统编人教A版数学高中选修第二册《5.1 导数的概念及其意义》多媒体精品ppt课件

v(2) lim y lim (t 6) 6
x x0
x0
在第2 h 附近，汽车的速度 每秒大约增加 2m / s
在第6 h 附近，汽车的速度 每秒大约减少 6m / s
练习
设f (x) x ，求f (1)
解：f (1) lim f (1 x) f (1)
x0
x
(1 x) 1
lim
x0
记为 lim h(1 t) h(1) 5
t 0
t
当时间间隔 | t | 无限趋近于0 时，平均速度v 就无限趋近于t 1 时的瞬时速度。
因此，运动员在t 1 s 时的瞬时速度v(1) 5 m / s
思考 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h ( 单位：m)
与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系
在第2 h 时，原油温度的瞬时变化率是 f (2)
y f (2 x) f (2)
x
x
在第6 h 时，原油温度的瞬时变化率是f (6)
y f (6 x) f ()
x
x
(2 x)2 7(2 x) 15 (22 7 2 15) x
4x x2 7x x 3 x
f (2) lim y lim (x 3) 3
t 0
t 0
质点A 在t 2.7 s 时的瞬时速度为10.8 m / s
3.设函数f (x) x2 1 ，求 (1)当自变量x 由1 变到1.1 时，函数的平均变化率
(2) 函数在x 1 处的导数
解：(1) f (1.1) f (1) (1.1)2 1 (12 1) 2.1
4.8 9.8t0)
4.8 9.8t0
lim x 0
x0

3．在 f′(x0)＝lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0中，Δx 不可能为(
C
)
A．大于 0 B．小于 0
C．等于 0 D．大于 0 或小于 0
强研习·重点难点要突破
研习 1 函数的平均变化率
[典例 1] (1)函数 y＝1x从 x＝1 到 x＝2 的平均变化率为( B )
A．－1
B．－12
C．－2
D．2
(2)已知函数 y＝3x－x2 在 x0＝2 处的增量为 Δx＝0.1，则ΔΔxy的值为( B )
A．－0.11
B．－1.1
C．3.89
D．0.29
(1) [解析] 平均变化率为ΔΔxy＝122－ －11＝－12. (2) [解析] ∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11， ∴ΔΔyx＝－00.1.11＝－1.1.
研习 2 求瞬时速度 [典例 2] 一个做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度．
[解] (1)当 t＝0 时的速度为初速度． 在 0 时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]， ∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2， ΔΔst＝3Δt－ΔtΔt2＝3－Δt， Δlit→m0ΔΔst＝Δlit→m0(3－Δt)＝3. ∴物体的初速度为 3.
时速度，即瞬时速度 v＝lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→ m0
st0＋ΔΔtt－st0.
知识点 2 函数的平均变化率 对于函数 y＝f(x)，设自变量 x 从 x0 变化到 x0＋Δx，相应地，函数值 y 就从 f(x0)变化到 f(x0＋Δx)．这时，x 的变化量为 Δx，y 的变化量为 Δy＝___f_(x_0_＋__Δ_x_)_－__f(_x_0_) __.我们把比值ΔΔyx， 即ΔΔyx＝f__x0_＋__Δ_Δx_x_－__f_x_0__叫做函数 y＝f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率．

自变量 x ：x0
函数 y＝f (x) x
x0 x
函数值 y ：f (x0 ) y f (x0 x) f (x0) f (x0 x)
函数 y＝f (x) 从 x0 到x0 x 的平均变化率：
y f (x0 x) f (x0 )
x
x
2020-2021学年高二数学人教A版选择 性必修 第二册5 .导数 的概念 及其几 何意义 公开课P PT全文 课件全 文课件 （共39 ppt） 【完美 课件】
问题1 高台跳水运动员的速度
h(t) 4.9t2 4.8t 11
平均速度——平均变化率
v h(1 t) h(1) 4.9t 5 t
瞬时速度——瞬时变化率
lim h(1 t) h(1) 5
t 0
t
问题2 抛物线的切线斜率
f (x) x2
割线斜率 ——平均变化率
k f (1 x) f (1) x 2 x
平均速度——平均变化率
v h(1 t) h(1) 4.9t 5 t
瞬时速度——瞬时变化率
lim h(1 t) h(1) 5
t 0
t
问题2 抛物线的切线斜率
f (x) x2
割线斜率 ——平均变化率
k f (1 x) f (1) x 2 x
切线斜率 ——瞬时变化率
lim f (1 x) f (1) 2
问题4 你能总结出求函数 y ＝ f (x) 在 x ＝ x0 处导数的步骤吗？
第一步，写出 y f (x0 x) f (x0 ) 并化简；
x
x
第二步，求极限 lim y ，
x0 x
若lim y x0 x
存在，则f (x0
)
lim

