高考数学一轮复习第八章立体几何第5讲空间向量及其运算练习理

2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》§8.5空间向量及其运算最新考纲1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a ＝b相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a ∥b 共面向量平行于同一个平面的向量2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa )·b ＝λ(a ·b )；②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .4．空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示坐标表示数量积a·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线a ＝λb (b ≠0，λ∈R )a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3垂直a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模|a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23概念方法微思考1．共线向量与共面向量相同吗？提示不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．2．零向量能作为基向量吗？提示不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示无关．这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．(√)(2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．(×)(3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .(×)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(×)(5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.(√)(6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．(×)题组二教材改编2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是()A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案A解析BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________．答案2解析|EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为2.题组三易错自纠4．在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是()A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案B解析由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD .5．已知a ＝(2，3，1)，b ＝(－4，2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________.答案26解析∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0，∴x ＝2，∴|b |＝(－4)2＋22＋22＝2 6.6．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C四点共面，则实数t ＝______.答案18解析∵P ，A ，B ，C 四点共面，∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝18.题型一空间向量的线性运算例1如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)MP →＋NC 1→.解(1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP→＝－12a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＋12b ＋＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .思维升华用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．跟踪训练1(1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________.答案12AB →＋12AD →＋AA 1→解析∵OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.(2)如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于()A.12(－a ＋b ＋c )B.12(a ＋b －c )C.12(a －b ＋c )D.12(－a －b ＋c )答案B解析NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →)＋12AB→＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC→＝12(a ＋b －c )．题型二共线定理、共面定理的应用例2如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：BD ∥平面EFGH .证明(1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH→＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .思维升华证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA →＝λPB →且同过点P MP →＝xMA →＋yMB→对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB→对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB→跟踪训练2如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？(2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？解(1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →，∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB →＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →)＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面．(2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内，当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内，又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面，∴MN ∥平面ABB 1A 1.综上，当k ＝0时，MN 在平面ABB 1A 1内；当0<k ≤1时，MN ∥平面ABB 1A 1.题型三空间向量数量积的应用例3如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．(1)证明设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°.MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB→＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0.∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD .(2)解设向量AN →与MC →的夹角为θ.∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r －12p2－12q ·p ＋r ·q －12r ·2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos2－a 24＋a 22－＝a 22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cosθ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．(3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．跟踪训练3如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值．解(1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2＋12＋6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为6.(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1，∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1，→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.1．已知a ＝(2，3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于()A ．