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课时达标检测（二十） 三角函数的图象与性质[小题对点练——点点落实]对点练(一) 三角函数的定义域和值域) (是的值a －b ，则]b ，a [，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的定义域为x 2cos ＝y 已知函数)考安徽联·(2018．1 A ．2 B ．3 2＋3C.3－2．D －b ，所以2,1]－[的值域为x 2cos ＝y ，所以函数⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的定义域为x 2cos ＝y 因为函数 B 选解析：a ＝1－(－2)＝3，故选B.)(为的最大值与最小值分别x 2sin －x 2cos ＝y ．函数2 A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1D ．2，－2 ＝y ，1,1]－[∈t ，则x sin ＝t ，令1＋x 2sin －x 2sin －＝x 2sin －x 2sin －1＝x 2sin －x 2cos ＝y D 选解析： 2.－，最小值为2为，所以最大值2＋21)＋t (－＝1＋t 2－2t － )(为的值ab ，则[5,8]的值域是)x (f 时，函数]π，0[∈x ，若b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos2x 2＋sin x a ＝)x (f ．已知函数3 224－42或51－215．A 15－215．B 224－42．C 224＋42或51＋215．D .b ＋a ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin a 2＝b ＋)x sin ＋x cos ＋1(a ＝)x (f A 选解析： ，5π4≤π4＋x ≤π4∴，π≤x ≤0∵ 0.≠a ，依题意知1≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ≤22－∴ 5.＝b ，3－23＝a ∴⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，时，0>a 当① 8.＝b ，23－3＝a ∴⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝5，b ＝8，时，0<a 当② 8.＝b ，23－3＝a 或5＝b ，3－23＝a 综上所述， .224－42或51－215＝ab 所以)(1]如例⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≤b，b ，a>b.＝b *a 定义运算：)考湖南衡阳八中月·(2018．4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22A. 1,1]－[．B ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22D. 解析：选D 根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可．设x ∈[0,2π]，，x >sin x cos ，时π2≤x <5π4或π4<x ≤0当，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22∈)x (f ，x cos ＝)x (f ，x cos ≥x sin ，时5π4≤x ≤π4当.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22的值域为)x (f 综上知．]1,0－[∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，22∈)x (f ，x sin ＝)x (f ________________.＝x ，此时________为的最大值⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42cos －3＝y ．函数5 ．)Z ∈k (πk 2＋3π4＝x ，即πk 2＋π＝π4＋x ，此时5＝2＋3为的最大值⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42cos －3＝y 函数解析： )Z ∈k (πk 2＋3π45答案： 对点练(二) 三角函数的性质) (为的单调递增区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 2sin ＝y )考安徽六安一中月·(2018．1 )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π12，kπ＋5π12A. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋5π12，kπ＋11π12B. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π3，kπ＋π6C. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，kπ＋2π3D. 5π12＋πk ，即)Z ∈k (3π2＋πk 2≤π3－x 2≤π2＋πk 2∴，⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32sin －＝y 函数可化为∵ B 选解析：．)Z ∈k (11π12＋πk ≤x ≤ 2．(2018·云南检测)下列函数中，存在最小正周期的是( )A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x | |x tan|＝y ．C01)＋2x (＝y ．D ＝T ，最小正周期x cos ＝|x cos|＝y ：B ；不是周期函数⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x≥0，－sin x ，x<0，＝|x sin|＝y ：A B 选解析：，无最小正周期．1＝01)＋2x (＝y ：D ；不是周期函数⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x≥0，－tan x ，x<0，＝|x tan|＝y ：C ；π2 π12＝x 的图象关于直线)<14ω(1<⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π43cos ＝)x (f 若函数)模辽宁抚顺一·(2018．3对称，则ω＝( )A ．2B ．3C ．6D ．9 ，即Z ∈k ，πk ＝π4－ωπ12∴对称，π12＝x 的图象关于直线)<14ω(1<⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π43cos ＝)x (f ∵ B 选解析：ω＝12k ＋3，k ∈Z .∵1<ω<14，∴ω＝3.故选B.)(＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6f ，则)x －(f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x f 都有x 对任意)φ＋x ω2sin(＝)x (f 若函数)考福建六校联·(2018．4 A ．2或0 B ．0 C ．－2或0D ．－2或2 ，可知函数图象的一条对称轴为)x －(f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x f 都有x 对任意)φ＋x ω2sin(＝)x (f 由函数 D 选解析：－或2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6f ∴时，函数取得最大值或者最小值．π6＝x 根据三角函数的性质可知，当.π6＝π3×12＝x 直线 2.故选D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x f，都有x 对任意实数②是偶函数；)x (f ①同时具有以下两个性质：)x (f ．若函数5)(是的解析式可以)x (f 则.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x f ＝ xcos ＝)x (f ．A ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ＝)x (f ．B ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2sin ＝)x (f ．Cx cos 6＝)x (f ．D 是偶函x cos ＝)x (f ∵对称，π4＝x 数，且它的图象关于直线是偶函)x (f 由题意可得，函数 C 选解析：sin －＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ＝)x (f 函数∵A.除对称，故排π4＝x ，不是最值，故不满足图象关于直线22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4f 数，，是最小值，1－＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4f 是偶函数，x cos 4＝⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2sin ＝)x (f 函数∵B.除是奇函数，不满足条件，故排x 2，不是最值，故0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4f 是偶函数．x cos 6＝)x (f 函数∵满足条件．C 故对称，π4＝x 故满足图象关于直线 D.除对称，故排π4＝x 不满足图象关于直线∈x 对一切⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤)x (f 若.0≠ab ，R ∈b ，a ，其中x cos 2b ＋x sin 2a ＝)x (f 已知)考洛阳统·(2018．6) (是的单调递增区间)x (f ，则0＞⎝ ⎛⎭⎪⎫π2f 恒成立，且R ) Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π3，kπ＋π6A. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，kπ＋2π3B. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ，kπ＋π2C. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π2，kπD. 是π6＝x ∴，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤)x (f ∵.b a ＝φtan 中，其)φ＋x sin(2a2＋b2＝x cos 2b ＋x sin 2a ＝)x (f B 选解析：的取值可以φ∴，0＞⎝ ⎛⎭⎪⎫π2f ．又)Z ∈k (πk ＋π6＝φ，)Z ∈k (πk ＋π2＝φ＋π3的图象的一条对称轴，即)x (f 函数k (2π3＋πk ≤x ≤π6＋πk 得)Z ∈k (π2＋πk 2≤5π6－x 2≤π2－πk 2由，⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6sin a2＋b2＝)x (f ∴，5π6是－∈Z )，故选B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0的图象关于)π<θ)(0<θ＋x cos(2＋)θ＋x sin(23＝)x (f 若函数)检河北石家庄一·(2018．7) (是上的最小值⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6在)x (f 对称，则函数 1－．A 3．－B 12．－C 32．－D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2f ，则由题意，知⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋θ＋π62sin ＝)θ＋x cos(2＋)θ＋x sin(23＝)x (f B 选解析：上是减函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4在)x (f ，x 2sin 2－＝)x (f ，所以5π6＝θ，所以π<θ0<又，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋θ＋π62sin B.选，故3＝－π32sin －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6f 上的最小值为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6在)x (f 函数[大题综合练——迁移贯通].⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π222sin ＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3cos ＝)x (f 设函数)模湖南岳阳二·(2017．1 (1)求f (x )的最小正周期和对称轴方程；的值域．)x (f 时，求⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4∈x 当)(2)π＋x cos(2－1＋x sin 232＋x cos 212＝)x (f (1)解： ，1＋⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3sin 3＝1＋x sin 232＋x cos 232＝ 所以f (x )的最小正周期T ＝π. ，Z ∈k ，π2＋πk ＝π3＋x 2由 .Z ∈k ，π12＋kπ2＝x 得对称轴方程为 ，5π6≤π3＋x 2≤π3，所以－π4≤x ≤π3因为－)(2 .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3＋1的值域为)x (f 所以 1.－x 2 cos ＋2)x cos ＋x (sin ＝)x (f 已知函数)拟北京怀柔区模·(2018．2 (1)求函数f (x )的最小正周期；上的最大值和最小值．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4在区间)x (f 求函数)(2 ，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4sin 2＝x cos2＋x sin 2＝x cos2＋x cos x 2sin ＝1－x cos 2＋2)x cos ＋x (sin ＝)x (f ∵(1)解： .π＝2π2＝T 的最小正周期)x (f 函数∴ .⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4sin 2＝)x (f 可知，)(1由)(2 ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4∈π4＋x 2∴，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4∈x ∵ 1.－，2上的最大值和最小值分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4在区间)x (f 故函数.