分12分)(文)(2014·黄石二中检测)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝2AB ＝2，且BC 1⊥A 1C .(1)求证：平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1；(2)设D 是A 1C 1的中点，判断并证明在线段BB 1上是否存在点E ，使DE ∥平面ABC 1；若存在，求三棱锥E －ABC 1的体积．[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有A 1A ⊥平面ABC .∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ＝AC ，∴A 1C ⊥AC 1.又BC 1⊥A 1C ，∴A 1C ⊥平面ABC 1，∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1.(2)存在，E 为BB 1的中点．取A 1A 的中点F ，连EF ，FD ，当E 为B 1B 的中点时，EF ∥AB ，DF ∥AC 1， ∴平面EFD ∥平面ABC 1，则有ED ∥平面ABC 1. 当E 为BB 1的中点时，V E －ABC 1＝V C1－ABE＝13×2×12×1×1＝13. (理)(2014·保定市八校联考)如图，在底面是直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，∠DAB ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝BC ＝3，梯形上底AD ＝1.(1)求证：BC ⊥平面P AB ；(2)在PC 上是否存在一点E ，使得DE ∥平面P AB ？若存在，请找出；若不存在，说明理由； (3)求平面PCD 与平面P AB 所成锐二面角的正切值． [解析] (1)证明：∵BC ∥AD 且∠DAB ＝90°，∴BC ⊥AB ，又P A ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥P A ， 而P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .(2)延长BA 、CD 相交于Q 点，假若在PC 上存在点E ，满足DE ∥平面P AB ，则由平面PCQ 经过DE 与平面P AB 相交于PQ 知DE ∥PQ ，∵AD ∥BC 且AD ＝1，BC ＝3， ∴PE CP ＝QD CQ ＝AD BC ＝13， 故E 为CP 的三等分点，PE ＝12CE .(3)过A 作AH ⊥PQ ，垂足为H ，连DH ， 由(1)及AD ∥BC 知：AD ⊥平面P AQ ， ∴AD ⊥PQ ，又AH ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面HAD ，∴PQ ⊥HD .∴∠AHD 是平面PCD 与平面PBA 所成的二面角的平面角． 易知AQ ＝32，PQ ＝352，∴AH ＝AQ ·P A PQ ＝355，∴tan ∠AHD ＝AD AH ＝53，所以平面PCD 与平面P AB 所成二面角的正切值为53. 20．(本小题满分12分)(文)(2014·北京朝阳区期末)如图，在三棱锥P －ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，P A ⊥AC ，AB ⊥BC .设D 、E 分别为P A 、AC 中点．(1)求证：DE∥平面PBC；(2)求证：BC⊥平面P AB；(3)试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．[解析](1)证明：因为点E是AC中点，点D为P A的中点，所以DE∥PC.又因为DE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC.(2)证明：因为平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，又P A⊂平面P AC，P A⊥AC，所以P A⊥平面ABC.所以P A⊥BC.又因为AB⊥BC，且P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB.(3)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．取AB中点F，连EF，DF.由(1)可知DE∥平面PBC.因为点E是AC中点，点F为AB的中点，所以EF∥BC.又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC.又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面PBC，所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．(理)(2014·山东省博兴二中质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q 为AD 的中点．(1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)设点M 在线段PC 上，PM MC ＝12，求证：P A ∥平面MQB ；(3)在(2)的条件下，若平面P AD ⊥平面ABCD ，且P A ＝PD ＝AD ＝2，求二面角M －BQ －C 的大小．[解析] (1)连接BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为正三角形， 又Q 为AD 中点，∴AD ⊥BQ .∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，AD ⊥PQ ， 又BQ ∩PQ ＝Q ，∴AD ⊥平面PQB ，∵AD ⊂平面P AD ， ∴平面PQB ⊥平面P AD . (2)连接AC 交BQ 于点N ，由AQ ∥BC 可得，△ANQ ∽△CNB ，∴AQ BC ＝AN NC ＝12.又PM MC ＝12，∴PM MC ＝ANNC.∴P A ∥MN . ∵MN ⊂平面MQB ，P A ⊄平面MQB ，∴P A ∥平面MQB . (3)∵P A ＝PD ＝AD ＝2，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD . 又平面P AD ⊥平面ABCD ，∴PQ ⊥平面ABCD .以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为A (1,0,0)，B (0，3，0)，P (0,0，3)．设平面MQB 的法向量n ＝(x ，y ，z )，可得⎩⎪⎨⎪⎧ n ·QB →＝0，n ·MN →＝0.∵P A ∥MN ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·QB →＝0，n ·P A →＝0.∴⎩⎨⎧3y ＝0，x －3z ＝0，取z ＝1，得n ＝(3，0,1)． 取平面ABCD 的法向量m ＝(0,0,1)． cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12.故二面角M －BQ －C 的大小为60°.21．(本小题满分12分)(文)如图，E 是以AB 为直径的半圆弧上异于A ，B 的点，矩形ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB ＝2AD ＝2.(1)求证：EA ⊥EC ；(2)设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F . ①求证：EF ∥AB ；②若EF ＝1，求三棱锥E －ADF 的体积．[解析] (1)∵E 是半圆上异于A ，B 的点，∴AE ⊥EB ， 又∵平面ABCD ⊥平面ABE ，且CB ⊥AB ， 由面面垂直性质定理得CB ⊥平面ABE ， 又AE ⊂平面ABE ，∴CB ⊥AE ， ∵BC ∩BE ＝B ，∴AE ⊥平面CBE ， 又EC ⊂平面CBE ，∴AE ⊥EC .(2)①由CD ∥AB ，得CD ∥平面ABE ， 又∵平面CDE ∩平面ABE ＝EF ， ∴根据线面平行的性质定理得CD ∥EF ， 又CD ∥AB ，∴EF ∥AB .②V E －ADF ＝V D －AEF ＝13×12×1×32×1＝312.