(0，3，－6)B ．(0，6，－20)C ．(0，6，－6)D ．(6，6，－6)答案B解析由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20)．2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面；③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3答案A解析a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.3．已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于()A.32B ．－2C ．0 D.32或－2答案B解析当m ＝0时，a ＝(1，3，－1)，b ＝(2，0，0)，a 与b 不平行，∴m ≠0，∵a ∥b ，∴2m ＋12＝3m ＝m －1－m ，解得m ＝－2.4．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且满足|PA |＝|PB |，则P 点坐标为()A ．(3，0，0)B ．(0，3，0)C ．(0，0，3)D ．(0，0，－3)答案C 解析设P (0，0，z )，则有(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z )2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z )2，解得z ＝3.5．已知a ＝(1，0，1)，b ＝(x ，1，2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为()A.5π6 B.2π3 C.π3 D.π6答案D解析∵a·b ＝x ＋2＝3，∴x ＝1，∴b ＝(1，1，2)，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝32×6＝32，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π6，故选D.6.如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是()A.3B.2C ．1 D.3－2答案D 解析∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD→|＝3－2.7．已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________.答案－9解析由题意知c＝x a＋y b，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，x－y＝7，＋2y＝6，3x＋3y＝λ，解得λ＝－9.8．已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝________.答案(3，－2，2)解析因为a∥b，所以x－2＝4y＝1－1，解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)，又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2，2)．9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP→＝13VC→，VM→＝23VB→，VN→＝23VD→.则VA与平面PMN的位置关系是________．答案平行解析如图，设VA→＝a，VB→＝b，VC→＝c，则VD→＝a＋c－b，由题意知PM→＝23b－13c，PN→＝23VD→－13VC→＝23a－23b＋13c.因此VA→＝32PM→＋32PN→，∴VA→，PM→，PN→共面．又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.10．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确的序号是________．答案①②解析①中，(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝A 1A →2＋A 1D 1→2＋A 1B 1→2＝3A 1B 1→2，故①正确；②中，A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中，两异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确．11．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内．解(1)由题意知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ，∴M ，A ，B ，C 四点共面．∴点M 在平面ABC 内．12．已知a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，A (－3，－1，4)，B (－2，－2，2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点)解(1)2a ＋b ＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)令AE →＝tAB →(t ∈R )，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB→＝(－3，－1，4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t ，4－2t )，若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95.因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时E －65，－145，13.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.答案56解析连接ON ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12b ＋12c －12a ，OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12a＋12c －12a ＝16a ＋13b ＋13c .又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝16y ＝13，z ＝13，因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56.14．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是()A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定答案C 解析∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0.∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．15．已知O (0，0，0)，A (1，2，1)，B (2，1，2)，P (1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB→取最小值时，点Q 的坐标是________．答案(1，1，2)解析由题意，设OQ →＝λOP →，则OQ →＝(λ，λ，2λ)，即Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q 点坐标为(1，1，2)．16．如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．(1)证明设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a ，∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，AC ′→·CE →＝(－a ＋c ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝AC ′，→·CE →|AC ′→||CE →|＝12|a |22×52|a |2＝1010，即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。

第5讲 空间向量及其运算基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题 1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是________．解析 a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0. 答案 02．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值是________． 解析 ∵a ∥b ，∴b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)，∴⎩⎨⎧6＝k (λ＋1)，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.答案 2，12或－3，123．(2014·济南月考)O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点________(判断是否共面)．解析 ∵OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋18＝1.∴P ，A ，B ，C 四点共面． 答案 共面4．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为________． 解析 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0， ∴14－7λ＝0，∴λ＝2. 答案 1455．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是________三角形(直角、钝角、锐角)． 