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第一章 误差和数据处理习题解答1、指出下列情况属于随机误差还是系统误差： （1）视差；（2）天平零点漂移； （3）千分尺零点不准； （4）照相底版收缩；（5）水银温度计毛细管不均匀；（6）电表的接入误差。
解：（1）忽左忽右，属随机误差；（2）往单方向漂移属系统误差；随机漂移属随机误差； （3）属系统误差，应作零点修正； （4）属系统误差； （5）按随机误差处理；（6）属系统误差，可作修正。
2、说明以下因素的系统误差将使测量结果偏大还是偏小： （1）米尺因低温而收缩； （2）千分尺零点为正值； （3）测密度铁块内有砂眼；（4）单摆公式测重力加速度，没考虑θ≠0； （5）安培表的分流电阻因温度升高而变大。
解：（1）使结果偏大；（2）使结果偏大，属系统误差，修正时应减去这正零点值； （3）使密度值偏小； （4）使结果偏小：当θ≠0时，单摆公式为： )2sin 411(220θπ+=g l T 或22202)2sin 1(4θπ+=T l g若用θ=0的20204T l g π=近似，结果偏小；（5）分流电阻变大，分流变小，使结果偏大。
3、用物理天平（仪∆=0.020g ）称一物体的质量m ，共称5次，结果分别为36.127g 、36.122g 、36.121g 、36.120g 和36.125g 。
试求这些数据的平均值、绝对不确定度和相对不确定度。
解：36.12736.12236.12136.12036.12536.12336.12306m g +++++==m S =0.0026g ，说明：平均值的有效数字比测量值多了一位，这是由于经多次测量随机误差减小的缘故，是正常、合理的。
（未考虑天平的仪器误差）。
已知：仪∆=0.020g ，0.020u g ==∴ (36.1230.020)m m u g =±=±。
相对误差100%0.06%rm u u m=⨯≅。
说明：①本题测量的随机误差大大小于天平的仪器误差，故实际上可写成u B ≈Δ仪； ②本题的S m 最好用计算器的统计计算功能计算；③相对误差必须以%为单位，不能写成0.0006，更不能写成0.0006g 。
十一、几何光学 34 几何光学一、选择题(共1题)选择题：一束平行于光轴的光线，入射到抛物面镜上，反射后会聚于焦点F ，如图所示．可以断定这些光线的光程之间有如下关系：（） A 、 ][][][02211F OP F P A F P A >>． B 、 ][][][02211F OP F P A F P A ==． C 、 ][][][02211F OP F P A F P A <<．D 、 ][0F OP 最小，但不能确定][11F P A 和][22F P A 哪个较小． 题目图片：A 1A 2P 1P 2P 0OF答案：B 难度：易二、填空题(共23题)填空题：两平面镜，镜面垂直相交．在和上述两镜面都垂直的平面内，一条光线以任一入射角，投射到两镜之一的镜面上，经两镜反射后，反射出来的光线，它的传播方向将在________________________________的方向上．答案：与入射光线反向平行 3分 难度： 易填空题：调整读数显微镜看清楚一平面上的某点后，在平面上覆盖一厚玻璃片，要再看清楚此点，必须将显微镜镜头提高1 mm ．已知玻璃片的折射率为1.5 ，则玻璃片的厚度必定是__________mm ．答案：3 3分 难度：中填空题：一竖立的10 cm 厚的玻璃板，折射率为1.5 ，观察者的眼睛离玻璃板10 cm远，沿板法线方向观察板后10 cm处的一个小物体，则看到它离眼睛的距离是____________cm．答案：26.7 3分难度：中填空题：费马原理可用下面的说法来表述：光线由空间的一点进行到另一点时，实际传播路径的总光程同附近的路径比起来，不是_________________________，便是__________________，或者______________．答案：最小1分；最大1分；相同1分（答出以上三点就得3分，与次序无关）难度：易填空题：平面镜成像的关系可以看作是球面镜成像关系的一种特殊情形，条件是只要球面镜的焦距______________即可．答案：等于无穷大3分难度：易填空题：有一凹球面镜，曲率半径为20 cm，如果把小物体放在离镜面顶点6 cm 处，则像在镜__________________cm处，是______像．（正或倒）答案：后15（或-15）2分；正1分难度：易填空题：有一凸球面镜，曲率半径为20 cm．如果将一点光源放在离镜面顶点14 cm 远处，则像点在镜______________cm处，是________像．（实或虚）答案：后5.8(或-5.8) 2分；虚1分难度：易填空题：设凸球形界面的曲率半径为10 cm，物点在凸面顶点前20 cm处，凸面前的介质折射率n1 = 1.0 ，凸面后的介质折射率n1 = 2.0 ．则像的位置在凸面顶点______________处，是__________像．（实或虚）答案：后40 cm 2分；实1分难度：易填空题：设凹球形界面的曲率半径是10 cm，物点在凹面顶点前15 cm处，凹面前的介质折射率n1 = 2.0 ，凹面后的介质折射率n2 = 1.0 ．则像的位置在凹面顶点______________处，是__________像．（实或虚）答案：前30 cm 2分； 虚 1分 难度：易填空题：有一凸球面镜，曲率半径为40 cm ，物体放在离镜面顶点20 cm 处，物高是4 cm ，则像高为______________cm ，是______像．（正或倒）答案：2 2分； 正 1分 难度：中填空题：一个物点P 经球形（半径为r ）界面折射成像点Q 的公式，当r →∞，就成为一个物点P 经平面界面折射成像点Q 的公式p n nq 12-= n 1是物点p 所在介质的折射率，n 2是界面另一边介质的折射率，p 是物距，q 是像距，式中负号表示____________________________，这一式子的成立也应满足________________________要求．答案：像与物的虚、实相反 2分； 小角度近似（或傍轴近似） 3分 难度：中填空题：一薄透镜的焦距f = -20 cm ．一物体放在p = 30 cm 处，物高h 0 = 5 cm ．则 像距q = __________cm ，像高h i = __________cm ．答案：-12 2分； 2 1分 难度：易填空题：一个双凸薄透镜，由折射率为1.50的玻璃制成．这个透镜的一个表面的曲率半径为其另一个表面的曲率半径的两倍．透镜的焦距为10 cm ．则这个透镜两表面中，曲率半径较小那个等于______________cm ．答案： 2.5 3分 难度：易填空题：已知折射率n = 1.50的对称薄透镜，其表面的曲率半径为12 cm ，若将其浸没于折射率n ′= 1.62的CS 2液体中，则它的焦距f = ________cm ．答案：-81 3分 难度：易填空题：一照相机的透镜采用两个薄透镜胶合而成．一个是焦距为10 cm 的凸透镜，另一个是焦距为15 cm 的凹透镜．那么这一复合透镜的焦距为________cm ． 答案：30 3分难度：易填空题：一薄透镜对物体的横向放大率m = _________________，m值的正或负表示像的____________________．答案：-( q / p ) 2分；正或倒1分难度：易填空题：发光体与光屏相隔一固定距离D．