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山东省泰安市2022届高三下学期5月三模检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合(){}lg 10M x x =-≤，{}11N x x =-<，则M N =（ ）A ．(0，2]B ．(0，2)C ．(1，2)D ．(1，2]2．已知复数i2iz =+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为（ ） A ．12i 55+B ．12i 55-C ．21i 55+D ．21i 55-3．已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，若()()12436P X P X >=⋅<，则()23P X <<=（ ）A ．13B ．14C ．16D ．194．已知对数函数()2log f x x =的图象经过点()4,A t ，12log a t=，12tb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12c t =，则（ ） A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a b c <<5．已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点为F ，点B 为双曲线虚轴的上端点，A 为双曲线的左顶点，若2ABF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）AB C D6．已知函数()(e 1ln e 1x x f x x -=++，则对任意实数1x ，2x ，“120x x +>”是“()()120f x f x +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知数列{}n a 满足：对任意的m ，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=，且23a =，则20a =（ ） A ．203B ．153C ．103D ．538．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是等腰直角三角形，1AA ⊥底面ABC ，AC ＝BC ＝2，14AA =，点D 在上底面111A B C （包括边界）上运动，则三棱锥D -ABC 的外接球表面积的最大值为（ ）A ．814π B ．24π C ．24316π D ．二、多选题9．已知a ，b ∈R ，0,0a b >>，且2a b +=，则下列说法正确的为（ ） A ．ab 的最小值为1 B ．22log log 0a b +≤C ．224a b +≥D ．122a b+≥10．已知实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=，则下列说法正确的是（ ） A ．yx 的最大值为43B ．yx的最小值为0C．22x y +1D ．x y ＋的最大值为311．已知函数()2sin cos f x x x x = ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．函数()f x 的对称轴方程为512x k π=π+（k ∈Z ） C ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度得到D ．方程()f x =[0，10]内有7个根 12．已知函数()22ln f x ax x =+（a ∈R ）有两个不同的零点1x ，2x ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.5]＝0，[1.2]＝1，则下列结论正确的是（ ） A ．a 的取值范围为1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．a 的取值范围为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．[][]123x x +≥D ．若[][]124x x +=，则a 的取值范围为2ln 3ln 2,94⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ 三、填空题13．已知tan 2θ=，则()sin sin 2πθπθ-=⎛⎫- ⎪⎝⎭________． 14．已知函数1e ,0,()(4),0x x f x f x x +⎧≤=⎨->⎩，则()2022f =________．15．从抛物线22x y =的准线l 上一点P 引抛物线的两条切线P A ，PB ，且A ，B 为切点，若直线AB 的倾斜角为3π，则P 点的横坐标为________． 四、双空题16．如图，在ABC 中，3BAC π∠=，23AD AB =，点P 在线段CD 上（P 不与C ，D 点重合），若ABC的面积为12AP mAC AB =+，则实数m ＝________，AP 的最小值为________．五、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()()()sin sin sin sin c A C a b B A +=+-．(1)求B ；(2)若D 为AC 的中点，且24AB BD ==，求ABC 的面积． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足322n n a S =+． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)能否在数列{}n a 中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？请说明理由．19．如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E 在AB 上，AE ＝2EB ＝2，且DE ⊥AB ，沿DE 将ADE 折起，使点A 到达点F 的位置，且60FEB =︒∠．(1)求证：平面BFC ⊥平面BCDE ；(2)若直线DF 与平面BCDE DEF 与平面DFC 的夹角的余弦值．20．某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会．每次抽中，可依次获得10元，20元，30元奖金，若没有抽中，不可继续抽奖，顾客每次抽中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小明购买了500元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为23，12，13，选择继续抽奖的概率均为12，且每次是否抽中互不影响．(1)求小明第一次抽中，但所得奖金归零的概率；(2)设小明所得奖金总数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．21．已知椭圆2222:1x y E a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e =为O 为坐标原点． (1)求椭圆E 的方程；(2)过228:3O x y +=上任意点P 做O 的切线l 与椭圆E 交于点M ，N ，求证PM PN⋅为定值．22．已知函数()21ln 2f x ax x x =-，R a ∈．(1)若函数()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝0时，设函数()()e sin 1xg x f x x =+--，证明：()0g x >恒成立．参考答案：1．C 【解析】 【分析】化简集合,M N ，根据集合的交集运算的定义求M N ⋂. 【详解】不等式lg(1)0x -≤的解集为{|12}x x <≤， 不等式|1|1x -<的解集为{|02}x x <<， 故{|12}M x x =<≤，{|02}N x x =<<， 所以(1,2)M N =，故选：C. 2．B 【解析】 【分析】根据复数的运算公式求复数z 的代数形式，再求其共轭复数即可. 【详解】()()()i 2i i 12i 12=i 2i 2i 2i 555z -+===+++-， 所以z 的共轭复数为12i 55-，故选：B. 3．A 【解析】 【分析】利用对称性可得(2)(4)P X P X <=>结合条件可求()2P X <，再由 1(2)(4)(23)2P X P X P X -<-><<=求解.【详解】因为随机变量X 服从正态分布()23,N σ，由对称性可知，()()24P X P X <=>，又()()12436P X P X >=⋅<， 所以1(2)(4)6P X P X <=>=， 故1111(2)(4)166(23)223P X P X P X =---<-><<==. 故选：A. 4．D 【解析】 【分析】由对数函数的图象过点()4,A t ，可求出t 的值，代入a 、b 、c 即可比较出三个数的大小关系. 【详解】对数函数()2log f x x =的图象经过点()4,A t ，则()242log 4f t ===，所以，1122log log 21a t ===-，2111224t b ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11222c t ===因此，c b a >>. 故选：D. 5．D 【解析】 【分析】由已知求出,,A B F 的坐标，再由2ABF π∠=列方程求双曲线的离心率.【详解】由已知双曲线22221x y a b -=的右焦点F 的坐标为(,0)c ，虚轴的上端点B 的坐标为(0,)b ，左顶点A 的坐标为(,0)a -，所以=(,)BA a b --，(,)BF c b =- 又2ABF π∠=，所以0BA BF ⋅=，故2b ac =，即22c a ac -=，所以210e e --=，又1e >，所以双曲线的离心率e = 故选：D.6．C 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的性质判断120x x +>与()()120f x f x +>的关系即可. 【详解】⊥ ()(e 1ln e 1x x f x x -=++，⊥ ()((e 11e ln ln e 11e x x x xf x x x -----=-++=-+++，⊥ ()((e 11e ()ln ln ln100e 11e x x x xf x f x x x --+-=++-+=+=++，⊥ 函数()(e 1ln e 1x x f x x -=+++为奇函数，又()((e 122ln =ln 1e 1e 1x x xf x x x +-=++-++，当0x >时，函数(ln y x =单调递增，2e 1x y =+单调递减，所以函数()(e 1ln e 1x x f x x -=++在(0,)+∞上单调递增，又函数()f x 为奇函数，所以函数()(e 1ln e 1xxf x x -=++在(,)-∞+∞上单调递增，由120x x +>可得12x x >-，所以122()()()f x f x f x >-=-，故()()120f x f x +>， 由()()120f x f x +>可得122()()()f x f x f x >-=-，所以12x x >-，所以120x x +>， 所以“120x x +>”是“()()120f x f x +>”的充要条件， 故选：C. 7．C 【解析】 【分析】由递推关系判断数列{}n a 为等比数列，再由等比数列通项公式求20a . 【详解】因为对任意的m ，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=， 所以112a a a =，11n n a a a +=，又23a =，所以1a =11n na a a +=， 所以数列{}n a 是首项为1a ，公比为1a 的等比数列， 所以()()1111n nn a a a a -=⋅=，所以()2010201=3a a =， 故选：C. 8．B 【解析】 【分析】由条件确定球心位置，引入变量表示球的半径，由此确定球的表面积及其最大值. 【详解】因为ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝2，所以ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点1O ，且1AO =连接1O 与11A B 的中点E ，则11//O E AA ，所以1O E ⊥平面ABC ， 设球的球心为O ，由球的截面性质可得O 在1O E 上， 设1OO x =，(0DE t t =≤≤，半径为R ， 因为OA OD R === 所以2814t x =-，又0t ≤≤所以724x ≤≤， 因为222R x =+，所以281616R ≤≤， 所以三棱锥D -ABC 的外接球表面积的最大值为24π， 故选：B.9．BC 【解析】 【分析】直接根据基本不等式判断各选项的对错即可. 【详解】因为0,0a b >>，由基本不等式可得a b +≥，当且仅当a b =时等号成立， 又2a b +=，所以1ab ≤，当且仅当1a b ==时等号成立，故ab 的最大值为1，A 错， 222log log log 0a b ab +=≤，当且仅当1a b ==时等号成立，B 对，422b a +≥=，当且仅当1a b ==时等号成立，C 对，()(12112121=33222a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2a =，4b =-等号成立，D 错， 故选：BC. 10．ABD 【解析】 【分析】 根据y x 的几何意义，结合图形可求得y x的最值，由此判断A ，B ，根据22x y +的几何意义求其最值，判断C ，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D. 【详解】由实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=可得点(,)x y 在圆()()22211x y -+-=上，作其图象如下，因为yx表示点(,)x y 与坐标原点连线的斜率， 设过坐标原点的圆的切线方程为y kx =1=，解得：0k =或43k =， 40,3y x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，max 43y x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，min0y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A ，B 正确； 22x y +表示圆上的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，圆上的点(,)x y 到坐标原点的距离的最大值为+1OC ， 所以22x y +最大值为()21OC +，又OC = 所以22xy +的最大值为6+C 错，因为224240x y x y +--+=可化为()()22211x y -+-=， 故可设2cos x θ=+，1sin y θ=+，所以2cos 1sin 34x y πθθθ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭＋，所以当=4πθ时，即21x y ==x y ＋取最大值，最大值为3，D 对， 故选：ABD. 11．ACD 【解析】 【分析】先对函数化简变形，再利用正弦函数的性质逐个分析判断即可 【详解】()2sin cos f x x x x =11cos 2sin 222x x +=1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 对于A ，函数()f x 的最小正周期为22ππ=，所以A 正确， 对于B ，由2,Z 32x k k πππ-=+∈，得5,Z 122k x k ππ=+∈，所以函数()f x 的对称轴方程为5,Z 122k x k ππ=+∈，所以B 错误， 对于C ，sin 2y x =的图象向右平移6π，得sin2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度得到，所以C 正确，对于D ，由()f x =，得422,Z 33x k k πππ-=+∈或522,Z 33x k k πππ-=+∈，得5,Z 6x k k ππ=+∈或,Z x k k ππ=+∈， 由5010,Z 6k k ππ≤+≤∈，得0,1,2k =， 由010,Z k k ππ≤+≤∈，得1,0,1,2k =-，所以方程()f x =[0，10]内有7个根，所以D 正确， 故选：ACD 12．BD 【解析】 【分析】利用导数研究函数()f x 的单调性，结合条件列不等式求a 的取值范围，由此判断A ，B ，结合零点存在性定理判断C ，D. 【详解】函数()22ln f x ax x =+的定义域为(0,)+∞，()()221122ax f x ax x x+'=+=，当0a ≥时，()0f x '≥，函数()22ln f x ax x =+在(0,)+∞上单调递增，函数()22ln f x ax x =+在(0,)+∞上至多只有一个零点，与条件矛盾，当0a <时，由()0f x '=可得x x =，当0x <()0f x '>，函数()22ln f x ax x =+单调递增，+x <<∞，()0f x '<，函数()22ln f x ax x =+单调递减，因为函数()22ln f x ax x =+有两个不同的零点1x ，2x 可得0f >所以20a ⨯+，所以1ln 1a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 所以10ea -<<，B 对，不妨设12x x <，，(1)0f a =<，所以1,x ⎛∈ ⎝1，2x >2≥时，[][]1212x x ≥≥，，则[][]123x x +≥，2<<时，则11e 4a -<<-所以(2)42ln 2f a =+，当1a e-<<-(2)0f <，此时2[]=1x ，[][]12=2x x +，C 错， 因为[][]124x x +=，若[]11x =则[]23x =，(2)0f >，(3)0f ≥，(4)0f < 所以42ln 20a +>，92ln30a +≥，162ln 40a +<， 所以ln 22ln 3ln 2,,294a a a >->-<-， 所以2ln 3ln 294a -<<-，若[]12x =，则[]22x =，(2)0f <，(3)0f <，且23< 所以42ln 20a +<，92ln30a +<，1149a -<<-所以ln 22ln 3,29a a <-<-，1149a -<<-所以ln 22a <-，1149a -<<-又1ln 22>，所以1ln 22-<-，所以ln 2124-<-，故满足条件的a 不存在， 所以a 的取值范围为2ln 3ln 2,94⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，D 对， 故选：BD. 【点睛】函数的零点问题的解决的关键在于分析函数的单调性，并结合零点存在性定理列关系式. 13．-2 【解析】 【分析】利用()sin =sin πθθ-，sin =cos 2πθθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，sin tan cos θθθ=即可求出答案.【详解】()sin sin =tan 2cos sin 2πθθθπθθ-=-=--⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故答案为：-2.14．1e ##1e -【解析】 【分析】根据分段函数解析式直接求值即可. 【详解】⊥ 1e ,0,()(4),0x x f x f x x +⎧≤=⎨->⎩⊥ ()2112022(2018)(2014)(2)(2)e ef f f f f -+===⋅⋅⋅==-==， 故答案为：1e15【解析】 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(P x ，1)2-，由直线AB 的倾斜角为3π，可得12x x +=导数分别求出过A ，B 的切线方程，可得1x ，2x 是方程20210x x x --=的两个根，利用根与系数的关系可得1202x x x +=，从而可得出答案． 【详解】解：抛物线22x y =的准线l ：12y =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(P x ，1)2-，则1212tan 3AB y y k x x π-==-又2112x y =，2222x y =，∴2212121222ABx x x x k x x -+===-12x x +=由22x y =，得22x y =，∴y x '=，∴切线PA 的方程为111()y y x x x -=-， 切线PB 的方程为222()y y x x x -=-，即切线PA 的方程为2111()2x y x x x -=-，即211220x x x y -+=， 切线PB 的方程为2222()2x y x x x -=-，即222220x x x y -+=， 点0(P x ，1)2-在切线PA 、PB 上，∴2110210x x x --=，2220210x x x --=， 可知1x ，2x 是方程20210x x x --=的两个根， 1202x x x ∴+=，得0=x ，即P16．14##0.25【解析】 【分析】用AC AB ，表示出CD 与PD ，利用两个向量共线可求出m,求出2||AP 后利用基本不等式可求出最值.