∴当 Δx→0 时，f（x0＋Δx）2－Δxf（x0－Δx）必趋于 f′(x0)＝k，
∴ lim x0
f（x0＋Δx）2－Δxf（x0－Δx）＝k，
∴ lim x0
f（x0＋Δx）Δ－xf（x0－Δx）＝2k.
规律方法 由导数的定义可知，若函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，则 f′(x)＝
[思考] 1.导数或瞬时变化率可以反应函数变化的什么特征？
提示 导数或瞬时变化率可以反应函数在某一点处变化的快慢程度. 2.函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区分和联系？ 提示 (1)平均变化率与瞬时变化率的区分：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2] 上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x＝x0处变化的快慢. (2)平均变化率与瞬时变化率的联系：当 Δx 趋于 0 时，平均变化率ΔΔyx趋于一个常数， 这个常数为函数在 x＝x0 处的瞬时变化率，它是一个固定值.
2
＝ lxim 0 Δx[
（Δx）2＋2Δx （Δx）2＋2Δx＋2＋
＝ lim 2] x0
Δx＋2 （Δx）2＋2Δx＋2＋
＝ 2
22.
规律方法 求一个函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝f（x0＋ΔxΔ）x －f（x0）；
又f′(1)＝3，∴a＝3. 答案 3
4.已知函数 f(x)＝ x，则 f′(1)＝________.
解析
f′(1)＝
f（1＋Δx）－f（1） Δx
＝ lim x0
1＋Δx－1 Δx
＝ lim x0
1＋1Δx＋1＝12.
答案
1 2
5.若 lim x0

4
巩固练习．求函数 y＝x－x在 x＝2 处的导数．
解： (导数定义法)：

4
4

Δy＝(2＋Δx)－
－2－2
2＋Δx

2Δx
＝Δx＋
，
2＋Δx
2Δx
Δx＋
2＋Δx
Δy
2
＝
＝1＋
，
Δx
Δx
2＋Δx


2
Δy
∴lim
＝lim 1＋2＋Δx＝2，
Δx→0 Δx
Δx→0

从而 y′|x＝2＝2.
= lim
.
→0
→0

巩固练习．若函数 f(x)＝－3x－1，则 f′(x)＝(
A．0 B．－3x
C．3 D．－3
)
－3x＋Δx－1－－3x－1
解析：k＝li
m
＝－3.
Δx
Δx→0
练习．如图，函数 y＝f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y＝－x＋8，
则 f(5)＋f′(5)＝________.
2
f (1 x) f (1)
则，k0 lim
x 0
(1 x) (1)
(1 x) (1)
lim
x 0
x
2
lim (x 2)
x 0
2
2
抛物线f ( x) x 在点(1,1)处的切线的斜率为 2
2
变式练习
求抛物线f ( x) x 1在点(0,1)处的切线方程.
＝li m
Δx
Δx→0
＝li m (4x0＋2Δx＋4)
Δx→0
求切点坐标可以按以下步骤进行

又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.
1.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为
√A.2.1
B.1.1
C.2
D.0
解析 ΔΔyx＝f11.1.1－－1f1＝00..211＝2.1.
12345
2.物体运动方程为 s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若 v＝
思考1 割线PPn的斜率kn是多少？ 答案 割线 PPn 的斜率 kn＝fxxnn－－fx0x0.
思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有 什么关系？
答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k.
梳理 (1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P
解析 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]， [x3，x4]上平均变化率分别为 fxx22－－fx1x1，fxx33－－fx2x2，fxx44－－fx3x3，结合图 象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].
12345
5.一物体的运动方程为s(t)＝7t2－13t＋8，则t0＝_1_时该物体的瞬时速度为1.
(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势.自变量的改变量Δx取值 越小，越能准确体现函数的变化情况.
利用导数定义求导数：
(1)取极限前，要注意化简ΔΔyx，保证使 Δx→0 时分母不为 0. (2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关. (3)导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.
2.若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又ΔΔst＝st0＋ΔΔtt－st0＝(2t0＋1)＋Δt. Δlit→m0ΔΔst＝Δlit→m0(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.

=
=
−1
1 + ∆ − 1
= ∆ + 2
切线的斜率
− 1
1 + ∆ 2 − 1
=
=
= ∆ + 2
−1
1 + ∆ − 1
当∆无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1
的一边无限趋近于1时，割线0 的斜率k都无限趋近于2
由 =
1+∆ −(1)
∆
= ∆ + 2
但 ∆可正、可负；
∆ = (2 ) − (1 )是函数值的改变量，可正、
可负，也可为0， 因此平均变化率可正、可负，也可为零
函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f(x)没有变化
瞬时变化率
函数 f(x) 在 x = x0 处的 瞬时变化率
是函数 f(x) 从 x0 到 x0 + ∆x 的平均变化率
A.0
B.-1 C.3
D.-6
答案 D
解析
(0+Δ)-(0)
Δ
则切线斜率
=
(Δ)2 -6Δ-0
=Δx-6,
Δ
f(0+x)-f(0)
k= lim
x
Δ→0
= (Δx-6)=-6.
x→0
)
规律方法 求曲线上某点(x0,f(x0))处的割线或切线斜率的步骤
f(x 0 +x)-f(x 0 )
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
= = 2 − 7 + 15(0 ≤ ≤ 8) .
计算第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