今将焦距为f的会聚透镜先后放在物体与光屏之间的适当的两个位置上，这透镜将在光屏上分别产生实像．则透镜所在的两个位置相距d = __________________．答案：)D 3分D4(f难度：中填空题：一发光点与屏幕相距为D．则可将光点经透镜的光会聚于屏上一点的透镜的最大焦距等于__________．答案：D / 4 3分难度：中填空题：将开普勒型天文望远镜倒过来可作激光扩束装置．设有一个这种类型望远镜，其物镜焦距为30 cm，目镜焦距为1.5 cm，则它能使激光束（看作平行光束）的直径扩大__________倍．答案：20 3分难度：中填空题：一薄凸透镜，其焦距为20 cm，有一点光源P置于透镜左方离镜30 cm之轴上，在透镜右方离透镜50 cm处置一光屏，以接收来自P发出而经过透镜的光．光屏与镜轴垂直，光屏上受光部分具有一定形状和大小．现将光屏移至另一位置，使受光部分的形状和大小与前相同，则此时光屏与透镜的距离为__________ cm．答案：70 3分难度：中填空题：一台显微镜，物镜焦距为4 mm．中间像成在物镜像方焦点后面160 mm 处，如果目镜是20X的，则显微镜的总放大率是_________倍．答案：800 3分难度：中填空题：一块厚透镜系统光轴上的六个基点是指______________________________，若透镜两边是同一种媒质，那么___________________________________________将会重合．答案：两个焦点，两个主点和两个节点 2分；两个节点分别与两个主点 2分 难度：易填空题：在傍轴的区域内，一厚透镜第一主平面是指__________________________________________所构成的平面；类似的，第二主平面是指_______________________________构成的平面．答案：通过物方焦点的入射光线与相应的平行于光轴的出射光线（延长线）的交点；2分平行于光轴的入射光线与相应的指向像方焦点的出射光线（延长线）的交点 2分 难度：易三、计算题(共5题)计算题：远处物点发出的平行光束，投射到一个实心的玻璃球上．设玻璃的折射率为n ，球的半径为r ．求像的位置．答案：解：设平行光束由玻璃球的左边入射，经球的前表面折射成像， p 1 = ∞∴ r n q n 11-= ， 11-=n nr q 前表面折射所成的像，将作为球的后表面的物．由于球的前后面相隔2r 远， 122q r p -= 2分∴ rnq q r n --=+-11221r n n q )2()1(212---= ， )1(2)2(2---=n r n q 像在球的右侧，离球的右边 )1(2)2(---n rn 处3分难度：中计算题：一架幻灯机的投影镜头的焦距为7.5 cm ．当屏幕离镜头8 m 远时呈清晰图像．现将屏幕拉至10 m 远处，镜头须改变多少位置才能再呈清晰图像？ 答案：解： q 1 = 8 m 远时：fq p 11111=+得 f q fq p -=111 ① 当 =+=∆q q q 110 m 远时fq q p p 11111=+++∆∆ 得fq q q q f p p -++=+∆∆∆111)( ② 2分②式减①式得 --++=∆∆∆f q q q q f p 11)(fq fq -11= - 0.014 cm负号表明投影镜头需移近幻灯片 0.014 cm 距离 3分难度：中计算题：一薄透镜组，L 1的f 1 = -30 cm ，L 2的f 2 = +20 cm ．两镜间的距离d = 10 cm ．求透镜组L 2一侧的焦点与L 2的距离q 2和L 1一侧的焦点与L 1的距离q 1． 答案：解：透镜组的 )()(21122f f d f d f q +--== 40 cm3分)()(21211f f d f d f q +--== 15 cm 2分难度：中计算题：一块凹平薄透镜，凹面的曲率半径为0.5 m ，玻璃的折射率为1.5 ，且在平表面上涂有一反射层．在此系统左侧主轴上放一点物P ，P 离凹透镜1.5 m ，求最后成像的位置，并说明像的虚实． 题目图片：答案：解：设凹平薄透镜的焦距为f121m 1)11)(1(1--=--=r r n f ，1-=f m 2分 已知物距 p = 1.5 m ，设经凹平薄透镜第一次成像后的像距为q 1f q p 1111=+，pf q 1111-= m 6.01-=q ．在透镜左方，是虚像． 2分此虚像经平面反射层反射后，又成虚像于反射层右方 0.6 m 处． 2分 再经凹平薄透镜第二次成像，设像距为q 2（这时透镜右方为物方，左方为像方）f q p 11122=+，22111p f q -= m 375.02-=q ．∴最后成像的位置在透镜和反射层右方0.375 m 处，2分 是虚像． 2分 难度：较难计算题：一个双凸薄透镜，两表面的曲率半径均为20 cm ，透镜材料的折射率为n 2 = 1.50．此透镜嵌在水箱的侧壁上，一面的媒质是水，其折射率为n 1 =1.33，另一面是空气，折射率为n 3 = 1.00．试问：平行光束从水中沿光轴方向入射到透镜上，光束会聚的焦点离透镜多远？平行光束从空气入射，会聚点又离透镜多远？ 答案：解：已知水、玻璃、空气的折射率分别为n 1、n 2、n 3，如图所示．从水中入射时，两折射球面的光焦度分别是 =-=1121/)(r n n Φ0.85 m -1 =-=2322/)(r n n Φ 2.5 m -1因是薄透镜，所以总光焦度为 =+=21ΦΦΦ 3.35 m -1 3分 像方焦距 =='Φ/3n f 30 cm 3分从空气中入射时，Φ仍不变（Φ是系统的性质，与入射方向无关）. 2分 但是这时像方焦距 =='Φ/1n f 40 cm 2分 答案图片：难度：中四、理论推导与证明题(共12题)理论推导与证明题：如图所示．三棱镜顶角为A ，对入射单色光的折射率为n ．已知当光线对称地通过棱镜时，偏向角δ 达到最小值δ 0．试证此时)21sin()](21sin[0A A n δ+= 题目图片：答案：证：按图示 A i i ='+'21当光线对称地通过棱镜时 21i i '=' ∴ A i 211=' ① 3分 其次，同图中还可以看出 2211i i i i '-+'-=δ 在最小偏向角的情况下 21i i =，21i i '=' ∴ 11022i i '-=δ 代入①式 A i -=102δ 或 )(2101A i +=δ ② 4分而 11sin sin i i n '=代入②和①，即得 )21sin()](21sin[0A A n δ+=3分 难度：中理论推导与证明题：如图所示，设光导纤维玻璃芯和透明包层的折射率分别为n f 和n c （n f > n c ），垂直端面外媒质的折射率为n a ．试证明，能使光线在纤维内发生全反射的入射光束的最大孔径角θ 1满足下式221sin c f a n n n -=θ（n a sin θ1称为纤维的数值孔径）． 题目图片：答案：证：根据折射定律 211cos sin sin θθθf f a n n n ='=22sin 1θ-=f n 因为光线在玻璃芯和包层界面上发生全反射的条件为sin θ2≥n c / n f 2分∴ 欲使光线在纤维内发生全反射，θ 1必须满足n a sin θ 1≤2)/(1f c f n n n -故数值孔径 221sin c f a n n n -=θ3分难度：中理论推导与证明题：试根据费马原理导出折射定律． 答案：证：如图所示，设Oxz 平面上方的折射率为n 1，下方折射率为n 2．