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1∈⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4sin ∴ ．)R ∈x (x cos 23－x cos x 2sin ＝)x (f 已知函数)模辽宁葫芦岛普通高中二·(2017．3 的值；αcos 2求，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2π3∈α且12＝)α(f 若)(1 的最小值．a 上单调递增，求实数)b <a (]πb ，πa [在)x (f ，且函数b 上的最大值为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2在)x (f 记函数)(2 .⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32sin ＝x cos 23－x sin 2＝)x (f (1)解： .14＝⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3sin ∴，12＝)α(f ∵ ，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2π3∈α∵，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π∈π3－α2∴ .154＝－⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3cos ∴ 32×14－12×154＝－⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＋π3cos ＝α2 cos ∴ .3＋158＝－∈k ，πk 2＋π2≤π3－x 2≤πk 2＋π2由－.2＝b ∴，[1,2]∈)x (f ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3∈π3－x 2，时⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2∈x 当)(2Z ，.Z ∈k ，πk ＋5π12≤x ≤πk ＋π12得－ 又∵函数f (x )在[a π，2π](a <2)上单调递增，，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋2π，5π12＋2π⊆]π2，πa [∴ ，π2<πa ≤π2＋π12－∴ .2312的最小值是a 实数∴，2<a ≤2312∴。
课时作业11 函数与方程〖基础达标〗 、选择题．〖2021·河南濮阳模拟〗函数f (x )＝ln2x －1的零点所在区间为( ) ．(2,3) B ．(3,4) ．(0,1) D ．(1,2)．函数f (x )＝x 2＋ln x －2021的零点个数是( ) ．3B ．2 ．1D ．0．根据表中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( ).(－1,0) B ．(0,1) ．(1,2) D ．(2,3)．〖2021·四川绵阳模拟〗函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) ．(1,3) B ．(1,2) ．(0,3) D ．(0,2)．〖2021·大同调研〗已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >03x ，x ≤0，且函数h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( ) ．〖1，＋∞) B ．(1，＋∞) ．(－∞，1) D ．(－∞，1〗 、填空题．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________．．〖2021·新疆适应性检测〗设a ∈Z ，函数f (x )＝e x ＋x －a ，若x ∈(－1,1)时，函数有零点，则a 的取值个数为________．．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．、解答题．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． 1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．0．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1. 1)求函数f (x )的解析式；2)若函数g (x )＝f (x )－mx 的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，求m 的取值范围．〖能力挑战〗1．〖2021·天津部分区质量调查〗已知函数f (x )＝若关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个不同的实数根a ，b ，c ，则a ＋b ＋c 的取值范围是( ).⎝⎛⎭⎫12，1B.⎝⎛⎭⎫34，1 .⎝⎛⎭⎫34，2D.⎝⎛⎭⎫32，22．〖2021·长沙市四校高三年级模拟考试〗已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x |，x ≤01x ，x >0，若方程f (x )＝a (x＋3)有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) ．(－∞，4－23) B ．(4－23，4＋23) ．(0,4－23〗 D ．(0,4－23)3．〖2021·山西省六校高三阶段性测试〗函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5(－15≤x ≤10)的图象与函数y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2图象的所有交点的横坐标之和为______．课时作业11．〖解 析〗由f (x )＝ln 2x －1，得函数是增函数，并且是连续函数，f (1)＝ln 2－1<0，f (2)＝ln 4－1>0，根据函数零点存在性定理可得，函数f (x )的零点位于区间(1,2)上，故选D. 答 案〗D．〖解 析〗由题意知x >0，由f (x )＝0得ln x ＝2021－x 2，画出函数y ＝ln x 与函数y ＝2021－x 2的图象(图略)，即可知它们只有一个交点．故选C. 答 案〗C．〖解 析〗设f (x )＝e x －(x ＋2)，则f (1)＝－0.28<0，f (2)＝3.39>0，故方程e x －x －2＝0的一个根在区间(1,2)内．故选C.答 案〗C．〖解 析〗由题意，知函数f (x )在(1,2)上单调递增，又函数的一个零点在区间(1,2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故选C 项． 答 案〗C．〖解 析〗h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，即方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，即f (x )＝－x ＋a 有且只有一个实根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点．在同一坐标系中作出函数f (x )的图象和直线y ＝－x ＋a ，如图所示，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点，则有a >1，故选B.答 案〗B．〖解 析〗由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.答 案〗－12．〖解 析〗根据函数解析式得到函数f (x )是单调递增的．由零点存在性定理知若x ∈(－1,1)时，函数有零点，需要满足⎩⎨⎧f (－1)<0，f (1)>0⇒1e －1<a <e ＋1，因为a 是整数，故可得a 的可能取值为0,1,2,3. 答 案〗4．〖解 析〗当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点．令f (x )＝0，得a ＝2x .因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是(0,1〗． 答 案〗(0,1〗．〖解 析〗(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.以函数f (x )的零点为3和－1.2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同的实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0,1)．0．〖解 析〗(1)由f (0)＝2得c ＝2，又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1，得2ax ＋a ＋b ＝2x －1，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，所以f (x )＝x 2－2x ＋2. 2)g (x )＝x 2－(2＋m )x ＋2，若g (x )的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，则满足⎩⎨⎧g (－1)>0，g (2)<0，g (4)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧5＋m >0，2－2m <0，10－4m >0，解得1<m <52.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，52. 1．〖解 析〗假设a <b <c ，通过作图可得a ∈⎝⎛⎭⎫－12，0，b ＋c ＝2，所以a ＋b ＋c ∈⎝⎛⎭⎫32，2，故选D 项． 答 案〗D2．〖解 析〗方程f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根可化为函数y ＝f (x )与y ＝a (x ＋3)的图象有四个不同的交点，易知直线y ＝a (x ＋3)恒过点(－3,0)，作出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，结合函数图象，可知a >0且直线y ＝a (x ＋3)与曲线y ＝－x 2－2x ，x ∈〖－2,0〗有两个不同的公共点，所以方程x 2＋(2＋a )x ＋3a ＝0在〖－2,0〗上有两个不等的实数根，令g (x )＝x 2＋(2＋a )x＋3a ，则实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2＋a )2－12a >0－2<－2＋a2<0g (0)＝3a ≥0g (－2)＝a ≥0，解得0≤a <4－23，又a >0，所以实数a 的取值范围是(0,4－23)，故选D.答 案〗D3．〖解 析〗函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5(x ∈R )的图象关于点(－1,0)对称．对于函数y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2，当x ＝－1时，y ＝0，当x ≠－1时，易知函数y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2＝5x ＋1＋1x ＋1在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，且当x ∈(－1，＋∞)时，y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2的最大值为52，函数图象关于点(－1,0)对称．对于函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5，当x ＝0时，y ＝5sin π5>5sin π6＝52，所以在(－1,0)内两函数图象有一个交点．根据两函数图象均关于点(－1,0)对称．可知两函数图象的交点关于点(－1,0)对称，画出两函数在〖－15,10〗上的大致图象，如图，得到所有交点的横坐标之和为－1＋(－2)×3＝－7.答 案〗－7。
课时达标检测（四十） 直线与方程[小题对点练——点点落实]对点练(一) 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系 1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.2．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1解析：选C 由l 1∥l 3得k ＝5；由l 2∥l 3得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.故若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10.故选C.3．(2018·山东省实验中学月考)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C 的位置关系是________．解析：由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin Aa，bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，故k 1k 2＝－sin A a ·bsin B ＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y＋sin C ＝0垂直．答案：垂直4．若直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)， 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3， 解得k <－1或k >12.故其斜率的取值范围为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 对点练(二) 直线的方程1．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym ＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号，故选B.2．过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2解析：选A ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为34π.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴其方程为x ＝2.3．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 设点B 的坐标为(a,0)(a >0)，由OA ＝AB ，得12＋32＝(1－a )2＋(3－0)2，则a ＝2. ∴点B (2,0)．易知k AB ＝－3，由两点式，得AB 的方程为y －3＝－3(x －1)．4．(2018·北京西城区月考)已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x－1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝05．已知直线l 过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b .则直线l 的方程为__________________．解析：①若a ＝3b ＝0，则直线过原点(0,0)， 此时直线斜率k ＝－12，直线方程为x ＋2y ＝0.