安徽省安庆市五校联盟2015年高三下学期3月联考数学试卷(理)

安徽省安庆市2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．复数z满足z（+1）=1+i，其中i是虚数单位，则z=( )A．1+i或﹣2+i B．i或1+i C．i或﹣1+i D．﹣1﹣i或﹣2+i2．在△ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，则“A=B”成立的必要不充分条件为( ) A．cosA=cosB B．sinA=sinB C．bcosA=acosB D．acosA=bcosB3．若以A、B为焦点的双曲线经过点C，且|AB|=|AC|，cos∠ABC=，则该双曲线的离心率为( )A．B．2 C．3 D．4．某2014-2015学年高二学生练习篮球，每次投篮命中率约30%，现采用随机模拟的方法估计该生投篮命中的概率；先用计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2表示命中，4，5，6，7，8，9表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表3次投篮的结果．经随机模拟产生了如下随机数：807 956 191 925 271 932 813 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 527 989据此估计该生3次投篮恰有2次命中的概率约为( )A．0.15 B．0.25 C．0.2 D．0.185．某篮球架的底座三视图如图所示，则其体积为( )A．B．175 C．180 D．295+106．已知不等式x2﹣ax+a﹣2＞0（a＞2）的解集为（﹣∞，x1）∪（x2，+∞），则x1+x2+的最小值为( )A．B．2 C．D．47．在极坐标系中，曲线C：ρ=2sinθ，A、B为曲线C的两点，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴的直角坐标中，曲线E：上一点P，则∠APB的最大值为( ) A．B．C．D．8．已知f（x+1）是周期为2的奇函数，当﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣2x（x+1），则f（﹣）的值为( )A．B．C．﹣D．﹣9．已知圆上有均匀分布的8个点，从中任取三个，能够成锐角三角形的个数为( ) A．8 B．24 C．36 D．1210．已知函数①f（x）=x+1；②f（x）=2x﹣2；③f（x）=；④f（x）=lnx；⑤f（x）=cosx；其中对于f（x）定义域内的任意x1，都存在x2，使得f（x1）f（x2）=﹣x1x2成立的函数是( )A．①③B．②⑤C．③⑤D．②④二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上）.11．设实数x，y满足，则不等式x2+≤λ有解的实数λ的最小值为__________．12．已知x8+1=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a8（x+1）8，则a2+a4+a6+a8=__________．13．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，若S2=1，S4=3，则S8=__________．14．如图所示的程序框图中，若函数F（x）=f（x）﹣m（0＜m＜2）总有四个零点，则a 的取值范围是__________15．给出下列命题：①若•＜0，则、的夹角为钝角；②若=（x1，y1），=（x2，y2），则∥⇔=；③若{，，}为空间的一组基底，则对于实数x、y、z满足x+y+z=时，x2+y2+z2=0；④|+|•|﹣|=|﹣|；⑤在基底{，，}下的坐标为（1，2，3），则在基底{+，+，+}下的坐标为（0，2，1）．其中正确的是__________（把你认为正确的命题序号都填上）．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 16．如图所示，射线OA与单位圆交于A，与圆x2+y2=4交于点B，过A平行于x轴的直线与过B与x轴垂直的直线交于P点，OA与x轴的夹角为x，若f（x）=•+cosx（cosx+2sinx）（Ⅰ）求f（x）的最值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间和图象的对称中心．17．在市2015届高三第一次模拟考试数学学科考试后，某同学对老师说：第（Ⅰ）卷为十道选择题，每题5分，前六道没错，第7、8、9三题均有两个选项能排除，第10题只有一个选项能排除．（Ⅰ）求该同学选择题得40分的概率；（Ⅱ）若（Ⅱ）卷能拿65分，该同学数学得分的期望和得分不低于100分的概率．18．在如图所示的几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为4的正方形，DE⊥平面ABCD，DE∥AF∥BG，H是DE的中点，AC与BD相交于N，DE=2AF=2BG=4（Ⅰ）在FH上求一点P，使NP∥平面EFC；（Ⅱ）求二面角E﹣FC﹣G的余弦值．19．椭圆+=1（a＞b＞0）的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条直线段，称为该直径的共轭直径．已知椭圆的方程为+=1（Ⅰ）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；（Ⅱ）若椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1、k2，证明：四边形ACBD 的面积为定值．20．已知正项数列{a n}满足：a1=2，2S n=（a n﹣1）（a n+2），n∈N*，其中S n为其前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足：b1=1，b n+1b n=a n，n∈N*．试证明：++…+＞2﹣2=2（﹣1）（n∈N*）．21．设函数f（x）=+2lnx，其中a≠0，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=+m，求证：当a=﹣1，x∈（1，+∞）时，对任意的m＜，总有f（x）＞g（x）安徽省安庆市2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．复数z满足z（+1）=1+i，其中i是虚数单位，则z=( )A．1+i或﹣2+i B．i或1+i C．i或﹣1+i D．﹣1﹣i或﹣2+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：通过设z=a+bi（a，b∈R），利用z（+1）=1+i，计算即得结论．解答：解：设z=a+bi（a，b∈R），∵z（+1）=1+i，∴a2+b2+a+bi=1+i，∴b=1，a2+a+1=1，∴a=0或a=﹣1，故选：C．点评：本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于中档题．2．在△ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，则“A=B”成立的必要不充分条件为( ) A．cosA=cosB B．sinA=sinB C．bcosA=acosB D．acosA=bcosB考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：A=B等价于cosA=cosB，等价于sinA=sinB，排除A、B；由bcosA=acosB及正弦定理可得sin（A﹣B）=0，﹣π＜A﹣B＜π，得A=B，排除C；故选：D．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．3．若以A、B为焦点的双曲线经过点C，且|AB|=|AC|，cos∠ABC=，则该双曲线的离心率为( )A．B．2 C．3 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定C在双曲线的右支上，由双曲线定义知，利用，可得，即可求出双曲线的离心率．解答：解：不妨设A、B为左、右焦点，实半轴长为a，半焦距为c，若点C在双曲线的左支上，设BC中点为D，则由定义知|BD|=|BC|=（2c+2a）=c+a，在Rt△ABD中，由cos∠ABC=，故，不可能．故C在双曲线的右支上，设BC中点为D，则由双曲线定义知，在Rt△ABD中，，故，得．故选：C．点评：本题考查双曲线的离心率，考查学生分析解决问题的能力，确定C在双曲线的右支上是关键．4．某2014-2015学年高二学生练习篮球，每次投篮命中率约30%，现采用随机模拟的方法估计该生投篮命中的概率；先用计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2表示命中，4，5，6，7，8，9表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表3次投篮的结果．经随机模拟产生了如下随机数：807 956 191 925 271 932 813 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 527 989据此估计该生3次投篮恰有2次命中的概率约为( )A．0. 15 B．0.25 C．0.2 D．0.18考点：模拟方法估计概率．专题：概率与统计．分析：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有4组随机数，根据概率公式，得到结果．解答：解：由已知可得：产生的随机数共有20组，其中表示3次投篮恰有2次的有：191，271，027，113，共4组，所以估计概率为．故选C．点评：本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．5．某篮球架的底座三视图如图所示，则其体积为( )A．B．175 C．180 D．295+10考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以侧视图为底面的六棱柱，求出底面面积，代入棱柱体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以侧视图为底面的六棱柱，底面面积S=1×6+×（1+2）×1+2×5=17，棱柱的高h=10，故棱柱的体积V=Sh=175，故选：B．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．6．已知不等式x2﹣ax+a﹣2＞0（a＞2）的解集为（﹣∞，x1）∪（x2，+∞），则x1+x2+的最小值为( )A．B．2 C．D．4考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据由韦达定理x1+x2=a，x1x2=a﹣2，再根据基本不等式即可求出最小值．解答：解：a＞2时，△=a2﹣4（a﹣2）＞0，由韦达定理x1+x2=a，x1x2=a﹣2，则x1+x2+=，当且仅当a=3时取等号．故选：D．点评：本题考查了一元二次不等式的解集和基本不等式的性质，属于基础题．7．在极坐标系中，曲线C：ρ=2sinθ，A、B为曲线C的两点，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴的直角坐标中，曲线E：上一点P，则∠APB的最大值为( ) A．B．C．D．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：由曲线C：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，利用可得直角坐标方程．曲线E：，消去参数t可得普通方程．当∠APB取最大值时，PA、PB与圆C相切，且PC最短即PC⊥l，利用直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：由曲线C：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y，配方为x2+（y﹣1）2=1．曲线E：，消去参数t可得普通方程为3x+4y+6=0．当∠APB取最大值时，PA、PB与圆C相切，且PC最短即PC⊥l，此时在Rt△PAC中，，故，∠APB为．故选：B．点评：本题考查了把参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、圆的切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知f（x+1）是周期为2的奇函数，当﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣2x（x+1），则f（﹣）的值为( )A．B．C．﹣D．﹣考点：函数奇偶性的性质；函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：由已知f（x）为周期为2的函数，得出f（x+2）=f（x），由f（x+1）是奇函数，有f （﹣x+1）=﹣f（x+1），即可得出f（x）=﹣f（2﹣x），化简得出f（﹣）=﹣f（﹣），运用解析式求解即可．解答：解：∵f（x+1）是周期为2的奇函数，∴f（x）为周期为2的函数，即f（x+2）=f（x）由f（x+1）是奇函数，有f（﹣x+1）=﹣f（x+1），即f（x）=﹣f（2﹣x），故，而﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣2x（x+1），所以，，故选：D．点评：本题考查了函数的奇偶性，周期性的定义，性质，化简转化求解函数值，属于中档题，关键是对变量的理解．9．已知圆上有均匀分布的8个点，从中任取三个，能够成锐角三角形的个数为( ) A．8 B．24 C．36 D．12考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：只有三角形的一条边过圆心，能组成直角三角形，在圆周上有8个等分点共有4条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形，可做8﹣2个直角三角形，可得直角三角形的数目，用所有的三角形减去直角三角形、钝角三角形的个数得到结果．解答：解：由题意知，只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形，∵圆周上有8个等分点∴共有4条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形，∴可做4×6=24个直角三角形，从8个点中任取三个点可以构成三角形，共有C83=56个，∴锐角三角形或钝角三角形的个数是56﹣24=32，按照一条直径为分界线，直径的一个端点与同侧三点中的任意两个及同侧直径外的同侧三个点可构成钝角三角形，钝角三角形的个数是24个，∴锐角三角形的个数是32﹣24=8，故选：A．点评：本题考查分步计数原理，考查圆的有关问题，是一个综合题，解题的关键是对于圆上的点，怎样能组成直角三角形．10．已知函数①f（x）=x+1；②f（x）=2x﹣2；③f（x）=；④f（x）=lnx；⑤f（x）=cosx；其中对于f（x）定义域内的任意x1，都存在x2，使得f（x1）f（x2）=﹣x1x2成立的函数是( )A．①③B．②⑤C．③⑤D．②④考点：函数的图象；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由题意得到对函数f（x）图象上任意一点A（x1，f（x1）），都存在一点B（x2，f（x2）），使OA⊥OB，对于①根据斜率即可判断，对于③④利用反证即可证明，对于②⑤举例即可．解答：解：由f（x1）f（x2）+x1x2=0知，对函数f（x）图象上任意一点A（x1，f（x1）），都存在一点B（x2，f（x2）），使OA⊥OB，若斜率存在则k OA k OB=﹣1，对于①f（x）=x+1，无论两个点如何取，OA和OB的斜率均等于1，故①不成立，对于②f（x）=2x﹣2；若x1=1，则f（x1）=0，若x2=0，则f（x2）=﹣1，则f（x1）f（x2）=﹣x1x2成立，故②成立；对于③f（x）=；若f（x1）f（x2）==﹣x1x2⇒（x1x2）2=﹣1，不成立，故③不成立；对于④f（x）=lnx，则f′（x）=；k OA=，k OB=，则k OA k OB=＞0，故④不成立，对于⑤f（x）=cosx，若x1=0，则f（x1）=1，若x2=，则f（x2）=0，则f（x1）f（x2）=﹣x1x2成立，故⑤成立；符合条件的有②⑤；故选：B．点评：本题考查了常见函数的图象和性质，以及反证法，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上）.11．设实数x，y满足，则不等式x2+≤λ有解的实数λ的最小值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：令，把不等式x2+≤λ有解转化为求x2+的最小值，由椭圆与线段x+y=1（0≤x≤1，0≤y≤1）相切，判别式等于0求得t的值．解答：解：令，当椭圆与线段x+y=1（0≤x≤1，0≤y≤1）相切时，t最小．如图，联立，消去y得3x2﹣2x+1﹣2t=0，由△=（﹣2）2﹣4×3×（1﹣2t）=0，得．即，∴实数λ的最小值为．点评：本题考查了简单的线性规划，考查数学转化思想方法，关键是利用椭圆与线段x+y=1（0≤x≤1，0≤y≤1）相切求出x2+的最小值，是中档题．12．已知x8+1=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a8（x+1）8，则a2+a4+a6+a8=127．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：设t=x+1，求得x后代入原二项式，然后分别令t=0、﹣1、1，整合和求得a2+a4+a6+a8 的值．解答：解：设t=x+1，则，令t=0，则a0=2，令t=1，则a0+a1+a2+…+a8=1，①令t=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…+a8=257，②①+②得：2（a2+a4+a6+a8）=254．∴a2+a4+a6+a8=127．故答案为：127．点评：本题考查二项式系数的性质，关键是对换元思想方法的运用，着重考查了二项展开式项的系数的求法，是中档题．13．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，若S2=1，S4=3，则S8=15．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式与前n项和公式即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，显然q≠1，，，由得q2=2，∴．故答案为：15．点评：本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．如图所示的程序框图中，若函数F（x）=f（x）﹣m（0＜m＜2）总有四个零点，则a 的取值范围是a≤﹣2．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出，结合图象即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出，结合图象可知：由﹣a≥2，可得a≤﹣2．故答案为：a≤﹣2．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．15．给出下列命题：①若•＜0，则、的夹角为钝角；②若=（x1，y1），=（x2，y2），则∥⇔=；③若{，，}为空间的一组基底，则对于实数x、y、z满足x+y+z=时，x2+y2+z2=0；④|+|•|﹣|=|﹣|；⑤在基底{，，}下的坐标为（1，2，3），则在基底{+，+，+}下的坐标为（0，2，1）．其中正确的是③⑤（把你认为正确的命题序号都填上）．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：举例说明①②错误；利用空间向量基本定理说明③正确；展开平面向量的数量积运算结合基本不等式说明④错误；利用坐标写出向量，进行等价转换后说明⑤正确．解答：解：对于①，当、的夹角为π时，，命题不正确；对于②，当时命题不正确；对于③，∵{，，}为空间的一组基底，∴，，为空间中三个非零且不共面的向量，若实数x、y、z满足x+y+z=，则x=y=0，即x2+y2+z2=0，命题正确；对于④，=≤，当与同向共线时取等号，命题不正确；对于⑤，在基底下的坐标为（1，2，3），即，命题正确．∴正确的命题是③⑤．故答案为：③⑤．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了平面向量的基本概念，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 16．如图所示，射线OA与单位圆交于A，与圆x2+y2=4交于点B，过A平行于x轴的直线与过B与x轴垂直的直线交于P点，OA与x轴的夹角为x，若f（x）=•+cosx（cosx+2sinx）（Ⅰ）求f（x）的最值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间和图象的对称中心．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）由A（cosx，sinx），P（2cosx，sinx），根据三角函数中的恒等变换应用可得，f （x）=2sin（2x+）+2，即可得解f（x）的最值；（Ⅱ）由﹣+2k（k∈Z）得f（x）的单调增区间．同理可得f（x）的单调减区间，对称中心．解答：（本题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，A（cosx，sinx），P（2cosx，sinx），•=2cos2x+sin2x=1+cos2x，因此，f（x）=•+cosx（cosx+2sinx）=1+cos2x+cos2x+2sinxcosx=1+2cos2x+sin2x+cos2x+2=2sin（2x+）+2所以，f（x）的最大值为4，最小值为0；…（Ⅱ）由﹣+2k（k∈Z）得：﹣+kπ≤x≤（k∈Z），因此，f（x）的单调增区间为：[﹣+kπ，]（k∈Z），同理可得：f（x）的单调减区间为[+kπ，]（k∈Z），其图象的对称中心为（﹣+，2）（k∈Z）…点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．17．在市2015届高三第一次模拟考试数学学科考试后，某同学对老师说：第（Ⅰ）卷为十道选择题，每题5分，前六道没错，第7、8、9三题均有两个选项能排除，第10题只有一个选项能排除．（Ⅰ）求该同学选择题得40分的概率；（Ⅱ）若（Ⅱ）卷能拿65分，该同学数学得分的期望和得分不低于100分的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（I）确定第7、8、9三题做对的概率，第10题做对的概率，运用题意得出P=（）2（1﹣）（1）+×（1﹣）2×=．（II）确定概率分布需要的概率，求解E（X），利用互斥事件的概率问题求解．解答：解：（Ⅰ）第7、8、9三题均有两个选项能排除，因此，第7、8、9三题做对的概率均为，第10题只有一个选项能排除，因此，第10题做对的概率为．所以，该同学选择题得40（分）的概率P为：P=（）2（1﹣）（1）+×（1﹣）2×=（Ⅱ）设该同学7、8、9、10题中做对的题数为X，则随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4PE（X）=0×=，所以，该同学数学得分的期望为30+65=．该同学数学得分不低于100分的概率为P==．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想18．在如图所示的几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为4的正方形，DE⊥平面ABCD，DE∥AF∥BG，H是DE的中点，AC与BD相交于N，DE=2AF=2BG=4（Ⅰ）在FH上求一点P，使NP∥平面EFC；（Ⅱ）求二面角E﹣FC﹣G的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）P为FH的中点R，证明四边形MRNQ为平行四边形，可得MQ∥NR，即可证明NP∥平面EFC；（Ⅱ）建立坐标系，求出平面GFC的法向量、平面EFC的法向量，即可求二面角E﹣FC﹣G的余弦值．解答：解：（Ⅰ）分别取EF、FH、CF的中点M、R、Q，连接MR、MQ、NQ、NR，则MR∥EH∥FA∥NQ且MR=EH=FA=NQ∴四边形MRNQ为平行四边形，∴MQ∥NR又MQ⊂平面EFC，NR⊄平面EFC，∴NR∥平面EFC，即P为FH的中点R．…（Ⅱ）分别以直线AB、AD、AF为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则G（4，0，2），F（0，0，2），C（4，4，0），E（0，4，4）设平面GFC的法向量为=（x，y，z），=（4，0，0），=（0，﹣4，2）则，令z=2得：=（0，1，2）类似可得平面EFC的法向量为=（2，﹣1，2），∴cos＜，＞=，∴二面角E﹣FC﹣G的余弦值为﹣．…点评：本题考查直线与平面平行的判定，二面角E﹣FC﹣G的余弦值、考查逻辑思维能力，空间想象能力，关键是求出平面的法向量．19．椭圆+=1（a＞b＞0）的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条直线段，称为该直径的共轭直径．已知椭圆的方程为+=1（Ⅰ）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；（Ⅱ）若椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1、k2，证明：四边形ACBD 的面积为定值．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用点差法，求该直径的共轭直径所在的直线方程；（Ⅱ）确定A、B的坐标，C、D的坐标，求出点C到直线AB的距离，可得四边形ACBD 的面积，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：设斜率为的直径平行的弦的端点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），该弦中点为（x，y），则x1+x2=2x，y1+y1=2y，（x1，y1）、（x2，y2），代入椭圆方程，相减得：k=，所以得：x+2y=0，故该直径的共轭直径所在的直线方程为x+2y=0．…（Ⅱ）证明：椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1、k2．四边形ACBD显然为平行四边形，设与AB平行的弦的端点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则，，故．由得A、B的坐标分别为，故|AB|=，同理C、D的坐标分别为，所以，点C到直线AB的距离设点C到直线AB的距离为d，四边形ACBD的面积为S，则S=d|AB|=×==，为定值．…点评：本题考查新定义，考查椭圆方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知正项数列{a n}满足：a1=2，2S n=（a n﹣1）（a n+2），n∈N*，其中S n为其前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足：b1=1，b n+1b n=a n，n∈N*．试证明：++…+＞2﹣2=2（﹣1）（n∈N*）．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由2S n=（a n﹣1）（a n+2）可得2S n﹣1=（a n﹣1﹣1）（a n﹣1+2），n≥2，与原式作差整理即得通项公式（Ⅱ）由b1=1，b n+1b n=a n即b n+1b n=n+1，所以b2=2，b n b n﹣1=n（n≥2），得到的一个递推式，再利用均值不等式证明不等式解答：解：（Ⅰ）由2S n=（a n﹣1）（a n+2）可得2S n﹣1=（a n﹣1﹣1）（a n﹣1+2），n≥2，两式相减得．因为a n＞0，所以a n﹣a n﹣1﹣1=0，即a n﹣a n﹣1=1（n≥2）．所以数列{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，故a n=n+1．…（Ⅱ）因为b1=1，b n+1b n=a n即b n+1b n=n+1，所以b2=2，b n b n﹣1=n（n≥2），所以b n+1b n﹣b n b n﹣1=1，（n≥2），b n+1≠b n当n=1时，，所以当n=1时结论正确．当n≥2时，=1+（b n+1+b n）﹣b1﹣b2=b n+1+b n﹣2．由条件易知b n＞0，所以b n+1+b n＞，所以＞．…点评：本题主要考查数列通项公式的求解和数列不等式的证明，属于难度较大的题，在2015届高考中可以作为压轴题．21．设函数f（x）=+2lnx，其中a≠0，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=+m，求证：当a=﹣1，x∈（1，+∞）时，对任意的m＜，总有f（x）＞g（x）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）对函数进行求导，得到一个二次函数的求根问题，讨论△得出单调区间；（2）利用函数单调性得出函数得最值，从而求得恒成立问题的解决．解答：解：（Ⅰ），=△=（4a﹣1）2﹣16a2=1﹣8a．…①当时，△≤0，从而f'（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜时，△＞0．设方程2x2+（4a﹣1）x+2a2=0的两根分别为x1，x2，其中，．因为，，所以x1＞0，x2＞0，f'（x）＞0⇔x＜x1或x＞x2，所以f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；③当a＜0时，，，所以0＜x1＜﹣a，x2＞﹣a＞0，所以f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，﹣a）和（﹣a，x2）上单调递减．…（Ⅱ）证明：当a=﹣1时，，由（I）知f（x）在和（2，+∞）上单调递增，在（）和（1，2）上单调递减．所以在（1，+∞）上，f（x）min=f（2）=1+2ln2．…因为，所以在（1，+∞）上，．…因为，当时，．所以当a=﹣1，x∈（1，+∞）时，对任意的，总有f（x）＞g（x）．…点评：本题主要考查函数求导求单调区间的方法和利用函数求最值方法证明相关问题的方法，在2015届高考中属于常考题型，中档题．。