【详解】 因为23AD AB =,所以2,3CD AD AC AB AC =-=-而211.326PD AD AP AB mAC AB AB mAC =-=--=- 因为CD 与PD 为非零共线向量,故存在实数λ使得21(),36AB AC AB mAC λ-=- 故14,,4m λ== 所以11,42AP AC AB =+2221111||2||||,16482AP AC AB AC AB =++⨯⨯⨯⨯ABC 的面积为13||||43,||||16,22AC AB AC AB ⨯⨯⨯=⨯= 所以2221111||221626,14264AP AC AB =++≥⨯⨯⨯+=当且仅当||42,||22AC AB ==时等号成立,故AP 的最小值为故答案为：14.17．(1)120B =︒(2)【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求解； （2）由题可得2BD BA BC =+，则可求得a ，即可得出面积. (1)因为()()()sin sin sin sin c A C a b B A +=+-，由正弦定理可得()()()c a c a b b a +=+-，即222a c b ac +-=-， 所以2221cos 22a cb B ac +-==-，又0180B ︒<<︒，120B =︒． (2)由题知，AB ＝4，BD ＝2，120B =︒，因为D 为AC 的中点， 所以2BD BA BC =+，所以22242BD BA BA BC BC =+⋅+，整理得240a a -=，所以a ＝4，所以ABC的面积为144sin1202⨯⨯⨯︒=18．(1)123n n a -=⨯(2)不能；理由见解析 【解析】 【分析】(1)利用数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系化简条件可得数列的递推关系，再证明数列为等比数列，并由等比数列通项公式求数列通项，(2)利用反证法结合等差数列的定义证明. (1)⊥322n n a S =+，⊥n ＝1时，11132222a S a =+=+， ⊥12a =；当2n ≥时，1132S 2n n a --=+，所以()()113322222n n n n n a a S S a ---=+-+=， ⊥13n n a a -=，即13nn a a -=（2n ≥） ⊥数列{}n a 是以2为首项，3为公比的等比数列，⊥123n n a -=⨯．(2)若1k m n ≤<<，有k a ，m a ，n a 成等差数列，则2m k n a a a =+ 即1112232323m k n ---⨯⨯=⨯+⨯，整理得1323n m m k--+=，又k ，m ，*n ∈N 且1k m n ≤<< ⊥33n m -≥，103m k->，所以1333n m m k--+>，与1323n m m k--+=矛盾，所以数列{}n a 中找不到三项，它们按原来的顺序构成等差数列． 19．(1)证明见解析【解析】 【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明BF ⊥平面BCDE ，再由面面垂直的判定定理证明平面BFC ⊥平面BCDE ；(2)由线面角的定义结合条件求出AD ，建立空间直角坐标系利用向量方法求二面角的大小. (1)AE ＝EF ＝2，EB ＝1，60FEB =︒∠， 所以2222cos603BF BE EF BE EF =+-⋅︒=⋅， 所以222BE BF EF +=，所以BF ⊥BE ， 又因为DE ⊥AB ，所以DE ⊥EF ，DE ⊥EB ． 又EFBE E =，所以DE ⊥平面BEF ，因为BF ⊂平面BEF ，所以BF ⊥DE ， 因为EB ，DE ⊂平面BCDE ，=DEEB E ，所以BF ⊥平面BCDE ，又BF ⊂平面BFC ， 所以平面BFC ⊥平面BCDE ； (2)设AD ＝a ，则DE BD 由（1）知BF ⊥平面BCDE ，所以⊥FDB 为直线DF 与平面BCDE 所成的角，所以tan FB FDB BD ∠===a = 以E 为坐标原点，EB ，ED 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （-2，0，0），B （1，0，0），D （0，2，0），C （3，2，0），(F ，⊥()3,0,0DC =，(1,2DF =-，设(),,m x y z =为平面DFC 的一个法向量，则00m DC m DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，令y =z ＝2，所以()0,3,2m =，由（1）知，平面DEF ⊥平面BEF ，过B 引EF 的垂线交EF 于M ，则BM ⊥平面DEF ，求得14EM ⎛= ⎝⎭，则34BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭为平面DEF 的一个法向量． 所以7cos ,7||m BM m BM m BM ⋅==⋅所以平面DEF 与平面DFC ． 20．(1)29(2)分布列见解析；期望为152【解析】 【分析】(1)利用独立事件概率乘法公式和互斥事件加法公式求解；(2)由条件确定随机变量X 的可能取值，再求取各值的概率，根据期望公式求其期望. (1)记小明第i 次抽中为事件i A ，（i ＝1，2，3），则有()123P A =，()212P A =，()313P A =，并且1A ，2A ，3A 两两相互独立，小明第一次抽中但奖金归零记为事件A ，则A 的概率为 ()()()()1212312123P A P A A A A A P A A P A A A =+=+()()()()()31212111222P A P P P A P A A A =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯21121111211322322239⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2)小明所得奖金总数为随机变量X ，则X ＝0，10，30，60，()()()()1122501399P X P A A P A P A ⎛⎫==+=+=-+= ⎪⎝⎭，()()11211102323P X P A ==⨯=⨯=，()()12121111302322212P X P A A ==⨯=⨯⨯⨯=， ()()123211111603222336P X P A A A ===⨯⨯⨯⨯=随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望为()51111501030609312362E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．21．(1)22184x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)由条件列方程求出,a b ，由此可得椭圆标准方程；(2)先计算当直线l 的斜率不存在时PM PN ⋅的值，再利用设而不求法求出当直线l 的斜率存在时PM PN ⋅，结合直线与圆相切的条件证明PM PN ⋅为定值． (1)由题意得2ab =c e a ==222a b c =+可得a =b ＝2， 所以椭圆的标准方程为22184x y +=．(2)当切线l 的斜率不存在时，其方程为x =当x =时，将x =22184x y +=得y =⊥M ⎝⎭，N ⎝⎭，P ⎫⎪⎪⎝⎭，260,,0,3PM PN ⎛⎫⎛== ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⊥83PM PN ⋅=-当x =83PM PN ⋅=-，当切线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，()11,M x y，()22,N x y ， 因为l 与O =22388m k =+ 由22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222124280k x kmx m +++-=，⊥122412km x x k +=-+，21222812m x x k-=+ ()()()2224412280km k m ∆=-+->，⊥ 22840k m -+>，⊥ m >m <⊥()()()2PM PN OM OP ON OP OP OP OM OP ON OM ON ⋅=-⋅-=-⋅-⋅+⋅()()()22283OP OP OP OM ON OM ON =--+⋅=-+⋅()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()2212121k x x km x x m =++++()2222222228438810121212m km m k k km m k k k ---⎛⎫=++-+== ⎪+++⎝⎭⊥8·3PM PN =- 综上，PM PN 为定值83-．【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 22．(1)1a ≥； (2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据题意可知()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，进而进行分参得到ln 1x a x+≥，然后通过导数方法求出ln 1x x +的最大值即可得到答案； （2）分()0,1x ∈和[1,)x ∈+∞进行讨论，然后通过导数方法并结合三角函数的有界性得到函数的单调区间，进而证明问题.(1)因为函数()21ln 2f x ax x x =-为增函数，所以()–ln 10f x ax x '=-≥在()0,∞+上恒成立，即ln 1x a x+≥在()0,∞+上恒成立. 令()ln 1x h x x +=（x ＞0），则()2ln x h x x '=-，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，⊥()()max 11h x h ==，⊥1a ≥．(2)当a ＝0时，()()()e sin 1ln e sin 10x x g x f x x x x x x =+--=-+-->，()ln e cos 1x g x x x '=-+--.当()0,1x ∈时，ln 0x ->，设()()e sin 10x l x x x =--≥，则()e cos 0x l x x '=->，⊥()l x 单调递增，⊥()()00l x l >=，⊥当()0,1x ∈时，()0g x >恒成立．当[1,)x ∈+∞时，设()()ln e cos 11x x x x x ϕ=-+--≥，则()1sin x x e x xϕ'=-++， ⊥1≥x ，⊥e e x ≥，[]sin 1,1x ∈-，[)11,0x-∈-，⊥()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增. ⊥()()1e cos110x ϕϕ≥=-->.⊥当[)1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，⊥()()1e sin110g x g ≥=-->，即当[)1,x ∞∈+时，()0g x >恒成立.综上，()0g x >恒成立．【点睛】本题第（2）问较难，且方法比较巧妙，一般来讲，象涵盖指（对）数函数和三角函数的超越函数通常都要分段，并会利用到三角函数的有界性，平常注意对此种题型的归纳总结.。
九江市2023年第三次高考模拟统一考试数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1{|}2M x x =>，{|N x y ==，则()M N = R ð（）A.1{|0}2x x ≤≤ B.1{|0}2x x << C.1{|}2x x ≤ D.{|0}x x ≤2.已知复数z 满足(2i)4i z z ⋅+=-，则z =（）A.1C.2D.3.抛物线212y x =的焦点坐标为（）A.1(,0)8 B.1(0,)8C.1(,0)2D.1(0,24.分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案.自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为15︒.若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为（）A.814B.8168C.4D.35.为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织甲乙两个社会实践小组分别对某块稻田的稻穗进行调研，甲乙两个小组各自随机抽取了20株稻穗，并统计了每株稻穗的粒数，整理得到如下统计表（频率分布直方图中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则下列结论正确的是()甲158163361711233445688818378199频率/组距每穗粒数1502001901801701600.040.030.020.01乙6.已知0.22a =，0.5log 0.2b =，0.2log 0.4c =，则（）A.b a c >>B.b c a>> C.a b c>> D.a c b>>7.已知0π<<<αβ，且1cos 3α=，22cos()3αβ-=，则cos β=（）A.89B.79 C.429D.0A.甲组中位数大于乙组中位数，甲组平均数大于乙组平均数B.甲组中位数大于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数C.甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数D.甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数小于乙组平均数8.榫卯是一种中国传统建筑、家具的主要结构方式，它凝聚了中华文明的智慧.它利用材料本身特点自然连接，既符合力学原理，又重视实用和美观，达到了实用性和功能性的完美统一.右图是榫卯结构中的一种，当其合并在一起后，可形成一个正四棱柱.将合并后的榫卯对应拿开(如图1所示)，已知榫的俯视图如图2所示，则卯的主视图为（）9.已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕ=+><π的导函数()y f x '=的图像如图所示，记()()()g x f x f x '=⋅，则下列说法正确的是（A.()g x 的最小正周期为2πB.6ϕ5π=-C.(4g π= D.()g x 在(0,6π10.已知定义在R 上的函数()f x 在[0,1]上单调递增，(1)f x +是奇函数，(1)f x-的图像关于直线1x =对称，则()f x （）A．在[20202022]，上单调递减B．在[20212023]，上单调递增C．在[20222024]，上单调递减D．在[20232025]，上单调递增DA C 图2图1榫卯B 11.已知双曲线22221x y a b-=(,0a b >)的左右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线交双曲线右支于,A B 两点，若1AB F B ⊥，13sin 5F AB ∠=，则该双曲线的离心率为（C ）C.2D.212.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1A BD △内一点(包括边界)，且线段1PA 的长度等于点P 到平面ABCD 的距离，则线段1PA 长度的最小值是（D ）C.2D.3第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.26(x 展开式中，2x 的系数为.BCDP1C 1B 1A 1D A 14.Rt ABC △中，90A =︒，2AB =，D 为BC 上一点，2BD DC =，则AD AB ⋅=.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，12nn n a a ++=，则9S =.16.已知函数2()e x f x ax =-(a ∈R )有两个极值点12,x x ，且122x x >，则a 的取值范围为,).BA CD三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）如图，圆内接四边形ABCD 中，已知2AB =，BC =2CDB ADB ∠=∠.(1)求ABC ∠；(2)求四边形ABCD 面积的最大值.D ABC18.(本小题满分12分)直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，D 为1CC的中点，1BB =.(1)求证：平面1AB C ⊥平面ABD ；(2)若AB BD =，求二面角1B AD B --的余弦值.A1A C 1CB 1BD19.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1x y E a b +=(0a b >>)的离心率为32，且三点(1,2)，(2,1)，(1,2)--中恰有一点在E 上，记为点P ．(1)求椭圆E 的方程；(2)设,A B 是E 上异于点P 的两点，直线,PA PB 分别交x 轴于,M N 两点，且PMN PNM ∠=∠,求直线AB 的斜率.20.(本小题满分12分)人勤春来早，实干正当时.某工厂春节后复工复产，为满足市场需求加紧生产，但由于生产设备超负荷运转导致某批产品次品率偏高.已知这批产品的质量指标2(80,)X N σ，当(60,100)X ∈时产品为正品，其余为次品.生产该产品的成本为20元/件，售价为40元/件.若售出次品，则不更换，需按原售价退款并补偿客户10元/件.(1)若某客户买到的10件产品中恰有两件次品，现从中任取三件，求被选中的正品数量ξ的分布列和数学期望；(2)已知(60)0.02P X ≤=，工厂欲聘请一名临时质检员检测这批产品，质检员工资是按件计费，每件x 元.产品检测后，检测为次品便立即销毁，检测为正品方能销售.假设该工厂生产的这批产品都能销售完，工厂对这批产品有两种检测方案，方案一：全部检测；方案二：抽样检测.若要使工厂两种检测方案的盈利均高于不检测时的盈利，求x 的取值范围，并从工厂盈利的角度选择恰当的方案.21.(本小题满分12分)已知函数2e ()1xf x ax =-(a ∈R ).(1)讨论()f x 的单调性；(2)当2a =-时，若0x ≥，()ln(12)1f x x mx ≤+--，求实数m 的取值范围.请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为222x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数).以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin())4ραθα-=-，其中α为倾斜角,且ππ(,)43α∈.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设l 与曲线C 相交于,P Q 两点，直线,OP OQ 的斜率为12,k k ，求12k k +的取值范围.23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设,,a b c 均为正数，已知函数()f x x a x b c =-+++的最小值为4.(1)求222a b c ++的最小值；(2)证明:2222228a b b c c a c a b+++++≥.九江市2023年第三次高考模拟统一考试数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1{|}2M x x =>，{|N x y ==，则()M N = R ð（A ）A.1{|0}2x x ≤≤ B.1{|0}2x x << C.1{|}2x x ≤ D.{|0}x x ≤解：1{|}2M x x =≤ R ð，{|02}N x x =≤≤，1(){|0}2M N x x ∴=≤≤ R ð，故选A.2.已知复数z 满足(2i)4i z z ⋅+=-，则z =（B ）A.1C.2D.解:设i z a b =+(,a b ∈R )，则(i)(2i)i 4i a b a b ++=--，即(2)(2)i (4)i a b a b a b -++=-+，224a b aa b b -=⎧∴⎨+=--⎩，解得1a b ==-，1i z ∴=--，z = B.3.抛物线212y x =的焦点坐标为（D ）A.1(,0)8 B.1(0,)8C.1(,0)2D.1(0,2解：由212y x =得22x y =，∴抛物线的焦点坐标为1(0,)2，故选D.4.分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案.自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为15︒.若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为（C ） A.814B.8168 C.4D.463解：设第n 个正方形的边长为n a ，则由已知可得11sin15cos15n n n a a a ++=︒+︒，116sin15cos153n n a a +∴===︒+︒，{}n a ∴是以9为首项，63为公比的等比数列，4451943a a q ∴==⨯=，故选C.5.为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织甲乙两个社会实践小组分别对某块稻田的稻穗进行调研，甲乙两个小组各自随机抽取了20株稻穗，并统计了每株稻穗的粒数，整理得到如下统计表（频率分布直方图中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则下列结论正确的是(C)A.甲组中位数大于乙组中位数，甲组平均数大于乙组平均数B.