②若a ＝3b ≠0，设直线方程为x a ＋y b ＝1，即x 3b ＋yb ＝1.因为点P (2，－1)在直线上，所以b ＝－13.从而直线方程为－x －3y ＝1，即x ＋3y ＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0. 答案：x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0对点练(三) 直线的交点、距离与对称问题1．若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则直线l 的倾斜角α为( ) A ．135° B ．45° C ．30°D ．60°解析：选B 由题意知，PQ ⊥l ，∵k PQ ＝a ＋1－bb －1－a＝－1，∴k l ＝1，即tan α＝1，∴α＝45°.故选B.2．已知点A (1，－2)，B (m,2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：选C 因为线段AB 的中点⎝⎛⎭⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入解得m ＝3. 3．P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( ) A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1,2)或(2，－1)．4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2) 解析：选B 直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2)．5．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．解析：由题意得，63＝a－2≠c －1，∴a ＝－4，c ≠－2.则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0.∴21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c2＋113，∴c ＋2＝±4，∴c ＋2a＝±1. 答案：±16.如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)， ∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)7．过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为_________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴l 1与l 2交点为(1,2)，设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2，解得k ＝0或k ＝43，∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. 答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝0[大题综合练——迁移贯通]1．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围；(2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0. 又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.2．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3， 所以直线l 恒过定点(－2,3)． (2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大． 又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15， 所以直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)， 即5x ＋y ＋7＝0.3．过点P (4,1)作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解：设直线l ：x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)， 因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b ＝1.(1)因为4a ＋1b ＝1≥24a ·1b ＝4ab， 所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立， 所以当a ＝8，b ＝2时，S △AOB ＝12ab 最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b ＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a≥5＋2 a b ·4ba＝9， 当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.。
[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是( ) A ．(6，＋∞) B ．(－3,6) C ．(－3，＋∞)D ．[－3,6)解析：要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x ＞0，解得－3≤x ＜6. 答案：D2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A ．－74 B ．74 C.43D ．－43解析：令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.答案：B3．(2017届黄山质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1解析：f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1.即f (x )＝x ＋1.故选A.答案：A4．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2B ．2C ．－2或2D ． 2解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2；当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解．所以x 0＝2，故选B. 答案：B5．(2017届长沙四校联考)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.故选C. 答案：C6．函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．[1，＋∞)解析：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x ＞0，x ≠0，1－x 2≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞0，x ≠0，－1≤x ≤1.解得0<x ≤1.∴原函数的定义域为(0,1]． 答案：B7．已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,3]，则函数g (x )＝f (3x )x －1的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，1 B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,3]D ．[0,1)∪(1,9]解析：由⎩⎪⎨⎪⎧0≤3x ≤3，x －1≠0可得0≤x ＜1，所以所求函数的定义域是[0,1)，故选B.答案：B8．(2017届河南濮阳检测)函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 C ．(－1,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＞0，x ＋1≠0，解得x ＜12且x ≠－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.答案：D9．(2017届四川成都检测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧f (－x )，x ＞2，ax ＋1，－2≤x ≤2，f (x ＋5)，x ＜－2，若f (2 016)＝0，则a ＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：由于f (2 016)＝f (－2 016)＝f (－403×5－1)＝f (－1)＝－a ＋1＝0，故a ＝1.答案：C10．(2017届山西太原一模)若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x ，则f (2)等于( ) A.12 B ．e C.1eD ．－1解析：解法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e 1－t，即f (x )＝1e 1－x ，故f (2)＝e.解法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e＝e ，即f (2)＝e.答案：B11．(2017届山东潍坊二模)函数f (x )＝1ln (5－2x )＋e x －1的定义域为( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[0,2]D ．[0,2)解析：要使函数有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧ln (5－2x )＞0，e x －1≥0，解得0≤x ＜2，故定义域为[0,2)，选D.答案：D12．(2017届江苏泰州检测)已知函数f (x )＝3－2x ＋1的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝________.解析：由题意，知A ＝R ，B ＝(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)13．(2018届唐山市五校联考)函数y ＝110x－2的定义域为________． 解析：由10x －2>0得，10x >2， ∴x >lg 2.答案：(lg 2，＋∞)14．设二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)，且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴截得的线段长为22，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0)， 由f (x －2)＝f (－x －2)得，x ＝－b2a ＝－2， ∴4a －b ＝0，①∵f (x )在y 轴上截距为1，∴c ＝1. 又∵f (x )在x 轴截得的线段长为2 2. 即|x 1－x 2|＝22， ∴b 2－4ac |a |＝22，即b 2－4a ＝8a 2.②解①②可得a ＝12，b ＝2，c ＝1， ∴f (x )＝12x 2＋2x ＋1.[能 力 提 升]1．(2018届河南新乡调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ，x ≤10，－lg (x ＋2)，x ＞10，若f (8－m 2)＜f (2m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－4,2)B ．(－4,1)C ．(－2,4)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：由函数f (x )的图象可知函数f (x )在R 上单调递减，因此由f (8－m 2)＜f (2m )可得8－m 2＞2m ，解得－4＜m ＜2.故选A.答案：A2．(2017届广西名校摸底考试)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12恒成立，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈(－2,0)时，f (x )＝( )A ．2＋|x ＋1|B ．3－|x ＋1|C ．|x －2|D ．|x ＋4|解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴f (x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )的周期为2，当x ∈(0,1)时，有x ＋2∈(2,3)，故f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋2.同理，当x ∈[－2，－1]时，有f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4，又知f (x )是偶函数，故x ∈(－1，0)时，有－x ∈(0,1)，故f (x )＝f (－x )＝2－x ，则x ∈(－2,0)时，f (x )＝3－|x ＋1|.答案：B3．(2017届浙江余姚一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ＜3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ，3≤x ≤15，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则x 3＋x 4x 1x 2的值等于( )A ．18πB ．18C ．9πD ．9解析：如图是函数f (x )的图象，由已知，得13＜x 1＜1＜x 2＜3＜x 3＜6＜12＜x 4＜15，且log 3x 2＝－log 3x 1，所以x 1x 2＝1.x 3＋x 4＝9×2，即x 3＋x 4＝18，因此x 3＋x 4x 1x2＝18，故选B.答案：B4．(2017届山东潍坊检测)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则实数a 的值为________．解析：由函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，易知当x ＝12时，1－a 2x ＝0，即1－a2＝0，所以a ＝ 2.答案： 2。