A 、B 两点在Oxy 平面内．光线从A 传播到B ．由费马原理知，光线的实际路径必定在Oxy 平面内（因为不在此平面内的路径上光程都大于在Oxy 平面的投影路径的光程．）3分设光线的路径为ACB ，则光程CB n AC n L 21+=222221)(BB A y x x n y x n +-++= 3分 由费马原理，光程应取极值，即222221)()(d d BB B A y x x x x n y x x n x L +---+=0sin sin 2211=-=i n i n 3分 从而得 2211sin sin i n i n = 1分上面已说明光线的实际路径在平面内，故有入射线与折射线与C 点法线在同一平面内．这就是折射定律． 答案图片：zy B ,0)难度：较难理论推导与证明题： 试根据费马原理，导出光的反射定律． 答案： 证：如图所示：A 与B 是两个固定点．由A 来的光线在P 点处反射之后通过B 点．问题是如何依照费马原理确定P 点的位置，使经过P 点的光线APB 的总光程 nl = nl 1 + nl 2 为最小、或最大、或保持不变．假设P 点的法线、入射光线、反射光线都处于同一平面内，由于反射光回到原介质，所以也就是使APB 的总长度 2222)(x d b x a l -+++= ① 2分 为最小、或最大、或保持不变．在任一情况下，都要求 d l / d x = 0． 求①式导数，使等于零，整理得2222)(x d b xd x a x-+-=+ ②由图（a ）可知 θθ'=sin sin即 θθ'= ③ 3分 找出B 的镜像点B ′，连接AB ′，交镜面于P ，连接PB ．APB 即为符合③式条件的光线．对反射面上任何其他P 点，PB AP + 都与B P AP '+ 相等，但显然当APB ' 是直线时，这一值最小, 所以满足上述条件的APB 是最小长度. 可见, P 点法线、入射光线和反射光线都处于同一平面上的假定是正确和必要的.3分 ③式和P 点法线、入射光线及反射光线在同一平面内即是反射定律. 2分答案图片：A AB Ba bP P dnxx -d B ′θθθ′θ′l 1图(a)图(b)l 2难度：较难理论推导与证明题： 试用费马原理导出点光源傍轴光线经单个折射球面的成像公式． 答案：证：如图所示，从物点P 发出的光线经球面折射后交于像点P '．光线P PM '的光程为P M n PM n L ''+=n 、n ′分别是两种介质的折射率．由△O M 'C 得22222)(d rd d r r h -=--=于是 rd d h 222=+2分 由△P MO ′得出 2/122])[(h d s PM ++-= 将上式代入后展开，得到⋅⋅⋅+---+-=42222)()(1)[(sd s r s d s r s PM ] 同理，由△ MO ′P ′得到⋅⋅⋅+''--''-+'='42222)()(1)[(s d s r s d s r s P M ] 3分 因P ′为P 的像，根据费马原理，P 和P ′之间的各条光线的光程应相等，即 s n s n P M n PM n ''+-=''+)( 2分 在傍轴条件下，d < | s |、s ′、r ，略去二阶微量得出])(1)[(2s d s r s n -+-])(1[2s ds r s n ''-+''+s n s n ''+-=)(化简后得到 r n n s n s n /)(//-'=-'' 3分（若用物点在左时物距s 为正值的符号规定，则得 r n n s n s n /)(//-'=+'' 同样给分．）答案图片：难度：难理论推导与证明题：试导出点光源对两种透明介质间凸的球形界面经折射成像的公式，并指明其成像的近似条件． 答案：证：假定n 2 > n 1．如图所示，P 为物点，Q 为像点，C 是界面的球心，r 为半径，O 为界面的顶点．p 是物点到顶点的距离，q 是像点到顶点的距离．从图可以看出： θ 1 = α + γ ①γ = θ 2 + β ②入射点到轴线的垂线的高y 可以表示为y = p tg α = q tg β = r sin γ对于小角度我们有 α p = β q = γ r ③ 2分而小角度下的近似的折射定律n 1θ 1 = n 2θ 2 ④ 1分从①、②、③、④式消去所有角度，即可获得rn n q n p n 1221-=+ 公式成立条件是小角度，亦即所谓傍轴近似． 2分答案图片：难度：中理论推导与证明题： 设一物点放在球面镜主轴上与镜面相距p 处, 它的像点与镜面相距为q . 当该物点沿球面镜主轴方向移动微小距离d p 时, 像点相应地移动-d q ,则)d d (p q -称为球面镜的纵向放大率. 求证球面镜的纵向放大率是横向放大率的平方．答案：证：由球面镜的成像公式 fq p 111=+ 1分 两边取微分得 0d d 22=--qq p p ， 2)()d d (p q p q =-3分 而球面镜的横向放大率 p q m -= 2分 ∴ 22)()d d (m p q p q ==-2分 难度：中理论推导与证明题： 公式 fq p 111=+叫做薄透镜成像公式的高斯形式．这个公式的另一个形式，即牛顿形式中，对物距与像距作如下的考虑：令物体到第一焦点的距离为x ，而从第二焦点到像的距离为x ′．求证： 2f x x =' 答案：证：按题意可知 f x p +=1分f x q +'= 1分代入高斯公式 ff x f x 111=+'++ f f x f f x f x f x )()())((+'++=+'+ 简化后即得牛顿公式 2f x x =' 3分难度：易理论推导与证明题： 两个薄透镜L 1、L 2组成的共轴系统，如图所示．试证这个光学系统： (1) 从第一焦点或物方焦点到第一个表面的顶点的距离，即 ： )()(2121f f d f d f f +--=v (2) 从最后一个表面的顶点到整个系统的第二焦点的距离，即： )()(2112f f d f d f f +--='v 题目图片：L答案：证：如果让q 2→∞， 则p 2→f 2， 而从图中可以看出21p d q -=代入 p 2→f 2， 则 q 1→d - f 2 3分又对L 1我们有 111111q f p -= 当 q 2→∞， q 1→d - f 2，有 2111112f d f p q --=∞→)()(2121f d f f f d -+-= p 1的这个值就是f v )()(2121f f d f d f f +--=v3分 类似地 212122222)(f q d f q d f p f p q ---=-=如果让p 1→∞， 则 q 1→f 1，这时的q 2就是v f ' v f ')()(2112f f d f d f +--= 4分 难度：中理论推导与证明题：把焦距分别为f 1与f 2的两个薄透镜，放置得互相接触．求证：这两个薄透镜等效于一个单独的薄透镜，其焦距由下式给出 21111f f f +=． 答案：证：当两个薄透镜分别使用：111111f q p =+ ① 222111f q p =+ ② 现将这两个薄透镜放置成同轴接触使用，此时前一透镜的像将成为后一透镜的物，但它们之间的虚、实要相差一个符号，即12q p -= ③ 2分把③式代入②，再①＋②， 则得21211111f f q p +=+ 做为等效的单独薄透镜 f q p 11121=+ 比较可知 21111f f f += 3分 难度：中理论推导与证明题：测量一个正透镜焦距的方便方法是利用下述事实：如果一对共轭的物点和实像（P 和Q ）的距离为L > 4f ，那么透镜将有两个位置（其距离为d ），在这两个位置上得到同一对共轭点．