2014-2015学年安徽省安庆市五校联盟高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数（a，b∈R）对应的点在虚轴上，则ab的值是（）A．﹣15 B． 3 C．﹣3 D． 152．设抛物线y=x2上的一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 63．下列命题中是假命题的是（）A．∀a，b∈R+，lg（a+b）≠lga+lgbB．∃φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数C．∃α，β∈R，使得cos（α+β）=cosα+cosβD．∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•是幂函数，且在（0，+∞）上递减4．设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（）A． B． C．D．5．由直线y=0，x=e，y=2x及曲线y=所围成的封闭的图形的面积为（）A． 3 B． 3+2ln2 C． e2﹣3 D． e6．已知函数f（x）=|lgx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），则的最小值等于（）A． 2B．C． 2+D． 27．已知数列{a n}是等差数列，a1=tan225°，a5=13a1，设S n为数列{（﹣1）n a n}的前n项和，则S2015=（）A． 2015 B．﹣2015 C． 3024 D．﹣3022 8．已知、为平面向量，若+与的夹角为，+与的夹角为，则=（）A．B．C．D．9．已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C． 2 D． 310．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=函数g（x）=x3+3x2+m．若∀s∈[﹣4，2），∃t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣12] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，8] D．（﹣∞，]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，若l1⊥l2，则a= ．12．设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m= ．13．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为．14．已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=log3（x+1），设关于x的不等式f[x2+a（a+2）]≤f（2ax+2x）的解集为A，函数f（x）在[﹣8，8]上的值域为B．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．15．已知曲线C：y2=2x+a在点P n（n，）（a＞0，n∈N）处的切线l n的斜率为k n，直线l n交x轴，y轴分别于点A n（x n，0），B n（0，y n），且|x0|=|y0|．给出以下结论：①a=1；②当n∈N*时，y n的最小值为；③当n∈N*时，k n；④当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，则S n．其中，正确的结论有（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本小题满分12分）已知函数f（x）=sinx（2cosx﹣sinx）+cos2x．（Ⅰ）讨论函数f（x）在[0，π]上的单调性；（Ⅱ）设＜α＜，且f（α）=﹣求sin2α的值．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=，（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=6，求b+c的取值范围．18．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A （1，0）．（Ⅰ）若l1与圆C相切，求l1的方程；（Ⅱ）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程．19．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足且a2，a5，a14恰好是等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，（T）k≥3n﹣6恒成立，求实数k的取值范围．20．已知椭圆Ω：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且经过点（1，）．（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；（Ⅱ）A是椭圆Ω与y轴正半轴的交点，椭圆Ω上是否存在两点M、N，使得△AMN是以A 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（Ⅰ）当a=e时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有××…×＞．2014-2015学年安徽省安庆市五校联盟高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数（a，b∈R）对应的点在虚轴上，则ab的值是（）A．﹣15 B． 3 C．﹣3 D． 15考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：通过化简可知=+i，利用其对应的点在虚轴上可知实部为0，进而计算可得结论．解答：解：===+i，∵复数（a，b∈R）对应的点在虚轴上，∴=0，即ab=3，故选：B．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，注意解题方法的积累，属于基础题．2．设抛物线y=x2上的一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 6考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得点P的纵坐标为4，由抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线y=﹣1的距离，由此求得结果．解答：解：由于抛抛物线y=x2上的一点P到x轴的距离是4，故点P的纵坐标为4．再由抛物线y=x2的准线为y=﹣1，结合抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是4﹣（﹣1）=5，故选C．点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．3．下列命题中是假命题的是（）A．∀a，b∈R+，lg（a+b）≠lga+lgbB．∃φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数C．∃α，β∈R，使得cos（α+β）=cosα+cosβD．∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•是幂函数，且在（0，+∞）上递减考点：命题的真假判断与应用；全称命题；特称命题．专题：简易逻辑．分析：利用反例判断A的正误；通过特殊值判断B的正误；特殊值判断C的正误；利用幂函数的定义判断D的正误；解答：解：∀a，b∈R+，lg（a+b）≠lga+lgb，如果a=b=2，两个数值相等，所以A不正确．∃φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数，当φ=时，函数是偶函数，所以B正确．∃α，β∈R，使得cos（α+β）=cosα+cosβ，例如α=，β=，等式成立，所以C 正确；∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•是幂函数，且在（0，+∞）上递减，m=2时函数是幂函数，f（x）=x﹣1．满足题意，正确．故选：A．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，反例法与特殊值法是常用方法，考查基本知识的应用．4．设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（）A． B． C．D．考点：利用导数研究函数的单调性．分析：先对函数f（x）进行求导运算，根据在点（t，f（t））处切线的斜率为在点（t，f （t））处的导数值，可得答案．解答：解：∵f（x）=xsinx+cosx∴f'（x）=（xsinx）'+（cosx）'=x（sinx）'+（x）'sinx+（cosx）'=xcosx+sinx﹣sinx=xcosx∴k=g（t）=tcost根据y=cosx的图象可知g（t）应该为奇函数，且当x＞0时g（t）＞0故选B．点评：本题主要考查函数的导数和在某点处切线斜率的关系．属基础题．5．由直线y=0，x=e，y=2x及曲线y=所围成的封闭的图形的面积为（）A． 3 B． 3+2ln2 C． e2﹣3 D． e考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先联立两个曲线的方程，求出交点，以确定积分公式中x的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可．解答：解：由y=2x及曲线y=，可得交点坐标为（1，2），（﹣1，﹣2），故所求图形的面积为S==（x2﹣2lnx）=e2﹣3．故选：C．点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．6．已知函数f（x）=|lgx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），则的最小值等于（）A． 2B．C． 2+D． 2考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：不等式的解法及应用．分析：根据对数的运算性质，可得ab=1（a＞b＞0），进而可将=（a﹣b）+，进而根据基本不等式，可得答案．解答：解：∵f（x）=|lgx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），则lga=﹣lgb，则a=，即ab=1（a＞b＞0）==（a﹣b）+≥2故的最小值等于2故选A点评：本题考查的知识点是对数的性质，基本不等式，其中根据已知得到ab=1是解答的关键．7．已知数列{a n}是等差数列，a1=tan225°，a5=13a1，设S n为数列{（﹣1）n a n}的前n项和，则S2015=（）A． 2015 B．﹣2015 C． 3024 D．﹣3022考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用可知公差，进而利用等差数列的性质可知S2015=﹣（a1+a3+…+a2015）+（a2+a4+…+a2014）=﹣•（a1+a2015），进而计算可得结论．解答：解：依题意，d==3tan225°=3，∴a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴S2015=﹣（a1+a3+…+a2015）+（a2+a4+…+a2014）=﹣•（a1+a2015）+（a2+a2014）=﹣•（a1+a2015）+（a1+a2015）=﹣•（a1+a2015）==﹣3022，故选：D．点评：本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．8．已知、为平面向量，若+与的夹角为，+与的夹角为，则=（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：根据题意，画出平行四边形表示向量=，=，=，利用正弦定理即可求出．解答：解：如图所示：在平行四边形ABCD中，=，=，=，∠BAC=，∠DAC=，在△ABC中，由正弦定理得，===．故选：D．点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了正弦定理的应用问题，是综合题目．9．已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C． 2 D． 3考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先求出F1到渐近线的距离，利用F1关于渐近线的对称点恰落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．解答：解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），设一条渐近线方程为y=﹣，则F1到渐近线的距离为=b．设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于A，∴|MF1|=2b，A为F1M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F2M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：C．点评：本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．10．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=函数g（x）=x3+3x2+m．若∀s∈[﹣4，2），∃t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣12] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，8] D．（﹣∞，]考点：其他不等式的解法；特称命题．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由f（x+2）=f（x）得f（﹣）=2f（）=2×（﹣2）=﹣4，x∈[﹣4，﹣3]，f （﹣）=2f（﹣）=﹣8，∀s∈[﹣4，2），f（s）最小=﹣8，借助导数判断：∀t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m ﹣16，不等式f（s）﹣g（t）≥0恒成立，得出f（s）小=﹣8≥g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，求解即可．解答：解：∵当x∈[0，2）时，f（x）=，∴x∈[0，2），f（0）=为最大值，∵f（x+2）=f（x），∴f（x）=2f（x+2），∵x∈[﹣2，0]，∴f（﹣2）=2f（0）=2×=1，∵x∈[﹣4，﹣3]，∴f（﹣4）=2f（﹣2）=2×1=2，∵∀s∈[﹣4，2），∴f（s）最大=2，∵f（x）=2f（x+2），x∈[﹣2，0]，∴f（﹣）=2f（）=2×（﹣2）=﹣4，∵x∈[﹣4，﹣3]，∴f（﹣）=2f（﹣）=﹣8，∵∀s∈[﹣4，2），∴f（s）最小=﹣8，∵函数g（x）=x3+3x2+m，∴g′（x）=3x2+6x，3x2+6x＞0，x＞0，x＜﹣2，3x2+6x＜0，﹣2＜x＜0，3x2+6x=0，x=0，x=﹣2，∴函数g（x）=x3+3x2+m，在（﹣∞，﹣2）（0，+∞）单调递增．在（﹣2，0）单调递减，∴∃t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，∵不等式f（s）﹣g（t）≥0，∴﹣8≥m﹣16，故实数满足：m≤8，故选C．点评：本题考查了函数的图象的应用，判断最大值，最小值问题，来解决恒成立和存在性问题，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，若l1⊥l2，则a= ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由两直线互相垂直，可得两直线系数间的关系，由此列关于a的方程求得a值．解答：解：∵直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，且l1⊥l2，∴a×1+2（a﹣1）=0，即a+2a﹣2=0，解得a=．故答案为：．点评：本题考查了直线的一般式方程与直线垂直间的关系，关键是对垂直条件的记忆与应用，是基础题．12．设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m= ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（）上，由此判断出满足约束条件件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值．解答：解：∵m＞1，由约束条件作出可行域如图，直线y=mx与直线x+y=1交于（），目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）处取得最大值，由题意可知，又∵m＞1，解得m=1+．故答案为：1+．点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据平面直线方程判断出目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）点取得最大值，并由此列出关于m的方程是解答本题的关键，是中档题．13．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图，可知：该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析出各变量的变化情况，可得答案．解答：解：第1次执行循环体后：S=，i=1，满足继续循环的条件；第2次执行循环体后：S=，i=2，满足继续循环的条件；第3次执行循环体后：S=+sinπ，i=3，满足继续循环的条件；第4次执行循环体后：S=+sinπ，i=4，满足继续循环的条件；第5次执行循环体后：S=+sinπ，i=5，满足继续循环的条件；第6次执行循环体后：S=+sinπ+sin2π，i=6，满足继续循环的条件；第7次执行循环体后：S=+sinπ+sin2π，i=7，满足继续循环的条件；第8次执行循环体后：S=+sinπ+sin2π，i=8，满足继续循环的条件；第9次执行循环体后：S=+sinπ+sin2π+sin3π，i=9，不满足继续循环的条件；由S=+sinπ+sin2π+sin3π=2=，故输出的S值为：，故答案为：点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．14．已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=log3（x+1），设关于x的不等式f[x2+a（a+2）]≤f（2ax+2x）的解集为A，函数f（x）在[﹣8，8]上的值域为B．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是[﹣2，0] ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：∵f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1）为增函数，∴f（x）在[﹣8，8]上也为增函数，且f（8）=log3（8+1）=log39=2，即函数f（x）在[﹣8，8]上的值域为B=[﹣2，2]，由f[x2+a（a+2）]≤f（2ax+2x）得x2+a（a+2）≤2ax+2x，即x2﹣2（a+1）x+a（a+2）≤0，则（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，即a≤x≤a+2，即A=[a，a+2]，∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A⊊B，即，解得﹣2≤a≤0，故答案为：[﹣2，0]点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及函数奇偶性，定义域，值域的求解，综合考查函数的性质的应用．15．已知曲线C：y2=2x+a在点P n（n，）（a＞0，n∈N）处的切线l n的斜率为k n，直线l n交x轴，y轴分别于点A n（x n，0），B n（0，y n），且|x0|=|y0|．给出以下结论：①a=1；②当n∈N*时，y n的最小值为；③当n∈N*时，k n；④当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，则S n．其中，正确的结论有①③④（写出所有正确结论的序号）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：求出导数，求出切线的斜率，求出切线方程，令x=0，y=0，n=0，得到方程，解得a，即可判断①；令=t（t），得到y n在t上递增，即可得到最小值，即可判断②；令u=（0＜u），则有y=sinu﹣u，求出导数，判断单调性，即可判断③；由于（）2≤（当且仅当a=b取等号），则有＜，则有＜=（﹣），再由裂项相消求和，即可判断④．解答：解：对于①，由y2=2x+a，当x＞0时，y=，y′=，则k n=，切线方程为y﹣=（x﹣n），令x=0，则y=，令y=0，则x=n﹣（2n+a）=﹣n﹣a，即有x n=﹣n﹣a，y n=，由于|x0|=|y0|，则|a|=||，解得，a=1，则①正确；对于②，由于y n=，令=t（t），则y n==（t+）在t上递增，则有t=取得最小值，且为（）=，则②错误；对于③，当n∈N*时，k n=，令u=（0＜u），则有y=sinu﹣u，y′=cosu ﹣1，由于0＜u＜，则，即有y′＞0，y在0＜u上递增，即有y＞0，即有k n成立，则③正确；对于④，当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，k n=由于（）2≤（当且仅当a=b取等号），则a+b，则有＜，则有＜=（﹣），则S n=++…+＜[（）+（）+…+（）]=（﹣1）．则④正确．故答案为：①③④点评：本题考查导数的运用：求切线方程，考查函数的单调性的运用：求最值和比较大小，考查数列的求和：放缩和裂项相消法，属于中档题和易错题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本小题满分12分）已知函数f（x）=sinx（2cosx﹣sinx）+cos2x．（Ⅰ）讨论函数f（x）在[0，π]上的单调性；（Ⅱ）设＜α＜，且f（α）=﹣求sin2α的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和和差角（辅助角）公式，将函数的解析式化为正弦型函数的形式，再由正弦函数的图象和性质，可得函数f（x）在[0，π]上的单调性；（Ⅱ）由＜α＜，且f（α）=﹣，sin（2α+）=﹣，cos（2α+）=﹣，代入两角和的正弦公式，可得答案．解答：解：（Ⅰ） f（x）=sinx•（2cosx﹣sinx）+cos2x=sin2x﹣sin2x+cos2x=sin2x+cos2x ﹣sin（2x+），（2分）由x∈[0，π]得2x+∈[，]，当2x+∈[，]即x∈[0，]时，f（x）递增；当2x+∈[，]即x∈[，]时，f（x）递减；当2x+∈[，]即x∈[，π]时，f（x）递增．综上，函数f（x）在区间[0，]、[，π]上递增，在区间[，]上递减．（6分）（Ⅱ）由f（α）=﹣，即sin（2α+）=﹣，得sin（2α+）=﹣，（7分）因为＜α＜，所以＜2α+＜，可得cos（2α+）=﹣，（9分）则sin2α=sin[（2α+）﹣]=sin（2α+）﹣cos（2α+）（11分）=×（﹣）﹣×（﹣）=．（12分）点评：本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，诱导公式和和差角（辅助角）公式，同角三角函数的基本关系公式，二倍角的正切公式和两角和的正弦公式，是三角函数的综合应用，难度中档．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=，（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=6，求b+c的取值范围．考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把原等式转化为关于A的等式，求得tanA的值，进而求得A．（Ⅱ）先根据三角形三边的关系求得b+c的一个范围，进而利用余弦定理求得b+c的关系式，利用基本不等式求得b+c的范围，最后取交集即可．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理知==，∴sinA=cosA，即tanA=，∵0＜A＜π，∴A=．（Ⅱ）由已知：b＞0，c＞0，b+c＞a=6，由余弦定理得36=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣（b+c）2=（b+c）2，（当且仅当b=c时取等号），∴（b+c）2≤4×36，又b+c＞6，∴6＜b+c≤12，即b+c的取值范围是（6，12]．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．结合了基本不等式知识的考查，综合性较强．18．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A （1，0）．（Ⅰ）若l1与圆C相切，求l1的方程；（Ⅱ）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程．考点：圆的切线方程；点到直线的距离公式．专题：综合题；直线与圆．分析：（Ⅰ）通过直线l1的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径，即可求l1的方程；（Ⅱ）设直线方程为kx﹣y﹣k=0，求出圆心到直线的距离，弦长，得到三角形CPQ的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到l1的直线方程．解答：解：（Ⅰ）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x=1，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，解之得．所求直线l1的方程是x=1或3x﹣4y﹣3=0．（Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，则圆心到直l1的距离d=又∵三角形CPQ面积S=×2=d=∴当d=时，S取得最大值2．∴d==，k=1或k=7．∴直线方程为y=x﹣1，或y=7x﹣7．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相切，考查三角形的面积的最值，考查计算能力，属于中档题．19．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足且a2，a5，a14恰好是等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，（T）k≥3n﹣6恒成立，求实数k的取值范围．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由得，当n≥2时，，两式相减并化简，得数列{a n}为等差数列，再由题目中其他条件计算出{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）计算得到T n=，再进行参数分离，将题中不等式转化为：对n∈N*恒成立，令c n=，作差确定数列的单调性，求出数列的最小值即可．解答：（Ⅰ）由题意，，当n≥2时，，∴4a n=4S n﹣4S n﹣1=，，又a n＞0，∴a n+1=a n+2．∴当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列．又a2，a5，a14构成等比数列，，，解得a2=3，由条件可知，，∴a1=1，又a2﹣a1=3﹣1=2，∴{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．数列{a n} 的通项公式为a n=2n ﹣1，则b1=a2=3，b2=a5=9，b3=a14=27，且{b n}是等比数列，∴数列{b n}的通项公式为．（Ⅱ）==，∴对n∈N*恒成立，∴对n∈N*恒成立，令c n=，c n﹣c n﹣1==，当n≤3时，c n＞c n﹣1，当n≥4时，c n＜c n﹣1，∴，∴．点评：本题是对数列知识的考查，其中“迭代”思想是数列中最常见的思想，本题也不例外；在第二问的处理中，对于数列c n=，通过作差研究数列的单调性也是与数列相关的综合性题型常用的方法．20．已知椭圆Ω：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且经过点（1，）．（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；（Ⅱ）A是椭圆Ω与y轴正半轴的交点，椭圆Ω上是否存在两点M、N，使得△AMN是以A 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆的a，b，c的关系和已知点在椭圆上，解方程即可得到a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知，直角边AM，AN不可能垂直或平行于x轴，故可设AM所在直线的方程为y=kx+1，不妨设k＞0，联立直线方程和椭圆方程，消去y，解方程求得M的坐标，同样求得N的坐标，由AM=AN，求得k，讨论k，即可判断符合条件的三角形的个数．解答：解：（Ⅰ）由题意可得，解得a2=4，b2=1，所以椭圆Ω的方程为．（Ⅱ）由题意可知，直角边AM，AN不可能垂直或平行于x轴，故可设AM所在直线的方程为y=kx+1，不妨设k＞0，则直线AM所在的方程为．联立方程，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kx=0，解得，将，代入y=kx+1可得，，故点．所以．同理可得，由|AM|=|AN|，得k（4+k2）=1+4k2，所以k3﹣4k2+4k﹣1=0，则（k﹣1）（k2﹣3k+1）=0，解得k=1或．当AM斜率k=1时，AN斜率﹣1；当AM斜率时，AN斜率；当AM斜率时，AN斜率．综上所述，符合条件的三角形有3个．点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，解交点，考查两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（Ⅰ）当a=e时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有××…×＞．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；证明题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣e，f′（x）=e x﹣e，从而由导数的正负确定函数的单调性及极值；（Ⅱ）求导f′（x）=e x﹣a，从而讨论确定函数的单调性，由函数的单调性确定函数的最值，从而化恒成立问题为最值问题；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f（x）≥0恒成立，从而可化出ln（x+1）≤x，令x=（n∈N*），从而得到，从而证明．解答：解：（Ⅰ）当a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣e，f′（x）=e x﹣e，当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣e，函数f（x）无极大值．（Ⅱ）由f（x）=e x﹣ax﹣a，f′（x）=e x﹣a，若a＜0，则f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x趋近于负无穷大时，f（x）趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，f（x）趋近于正无穷大，故函数f（x）存在唯一零点x0，当x＜x0时，f（x）＜0；当x＞x0时，f（x）＞0．故a＜0不满足条件．若a=0，f（x）=e x≥0恒成立，满足条件．若a＞0，由f′（x）=0，得x=lna，当x＜lna时，f′（x）＜0；当x＞lna时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在x=lna处取得极小值f（lna）=﹣a•lna，由f（lna）≥0得﹣a•lna≥0，解得0＜a≤1．综上，满足f（x）≥0恒成立时实数a的取值范围是[0，1]．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=1时，f（x）≥0恒成立，所以f（x）=e x﹣x﹣1≥0恒成立，即e x≥x+1，所以ln（x+1）≤x，令x=（n∈N*），得，则有ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜++…+=1﹣＜1，所以，所以，即．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，难点在于证明不等式时函数的构造与化简，属于难题．。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数ib i a 3-+（R b a ∈,）对应的点在虚轴上，则ab 的值是A 。