课时达标检测（十一） 函数与方程[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的零点问题1．(2018·河北武邑中学基础训练)方程ln(x ＋1)－2x ＝0(x >0)的根存在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选B 令f (x )＝ln(x ＋1)－2x ，则f (1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2<0，f (2)＝ln 3－1>0，所以函数f (x )的零点所在大致区间为(1,2)．故选B.2．(2018·四川双流中学必得分训练)函数f (x )＝2x ＋2x 的零点所处的区间是( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[1,2]解析：选B f (－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f (－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f (0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f (x )的零点在区间[－1,0]上．故选B.3．(2018·云南大理州统测)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－x (x ＋2)，x ≤0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 当x >0时，令f (x )＝0可得x ＝1；当x ≤0时，令f (x )＝0可得x ＝－2或x ＝0.因此函数的零点个数为3.故选D.4．关于x 的方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图所示，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点，即方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是2.5．函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选B 令2sin πx －x ＋1＝0，得2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为函数h (x )与g (x )的图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h ⎝⎛⎭⎫52>g ⎝⎛⎭⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点共5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.对点练(二) 函数零点的应用问题1．已知函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 52)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)解析：选C ∵单调函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，∴f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1，故选C.2．(2018·甘肃天水一中月考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1}解析：选C 由题意，显然x ＝1是函数f (x )的一个零点，取a ＝－1，则f (x )＝ln x ＋x 2－x ，f ′(x )＝2x 2－x ＋1x ＝2⎝⎛⎭⎫x －142＋78x>0恒成立．则f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除A 、D ；取a ＝1，则f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1－2x 2＋x x ＝(1＋2x )(1－x )x，f ′(x )＝0得x ＝1，则f (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f (x )max ＝f (1)＝0，即f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除B ，故选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 017x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1,2 017)B ．(1,2 018)C ．[2,2 018]D ．(2,2 018)解析：选D 作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ，如图所示，不妨设a <b <c ，当0≤x ≤1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ，B ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log 2 017x ＝1，解得x ＝2 017.若满足f (a )＝f (b )＝f (c )，且a ，b ，c 互不相等，由a <b <c 可得1<c <2 017，因此可得2<a ＋b ＋c <2 018，即a ＋b ＋c ∈(2，2 018)．故选D.4．(2018·孝感模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，14B.⎝⎛⎭⎫－14，12 C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎣⎡⎦⎤－14，12 解析：选C依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)<0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]<0，解得14<m <12.5．(2018·广东七校联合体联考)若函数f (x )＝2x ＋a 2x －2a 的零点在区间(0,1)上，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选C 易知函数f (x )的图象连续，且在(0,1)上单调递增．∴f (0)f (1)＝(1－2a )(2＋a 2－2a )<0，解得a >12.6．已知x 0是f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0解析：选C 在同一坐标系下作出函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝－1x 的图象(图略)，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，⎝⎛⎭⎫12x >－1x ；当x ∈(x 0,0)时，⎝⎛⎭⎫12x <－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0.7．(2018·龙岩质检)已知f (x )是奇函数，且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是________．解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案：－788．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)[大题综合练——迁移贯通]1．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a.①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，∴无解．②当－1<－12a <0，即a >12时， 须使⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．2．(2018·德州模拟)已知函数f (x )＝－x 2－2x .g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3，∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. 3．(2018·信阳模拟)已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1)． (1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．解：(1)证明：∵函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2＋1)＝log 22x 1＋12x 2＋1，∵x 1<x 2，∴0<2x 1＋12x 2＋1<1，∴log 22x 1＋12x 2＋1<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． (2)∵g (x )＝m ＋f (x )， ∴m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1，∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4，∴log 213≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1≤log 235，故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤log 213，log 235.。
课时达标检测(十一） 函数的图象及其应用[练基础小题——强化运算能力]1．函数f (x )＝sin xx 2＋1的图象大致为________．(填序号)解析：因为f (x )＝sin xx 2＋1，所以f (0)＝f (π)＝f (－π)＝0，排除③④；当0＜x ＜π时，sin x ＞0，所以当0＜x ＜π时，f (x )＞0，排除②，故①正确．答案：①2.已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为________．(填序号)解析：由y ＝f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，1，1＜x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，0≤x ≤1，2－x ，1＜x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1，x －2，1＜x ≤2.结合图象可知②正确．答案：②3．若变量x ，y 满足|x |－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数图象大致是________．(填序号)解析：由|x |－ln 1y ＝0，得y ＝1e |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x，x ≥0，e x ，x ＜0，利用指数函数图象可知②正确．答案：②4.如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y 与行走时间x 的函数y ＝f (x )的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是________．(填序号)解析：由图象知，张大爷晨练时，离家的距离y 随行走时间x 的变化规律是先匀速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小．故张大爷的行走的路线可能如④所示．答案：④5.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝________.解析：∵由图象知f (3)＝1，∴1f (3)＝1.∴f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝f (1)＝2.答案：2[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中正确的个数为________．解析：将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来；图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化规律是先快后慢再快，正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．答案：32.如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为________．(填序号)解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除①③.当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝1＋5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2 2.∵22＜1＋5，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＜f ⎝⎛⎭⎫π4＝ f ⎝⎛⎭⎫3π4，从而排除④.所以②正确．答案：②3．函数y ＝x 33x －1的图象大致是________．(填序号)解析：由题意得，x ≠0，排除①；当x ＜0时，x 3＜0，3x－1＜0，∴x 33x －1＞0，排除②；又∵x →＋∞时，x 33x －1→0，排除④，故③正确．答案：③ 4.函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论中正确的结论的序号是________． ①a ＞0，b ＞0，c ＜0；②a ＜0，b ＞0，c ＞0；③a ＜0，b ＞0，c ＜0；④a ＜0，b ＜0，c ＜0.解析：函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c ＞0，∴c ＜0.令x ＝0，得f (0)＝bc 2，又由图象知f (0)＞0，∴b ＞0.令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－ba＞0，∴a ＜0.故③正确．答案：③5．(2018·南京模拟)已知函数y ＝f (x )及y ＝g (x )的图象分别如图所示，方程f (g (x ))＝0和g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 和b ，则ab ＝________.解析：由图象知，f (x )＝0有3个根，分别记为0，±m ，其中1＜m ＜2，g (x )＝0有2个根，分别记为n ，p ，－2＜n ＜－1,0＜p ＜1，由f (g (x ))＝0，得g (x )＝0或±m ，由图象可知当g (x )所对应的值为0，±m 时，其都有2个根，因而a ＝6；由g (f (x ))＝0，知f (x )＝n 或p ，由图象可以看出当f (x )＝n 时，有1个根，而当f (x )＝p 时，有3个根，即b ＝1＋3＝4.所以ab ＝24.答案：246.如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，点P 以1 cm/s 的速度沿A →B →C 的路径向C 移动，点Q 以2 cm/s 的速度沿B →C →A 的路径向A 移动，当点Q 到达A 点时，P ，Q 两点同时停止移动．记△PCQ 的面积关于移动时间t 的函数为s ＝f (t )，则f (t )的图象大致为________．(填序号)解析：当0≤t ≤4时，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，此时PB ＝6－t ，QC ＝8－2t ，则s ＝f (t )＝12QC ×BP ＝12(8－2t )×(6－t )＝t 2－10t ＋24；当4≤t ≤6时，点P 在AB 上，点Q 在CA 上，此时AP ＝t ，P 到AC 的距离为45t ，QC ＝2t －8，则s ＝f (t )＝12QC ×45t ＝12(2t －8)×45t＝45(t 2－4t )；当6≤t ≤9时，点P 在BC 上，点Q 在CA 上，此时CP ＝14－t ，QC ＝2t －8，则s ＝f (t )＝12QC ×CP sin ∠ACB ＝12(2t －8)·(14－t )×35＝35(t －4)·(14－t )．综上，函数f (t )对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是①.