证明Ld L f 422-= 答案：证：根据透镜成像公式 fq p 111=+ ① 按题意 L q p =+ ②从①、②式消去q 得 fp L p 111=-+ 解p 得 p 1，2422Lf L L p -±= 3分 Lf L p p d 4221-=-=Lf L d 422-=∴ Ld L f 422-= 2分 难度：中理论推导与证明题：试从单球面折射成像的公式，导出薄透镜成像的公式． 答案：证：假定制成薄透镜的介质的折射率为n 2，其前后介质的折射率为n 1，在傍轴近似的条件下，对物光遇到的第一个球面，折射成像的公式是1121211r n n q n p n -=+ ① 3分 r 1是球面的半径，p 1、q 1为物距、像距．符号规则是这样的：物点在实物的一边，p 为正，否则为负； 像在实物的另一边，q 为正，否则为负； 曲率中心在实物的另一边，r 为正，否则为负．由第一个球面折射成的像将构成对第二个球面的物．薄透镜是指透镜厚度非常小，以致与其它线量相比时可以略去不计．因而，如果对第一个球面的像距q 1为正，则相应成第二个球面的物距p 2将为负，反之亦然．所以有12q p -= ② 2分 经第二个球面折射成像的式子为2212122r n n q n p n -=+ ③ 2分 ①、②、③式联立，消去q 1、p 2，并以p 、q 代替p 1、q 2，得)11)(1(112112r r n n q p --=+ 令 )11)(1(12112r r n n f --= 则得薄透镜的成像公式 fq p 111=+ 3分 f 为透镜焦距．难度：中五、回答问题(共5题)回答问题 ：据费马原理，光从一点传播到另一点，一般是沿着所需时间为极值的路径传播的．试举出传播时间为极大值的一个例子． 答案：答：设有一回转椭球面C ，A 、B 分别是它的两个焦点．一凹面镜M 与椭球内切于P 点，从A 发出的光经M 反射传播到B ，如图所示．因M 上除P 点外，其它点P '都处在椭球内，由椭球面的性质可知： B P P A PB AP '+'>+即光程 [ APB ]比附近其他路径都要大．光线APB 是符合反射定律的，B P A '不符合反射定律，因此经P '点反射的光不能到达B 点．由上分析，光传播的路径APB 为极大值，可知沿APB 传播的时间为极大值． 5分 注：此解只是其一，举出其它例子也同样得分．答案图片：难度：较难回答问题 ：一凹球面镜，曲率半径为40 cm ，一小物体放在离镜面顶点10 cm 处．试作图表示像的位置、虚实和正倒，并计算出像的位置．答案：答：作图表示： 3分计算像的位置：==R f 21 20 cm fq p 111=+ 解出 q = -20 cm负号表示像在镜面后． 2分答案图片：难度：中回答问题 ：高为h 0的物体，在焦距f < 0的薄透镜左侧，放置在p > | f |的位置．试用作图法表示像的位置，实、虚（虚光线），放大还是缩小，正立还是倒立．并用文字指明．答案：答：答案见图 3分虚像、缩小、正立． 2分答案图片：p q难度：易回答问题 ：高为h 0的物体，在焦距f > 0的薄透镜左侧，置于0 < p < f 的位置．试用作图法表示像的位置，实、虚（虚光线），放大还是缩小，正立还是倒立．并用文字指明．答案：答：答案见图 3分虚像、放大、正立． 2分答案图片：难度：易回答问题 ：某人对2.5 m 以外的物看不清楚，需要配多少度的眼镜？ 答案：答：对 2.5 m 以外的物看不清，是为近视眼，应配发散透镜，使无穷远处之物成像于 2.5 m 处，这相当于此发散透镜的焦距为f = - 2.5 m 3分 商品度数 -==f 1Φ0.4， 屈光度= - 40 度 2分 难度：中。
答 案一． 填空题1、① x θ=2、②331()(53)2P x x x =- ③ 110,()()2,21n m n m P x P x dx n m n -≠⎧⎪=⎨=⎪+⎩⎰3、④ n ⑤ 04、⑥f f ⎛+ ⎝ ⑦ 1 ⑧ n+1 5、⑨02ω<< 6、⑩ 1()()k k k k f x cx x f x +-=-'二． 解：问题等价于求()f x =[1,1]-上关于权函数()x ρ=佳平方逼近多项式。
故选取切比雪夫基函数2012121===-,,T T x T x .001122(,),(,)(,)2T T T T T T ππ===1011111122211(,)1,(,)0,(,)(21)(21)0f T f T x f T x x x dx ----=====-=-=⎰⎰⎰⎰()f x =220(,)1()(,)j j j j j T f P x T T T π===∑由此得到参数10,0,a b c π===.而最小值(,,)I a b c 即是平方误差.即222(,,)(,)(,)I a b c f f f P δ==-2212211(,)(1(,)jj j jT fx xT T-==--∑⎰10.07448ππ=-≈三．证明：(1)若函数充分光滑，则有(1)1()()()()()(1)!nni i niff x f x l x xnξω++==++∑式中101()()()()n nx x x x x x xω+=---当()1f x≡时，有001()()()0()n ni i ii if x f x l x l x====+=∑∑(2)如果求积公式至少具有n次代数精度，则它对于n次多项式()njkj k jj kx xl xx x=≠-=-∏精确成立，即有()()nbk i k iail x dx Al x==∑⎰注意到()k i kil xδ=，故()()nbk i k i kail x dx Al x A===∑⎰即()0,1,2,,bk kaA l x dx k n==⎰ .解：(3) 插值节点为0121.0, 1.1 1.2.x x x===，步长100.1h x x=-=由三点公式()1021()()2f x f x f xh'=-+⎡⎤⎣⎦[]10.25000.206620.10.217=-+⨯=-另解（3）()()()()nn i iif x L x l x f x='''≈=∑当1 x x =时，110()()()ni i i f x l x f x =''≈∑三点的插值基函数为：1200102()()()()()1( 1.1)( 1.2)0.02x x x x l x x x x x x x --=--=--01()(2 2.3)0.02l x x '=-0211012()()()()()1(1)( 1.2)0.01x x x x l x x x x x x x --=--=--- 11()(2 2.2)0.01l x x '=-- 0122021()()()()()1(1)( 1.1)0.02x x x x l x x x x x x x --=--=-- 21()(2 2.1)0.02l x x '=- 将1 x x =代入，得：01()5l x '=-，11()0l x '=， 21()5l x '=(1.1)5(1.0)0(1.1)5(1.2)f f f f '∴=-⋅+⋅+⋅50.250050.20660.217=-⨯+⨯=-四． 