15-B 。

3C 。

3-D 。

15【答案】B考点:复数相关概念及运算。

2．设抛物线214y x =上的一点P 到x 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为A 。

3 B.4 C.5 D.6 【答案】C考点:抛物线的定义及几何性质. 3．下列命题是假命题的是A.,a b R +∀∈，lg()lg lg a b a b +≠+B 。

Rϕ∃∈，使得函数()sin(2)f x x ϕ=+是偶函数 C 。

,Rαβ∃∈,使得cos()cos cos αβαβ+=+D.m R∃∈，使243()(1)m m f x m x-+=-⋅是幂函数，且在(0,)+∞上递减【答案】A 【解析】考点:简易逻辑与命题.4．设函数()sin cos f x x x x =+的图像在点(,())t f t 处切线的斜率为k ，则函数()k g t =的部分图像为【答案】B考点:导数几何意义与函数奇偶性、图象.5．由直线x y e x y 2,,0===及曲线xy 2=所围成的封闭的图形的面积为A. 2ln 23+ B 。

3 C 。

322-e D.e【答案】B【解析】试题分析:1210101222ln 3e eS xdx dx x x x=+=+=⎰⎰，故选B 。

考点:积分的几何意义及运算。

6．已知函数()|lg |f x x =,0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于A.22B.5C 。

23+ D 。

23【答案】A 【解析】考点:对数函数图象与性质、基本不等式.7．已知数列{}na 是等差数列，1tan 225a =，5113aa =，设nS 为数列{(1)}nna -的前n项和，则2015S=A.2015 B 。