答案：①7．(2018·石家庄模拟)若函数y ＝f (x )的图象过点(1,1)，则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________．解析：由于函数y ＝f (4－x )的图象可以看作y ＝f (x )的图象先关于y 轴对称，再向右平移4个单位长度得到．点(1,1)关于y 轴对称的点为(－1,1)，再将此点向右平移4个单位长度，可推出函数y ＝f (4－x )的图象过定点(3,1)．答案：(3,1)8．(2018·泰兴调研)给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b ＜a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为________．解析：设g (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}，则f (x )＝g (x )＋4，故把g (x )的图象向上平移4个单位长度，可得f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．答案：(4,5)9.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，－1≤x ＜0，2－x ，0≤x ＜2，令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，则g (x )的定义域为(－1，＋∞)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2－x ，y ＝log 2(x ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}． 答案：{x |－1＜x ≤1}10．若当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象始终在函数y ＝log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝(x －1)2和y＝log a x 的图象．由于当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象恒在函数y ＝log a x 的图象的下方，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 2≥1，解得1＜a ≤2.答案：(1,2] 二、解答题11．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R)，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 解：(1)∵f (4)＝0， ∴4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x ＜4.f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的单调递减区间是[2,4]．(4)从f (x )的图象可知，当a ＞4或a ＜0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，即方程f (x )＝a 只有一个实数根，所以a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．12．设函数f (x )＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)的对称图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求函数g (x )的解析式；(2)若直线y ＝b 与C 2有且仅有一个公共点，求b 的值，并求出交点的坐标．解：(1)设曲线C 2上的任意一点为P (x ，y )，则P 关于A (2，1)的对称点P ′(4－x,2－y )在C 1上，所以2－y ＝4－x ＋14－x， 即y ＝x －2＋1x －4＝(x －3)2x －4，所以g (x )＝(x －3)2x －4(x ≠4)．(2)由(x －3)2x －4＝b ，得(x －3)2＝b (x －4)(x ≠4)．所以x 2－(b ＋6)x ＋4b ＋9＝0(x ≠4)(*)有唯一实根．由Δ＝[－(b ＋6)]2－4(4b ＋9)＝b 2－4b ＝0，得b ＝0或b ＝4， 把b ＝0代入(*)式得x ＝3，所以g (3)＝(3－3)23－4＝0；把b ＝4代入(*)式得x ＝5，所以g (5)＝(5－3)25－4＝4，所以当b ＝0或b ＝4时，直线y ＝b 与C 2有且仅有一个公共点，且交点的坐标为(3,0)或(5,4)．。
课时达标检测(十一） 函数的图象及其应用[练基础小题——强化运算能力]1．函数f (x )＝sin xx 2＋1的图象大致为________．(填序号)解析：因为f (x )＝sin xx 2＋1，所以f (0)＝f (π)＝f (－π)＝0，排除③④；当0＜x ＜π时，sin x ＞0，所以当0＜x ＜π时，f (x )＞0，排除②，故①正确．答案：①2.已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为________．(填序号)解析：由y ＝f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，1，1＜x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，0≤x ≤1，2－x ，1＜x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1，x －2，1＜x ≤2.结合图象可知②正确． 答案：②3．若变量x ，y 满足|x |－ln 1y ＝0，则y 关于x 的函数图象大致是________．(填序号)解析：由|x |－ln 1y ＝0，得y ＝1e |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x，x ≥0，e x ，x ＜0，利用指数函数图象可知②正确．答案：②4.如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y 与行走时间x 的函数y ＝f (x )的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是________．(填序号)解析：由图象知，张大爷晨练时，离家的距离y 随行走时间x 的变化规律是先匀速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小．故张大爷的行走的路线可能如④所示．答案：④5.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝________.解析：∵由图象知f (3)＝1，∴1f (3)＝1.∴f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝f (1)＝2.答案：2[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中正确的个数为________．解析：将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来；图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化规律是先快后慢再快，正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．答案：32.如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为________．(填序号)解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除①③.当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝1＋5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2 2.∵22＜1＋5，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＜f ⎝⎛⎭⎫π4＝ f ⎝⎛⎭⎫3π4，从而排除④.所以②正确．答案：②3．函数y ＝x 33x －1的图象大致是________．(填序号)解析：由题意得，x ≠0，排除①；当x ＜0时，x 3＜0，3x－1＜0，∴x 33x －1＞0，排除②；又∵x →＋∞时，x 33x －1→0，排除④，故③正确．答案：③ 4.函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论中正确的结论的序号是________． ①a ＞0，b ＞0，c ＜0；②a ＜0，b ＞0，c ＞0；③a ＜0，b ＞0，c ＜0；④a ＜0，b ＜0，c ＜0.解析：函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c ＞0，∴c ＜0.令x ＝0，得f (0)＝bc 2，又由图象知f (0)＞0，∴b ＞0.令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－ba＞0，∴a ＜0.故③正确．答案：③5．(2018·南京模拟)已知函数y ＝f (x )及y ＝g (x )的图象分别如图所示，方程f (g (x ))＝0和g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 和b ，则ab ＝________.解析：由图象知，f (x )＝0有3个根，分别记为0，±m ，其中1＜m ＜2，g (x )＝0有2个根，分别记为n ，p ，－2＜n ＜－1,0＜p ＜1，由f (g (x ))＝0，得g (x )＝0或±m ，由图象可知当g (x )所对应的值为0，±m 时，其都有2个根，因而a ＝6；由g (f (x ))＝0，知f (x )＝n 或p ，由图象可以看出当f (x )＝n 时，有1个根，而当f (x )＝p 时，有3个根，即b ＝1＋3＝4.所以ab ＝24.答案：246.如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，点P 以1 cm /s 的速度沿A →B →C 的路径向C 移动，点Q 以2 cm/s 的速度沿B →C →A 的路径向A 移动，当点Q 到达A 点时，P ，Q 两点同时停止移动．记△PCQ 的面积关于移动时间t 的函数为s ＝f (t )，则f (t )的图象大致为________．(填序号)解析：当0≤t ≤4时，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，此时PB ＝6－t ，QC ＝8－2t ，则s ＝f (t )＝12QC ×BP ＝12(8－2t )×(6－t )＝t 2－10t ＋24；当4≤t ≤6时，点P 在AB 上，点Q 在CA 上，此时AP ＝t ，P 到AC 的距离为45t ，QC ＝2t －8，则s ＝f (t )＝12QC ×45t ＝12(2t －8)×45t＝45(t 2－4t )；当6≤t ≤9时，点P 在BC 上，点Q 在CA 上，此时CP ＝14－t ，QC ＝2t －8，则s ＝f (t )＝12QC ×CP sin ∠ACB ＝12(2t －8)·(14－t )×35＝35(t －4)·(14－t )．综上，函数f (t )对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是①.答案：①7．(2018·石家庄模拟)若函数y ＝f (x )的图象过点(1,1)，则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________．解析：由于函数y ＝f (4－x )的图象可以看作y ＝f (x )的图象先关于y 轴对称，再向右平移4个单位长度得到．点(1,1)关于y 轴对称的点为(－1,1)，再将此点向右平移4个单位长度，可推出函数y ＝f (4－x )的图象过定点(3,1)．答案：(3,1)8．(2018·泰兴调研)给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b ＜a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为________．解析：设g (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}，则f (x )＝g (x )＋4，故把g (x )的图象向上平移4个单位长度，可得f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．答案：(4,5)9.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，－1≤x ＜0，2－x ，0≤x ＜2，令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，则g (x )的定义域为(－1，＋∞)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2－x ，y ＝log 2(x ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}． 答案：{x |－1＜x ≤1}10．若当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象始终在函数y ＝log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝(x －1)2和y＝log a x 的图象．由于当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象恒在函数y ＝log a x 的图象的下方，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 2≥1，解得1＜a ≤2.答案：(1,2] 二、解答题11．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R)，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 解：(1)∵f (4)＝0， ∴4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x ＜4.f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的单调递减区间是[2,4]．(4)从f (x )的图象可知，当a ＞4或a ＜0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，即方程f (x )＝a 只有一个实数根，所以a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．12．设函数f (x )＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)的对称图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求函数g (x )的解析式；(2)若直线y ＝b 与C 2有且仅有一个公共点，求b 的值，并求出交点的坐标．解：(1)设曲线C 2上的任意一点为P (x ，y )，则P 关于A (2，1)的对称点P ′(4－x,2－y )在C 1上，所以2－y ＝4－x ＋14－x， 即y ＝x －2＋1x －4＝(x －3)2x －4，所以g (x )＝(x －3)2x －4(x ≠4)．(2)由(x －3)2x －4＝b ，得(x －3)2＝b (x －4)(x ≠4)．所以x 2－(b ＋6)x ＋4b ＋9＝0(x ≠4)(*)有唯一实根．由Δ＝[－(b ＋6)]2－4(4b ＋9)＝b 2－4b ＝0，得b ＝0或b ＝4， 把b ＝0代入(*)式得x ＝3，所以g (3)＝(3－3)23－4＝0；把b ＝4代入(*)式得x ＝5，所以g (5)＝(5－3)25－4＝4，所以当b ＝0或b ＝4时，直线y ＝b 与C 2有且仅有一个公共点，且交点的坐标为(3,0)或(5,4)．。