解析 ∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)． ∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD → ＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0.∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形． 答案 直角三角形6．(2014·连云港质检)在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________． 解析 设M (0，y,0)，则MA →＝(1，－y,2)，MB →＝(1，－3－y,1)，由题意知|MA →|＝|MB →|，∴12＋y 2＋22＝12＋(－3－y )2＋12，解得y ＝－1，故M (0，－1,0)． 答案 (0，－1,0)7．若三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，则a ＝________，b ＝________.解析 AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)，因为三点共线，所以存在实数λ使AC →＝λAB →，即⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得a ＝3，b ＝2.答案 3 28.如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3， 则cos 〈OA →，BC →〉的值为________．解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a·c －a·b ＝12|a||c |－12|a||b|＝0，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 答案 0 二、解答题9．已知a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b (O 为原点)? 解 (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)令AE →＝tAB →(t ∈R )，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95. 因此存在点E ，使得OE →⊥b ， 此时E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－145，25.10.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心，(1)试证：A 1，G ，C 三点共线； (2)试证：A 1C ⊥平面BC 1D .证明 (1)CA 1→＝CB →＋BA →＋AA 1→＝CB →＋CD →＋CC 1→， 可以证明：CG →＝13(CB →＋CD →＋CC 1→)＝13CA 1→， ∴CG →∥CA 1→，即A 1，G ，C 三点共线． (2)设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝a ， 且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，∵CA 1→＝a ＋b ＋c ，BC 1→＝c －a ，∴CA 1→·BC 1→＝(a ＋b ＋c )·(c －a )＝c 2－a 2＝0， 因此CA 1→⊥BC 1→，即CA 1⊥BC 1， 同理CA 1⊥BD ，又BD 与BC 1是平面BC 1D 内的两相交直线， 故A 1C ⊥平面BC 1D .能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题 1．有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是________． 答案 22．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为________． 解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ， ∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案 14a 23.已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A ，B ，AC ，BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且AB ＝4 cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝ 8 cm ，则CD 的长为________．解析 设AB →＝a ，AC →＝c ，BD →＝d ，由已知条件|a |＝4，|c |＝6，|d |＝8，〈a ，c 〉＝90°，〈a ，d 〉＝90°，〈c ，d 〉＝60°，|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|－c ＋a ＋d |2 ＝a 2＋c 2＋d 2－2a ·c ＋2a ·d －2c ·d ＝16＋36＋64－2×6×8×12＝68， 则|CD →|＝217. 答案 217 cm 二、解答题4.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EF →·DC →； (3)EG 的长；(4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值． 解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ， EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14，(2)EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c ) ＝12(b·c －a·b －c 2＋a·c )＝－14；(3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22. (4)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ， cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何8.5 空间向量及其运算 理1.空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量相等向量 方向相同且模相等的向量 a ＝b相反向量 方向相反且模相等的向量a 的相反向量为－a共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a ∥b共面向量平行于同一个平面的向量(1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使得b ＝λa . 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是OP →＝OA →＋t a①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP →＝OA →＋tAB →或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →.(2)共面向量定理如果两个量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝ 1 .(3)空间向量基本定理如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，空间中不共面的三个向量e 1，e 2，e 3叫作这个空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角a ，b 是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面.( √ )(2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ).( × ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( × ) (5)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( √ )(6)对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面.(×)1.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则向量BM →＝ (用a ，b ，c 表示).答案 －12a ＋12b ＋c解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .2.与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是 . 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫3210，4210，－22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－4210，22 解析 因为与向量a 共线的单位向量是±a|a |，又因为向量(－3，－4,5)的模为－32＋－42＋52＝52，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±152(－3，－4，5)＝±210(－3，－4,5).3.如图，在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝ (用a ，b ，c 表示).答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 4.(教材改编)已知a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值为 . 答案 1或－3解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧4＋4y ＋2x ＝0，4＋16＋x 2＝36解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1.5.