2015年安徽省安庆市重点中学高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1. 设集合A ={−1, 0, a}，B ={x|0<x <1}，若A ∩B ≠⌀，则实数a 的取值范围是（ ） A {1} B (−∞, 0) C (1, +∞) D (0.1)2. 设复数z =3i−a i，若复数z 在复平面内对应的点在第一象限是a >−1的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3. 执行如图所示的程序框图，若输出的k =5，则输入的整数p 的最大值为（ ）A 7B 15C 31D 634. 已知函数f(x)=−x 2+ax −b ，若a ，b 都是从区间[0, 3]任取的一个数，则f(1)>0成立的概率是（ ） A 29 B 49 C 59 D 895. 在约束条件{x ≥0y ≥0y +x ≤4y +2x ≤s 下，当2≤s ≤8时，目标函数z =3x +2y 的最大值的变化范围是（ ）A [3, 12]B [4, 12]C [3, 8]D [6, 12]6. 设数列{a n }满足a n+1+a n−1≤2a n (n ∈N ∗, n ≥2)，则称数列{a n }为凸数列，已知等差数列{b n }的公差为lnd ，首项b 1=2，且数列{bnn }为凸数列，则d 的取值范围是（ ）A (0, e 2]B [e 2, +∞)C (2, e 2]D [2, +∞) 7. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1的两条渐近线与椭圆x 216+y 212=1在第一、四象限交于A ，B 两点，若椭圆的左焦点为F ，当△AFB 的周长最大时，求双曲线的离心率（ ） A3√32 B 32 C √132 D 948. 某几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 8−π6B 8−π4C 8−π3D 8−π29. 已知函数f(x)=xe x (x ∈R)，若x 1≠x 2，且f(x 1)=f(x 2)，则x 1，2−x 2大小关系是（ ）A x 1>2−x 2B x 1<2−x 2C x 1=2−x 2D x 1与2−x 2大小不确定10. 若函数f(x)=|x −a|+|x +1|，方程f(x)=√1−x 2有解时，a 的取值范围为（ ） A [−2, 0] B [−√2,0] C [−√5, 1] D [1−√5, 0]二、填空题：每小题5分，共25分11. 二项式(x2−√x 3)8的展开式中常数项为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1:{x =1−ty =2t +1（t 为参数）与曲线C 2:{x =2cosθy =bsinθ(θ为参数，b >0)有一个公共点在y 轴，则b =________．13. 若向量a →，b →满足4a →2+a →⋅b →+b →2=1，求|2a →+b →|的最大值________．14. 一台晚会共有舞蹈、相声、小品、唱歌、魔术、杂技、戏曲7个节目，编排一个节目单，要求舞蹈、相声、小品两两互不相邻，这个节目单的编排方式种数共有________种（用数字作答）．15. 已知棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是面对角线A 1C 1的两个不同的动点． ①存在M ，N 两点，使BP ⊥DQ ； ②体对角线BD 1垂直平面DPQ ； ③若|PQ|=1，S △BPD ∈[√22, √32]；④若|PQ|=1，则四面体BDPQ 在平面ABCD 上的正投影面积为定值； ⑤若|PQ|=1，则四面体BDPQ 的体积随着线段PQ 移动而变化； 以上命题为真命题的有________．三、解答题：16. 函数f(x)=sin 2x +√22cos(2x +π4)(1)求f(x)的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =√3且f(B2+π4)=18，求△ABC 的面积最大值．17. 对部分4G手机用户每日使用流量（单位：M）进行统计，得到如下记录：将手机日使用的流量统计到各组的频率视为概率，并假设每天手机的日流量相互独立．（1）求某人在未来连续4天里，有连续3天的手机的日使用流量都不低于15M且另1天的手机日使用流量低于5M的概率；（2）用X表示某人在未来3天时间里手机日使用流量不低于15M的天数，求X的分布列和数学期望．18. 如图，在斜三棱柱ABCD−A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠B1C1C=∠C1CA=60∘，AC=2，其中M，N分别是AB，B1C1的中点，（1）求证：MN // 平面AC1（2）若AB1=√6，求二面角C−AB1−B的余弦值．19. 已知函数f(x)=lnx+x22+2kx，其中常数k∈R．（1）求f(x)的单调增区间；（2）若y=f(x)有两个极值点x1，x2，证明f(x2)<−32．20. 已知三角形PFE的周长为6，定点E(−1, 0)，F(1, 0)，动点P轨迹是C，当P在第一象限内，直线PQ与圆O:x2+2=3相切于点M．（1）求P点的轨迹C的方程；（2）求|PM|⋅|PE|的取值范围；（3）若以PQ为直径的圆过原点，求点Q的纵坐标t的值．21. 已知a1=1，a n+1=(1+a2+a2n2+2n)a n+12n．（1）当a=0时，求{a n}的通项公式；（2）当a=1时，证明a n<e32．2015年安徽省安庆市重点中学高考数学模拟试卷（理科）答案1. D2. A3. B4. A5. B6. B7. C8. D9. A10. D11. 712. 313. 2√10514. 144015. ①②④16. 解：∵ f(x)=sin2x+√22cos(2x+π4)=√22(cos2xcosπ4−sin2xsinπ4)+1−cos2x2=12−12sin2x①T=2π2=π．…②∵ f(B2+π4)=12−12sin(B+π2)=12−12cosB=18，∴ cosB=34，在△ABC中，cosB=a 2+c2−b22ac≥2ac−32ac，得ac≤6，∴ 当a=c=√6时，S△ABC≤12acsinB=12×6×√74=3√74．…17. 解：（1）设A1表示事件“日使用流量不低于15M”，A2表示事件“日使用流量低于5M”，B表示事件“在未来连续4天里有连续3天日使用流量不低于15M且另1天日使用流量低于5M”．则P(A1)=0.25+0.15=0.40，P(A2)=0.05，所以P(B)=0.4×0.4×0.4×0.05×2=0.0064．…（2）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为：P(X=0)=C30⋅(1−0.4)3=0.216，P(X=1)=C31⋅0.4⋅(1−0.4)2=0.432，P(X=2)=C32⋅0．42⋅(1−0.4)=0.288，P(X=3)=C33⋅0．43=0.064．X的分布列为因为X ∼B(3, 0.4)，所以期望E(X)=3×0.4=1.2．…18. 解：（1）证明：如图，取AC 的中点E ，连接ME ，EC 1，则：ME // BC ，∴ ME // B 1C 1； ∴ ME // NC 1，且ME =NC 1；所以四边形MEC 1N 是平行四边形，得MN // EC 1； 又MN ⊄平面AC 1，EC 1⊂平面AC 1； ∴ MN // 平面AC 1；（2）取CC 1的中点O ，连接OA ，OB 1，AC 1，B 1C ； 由条件△ACC 1和B △B 1CC 1都为等边三角形；∴ AO ⊥CC 1，B 1O ⊥CC 1，且AO =B 1O =√3； 又AB 1=√6； ∴ OA ⊥OB 1；∴ OB 1，OC 1，OA 三直线两两垂直，分别以这三直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则：C(0, −1, 0)，B 1(√3, 0, 0)，A(0, 0, √3)，B(√3, −2, 0)；连接AB 1，设平面CAB 1的法向量为m →=(x 1, y 1, z 1)，AB1→=(√3, 0, −√3)，AC →=(0, −1, −√3)，则： {m →⋅AC →=−y 1−√3z 1=0˙；∴ {x 1=z 1y 1=−√3x 1，取z 1=1，则m →=(1, −√3, 1)；同样，设平面BAB 1的法向量为n →=(x 2, y 2, z 2)，AB1→=(√3, 0, −√3)，BB 1→=(0, 2, 0)； ∴ {n →⋅BB 1→=2y 2=0˙，取z 1=1，n →=(1,0,1)；则cos <m →，n →>=|m →||n →|˙=√5⋅√2=√105； 所以二面角C −AB 1−B 的余弦值为√105． 19. 解：（1）f′(x)=1x+x −2k =x 2−2kx+1x(x >0)，①当k ≤1时，f′(x)≥2√1x⋅x −2k =2−2k ≥0，∴ 函数f(x)为增函数．②当k >1时，由f′(x)=0 得：x 2−2kx +1=0，解得两根：x 1，x 2， 其中0<x 1=k −√k 2−1<x 2=k +√k 2−1，综合①②知当k ≤1时，f(x)的增区间为(0, +∞)；当k >1时，f(x)的增区间为(0, k −√k 2−1],[k +√k 2−1, +∞)；（2）当k ≤1时，y =f(x)在(0, +∞)上是增函数，至多有一极值点，不合题意． 当k >1时，令f′(x)=0，得：x 2−2kx +1=0， 在x >0时有两个零点，则x 1+x 2=2k ，x 1⋅x 2=1， f(x 2)=lnx 2+x 222−2kx 2=lnx 2+x 222−(1x 2+x 2)x 2，f(x 2)=lnx 2−x 222−1，f′(x 2)=1x 2−x 2=(1−x 2)(1+x 2)x 2，当x 2∈(0, 1)时，f′(x 2)>0，当x ∈(1, +∞)时，f′(x 2)<0， ∴ f(x 2)<f(1)=−32．20. 解：（1）∵ EF =2，三角形PFE 的周长为6，∴ PE +PF =6−EF =4，故点P 的轨迹是E 、F 为焦点的椭圆， ∴ 2a =4，即a =2， 2c =2，即c =1，∴ b 2=a 2−c 2=4−1=3， 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1(x ≠0)；（2）设P(x 0, y 0)，则x 024+y 023=1(0<x 0<2)，∴ |PM|=√x 02+y 02−3=√x 02+3−34x 02−3=12x 0，∵ E(−1, 0)，∴ |PE|=√(1+x 0)2+y 02=√(1+x 0)2+3(1−x 024)=2+12x 0，∴ |PM|⋅|PE|=14x 0(4+x 0)=14(2+x 0)2−1， ∵ 0<x 0<2，∴ |PM|⋅|PE|的取值范围是(0, 3)； （3）设P(x 0, y 0)，则直线OQ:y =−x0y 0x ，∴ Q(−y 0x 0t, t)，∵ OP ⊥OQ ，∴ OP ⋅OQ =OM ⋅PQ ，∴ √x 02+y 02⋅√y 02x 02⋅t 2+t 2=√3⋅√(x 0+y 0x 0t)2+(y 0−t)2， ∴ √x 02+y 02⋅√t 2x 02(x 02+y 02)=√3⋅√x 02+y 02x 02⋅t 2+y 02+t 2=√3⋅√x 02+y 02x 02⋅(x 02+t 2)，∴ (x 02+y 02)t 2=3(x 02+t 2)，∴ t 2=3x 02x 02+y 02−3，∵ x 024+y 023=1，∴ y 02=3−34x 02，∴ t 2=3x 0214x 02=12，∴ t =±2√3．21. （1）解：当a =0时，a 1=1，a n+1=12a n +12n，∴ 2n+1a n+1=2n a n +2，∴ 数列{2n a n }是首项为2，公差为2的等差数列， ∴ 2n a n =2+2(n −1)=2n ， ∴ a n =2n 2n=n 2n−1；（2）证明：当a =1时，显然a n+1>a n >1， ∴ a n+1=(1+12n 2+2n)a n +12n<(1+12n 2+2n+12n)a n ，两边取自然对数，得：lna n+1<ln(1+12n 2+2n+12n)+lna n ，又∵ ln(1+x)<x ，∴ lna n+1<ln(1+12n 2+2n +12n )+lna n <12n 2+2n +12n +lna n ， ∴ lna n+1−lna n <12n 2+2n +12n ，累加得：∑(n−1i=1lna i+1−lna i )<∑(n−1i=112i 2+2i +12i )=∑[n−1i=112(1i−1i+1)+12i]=12(1−1n)+12(1−12n−1)1−12=32−12n−12n−1<32，即lna n−lna1<32，又∵ lna1=0，∴ lna n<32，∴ a n<e32．。

安徽省安庆市五校联盟2015届高三下学期3月联考数学 理试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数i b ia 3-+（Rb a ∈,）对应的点在虚轴上，则ab 的值是A.15-B. 3C. 3-D. 152．设抛物线214y x=上的一点P 到x 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为A.3B.4C.5D.63．下列命题是假命题的是A. ,a b R +∀∈，lg()lg lg a b a b +≠+B. R ϕ∃∈，使得函数()sin(2)f x x ϕ=+是偶函数C. ,R αβ∃∈，使得cos()cos cos αβαβ+=+D. m R ∃∈，使243()(1)mm f x m x-+=-⋅是幂函数，且在(0,)+∞上递减4．设函数()sin cos f x x x x =+的图像在点(,())t f t 处切线的斜率为k ，则函数()k g t =的部分图像为5．由直线x y e x y 2,,0===及曲线x y 2=所围成的封闭的图形的面积为A. 2ln 23+B. 3C. 322-e D.e6．已知函数()|lg |f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b +-的最小值等于A.B.C. 2+D.7．已知数列{}n a 是等差数列，1tan 225a = ，5113a a =，设n S 为数列{(1)}nn a -的前n 项和，则2015S = A.2015B.2015-C. 3024D.3022-8．已知a 、b 为平面向量，若+a b 与a 的夹角为3π，+a b 与b 的夹角为4π，则||||=a bA.B.C.D.9．已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b -=(0,0a b >>)的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为A.B.C.2D.310．定义在R 上的函数()f x 满足1(2)()2f x f x +=，当[0,2)x ∈时，231||212,01,2()2,1 2.x x x f x x --⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤<⎩函数32()3g x x x m =++．若[4,2)s ∀∈--，[4,2)t ∃∈--，不等式()()0f s g t -≥成立，则实数m的取值范围是 A. (,12]-∞-B. (,4]-∞-C. (,8]-∞D.31(,]2-∞第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知直线1:260l ax y ++=，()22:110l x a y a +-+-=，若12l l ⊥，则a =________． 12．设1m >,在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下,目标函数z x my =+的最大值等于2,则m =_________．13．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 ．14．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，3()log (1)=+f x x ．若关于x 的不等式2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+的解集为A ，函数()f x 在[8,8]-上的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．15．已知曲线C ：22y x a =+在点n P(n （0,a n >∈N ）处的切线nl 的斜率为nk ，直线nl 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n nA x ，(0,)n n B y ，且00=x y ．给出以下结论：①1a =；②当*n ∈N 时，n y的最小值为54；③当*n ∈N 时，n k <④当*n ∈N 时，记数列{}n k 的前n 项和为nS ，则1)n S ．其中，正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数2()sin (2cos sin )cos f x x x x x =⋅-+． (Ⅰ)讨论函数()f x 在[0,]π上的单调性；(Ⅱ)设42ππα<<，且()f α=，求sin 2α的值．17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、sin c C=，（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若6=a ，求b c +的取值范围.19.（本小题满分13分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n a S n n N *+=++∈且2514,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的前三项．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意的*n N ∈，3()362n T k n +≥-恒成立，求实数k 的取值范围．20.（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为，且经过点． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)A 是椭圆E 与y 轴正半轴的交点, 椭圆E 上是否存在两点M 、N ，使得AMN ∆是以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分13分）已知函数()e xf x ax a =--（其中a ∈R ，e 是自然对数的底数， 2.71828e = ）．(Ⅰ)当a e =时，求函数()f x 的极值； (Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)求证：对任意正整数n ，都有222221212121e n n ⨯⨯⨯>+++ ．1-5：BCABB 6-10:ADDCC11．43 12．1 13 14．20a -≤≤ 15．①③④16.（本小题满分12分）解析：(Ⅰ)22()sin 2sin cos f x x x x =-+sin 2cos 2x x =+)4x π=+， 2分由[0,]x π∈得92[,]444x πππ+∈，当2[,]442x πππ+∈即[0,]8x π∈时，()f x 递增；当32[,]422x πππ+∈即5[,]88x ππ∈时，()f x 递减；当392[,]424x πππ+∈即5[,]8x ππ∈时，()f x 递增．综上，函数()f x 在区间[0,]8π、5[,]8ππ上递增，在区间5[,]88ππ上递减． 6分(Ⅱ)由()f α=)4πα+=，得5sin(2)413πα+=-， 7分因为42ππα<<，所以352444πππα<+<，可得12cos(2)413πα+=-， 9分则sin 2αsin[(2)]44ππα=+-))44ππαα=+-+ 11分512()()1313=--=． 12分18.（本小题满分12分）19（本小题满分12分）(Ⅱ)11(1)3(13)331132n n nnb qTq+---===--，1333()3622nk n+-∴+≥-对*n N∈恒成立，243nnk-∴≥对*n N∈恒成立，----9分，20.（本小题满分13分）(Ⅰ)由题22223,131,4a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩解得24a =，21b =．所以椭圆Ω的方程为2214x y +=． 4分(Ⅱ)由题意可知，直角边AM ，AN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设AM 所在直线的方程为1y kx =+，不妨设0k >，则直线AN 所在的方程为11y x k =-+． 5分 联立方程221,44,y kx x y =+⎧⎨+=⎩消去y 整理得22(14)80k x kx ++=，解得2814M k x k =-+， 6分将2814M kx k =-+代入1y kx =+可得228114M k y k -=++，故点M 22288(,1)1414k k k k --+++.所以AM =． 8分同理可得AN =，由AM AN =，得22(4)14k k k +=+，10分 所以324410k k k -+-=，则2(1)(31)0k k k --+=，解得1k =或k =． 12分当AM 斜率1k =时，AN 斜率1-；当AM斜率k =时，AN斜率；当AM斜率k =时，AN斜率．综上所述，符合条件的三角形有3个. 13分21.（本小题满分13分）解析：(Ⅰ) 当e a =时，()e e e x f x x =--，()e e xf x '=-，当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得极小值(1)e f =-，函数()f x 无极大值． 3分(Ⅱ)由()e xf x ax a =--，()e x f x a '=-，若0a <，则()0f x '>，函数()f x 单调递增，当x 趋近于负无穷大时，()f x 趋近于负无穷大；当x 趋近于正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，故函数()f x 存在唯一零点0x ，当0x x <时，()0f x <；当0x x >时，()0f x >．故0a <不满足条件．5分若0a =，()e 0xf x =≥恒成立，满足条件． 6分 若0a >，由()0f x '=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，所以函数()f x 在ln x a =处取得极小值(ln )f a ln e ln ln aa a a a a =-⋅-=-⋅，由(ln )0f a ≥得ln 0a a -⋅≥，解得01a <≤．综上，满足()0f x ≥恒成立时实数a 的取值范围是[0,1]．8分(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当1a =时，()0f x ≥恒成立，所以()e 10xf x x =--≥恒成立， 即e 1xx ≥+，所以ln(1)x x +≤，9分令12n x =(*n ∈N )，得11ln(1)22n n +<，10分则有211l n 22n++211[1()]1111221()11222212n n n -<+++==-<- ， (11)分所以2111(1)(1)(1)e222n ++⋅⋅+< ，所以211111e(1)(1)(1)222n >++⋅⋅+ ，即222221212121e n n ⨯⨯⨯>+++ ． 13分。