甲组中位数大于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数C.甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数D.甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数小于乙组平均数解：甲组中位数为174，平均数为11741611118332110012444913142517520+---------+++++++++++=（），乙组中位数为175，平均数为0.1(155195)0.2(165185)0.4175175⨯++⨯++⨯=,故选C.6.已知0.22a =，0.5log 0.2b =，0.2log 0.4c =，则（A ）A.b a c >>B.b c a>> C.a b c >> D.a c b>>解:0.2122a <=< ，0.50.5log 0.2log 0.252b =>=，0.20.2log 0.4log 0.21c =<=，b a c ∴>>.故选A.7.已知0π<<<αβ，且1cos 3α=，22cos()3αβ-=，则cos β=（D ）A.89B.79 C.429D.0解法一：0π<< α，1cos 3α=，22sin 3∴=α，又π0-<-<αβ，22cos()3-=αβ，甲158163361711233445688818378199频率/组距每穗粒数1502001901801701600.040.030.020.01乙1sin()3∴-=-αβ，cos cos[()]cos cos()sin sin()∴=--=-+-βααβααβααβ122221(03333=⨯+⨯-=，故选D.解法二:0π<< α，1cos 3α=，sin 3∴=α,cos()sin ∴-=αβα，即πcos()cos()2-=-βαα，0π<-< βα，ππ022<-<α,π2∴-=-βαα,π2=β,cos 0=β，故选D.8.榫卯是一种中国传统建筑、家具的主要结构方式，它凝聚了中华文明的智慧.它利用材料本身特点自然连接，既符合力学原理，又重视实用和美观，达到了实用性和功能性的完美统一.右图是榫卯结构中的一种，当其合并在一起后，可形成一个正四棱柱.将合并后的榫卯对应拿开(如图1所示)，已知榫的俯视图如图2所示，则卯的主视图为（C ）9.已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕ=+><π的导函数()y f x '=的图像如图所示，记()()()g x f x f x '=⋅，则下列说法正确的是（CA.()g x 的最小正周期为2πB.6ϕ5π=-C.()4g π=D.()g x 在(0,6π解:()cos()f x x '=+ ωωϕ，由0ω>并结合图像知2ω=，()2cos(2)f x x ϕ'∴=+，又(2cos()063f ππ'=+=ϕ，且在(0,)6π调递减，2,32k k ππ∴+=+π∈ϕZ ，2,6k k π=+π∈ϕZ ，又||<πϕ，6π∴=ϕ，()2sin(2)cos(2)sin(4663g x x x x πππ∴=++=+，2ππ42T ∴==，()sin()43g π4π== C.10.已知定义在R 上的函数()f x 在[0,1]上单调递增，(1)f x +是奇函数，(1)f x -的图像关于直线1x =对称，则()f x （C ）A．在[20202022]，上单调递减B．在[20212023]，上单调递增C．在[20222024]，上单调递减D．在[20232025]，上单调递增解：(1)f x + 是奇函数，(1)(1)f x f x ∴+=--+，即()f x 的图像关于点(1,0)对称，又()f x 在[0,1]上单调递增，()f x ∴在[1,2]上单调递增，即()f x 在[0,2]上单调递增.由(1)(1)f x f x +=--+可得(2)()f x f x -=-，由(1)f x -图像关于直线1x =对称可知()f x 为偶函数，(2)(2)()f x f x f x ∴-=-=-，(4)()f x f x ∴+=，()f x ∴是周期函数，最小正周期为4，()f x ∴在DA C 图2图1榫卯B[20222024]，上单调递减，故选C.11.已知双曲线22221x y a b-=(,0a b >)的左右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线交双曲线右支于,A B 两点，若1AB F B ⊥，13sin 5F AB ∠=，则该双曲线的离心率为（C ）C.102D.52解：如图，设1||3BF t =，1AB F B ⊥ ，13sin 5F AB ∠=，1||5AF t ∴=，||4AB t =，由双曲线定义可知21||||252AF AF a t a =-=-，21||||232BF BF a t a =-=-，844t a t ∴-=，t a ∴=，1||3BF a ∴=，2||BF a =，1π2ABF ∠=，122||c F F ∴===，102c e a ∴==，故选C.12.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1A BD △内一点(包括边界)，且线段1PA 的长度等于点P 到平面ABCD 的距离，则线段1PA 长度的最小值是（D ）C.2D.3解:设直线1A P 与BD 交于点Q ，连接AQ ，过点P 作1AA 的平行线交AQ 于点M ，显然PM ⊥平面ABCD ，故1PA PM =.设1PA PM x ==，则1PQ A Q x =-，由1//PMAA ,知11PM PQ AA A Q =.即111A Q x x A Q -=，解得1111x A Q=+，由图可知111sin 60A B A Q A B ︒≤≤，即1A Q ∈，11[3211x A Q∴=∈+，故选D.第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.26(x 展开式中，2x 的系数为15.解：26(x 展开式的通项为512262166()((1)r rrr r rr T C x C x --+==-，令51222r -=，解得4r =，BCDP 1C 1B 1A 1D A QMBC D P1C 1B 1A 1D A yxABO F 1F 2∴展开式中2x 的系数为446(1)15C -=.14.Rt ABC △中，90A =︒，2AB =，D 为BC 上一点，2BD DC =，则AD AB ⋅= 43.解：如图，2114||||||||||cos 333AD AB AB AD DAB AB AB AB ⋅=∠=⨯== .15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，12n n n a a ++=，则9S =341.解:102468912345678912()()()()1222234114S a a a a a a a a a -=++++++++=++++==-.16.已知函数2()e x f x ax =-(a ∈R )有两个极值点12,x x ，且122x x >，则a 的取值范围为1(,)ln 2+∞.解:()e 2x f x ax '=- ，12,x x ∴是()f x '的两个零点，即是方程e 20x ax -=的两个不相等的实数根，12,0x x ≠ ，12,x x ∴是方程e 2x a x=的两个不相等的实数根.令e ()x g x x =，则2(1)e ()x x g x x-'=.当0x <或01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，()g x ∴在(,0)-∞和(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且当0x <时，()0g x <；当0x >时，()0g x >.2(1)e a g ∴>=，且12,0x x >.令12x t x =，由122x x >，得2t >，又1212e e x x x x =,即2222e e tx x tx x =，22e e tx x t ∴=，可得2ln 1t x t =-.令ln ()(2)1t h t t t =>-，211ln ()(1)tt h t t --'∴=-，令1()1ln t t t =--ϕ，22111()0t t t t t -'∴=-=<ϕ，()t ∴ϕ在(2,)+∞上单调递减，()(2)0t ∴<<ϕϕ，()0h t '∴<，即()h t 在(2,)+∞上单调递减，()(2)ln 2h t h ∴<=，2ln 2x ∴<，又22e 2x a x = ，且e ()xg x x =在(0,1)上单调递减，22ln 2a ∴>，即1ln 2a >，a ∴的取值范围为1(,)ln 2+∞.三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）如图，圆内接四边形ABCD 中，已知2AB =，BC =2CDB ADB ∠=∠.(1)求ABC ∠；(2)求四边形ABCD 面积的最大值.解:(1)设四边形ABCD 外接圆的半径为R ，ADB ∠=θ，则2CDB ∠=θ，且03π<<θ，π03∴<<θ.如图，在ABD △和BCD △中，由正弦定理得2sin sin 2AB BCR ==θθ………1分即2sin sin 2=θθ………2分sin 2∴=θθ，2sin cos ∴=θθθ………3分sin 0≠ θ，2cos 2∴=θ………4分π(0,3∈ θ，π4∴=θ………5分BA CDD AB CD ABCOE3π34ADC ∠==θ，3ππππ44ABC ADC ∴∠=-∠=-=………6分(2)连接AC ，由(1)知π2CDB ∠=，π2BAC CDB ∴∠=∠=………7分又π4ABC ∠=，ABC ∴△为等腰直角三角形，12222ABC S ∴=⨯⨯=△………8分解法一：取BC 的中点O ，AC 的中点E ，连接OE ，则OE AB //,OE AC ∴⊥………9分当点D 在OE的延长线上时，1DE OD OE =-=-………10分此时ADC △面积最大，最大值为121)12⨯⨯-=………11分∴四边形ABCD面积的最大值为21)1+-=………12分解法二:在ADC △中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠，即223π42cos 4AD CD AD CD =+-⋅，即224AD CD CD =++⋅ (9)分42AD CD CD ∴≥⋅⋅，即4AD CD ⋅≤-AD CD =时取等号 (10)分13π2sin 1244ADC S AD CD ∴=⋅≤-=△………11分∴四边形ABCD面积的最大值为21)1+-=………12分18.(本小题满分12分)直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，D 为1CC的中点，1BB =.(1)求证：平面1AB C ⊥平面ABD ；(2)若AB BD =，求二面角1B AD B --的余弦值.解:(1)111ABC A B C - 为直三棱柱，1AB BB ∴⊥，又AB BC ⊥，1BC BB B =，AB ∴⊥平面11BB C C ………1分1B C ⊂平面11BB C C ，1B C AB∴⊥①………2分设BC t =，则1BB =，1tan BB C ∠=112CD CC ==tan CD CBD BC ∠==，1BB C CBD ∴∠=∠………3分1190BB C B CB ∠+∠=︒，190CBD B CB ∴∠+∠=︒，故1B C BD⊥②………4分由①②，且AB BD B = ，知1B C ⊥平面ABD ………5分又1B C ⊂平面1AB C ，∴平面1AB C ⊥平面ABD ………6分(2)不妨设1BC =，则AB BD ===，如图所示，建立空间直角坐标系B xyz -，则(1,0,0)C，A，D，1B ………7分由（1）知1B C ⊥平面ABD，且1(1,0,B C =，则(1,0,=m 为平面ABD 的一个法向量………8分A1A C 1CB 1BD xyzA1A C 1CB 1BD设(,,)x y z =n 为平面1ADB的法向量，(1,2AD =，1(0,AB = ，则10000x y AD AB y ⎧=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩+=⎪⎩n n ，令2y =，得x =，z =∴=n (10)分cos ,||||⋅===m n m n m n <>………11分由图可知二面角1B AD B --为锐二面角，故其余弦值为17………12分19.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1x y E a b +=(0a b >>)的离心率为2，且三点(1,2)，(2,1)，(1,2)--中恰有一点在E 上，记为点P ．(1)求椭圆E 的方程；(2)设,A B 是E 上异于点P 的两点，直线,PA PB 分别交x 轴于,M N 两点，且PMN PNM ∠=∠,求直线AB 的斜率.解:(1)由椭圆E 的离心率为32，得12b a ====，2a b ∴=………1分由E 的对称性，知(2,1)P 在E 上………2分22411a b∴+=………3分解得a =b =，故椭圆E 的方程为22182x y +=………4分(2)由已知可得直线PA 斜率存在且不为0，设直线PA 的方程为(2)1y k x =-+(0k ≠)………5分联立方程组22(2)1182y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得2222(14)(168)161640k x k k x k k +--+--=………6分由2222(168)4(14)(16164)0k k k k k ∆=--+-->，得12k ≠-………7分且2216164214A k k x k --=+，即2288214A k k x k --=+………8分代入(2)1y k x =-+得，2244114A k k y k --+=+，2222882441(,)1414k k k k A k k ----+∴++………9分PMN PNM ∠=∠ ，∴直线PB 的斜率为k -………10分用k -代替点A 坐标中的k 得到点B 的坐标为2222882441(,)1414k k k k B k k +--++++………11分222222224414418114148828821621414ABk k k k k k k k k k k k k k k -++--+-++∴===+----++，∴直线AB 的斜率为12………12分20.(本小题满分12分)人勤春来早，实干正当时.某工厂春节后复工复产，为满足市场需求加紧生产，但由于生产设备超负荷运转导致某批产品次品率偏高.已知这批产品的质量指标2(80,)X N σ，当(60,100)X ∈时产品为正品，其余为次品.生产该产品的成本为20元/件，售价为40元/件.若售出次品，则不更换，需按原售价退款并补偿客户10元/件.(1)若某客户买到的10件产品中恰有两件次品，现从中任取三件，求被选中的正品数量ξ的分布列和数学期望；(2)已知(60)0.02P X ≤=，工厂欲聘请一名临时质检员检测这批产品，质检员工资是按件计费，每件x 元.产品检测后，检测为次品便立即销毁，检测为正品方能销售.假设该工厂生产的这批产品都能销售完，工厂对这批产品有两种检测方案，方案一：全部检测；方案二：抽样检测.若要使工厂两种检测方案的盈利均高于不检测时的盈利，求x 的取值范围，并从工厂盈利的角度选择恰当的方案.解:(1)由题意可知1,2,3ξ=，212831081(1)12015C C P C ξ⋅====………1分1228310567(2)12015C C P C ξ⋅====………2分0328310567(3)12015C C P C ⋅====ξ………3分∴ξ的分布列如下：………4分17712()1231515155E ∴=⨯+⨯+⨯=ξ………5分ξ123P115715715(2)2(80,)X N σ且(60)0.02P X ≤=，(100)0.02P X ∴≥=.∴这批产品的次品率为0.04p =………6分设该工厂生产的这批产品有n 件，记Y 为这批产品的次品数量，则(,0.04)Y B n ，()0.04E Y n =………7分若这批产品不检测，则该工厂的利润的期望为1(4020)0.045018y n n n =⨯--⨯=………8分若选择方案一，则该工厂的利润的期望为20.96(4020)0.042018.4y n nx n n nx =⨯---⨯=-………9分令21y y >，解得00.4x <<………10分若选择方案二，假设抽样检测()m m n <件，则检测出的次品的期望为0.04m 件，不检测的产品有(n m -)件，则该工厂的利润的期望为318.418()(0.4)18y m mx n m x m n =-+-=-+.令31y y >，解得00.4x <<………11分则32()(0.4)y y n m x -=--，00.4x << ，且m n <，32y y ∴<.(0,0.4)x ∴∈，并从工厂盈利的角度应选择方案一…………12分21.(本小题满分12分)已知函数2e ()1xf x ax =-(a ∈R ).(1)讨论()f x 的单调性；(2)当2a =-时，若0x ≥，()ln(12)1f x x mx ≤+--，求实数m 的取值范围.解:(1)22e [2(2)]()(1)x ax a f x ax -+'=-………1分当0a =时，2()e xf x =-，易知()f x 在R 上单调递减………2分当0a >时，令()0f x '>，可得112x a >+；令()0f x '<，可得112x a <+且1x a≠，()f x ∴在1(,)a -∞和111(,2a a +上单调递减，在11(,)2a ++∞上单调递增………3分当0a <时，令()0f x '>，可得112x a <+且1x a ≠；令()0f x '<，可得112x a >+，()f x ∴在1(,)a -∞和111(,2a a +上单调增，在11(,)2a ++∞上单调递减………4分(2)当2a =-时，由()ln(12)1f x x mx ≤+--，得2e ln(12)121xx mx x -≤+--+，即2e ln(12)1021x x mx x ++--≥+………5分令2e ()ln(12)121xg x x mx x =++--+(0x ≥)，则224e 2()(21)12x x g x m x x '=+-++，()0g x ≥ ，且(0)0g =，∴存在00x >，使得当0[0,)x x ∈时，()0g x '≥………6分(0)20g m '∴=-≥，即2m ≤………7分下面证明当2m ≤时，()0g x ≥………8分2e ()ln(12)2121x g x x x x ≥++--+ ，且22ln(12)e e 21xx x x -+=+，2ln(12)()e ln(12)21x x g x x x -+∴≥++--………9分设()e 1xF x x =--，()e 1xF x '∴=-，可知()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，()(0)0F x F ∴≥=，e 1x x ∴≥+，2ln(12)e 2ln(12)1x x x x -+∴≥-++………10分2ln(12)()e ln(12)212ln(12)1ln(12)210x x g x x x x x x x -+∴≥++--≥-++++--=………11分综上，实数m 的取值范围为(,2]-∞………12分请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为222x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数).以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πsin())4ραθα-=-，其中α为倾斜角,且ππ(,43α∈.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设l 与曲线C 相交于,P Q 两点，直线,OP OQ 的斜率为12,k k ，求12k k +的取值范围.解:(1)曲线C 的普通方程为22y x =………2分由πsin())4ραθα-=-，得sin cos cos sin sin cos ραθραθαα-=-，即sin cos sin cos x αy ααα-=-，即(1)1y k x =-+(k ∈)………4分(2)设211(2,2)P t t ，222(2,2)Q t t ，将222x t y t⎧=⎨=⎩代入直线l 方程中，得22210kt t k -+-=………5分则121t t k +=，1212k t t k-=………7分1212122212121222112221t t t t k k t t t t t t k+∴+=+=+==-………8分k ∈ ，12(,1)k k ∴+∈-∞-………10分23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲y P O xQ设,,a b c 均为正数，已知函数()f x x a x b c =-+++的最小值为4.(1)求222a b c ++的最小值；(2)证明:2222228a b b c c a c a b+++++≥.