(教材改编)正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 中点，则EF 的长为 . 答案2解析 |EF →|2＝EF 2→＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC 2→＋CD 2→＋DF 2→＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2.题型一 空间向量的线性运算例1 (1)已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，则MN →＝ (用a ，b ，c 表示). (2)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点.①化简A 1O →－12AB →－12AD →＝ ；②用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝ .答案 (1)－23a ＋12b ＋12c(2)①A 1A →②12AB →＋12AD →＋AA 1→解析 (1)显然MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA → ＝－23a ＋12b ＋12c .(2)①A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO → ＝A 1O →＋OA →＝A 1A →. ②OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. 引申探究1.若本例(1)中将“点M 在OA 上，且OM ＝2MA ”改为“M 为OA 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →”，则OG →＝ .答案 16a ＋13b ＋13c解析 如图所示，∵OG →＝OM →＋MG → ＝12OA →＋23MN →23＝12OA →＋23ON →－23OM → ＝12OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23×12OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC → ＝16a ＋13b ＋13c . 2.若本例(2)中条件不变，问题改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求x ，y ，z 的值.解 EO →＝ED →＋DO → ＝－23DD 1→＋12(DA →＋DC →)＝12AB →－12AD →－23AA 1→， 由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.思维升华 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.在三棱锥O －ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →. 解 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →333题型二 共线定理、共面定理的应用例2 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →).证明 (1)如图，连结BG ，则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →， 由共面向量定理的推论知：E 、F 、G 、H 四点共面.(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(3)找一点O ，并连结OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG ，如图所示. 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形.所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分. 故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋OB →＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OC →＋OD → ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →). 思维升华 (1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A ，B ，C 三点共线，即证明AB →，AC →共线，亦即证明AB →＝λAC →(λ≠0). (2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明PA →＝xPB →＋yPC →或对空间任一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC (x ＋y ＋z ＝1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 上的点，F 是AC 上的点，且A 1E ＝2EB ，CF ＝2AF ，则EF 与平面A 1B 1CD 的位置关系为 .答案 平行解析 取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c 为基底， 易得EF →＝－13(a －b ＋c )，而DB 1→＝a －b ＋c ，即EF →∥DB 1→，故EF ∥DB 1， 且EF ⊄平面A 1B 1CD ，DB 1⊂平面A 1B 1CD ， 所以EF ∥平面A 1B 1CD .题型三 空间向量数量积的应用例3 如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点.(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值. (1)证明 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴MN →⊥AB →.即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD . (2)解 由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )] ＝14[a 2＋a 2＋a 2＋2(a 22－a 22－a 22)]＝14×2a 2＝a 22. ∴|MN →|＝22a .∴MN 的长为22a .(3)解 设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·(q －12p )＝12(q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ) ＝12(a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60°) ＝12(a 2－a 24＋a 22－a 24)＝a 22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华 数量积的应用(1)求夹角，设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角.(2)求长度(距离)，运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.(3)解决垂直问题，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值. 解 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝1＋1＋1＋2×(12＋12＋12)＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ，∴AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )(b －a )＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝b ·c －a ·c＝|b |·|c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0. ∴AC 1→⊥BD →，∴AC 1⊥BD .(3)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.10.“两向量同向”意义不清致误典例 已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为 . 易错分析 将a ，b 同向和a ∥b 混淆，没有搞清a ∥b 的意义：a 、b 方向相同或相反. 解析 由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y3， 即错误!把①代入②得x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0， 解得x ＝－2或x ＝1，当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3. 当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，两向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.答案 1,3温馨提醒 (1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况.两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件；(2)若两向量a，b满足a＝λb(b≠0)且λ>0则a，b同向；在a，b的坐标都是非零的条件下，a，b的坐标对应成比例.[方法与技巧]1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.[失误与防范]1.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.2.