2015年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题(理科) 参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题1.A 【解析】(2i)(-i)=1-2i z =+，选A .2.D 【解析】显然0>m 且4≠m .当40<<m 时，椭圆长轴在x =，解得2m =；当4>m 时，椭圆长轴在y =，解得8m =，选D .3.B 【解析】因为ξ服从正态分布2(3,)N σ，所以(0)(6)10.8P P ξξ<=>=-=，(06)0.6P ξ⇒<<=，所以(03)0.3P ξ<<=.选B .4.B 【解析】设公比为q，由已知2222=-a q a ， 53421210a a a +=得0652=+-q q 解得2=q 或3=q ，但2=q 不符合.选B .5.C 【解析】A 、B 两点的极坐标分别为2)3π 、)3π，化为直角坐标为3()2 、3)2，故AB =C .6.D 【解析】设AB a =，AD b =，PF a λ=，PE b μ=（λ，R μ∈），根据题意可知21a =，21b =，0a b ⋅=，0λ>，0μ<，且1μλ-+=. 所以 EF a b λμ=-，(1)AP AE PE a b λμ=-=--，(1)(1)PD AD AP a b λμ=-=-++，故()(1)(1)(1)(1)()(1)0PD EF a b a b λμλμλλμμλμλμ⎡⎤⋅=-++-=--+=+--=⎣⎦.选D .（注：也可用坐标法或特殊位置法求解.） 7. A 【解析】该几何体的直观图如图所示.622221312221131222=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=V .选A .8.B 【解析】2000 1.13000 1.1 1.5m m ⨯>⇒>. 因为41.1 1.46 1.5≈<，51.1 1.61 1.5≈>，所以m 的最小正整数值为5.选B . 9.C 【解析】因为111m n +=，所以1144(4)5m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭. 又0m >，0n <，所以 4 4m n n m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭≥，故 45 541m n n m ++-=≤. 当且仅当1,12m n ==-时取等号. 选C . 10.B 【解析】22272(21)470(2)(2)x ax a x a a x x ++-+-=⇒=≠-+. 因为N *a ∈， 所以2271(2)x x ++≥，解得31(2)x x -≠-≤≤.由0x Z ∈知03x =-，1-，0，1.当03x =-时，1a =；当01x =-时，5a =；当00x =时，74a =*∉N ；当01x =时，1a =. 故，符合条件的a 的值有2个.选B .二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上)11. 12，【解析】r rr r r r r r x a C x a x C T 2336661)1()()(--+-=-=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-415)1(02336r r r a C r ，得2r =，12a =. 12. 14u ≤≤，【解析】由题意，可行域如图所示，则11x -≤≤ ，01y ≤≤ ，所以1221u x y x y =++=++，故14u ≤≤. 13.(,2][2,)-∞-+∞，【解析】函数y =202[0)4a a +∞⇔∆=-⇔≥≥，；对任意的R x ∈，不等式1x x a -+≤恒成立1a ⇔≤，所以若命题()p q ∧⌝为真命题，则2a ≥；a 的范围为(,2][2,)-∞-+∞.14.232-，【解析】由图可知，1A =，1sin 2ϕ=-，由2πϕ<得6πϕ=-，又sin()066ππω-=，得61,k k Z ω=+∈，由图知1264ππω<⨯，3ω< ，由0ω>，得1ω= 所以()sin()6f x x π=-，阴影部分面积60()d S f x x π==⎰60sin()d 6x x ππ-=⎰60cos()6x ππ-=. 15.（1），（2），（3），【解析】（1）因为转轴变换仅仅是坐标轴旋转，而直线并不随着旋转，错误；（2）点(11)P ，在新坐标系中的坐标应为0)P ，错误；（3）4πθ-=时，函数1y x=的图象经过转轴后的标准方程是2''22=-x y ，错误；（4）直角坐标系Oxy 中的直线2=x ，在坐标系Ox y ''中倾斜角为3π，且经过点)0,334(，故转轴后的直线方程是 04''3=--y x ，正确；（5）证明如下：设POx ϕ'∠=，OP r =， 则cos()cos cos sin sin cos sin x r r r x y ϕθϕθϕθθθ''=+=-=-，sin()sin cos cos sin sin cos y r r r x y ϕθϕθϕθθθ''=+=+=+，正确.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．（本题满分12分）【解析】（Ⅰ）在△ABD 中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，根据余弦定理可得23BD ==. ………2分 在△BCD 中，因为120BCD ∠=°，所以当BC CD =时，30CBD CDB ∠=∠=︒， 根据正弦定理可得sin 302sin120BD BC ⋅︒==︒，2CD =.∴ BCD ∆的面积11sin 22222S BC CD BCD =⨯⨯∠=⨯⨯⨯= ……… 5分 （Ⅱ）在△BCD 中，由4sin sin(60)sin120DC BC BDθθ===︒-︒，得4sin DC θ=，4sin(60)BC θ=︒-， ……… 7分所以()f AB AD BC CD θ=+++)60sin(4sin 46θθ-++=6sin 2cos 32sin 4+-+=θθθ62sin 64sin(60)θθθ=++=++︒ …9分因为060θ︒<<︒，所以当且仅当30θ=︒时，sin(60)θ+︒有最大值1. 从而()f θ的最大值为10. ……… 12分 17．（本题满分12分）【解析】（Ⅰ）2212)21(a C =， 22=a ………4分 （Ⅱ）X 可取0、1、2、3、42202202)1(41)1()21()0(a a C C X p -=-⋅==12020212222111(1)()(1)()(1)(1)222p X C C a C C a a a ==⋅-+⋅-=-22220212212202222)21()1()21()1()21(C 2)(a C C a a C C a C X P ⋅+-⋅+-===)221(412a a -+ 2)21()1()21()3(22221212222a a C C a a C C X P =+-⋅==4)21()4(2222222a a C C X P =⋅== ………7分∴X 的分布列为………9分⨯+-⨯=2)1(211a EX )221(412a a -+3+⨯2a +4⨯42a 12a =+ ∴a EX 21+=. ………12分 18.（本小题满分12分）【解析】解一：（Ⅰ）因为侧面11ABB A 为菱形，所以1AB AA =，又1DAB DAA ∠=∠， 所以 ()11A B AD A A AB AD ⋅=+⋅1A A A D A BA D =⋅+⋅ 11cos()cos A A AD DAA AB AD DAB π=⋅-∠+⋅∠11cos cos 0AB AD DAA AB AD DAA =-⋅∠+⋅∠=，从而1A B AD ⊥. ………5分（Ⅱ）设线段1A B 的中点为O ，连接DO 、1AB ，由题意知DO ⊥平面11ABB A .因为侧面11ABB A 为菱形，图3所以11AB A B ⊥，故可分别以射线OB 、射线1OB 、射线OD 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，如图1所示.设22AD AB BC a ===，由160A AB ∠=︒可知O Ba=，1OA OB ==，所以OD a ==，从而(00)A ，，，(00)B a ，，，1(00)B ，，(00)D a ，，. 所以11(0)CC BB a ==-，.由12BC AD =可得1()22C a a a ，，，所以1()22DC a a a =-，，. ………7分 设平面11DCC D 的一个法向量为000()m x y z =，，，由10m CC ⋅=，0m DC ⋅=，得00000010.22ax ax az ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，取01y =，则0x =，0z =(31m =，，. ………9分又平面11ABB A 的法向量为(00)OD a =，，，所以33cos ==31OD m OD m ODm⋅〈〉=，故平面11DCC D 与平面11ABB A ………12分 解二：（Ⅰ）连接1AB 、1A D 、BD ，设1AB 交1A B 于点O ， 连OD ，如图2所示.由1AA AB =，1DAB DAA ∠=∠可得△1AA D ≌△ABD ， 所以1A D BD =.由于O 是线段1A B 的中点，所以1DO A B ⊥， 又根据菱形的性质1AO A B ⊥，所以1A B ⊥平面ADO ， 从而1A B AD ⊥. ………5分（Ⅱ）因为//AD BC ，2AD BC =，所以延长AB 、DC 交于点E ，延长11A B 、11D C 交于点F ，且BE AB =，111B F A B =.连接EF ， 则1//EF BB .过点O 作1BB 的垂线交1BB 于点G ，交EF 于点H ， 连接DH ，如图3所示.因为1//EF BB ，所以OH EF ⊥.由题意知DO ⊥平面11ABB A ，所以由三垂线定理得DH EF ⊥， 故DHO ∠是平面11DCC D 与平面11ABBA 所成二面角的平面角. ………8分易知OG =，GH =，所以OH =.在Rt △DOH 中， 图2DH===，所以cos31OHDOHDH∠==.故平面11DCC D与平面11ABB A………12分19．（本题满分13分）【解析】(Ⅰ) 证明：设11(,)A x y，22(,)B x y，33C(,)x y，44D(,)x y∴12112y ykx x-=-2112y px=，2222y px=∴1122pky y=+同理：2342pky y=+，故123412+112y y y yk k p+++=………4分同理：=+4311kk pyyyy24321+++，从而得证. ………6分(Ⅱ) 证明：由AC x⊥轴，有13x x=，13y y=-，设以C为切点的切线斜率为k，则其方程为11()y y k x x+=-，代入pxy22=，得0)()(221111222=++++-ykxxpkyxkxk∴222211114(p)4()0k x ky k kx y∆=++-+=得2112pk x ky++=，而2112y px=∴1pky=-；………9分由若直线AB、AD的斜率互为相反数，则有122py y++142py y=+∴12420y y y++=，BDk=2411222p p py y y y==-+-，∴BDk k=而点C不在BD上，所以，直线BD平行于点C处的切线. ………13分20．（本题满分13分）【解析】（Ⅰ）由已知，xeaxxf)1()('---=，由已知0)('≥xf对)2,(-∞∈x恒成立，故，ax-≤1对)2,(-∞∈x恒成立，得21≥-a，∴1-≤a为所求. ………4分（Ⅱ）证明：0=a，则xexxf=)(函数)(xf在xx=处的切线方程为000()'()()()y g x f x x x f x==-+第19题图当0x x =时，()()f x g x =;当0x x ≠时，要证()()f x g x <；即证 ()()f x g x -＜0 ………6分 令000()()()()'()()()h x f x g x f x f x x x f x =-=--- 0'()'()'()h x f x f x =-000)1()1(1100x x xx x x e e x e x e x e x +---=---=设x x e x e x x )1()1()(00---=ϕ，R x ∈则x x e x e x )1()('00---=ϕ，∵10<x ，∴0)('<x ϕ ∴)(x ϕ在R 上单调递减，而0)(0=x ϕ ………10分 ∴当0x x <时，0)(>x ϕ，当0x x >时，0)(<x ϕ即当0x x <时，'()0h x >，当0x x >时'()0h x <∴()h x 在区间),(0x -∞上为增函数，在区间),(0+∞x 上为减函数 ∴0x x ≠时，0()()0h x h x <=，即有()()f x g x <综上，()()f x g x ≤………13分21.（本题满分13分）【解析】(Ⅰ)先用数学归纳法证明：2n a >（*N n ∈）.① 当1n =时，12a a =>，结论正确；② 假设k n =)1(≥k 时结论成立，即2k a >，则1+=k n时，12k a +=>=，所以1n k =+时，结论正确. 故，由①、②及数学归纳法原理，对一切的*N n ∈，都有2n a >成立. ………4分 (Ⅱ){}n a 是单调递减的数列.因为22212(2)(1)n n n n n n a a a a a a +-=+-=--+，又2n a >， 所以 2210n n a a +-<，1n n a a +⇒<. 这说明{}n a 是单调递减的数列. ………8分（Ⅲ）由1n a +=212n na a +=+，所以2142n n a a +-=-. 根据(Ⅰ)2n a >（*N n ∈），所以11211224n n n a a a ++-=<-+， 所以 ()()()21111112222444n n n n a a a a +-⎛⎫⎛⎫-<-<-<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以，当3a =时，1124n n a +⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即1124n n a +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭. 当1=n 时，14323S =<+，当2n ≥时， 212311133222444n n n S a a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++<+++++++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1111114432(1)121121434314n n n n n --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=++-<+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-. ………13分。

数学（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 满分50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．选A解析：{|2},{|13},{|31}{|1}R R A x x B x x C B x x A C B x x =<=<<=≥≤=≤或，，2．C3．D4．选C解析：22(1,0)3)2,3)O C O A O B λλλλ=-+=-+=，即()C λ-，又120AOC ∠=所以3tan120=1λ= ， 5．D6．A 解析：由41a a <得31q >即1q >，由53a a <得21q >即1q >或1q <-7．B解析：211334214322144C C C C A A ∙∙= 8．选D解析：03(1)3(1)ay a y z x x -==∙+--表示阴影部分内的点P 到点(A 连线斜率的3a 倍，由图可知连线斜率恒大于或等于0，故当P 为(0,1)时z 的最大值为18，所以10130(1)8a -=--得38a =， 9．D 解析：作出()y f x =的图像如下所示，则()()F x f x a =-的零点即为函数()y f x =与y a =图像交点的横坐标，由图可知共有五个零点，不妨设为12345,,,,x x x x x 且12345x x x x x <<<<，从图中可看出1x 与2x 关于直线3x =-对称，4x 与5x 关于直线3x =对称，故12452(3)230x x x x +++=⨯-+⨯=，当(1,0)x ∈-时12()log (1)f x x =--+，因此由12log (1)x a --+=解得312a x =-，故1234512a x x x x x ++++=-10．选B ． 由()cos sin 0f x x x x '=-=得cos sin 0x x x -=，显然cos 0x ≠所以1tan x x=，易知方程1tan x x =的实根就是()f x 的极值点。