答案：B 解析：由导数的定义，知函数 f (x) 在 x x0 处的导数与 x0 有关，与 h 无关.故选 B.
3.已知函数 y f (x) 2 ，且 f (m) 1 ，则 m 的值为( )
x
2
A.-4
B.2
C.-2
D. 2
答案：D
解析：
y
f (m x)
f (m)
2 2 m x m
9.已知函数 f (x) 在 x x0 处的导数为 12，则 lim f x0 x f x0 的值为( )
x0
3x
A.-4
B.4
C.-36
D.36
答案：A
解析：因为函数 f (x) 在 x x0 处的导数为 12，
所以 lim f x0 x f x0 1 lim f x0 f x0 x 12 4 .故选 A.
A. (2,6)
B. (1,2)
C. (2,2)
D. (2,6) 或(2, 2)
答案：C
解析：由题意，得切线斜率 k 3 ，设切点为 x0, x02 x0 ，
则 lim x0 x2 x0 x x02 x0
x0
x
2x0 1，所以 2x0 1 3 ，
所以 x0 2 ，则切点为 (2,2) .故选 C.
lim(Δx 3) 3 . Δx0
同理可得 f (6) 5 .
在第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为 3C / h 与5C / h .
说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 3C / h 的速率下降；在第 6 h 附近，
原油温度大约以 5C / h 的速率上升. 一般地， f (x0 )(0 x0 8) 反映了原 油温度在时刻 x0 附近的变化情况.

()
【答案】(1)A (2)D 【解析】(1)由导数的几何意义知，导函数递增，则说明函数切线斜 率随x增大而变大． (2) 从 导 函 数 的 图 象 可 知 两 个 函 数 在 x0 处 斜 率 相 同 ， 可 以 排 除 B ， C．再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x) 的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A．
【预习自测】
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)曲线y＝f(x)上的每一点都有切线．
()
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． ( )
【答案】(1)× (2)×
导数的几何意义
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ __Δ_lxi_m→_0_f(_x_0＋__Δ_Δ_xx)_－__f_(x_0_)__＝f′(x0)．
易错警示 混淆曲线“在”或“过”某点的切线致误
求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．
【错解】∵Δy＝f(Δx＋0)－f(0)＝(Δx)3－3(Δx)2＋Δx， ∴ΔΔyx＝1－3Δx＋(Δx)2， ∴f′(0)＝ lim [1－3Δx＋(Δx)2]＝1.
Δx→0
故所求切线方程为 y＝x.
(2)导数f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的 ___斜__率___，物理意义是运动物体在x0时刻的__瞬__时__速__度___．
【预习自测】
如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么 ()
A．f′(x0)>0
B．f′(x0)<0
【答案】3227 －31，2237 【解析】设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)， 因为 y′＝Δlxi→m0(x＋Δx)3－(x＋ΔxΔ)2x＋1－(x3－x2＋1) ＝3x2－2x，则 y′|x＝x0＝3x20－2x0＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－13，

成本增加的速度为 1 050
元/m2.
问题探究
我们知道，导数 ′ 0 表示函数y = 在 = 0 处的瞬时变化率，反映了
函数y = 在 = 0 附近的变化情况，那么导数 ′ 0 的几何意义是什么？
观察思考
观察函数 = 的图像 ，
平均变化率
∆ 0 +∆ −(0 )
(
)
解析： (1)根据导数的几何意义知正确．
(2)若|f (x0)|越大，瞬时变化率越大，故错误．
(3)根据导函数的定义知正确．
(4)若 f ′(x0)＝0 说明曲线在 x＝x0 处切线平行于 x 轴，不能说不存在．
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
f1＋Δx－f1
2．已知函数 y＝f (x)是可导函数，且 f ′(1)＝2，则lim
人教2019 A版 选择性必修二
第五章 一元函数的导数及其应
5.1.2导数的概念及其几何意义
学习目标
1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．
2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义．
引言
前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬
时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率。这两类问题来自不
(1)函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的导数即为在该点处的斜率，也就是 k＝
f ′(x0)．
(
)
(2)f ′(x1)＞f ′(x2)反映了曲线在 x＝x1 处比在 x＝x2 处瞬时变化率较大．
(
)
(3)f ′(x0)就是导函数 y＝f ′(x)在 x0 处的函数值．
(
)
(4)若 f ′(x0)＝0，则曲线在 x＝x0 处切线不存在．