解:(1)()()()f x x a x b c x a x b c a b c a b c =-+++≥--++=++=++ ………1分min ()4f x = ，4a b c ∴++=………2分222a b ab +≥ ，222a c ac +≥，222b c bc +≥，2222()222a b c ab bc ac ∴++≥++………3分22223()()16a b c a b c ∴++≥++=………4分即222163a b c ++≥，当且仅当a b c ==时取等号，故222a b c ++的最小值为163………5分(2)222a b ab c c +≥ ，222b c bc a a +≥，222c a ac b b +≥………6分222222222a b b c c a ab bc acc a b c a b+++∴++≥++………7分又()22ab bc a c b b c a c a +=+≥=，同理2ab ac a c b +≥，2bc ac c a b +≥………8分2222()8ab bc aca b c c a b∴++≥++=，当且仅当c b a ==时等号成立………9分即2222228a b b c c a c a b +++++≥………10分九江市2023年第三次高考模拟统一考试数学试题（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1{|}2M x x =>，{|N x y ==，则()M N = R ð（）A.1{|0}2x x ≤≤ B.1{|0}2x x << C.1{|}2x x ≤ D.{|0}x x ≤2.已知复数z 满足(2i)4i z z ⋅+=-，则z =（）A.1C.2D.3.已知0.22a =，0.2log 0.5b =，2log 0.2c =，则（）A.b a c>> B.b c a>> C.a b c >> D.a c b>>4.为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织社会实践小组对某块稻田的稻穗进行调研，小组随机抽取了20株稻穗，并统计了每株稻穗的粒数，整理得到如右茎叶图，则每穗粒数的中位数和平均数分别是()A.174，175B.175，175C.175，174D.174，174158163361711233445688818378199A.115-B.1315-C.41415-D.214156.执行如图所示的算法框图，则输出的C 的值为（）A.0B.1C.2D.35.已知π0π2<<<<αβ，且2sin 3α=，7cos 5β=-，则cos()αβ-=（）7.若数列{}n a 满足211n n n na a q a a +++-=-(q 为常数，且1q ≠)，则称{}n a 为差等比数列，其中q 为公差比.已知差等比数列{}n a 中，12a =，26a =，且公差比为2，则10a =（）A.1024B.1022C.2048D.20468.已知椭圆22:184x y C +=的左右焦点分别为12,F F ，,A B 为平面内异于12,F F 的两点.若AB 的中点P 在C 上，且12AC AF = ，22AD AF =，则||||BC BD +=（）A.4B. C.8D.9.已知函数()sin()f x A x =+ωϕ(0,0,||A >><πωϕ如图所示.若()()()g x f x f x =+-，则()g x 的最大值为()A.2C.4D.10.已知定义在R 上的函数()f x 在[0,1]上单调递增，(1)f x +1对称，则()f x （C ）A．在[20202022]，上单调递减B．在[20212023]，上单调递增C．在[20222024]，上单调递减D．在[20232025]，上单调递增11.榫卯是一种中国传统建筑、家具的主要结构方式，它凝聚了中华文明的智慧.它利用材料本身特点自然连接，既符合力学原理，又重视实用和美观，达到了实用性和功能性的完美统一.右图是榫卯结构中的一种，当其合并在一起后，可形成一个正四棱柱.将合并后的榫卯对应拿开(如图1所示)，已知榫的俯视图如图2所示，则卯的主视图为（）12.从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另外一个焦点.如图所示，已知双曲线22221x y a b-=(,0a b >)的左右焦点分别为12,F F ，从右焦点2F 发出的两条方向相反的光线经双曲线上两点,A B 反射后，其中反射光线BC 垂直于AB ，反射光线AD 满足3sin 5BAD ∠=，则该双曲线的离心率为（）A. B.2DA CB 图2图1榫卯yx ABO F 1F 2CD第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.Rt ABC △中，90A =︒，2AB =，D 为BC 的中点，则AD AB ⋅=.14.ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin ()sin sin a A c b C b B =-+，6bc =，则BACDC. D.52ABC △的面积为.15.已知函数2()e x f x ax =-(a ∈R )有两个极值点12,x x ，且122x x =，则a =.16.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,P Q 为四边形11ABC D 内的点(包括边界)，且点P 到AB 的距离等于到平面1111A B C D 的距离,点Q 到11C D 的距离等于到平面ABCD 的距离，则||PQ 的最小值为.AB CP1B 1A 1D 1C QD 三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112a =，10n n n a S S -+=(2n ≥).(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列2{(21)}n n a +的前n 项和.18.(本小题满分12分）直三棱柱111ABC AB C -中，AB BC ⊥，D 为1CC 的中点，1BB =.(1)求证：平面1AB C ⊥平面ABD ；(2)若AB BD =1B ABD -的体积.A1A C 1CB 1BD19.(本小题满分12分）2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年14 月份接到的订单数量.(1)试根据样本相关系数r 的值判断订单数量y 与月份t 的线性相关性强弱（0.751r ≤≤，则认为y 与t 的线性相关性较强，0.75r <，则认为y 与t 的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）(2)建立y 关于t 的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.月份t1234订单数量y （万件）5.2 5.3 5.7 5.820.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2E y px=(0p >)的焦点为F ，,A B 为E 上两点，且点A 的，F 恰好是AOB △的重心.(1)求E 的方程；(2)若(1,2)N ，,P Q 为抛物线上相异的两个动点，且NP NQ ⊥，求||||PF QF +的最小值.21.(本小题满分12分）已知函数e ()1xf x ax =-(0a <)在1x =处的切线斜率为e 4-.(1)求a 的值；(2)若1x ≥，(1)ln (1)1f x x m x -≤---，求实数m 的取值范围.请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为222x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数).以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin())4ραθα-=-，其中α为倾斜角,且ππ(,)43α∈.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设l 与曲线C 相交于,P Q 两点，直线,OP OQ 的斜率为12,k k ，求12k k +的取值范围.23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设,,a b c 均为正数，已知函数()f x x a x b c =-+++的最小值为4.(1)求222a b c ++的最小值；(2)证明:2222228a b b c c a c a b+++++≥.九江市2023年第三次高考模拟统一考试数学试题（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1{|}2M x x =>，{|N x y ==，则()M N = R ð（A ）A.1{|0}2x x ≤≤ B.1{|0}2x x << C.1{|}2x x ≤ D.{|0}x x ≤解：1{|}2M x x =≤ R ð，{|02}N x x =≤≤，1(){|0}2M N x x ∴=≤≤ R ð，故选A.2.已知复数z 满足(2i)4i z z ⋅+=-，则z =（B ）A.1C.2D.解:设i z a b =+(,a b ∈R )，则(i)(2i)i 4i a b a b ++=--，即(2)(2)i (4)i a b a b a b -++=-+，224a b aa b b -=⎧∴⎨+=--⎩，解得1a b ==-，1i z ∴=--，z = B.3.已知0.22a =，0.2log 0.5b =，2log 0.2c =，则（C ）A.b a c>> B.b c a>> C.a b c>> D.a c b>>解：0.20221a =>= ，0.20.20.20log 1log 0.5log 0.21b =<=<=，22log 0.2log 10c =<=，a b c ∴>>.故选C.4.为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织社会实践小组对某块稻田的稻穗进行调研，小组随机抽取了20株稻穗，并统计了每株稻穗的粒数，整理得到如右茎叶图，则每穗粒数的中位数和平均数分别是(A)A.174，175B.175，175C.175，174D.174，174解：中位数为174，平均数为11741611118332110012444913142517520+---------+++++++++++=（），故选A.158163361711233445688818378199A.115- B.1315-C.15-D.15解:π0π2<<<<αβ，sin3α=，cos5β=-，7cos3∴==α，32sin5β==，772321cos()cos cos sin sin()353515∴-=+=⨯-+⨯-αβαβαβ，故选A.6.执行如图所示的算法框图，则输出的C的值为（C）A.0B.1C.2D.3解:由题意，输入1,2,3A B i===，执行程序框图，3,2,3,450C A B i====≤，执行循环体；1,3,1,550C A B i====≤，执行循环体；2,1,2,650C A B i====≤，执行循环体；3,2,3,750C A B i====≤，执行循环体；所以C是以3为周期的周期数列，当50i=时，执行循环体，2C=，1,2,5150A B i===>，结束循环体，所以输出的C的值为2.故选C.7.若数列{}n a满足211n nn na a qa a+++-=-(q为常数，且1q≠)，则称{}na为差等比数列，其中q为公差比.已知差等比数列{}n a中，12a=，26a=，且公差比为2，则10a=（D）A.1024B.1022C.2048D.2046解：12a=，26a=，2140a a∴-=≠，2112n nn na aa a+++-=-，∴数列1{}n na a+-是以4为首项，2为公比的等比数列，111422n nn na a-++∴-=⨯=，12112211()()()2222n nn n n n na a a a a a a a----∴=-+-++-+=++++12(12)2212nn+-==--，111022204822046a ∴=-=-=，故选D.8.已知椭圆22:184x y C +=的左右焦点分别为12,F F ，,A B 为平面内异于12,F F 的两点.若AB 的中点P 在C 上，且12AC AF = ，22AD AF =，则||||BC BD +=（D ）A.4B. C.8D.解：如图所示，连接1PF ，2PF ，12AC AF = ，22AD AF =，12,F F ∴分别为线段,AC AD 的中点，P 为AB 的中点，12,PF PF ∴分别是ABC △和ABD △的中位线，1||2||BC PF ∴=2||2||BD PF =，P 在C 上，12||||2PF PF a ∴+==，|∴9.已知函数()sin()f x A x =+ωϕ(0,0,||A >><πωϕ如图所示.若()()()g x f x f x =+-，则()g x 的最大值为(D )A.2C.4D.解：由图可知2A =，2πππ2362T =-=，πT =，则2ππω==()2sin(2)f x x ϕ∴=+，又ππ()2sin()063f ϕ=+=，且在(0,6π单调递减，π2,3k k ϕπ∴+=+π∈Z ，2,3k k 2π∴=+π∈ϕZ ，又||ϕ<π，3ϕ2π∴=，2π()2sin(2)3f x x ∴=+，2π2π()()()2sin(22sin(2)233g x f x f x x x x ∴=+-=++-+=.故()g x 的最大值为.故选D.10.已知定义在R 上的函数()f x 在[0,1]上单调递增，(1)f x +是奇函数，(1)f x -的图像关于直线1x =对称，则()f x （C ）A．在[20202022]，上单调递减B．在[20212023]，上单调递增C．在[20222024]，上单调递减D．在[20232025]，上单调递增解：(1)f x + 是奇函数，(1)(1)f x f x ∴+=--+，即()f x 的图像关于点(1,0)对称，又()f x 在[0,1]上单调递增，()f x ∴在[1,2]上单调递增，即()f x 在[0,2]上单调递增.由(1)(1)f x f x +=--+可得(2)()f x f x -=-，由(1)f x -图像关于直线1x =对称可知()f x 为偶函数，(2)(2)()f x f x f x ∴-=-=-，(4)()f x f x ∴+=，()f x ∴是周期函数，最小正周期为4，()f x ∴在[20222024]，上单调递减，故选C.11.榫卯是一种中国传统建筑、家具的主要结构方式，它凝聚了中华文明的智慧.它利用材料本身特点自然连接，既符合力学原理，又重视实用和美观，达到了实用性和功能性的完美统一.右图是榫卯结构中的一种，当其合并在一起后，可形成一个正四棱柱.将合并后的榫卯对应拿开(如图1所示)，已知榫的俯视图如图2所示，则卯的主视图为（C ）12.从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另外一个焦点.如图所示，已知双曲线22221x y a b-=(,0a b >)的左右焦点分别为12,F F ，从右焦点2F 发出的两条方向相反的光线经双曲线上两点,A B 反射后，其中反射光线BC 垂直于AB，反射光线AD 满足3sin 5BAD ∠=，则该双曲线的离心率为（B ）B.2D.52解：如图，连接11,AF BF ，由双曲线的光学性质可知，1π2ABF ∠=，13sin 5F AB ∠=.设1||3BF t =，则1||5AF t =，||4AB t =，由双曲线定义可知21||||252AF AF a t a =-=-，21||||232BF BF a t a =-=-，844t a t ∴-=，t a ∴=，1||3BF a ∴=，2||BF a =，1π2ABF ∠=，122||c F F ∴==，102c e a ∴==，故选B.第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.Rt ABC △中，90A =︒，2AB =，D 为BC 的中点，则AD AB ⋅= 2.解：如图，211||||||||||cos 222AD AB AB AD DAB AB AB AB ⋅=∠=⨯==.14.ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin ()sin sin a A c b C b B =-+，6bc =，则BA CDDA CB 图2图1榫卯yx ABO F 1F 2CDyAx O F 1F 2DBC。
卜人入州八九几市潮王学校局部2021届高三数学5月阶段性检测〔三模〕试题理〔含解析〕第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1.集合{}{}22|1,|log 0A x xB x x =<=<，那么A B =〔〕A.(),1-∞ B.()0,1C.()1,0-D.()1,1-【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A,B ，再求A B 得解.【详解】由题得{|11},{|01},A x x B x x =-<<=<<所以(0,1)A B ⋂=.应选：B【点睛】此题主要考察集合的化简和交集运算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 2.在复平面内，复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，那么zi=〔〕 A.1i + B.1i -+C.1i --D.1i -【答案】C 【解析】 【分析】 先求出复数z,再求z i得解.【详解】由题得z=1-i, 所以1111z i i i i i -+===---. 应选：C【点睛】此题主要考察复数的几何意义和复数除法的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.3.等差数列{}n a 的前n 项和为45,4,15n S a S ==，那么数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前2021项和为〔〕A.20182019B.20182020C.20192020D.20172019【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由44a =，515S =，可得134a d +=，1545152a d ⨯+=，联立解得1a ，d ，可得n a ．利用裂项求和方法即可得出． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，44a =，515S =，134a d ∴+=，1545152a d ⨯+=， 联立解得：11a d ==，11n a n n ∴=+-=． ∴11111(1)1n n a a n n n n +==-++． 那么数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2021项和1111112019112232019202020202020=-+-+⋯⋯+-=-=． 应选：C ．【点睛】此题主要考察等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考察学生的转化才能和计算求解才能，属于中档题．4.函数()cos()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象如下列图，令()()'()g x f x f x =+，那么以下关于函数()g x 的说法中正确的选项是〔〕A.假设函数()()2h x g x =+的两个不同零点分别为12,x x，那么12x x -的最小值为2πB.函数()g x 的最大值为2C.函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线31y x =-+平行D.函数()gx 图象的对称轴方程为5(Z)12x k k ππ=+∈ 【答案】A 【解析】 【分析】 由图象结合最值可求A ，结合周期可求ω，然后代入()26f π=，及1||2ϕπ<，可求ϕ，从而可求()f x ，进而可求()g x ，结合正弦函数，余弦函数的性质分别进展判断. 【详解】由图象可知，2A =，214362T πππ=-=， 2T π∴=，1ω=，()2cos()f x x ϕ∴=+，()2cos()266f ππϕ=+=，且1||2ϕπ<， 6πϕ∴=-，()2cos()6f x x π=-，()()()2cos()2sin())6612g x f x f x x x x πππ=+=---=+'，A ：由()()20h x g x =+=可得cos()12x π+=，那么12||x x -的最小值为53442πππ-=，故A 正确；B ：结合余弦函数的性质可知，()f x 的最大值，故B 错误；C ：根据导数的几何意义可知，过点P 的切线斜率())[12k f x x π='=-+∈-，不存在斜率为3-的切线方程，故C 错误；D ：令12x k ππ+=可得，12x k ππ=-，k z ∈，故D 错误．应选：A ．【点睛】此题主要考察了由sin()y A x ωϕ=+的局部图象求函数解析式及正弦与余弦函数性质的综合应用，属于中档试题．5.调查机构对全国互联网行业进展调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，那么以下结论中不一定正确的选项是〔〕 A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多 【答案】D 【解析】 【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到： 互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多． 【详解】在A 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，故A 正确；在B 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图 得到：互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，故B 正确；在C 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图 得到：互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故C 正确；在D 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图 得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故D 错误． 