课时追踪检测( 十一 )1．函数f (x1) ) ＝ 2 －的零点所在的大概区间是 (xx11 A.0，2B．2，1C．1，33， 2 2D．2答案： B1121分析：由题意知，函数 f ( x)在(0，＋∞)上单一递加，且 f 2＝ 2－ 2＜ 0，f (1) ＝ 21，1 上．－ 1＞ 0，所以函数的零点在区间22．若函数f (x) ＝ax＋b有一个零点是2，那么函数() ＝bx2－ax的零点是 ()g xA．0,21B．0，2 11C．0，－2D．2，－2答案： C分析：由已知得b＝－2a，所以 g( x)＝－2ax2－ax＝－ a(2 x2＋ x)．令 g( x)＝0，得 x1＝0，1x2＝－2.3．已知函数f ( x) ＝5－ log x，若 x是函数 y＝ f ( x)的零点，且0＜x＜x，则f ( x) 的1 x30101值 ()A．恒为正当B．等于 0C．恒为负值D．不大于 0答案： A分析：注意到函数1 x3上是减函数，所以当10f ( x)＝5－ log x在(0 ，＋∞ )0＜x＜ x 时，有10．f ( x) ＞f ( x )又 x0是函数 f ( x)的零点，所以 f ( x0)＝0，所以 f ( x1)＞0，即此时 f ( x1)的值恒为正当，应选 A.4．若函数 f ( x)＝ ax2－ x－1有且仅有一个零点，则实数 a 的取值为()1A．0B．－ 4C．0 或－1D．2 4答案： C分析：当 a＝0时，函数 f ( x)＝－ x－1为一次函数，则－ 1 是函数的零点，即函数仅有一个零点；当 a≠0时，函数 f ( x)＝ax2－ x－1为二次函数，而且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－ x－1＝0有两个相等实根．1∴Δ＝ 1＋ 4a＝ 0，解得a＝－.41综上，当 a＝0或 a＝－4时，函数有且仅有一个零点．5．已知a是函数f ( x) ＝ 2x－ log 1x 的零点，若000<x <a，则f ( x ) 的值知足 ()2A．f ( x0) ＝ 0B．f ( x0)>0C．f ( x0)<0D．f ( x0) 的符号不确立答案： C分析：在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝log 1x 的图象(图略)，由图象可知，当0<x0<a2时，有 2x0<log 1 x0，即f ( x0)<0.26．若定义在R 上的偶函数 f ( x)知足 f ( x＋2)＝ f ( x)，且当 x∈时， f ( x)＝ x，则函数 y＝f ( x)－log3| x|的零点有()A．多于 4 个B．4 个C．3 个D．2 个答案： B分析：∵偶函数 f ( x)知足 f ( x＋2)＝ f ( x)，故函数的周期为 2.当 x∈时， f ( x)＝ x，故当 x∈时， f ( x)＝－ x.函数 y＝f ( x)－log3| x|的零点的个数等于函数y＝ f ( x)的图象与函数y＝log3| x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f ( x)的图象与函数y＝log3| x|的图象，如下图．明显函数 y＝f ( x)的图象与函数y＝log3| x|的图象有4个交点，应选 B.7．若函数 f ( x ) ＝ ( m － 2) x 2＋ mx ＋ (2 m ＋ 1) 的两个零点分别在区间 ( －1,0) 和区间 (1,2) 上，则的取值范围是 ( )mA. 1 1B ． 1 1－ ，－ ，2 44 2111 1C ． 4，2D ． 4，2答案： C≠2，m分析：依题意，联合函数f ( x )的图象剖析可知，mf ，需知足 f －ff，m ≠2，即[－2－＋＋＋，mmmm[ m －2＋ m ＋m ＋m － ＋ 2m ＋m ＋ ，1 1 解得 <m < .4 28．已知函数f ( x) ＝ e x ＋ ， ( x ) ＝ln x ＋ ， ( ) ＝ － 1 的零点挨次为，，，则( )x gx h xx4a b cxA ．<<B ．<<c b aa b cC ．c <a <bD ．b <a <c答案： B分析：由f ( ) ＝ 0 得 e x ＝－ ，由 ( x ) ＝ 0 得 lnx ＝－ x ，由 ( ) ＝ 0 得 x ＝ 1，得 c ＝ 1.xxgh x在平面直角坐标系中，分别作出函数y ＝ e x ， y ＝－ x ， y ＝ ln x 的图象如下图，由图象可知， a <0,0< b <1，所以 a <b <c .9．已知f ( ) ＝x ＋3， x ≤1，则函数 () ＝ ( x ) － e x 的零点个数为 ________．－ x 2＋2x ＋ 3， x >1，x g x f答案： 2分析：函数(x ) ＝(x) － e x的零点个数即为函数＝(x) 与y＝ e x的图象的交点个数．作g f y f出函数图象可知有 2 个交点，即函数g( x)＝ f ( x)－e x有2个零点．10．函数f ( x) ＝ 3x－7＋ ln x 的零点位于区间( n，n＋ 1)( n∈ N) 上，则n＝ ________.答案： 2分析：求函数 f ( x)＝3x－7＋ln x 的零点，能够大概估量两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，因为ln 2<ln e＝ 1，所以 f (2)<0， f (3)＝2＋ln 3，因为 ln 3>1 ，所以f (3)>0，所以函数 f ( x)的零点位于区间(2,3)上，故 n＝2.x2－1， x<1，11．已知函数f ( x) ＝log 1 x ，≥ ，若对于 x 的方程 f ( x)＝ k 有三个不一样的实根，x12则实数 k 的取值范围是________．答案： ( － 1,0)分析：对于 x 的方程 f ( x)＝ k 有三个不一样的实根，等价于函数 f ( x)与函数 y＝k 的图象有三个不一样的交点，作出函数的图象如下图，由图可知实数k 的取值范围是(－1,0)．1 x12．给定方程＋sin x－1＝0，以下命题中：①方程没有小于0 的实数解；②方程有无数个实数解；③方程在 ( －∞， 0) 内有且只有一个实数解；④若 x0是方程的实数解，则x0>－1.此中，正确命题的序号是________．答案：②③④1 x分析：在同一坐标系中画出函数y＝2－1与 y＝－sin x(该函数的值域是) 的大概图象1 x ( 图略 ) ，联合图象可知，它们的交点中，横坐标为负的交点，有且只有一个，所以方程2＋sin x－ 1＝ 0 在 ( －∞， 0) 内有且只有一个实数解，故③正确，①不正确，由图象易知②，④均正确．1．设a是方程 2ln x－3＝－ x 的解，则 a 在以下哪个区间上()A．(0,1)B．(3,4)C．(2,3)D．(1,2)答案： D分析：令 f ( x)＝2ln x－3＋ x，则函数 f ( x)在(0，＋∞)上递加，且 f (1)＝－ 2<0，f (2)＝ 2ln 2 － 1＝ ln 4 － 1>0，所以函数f ( x) 在 (1,2) 上有零点，即a在区间 (1,2)上．2．已知函数f ( x) ＝2x－ 1，x≤1，则函数 f ( x)的零点为() 21＋ log x，x>1，1A. 2，0B．－ 2,01C．2D．0答案： D分析：当 x≤1时，由 f ( x)＝2x－1＝0，得 x＝0；1当 x>1时，由 f ( x)＝1＋log2x＝0，解得 x＝，2又因为x>1，所以此时方程无解，函数 f ( x)的零点只有0. 应选 D.1，x>0，3．已知符号函数sgn( x) ＝0，x＝ 0，则函数 f ( x)＝sgn(ln x)－ln x的零点个数－1，x<0.为 ()A．1B．2C．3D．4答案： C1－ ln x，x>1，分析：依题意得 f ( x)＝0，x＝1，－ 1－ ln x， 0<x<1，1令 f ( x)＝0得 x＝e,1，e，所以函数有 3 个零点，应选 C.4．已知函数f (x2x－ 1，x>0，() ＝(x) －m有 3m ) ＝若函数个零点，则实数－ x2－2x，x≤0，g x f的取值范围是 ________．答案： (0,1)f (x) ＝2x－ 1，2x－ 1，x>0，分析：－ x2－2x ＝2＋ 1，x≤0，图象如图．－ x＋由(x ) ＝() －有 3 个零点，知f(x) ＝有三个根，则实数的范围是 (0,1) ．g f x m m m5.已知对于 x 的二次方程 x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，此中一根在区间(－1,0)上，另一根在区间 (1,2) 上，求m的取值范围．解：由条件，抛物线 f ( x)＝ x2＋2mx＋2m＋1与 x 轴的交点分别在区间( － 1,0) 和(1,2)上，如下图．<－ 1 ，m 2f＝ 2m ＋1<0，∈ R ，f－＝ 2>0，m得?1f ＝ 4m ＋ 2<0， m <－2，f＝6 ＋ 5>0m5m >－6，51即－ 6<m <－ 2.51故 m 的取值范围是 － 6，－ 2 .6．若对于 x 的方程 2xx有实根，务实数 a 的取值范围．2 ＋ 2 a ＋ a ＋ 1＝0解：解法一： ( 换元法 ) 设 t ＝ 2x ( t >0) ，则原方程可变成 t 2＋ at ＋ a ＋ 1 ＝0， (*)原方程有实根，即方程(*) 有正根．令 f ( t ) ＝ t 2＋ at ＋ a ＋ 1.(1) 若方程(*)有两个正实根t 1， t 2，则＝ a 2－ a ＋ ，t 1 ＋t 2＝－ a >0， t 1 ·t 2＝ a ＋ 1>0，解得－ 1＜ a ≤2－ 2 2；(2) 若方程 (*) 有一个正实根和一个负实根( 负实根，不合题意，舍去) ，则 f (0) ＝ a ＋ 1<0，解得 a <－ 1；(3) 当 a ＝－ 1 时， t ＝1， x ＝ 0 切合题意．综上可知，实数 a 的取值范围是 ( －∞， 2－ 2 2 ] ．22x ＋ 1解法二： ( 分别变量法 ) 由方程，解得 a ＝－ 2x ＋ 1 ， 设 t ＝2 x( t >0) ，则 ＝－ t2＋ 1＝－ t ＋2－ 1at ＋ 1t ＋ 12＝2－t ＋＋ t ＋ 1 ，此中 t ＋ 1>1，由基本 ( 均值 ) 不等式，得 ( t ＋ 1) ＋ t 2＋ 1≥2 2， 当且仅当 t ＝2－ 1 时取等号，故 a ≤2－ 22.综上可知，实数 a 的取值范围是 ( －∞， 2－ 2 2 ] ．。
课时跟踪检测（十一） 函数与方程(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 12xB ．y ＝2x－1C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3解析：选B 函数y ＝log 12x 在定义域上单调递减，y ＝x 2－12在(－1,1)上不是单调函数，y ＝－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x －1，当x ＝0∈(－1,1)时，y ＝0且y ＝2x－1在R 上单调递增．故选B.2．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选B 依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．3.(2018·四川双流中学必得分训练)函数f (x )＝2x＋2x 的零点所处的区间是( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[1,2]解析：选B f (－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f (－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f (0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f (x )的零点在区间[－1,0]上．故选B.4.(2018·甘肃天水一中月考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1}解析：选C 由题意，显然x ＝1是函数f (x )的一个零点，取a ＝－1，则f (x )＝ln x＋x 2－x ，f ′(x )＝2x 2－x ＋1x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋78x>0恒成立．则f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除A 、D ；取a ＝1，则f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1－2x 2＋xx ＝＋2x －xx，令f ′(x )＝0，得x ＝1，则f (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f (x )max ＝f (1)＝0，即f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除B ，故选C.5．(2018·云南第一次统一检测)已知a ，b ，c ，d 都是常数，a ＞b ，c ＞d .若f (x )＝2 018－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a ＞c ＞b ＞dB ．a ＞b ＞c ＞dC ．c ＞d ＞a ＞bD ．c ＞a ＞b ＞d解析：选D f (x )＝2 018－(x －a )·(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 018，又f (a )＝f (b )＝2 018，c ，d 为函数f (x )的零点，且a ＞b ，c ＞d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象如图所示，由图可知c ＞a ＞b ＞d ，故选D.6．函数f (x )＝e x＋12x －2的零点有______个．解析：∵f (x )在R 上单调递增， 又f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －32>0，∴函数f (x )有且只有一个零点． 答案：17．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ＞0，x 2－x －2，x ≤0，则其零点为________．解析：当x ＞0时，由f (x )＝0，即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1；当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2.因为x ≤0，所以x ＝－1.综上，函数的零点为1，－1. 答案：1，－18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象如图所示．由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得0＜m ＜1，即m ∈(0,1)．答案：(0,1)9.已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.求证：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.证明：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0. 