求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.A组专项基础训练(时间：40分钟)1.在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p ＝x a＋y b＋z c.其中正确命题的个数是 .答案0解析a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝x a＋y b＋z c，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0.2.已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为 .答案 2解析 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0， 所以14－7λ＝0，解得λ＝2.3.如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D →＝0，则λ＝ .答案 －12解析 连结A 1C 1，C 1D ，则EF 是三角形A 1C 1D 的中位线，∴EF →与A 1D →共线，则EF →＝12A 1D →，∴λ＝－12. 4.空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么下列关系正确的是 . ①AE →·BC →<AE →·CD →； ②AE →·BC →＝AE →·CD →； ③AE →·BC →>AE →·CD →；④AE →·BC →与AE →·CD →的大小不能比较. 答案 ③解析 取BD 的中点F ，连结EF ，则EF 綊12CD ，因为〈AE →，EF →〉＝〈AE →，CD →〉>90°，因为AE →·BC→＝0，AE →·CD →<0，所以AE →·BC →>AE →·CD →.5.已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线a ，b 所成的角等于 .答案 60°解析 如图，设AC →＝a ，CD →＝b ，DB →＝c ，则AB →＝a ＋b ＋c ，所以cos 〈AB →，CD →〉＝a ＋b ＋c ·b |a ＋b ＋c ||b |＝12，所以异面直线a ，b 所成的角等于60°.6.在空间四边形ABCD 中，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →的值为 .答案 0 解析 方法一如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝AB →·(AD →－AC →)＋AC →·(AB →－AD →)＋AD →·(AC →－AB →) ＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a ) ＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0.方法二 如图，在三棱锥A －BCD 中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直.∴AB →·CD →＝0，AC →·DB →＝0， AD →·BC →＝0.∴AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝0.7. A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是 三角形(填锐角、直角、钝角中的一个). 答案 锐角解析 因为BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →) ＝AC →·AD →－AC →·AB →－AB →·AD →＋AB →2 ＝AB →2>0， 所以∠CBD 为锐角.同理∠BCD ，∠BDC 均为锐角.8.设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB→＋zOC →，则(x ，y ，z )为 . 答案 (14，14，14)解析 如图所示，取BC 的中点E ，连结AE .OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→) ＝34OA →＋12AE → ＝34OA →＋14(AB →＋AC →) ＝34OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →) ＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴x ＝y ＝z ＝14.9.已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值； (2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值. 解 (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝－12＋02＋22＝5，∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)方法一 ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2).k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0， ∴k ＝2或k ＝－52，∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时， 实数k 的值为2或－52.方法二 由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－1， ∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52.∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.10.如图，在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系O —xyz .(1)写出点E 、F 的坐标； (2)求证：A 1F ⊥C 1E ；(3)若A 1、E 、F 、C 1四点共面，求证：A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.(1)解 E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0). (2)证明 ∵A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )， ∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )， ∴A 1F →·C 1E →＝－ax ＋a (x －a )＋a 2＝0， ∴A 1F →⊥C 1E →， ∴A 1F ⊥C 1E .(3)证明 ∵A 1、E 、F 、C 1四点共面， ∴A 1E →、A 1C 1→、A 1F →共面.选A 1E →与A 1C 1→为在平面A 1C 1E 上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使A 1F →＝λ1A 1C 1→＋λ2A 1E →，即(－x ，a ，－a )＝λ1(－a ，a,0)＋λ2(0，x ，－a ) ＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－aλ1，a ＝aλ1＋xλ2，－a ＝－aλ2，解得λ1＝12，λ2＝1.于是A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11.已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4,2,3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是 . 答案 (3,1,3)解析 设p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为x ，y ，z . 则p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ，①因为p 在{a ，b ，c }下的坐标为(4,2,3)， 所以p ＝4a ＋2b ＋3c ，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝2，z ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，z ＝3，即p 在{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(3,1,3). 12.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， ①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 其中正确命题的序号是 . 答案 ①②解析 ①中(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝A 1A →2＋A 1D 1→2＋A 1B 1→2＝3(A 1B 1→)2，故①正确； ②中A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，∵AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确； ④中|AB →·AA 1→·AD 1→|＝0，故④也不正确.13.(2015·浙江)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝ ，y 0＝ ，|b |＝ . 答案 1 2 2 2解析 方法一 对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，说明当x ＝x 0，y ＝y 0时，|b －(x e 1＋y e 2)|取得最小值1.