解：(1) 令26x f (x)e -=，则212x f (x)xe -'=-，()221221x f (x)ex-''=-，()222432001xf (x)x(x )e x ,-'''=-≠∈，当01x ≤≤时，0f (x)'''>，所以1112f (x)f ()e -''''≤=f (x)''在[0,1]上为单调函数，因此[]()()(){}()0101012x ,max f x max f ,f f ∈''''''''===由于复化梯形公式的离散误差为()()()20112n h b a E f f ,-''-ξ<ξ<因此 ()()[]()20112n x ,h b a E f max f x ∈-''≤要使 ()610n E f-≤，则只要()[]()26011012x ,h b a max f x -∈-''≤即 ()22612101012h h --=≤因此310h -≤，故可取步长310h -=，由于1b a h n n-==，因此得310n =， 故节点数至少取1001.(2)将1,x 分别代入求积公式，使得1=2=a b +⎰；1021=35a b =+⎰. 由此的51,33a b ==.对应的求积公式为1511()(1)353f f ≈+⎰，将2x代入等式21251153253==+⎰恒成立，将3x代入等式31226775=≠⎰不成立， 故该求积公式的代数精度为2.五． (1) 解：由算式1111111111(1,2,3,4),/(2,3,4),(2,3,4;2,3,4),()/(2,3,4;3,4).jj i i k kj kj km mj m k ik ik im mk kk m u a j l a u i u a l u k j l a l u u k i -=-=⎧⎪====⎪⎪=-==⎨⎪⎪=-==⎪⎩∑∑得10004215210003001210002130410001A LU ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦b Ly =→(1,3,2,8)Ty =-y Ux =→(9,1,5,8)T x =--(2) 因为10042211001220091212A LU ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎣⎦， 所以有200211110012123003TA LL -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦b Ly =→(5,0,3)Ty =T L x y =→(22,1)T x =，六． (1) 解：雅可比迭代矩阵为1022101220--⎡⎤⎢⎥=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()B D L U因为3-=-det()B I λλ，所以123===0λλλ，从而0=()B ρ，故雅可比迭代收敛。
一．一只白炽灯，假设各向发光均匀，悬挂在离地面1.5m高处，用照度计测得正下发地面上的照度为30lx，求该灯的光通量。
解：Φ=E*4ΠR^2=30*4*3.14*1.5^2=848.23lx，二．光敏电阻R与Rl=2KΩ的负载电阻串联后接于Ub=12V的直流电源上，无光照时负载上的输出电压为U1=20mv，有光照时负载上的输出电压U2=2v，求（1）光敏电阻的暗电阻和亮电阻值；（2）若光敏电阻的光电导灵敏度Sg=6*10^-6 s/lx，求光敏电阻所受的照度。
解: （1）R暗= （Ub-U1）/I暗=（Ub-U1）/(U1/Rl)=（Ub-U1）/U1*Rl=（12-2*10^-2）/2*10^-2*2*10^3=1.2*10^6Ω，R亮=(Ub-U2)/U2*Rl=（12-2）/2*2*10^3=10^4Ω，（2 ）Gd=1/R暗=8.3*10^-7s，Gl=1/R 亮=10^-4s，G= Gl - Gd=10^-4-8.3*10^-7=10^-4S，E=G/Sg=10^-4/(6*10^-6)=16.53 lx，三．已知Cds光敏电阻Rb=10MΩ，在照度为100lx的时亮电阻为R=5KΩ，用次光敏电阻控制继电器，如图所示，如果继电器的线圈电阻为4IKΩ，继电器的吸合电流为2mA,问需要多少照度是，才能使继电器吸合？如果需要在400lx时继电器才能吸合，则此电路需作如何改进？解：（1）设继电器吸合时，光敏电阻值为R1,I=U0/(R1+RJ)，得，R1=2KΩ，Sg=g/E=(G 亮-G暗)/E=G亮/E=1/(R亮*E), 可以认为R亮*E=定值，5*100=2*x，得，x=250lx，（G亮>>G暗），（2）改进：加电阻并联分流，U并=Rj*I=4KΩ*2mA=8V;加电阻串联分压，当E=400lx时，R亮’=1250Ω，R串=R1-R亮’=0.75KΩ，四 .下面为一理想运算放大器，对光电二极管2CU2的光电流进行线性放大，若2CU2未受光照时，运放输出电压U=0.6V，在E=100lx光照下，输出电压U’=2.4V，求：（1）2CU2的暗电流，（2）2CU2的电流灵敏度. 解：由运放虚短虚断得：U0=0，I暗=U/R=0.6/(1.5*10^6)=4*10^-7A,I亮=U’/R=2.4/(1.5*10^6)=1.6*10^-6A,S=Ip/E=(I亮-I暗)/E=(1.6 uA-0.4uA)/100=1.2*10^-8(A/lx).五 .现有GDB-423型PMT的光电阴极面积为2C㎡,阴极灵敏度Sk为25uA/lm,倍增系统的放大倍数为10^5,阴极额定电流为20uA,求允许的最大光照。
《误差理论与数据处理》一、填空题（每空1分，共20分）1．测量误差按性质分为 _____误差、_____误差和_____误差，相应的处理手段为_____、_____和_____。
答案：系统，粗大，随机，消除或减小，剔除，统计的手段2．随机误差的统计特性为 ________、________、________和________。
答案：对称性、单峰性、有界性、抵偿性3. 用测角仪测得某矩形的四个角内角和为360°00′04″，则测量的绝对误差为________，相对误差________。
答案：04″，3.1*10-54．在实际测量中通常以被测量的、、作为约定真值。
答案：高一等级精度的标准给出值、最佳估计值、参考值5．测量结果的重复性条件包括：、、、、。
测量人员，测量仪器、测量方法、测量材料、测量环境6. 一个标称值为5g的砝码，经高一等标准砝码检定，知其误差为0.1mg，问该砝码的实际质量是________。
5g-0.1mg7．置信度是表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数，可用_________和_________来表示。
标准差极限误差8．指针式仪表的准确度等级是根据_______误差划分的。
引用9．对某电阻进行无系差等精度重复测量，所得测量列的平均值为100.2Ω,标准偏差为0.2Ω，测量次数15次，则平均值的标准差为_______Ω，当置信因子K ＝3时，测量结果的置信区间为_______________。
0.2/sqrt(15),3*0.2/sqrt(15)10．在等精度重复测量中，测量列的最佳可信赖值是_________ 。
平均值11．替代法的作用是_________，特点是_________。
消除恒定系统误差，不改变测量条件12.对某电压做无系统误差等精度独立测量，测量值服从正态分布。
已知被测电压的真值U 0 ＝79.83 V ，标准差σ（U ）＝ 0.02V ，按99%（置信因子 k = 2.58）可能性估计测量值出现的范围： ___________________________________。