又∵函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上是连续不断的曲线， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0. 10．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式．(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围． 解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋2x .又因为f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.(2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点．作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，只需－1＜a ＜1，故a 的取值范围为(－1,1)． B 级——拔高题目稳做准做1.已知x 0是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1x的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0解析：选C 因为x 0是函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1x 的一个零点，所以f (x 0)＝0，因为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上是单调递减函数，且x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，所以f (x 1)＞f (x 0)＝0＞f (x 2)．2.设函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0解析：选A 因为函数f (x )＝e x＋x －2在R 上单调递增，且f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －1>0，所以f (a )＝0时，a ∈(0,1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－2<0，所以g (a )<0.由g (2)＝ln 2＋1>0，所以g (b )＝0时，b ∈(1,2)， 又f (1)＝e －1>0，所以f (b )>0. 综上可知，g (a )<0<f (b )．3.(2018·福建宁德一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋3，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0，若方程f (f (x ))－2＝0恰有三个实数根，则实数k 的取值范围是________． 解析：∵f (f (x ))－2＝0，∴f (f (x ))＝2， ∴f (x )＝－1或f (x )＝－1k(k ≠0)．(1)当k ＝0时，作出函数f (x )的图象如图①所示， 由图象可知f (x )＝－1无解，∴k ＝0不符合题意； (2)当k ＞0时，作出函数f (x )的图象如图②所示， 由图象可知f (x )＝－1无解且f (x )＝－1k无解，即f (f (x ))－2＝0无解，不符合题意；(3)当k ＜0时，作出函数f (x )的图象如图③所示， 由图象可知f (x )＝－1有1个实根，∵f (f (x ))－2＝0有3个实根，∴f (x )＝－1k有2个实根，∴1＜－1k ≤3，解得－1＜k ≤－13.综上，k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－13.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－1，－134.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．解析：函数y ＝|x |为偶函数，且左减右增．函数y ＝x 2－2mx ＋4m (x＞m )图象的对称轴为x ＝m ，且在对称轴右侧单调递增．故当x ≤m 时函数f (x )先减后增，当x ＞m 时函数f (x )单调递增，画出函数大致图象如图所示，要使f (x )＝b 有三个不同的根，则必须满足m ＞m 2－2m 2＋4m ，解得m ＞3.答案：(3，＋∞)5．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧f －＞0，f ＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a ＞0，1－2a ＜0，34－a ＞0，解得12＜a ＜34.故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34.6.已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝f xx－4ln x 的零点个数． 解：(1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}， ∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. ∵f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，∴a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x－4ln x －2(x >0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x＝x －x －x2.令g′(x)＝0，得x＝1或x＝3.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)上仅有1个零点．。
课时跟踪检测（十一） 函数与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．已知函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为______． 解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－122．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是______．解析：设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1. 答案：(－∞，1)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为______．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，由此解得b ＝－4，c ＝－2.由g (x )＝0得f (x )＋x ＝0，该方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2＋x ＝0，①或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0.②解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2. 因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3. 答案：34．(2019·连云港调研)已知函数f (x )＝2－x 2－x ＋b 有一个零点，则实数b 的取值范围为________．解析：由已知，函数f (x )＝2－x 2－x ＋b 有一个零点，即函数y ＝x －b 和y ＝2－x 2的图象有1个交点，如图，其中与半圆相切的直线方程为y ＝x ＋2，过点(0，2)的直线方程为y ＝x ＋2，所以满足条件的b 的取值范围是b ＝－2或－2＜b ≤ 2.答案：{－2}∪(－2，2]5．(2018·苏州质检)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为________．解析：作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3.答案：36．(2018·泰州中学上学期期中)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有________个．解析：在同一直角坐标系中分别作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象，如图，结合图象知，共有10个交点．答案：10二保高考，全练题型做到高考达标1．设x 0为函数f (x )＝2x＋x －2的零点，且x 0∈(m ，n )，其中m ，n 为相邻的整数，则m ＋n ＝________.解析：函数f (x )＝2x＋x －2为R 上的单调增函数，又f (0)＝1＋0－2＝－1＜0，f (1)＝2＋1－2＝1＞0，所以f (0)·f (1)＜0，故函数f (x )＝2x＋x －2的零点在区间(0,1)内，故m ＝0，n ＝1，m ＋n ＝1.答案：12．(2018·镇江中学检测)已知函数f (x )＝2x＋2x －6的零点为x 0，不等式x －4＞x 0的最小的整数解为k ，则k ＝________.解析：函数f (x )＝2x＋2x －6为R 上的单调增函数，又f (1)＝－2＜0，f (2)＝2＞0，所以函数f (x )＝2x＋2x －6的零点x 0满足1＜x 0＜2，故满足x 0＜n 的最小的整数n ＝2，即k －4＝2，所以满足不等式x －4＞x 0的最小的整数解k ＝6.答案：63．已知方程2x ＋3x ＝k 的解在[1,2)内，则k 的取值范围为________． 解析：令函数f (x )＝2x＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x＋3x ＝k 的解在(1,2)内时，f (1)·f (2)＜0， 即(5－k )(10－k )＜0，解得5＜k ＜10. 当f (1)＝0时，k ＝5.综上，k 的取值范围为[5,10)． 答案：[5,10)4．(2019·太原模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是________．解析：依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f －f ＜0，f f ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋m ＋m ＋＜0，[m －2＋m ＋m ＋m －＋2m ＋m ＋＜0，解得14＜m ＜12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 5．(2018·无锡期末)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥1，x ·log 2x ＋，x ＜1，若方程f (x )－mx ＝0恰好有3个零点，则实数m 的取值范围为________．解析：当x ≥1时，方程f (x )－mx ＝0变为1－mx ＝0，解得x ＝1m；当－1＜x ＜1时，方程f (x )－mx ＝0变为x [log 2(x ＋1)－m ]＝0，解得x ＝0或x ＝2m－1.因为f (x )－mx ＝0恰好有3个零点，所以1m≥1，且－1＜2m－1＜1，解得0＜m ＜1，故实数m 的取值范围为(0,1)． 答案：(0,1)6．(2019·镇江调研)已知k 为常数，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －1，x ≤0，|ln x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有且只有4个不同的解，则实数k 的取值范围为________．解析：作出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有且只有4个不同解，当直线y ＝kx ＋2与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，n )，可得n ＝ln m ，y ＝ln x 的导数为y ′＝1x (x ＞1)，可得k ＝1m，则n ＝km ＋2，解得m ＝e 3，k ＝e －3，则实数k的取值范围为(0，e －3)．答案：(0，e －3)7．(2018·苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，2x ＋1，x ≤0，若直线y ＝ax 与y ＝f (x )交于三个不同的点A (m ，f (m ))，B (n ，f (n ))，C (t ，f (t ))(其中m ＜n ＜t )，则n ＋1m＋2的取值范围是________．解析：由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1＝am ，ln n ＝an ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋1m ＝a ，ln nn ＝a ，所以n ＋1m＋2＝n ＋ln n n ，令g (n )＝n ＋ln n n ，当f (x )＝ln x ，x ＞0与y ＝ax 相切时，由f ′(x )＝1x ，得1x＝a ，又ln x ＝ax ，解得x ＝e ，所以要满足题意，则1＜n ＜e.由g ′(n )＝1＋1－ln n n2＞0，所以g (n )＝n ＋ln n n 在(1，e)上单调递增，所以g (n )＝n ＋1m ＋2∈⎝⎛⎭⎪⎫1，e ＋1e .答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，e ＋1e8．(2018·南京、盐城一模)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x＋m2x ，设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ＞1，f－x ，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________．解析：因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋m ·2x＝－(2x ＋m ·2－x)，解得m ＝－1，故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2－x， x ＞1，2－x －2x，x ≤1，作出函数g (x )的图象(如图所示)．当x ＞1时，g (x )单调递增，此时g (x )＞32；当x ≤1时，g (x )单调递减，此时g (x )≥－32，所以当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32时，y ＝g (x )－t 有且只有一个零点．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 9．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断 过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧f －＞0，f ＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a ＞0，1－2a ＜0，34－a ＞0，解得12＜a ＜34.故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34.10．(2018·通州中学检测)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1，g (x )＝a 2x 2＋bx ＋1.