2015年安徽省安庆市五校联盟高考物理模拟试卷〔3月份〕一、选择题〔共7小题，每一小题6分，总分为42分〕1．〔6分〕〔2015•安庆模拟〕一物体做初速度为零的匀加速直线运动，图甲、乙、丙、丁是以时间为横轴的运动图象．如此关于此物体的运动图象，如下说法正确的答案是〔〕A．甲是速度随时间变化图象B．乙是位移随时间变化图象C．丙是速度随时间变化图象D．丁是加速度随时间变化图象【考点】：匀变速直线运动的图像．【专题】：运动学中的图像专题．【分析】：根据初速度为零的匀加速直线运动可分别得出速度﹣时间图象、加速度﹣时间图象、位移﹣时间图象与力﹣时间图象；结合题意可分析各项是否正确．【解析】：解：A、C初速度为零的匀加速直线运动的速度与时间的关系为v=at，故v﹣t图象是一条过原点的倾斜的直线，故AC错误．B、初速度为零的匀加速直线运动的位移x=v0t+at2=，故其图象为抛物线，故B错误；D、匀变速直线运动的加速度恒定不变，故a﹣t图象为一条平行于时间轴的直线；故D正确．应当选D．【点评】：匀变速直线运动为高中所研究的重要运动形式之一，要求我们熟练掌握其运动中的物理量的计算方法，根据各量的表达式和特点选择图象．2．〔6分〕〔2015•安庆模拟〕如下列图，质量为m的物体放在质量为M、倾角为θ的斜面体上，斜面体置于粗糙的水平地面上，用平行于斜面向下的力F拉物体m使其沿斜面向下匀速运动，M始终静止，如此如下说法正确的答案是〔〕A．地面对M的摩擦力大小为FcosθB．地面对M的支持力为〔M+m〕gC．物体m对M的摩擦力的大小为FD．M对物体m的作用力竖直向上【考点】：共点力平衡的条件与其应用；力的合成与分解的运用．【专题】：共点力作用下物体平衡专题．【分析】：分析此题的关键是通过“整体法〞受力分析，然后根据牛顿第二定律即可求解．【解析】：解：物体m沿斜面向下匀速运动，与斜面加速度一样均为零，故可以采用整体法，将物体m与斜面体M看做一个整体，受力【分析】：根据平衡条件，水平方向：Fcosθ﹣f=0，解得f=Fcosθ，所以A正确．竖直方向：FN﹣〔M+m〕g﹣Fsinθ=0，可得FN=〔M+m〕gsinθ+Fsinθ，所以B错误．对物体受力分析如图，物体受到向下的重力mg、拉力F、斜面的作用力〔支持力和沿斜面向上的滑动摩擦力〕，由于物体匀速下滑，根据平衡条件m受到的摩擦力f′=mgsinθ+F，根据牛顿第三定律：物体m对M的摩擦力的大小为mgsinθ+F，故C错误；由受力分析，根据平衡条件：M对物体m的作用力即N与f的合力应该与mg合F的合力等大反向，如图中，可见M对物体m的作用力斜向上，所以D错误．应当选：A．【点评】：此题比拟全面的考查了受力分析，灵活选取研究对象可以让问题简单化，但要记住，运用整体法的前提是二者加速度相等．3．〔6分〕〔2015•安庆模拟〕一卫星绕某一行星外表附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v，假设宇航员在该行星外表用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力，当物体处于竖直静止状态时，弹簧测力计的示数为F，引力常量为G，如此这颗行星的质量为〔〕A．B．C．D．【考点】：万有引力定律与其应用．【专题】：万有引力定律的应用专题．【分析】：先求出该星球外表重力加速度，再根据万有引力定律和向心力公式即可解题；【解析】：解：宇航员用弹簧秤竖直悬挂质量为m的钩码时，弹簧秤的示数为F，如此有：g=一卫星绕某一行星外表附近做匀速圆周运动，根据万有引力等于需要的向心力得=m′根据万有引力等于重力得=m′g解得这颗行星的质量M=，应当选B．【点评】：该题考查了万有引力公式与向心力根本公式的直接应用，难度不大，属于根底题．4．〔6分〕〔2015•安庆模拟〕如下列图，某段滑雪道倾角为30°，总质量为m的滑雪运动员从高为h处的雪道顶端由静止开始匀加速下滑，加速度为g，在他下滑到底端的过程中〔〕A．运动员减少的重力势能全部转化为动能B．运动员获得的动能为mghC．运动员抑制摩擦力做功为mghD．运动员减少的机械能为mgh【考点】：功能关系；功的计算．【分析】：由几何关系可知运动员下滑的位移，如此由速度和位移公式可得出运动员的末速度，如此可得出运动员的动能；由动能定理可得出运动员抑制摩擦力所做的功；由功能关系即可得出机械能的改变量．【解析】：解：A、假设物体不受摩擦力，如此加速度应为a'=gsin30°=g，而现在的加速度为，故运动员应受到摩擦力，故减少的重力势能有一局部转化为了内能，故A错误；B、运动员运动员下滑的距离：L==2h；由运动学公式可得：V2=2aL，得：V==；动能为：Ek=mv2=，故B错误；C、由动能定理可知mgh﹣Wf=Ek=mv2=，解得Wf=mgh；故C错误；D、机械能的减小量等于阻力所做的功，故下滑过程中系统减少的机械能为，故D正确；应当选：D．【点评】：在解决有关能量问题时，要注意明确做功和能量转化间的关系；合外力做功等于动能的改变量；重力做功等于重力势能的改变量；阻力做功等于内能的增加量．5．〔6分〕〔2015•安庆模拟〕用直流电动机提升重物的装置，重物的重量为500N，电源电动势为110V，不计电源内阻与各处摩擦，当电动机以0.90m/s的恒定速度向上提升重物时，电路中的电流为5.0A，可以判断〔〕A．电动机消耗的总功率为450W B．提升重物消耗的功率为550WC．电动机线圈的电阻为22Ω D．电动机线圈电阻为4Ω【考点】：电功、电功率．【专题】：恒定电流专题．【分析】：当电动机以恒定速度向上提升重物时，同时电动机因线圈电阻消耗功率．如此电源产生的总功率等于提升物体消耗的功率加上线圈电阻消耗的功率．【解析】：解：A、重物被提升的功率P1=Fv=Gv=500×0.9W=450W此时电路中的电流为5A．如此电源的总功率P总=EI=110×5W=550W，故AB错误；C、线圈电阻消耗的功率为Pr=P总﹣P1=550﹣450W=100W由殴姆定律可得：r=Ω=4Ω，故C错误，D正确．应当选：D【点评】：由能量守恒定律可知，提升功率与电阻发热功率之和为电源的总功率，难度不大，属于根底题．6．〔6分〕〔2015•安庆模拟〕如下列图，A、B、C为三块竖直平行放置的一样金属板，A、B 与电源连接后，用绝缘细线悬挂的带电小球处于静止时，细线与竖直方向的夹角为a，以下判断正确的答案是〔〕A．保持K闭合，把C板向右平移一些后，a减小B．保持K闭合，把C板向右平移一些后，a变大C．断开电键K，把C板向右平移一些后，a不变D．断开电键K，把C板向右平移一些后，a变大【考点】：电容器的动态分析．【专题】：电容器专题．【分析】：保持K闭合时，两板间的电势差不变，如此由电场强度与电压的关系可得出小球受力的变化；k断开后，由总电量不变，与电势差相等可分析电量的变化，同时注意右侧电容器的电场强度与距离无关，利用共点力的平衡条件可分析悬线夹角的变化．【解析】：解：A、保持K闭合，如此两板间的电势差不变；如此C板右移后，d增大，如此由E=可知E减小；如此由共点力的平衡条件可知，α角将减小，故A正确、B错误；C、断开电键时，总电量不变Q1+Q2=Q，而U=U1=U2；故由Q=CU可知，==；如此向右移动极板后，C2减小，故Q2减小；而BC间的电场强度E2=，故E2减小；α角变小；故CD错误；应当选：A．【点评】：此题为电容器的并联，要注意明确断开电路时，两电容器上的总电量不变．7．〔6分〕〔2015•安庆模拟〕如下列图，间距为L、电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端用一阻值为R的电阻连接，导轨上横跨一根质量为m、电阻也为R的金属棒，金属棒与导轨接触良好．整个装置处于竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中．现使金属棒以初速度v沿导轨向右运动，假设金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为q．如下说法正确的答案是〔〕A．金属棒在导轨上做匀减速运动B．整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为C．整个过程中金属棒抑制安培力做功为mv2D．整个过程中电阻R上产生的焦耳热为mv2【考点】：导体切割磁感线时的感应电动势；闭合电路的欧姆定律；电磁感应中的能量转化．【专题】：电磁感应——功能问题．【分析】：根据金属棒的受力，根据牛顿第二定律判断加速度的变化，从而判断出金属棒的运动情况．根据q=求出金属棒在导轨上发生的位移．根据动能定理和能量守恒求出抑制安培力做功与电阻R上产生的焦耳热．【解析】：解：A、金属棒切割产生感应电动势，产生感应电流，从而受到向左的安培力，做减速运动，由于速度减小，电动势减小，如此电流减小，安培力减小，根据牛顿第二定律知，加速度减小，做加速度逐渐减小的减速运动．故A错误．B、根据q==，如此金属棒在导轨上发生的位移s=．故B错误．C、根据动能定律得，，如此金属棒抑制安培力做功为．故C正确．D、根据能量守恒得，动能的减小全部转化为整个回路产生的热量，如此电阻R产生的热量．故D错误．应当选C．【点评】：金属棒在运动过程中抑制安培力做功，把金属棒的动能转化为焦耳热，在此过程中金属棒做加速度减小的减速运动；对棒进展受力分析、熟练应用法拉第电磁感应定律、欧姆定律、动能定理等正确解题．二、非选择题〔共5小题，总分为68分〕8．〔8分〕〔2015•安庆模拟〕在《验证力的平行四边形定如此》的实验中，某同学的实验情况如图甲所示，其中A为固定橡皮筋的图钉，O为橡皮条与细绳的结点，OB和OC为细绳．图乙是根据实验操作画出的图，如此：〔1〕图乙中的F是力F1和F2合力的测量值；F′是力F1和F2合力的真实值．〔填“理论值〞或“真实值〞〕〔2〕在实验中，如果只将细绳换成橡皮筋，其它步骤没有改变，那么实验结果是否会发生变化？答：不变．〔选填“变〞或“不变〞〕〔3〕本实验采用的科学方法是BA．理想实验法B．等效替代法C．控制变量法D．建立物理模型法．【考点】：验证力的平行四边形定如此．【专题】：实验题．【分析】：由于实验误差的存在，导致F1与F2合成的理论值〔通过平行四边形定如此得出的值〕与实际值〔实际实验的数值〕存在差异，只要O点的作用效果一样，是否换成橡皮条不影响实验结果．在“验证力的平行四边形定如此〞的实验中采用了两个力合力与一个力效果一样来验证的平行四边形定如此，因此采用“等效法〞．【解析】：解：〔1〕F1与F2合成的理论值是通过平行四边形定如此算出的值，而实际值是单独一个力拉O点的时的值，因此F是F1与F2合成的理论值，F′是F1与F2合成的实际值．〔2〕由于O点的作用效果一样，将两个细绳套换成两根橡皮条，不会影响实验结果．故答案为：不变．〔3〕合力与分力是等效替代的关系，所以本实验采用的等效替代法，故B正确．应当选：B故答案为：1．测量值；真实值；2．不变；3．B【点评】：掌握实验原理，从多个角度来理解和分析实验，提高分析解决问题的能力．9．〔10分〕〔2015•安庆模拟〕某待测电阻RX的阻值大约为100Ω，现要测量其阻值，实验室提供有如下器材：电流表A1〔量程40mA、内阻r1=10Ω〕电流表A2〔量程100mA、内阻约为3Ω〕滑动变阻器R，最大阻值约为l0Ω定值电阻R0〔R0=100Ω〕电源E〔电动势6V、内阻不可忽略〕开关、导线假设干〔1〕某同学设计的实验电路图如下列图，其中a处应选用电流表A1，b处应选用电流表A2．〔用所给器材的符号标注〕〔2〕关于实验中滑动变阻器选用分压式连接的原因，原因是ACD〔多项选择〕A．为了确保电流表使用安全B．能减少电能的损耗C．为了实现屡次测量，减小误差D．待测电阻Rx的阻值比滑动变阻器R的最大阻值大得多〔3〕某次测量时A1、A2的读数分别为I1、I2．如此RX=．〔请用所给物理量的符号表示〕【考点】：伏安法测电阻．【专题】：实验题．【分析】：伏安法测电阻时要正确选择“控制电路〞即滑动变阻器的分压和限流接法，该题中由于滑动变阻器的电阻小于待测电阻同时要求多测数据，因此选用分压接法，再有就是安培表的内接和外接法，该实验中由于没有提供电电压表，因此要巧妙的利用定值电阻，只要能测量出流过定值电阻的电流即可测量出与其并联的电阻的电压．根据所设计的电路图，利用串并联知识，即可求出待测电阻的表达式．【解析】：解：〔1〕电源电动势为6V，如全部加在待测电阻上电流大约为，故测量从电流需要量程大于60mA的电流表，故用A2测从电流，即b处选用电流表A2，如此a处只能选用电流表A1，与R0组合成一个电压表，测量Rx两端的电压．〔2〕A、如果采用限流式，电路中的最大电流可达，如果Rx两端的接线松动，如此可能b处A2出现烧表现象．故滑动变阻器选用分压式连接，可确保电流表使用安全．故A正确．B、在分压式连接中，干路电流大，电源消耗电功率大．而在限流式连接中，干路电流小，电源消耗电功率小．故B错误．C、分压式连接中电流调节范围比限流式大，能实现屡次测量，减小误差，故C正确．D、为了便于调节，在待测电阻的阻值Rx比变阻器的总电阻大得多的情况下应选择分压式，故D正确．应当选：ACD．〔3〕采用如下列图的电路，如此流过电阻的电流为：I=I2﹣I1，待测电阻两端的电压为：U=I1〔R0+r1〕，根据欧姆定律得待测电阻为：故答案为：〔1〕A1；A2；〔2〕B；〔3〕【点评】：解决实验问题关键是明确实验原理，正确选择控制电路〔分压、限流〕和电流表的内外接法．10．〔14分〕〔2015•安庆模拟〕“引体向上〞是一项体育健身运动，该运动的规范动作是：两手正握单杠，由身体悬垂开始．上提时，下颚超过杠面；下放时，两手臂放直．这样上拉下放，重复动作，达到锻炼背力和腹肌的目的，如下列图，某同学质量为m=60kg，开始下颚距单杠的高度为H=0.4m，当他用F=720N的恒力将身体拉至某位置时，不再用力，以后依靠惯性继续向上运动．为保证此次引体向上动作合格，恒力F的作用时间至少为多少？〔不计空气阻力，g取10m/s2〕【考点】：牛顿第二定律．【专题】：牛顿运动定律综合专题．【分析】：人先恒力作用下做匀加速运动，后做竖直上抛运动，即做匀减速直线运动．根据牛顿第二定律求出匀加速运动的加速度，运动学公式得出人上升的高度与时间的关系式，以与匀加速运动的末速度与时间的关系．再由运动学公式得出竖直上抛的高度．根据总高度等于H，联立求解恒力作用的时间．【解析】：解：设施加恒力F时，人的加速度为a，由牛顿运动定律得：F﹣mg=ma代入解得：a==﹣10=2m/s2设加速运动时间为t，人加速上升的高度为：h1=…①人加速上升的末速度为：v=at…②人不再用力后，以速度v竖直上抛的高度为：h2=…③且h1+h2=H…④由①②③④得：at2=H代入解得：t=s答：恒力F的作用时间至少为s．【点评】：此题要善于建立物理模型，对实际过程进展简化：人先做匀加速运动后做匀减速运动．要抓住两个过程之间速度关系和位移关系．11．〔16分〕〔2015•安庆模拟〕如图甲所示，两平行金属板间接有如图乙所示的随时间t变化的电压UAB，两板间电场可看做是均匀的，且两板外无电场，极板长L=0.2m，板间距离d=0.2m，在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的匀强磁场，MN与两板间中线OO′垂直，磁感应强度B=5×10﹣3T，方向垂直纸面向里．现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，每个粒子的速度vo=105m/s，比荷=108C/kg，重力忽略不计，每个粒子通过电场区域的时间极短，此极短时间内电场可视作是恒定不变的．求：〔1〕在t=0.1s时刻射入电场的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为多少；〔2〕带电粒子射出电场时的最大速度；〔3〕在t=0.25s时刻从电场射出的带电粒子，在磁场中运动的时间．【考点】：带电粒子在匀强磁场中的运动；带电粒子在匀强电场中的运动．【专题】：带电粒子在复合场中的运动专题．【分析】：〔1〕在t=0．ls时刻射入电场的带电粒子，在电场中做匀速直线运动，进入磁场做圆周运动，垂直边界进入磁场，知运动半个圆周射出，在MN上射入点和射出点的距离为2R．〔2〕带电粒子从极板的边缘射出电场时速度最大，根据带电粒子在磁场中做类平抛运动，根据沿电场方向上的匀加速直线运动，求出偏转的电压，根据动能定律求出射出电场的最大速度．〔3〕在t=0.25s时偏转电压为100V，根据第二问解出的结论知，粒子贴着上边缘进入磁场，根据v=，知垂直进入磁场时与磁场边界的夹角为，射出磁场时与磁场边界的夹角也为，故对应的圆心角为，根据t=求出运动的时间．【解析】：解：〔1〕在t=0.1s时刻射入电场的带电粒子，在极板间做匀速直线运动，以v0垂直磁场边界垂直射入磁场，由qvB=可得：m在MN上的入射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为：d=2R=0.4m〔2〕设带电粒子从极板的边缘射出电场时的速度最大，对应的瞬时电压为u0，如此：解得：u0=100V由动能定理：射出的最大速度：m/s〔3〕在T=0.25S时刻从电场射出的带电粒子，从极板的上边缘射出电场，垂直进入磁场时与磁场边界的夹角为，射出磁场时与磁场边界的夹角也为，故对应的圆周的圆心角为，故在磁场中运动的时间为圆周运动周期的四分之一．由qvB=，得到：，得：s答：〔1〕在t=0.1s时刻射入电场的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和出磁场时在MN 上的出射点间的距离为0.4m；〔2〕带电粒子射出电场时的最大速度是m/s；〔3〕在t=0.25s时刻从电场射出的带电粒子，在磁场中运动的时间是1.57×10﹣5s．【点评】：解决此题的关键理清粒子在电场中和磁场中的运动轨迹，结合运动学公式、牛顿第二定律和动能定理进展求解．12．〔20分〕〔2015•安庆模拟〕如下列图，以水平地面建立X轴，有一个质量为m=1kg的木块放在质量为M=2kg的长木板上，木板长L=11.5m．木板与地面的动摩擦因数为μ1=0.1，m 与M之间的摩擦因素μ2=0.9〔设最大静摩擦力等于滑动摩擦力〕．m与M保持相对静止共同向右运动，木板的左端A点经过坐标原点O时的速度为V0=10m/s，在坐标为X=21m处有一挡板P，木板与挡板P瞬间碰撞后立即以原速率反向弹回，而木块在此瞬间速度不变，假设碰后立刻撤去挡板P，g取10m/s2，求：〔1〕木板碰挡板P时的速度V1为多少？〔2〕最终木板停止运动时其左端A的位置坐标？word【考点】：牛顿第二定律；匀变速直线运动的速度与时间的关系；匀变速直线运动的速度与位移的关系．【专题】：牛顿运动定律综合专题．【分析】：〔1〕对木块和木板系统运用牛顿第二定律求出整体的加速度，根据匀变速直线运动的速度位移公式求出木板碰挡板P时的速度大小．〔2〕根据牛顿第二定律分别求出木板和木块碰后的加速度，m向右做匀减速直线运动，M向右做匀减速直线运动，结合牛顿第二定律和运动学公式求出最终木板停止运动时其左端A的位置坐标．【解析】：解．〔1〕对木块和木板组成的系统，有μ1〔m+M〕g=〔m+M〕a1解得：V1=9m/s〔2〕由牛顿第二定律可知：m运动至停止时间为：t1==1 s此时M速度：VM=V1﹣aMt1=3m/s，方向向左，此后至m，M共速时间t2，有：VM﹣aMt2=amt2 得：t2=0.2s共同速度V共=1.8m/s，方向向左至共速M位移：S1=共速后m，M以向左减速至停下位移：S2==1.62m最终木板M左端A点位置坐标为：X=9.5﹣S1﹣S2=9.5﹣6.48﹣1.62=1.40m答：〔1〕木板碰挡板P时的速度V1为9m/s．〔2〕最终木板M左端A点位置坐标为X=1.40m．【点评】：解决此题的关键根据物体的受力，判断出木块和木板在整个过程中的运动情况，结合牛顿第二定律和运动学公式进展求解．- 11 - / 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2015年安庆市高三模拟考试（三模）数学试题（理科）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDCCBDBDAB1.C 【解析】设i z a b =+（a ，R b ∈），由()11i z z +=+得22i 1i a b a b +++=+，所以1b =，211a a ++=，所以0a =或1a =-.选C.2.D 【解析】B A =等价于B A cos cos =，等价于B A sin sin =，排除A 、B ；由Ba Abc o s c os =及正弦定理可得0)sin(=-B A ，ππ<-<-B A ,得B A =，排除C ；选D.3.C 【解析】不妨设A 、B 为左、右焦点，实半轴长为a ，半焦距为c ，若点C 在双曲线的左支上，设BC 中点为D ，则由定义知|BD|=21|BC|=21(2c+2a)=c+a ，在Rt △ABD 中，由31cos =∠ABC ，故,3,312-==+e c a c 不可能。