(理)(2014·浙江台州中学期中)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上，过点E作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(折起后的点A 记作点P )，使得∠PEB ＝60°.(1)求证：EF ⊥PB .(2)试问：当点E 在线段AB 上移动时，二面角P －FC －B 的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．[解析] (1)在Rt △ABC 中，∵EF ∥BC ，∴EF ⊥AB ， ∴EF ⊥EB ，EF ⊥EP ，又∵EB ∩EP ＝E ，∴EF ⊥平面PEB . 又∵PB ⊂平面PEB ，∴EF ⊥PB .(2)解法一：∵EF ⊥平面PEB ，EF ⊂平面BCFE ，∴平面PEB ⊥平面BCFE ，过P 作PQ ⊥BE 于点Q ，垂足为Q ，则PQ ⊥平面BCFE ，过Q 作QH ⊥FC ，垂足为H .则∠PHQ 即为所求二面角的平面角．设PE ＝x ，则EQ ＝12x ，PQ ＝32x ，QH ＝(PE ＋EQ )sin π4＝324x ，故tan ∠PHQ ＝PQ QH ＝63，cos ∠PHQ ＝155，即二面角P －FC －B 的平面角的余弦值为定值155. 解法二：在平面PEB 内，经P 点作PD ⊥BE 于D ， 由(1)知EF ⊥平面PEB ，∴EF ⊥PD .∴PD ⊥平面BCFE .在平面PEB 内过点B 作直线BH ∥PD ，则BH ⊥平面BCFE .以B 点为坐标原点，BC →，BE →，BH →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．设PE ＝x (0＜x ＜4)又∵AB ＝BC ＝4，∴BE ＝4－x ，EF ＝x ， 在Rt △PED 中，∠PED ＝60°，∴PD ＝32x ，DE ＝12x ， ∴BD ＝4－x －12x ＝4－32x ，∴C (4,0,0)，F (x,4－x,0)，P (0,4－32x ，32x )．从而CF →＝(x －4,4－x,0)，CP →＝(－4,4－32x ，32x )．设n 1＝(x 0，y 0，z 0)是平面PCF 的一个法向量，则 n 1·CF →＝0，n 1·CP →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0(x －4)＋y 0(4－x )＝0，－4x 0＋(4－32x )y 0＋32xz 0＝0，∴⎩⎨⎧x 0－y 0＝0，3x 0－z 0＝0， 取y 0＝1，得，n 1＝(1,1，3)．又平面BCF 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)． 设二面角P －FC －B 的平面角为α，则 cos α＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝155. 因此当点E 在线段AB 上移动时，二面角P －FC －B 的平面角的余弦值为定值155. 22．(本小题满分14分)(文)(2014·广东执信中学期中)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD ，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2.(1)证明：直线B 1D 1⊥平面ACC 2A 2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知AB ＝10，A 1B 1＝20，AA 2＝30，AA 1＝13(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？[解析] (1)∵四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的侧面是全等的矩形， ∴AA 2⊥AB ，AA 2⊥AD ，又∵AB ∩AD ＝A ， ∴AA 2⊥平面ABCD .连接BD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴AA 2⊥BD . ∵底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD . ∵AA 2∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面ACC 2A 2， 根据棱台的定义可知，BD 与B 1D 1共面．又已知平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面BB 1D 1D ∩平面ABCD ＝BD ， 平面BB 1D 1D ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥BD . ∴B 1D 1⊥平面ACC 2A 2.(2)∵四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的底面是正方形，侧面是全等的矩形， ∴S 1＝S 四棱柱上底面＋S 四棱柱侧面＝(A 2B 2)2＋4AB ·AA 2＝102＋4×10×30＝1300(cm 2)． 又∵四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形， 等腰梯形的高h ′＝132－(20－102)2＝12.所以S 2＝S 四棱台下底面＋S 四棱台侧面 ＝(A 1B 1)2＋4×12(AB ＋A 1B 1)h ′＝202＋4×12(10＋20)×12＝1120(cm 2)．于是该实心零部件的表面积为S ＝S 1＋S 2＝1300＋1120＝2420(cm 2)， 故所需加工处理费为0.2S ＝0.2×2420＝484(元)．(理)(2014·西安市长安中学期中)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝ 3.(1)求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)若M 为棱PC 的中点，求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值． [解析] (1)∵BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，∴BC ＝DQ ，又∵AD ∥BC ，∴BC ∥DQ ，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ ， ∵∠ADC ＝90°，∴∠AQB ＝90°，即QB ⊥AD ，又∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，∴BQ ⊥平面P AD ，又BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面P AD . (2)解法1：∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PQ ⊥平面ABCD . 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则Q (0,0,0)，A (1,0,0)，P (0,0，3)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)， ∵M 是PC 中点，∴M (－12，32，32)，∴AP →＝(－1,0，3)，BM →＝(－12，－32，32)，设异面直线AP 与BM 所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈AP →，BM →〉|＝AP →·BM →|AP →|·|BM →|＝277，∴异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为277.解法2：连接AC 交BQ 于点O ，连接OM ，则OM ∥P A ， 所以∠BMO 就是异面直线AP 与BM 所成的角．OM ＝12P A ＝1，BO ＝12BQ ＝32，由(1)知BQ ⊥平面P AD ，所以BQ ⊥P A ，∴BQ ⊥OM ， ∴BM ＝BO 2＋OM 2＝(32)2＋12＝72， ∴cos ∠BMO ＝OM BM ＝172＝277.。