应选：D ． 【点睛】 根底题．6.某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的外表积为〔〕 A.34π+B.942π+ C.42π+D.1142π+ 【答案】B 【解析】 【分析】由中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱，累加各个面的面积， 可得答案．【详解】由中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱， 其底面半径为1，高为2， 故其外表积：2339212122214442S πππ=⨯⨯+⨯+⨯⨯=+， 应选：B ．【点睛】此题考察的知识点是圆柱的体积和外表积，简单几何体的三视图，难度不大，属于根底题．7.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，直线x a =与双曲线的一条渐近线的交点为B ．假设30BFA ∠=︒，那么双曲线的离心率为〔〕C.2D.3【答案】C【解析】 【分析】先求解B的坐标，再由||tan ||3AB BFA FA ∠==求解离心率即可. 【详解】由题意可得A 〔a ，0〕，双曲线的渐近线方程为：ay ±bx ＝0，不妨设B 点为直线x ＝a 与by x a=的交点，那么B 点的坐标〔a ，b 〕， 因为AB ⊥FA ，∠BFA ＝30°，所以||tan ||AB b BFA FA a c ∠====+e ＝2． 应选：C ．【点睛】此题考察双曲线的简单性质的应用，是根本知识的考察．8.实数x ，y 满足线性约束条件1020x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩，那么1y x +的取值范围是〔〕A.(2-，1]-B.(1-，4]C.[2-，4)D.[0，4]【答案】B 【解析】 【分析】根据条件画出如图可行域，得到如下列图的阴影局部．设(0,1)P -，可得1y k x+=表示直线P 与可行域内的点连线的斜率，得到OB 斜率的最小、PC 斜率最大，即可得到1y x+的取值范围． 【详解】作出实数x ，y 满足线性约束条件1020x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩表示的平面区域得到如下列图的ABC ∆及其内部的区域，其中(1,1)A -，(1,1)B -，(1,3)C 设(,)Q x y 为区域内的动点，可得1y k x+=表示直线P 、Q 连线的斜率，其中(0,1)P - 运动点Q ，可得当Q 与C 点重合时，4PQ k =最大值， 当直线OB 的斜率为1-； 综上所述，1y k x+=的取值范围为(1-，4]． 应选：B ．【点睛】此题给出二元一次不等式组，求1y x+的取值范围．着重考察了直线的斜率公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．9.||()2x f x x =，3(log a f =，31(log )2b f =，(3)c f ln =，那么a ，b ，c 的大小关系为〔〕A.c b a >>B.b c a >>C.a b c>>D.c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】由函数的解析式确定函数的单调性和函数的奇偶性，然后结合函数的性质比较,,a b c 的大小即可. 【详解】由函数的解析式可知函数为奇函数， 当0x ≥时，()2x f x x =⋅，此时函数为增函数，结合奇函数的性质可知函数()f x 是定义在R 上的单调递增函数，由于331ln 31log 0log 2>>>>,故()(3132f ln f log f log ⎛⎫>> ⎪⎝⎭.即c a b >>. 应选：D .【点睛】此题主要考察函数的单调性，函数的奇偶性，实数比较大小的方法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能. 10.数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，数列{}n b 是等差数列，且56a b =，那么〔〕A.3748a a b b +≤+B.3748a a b b +≥+C.3748a a b b +≠+D.3748a a b b +=+【答案】B 【解析】分析：先根据等比数列、等差数列的通项公式表示出5a 、6b ，然后表示出37a a +和48b b +，然后二者作差比较即可． 详解：∵a n =a 1q n ﹣1，b n =b 1+〔n ﹣1〕d ，∵56a b =，∴a 1q 4=b 1+5d ，37a a +=a 1q 2+a 1q 648b b +=2〔b 1+5d 〕=2b 6=2a 537a a +﹣2a 5=a 1q 2+a 1q 6﹣2a 1q 4=a 1q 2〔q 2﹣1〕2≥0所以37a a +≥48b b +应选：B ．点睛：此题主要考察了等比数列的性质．比较两数大小一般采取做差的方法．属于根底题．11.如图，等腰梯形ABCD 中，24,ABDC AD BC E ====是DC 的中点，P 是线段BC上的动点，那么EP BP ⋅的最小值是〔〕 A.95-B.0C.45-D.1【答案】A 【解析】 【分析】计算cos B ，设BP x =，把EP EC CP =+代入得出关于x 的函数，根据x 的范围得出最小值．【详解】由等腰梯形的知识可知cos B =，设BP x =，那么CP x =，∴2·()?··1?·()?·(1)55EP BP EC CP BP EC BP CP BP x x x x x =+=+=-+-=-，05x ，∴当x =时，·EP BP 获得最小值95-． 应选：A ．【点睛】此题考察了平面向量的数量积运算，属于中档题． 12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，那么以下说法错误的选项是．．．．．．〔〕 A.当点F 挪动至1BC 中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角最大且为60 B.无论点F 在1BC 上怎么挪动，都有11A F B D ⊥C.当点F 挪动至1BC 中点时，才有1A F 与1B D 相交于一点，记为点E ，且12A EEF= D.无论点F 在1BC 上怎么挪动，异面直线1A F 与CD 所成角都不可能是30【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】对于A ，当点F 挪动到1BC 的中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角由小到大再到小，如图1所示；且F 为1B C的中点时最大角的余弦值为11132OF A F ==<，最大角大于60︒，所以A 错误；对于B ，在正方形中，1DB ⊥面11A BC ，又1A F ⊂面11A BC ，所以11A F B D ⊥，因此B 正确；对于C ，F 为1BC 的中点时，也是1B C 的中点，它们一共面于平面11A B CD ，且必相交，设为E ，连1A D 和1B F ，如图2，根据△1A DE ∽△1FB E ，可得1112A E DA EF B F==，所以C 正确； 对于D ，当点F 从B 运动到1C 时，异面直线1A F 与CD 所成角由大到小再到大，且F 为1B C 的中点时最小角的正切值为2123=>，最小角大于30，所以D 正确；应选：A ．【点睛】此题考察了异面直线所成角的余弦值的求法，也考察了空间中线线、线面、面面间的位置关系等应用问题，考察了空间想象才能、运算求解才能，是中档题．第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．13.在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点横坐标为13-，那么cos2α的值是__． 【答案】79- 【解析】 【分析】先由三角函数的定义可得cos α的值，再利用倍角公式可得cos2α的值． 【详解】由三角函数的定义可得1cos 3α=-，27cos22cos 19αα=-=-．填79-． 【点睛】此题考察三角函数的定义及二倍角公式，是根底题．14.某将甲、乙等6名新招聘的老师分配到4个不同的年级，每个年级至少分配1名老师，且甲、乙两名老师必须分到同一个年级，那么不同的分法种数为______【答案】240【解析】【分析】根据人数进展分组分1，1，1，3或者1，1，2，2，结合甲乙一组，然后进展讨论即可．【详解】6名老师分配到4个不同的年级，每个年级至少分配1名老师，那么四个年级的人数为1，1，1，3或者1，1，2，2，因为甲、乙两名老师必须分到同一个年级，所以假设甲乙一组3个人，那么从剩余4人选1人和甲乙1组，有C14=4，然后全排列有4A44=96，假设人数为1，1，2，2，那么甲乙一组，剩余4人分3组，从剩余4人选2人一组有C24=6，然后全排列有6A44=144，一共有144+96＝240，故答案为：240．【点睛】此题主要考察排列组合的应用，结合条件进展分组，讨论人数关系是解决此题的关键．15.过点1(,1)2M的直线与圆22:(1)4C x y-+=交于A、B两点，C为圆心，当ACB∠最小时，直线的方程为___．【答案】【解析】当∠ACB最小时，弦长AB最短，此时CP⊥AB.由于C(1,0)，P(12，1)，∴k CP＝－2，∴k AB＝12，∴直线l方程为y－1＝12(x－12)，即2x－4y＋3＝0.16.函数24,0()(01log 1,0a x a x f x a x x ⎧+>⎪=>⎨+-≤⎪⎩且1)a ≠在R 上单调递增，且关于x 的方程()3f x x =+恰有两个不相等的实数解，那么a 的取值范围是___________．【答案】1313,4416⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭【解析】 【分析】由题意可知()f x 在两段上均为增函数，且()f x 在(0,)+∞上的最小值大于或者等于(0)f ，作出|()|f x 和3y x的图象，根据交点个数判断4a 与3的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组解出． 【详解】()f x 是R 上的单调递增函数，1log 1a y x ∴=+-在(-∞，0]上单调递增，可得01a <<， 且0410a ++，即114a <， 作出|()|y f x =和3y x 的函数草图如下列图：由图象可知()3f x x =+在(0,)+∞上有且只有一解，可得43a ，或者243x a x +=+，即有△14(43)0a =--=，即有1344a或者1316a =； 由1log 10ax +-=，解得13x =--，即0x 时，有且只有一解．那么a 的范围是1[4，313]416⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭． 故答案为：1[4，313]416⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭． 【点睛】此题考察分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22、23题为选考题，考生根据要求答题．17.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,满足cos cos cos cos C A B A B +=．〔1〕求cos B 的值；〔2〕假设2a c +=，求b 的取值范围【答案】〔1〕13；〔2〕2⎫⎪⎪⎣⎭. 【解析】 【分析】〔1〕利用三角函数恒等变换的应用化简等式可得sin sin cos A B A B =，结合sin 0A ≠，可求sin BB =，利用同角三角函数根本关系式可求cos B 的值．〔2〕由〔1〕可求1cos 3B =，又由2a c +=，利用余弦定理可得2284(1)33b a =-+，结合范围02a <<，利用二次函数的性质可求b 的范围．【详解】〔1〕因为cos cos cos cos C A B A B +=所以cos()cos cos cos A B A B A B -++=，即sinsin cos A B A B =因为sin 0A ≠，所以sin 0B B =>又因为22sin cos 1B B +=解得：1cos 3B =. 〔2〕∵2a c +=，可得2c a =-， 由余弦定理可得：2222222cos 3ba c ac B a c ac =+-=+-∵02a <<2b ≤<所以b 的取值范围为23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】此题主要考察了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考察了计算才能和转化思想，考察了函数思想的应用，属于中档题． 18.正方形的边长为4,,E F 分别为,AD BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如下列图的60的二面角，点M 在线段AB 上．〔1〕假设M 为AB 的中点，且直线MF ，由,,A D E 三点所确定平面的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线//OD 平面EMC ；〔2〕是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60；假设存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，假设不存在，说明理由．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕10,4±. 【解析】 【分析】〔1〕利用中位线不难得到O 的位置，连接DF 交CE 于N ，那么//DO MN ，证得线面平行； 〔2〕取AE 中点H ，以H 为原点建立空间坐标系，设AM t =，利用线面所成角去列方程，解得t 值，然后确定二面角M EC F --的两个面的法向量，利用公式求解即可．【详解】〔1〕因为直线MF ⊂平面ABFE ，故点O 在平面ABFE 内也在平面ADE 内，所以点O 在平面ABFE 与平面ADE 的交线上〔如下列图〕因为AOBF ，M 为AB 的中点，所以OAM MBF ∆≅∆，所以OMMF =，AO BF =，所以点O 在EA 的延长线上，且2AO =连结DF 交EC 于N ，因为四边形CDEF 为矩形，所以N 是EC 的中点 连结MN ，因为MN 为DOF ∆的中位线，所以MN OD ，又因为MN⊂平面EMC ，所以直线OD平面EMC .〔2〕由可得，EF AE ⊥，EF DE ⊥，所以EF ⊥平面ADE ，所以平面ABEF ⊥平面ODE ，取AE 的中点H 为坐标原点，建立如下列图的空间直角坐标系，所以(1,0,0)E -，D，(0,C ，(1,4,0)F -，所以ED=，(1,EC =，设(1,,0)(04)M t t≤≤，那么(2,,0)EM t =，设平面EMC 的法向量(,,)m x y z =，那么200040x ty m EM m EC x y ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩⎩， 取2y =-，那么x t =，z =，所以,m t ⎛=- ⎝， DE 与平面EMC 所成的角为60=，2=，所以2430t t -+=，解得1t =或者3t =，所以存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60，取ED 的中点Q ，那么QA 为平面CEF的法向量，因为1,0,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以3,0,2QA ⎛=⎝⎭，,m t ⎛=- ⎝， 设二面角M EC F --的大小为θ，所以|||cos |||||3QA m QA m θ⋅===⋅因为当2t =时，cos 0θ=，平面EMC ⊥平面CDEF ，所以当1t =时，θ为钝角，所以1cos 4θ=-. 当3t=时，θ为锐角，所以1cos 4θ=. 【点睛】此题考察了线面平行的证明，用空间向量解决线面所成角，二面角等，综合性较强，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能，难度适中．19.某治疗白血病有甲、乙两套方案，现就70名患者治疗后复发的情况进展了统计，得到其等高条形图如下列图〔其中采用甲、乙两种治疗方案的患者人数之比为5:2〕．〔1〕补充完好22⨯列联表中的数据，并判断是否有99%的把握认为甲、乙两套治疗方案对患者白血病复发有影响；〔2〕从复发的患者中抽取3人进展分析，求其中承受“乙方案〞治疗的人数X的数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++． 【答案】〔1〕没有；〔2〕311. 【解析】 【分析】〔1〕根据题意，补充完好列联表中的数据，计算观测值，对照数表得出结论；〔2〕)依题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【详解】〔1〕由于270(2018230) 5.966 6.63550202248k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为甲、乙两套治疗方案对患者白血病复发有影响； 〔2〕承受“乙方案〞治疗的人数{0,1,2}X ∈.32032257(0)77C P X C ===；2120232219(1)77C C P X C ===；122023221(2)77C C P X C ===； 57191301277777711EX =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】此题考察了列联表与HY 性检验的应用问题，也考察了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能,是中档题． 20.圆22:4O xy +=，抛物线2:2(0)C x py p =>．〔1〕假设抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点，求AF；〔2〕假设直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于,M N 两点，设()00,Mx y ，当[]03,4y ∈时，求MN 的最大值．【答案】〔1〕2；〔2〕5. 【解析】 【分析】〔1〕求出焦点(0,2)F ，得到抛物线方程，联立抛物线和圆，解得A 的纵坐标，再根据抛物线的定义可得；〔2〕利用导数的几何意义求出切线的方程，利用切线与圆相切，解得p ，再根据22||4MN OM =-求得解析式，根据导数得单调性求出最大值． 【详解】〔1〕由题意知(0,2)F ，所以4p =.所以抛物线C 的方程为28x y =.将28xy =与224x y +=联立得点A 的纵坐标为2)A y =，结合抛物线定义得||22A pAF y =+=. 〔2〕由22x py =得：22x y p=，x y p '=， 所以直线l 的斜率为0x p，故直线l 的方程为()000x y y x x p-=-. 即000x x py py --=.又由||2ON ==得02084y p y =-且2040y -> 所以2222200||||||4MN OM ON x y =-=+-令204t y =-，0[3,4]y ∈，那么[5,12]t ∈，令64()16f t t t =++，那么264()1f t t'=-； 当[5,8]t ∈时()0f t '≤，()f t 单调递减， 当(8,12]t ∈时()0f t '>，()f t 单调递增，又64169(5)16555f =++=，64100169(12)16121235f =++=<， 所以max 169()5f x =，即||MN的最大值为5. 【点睛】此题考察了抛物线的性质，考察直线和抛物线的位置关系和最值问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能,属中档题． 21.函数()()21ln ,2f x x xg x mx ==． 〔1〕假设函数()f x 与()g x 的图象上存在关于原点对称的点，务实数m 的取值范围；〔2〕设()()()Fx f x g x =-，()F x 在()0,∞+上存在两个极值点12,x x，且12x x <，求证：2122x x e >〔其中e 为自然对数的底数〕．【答案】〔1〕2m e≥-；〔2〕证明见解析. 【解析】 【分析】〔1〕函数21()2g x mx =关于原点对称的函数解析式为212y mx =-．函数()f x 与()g x 的图象上存在关于原点对称的点，等价于方程212xlnx mx -=-在(0,)+∞有解．即12lnx mx =，2lnxm x⇒=，令2()lnxg x x=，(0)x >，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．2121212222()2()22x x e ln ln x x ln x x ln >+>>-（）等价于，等价于()()()F x f x g x xlnx =-=-，212mx -,()1F x lnx mx '=---，(0)x >，再利用导数研究函数的单调性、极值，利用分析法即可得证.【详解】〔1〕函数()f x 与()g x 的图像上存在关于原点对称的点， 即21()()2g x m x --=--的图像与函数()ln f x x x =的图像有交点， 即21()ln 2m x x x --=在(0,)+∞上有解. 