故C 在双曲线的右支上，设BC 中点为D ，则由双曲线定义知a c a c BC BD -=-==)22(2121，在ABD Rt ∆中，31cos =∠ABD ,故312=-c a c ，得3==a ce .选C. 4.C 【解析】随机数共有20组，其中表示3次投篮恰有2次的有：191，271，027，113，共4组，所以估计概率为2.0204=.选C. 5.B 【解析】1751025101)21(211106=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=V .选B.6.D 【解析】2>a 时，0)2(42>--=∆a a ，由韦达定理a x x =+21，221-=a x x ，则21211x x x x ++4221221≥+-+-=-+=a a a a 当且仅当3=a 时取等号.选D. 7.B 【解析】曲线C 的直角坐标方程为1)1(22=-+y x ，曲线E 的普通方程为0643=++y x ，则APB ∠取最大值时，PA 、PB 与圆C 相切，且PC 最短，此时在PACRt ∆中，21sin =∠APC ，故6π=∠APC ，APB ∠为3π.选B. 8.D 【解析】由已知)(x f 为周期为2的函数，由(1)f x +是奇函数，有)1()1(+-=+-x f x f ，数学试题（理科）参考答案（共7页）第1页即)2()(x f x f --=，故)21()23()21()23(--=-==-f f f f ，而10x -≤≤时，()()21f x x x =-+，所以21)121)(21(2)21(=+---=-f ，21)23(-=-f9.A 【解析】能构成三角形5638=C 个，其中直角三角形2464=⨯个，钝角三角形2483=⨯个，故锐角三角形为8个.选A.10.B 【解析】由0)()(2121=+x x x f x f 知，对函数)(x f 图象上任意一点))(,(11x f x A ，都存在一点))(,(22x f x B ,使OB OA ⊥,由图象可知，符合条件的有②⑤；选B.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上).11.13【解析】令22(0)2y x t t +=>，当椭圆222y x t +=与线段1(0101)x y x y +=≤≤≤≤，相切时，t 最小. 联立2221y x t x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得232120x x t -+-=，由0∆=，得13t =.即31≥λ，所以实数λ的最小值为13.12. 127【解析】设1+=x t ，则88221081)1(t a t a t a a t ++++=++- ，令0=t ，则20=a ， 令1=t ，则18210=++++a a a a ，令1-=t ，则2578210=+-+-a a a a ，1278642=+++a a a a .13.15【解析】设等比数列}{n a 的公比为q ，显然1≠q ，11)1(212=--=qq a S ，31)1(414=--=q q a S ，由324=S S 得22=q ，15)1)(1(1)1(1)1(4221818=++--=--=q q q q a q q a S .14.2-≤a 【解析】⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+=)0(,24)0(,)(2x x x x a x x f ，结合图象可知：2-≤a .15.③⑤【解析】①当a 、b 的夹角为π时，0<⋅b a ，不正确；②当0=b 时不正确；③由空间向量基本定理，正确；④=-⋅+=-)()(||22q p q p q p |,cos |||||>-+<-⋅+q p q p q p q p数学试题（理科）参考答案（共7页）第2页≤||||q p q p -⋅+，当q p +与q p -同向共线时，取等号，不正确；⑤p 在基底{}k j i ,,下的坐标为)3,2,1(，即)(1)(2)(032i k k j j i k j i p +++++=++=，正确.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤). 16．（本题满分12分） 【解析】(Ⅰ) 依题意，)sin ,(cos x x A ，)sin ,cos 2(x x P ，x x x OP OA 222cos 1sin cos 2+=+=⋅，因此，=++⋅=)sin 32(cos cos )(x x x OP OA x f x x x x cos sin 32cos cos 122+++2)62sin(222cos 2sin 32sin 3cos 212++=++=++=πx x x x x所以，)(x f 的最大值为4，最小值为0； …………6分 (Ⅱ)由)(226222Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ得：)(63Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ，因此，)(x f 的单调增区间为)](63[Z k k k ∈++-ππππ，，同理可得：)(x f 的单调减区间为)](326[Z k k k ∈++ππππ，，其图象的对称中心为))(2212(Z k k ∈+-，ππ …………12分 17．（本题满分12分）【解析】(Ⅰ) 第7、8、9三题均有两个选项能排除，因此，第7、8、9三题做对的概率均为21，第10题只有一个选项能排除，因此，第10题做对的概率为31. 所以，该同学选择题得40分的概率P 为：83312112131311211213222=⋅-⋅+-⋅-=）（）（）（）（C C P(Ⅱ)设该同学7、8、9、10题中做对的题数为X ，则随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4P121 247 83 245 24161124424152418247=+++=）（X E所以，该同学数学得分的期望为6110465611530=+⨯+ 该同学数学得分不低于100分的概率为121124124583247=+++=P …………12分数学试题（理科）参考答案（共7页）第3页18.（本题满分12分）【解析】(1)分别取EF 、FH 、CF 的中点M 、R 、Q ，连接MR 、MQ 、NQ 、NR 则MR ∥EH ∥FA ∥NQ 且NQ FA EH MR ===2121∴四边形MRNQ 为平行四边形 ∴MQ ∥NR 又⊂MQ 平面EFC ，⊄NR 平面EFC ，NR ∴∥平面EFC ，即P 为FH 的中点R . …………5分(Ⅱ)分别以直线AB 、AD 、AF 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则)2,0,4(G ，)2,0,0(F ，)0,4,4(C ，)4,4,0(E 设平面GFC 的法向量为),,(1z y x n =由01=⇒⊥x FG n ， 021=-⇒⊥z y CG n ，令2=z 得：)2,1,0(1=n 类似可得平面EFC 的法向量为)2,1,2(2-=n ，cos ⇒<1n ,2n >55533==,所以二面角G FC E --的余弦值为55-.…………12分19．（本题满分13分） 【解析】(Ⅰ) 设斜率为21的直径平行的弦的端点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，该弦中点为),(y x ，则有14162121=+y x ，14162222=+y x ，相减得：04))((16))((21212121=+-++-y y y y x x x x ， 由于221x x x +=，221y y y +=，且212121=--x x y y ，所以得：02=+y x ， 故该直径的共轭直径所在的直线方程为02=+y x . ……………………5分 (Ⅱ) 椭圆的两条共轭直径为AB 和CD ，它们的斜率分别为1k 、2k .四边形ACBD 显然为平行四边形，设与AB 平行的弦的端点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，数学试题（理科）参考答案（共7页）第4页则21211x x y y k --=，21212x x y y k ++=，而14162121=+y x ，14162222=+y x ，04))((16))((21212121=+-++-y y y y x x x x ,故412221222121-=--=x x y y k k . 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=1416221y x xk y 得A 、B 的坐标分别为)414,414(21121k k k ++，)414,414(21121k k k +-+-故AB =21211418k k ++，同理C 、D 的坐标分别为)414,414(22222kk k++，)414,414(22222kk k+-+-所以，点C 到直线AB 的距离2221212122222141141414414kkk k kk k k k d ++-=++-+=设点C 到直线AB 的距离为d ，四边形ACBD 的面积为S ，则AB d S =2221214114k k k k ++-=21211418k k ++⨯222121414132k k k k ++-=1616)(4123222122221212221=+++-+=k k k k k k k k ，为定值. ……………………13分20．（本题满分13分）【解析】(Ⅰ)由2(1)(2)n n n S a a =-+可得1112(1)(2)n n n S a a ---=-+，2n ≥，两式相减得()()221111210n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----=-+-⇒+--=.因为0n a >，所以110n n a a ---=，即11n n a a --=（2n ≥）. 所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故1n a n =+. …………5分数学试题（理科）参考答案（共7页）第5页(Ⅱ)因为11b =，1n n n b b a +=即11n n b b n +=+，所以22b =，1n n b b n -=（2n ≥），所以111n n n n b b b b +--=，111n n nb b b +-⇒=-（2n ≥），b n+1≠b n 当1n =时，1112(21)b =>-，所以当1n =时结论正确. 当2n ≥时，()()()()31422111211111n n n n n b b b b b b b b b b b b -+-+++=+-+-++-+-()112112n n n n b b b b b b ++=++--=+-.由条件易知0n b >，所以n n b b ++1＞1221+=+n b b n n ,所以nb b b 11121+++ ＞().112221-+=-+n b b n n …………13分21.（本题满分13分） 【解析】（Ⅰ）()()2222122(41)2()(0)x a x a f x x x a x x a x x a +-+'=-+=>≠-++，， 22(41)1618a a a ∆=--=-. …………1分① 当18a ≥时，0∆≤，从而0()f x '≥，所以()f x 在(0)+∞，上单调递增； ② 当108a <<时，0∆>. 设方程222(41)20x a x a +-+=的两根分别为1x ，2x ，其中1(41)184a ax ----=，2(41)184a a x --+-=.因为121402ax x -+=>，2120x x a =>，所以10x >，20x >，1()0f x x x '>⇔<或2x x >，所以()f x 在1(0)x ，和2()x +∞，上单调递增，在12()x x ，上单调递减；数学试题（理科）参考答案（共7页）第6页③ 当0a <时，1118()04a x a ----=<，2118()04ax a +---=>，所以 10x a <<-，20x a >->，所以()f x 在1(0)x ，和2()x +∞，上单调递增，在1()x a -，和2()a x -，上单调递减. …………7分(Ⅱ)当1a =-时，1()2ln 1f x x x =+-，由（I ）知()f x 在1(0)2，和(2)+∞，上单调递增，在1(1)2，和(12)，上单调递减. 所以在()1+∞，上，min ()(2)12ln 2f x f ==+. …………9分因为22(1)(2)()x xx x x x g x e e -++-+-'==，所以在()1+∞，上，max 25()(2)g x g m e==+. …………11分 因为43412ln 21ln 41ln 1 2.33e +=+>+=+>， 当85m <时，225582.32.75m e +<+<. 所以当1a =-，()1x ∈+∞，时，对任意的85m <，总有()()f x g x >. ………… 13分数学试题（理科）参考答案（共7页）第7页。