|b －(x e 1＋y e 2)|2＝|b |2＋(x e 1＋y e 2)2－2b ·(x e 1＋y e 2)＝|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y ，要使|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y 取得最小值，需要把x 2＋y 2＋xy －4x －5y 看成关于x 的二次函数，即f (x )＝x 2＋(y －4)x ＋y 2－5y ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x ＝2－y2，所以当x ＝2－y 2时，f (x )取得最小值，代入化简得f (x )＝34(y －2)2－7，显然当y ＝2时，f (x )min ＝－7，此时x ＝2－y2＝1，所以x 0＝1，y 0＝2.此时|b |2－7＝1，可得|b |＝2 2.方法二 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝(1,0,0)，b ＝(m ，n ，t ).由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52， ∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值.此时t 2＝1，故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2. 14.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EF →·DC →； (3)EG 的长；(4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值. 解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ，(1)EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14. (2)EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c )＝12(b·c －a·b －c 2＋a·c )＝－14. (3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22.(4)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE所成角的余弦值为23.15.直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点.(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值. (1)证明 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意得，|a |＝|b |＝|c |， 且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0， ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0.∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |.AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。

8.6 空间向量及其运算考纲要求1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得______．(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使________．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得______________．其中，{a，b，c}叫做空间的一个______．推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的一个有序实数组{x，y，z}，使OP→＝____________.2．两个向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则______叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定____≤〈a，b〉≤____.若〈a，b〉＝____，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.(2)两向量的数量积．两个非零向量a，b的数量积a·b＝______________.(3)向量的数量积的性质(e是单位向量)：①a·e＝|a|______________；②a⊥b a·b＝____；③|a|2＝a·a＝____；④|a·b|____|a||b|.(4)向量的数量积满足如下运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝______(交换律)；③a·(b＋c)＝____________(分配律)．3．空间向量的坐标运算(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a±b＝____________________；λa＝________________(λ∈R)；a·b＝________________；a⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝____；a∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )；|a |2＝a·a ⇒|a |＝a 21＋a 22＋a 23(向量模与向量之间的转化)；cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23. (2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则A B →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面；③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面； ④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．32．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值为( )．A ．1 B.15 C.35 D.753．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )．A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2 4．已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则点D 的坐标为________．5．已知a ＝(1,2，－2)，b ＝(0,2,4)，则a ，b 的夹角的余弦值为__________．一、空间向量的线性运算【例1－1】 如图所示，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 分别表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→.【例1－2】已知O 是空间中任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA→＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z ＝__________.方法提炼空间向量的概念及运算是由平面向量延伸而来的，要用类比的思想去掌握．在空间向量的加、减、数乘等线性运算中，要选择适当的向量为基底，用基向量表示出相关向量后再进行向量的运算，同时还要以相应的图形为指导．请做演练巩固提升1二、空间向量的数量积【例2】已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设AB →＝a ，AC→＝b ， (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c ；(2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．方法提炼1．两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，这是与空间向量的加、减、数乘等线性运算最大的区别．2．利用两空间向量的数量积运算公式，可以求向量的模、求两个向量的夹角、证明两个向量垂直等．请做演练巩固提升3三、空间向量的坐标运算【例3－1】 已知：a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求：(1)a ，b ，c ；(2)a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值．【例3－2】 如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，AA 1的中点．(1)求|BN →|；(2)求cos 〈BA1→，CB 1→〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .方法提炼空间向量的坐标运算使向量的运算摆脱了形的制约，可以将空间元素的位置关系转化成数量关系，将逻辑推理转化成数量计算，可以化繁为简，因此是处理空间问题的一种重要工具和方法．请做演练巩固提升2正确构建空间直角坐标系【典例】 (12分)如图所示，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，0，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.(1)求OD →的坐标；(2)设AD →和BC →的夹角为θ，求cos θ的值．规范解答：(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD sin 30°＝32. OE ＝OB －BD cos 60°＝1－12＝12. ∴D 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，－12，32， 即OD →的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－12，32.