历年考研数学一真题2015-2017（答案+解析）2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ） 2．设21123()x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则（A ）321,,a b c =-==- （B ）321,,a b c ===- （C ）321,,a b c =-== （D ）321,,a b c ===【详解】线性微分方程的特征方程为20r ar b ++=，由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根．如果21r =不是特征方程的实根，则对应于()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ，其中()Q x 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得213212(),a b =-+=-=⨯=，同时*x y xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ）３．若级数1nn a∞=∑条件收敛，则33,x x ==依次为级数11()nnn na x ∞=-∑的（Ａ）收敛点，收敛点 （Ｂ）收敛点，发散点(Ｃ）发散点，收敛点 （Ｄ）发散点，发散点【详解】注意条件级数1nn a∞=∑条件收敛等价于幂级数1n nn ax ∞=∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即11limn n na a +→∞=，所以11()n n n na x ∞=-∑的收敛半径111lim()nn n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,)，显然33,x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ）４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y x ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ ）（Ａ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰（Ｂ）1231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（Ｃ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰（Ｄ）231422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：221212122sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=22141412222sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=也就是D ：432sin sin r ππθθθ⎧<<⎪⎪⎨<<22所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，所以应该选（B ）．5．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω（C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：2222111111111111201110111403110012(,)()()B A b ad a d a a d a d a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎪ ⎪==→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ----⎝⎭⎝⎭⎝方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立，当然应该选（D ）． 6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ） 2221232y y y ++ 【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，100001010T T Q P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭211T T T T f x Ax y PAPy y y⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭所以100100100210020010010011001101001001010101T T Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选择（A ）． 7．若,A B 为任意两个随机事件，则（ ）（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥ （C ）2()()()P A P B P AB +≤ （D ）2()()()P A P B P AB +≥【详解】()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2()()()P A P B P AB +≤故选择（C ）．8．设随机变量,X Y 不相关，且213,,EX EY DX ===，则2(())E X X Y +-=（ ）（A ）3- （B ）3 （C ） 5- （D ）5【详解】222225(())()()()E X X Y E X E XY EX DX EX EXEY EX +-=+-=++-=故应该选择（D ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．20ln(cos )lim x x x→= 【详解】200122ln(cos )tan lim lim x x x x x x →→-==-．10．221sin cos x x dx x ππ-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⎰ ． 【详解】只要注意1sin cos xx+为奇函数，在对称区间上积分为零，所以22202214sin .cos x x dx xdx xππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰11．若函数(,)z z x y =是由方程2cos z e xyz x x +++=确定，则01(,)|dz = ．【详解】设2(,,)cos zF x y z e xyz x x =+++-，则1(,,)sin ,(,,),(,,)z x y z F x y z yz x F x y z xz F x y z e xy '''=+-==+且当01,x y ==时，z =，所以010101001010010010(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)y x z z F F z zx y F F ''∂∂=-=-=-=∂∂'' 也就得到01(,)|dz =.dx -12．