即1ln 2x m x=-在(0,)+∞上有解. 设ln ()x x x ϕ=-，〔0x >〕，那么2ln 1()x x x ϕ'-=当(0,)x e ∈时，()x ϕ为减函数；当(,)x e ∈+∞时，()x ϕ为增函数，所以min1()()x e e ϕϕ==-，即2m e≥-. 〔2〕21()()()ln 2F x f x g x x x mx =-=-，()ln 1F x x mx '=-+()F x 在(0,)+∞上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，所以1122ln 10ln 10x mx x mx -+=⎧⎨-+=⎩因为1212ln ln 2x x mx x ++=+且1212ln ln x x m x x -=-，所以12121212ln ln 2ln ln x x x x x x x x ++-=+-，即112212112112221lnln ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭++==-- 设12(0,1)x t x =∈，那么12(1)ln ln ln 21t t x x t +++=- 要证2122x x e >，即证12ln ln 22x x ++>，只需证(1)ln 21t t t +>-，即证2(1)ln 01t t t --<+设2(1)()ln 1t h t t t -=-+，22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t '-=-=>++，那么2(1)()ln 1t h t t t -=-+在(0,1)上单调递增，()(1)0h t h <=， 即2(1)()ln 01t h t t t -=-<+所以，12ln ln 2x x +>即2122x x e >.【点睛】此题考察了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分析法，考察了推理才能与计算才能，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分． 选修4―4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中,设倾斜角为α的直线l的参数方程为cos (2sin x t y t ααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数〕．在以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ．〔1〕假设6πα=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；〔2〕假设OP 为PA 与PB 的等比中项，其中()3,2P，求直线l 的斜率．【答案】〔1〕0x -+=,2244x y +=；〔2〕5.【解析】【分析】〔1〕根据直线方程的点斜式可得直线l 的普通方程，根据互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；〔2〕根据参数t 的几何意义以及等比中项列式可解得．【详解】〔1〕因为6πα=，所以直线l的参数方程为122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕. 消t 可得直线l的普通方程为0x +=.因为曲线C的极坐标方程ρ=()2213cos 4ρθ+=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2244xy +=. 〔2〕设直线l 上两点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，将cos 2sin x t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩代入曲线C 的直角坐标方程2244x y +=可得22cos )(2sin )4t t αα++=，化简得()2224cos sin 4sin )120t t αααα++++=， 因为122212||||4cos sin PA PB t t αα⋅==+，2||7OP =， 所以221274cos sin αα=+，解得216tan 5α=.因为()2224sin )484cos sin 0αααα∆=+-+>即2sin sin )0ααα->，可知tan 0α>，解得tan α= 所以直线l的斜率为5. 【点睛】此题考察了参数方程化成普通方程，考察了直线参数方程t 的几何意义和三角函数化简求值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能，属中档题．选修4―5：不等式选讲23.函数1()||2af x x a =--，a R ∈． 〔1〕假设将函数()f x 图象向左平移m 个单位后，得到函数()g x ，要使()()1g x f x -恒成立，务实数m 的最大值；〔2〕当12a >时，函数()()|21|h x f x x =+-存在零点，务实数a 的取值范围． 【答案】〔1〕1；〔2〕112a <≤. 【解析】【分析】〔1〕由题得：||||1x a m x a ----恒成立，即||||1x a m x a -----，又|||||||()()|||x a m x a x a m x a m --------=，所以||||m x a m x a m -----，即1m --，即1m ，〔2〕由函数零点存在性定理得：()0min h x ，再求得11()22min a h x a =--，再利用函数的图像和性质分析得解.【详解】〔1〕由函数()f x 向左平移m 个单位可知， 函数1()||2a g x x m a =+--， 要使()()1g x f x ≥-恒成立，那么()()1f x g x -≤，即||||1x a x m a --+-≤恒成立， 因为|||||()|||x a x m a x a x m a m --+-≤-+--+=，所以只需||1m ≤，即实数m 的最大值为1.〔2〕当12a >时， 函数1()|||21|2a h x x a x =-+--=1131,22111,22131,2a a a x a x x a x a x a x a ⎧-+-+<⎪⎪⎪+--≤≤⎨⎪⎪--->⎪⎩假设函数()h x 存在零点，那么满足函数min 111()0222a h x h a ⎛⎫==--≤ ⎪⎝⎭， 即121122a a a ⎧>⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩， 因为函数1()2f x x =-与函数1()2x f x =的图像有且只有一个交点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以实数a 的取值范围为112a <≤. 【点睛】此题考察了绝对值三角不等式及函数零点存在性定理，考察函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能，属中档题．。
高三数学5月三模试题（含解析）一、填空题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合{1,2,3}A =，{|1}B x x =>，则A B =I ______ 【答案】{2,3} 【解析】 【分析】根据交集的定义直接得到结果.【详解】由交集定义可得：{}2,3A B ⋂= 本题正确结果：{}2,3【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2.若2log 1042x -=-，则x =______【答案】4 【解析】由行列式的定义可得：()()222log 140,log 2,4x x x --⨯-=∴==.3.已知复数z 满足(2)5z i -=（i 为虚数单位），则z 的模为______【解析】 【分析】根据复数模长运算性质可直接求得结果.【详解】52z i=-Q52z i ∴===-【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.4.函数()3sin cos f x x x =+的单调递增区间为______ 【答案】22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 【解析】 【分析】利用辅助角公式可整理出()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令22262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解出x 的范围即为所求区间.【详解】()3sin cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令22262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得：22233k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ()f x ∴的单调递增区间为：22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 本题正确结果：22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，关键是采用整体对应的方式来进行求解.5.若一个球的体积是36π，则它的表面积是______ 【答案】【解析】 设铁球的半径为,则，解得；则该铁球的表面积为.考点：球的表面积与体积公式.6.某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为______ 【答案】17 【解析】试题分析：高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人 考点：分层抽样7.一名工人维护3台独立的游戏机，一天内这3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.6，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为______（结果用小数表示） 【答案】0.568 【解析】 【分析】记“至少有一台游戏机不需要维护”为事件A ，首先求解出()P A ，利用对立事件概率公式可求得结果.【详解】记“至少有一台游戏机不需要维护”为事件A则()0.90.80.60.432P A =⨯⨯= ()()10.568P A P A ∴=-= 本题正确结果：0.568【点睛】本题考查对立事件概率的求解，属于基础题.8.已知不等式组22020x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩表示的平面区域为Ω，点M 坐标为(),x y ，对任意点M ∈Ω，则x y -的最大值为______ 【答案】6 【解析】 【分析】由约束条件画出平面区域Ω，可知z 取最大值时，y x z =-y 轴截距最小，通过平移直线可知当过C 时，z 取最大值，求出C 点坐标，代入求得结果. 【详解】由约束条件可得平面区域Ω如下图阴影部分所示：令z x y =-，则z 取最大值时，y x z =-在y 轴截距最小 平移y x =可知，当y x z =-过C 时，在y 轴截距最小由220x y y +=⎧⎨+=⎩得：()4,2C - max 426z ∴=+= 本题正确结果：6【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是将问题转化为在y 轴截距的最值的求解问题，通过平移直线求得结果.9.已知定义在R 上的增函数()y f x =满足()()40f x f x +-=，若实数,a b 满足不等式()()0f a f b +≥，则22a b +的最小值是______．【答案】8 【解析】 【分析】由()()40f x f x +-=知()()4f b f b -=-，可将不等式变为()()4f a f b ≥-，利用函数单调性可得40a b +-≥，根据线性规划的知识，知22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方，从而可知所求最小值为O 到直线40a b +-=的距离的平方，利用点到直线距离公式求得结果.【详解】由()()40f x f x +-=得：()()4f b f b -=-()()0f a f b ∴+≥等价于()()()4f a f b f b ≥-=- ()f x Q 为R 上的增函数 4a b ∴≥-，即40a b +-≥则可知可行域如下图所示：则22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方 可知O 到直线40a b +-=的距离的平方为所求的最小值()222min482a b -∴+== 本题正确结果；8【点睛】本题考查函数单调性的应用、线性规划中的平方和型的最值的求解，关键是能够利用平方和的几何意义，将问题转化为两点间距离的最值的求解问题.10.若n a 是二项式(1)nx +展开式中2x 项的系数，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++=⎪⎝⎭L ______【答案】2 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式可得n a ，进而得到11121n a n n ⎛⎫=⨯- ⎪-⎝⎭，利用裂项相消法和数列极限的求解方法可求得结果.【详解】()1nx +的展开式通项公式为：rrn C x ()212n n n n a C -∴==()1211211n a n n n n ⎛⎫∴==⨯- ⎪--⎝⎭23111111111lim lim 212lim 122231n n n n a a a n n n →∞→∞→∞⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 本题正确结果：2【点睛】本题考查数列中的极限的求解问题，关键是能够通过二项展开式的通项公式求得通项，从而确定采用裂项相消的方式求得数列各项的和.11.已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A 、B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，若2OA OB ⋅= （其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是______ 【答案】3 【解析】设直线AB 的方程为x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴的交点为(0,)M m . 联立2{x ty m y x=+=，可得20y ty m --=，根据韦达定理可得12y y m ⋅=-. ∵2OA OB ⋅=u u u v u u u v∴12122x x y y +=，即21212()20y y y y ⋅+⋅-=.∴2m =或1m =-（舍），即122y y ⋅=-. ∵点A ，B 位于x 轴的两侧∴不妨令点A 在x 轴的上方，则10y >. ∵1(,0)4F∴12111111922()32248ABO AFO S S y y y y y ∆∆+=⨯⨯-+⨯=+≥=，当且仅当143y =时取等号.∴ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3. 故答案为3.点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系及基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，其中通过韦达定理和2OA OB ⋅=u u u v u u u v推出122y y ⋅=-的表达式和运用基本不等式是解答的关键．12.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果对任意的实数λ，BA BC BCλ-≥u u u v u u u v u u u v恒成立，则c bb c+的取值范围是______【答案】⎡⎣【解析】 【分析】设E 为直线BC 上任意一点，且BE BC λ=u u u v u u u v，可知EA BC ≥u u u v u u u v 恒成立，可知minEA u u u v 为边BC 的高h ，利用三角形面积公式可得：2sin a bc A ≤；结合余弦定理整理可得()sin 2cos c bA A A b cϕ+≤+=+，从而可得最大值，利用基本不等式可求得最小值，从而得到取值范围.【详解】设E 为直线BC 上任意一点，且BE BC λ=u u u v u u u v则BA BC BA BE EA λ-=-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v EA BC ∴≥u u u v u u u v恒成立 又min EA u u u v为边BC 的高h h a ∴≥恒成立2111sin 222ABC S ah bc A a ∆∴==≥ 2sin a bc A ∴≤ 由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+- 222cos sin b c bc A bc A ∴+-≤()222cos sinsin 2cos c b b c bc A bc AA A A b c bc bc ϕ++∴+=≤=+=+，其中tan 2ϕ=c b b c∴+≤2c bb c +≥（当且仅当b c =时取等号）c b b c⎡∴+∈⎣本题正确结果：⎡⎣【点睛】本题考查解三角形中的取值范围的求解问题，关键是能够通过恒成立的不等关系得到边长与三角形高的长度关系，利用三角形面积公式和余弦定理可构造出不等式，从而可求得最值.二、选择题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“220a b +=”的（ ）条件 A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的判定方式进行判定即可.【详解】当1a =，0b =时，0ab =，此时220a b +≠，可知充分条件不成立； 当220a b +=时，由20a ≥，20b ≥可知0a b ==，则0ab =，可知必要条件成立 则“0ab =”是“220a b +=”的必要不充分条件 本题正确选项：B【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题.14.将函数sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（ ） A. 5sin 212y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C. 5sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.5sin 224x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 右平移4π个单位长度得带5πsin 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得到5sin 212x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故选C.15.已知关于x 的方程20ax bx c ++=r r r r ，其中,,a b c r r r 都是非零向量，且,a b r r 不共线，则该方程的解的情况是（ ） A. 至少有一个解B. 至多有一个解C. 至多有两个解D. 可能有无数个解【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知(),c a b R λμλμ=+∈r r r，从而将方程整理为()()20x a x b λμ+++=r r r ，由,a b rr 不共线可得200x x λμ⎧+=⎨+=⎩，从而可知方程组至多有一个解，从而得到结果.【详解】由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈r r r则方程20ax bx c ++=r r r r 可变为：20ax bx a b λμ+++=r r r r r即：()()20x a x b λμ+++=r r r,a b Q rr 不共线 200x x λμ⎧+=∴⎨+=⎩可知方程组可能无解，也可能有一个解∴方程20ax bx c ++=r rr r 至多有一个解本题正确选项：B【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数.16.如图为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，动点M 从B 1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B 1的运动过程中，点M 与平面A 1DC 1的距离保持不变，运动的路程x 与l=MA 1+MC 1+MD 之间满足函数关系l=f （x ），则此函数图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】先找到点M 的路线，把其路线分成六小段，分析从P 到1B 过程函数的单调性得解. 【详解】由于点M 与平面A 1DC 1的距离保持不变，所以点M 在平面1B AC 上， 运动的路线为11B A C B →→→, 设点P 为B 1C 的中点，l=MA 1+MC 1+MD 中，MA 1+MD 是定值， PC 1是定值， MC 1221PC PM +当M 从C 到1B ,运动到1PB 段时，运动的路程x 慢慢变大时， PM 变大，MC 1变大， 所以函数是增函数，所以C 正确；（类似讨论由1B 到A ，由A 到C 的过程，l=MA 1+MC 1+MD 之间满足函数关系l=f （x ）． 