二、选择题：本题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14．物理关系式既可以反映物理量之间的关系，也可以确定单位间的关系。

高中物理学习中常见的单位有m （米）、s （秒）、N （牛顿）、C （库仑）、F （法拉）、Wb （韦伯）、Ω（欧姆）、T （特斯拉）、V （伏特）等，由它们组合成的单位与电流的单位A （安培）等效的是（ ） A ．s Tm 2B ．Tm NsC ．2mWb D ．FV15．如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xoy ，该平面内有AM 、BM 、CM 三条光滑固定轨道，其中A 、C 两点处于同一个圆上，C 是圆上任意一点，A 、M 分别为此圆与x 、y 轴的切点。

B 点在y 轴上且∠BMO ＝60°,O ′为圆心。

现将a 、b 、c 三个小球分别从A 、B 、C 点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M 点，如所用时间分别为t A 、t B 、t C ，则t A 、t B 、t C 大小关系是（ ）A ．t A ＜t C ＜tB B ．t A ＝tC ＜t BC ．t A ＝t C ＝t BD ．由于C 点的位置不确定，无法比较时间大小关系16．如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧一端固定在墙上，一个小物体（可视为质点）从A 点以初速度v 0向左运动，接触弹簧后运动到C 点时速度恰好为零，弹簧始终在弹性限度内。

AC 两点间距离为L ，物块与水平面间动摩擦因数为μ，重力加速度为g 。

则物块由A 点运动到C 点的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．弹簧和物块组成的系统机械能守恒B ．物块克服摩擦力做的功为2021v mC ．弹簧的弹性势能增加量为μmgLD ．物块的初动能等于弹簧的弹性势能增加量与摩擦产生的热量之和17．如图所示，可视为质点的木块A 、B 叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴OO ′匀速转动，木块A 、B 与转轴OO ′的距离为1m ，A 的质量为5kg ，B 的质量为10kg 。