设Ω是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的空间区域，则23()dxdydz x y z Ω++=⎰⎰⎰ ．【详解】注意在积分区域内，三个变量,,x y z 具有轮换对称性，也就是dxdydz dxdydz dxdydz x y z ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11212366314()dxdydz dxdydz ()zD x y z z zdz dxdy z z dz ΩΩ++===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13．n 阶行列式20021202002212-=- ． 【详解】按照第一行展开，得1111212122()()n n n n n D D D +---=+--=+，有1222()n n D D -+=+由于1226,D D ==，得11122222()n n n D D -+=+-=-．14．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ，则{}0P XY Y -<= ．【详解】由于相关系数等于零，所以X ，Y 都服从正态分布，1101~(,),~(,)X N Y N ，且相互独立．则101~(,)X N -．{}{}{}{}1111101001001022222(),,P XY Y P Y X P Y X P Y X -<=-<=<->+>-<=⨯+⨯= 三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx=在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值．【详解】当0x →时，把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式，得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+-+++-+=++-+++ 由于当0x →时，(),()f x g x 是等价无穷小，则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得，11123,,.a b k =-=-=-16．（本题满分10分）设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =，求()f x 的表达式．【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令0y =，得000()()f x x x f x =-'曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为00000142()()(()()f x S f x x x f x =--=' 整理，得218y y '=，解方程，得118C x y =-，由于02()f =，得12C = 所求曲线方程为84.y x=- 17．（本题满分10分）设函数(,)f x y x y xy =++，曲线223:C x y xy ++=，求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数．【详解】显然11,f fy x x y∂∂=+=+∂∂． (,)f x y x y xy =++在(,)x y 处的梯度()11,,f f gradf y x x y ⎛⎫∂∂==++ ⎪∂∂⎝⎭(,)f x y 在(,)x y处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模gradf =所以此题转化为求函数2211(,)()()F x y x y =+++在条件223:C x y xy ++=下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：令2222113(,,)()()()L x y x y x y xy λλ=++++++-解方程组22212021203()()x y F x x y F y y x x y xy λλλλ⎧'=+++=⎪⎪'=+++=⎨⎪++=⎪⎩，得几个可能的极值点()11112112,,(,),(,),(,)----，进行比较，可得，在点21,x y ==-或12,x y =-=处，方向导数取到最大，3.=18．（本题满分10分）（1）设函数(),()u x v x 都可导，利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+；（2）设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式．【详解】（1）证明：设)()(x v x u y=)()()()(x v x u x x v x x u y -++=∆∆∆()()()()()()()()u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x =+∆+∆-+∆++∆-v x u x x uv ∆∆∆)()(++=xux u x x v x u x y ∆∆∆∆∆∆∆)()(++= 由导数的定义和可导与连续的关系00'limlim[()()]'()()()'()x x y u uy v x x u x u x v x u x v x x x x∆→∆→∆∆∆==+∆+=+∆∆∆（2）12()()()()n f x u x u x u x =1121212()()()()()()()()()()()n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++ 19．（本题满分10分）已知曲线L 的方程为z z x⎧=⎪⎨=⎪⎩，起点为0()A ，终点为00(,)B ，计算曲线积分2222()()()L y z dx z x y dy x y dz ++-+++⎰．【详解】曲线L的参数方程为cos ,cos x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点0()A 对应2t π=，终点为00(,)B 对应2t π=-．22222222()()()cos )(cos )))(cos )cos Ly z dx z x y dy x y dzt t d t t d t t d tππ-++-+++=+++-⎰⎰2202sin .tdt π==20．（本题满分11分） 设向量组123,,ααα为向量空间3R的一组基，113223332221,,()k k βααβαβαα=+==++．（1）证明：向量组123,,βββ为向量空间3R 的一组基；（2）当k 为何值时，存在非零向量ξ，使得ξ在基123,,ααα和基123,,βββ下的坐标相同，并求出所有的非零向量.ξ【详解】（1）()123123201020201(,,),,k k βββααα⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，因为2012102024021201k k k k ==≠++，且123,,ααα显然线性无关，所以123,,βββ是线性无关的，当然是向量空间3R 的一组基．