故选：C ．【点睛】本题主要考查立体几何轨迹问题，考查函数的单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.在直三棱柱111ABC A B C -中, 90ABC ∠=︒,11,2AB BC BB ===，求：（1）异面直线11B C 与1A C 所成角的余弦值； （2）直线11B C 到平面的距离．【答案】(1)25【解析】试题分析：（1）将11B C 平移到BC ，根据异面直线所成角的定义可知ACB ∠为异面直线11B C 与AC 所成角（或它的补角），在Rt ACB V 中求出此角即可；（2）根据1AA ABC ⊥平面，则1AA 就是几何体的高，再求出底面积，最后根据三棱锥1A ABC -的体积公式ABC 1V S AA 3V =⨯求解．试题解析：（1）因为11//B C BC ，所以1A CB ∠（或其补角）是异面直线11B C 与1A C 所成角.1分 因为,,所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥. 3分在1Rt A BC V 中,, 5分所以异面直线11B C 与1A C 所成角的余弦值为． 6分（2）因为11B C //平面1A BC所以11B C 到平面1A BC 的距离等于1B 到平面1A BC 的距离 8分 设1B 到平面1A BC 的距离为d ， 因为111B A BC A BB C V V --=，所以11111133A BCB BC S d S A B ∆∆⨯=⨯10分 可得55d =11分 直线11B C 与平面1A BC 25． 12分 考点：两条异面直线所成角的余弦值； 直线到平面的距离18.已知向量113,sin 22a x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭r 和向量()()1,b f x =r ，且//a b r r . （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）已知ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有33f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，7BC =21sin B =，求AC 的长度. 【答案】（1）最小正周期为2π，最大值为2；（2）2. 【解析】 【分析】由//a b r r 整理可得：()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭；（1）根据正弦型函数的最小正周期和最值的求解方法直接求得结果；（2）利用3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得sin A ，利用正弦定理求得结果.【详解】由//a b r r 得：()11sin cos 222f x x x =+则：()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭（1）()f x 最小正周期为：221T ππ== 当sin 13x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()max 2f x = （2）由3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭2sin A =sin A =由正弦定理可知：sin sin BC ACA B=，即sin 2sin BC B AC A ⋅===【点睛】本题考查三角函数中的正弦型函数的最小正周期、最值的求解、解三角形中的正弦定理的应用，涉及到平面向量共线定理、辅助角公式的应用.19.某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t (025)t <≤，GF 是圆的切线，且GF AD ⊥，曲线BC 是抛物线250y ax =-+(0)a >的一部分，CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径.（1）若30CD =米，245AD =t 与a 的值；（2）若体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围. 【答案】（1）20t =，149a =；（2）1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程求得()0,50B ，从而可得半径，即50CD t =-，进而解得t ；通过圆E 的方程求得A 点坐标，从而得到C 点坐标，代入抛物线方程求得a ；（2）求解出C 点坐标后，可知5075tDF t a=-+≤，可整理为162550a t t≥++，利用基本不等式可求得162550t t++的最大值，从而可得a 的范围. 【详解】（1）由抛物线方程得：()0,50B 50BE t ∴=- 又BE ，CD 均为圆的半径 50CD t ∴=-，则503020t =-=∴圆E 的方程为：()2222030x y +-= ()105,0A ∴245105145OD AD AO ∴=-==，则()145,30C代入抛物线方程得：(230550a =-+，解得：149a =（2）由题意知，圆E 的半径为：50t -，即50CD t =- 则C 点纵坐标为50t -，代入抛物线方程可得：t x a=t OD a =5075t DF t a∴=-≤，整理可得：()216252550t a t t t≥=+++(]0,25t Q ∈62550t t∴+≥=（当且仅当25t =时取等号） 1162510050t t∴≤++ 1100a ∴≥即a的取值范围为：1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数方程的求解、根据函数最值求解参数范围的问题，关键是能够通过分离变量的方式，得到所求变量和函数最值的关系，从而通过基本不等式求得最值，进而得到参数范围.20.已知点F 1、F 2为双曲线222y C x 1b-=：（b ＞0）的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且∠MF 1F 2=30°，圆O 的方程是x 2+y 2=b 2． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1、P 2，求12PP PP ⋅u u u v u u u v的值；（3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：|AB|=2|OM|．【答案】（1）22y x 12-=；（2）-29；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）解：设F 2，M的坐标分别为))0y ,再通过双曲线的定义和解三角形得到双曲线C 的方程为22y x 12-=；（2）设双曲线C 上的点P （x 0，y 0），设两渐近线的夹角为θ，再求出12PP PP 、和cos θ的值，即得12PP PP ⋅u u u r u u u r的值；（3）由题意，即证：OA ⊥OB ，分y 0≠0和y 0=0两种情况证明1212OA OB x x y y 0⋅=+=u u u r u u u r，原题即得证.【详解】（1）解：设F 2，M的坐标分别为))0y因为点M 在双曲线C 上，所以2202y 1b 1b+-=，即20y b =±，所以22MF b =在Rt △MF 2F 1中，012MF F 30∠=，22MF b =，所以21MF 2b =由双曲线的定义可知：212MF MF b 2-==故双曲线C 的方程为：22y x 12-=（2）解：由条件可知：两条渐近线分别为12l y 0l y 0-=+=； 设双曲线C 上的点P （x 0，y 0），设两渐近线的夹角为θ，则 则点P到两条渐近线的距离分别为12PP PP ==，因为P （x 0，y 0）在双曲线C ：22y x 12-=上，所以22002x y 2-=，又1cos θ3=，所以12PP PP ⋅u u u r u u u r•cos （π-θ）=-22002x y 3-•13=-29（3）证明：由题意，即证：OA ⊥OB ．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），切线l 的方程为：x 0x+y 0y=2①当y 0≠0时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：()()222200002y x x 4x x 2y 40-+-+= 所以：()()()2001212222202y 44x x x x x 2yx2y x ++=-=---，， 又()()()20102201201201222200002x x 2x x 82x 1y y 42x x x x x x y y y 2y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦- 所以()()()2222000012122222220000002y 442x y 82x OA OB x x y y 02y x 2y x 2y x u u u r u u u r +-+-⋅=+=-+==--- ②当y 0=0时，易知上述结论也成立． 所以1212OA OB x x y y 0⋅=+=u u u r u u u r综上，OA ⊥OB ，所以|=2||AB O |M uu u r uuu r．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质和双曲线方程的求法，考查直线和双曲线与圆的位置关系，考查平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.如果存在常数a ，使得数列{a n }满足：若x 是数列{a n }中的一项，则a-x 也是数列{a n }中的一项，称数列{a n }为“兑换数列”，常数a 是它的“兑换系数”．（1）若数列：2，3，6，m （m ＞6）是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求m 和a 的值； （2）已知有穷等差数列{b n }的项数是n 0（n 0≥3），所有项之和是B ，求证：数列{b n }是“兑换数列”，并用n 0和B 表示它的“兑换系数”；（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{c n }，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）a=9，m=7；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用“兑换数列”的定义得到a-m=2，a-6=3，即a=9，m=7．（2）利用“兑换数列”的定义可证明数列{b n }是“兑换数列”， 又因为数列{b n }所有项之和是B ，所以B=()01n 0b b n 2+⋅=0an 2，即a=02B n ；（3）假设存在这样的等比数列{c n }，设它的公比为q （q＞1），通过推理得到q=1，与q ＞1矛盾，故不存在满足条件的数列{c n }． 【详解】（1）解：因为2，3，6，m （m ＞6）是“兑换系数”为a 的“兑换数列” 所以a-m ，a-6，a-3，a-2也是该数列的项，且a-m ＜a-6＜a-3＜a-2， 故a-m=2，a-6=3，即a=9，m=7． （2）证明：设数列{b n }的公差为d ， 因为数列{b n }是项数为n 0项的有穷等差数列若b 1≤b 2≤b 3≤…≤0n b ，则a-b 1≥a-b 2≥a-b 3≥…≥a-0n b ， 即对数列{b n }中的任意一项b i （1≤i ≤n 0），a-b i =b 1+（n 0-i ）d=0n b +1-i∈{b n }同理可得：b 1≥b 2≥b 3≥…≥0n b ，a-b i =b 1+（n 0-i ）d=0n b +1-i∈{b n }也成立，由“兑换数列”的定义可知，数列{b n }是“兑换数列”；又因为数列{b n}所有项之和是B ，所以B=()01n 0b b n2+⋅=0an 2，即a=02B n ；（3）解：假设存在这样的等比数列{c n }，设它的公比为q （q ＞1），因为数列{c n}为递增数列，所以c1＜c2＜c3＜…＜c n，则a-c1＞a-c2＞a-c3＞…＞a-c n，又因为数列{c n}为“兑换数列”，则a-c i∈{c n}，所以a-c i是正整数故数列{c n}必有穷数列，不妨设项数为n项，则c i+c n+1-i=a（1≤i≤n）①若n=3，则有c1+c3=a，c2=a2，又c22=c1c3，由此得q=1，与q＞1矛盾②若n≥4，由c1+c n=c2+c n-1，得c1-c1q+c1q n-1-c1q n-2=0即（q-1）（1-q n-2）=0，故q=1，与q＞1矛盾；综合①②得，不存在满足条件的数列{c n}．【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列，考查新定义的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2021-2022年高三数学上学期第三次月考试卷理（含解析）一、选择题B=( ) 1．已知全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}，则A∩CUA．{x|0≤x＜4} B．{x|0＜x≤4}C．{x|﹣1≤x≤0} D．{x|﹣1≤x≤4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：利用全集U=R，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}，先求出CB={x|﹣1≤x≤4}，再由集UB．合A={x|2x＞1}，求出集合A∩CU解答：解：全集U=R，集合A={x|2x＞1}={x|x＞0}，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，C U B={x|﹣1≤x≤4}，∴A∩C U B={x|0＜x≤4}．故选B．点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．函数f（x）=﹣lnx的零点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：作图题．分析：问题等价于：函数y=与函数y=lnx图象交点的个数，在同一坐标系中，作出它们的图象可得结论．解答：解：函数f（x）=﹣lnx的零点个数等价于函数y=与函数y=lnx图象交点的个数，在同一坐标系中，作出它们的图象：由图象可知，函数图象有1个交点，即函数的零点个数为1故选B点评：本题考查根的存在性及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．3．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为( )A．﹣B．C．﹣D．考点：函数单调性的性质；函数的周期性．专题：计算题；压轴题．分析：要求f（），则必须用f（x）=sinx来求解，那么必须通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间[0]上，再应用其解析式求解．解答：解：∵f（x）的最小正周期是π∴f（）=f（﹣2π）=f（﹣）∵函数f（x）是偶函数∴f（）=f（）=sin=．故选D点评：本题主要考查了函数的奇偶性，周期性以及应用区间上的解析性求函数值，是基础题，应熟练掌握．4．下列命题：p：函数f（x）=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；q：已知向量=（λ，1），=（﹣1，λ2），=（﹣1，1），则（+）∥的充要条件是λ=﹣1；r：若（a＞1），则a=e．其中所有的真命题是( )A．r B．p，q C．q，r D．p，r考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题．分析：化简f（x）=sin4x﹣cos4x后求周期，判断出命题p为真命题；由建立λ的方程求解λ；由建立关于a的方程，求出a的值再判断．解答：解：命题P：f（x）=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，所以函数f（x）为π，故命题P为真命题；命题q：=（λ﹣1，λ2+1），由得，﹣（λ2+1）+（λ﹣1）=0，解得λ=0或λ=﹣1，故命题q为假命题；命题r：由得，lna﹣ln1=1，解得a=e，所以命题r是真命题．故选D．点评：本题主要以判断命题的真假为背景，考查了简单三角变换公式、正弦函数的周期、两向量的加法运算、两个向量共线的充要条件、定积分计算、方程思想的综合应用．5．为了得到函数y=sin2x的图象，可将函数y=sin（2x）的图象( ) A．向左平移个长度单位 B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位 D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：利用函数y=sin（2x）的图象变换即可求得答案．解答：解：令y=f（x）=sin（2x），则f（x﹣）=sin[2（x﹣）]=sin2x，∴为了得到函数y=sin 2x的图象，可将函数y=sin（2x）的图象向右平移个单位．故选D．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，掌握平移变换的规律是解决问题的关键，属于中档题．6．已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则的值为( ) A．B．﹣2 C．﹣2或D．不存在考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：由于f′（x）=3x2+2ax+b，依题意知，f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，于是有b=﹣3﹣2a，代入f（1）=10即可求得a，b，从而可得答案．解答：解：∵f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，∴f′（x）=3x2+2ax+b，又f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，∴a2+8a+12=0，∴a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；∴=﹣=﹣．故选A．点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，求得f′（x）=3x2+2ax+b，利用f′（1）=0，f （1）=10求得a，b是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．7．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是( )A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：压轴题．分析：由题设条件偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加可得出此函数先减后增，以y轴为对称轴，由此位置关系转化不等式求解即可解答：解析：∵f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）∴f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），即f（|2x﹣1|）＜f（||）又∵f（x）在区间[0，+∞）单调增加得|2x﹣1|＜，解得＜x＜．故选A．点评：本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，在这里要注意本题与下面这道题的区别：已知函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜的x取值范围是( )8．在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=( )A．B．C．D．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，则∠B=．故选A点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．9．已知α∈（0，2π），且α的终边上一点的坐标为（sin，cos），则α等于( ) A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由α的终边上一点的坐标为（sin，cos），利用三角函数的定义，可求tanα，结合点所在象限，即可得出结论．解答：解：∵α的终边上一点的坐标为（sin，cos），∴tanα==﹣，且点在第四象限，∵α∈（0，2π），∴α=．故选B．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查特殊角的三角函数，属于基础题．10．若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是( )A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）考点：其他不等式的解法；函数单调性的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．