若函数f (x )有两个不同零点x 1，x 2，函数g (x )有两个不同零点x 3，x 4.(1)若x 3＜x 1＜x 4，试比较x 2，x 3，x 4的大小关系； (2)若x 1＝x 3＜x 2，m ，n ，p ∈(－∞，x 1)，f mg n ＝f n g p ＝f pg m，求证：m ＝n ＝p .解：(1)因为函数g (x )的图象开口向上，且零点为x 3，x 4， 故g (x )＜0⇔x ∈(x 3，x 4)．因为x 1，x 2是f (x )的两个不同零点， 故f (x 1)＝f (x 2)＝0.因为x 3＜x 1＜x 4，故g (x 1)＜0＝f (x 1)，于是(a 2－a )x 21＜0. 注意到x 1≠0，故a 2－a ＜0. 所以g (x 2)－f (x 2)＝(a 2－a )x 22＜0， 故g (x 2)＜f (x 2)＝0，从而x 2∈(x 3，x 4)， 于是x 3＜x 2＜x 4.(2)证明：记x 1＝x 3＝t ，故f (t )＝at 2＋bt ＋1＝0，g (t )＝a 2t 2＋bt ＋1＝0，于是(a －a 2)t 2＝0.因为a ≠0，且t ≠0，故a ＝1. 所以f (x )＝g (x )且图象开口向上．所以对∀x ∈(－∞，x 1)，f ′(x )递增且f ′(x )＜0，g (x )递减且g (x )＞0.若m ＞n ，则f ′(n )＜f ′(m )＜0，1g n＞1g p＞0，从而g (p )＞g (n )＞0，故n ＞p .同上，当n ＞p 时，可推得p ＞m .所以p ＞m ＞n ＞p ，矛盾．所以m ＞n 不成立． 同理，n ＞m 亦不成立． 所以m ＝n .同理，n ＝p . 所以m ＝n ＝p .三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·镇江期中)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |＋3，x ＞0，－x 2－2x －2，x ≤0，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋4b ＋1＝0有4个不同的实数根，则实数b 的取值范围是________．解析：令t ＝f (x )，则原方程等价于t 2＋bt ＋1＋4b ＝0. 作出函数f (x )的图象如图所示．由图象可知，当t ＞3，－2≤t ＜－1时，函数y ＝t 和y ＝f (x )各有两个交点，要使方程f 2(x )＋bf (x )＋4b ＋1＝0有4个不同的实数根，则方程t 2＋bt ＋1＋4b ＝0有两个根t 1，t 2，且t 1＞3，－2≤t 2＜－1.令g (t )＝t 2＋bt ＋1＋4b ，则由根的分布可得⎩⎪⎨⎪⎧g －＝5＋2b ≥0，g －＝2＋3b ＜0，g＝10＋7b ＜0，解得－52≤b＜－107.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，－1072．(2019·南京调研)设函数f k (x )＝2x ＋(k －1)·2－x(x ∈R ，k ∈Z)． (1)若f k (x )是偶函数，求不等式f k (x )＞174的解集；(2)设不等式f 0(x )＋mf 1(x )≤4的解集为A ，若A ∩[1,2]≠∅，求实数m 的取值范围； (3)设函数g (x )＝λf 0(x )－f 2(2x )－2，若g (x )在x ∈[1，＋∞)上有零点，求实数λ的取值范围．解：(1)因为f k (x )是偶函数，所以f k (－x )＝f k (x )恒成立， 即2－x＋(k －1)·2x ＝2x ＋(k －1)·2－x， 所以k ＝2.由2x ＋2－x ＞174，得4·22x －17·2x＋4＞0，解得2x ＜14或2x＞4，即x ＜－2或x ＞2，所以不等式f k (x )＞174的解集为{x |x ＜－2或x ＞2}．(2)不等式f 0(x )＋mf 1(x )≤4，即为2x －2－x ＋m ·2x≤4，所以m ≤2－x －2x＋42x，即m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋4·12x －1. 令t ＝12x ，x ∈[1,2]，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12， 设h (t )＝t 2＋4t －1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，则h (t )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝54.由A ∩[1,2]≠∅，即不等式f 0(x )＋mf 1(x )≤4在[1,2]上有解， 则需m ≤h (t )max ，即m ≤54.所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54. (3)函数g (x )＝λ(2x －2－x )－(22x ＋2－2x)－2在x ∈[1，＋∞)上有零点，即λ(2x－2－x)－(22x＋2－2x)－2＝0在x ∈[1，＋∞)上有解，因为x ∈[1，＋∞)，所以2x－2－x＞0，所以问题等价于λ＝22x＋2－2x＋22x －2－x在x ∈[1，＋∞)上有解． 令p ＝2x，则p ≥2，令u ＝p －1p，则u 在p ∈[2，＋∞)上单调递增， 因此u ≥32，λ＝u 2＋4u.设r (u )＝u 2＋4u ＝u ＋4u ，则r ′(u )＝1－4u 2，当32≤u ≤2时，r ′(u )≤0，即函数r (u )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2上单调递减，当u ≥2时，r ′(u )≥0，即函数r (u )在[2，＋∞)上单调递增，所以函数r (u )在u ＝2时取得最小值，且最小值r (2)＝4， 所以r (u )∈[4，＋∞)，从而满足条件的实数λ的取值范围是[4，＋∞)．。
课时达标检测（十一） 函数与方程[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的零点问题1．(2018·河北武邑中学基础训练)方程ln(x ＋1)－2x ＝0(x >0)的根存在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选B 令f (x )＝ln(x ＋1)－2x ，则f (1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2<0，f (2)＝ln 3－1>0，所以函数f (x )的零点所在大致区间为(1,2)．故选B.2．(2018·四川双流中学必得分训练)函数f (x )＝2x ＋2x 的零点所处的区间是( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[1,2]解析：选B f (－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f (－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f (0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f (x )的零点在区间[－1,0]上．故选B.3．(2018·云南大理州统测)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－x (x ＋2)，x ≤0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 当x >0时，令f (x )＝0可得x ＝1；当x ≤0时，令f (x )＝0可得x ＝－2或x ＝0.因此函数的零点个数为3.故选D.4．关于x 的方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图所示，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点，即方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是2.5．函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选B 令2sin πx －x ＋1＝0，得2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为函数h (x )与g (x )的图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h ⎝⎛⎭⎫52>g ⎝⎛⎭⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点共5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.对点练(二) 函数零点的应用问题1．已知函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，－log 32) B ．(0，log 52) C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)解析：选C ∵单调函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，∴f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1，故选C.2．(2018·甘肃天水一中月考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1}解析：选C 由题意，显然x ＝1是函数f (x )的一个零点，取a ＝－1，则f (x )＝ln x ＋x 2－x ，f ′(x )＝2x 2－x ＋1x ＝2⎝⎛⎭⎫x －142＋78x>0恒成立．则f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除A 、D ；取a ＝1，则f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1－2x 2＋x x ＝(1＋2x )(1－x )x，f ′(x )＝0得x＝1，则f (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f (x )max ＝f (1)＝0，即f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除B ，故选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 017x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1,2 017)B ．(1,2 018)C ．[2,2 018]D ．(2,2 018)解析：选D 作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ，如图所示，不妨设a <b <c ，当0≤x ≤1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ，B ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log 2 017x ＝1，解得x ＝2 017.若满足f (a )＝f (b )＝f (c )，且a ，b ，c 互不相等，由a <b <c 可得1<c <2 017，因此可得2<a ＋b ＋c <2 018，即a ＋b ＋c ∈(2，2 018)．故选D.4．(2018·孝感模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，14B.⎝⎛⎭⎫－14，12 C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎣⎡⎦⎤－14，12 解析：选C 依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)<0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]<0，解得14<m <12.5．(2018·广东七校联合体联考)若函数f (x )＝2x ＋a 2x －2a 的零点在区间(0,1)上，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．(1，＋∞)解析：选C 易知函数f (x )的图象连续，且在(0,1)上单调递增．∴f (0)f (1)＝(1－2a )(2＋a 2－2a )<0，解得a >12.6．已知x 0是f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0解析：选C 在同一坐标系下作出函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝－1x 的图象(图略)，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，⎝⎛⎭⎫12x >－1x ；当x ∈(x 0,0)时，⎝⎛⎭⎫12x <－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0.7．(2018·龙岩质检)已知f (x )是奇函数，且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是________．解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案：－788．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)[大题综合练——迁移贯通]1．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a. ①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，∴无解．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．2．(2018·德州模拟)已知函数f (x )＝－x 2－2x .g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3，∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. 3．(2018·信阳模拟)已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1)． (1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．解：(1)证明：∵函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2＋1)＝log 22x 1＋12x 2＋1，∵x 1<x 2，∴0<2x 1＋12x 2＋1<1，∴log 22x 1＋12x 2＋1<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． (2)∵g (x )＝m ＋f (x )， ∴m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1，∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4， ∴log 213≤log 2⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1≤log 235，故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤log 213，log 235.。