安徽省安庆九中2015届高三下学期第五次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若复数z满足3﹣i=（z+1）i，则复数z的共轭复数的虚部为（）A．3B．3i C．﹣3 D．﹣3i2．已知直线l1：ax+（a+1）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“a=﹣2”是“l1⊥l2”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．πB．C．D．4．阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8？B．S＜12？C．F1D．F25．已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5 D．﹣76．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2B．1C．D．7．某校团委组织“共圆中国梦”知识演讲比赛活动，现有4名选手参加最后决赛，若每位选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲，则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有（） A ． 36种 B ． 72种 C ． 144种 D ．288种8．若从区间（0，e ）内随机取两个数，则这两个数之积不小于e 的概率为（）A ．B ．C ．D ．9．定义在R 上的函数f （x ）对任意x 1、x 2（x 1≠x 2）都有＜0，且函数y=f （x ﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s ，t 满足不等式f （s 2﹣2s ）≤﹣f （2t ﹣t 2），则当1≤s ≤4时，的取值范围是（） A ． [﹣3，﹣） B ． [﹣3，﹣]C ． [﹣5，﹣）D ．[﹣5，﹣]10．已知平面向量满足：，若，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．（1+x+x 2）（x ﹣）6的展开式中的常数项为．12．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线（φ为参数，φ∈R ）上的点到曲线ρcos θ+ρsin θ=4（ρ，θ∈R ）的最短距离是．13．设函数f （x ）=3sin （2x+）+1，将y=f （x ）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，使得到的图象关于y 对称，则φ的最小值为．14．设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使，O 为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．15．如图，四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OA=OB=OC=1，给出下列命题：①存在点D（点O除外），使得四面体DABC仅有3个面是直角三角形；②存在点D，使得四面体DOBC的4个面都是直角三角形；③存在唯一的点D，使得四面体DABC是正棱锥（底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥）；④存在唯一的点D，使得四面体DABC与四面体OABC的体积相等；⑤存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等．其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本题包括6小题，共75分．请把解题过程和正确答案写在答题卷上）．16．三角形ABC中，已知sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，其中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求的取值范围．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=，E是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥CD；（Ⅱ）求PC与平面PDE所成角的正弦值．18．某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会．已知某人前三关每关通过的概率都是，后两关每关通过的概率都是．（1）求该人获得奖金的概率；（2）设该人通过的关数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点P（1，），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，记△F1MN的内切圆的面积为S，求当S取最大值时直线l的方程，并求出最大值．20．若数列{a n}的前n项和S n是（1+x）n二项展开式中各项系数的和（n=1，2，3，…）．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=﹣1，b n+1=b n+（2n﹣1），且，求数列{c n}的通项及其前n项和T n．（3）求证：T n•T n+2＜T n+12．21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点（1）求常数b的值（2）当0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围（3）求证：对于任意的正整数n，不等式（1+）n．安徽省安庆九中2015届高三下学期第五次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若复数z满足3﹣i=（z+1）i，则复数z的共轭复数的虚部为（）A．3B．3i C．﹣3 D．﹣3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的四则运算进行化简即可．解答：解：∵3﹣i=（z+1）i，∴z+1===﹣1﹣3i，则z=﹣2﹣3i，则复数z的共轭复数=﹣2+3i，则对应的虚部为3，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，比较基础．2．已知直线l1：ax+（a+1）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“a=﹣2”是“l1⊥l2”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用a=﹣2判断两条直线是否垂直，然后利用两条在的垂直求出a是的值，利用充要条件判断即可．解答：解：因为直线l1：ax+（a+1）y+1=0，l2：x+ay+2=0，当“a=﹣2”时，直线l1：﹣2x﹣y+1=0，l2：x﹣2y+2=0，满足k1•k2=﹣1，∴“l1⊥l2”．如果l1⊥l2，所以a•1+（a+1）a=0，解答a=﹣2或a=0，所以直线l1：ax+（a+1）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“a=﹣2”是“l1⊥l2”充分不必要条件．故选A．点评：本题考查两条直线的位置关系，充要条件的判断方法的应用，考查计算能力．3．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．πB．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，其底面面积S==，高h=1，故半圆锥的体积V==，故选：D点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．4．阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8？B．S＜12？C．F1D．F2考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=S+2*i，是偶数执行S=S+i，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．解答：解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=i+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=8+4=12；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是12，故判断框中的条件应S＜12．若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．故选：B．点评：本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．5．已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5 D．﹣7考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可解答：解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D点评：本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．6．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2B．1C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．解答：解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．7．某校团委组织“共圆中国梦”知识演讲比赛活动，现有4名选手参加最后决赛，若每位选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲，则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有（）A．36种B．72种C．144种D．288种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：应用题；排列组合．分析：利用间接法，先确定4个选手无遗漏的选择，再去掉恰好2、3、4道题未被选的情况，即可得出结论．解答：解：由题意，每个选手都有4种选择，所以4个选手无遗漏的选择是44种，其中恰好2道题未被选的有（+）=84、恰好3道未被选（四人选了同一道题，有4种）、恰好0道题未被选的（四道题都被选，有=24种）．故共有256﹣84﹣4﹣24=144种．故选：C．点评：本题考查计数原理的应用，考查间接法，解题的关键是去掉恰好2、3、4道题未被选的情况，属于中档题．8．若从区间（0，e）内随机取两个数，则这两个数之积不小于e的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：先作出图象，再利用图形求概率，由题意可设两个数为x，y，则有所有的基本事件满足，根据几何概型可求其概率．解答：解：解：由题意可设两个数为x，y，则所有的基本事件满足，如图．总的区域是一个边长为e的正方形，它的面积是e2，满足两个数之积不小于e的区域的面积是e（e﹣1）﹣=e2﹣2e，∴两个数之积不小于e的概率是：=．故选B．点评：本题考查几何概率模型，求解问题的关键是能将问题转化为几何概率模型求解，熟练掌握几何概率模型的特征利于本题的转化．9．定义在R上的函数f（x）对任意x1、x2（x1≠x2）都有＜0，且函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，的取值范围是（）A．[﹣3，﹣）B．[﹣3，﹣]C．[﹣5，﹣）D．[﹣5，﹣]考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知条件便可得到f（x）在R上是减函数，且是奇函数，所以由不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）便得到，s2﹣2s≥t2﹣2t，将其整理成（s﹣t）（s+t﹣2）≥0，画出不等式组所表示的平面区域．设，所以得到t=，通过图形求关于s的一次函数的斜率范围即可得到z的范围，从而求出的取值范围．解答：解：由已知条件知f（x）在R上单调递减，且关于原点对称；∴由f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）得：s2﹣2s≥t2﹣2t；∴（s﹣t）（s+t﹣2）≥0；以s为横坐标，t为纵坐标建立平面直角坐标系；不等式组所表示的平面区域，如图所示：即△ABC及其内部，C（4，﹣2）；设，整理成：；；∴，解得：；∴的取值范围是[]．故选：D．点评：考查减函数的定义，图象的平移，奇函数的定义，以及二元一次不等式组表示平面区域，线性规划的概念，及其应用，过原点的一次函数的斜率的求解．10．已知平面向量满足：，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，P点和M点关于原点对称，点Q在y轴上，从而设出P，M，A，B，Q的坐标：P（x，y），M（﹣x，﹣y），A（a，0），B（﹣a，0），Q（0，﹣），从而根据|PO|=|a|，便得到，根据两点间距离公式从而求出的范围，从而得出||范围．解答：解：如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系；=2，∴Q点在y轴上；设P（x，y），M（﹣x，﹣y），A（a，0），Q（0，）；△PAB为Rt△；∴|PO|=|a|，又0≤；∴；∴；=；∴；∴；∴的取值范围为．故选：C．点评：考查通过建立平面直角坐标系解决向量问题、几何问题的方法，中垂线上的点到线段两端的距离相等，关于原点对称的点的坐标的关系，以及两点间距离公式．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（1+x+x2）（x﹣）6的展开式中的常数项为﹣5．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：根据题意，写出（x﹣）6的展开式中的通项为T r+1，令x的指数为0，﹣1，﹣2可得r的值，由项数与r的关系，可得答案．解答：解：（x﹣）6的展开式中的通项为T r+1 =•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r=0，求得r=3，令6﹣2r=﹣1，无解，令6﹣2r=﹣2，求得r=4，故（1+x+x2）（x﹣）6的展开式中的常数项为﹣20+15=﹣5，故答案为：﹣5．点评：本题考查等价转化的能力、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于中档题．12．以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线（φ为参数，φ∈R）上的点到曲线ρcosθ+ρsinθ=4（ρ，θ∈R）的最短距离是2﹣．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：将参数方程化为普通方程，可知两曲线分别为圆与直线，则圆C1上的点到直线C2的最短距离是圆心到直线的距离减去半径，即可得到答案．解答：解：将曲线C1（φ为参数，φ∈R）化为普通方程x2+y2=7，将曲线C2ρcosθ+ρsinθ=4（ρ，θ∈R）化为普通方程x+y=4，∴圆C1上的点到直线C2的最短距离是圆心到直线的距离减去半径，即要求的最短距离=﹣=2﹣．故答案为：2﹣．点评：本题考查了以参数方程形式表示的曲线的之间的最短距离，可以转化为普通方程表示的曲线之间的最短距离．13．设函数f（x）=3sin（2x+）+1，将y=f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，使得到的图象关于y对称，则φ的最小值为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的图象关系求出函数的解析式，结合函数的对称性进行求解即可．解答：解：将将y=f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位得到y=3sin[2（x﹣φ）+]+1=3sin （2x+﹣2φ）+1，若得到的图象关于y轴对称，则﹣2φ=+kπ，k∈Z．即φ=﹣﹣，k∈Z．故当k=﹣1时，φ=﹣+=，故答案为：．点评：本题主要考查三角函数对称性的应用，根据三角函数平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键，属于基本知识的考查．14．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：取PF2的中点A，由，可得，由OA是△PF1F2的中位线，得到PF1⊥PF2，由双曲线的定义求出|PF1|和|PF2|的值，进而在△PF1F2中，由勾股定理可得结论．解答：解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断△PF1F2是直角三角形，是解题的关键．15．如图，四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OA=OB=OC=1，给出下列命题：①存在点D（点O除外），使得四面体DABC仅有3个面是直角三角形；②存在点D，使得四面体DOBC的4个面都是直角三角形；③存在唯一的点D，使得四面体DABC是正棱锥（底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥）；④存在唯一的点D，使得四面体DABC与四面体OABC的体积相等；⑤存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等．其中正确命题的序号是①②⑤．（把你认为正确命题的序号都填上）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱锥的结构特征．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：对于①，当四面体D﹣ABC与四面体O﹣ABC一样时，即四面体ABCD的三条棱DA、DB、DC两两垂直，此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形；②DC⊥平面OBC时，四面体DOBC的4个面都是直角三角形；③根据对称性，可知，在平面ABC的两侧均存在点D使得四面体D﹣ABC是正棱锥，；④使得D与平面ABC的距离等于O与平面ABC的距离的点有无数个；⑤取BD=AB，CD=AC，AD=BC，AD中点E，可得BE⊥AD，CE⊥AD，从而AD垂直面BEC，即存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等，由此可得结论．解答：解：对于①，∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，∴当四面体D ﹣ABC与四面体O﹣ABC一样时，即四面体ABCD的三条棱DA、DB、DC两两垂直，此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①正确；②DC⊥平面OBC时，四面体DOBC的4个面都是直角三角形，故②正确；③根据对称性，可知，在平面ABC的两侧均存在点D使得四面体D﹣ABC是正棱锥，故③不正确；④使得D与平面ABC的距离等于O与平面ABC的距离的点有无数个，故④不正确；⑤取BD=AB，CD=AC，AD=BC，AD中点E，可得BE⊥AD，CE⊥AD，从而AD垂直面BEC，即存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等，故⑤正确；综上知，正确命题的序号为①②⑤故答案为：①②⑤点评：本题综合考查空间几何体的概念、线面关系，等价转化的思想，较难题．三、解答题（本题包括6小题，共75分．请把解题过程和正确答案写在答题卷上）．16．三角形ABC中，已知sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，其中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求的取值范围．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理化简可得：=，结合A的范围，可得＜sin（A）＜1，即可得解．解答：解：（Ⅰ）由sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，利用正弦定理化简得：a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC===﹣，即C=．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：B=，∴由正弦定理可得：====，∵0，A＜，＜sin（A）＜1，∴＜＜，从而解得：∈（1，）．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=，E是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥CD；（Ⅱ）求PC与平面PDE所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：计算题；证明题；空间角．分析：（I）根据线面垂直的性质和正三角形性质，得AD⊥EP且AB⊥EP，从而得到PE⊥平面ABCD．再结合线面垂直的性质定理，可得PE⊥CD；（II）以E为原点，EA、EP分别为y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得E、C、D、P各点的坐标，从而得到向量、、的坐标，利用垂直向量数量积等于0的方法，可得平面PDE一个法向量=（1，﹣2，0），最后根据直线与平面所成角的公式，可得PC 与平面PDE所成角的正弦值为．解答：解：（Ⅰ）∵AD⊥侧面PAB，PE⊂平面PAB，∴AD⊥EP．又∵△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，∴AB⊥EP．∵AD∩AB=A，∴PE⊥平面ABCD．∵CD⊂平面ABCD，∴PE⊥CD．…（Ⅱ）以E为原点，EA、EP分别为y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则E（0，0，0），C（1，﹣1，0），D（2，1，0），P（0，0，）．=（2，1，0），=（0，0，），=（1，﹣1，﹣）．设=（x，y，z）为平面PDE的一个法向量．由，令x=1，可得=（1，﹣2，0）．…设PC与平面PDE所成的角为θ，得=所以PC与平面PDE所成角的正弦值为．…点评：本题在四棱锥中，求证异面直线相垂直并且求直线与平面所成的角，着重考查了空间直线与直线之间的位置关系判断和用空间向量求直线与平面的夹角等知识，属于中档题．18．某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会．已知某人前三关每关通过的概率都是，后两关每关通过的概率都是．（1）求该人获得奖金的概率；（2）设该人通过的关数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）设A n（n=1，2，3，4，5）表示该人通过第n关，则该人获得奖金的概率为P=P（A 1A2A3A4A5）+P（）+P（），即可求得结论；（2）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求随机变量ξ的分布列及数学期望．解答：解：（1）设A n（n=1，2，3，4，5）表示该人通过第n关，则A n（n=1，2，3，4，5）相互独立，且P（A n）=（n=1，2，3），P（A4）=P（A5）=∴该人获得奖金的概率为P=P（A 1A2A3A4A5）+P（）+P（）=+2×=；（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，则P（ξ=0）=；P（ξ=1）==；P（ξ=2）==；P（ξ=3）==；P（ξ=4）==；P（ξ=5）=，ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4 5P∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×=．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点P（1，），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，记△F1MN的内切圆的面积为S，求当S取最大值时直线l的方程，并求出最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），△F1MN的内切圆半径为r，运用等积法和韦达定理，弦长公式，结合基本不等式即可求得最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意得+=1，=，a2=b2+c2，解得a=2，b=3，c=1，椭圆C的标准方程为+=1；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），△F1MN的内切圆半径为r，则=（|MN|+|MF 1|+|NF1|）r=×8r=4r，所以要使S取最大值，只需最大，则=|F 1F2|•|y1﹣y2|=|y1﹣y2|，设直线l的方程为x=ty+1，将x=ty+1代入+=1；可得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）∵△＞0恒成立，方程（*）恒有解，y1+y2=，y1y2=，=（y1+y2）2﹣4y1y2=，记m=（m≥1），==在[1，+∞）上递减，当m=1即t=0时，（）max=3，此时l：x=1，S max=π．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．20．若数列{a n}的前n项和S n是（1+x）n二项展开式中各项系数的和（n=1，2，3，…）．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=﹣1，b n+1=b n+（2n﹣1），且，求数列{c n}的通项及其前n项和T n．（3）求证：T n•T n+2＜T n+12．考点：数列与不等式的综合．专题：综合题；压轴题．分析：（1）能利用a n与S n之间的关系得到a n的通项公式．（2）会根据递推公式求出b n的通项公式，并根据b n与c n关系求通项公式及前n项和．（3）两式作差后根据其特点利用数学归纳法进行证明．解答：解：（1）由题意S n=2n，S n﹣1=2n﹣1（n≥2），两式相减得a n=2n﹣2n﹣1=2n﹣1（n≥2）．当n=1时，2×1﹣1=1≠S1=a1=2∴．（2）∵b n+1=b n+（2n﹣1），∴b2﹣b1=1，b3﹣b2=3，b4﹣b3=5，b n﹣b n﹣1=2n﹣3．以上各式相加得：b n﹣b1=1+3+5+…+（2n﹣3）=∵b1=﹣1，∴b n=n2﹣2n∴．∴T n=﹣2+0×21+1×22+2×23+3×24+…+（n﹣2）2n﹣1∴2T n=﹣4+0×22+1×23+2×24+…+（n﹣2）2n．∴﹣T n=2+22+23++2n﹣1﹣（n﹣2）2n=∴T n=﹣2n+2+（n﹣2）2n=2+（n﹣3）2n．∴T n=2+（n﹣3）2n．当n=1时T1=﹣2也适合上式．∴T n=2+（n﹣3）2n（3）证明：T n•T n+2﹣T n+12=[2+（n﹣3）•2n]•[2+（n﹣1）•2n+2]﹣[2+（n﹣2）•2n+1]2=4+（n﹣1）•2n+3+（n﹣3）•2n+1+（n﹣1）（n﹣3）•22n+2﹣[4+（n+2）（n+2）•22n+2+（n ﹣2）•2n+3]=2n+1[（n+1）﹣2n+1]∵2n+1＞0，∴需证明n+1＜2n+1，用数学归纳法证明如下：①当n=1时，1+1＜21+1成立．②假设n=k时，命题成立即k+1＜2k+1，那么，当n=k+1时，（k+1）+1＜2k+1+1＜2k+1+2k+1=2•2k+1=2（k+1）+1成立．由①、②可得，对于n∈N*都有n+1＜2n+1成立．∴2n+1[（n+1）﹣2n+1]＜0∴T n•T n+2＜T n+12点评：能利用a n与S n之间的关系得到a n的通项公式，会根据递推公式求出b n的通项公式，并根据b n与c n关系求c n的通项公式．也要会应用错位相减法求前n项和及会用数学归纳法证明．21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点（1）求常数b的值（2）当0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围（3）求证：对于任意的正整数n，不等式（1+）n．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由条件可得f′（0）=0，即可得到b=1；（2）求出f（x）的导数，对a讨论，①当a≤﹣时，②当a≥0时，③当﹣＜a＜0时，求出单调区间，求得最小值，即可得到a的范围；（3）对要证的不等式等价变形，可得ln（1+）﹣＜0①，且（+1）ln（1+）﹣＞0②运用（2）中的结论，通过a的取值，即可得证．解答：（1）解：对f（x）求导得：f′（x）=﹣aln（1+x）+﹣b，根据条件知f′（0）=0，所以1﹣b=0，解得b=1；（2）解：由（1）得f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1，f′（x）=﹣aln（1+x）+﹣1f″（x）=﹣．①当a≤﹣时，由于0≤x≤1，有f″（x）≥0，于是f′（x）在[0.1]上单调递增，从而f′（x）≥f′（0）=0，因此f（x）在[0.1]上单调递增，即f（x）≥f（0）而且仅有f（0）=0；②当a≥0时，由于0≤x≤1，有f″（x）＜0，于是f′（x）在[0.1]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0.1]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0；③当﹣＜a＜0时，令m=min{1，﹣}，当0≤x≤m时，f″（x）＜0，于是f′（x）在[0，m]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，m]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0．综上可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．（3）证明：要证对于任意的正整数n，不等式（1+）n．即证对于任意的正整数n，nln（1+）＜1＜（n+1）ln（1+）．即证ln（1+）＜＜（+1）ln（1+）．即证ln（1+）﹣＜0①，且（+1）ln（1+）﹣＞0②对于①相当于（2）中a=0，有f（x）在[0，1]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0．取x=，有ln（1+）﹣＜0；对于②相当于（2）中a=﹣1，有∀x∈[0，1]，f（x）≥0而且仅有f（0）=0．取x=，有（+1）ln（1+）﹣＞0成立．则有对于任意的正整数n，不等式（1+）n．点评：本题考查导数的运用：求切线斜率和单调区间，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法和等价转化的思想方法是解题的关键．。