(6分) (2)依题意，OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，0，OB →＝(0，－1,0)，OC →＝(0,1,0)， ∴AD →＝OD →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，－1，32，BC →＝OC →－OB →＝(0,2,0)．(8分)由AD →和BC →的夹角为θ，得cos θ＝AD →·BC →|AD →||BC →| ＝－32×0＋－1×2＋32×0⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－322＋－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32202＋22＋02＝－105. ∴cos θ＝－105.(12分) 答题指导：解答空间向量的计算问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟练导致失误；(2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化． 另外，平时要重视运算的训练，强化计算速度及准确度的训练以及熟练掌握向量运算的方法．1．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的比为2，现用基向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →，设OG →＝xOA→＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别是( )．A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝132．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( )．A ．－2B ．－143 C.145D ．2 3．如图，在30°的二面角α­l ­β的棱上有两点A ，B ，点C ，D 分别在α，β内，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．4．已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标是__________．5．如图所示，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长；(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)a ＝λb (2)p ＝x a ＋y b (3)p ＝x a ＋y b ＋z c 基底 x OA ＋y OB ＋z OC2．(1)∠AOB 0 π π2(2)|a||b|cos 〈a ，b 〉 (3)①cos 〈a ，e 〉 ②0 ③a 2 ④≤ (4)②b·a ③a·b ＋a·c3．(1)(a 1±b 1，a 2±b 2，a 3±b 3) (λa 1，λa 2，λa 3) a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 0基础自测1．A 解析：①错，向量a ，b 所在的直线可能重合；②错，向量a ，b 可以平行移动到同一平面内；③错，如从三棱锥的一个顶点出发的三条棱所对应的三个向量；④错，a ，b ，c 要求不共面．2．D 解析：k a ＋b ＝(k －1，k,2),2a －b ＝(3,2，－2)． ∵(k a ＋b )⊥(2a －b )，∴3(k －1)＋2k －4＝0，解得k ＝75. 3．A 解析：∵a ∥b ，∴2μ－1＝0，∴μ＝12，排除C ，D 两项．代入A ，B 选项验证可得，λ＝2成立．4．(5,13，－3) 解析：设D (x ，y ，z )，则AB ＝DC ，∴(－2，－6，－2)＝(3－x,7－y ，－5－z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x ＝－2，7－y ＝－6，－5－z ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝13，z ＝－3.∴D (5,13，－3)．5．－2155 解析：∵a ·b ＝1×0＋2×2＋(－2)×4＝－4， 且|a |＝12＋22＋(－2)2＝3，|b |＝0＋22＋42＝25，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－43×25＝－2155. 考点探究突破【例1－1】 解：(1)AP ＝1AA ＋11A D ＋1D P ＝a ＋c ＋12b . (2)1A N ＝1A A ＋AB ＋BN ＝－a ＋b ＋12c . (3)MP ＋1NC ＝1MA ＋11A D ＋1D P ＋NC ＋1CC＝12a ＋c ＋12b ＋12c ＋a ＝32a ＋12b ＋32c . 【例1－2】 －1 解析：∵A ，B ，C ，D 四点共面， ∴OA ＝m OB ＋n OC ＋p OD ，且m ＋n ＋p ＝1.由条件知OA ＝(－2x )OB ＋(－3y )OC ＋(－4z )OD ， ∴(－2x )＋(－3y )＋(－4z )＝1.∴2x ＋3y ＋4z ＝－1.【例2】 解：(1)∵c ∥BC ，∴c ＝k BC ，k ∈R .又∵BC ＝(－2，－1,2)，∴可设c ＝(－2k ，－k,2k )．又∵|c |＝4k 2＋k 2＋4k 2＝3|k |＝3，∴k ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)．(2)∵a ＝AB ＝(1,1,0)，b ＝AC ＝(－1，0,2)，∴a ·b ＝－1，|a |＝2，|b |＝5，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010. (3)∵k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)， ∵k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，解得k ＝2或k ＝－52. 【例3－1】 解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4， 这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)．又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，因此a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值为cos θ＝5－12＋338·38＝－219. 【例3－2】 解：如图所示，建立以C 为原点的空间直角坐标系C ­xyz ，(1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，则|BN |＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝ 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， ∴1BA ＝(1，－1,2)，1CB ＝(0,1,2)．∴1BA ·1CB ＝3，|1BA |＝6，|1CB |＝5，∴cos〈1BA ，1CB 〉＝1111||BA CB BA CB ⋅＝3010. (3)证明：依题意得C 1(0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，∴1C M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0. 又1A B ＝(－1,1，－2)，∴1A B ·1C M ＝－12＋12＋0＝0. ∴1A B ⊥1C M ，即A 1B ⊥C 1M . 演练巩固提升1．D 解析：由题图可知OG ＝OM ＋MG ， 而MG ＝23MN ，MN ＝MA ＋AB ＋BN ＝12OA ＋OB －OA ＋12BC ＝－12OA ＋OB ＋12(OC －OB ) ＝－12OA ＋12OB ＋12OC . OG ＝12OA ＋21113222OA OB OC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭＝16OA ＋13OB ＋13OC . ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13.2．D 解析：a －λb ＝(λ－2,1－2λ，3－λ)．由a ⊥(a －λb )得－2(λ－2)＋1－2λ＋9－3λ＝0， 解得λ＝2. 3.3－ 3 解析：∵BD ⊥AB ，CA ⊥AB ，∴AC 与BD 的夹角为30°. ∵|CD |＝|CA ＋AB ＋BD |，∴|CD |2＝|CA ＋AB ＋BD |2＝|CA |2＋|AB |＋|BD |2＋2CA ·AB ＋2AB ·BD ＋2CA ·BD＝3＋2|CA |·|BD |cos 150°＝3－ 3.∴|CD |＝3－ 3.4.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 解析：设OQ ＝λOP ＝(λ，λ，2λ)， 则QA ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．∴QA ·QB ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23. ∴当λ＝43时，QA ·QB 取最小值为－23. 此时，OQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83，即Q 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83. 5．解：记AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12. (1)|1AC |2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6， ∴|1AC |＝6，即AC 1的长为 6.(2)1BD ＝b ＋c －a ，AC ＝a ＋b ，∴|1BD |＝2，|AC |＝3，1BD ·AC＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos〈1BD ，AC 〉＝11||||BD AC BD AC ＝66. ∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.。