解答：解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：D．点评：本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题（每小题5分，共25分）11．已知平面向量，的夹角为120°，||=2，||=2，则与的夹角是60°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意求得和的值，可得||的值，再求出（）•=2．设除与的夹角是θ，则由两个向量的数量积得定义求得（）•=2•2•cosθ，从而得到2•2•cosθ=2，解得cosθ 的值，可得θ的值．解答：解：由题意可得=2×2×cos120°=﹣2，又=++2=4，∴||=2，∴（）•=+=2．设与的夹角是θ，则（）•=||•||=2•2•cosθ，∴2•2•cosθ=2，解得cosθ=．再由0≤θ≤π，可得θ=60°，故答案为60°．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求两个向量的夹角的方法，属于中档题．12．已知，则=．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．解答：解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题．13．函数y=3x2﹣2lnx的单调减区间为．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：利用导数判断单调区间，导数大于0的区间为增区间，导数小于0的区间为减区间，所以只需求导数，再解导数小于0即可．解答：解：函数y=3x2﹣2lnx的定义域为（0，+∞），求函数y=3x2﹣2lnx的导数，得，y′=6x﹣，令y′＜0，解得，0＜x＜，∴x∈（0，）时，函数为减函数．∴函数y=3x2﹣2lnx的单调减区间为故答案为点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间，属于导数的常规题，应当掌握．14．设，则=．考点：微积分基本定理．专题：计算题．分析：由于函数f（x）为分段函数，则=，再根据微积分基本定理，即可得到定积分的值．解答：解：由于，定义当x∈[1，e]时，f（x）=，则====，故答案为．点评：本题考查微积分基本定理，要注意被积函数为分段函数时，在每段的端点处，都应使函数有意义．15．关于函数f（x）=sin2x﹣cos2x有下列命题：①函数y=f（x）的周期为π；②直线是y=f（x）的一条对称轴；③点是y=f（x）的图象的一个对称中心；④将y=f（x）的图象向左平移个单位，可得到的图象．其中真命题的序号是①③．（把你认为真命题的序号都写上）考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：利用辅助角公式可得f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），利用三角函数的性质对①②③④进行一一判断；解答：解：∵f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），可得周期为：T==π，故①正确；当x=可得，y=1＜，故x=不是对称轴，故②错误；f（x）的对称中心为：2x﹣=kπ，k∈Z，解得x=+，故③正确；可知f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），将其向左平移个单位，可以得到y=sin2x，故④错误，故答案为①③；点评：此题主要考查命题的真假判断与应用，主要考查三角函数的性质以及函数平移的内容这也是常考的内容，此题是一道基础题；三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分）16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，命题q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，P 且q为真命题，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：若命题p为真，由一元二次方程的判别式和韦达定理，联列不等式组并解之得m＞2；若命题q为真，则方程4x2+4（m﹣2）x+1=0的根的判别式小于0，解之得1＜m＜3．命题p 且q为真，说明命题p和q都是真命题，取交集即得实数m的取值范围．解答：解：由题意，得p：，解之得m＞2，q：△=16（m﹣2）2﹣16=16（m2﹣4m+3）＜0，解之得1＜m＜3…∵p且q为真，∴p，q同时为真，则，解之得2＜m＜3，…∴实数m的取值范围是2＜m＜3．…．点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式和不等式的解法等知识，属于基础题．17．在△ABC中，已知2sinBcosA=sin（A+C）．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若BC=2，△ABC的面积是，求AB．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由三角形的内角和定理及诱导公式得到sin（A+C）=sinB，代入已知的等式，根据sinB不为0，可得出cosA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由A的度数求出cosA的值，再由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入求出AB•AC的值，记作①，利用余弦定理得到BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，求出将cosA，BC及AB•AC的值代入，整理后求出AB2+AC2的值，再根据AB•AC 的值，利用完全平方公式变形，开方求出AB+AC的值，记作②，联立①②即可求出AB的长．解答：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，∴sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB，…∴2sinBcosA=sin（A+C）化为：2sinBcosA=sinB，…∵B∈（0，π），∴sinB＞0，∴cosA=，…∵A∈（0，π），∴A=；…（Ⅱ）∵A=，∴cosA=，又BC=2，S△ABC=AB•AC•sin=，即AB•AC=4①，∴由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=AB2+AC2﹣AB•AC，…∴AB2+AC2=BC2+AB•AC=4+4=8，…∴（AB+AC）2=AB2+AC2+2AB•AC=8+8=16，即AB+AC=4②，联立①②解得：AB=AC=2，则AB=2．…点评：此题考查了余弦定理，诱导公式，三角形的面积公式，完全平方公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知向量=（cosθ，sinθ），=（），．（Ⅰ）当⊥时，求θ的值；（Ⅱ）求|+|的取值范围．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．专题：计算题；平面向量及应用．分析：（I）根据垂直的向量数量积为0，列出关于θ的方程，结合同角三角函数的关系，得，结合θ的范围可得θ的值；（II）根据向量模的公式，结合题中数据，化简整理得|+|=，再结合θ的范围，利用正弦函数的图象与性质，可得|+|的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵⊥，∴•=…整理，得又∵，∴θ=…（Ⅱ）∵||==1，||==2，•=∴|+|===…∵∴…∴，可得∴，即|+|的取值范围是[，3]…点评：本题给出向量坐标为含有θ的三角函数的形式，求向量的模的取值范围，考查了向量数量积的坐标运算，同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．19．已知向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，求实数m的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）根据向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函数f（x）=•，利用向量的数量积公式，结合二倍角、辅助角公式化简函数，从而可得f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，即f（x）min≥m成立．解答：解：（Ⅰ）∵向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函数f（x）=•．∴f（x）=2sin2x+2sinxcosx=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1∴≤2x﹣≤（k∈Z）∴（k∈Z）∴f（x）的单调递增区间为（k∈Z）；（Ⅱ）不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，即f（x）min≥m成立∵x∈[0，]，∴2x﹣∈∴sin（2x﹣）∈∴f（x）=2sin（2x﹣）+1∈[0，3]∴m≤0∴m的最大值为0．点评：本题考查向量的数量积运算，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确确定函数解析式是关键．20．已知函数f（x）=A sin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）设0＜x＜，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据图象过点（0，1），得到sinφ=，再根据其范围求解；（2）直接根据三角函数的图象与性质进行求解．解答：解：（1）显然，A=2，又图象过点（0，1），∴f（0）=1，∴sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，由图象结合“五点法”可知，（，0）对应函数y=sinx图象的点（2π，0），∴所求函数的解析式为：f（x）=2sin（2x+），（2）当0＜x＜时，2x+∈（，），2sin（2x+）∈[﹣2，2]，∵方程f（x）=m有两个不同的实数根，∴m∈（1，2）．点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、五点法画图等知识，属于中档题．21．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间；（3）若关于x的方程f（x）=m有三个不同的是根，求m的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的极值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求出函数的导数，利用已知条件得到方程组即可求出a、b、c，然后求f（x）的解析式；（2）求出函数的导数，通过导函数的符号，判断f（x）的单调性，求出单调区间；（3）若关于x的方程f（x）=m有三个不同的是根，求出函数的极值，然后求m的值．解答：解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，∵函数f（x）在x=﹣2时取得极值，∴f′（﹣2）=0，即12﹣4a+b=0①，∵函数图象与直线y=﹣3x+3切于点P（1，0）．∴f′（1）=﹣3，即 3+2a+b=﹣3②，由f（1）=0，即1+a+b+c=0③，由①②③解得a=1，b=﹣8，c=6；（2）由（1）知，f（x）=x3+x2﹣8x+6，f′（x）=3x2+2x﹣8=（3x﹣4）（x+2），由f′（x）＞0得，x＜﹣2或x＞，由f′（x）＜0得，﹣2＜x＜，所以f（x）在（﹣∞，﹣2）和（，+∞）上递增，在（﹣2，）上递减，（3）由（2）知，当x=﹣2时f（x）取得极大值f（﹣2）=18，当x=时f（x）取得极小值f（）=，因为关于x的方程f（x）=m有三个不同实根，所以函数y=f（x）和y=m图象有三个交点，所以＜m＜18，即为m的取值范围．点评：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值，考查分析问题解决问题的能力．26665 6829 栩!25772 64AC 撬28173 6E0D 渍+\€ 30768 7830 砰H29875 74B3 璳24601 6019 怙\A21476 53E4 古。
2021年高三数学5月综合测试（三模）试题 理注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第一部分 选择题（40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设为虚数单位,若复数是纯虚数,则实数：A ．2B ．或2C ．或D ．2．已知命题p ：∃α∈R ，cos (π－α) = cos α；命题q : ∀x ∈R ，x 2+ 1 > 0. 则下面结论正确的是：A. p ∨q 是真命题B. p ∧q 是假命题C. ¬ q 是真命题D. p 是假命题3．若 x 、y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x + 2y ≥1 x ≥y 2x －y ≤1 且向量 a = (3,2)，b = (x ,y )，则 a ·b 的取值范围是：A. [54 ,4]B. [72 ,5]C. [54 ,5]D. [72,4]4. 同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是：A ．B ．C ．D ． 5. 函数f (x )＝|log 2(x ＋1)| 的图象大致是：6. 已知点 F 是抛物线 y 2= 4x 的焦点，M 、N 是该抛物线上两点，| MF | + | NF | = 6，则 MN 中点的横坐标为： A. 32B. 2C. 52D. 37. 设函数在R 上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”若给定函数，则下列结论不．成立的是： A. B. C. D.8. 若直角坐标平面内两相异点A 、B 两点满足：① 点A 、B 都在函数 f (x ) 的图象上；② 点A 、B 关于原点对称， 则点对 (A ，B ) 是函数 f (x ) 的一个“姊妹点对”. 点对 (A ，B ) 与 (B ，A ) 可看作是同一个“姊妹点对”. 已知函数 f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+ 2x ，x < 0 x + 1ex ，x ≥0 ，则 f (x ) 的“姊妹点对”有：A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个第二部分 非选择题（110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9. 不等式的解集为 *** .10. 的展开式的常数项是 *** （用数字作答）.11. 图一是一个算法的流程图，则最后输出的S 是 *** ．12．某三棱锥的三视图如图二所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 *** .13. 数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0,1,2,3,4,5组成的无重复数字且大于xx 的“如意四位数”有 *** 个.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14 . （坐标系与参数方程选做题）设曲线的参数方程为(是参数，)，直线的极坐标方程为，若曲线与直线只有一个公共点，则实数的值是 *** ． 15. （几何证明选做题）如图，⊙O 上一点在直径上的射影为，且，，则⊙O 的半径等于*** .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本题满分12分）已知分别是的角所对的边，且，。
2021年高三5月第三次模拟考试数学（理）试题本试卷分试题卷和答题卷两部分，试题卷共4页。
答题卷共6页。
请按要求把答案涂、写在答题卷规定的范围内。
超出答题框或答在试题卷上的答案无效。
满分为150分。
考试时间为120分钟。
考试结束只收答题卷。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U＝{x ∈Z｜－1≤x≤3}，A＝{x ∈Z｜－1＜x＜3}，B＝{x ∈Z｜－x－2≤0}，则（CA）U ∩B＝A．{－1} B．{－1，2} C．{x｜－1＜x＜2} D．{x｜－1≤x≤2}2．已知∈R（i为虚数单位），且m∈R，则｜m＋6i｜＝A．6 B．8 C．10 D．83．若tan（π－α）＝－，则的值为A．B．C．－D．4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：参照附表，得到的正确结论是A．有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0．1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0．1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”5．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A．2＋B．3＋C．2＋3D．3＋26．已知函数f（x）＝sin（2x－），则y＝f（x）的图象可由函数y＝sinx的图象（纵坐标不变）变换如下A．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位B．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位C．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位D．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移单位7．直线x－y＋m＝0与圆－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是A．－3＜m＜1 B．－4＜m＜2C．0＜m＜1 D．m＜18．曲线y＝在点（1，1）处的切线方程为A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0C．x＋4y－5＝0 D．x－4y－5＝09．执行右面的程序框图，如果输出的是a＝341，那么判断框内应填条件为A．k＜4？B．k＜5？C．k＜6？D．k＜7？10．已知两点A（1，0），B（1，）， O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝，＝－2＋λ，（λ∈R），则λ等于A．－B．C．－1 D．111．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝，则f（xx）－f（2011）＝A．－1 B．－2 C．1 D．212．把一根长度为5的铁丝截成任意长的3段，则能构成三角形的概率为A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线y＝的焦点坐标是______________．14．三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为___________．15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足asinB＝bcosA，则sinB－cosC的取值范围为___________．16．正三棱柱ABC－A1B1C1内接于半径为1的球内，则当该棱柱体积最大时，其高为_________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知数列{}是等差数列，且满足：a1＋a2＋a3＝6，a5＝5；数列{}满足：－＝（n≥2，n∈N﹡），b1＝1．（Ⅰ）求和；（Ⅱ）记数列＝（n∈N﹡），若{}的前n项和为，求.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AB＝2，E是PB的中点，F是AD的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角F－PC－B的平面角的余弦值．19．（本小题满分12分）河南省某示范性高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）．统计数据表明，各学科讲座各天的满座概率如下表：（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）已知椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l：x＝ky＋m与椭圆M交手A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数f （x）＝lnx．（Ⅰ）函数g（x）＝3x－2，若函数F（x）＝f（x）＋g（x），求函数F（x）的单调区间；（Ⅱ）函数h（x）＝，函数G（x）＝h（x）·f（x），若对任意x∈（0，1），G（x）＜－2，求实数a的取值范围．精品文档PEG 请考生在22、23、24)三题中任选一题作答。