（2）设非零向量ξ在两组基下的坐标都是123(,,)x x x ，则由条件112233112233x x x x x x αααβββ++=++可整理得：1132231320()()x k x x k ααααα++++=，所以条件转化为线性方程组()1321320,,k k x ααααα++=存在非零解．从而系数行列式应该等于零，也就是12312310110101001002020(,,)(,,k k k kαααααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭由于123,,ααα显然线性无关，所以10110020k k=，也就是0k =．此时方程组化为()112121312230,,()x x x x x x ααααα⎛⎫ ⎪=++= ⎪ ⎪⎝⎭，由于12,αα线性无关，所以13200x x x +=⎧⎨=⎩，通解为1230x C x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，其中C 为任意常数．所以满足条件的0C C ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭其中C 为任意不为零的常数． 21．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵．【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trA trB =，A B =．也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩． （2）由2120050150031()()E B λλλλλλ--=-=--=--，得A ，B 的特征值都为12315,λλλ===解方程组0()E A x -=，得矩阵A 的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 解方程组50()E A x -=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令()123231101011,,P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则1100010005.P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭22．（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为次数．求Y 的分布函数；（1） 求Y 的概率分布； （2） 求数学期望.EY 【详解】（1）X 进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为313228()ln x P X dx +∞->==⎰显然Y 的可能取值为234,,,且2211117171234888648()(),,,,k k kP Y k C k k ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设22322221111()()(),()n nn n n n x S x n n xx x x x x ∞∞∞-===''''⎛⎫⎛⎫''=-====< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 2221717116648648()()()k k n E Y kP Y k k k S -∞∞==⎛⎫⎛⎫===-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 23．（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体的简单样本．（1）求参数θ的矩估计量；（2）求参数θ的最大似然估计量． 【详解】（1）总体的数学期望为111112()()E X xdx θθθ==+-⎰ 令()E X X =，解得参数θ的矩估计量：21ˆX θ=-． （2）似然函数为12121110,,,,()(,,,;),n nn x x x L x x x θθθ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他显然()L θ是关于θ的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使θ尽可能大就可以，所以参数θ的最大似然估计量为12ˆmin(,,,).n x x x θ=2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。
昆明理工大学硕士研究生招生入学考试试题(B 卷)考试科目代码：842 考试科目名称 ：光学（几何光学基础+波动光学）一、选择题（单选，每题5分，共60分）1、在折射率为1.33的水中，可见光的波长范围大约是：（A ）380nm~760 nm （B ）286nm~571 nm （C ）380Å~760 Å （D ）0.6μm~0.7μm2、几何光学中的针孔成像实验说明了光的什么性质（A ）光的波动性 （B ）光在均匀介质中的直线传播 （C ）光的量子性 （D ）光波是横波3、几何光学中定义的主平面是指 （A ）过透镜顶点的一对切平面 （B ）垂轴放大率为+1的一对物像共轭面 （C ）轴向放大率为+1的一对物像共轭面 （D ）角放大率为+1的一对物像共轭面4、表征光学系统性能的拉格朗日-赫姆霍兹不变量由三个参数决定，不包括下面的哪一个参数 （A ）折射率 （B ）孔径角 （C ）物距或像距 （D ）物高或像高5、下列现象中不能用费马原理解释的是（Ａ）光在均匀介质中的直线传播 （Ｂ）光在介质分界面上的反射 （Ｃ）光在介质分界面处的折射 （Ｄ）光在晶体中的双折射6、在杨氏双缝干涉实验中，通常狭缝S 放置在双缝S 1和S 2的中垂线上，若现将狭缝S 向下微移离开中垂线，使S 到S 1和S 2的距离分别为r 1和r 2，同时在缝S 2前覆盖厚度为t 、折射率为n 的透明玻璃片，使中央明纹依然出现在中垂线上P 点的条件是： （A ） r 2+r 1 = ( n +1) t （B ） r 1-r 2 = ( n +1) t （C ） r 2-r 1 = ( n -1) t （D ） r 1-r 2 = ( n -1) t7、单色平行光以入射角i 倾斜照射在薄膜上，经上下 两表面反射的两束光发生干涉，如图所示，若薄膜的厚度为e , 并且折射率n 1<n 2>n 3，λ0为入射光在真空中的波长，则1、2两束反射光间的光程差为： （A ） 2n 2e -λ0/2 ；（B ） 2n 2e ；（C ） i n n e 22122sin 2--λ0/2； （D ） i n n e 22122sin 2-8、如图，自然光以角度i 1入射到劈形薄膜表面①，该光束折射后以角度i 2到达表面②，则在表面①和②光线反射后均为线偏振光的条件是（n 1、 n 2和 n 3为介质的折射率）： （A ）i 1= i 2=arctan ( n 3/n 2 )；（B ）i 1= i 2=arctan ( n 2/n 1 )； （C ）i 1= arctan (n 2/n 1 )，i 2= arctan ( n 3/n 2 )；n 3（D）i1= arctan (n1/n2)，i2= arctan ( n2/n3 )。
