一次函数与一元一次不等式的关系

一次函数与一元一次不等式的关系一次函数和一元一次不等式是初中数学中比较基础的知识点，两者之间也有着密切的联系。

本文将从定义、性质、图像等方面探讨一次函数和一元一次不等式之间的关系。

一、一次函数的定义一次函数是指形如 $y=kx+b$ 的函数，其中 $k$ 和 $b$ 都是常数，$x$ 和 $y$ 是变量。

其中，$k$ 称为斜率，表示函数图像的倾斜程度；$b$ 称为截距，表示函数图像与 $y$ 轴的交点。

二、一元一次不等式的定义一元一次不等式是指形如 $ax+b>0$ 或 $ax+b<0$ 的不等式，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数，$x$ 是变量。

其中，$a$ 表示不等式左侧的系数，$b$ 表示不等式右侧的常数。

三、一次函数的性质1. 斜率为正，则函数是单调递增的；斜率为负，则函数是单调递减的。

2. 截距表示函数与 $y$ 轴的交点，当 $x=0$ 时，$y=b$。

3. 一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点来确定。

四、一元一次不等式的性质1. 当 $a>0$ 时，不等式的解集为 $x>-b/a$；当 $a<0$ 时，不等式的解集为 $x<-b/a$。

2. 如果不等式中的 $<$ 变成了 $leq$ 或 $geq$，则解集不变。

3. 如果不等式中的 $>$ 和 $<$ 交换，不等式的解集也随之交换。

五、一次函数和一元一次不等式的关系1. 一次函数的图像可以用来表示一元一次不等式的解集。

例如，不等式 $2x+3>0$ 的解集可以表示成一次函数 $y=2x+3$ 在$y>0$ 区域的图像。

2. 一元一次不等式的解集也可以用来表示一次函数的定义域或值域。

例如，不等式 $3x-1<5$ 的解集为 $x<2$，则一次函数$y=3x-1$ 的定义域为 $(-infty, 2)$。

3. 一次函数的斜率和截距也可以用来确定一元一次不等式的形式。

一次函数与方程、不等式综合一、知识要点（一）一次函数与一元一次方程的关系1.从函数的观点来看一元一次方程b 0(0)kx k +=≠，可以认为：当自变量取什么值时，一次函数y b k 0kx =+≠（）的函数值为值0。

所以，直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。

2.求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x bk=-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)bk -，b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

（二）一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

（三）一次函数与二元一次方程（组）的关系1.一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。

2.求一个二元一次方程组的解就是求构成这个方程组的两个二元一次方程对应的一次函数图象的交点的坐标。

二、例题精讲（一）一次函数与一元一次方程综合【例1】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．0【例2】 已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，则a b +=______． 【例3】 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程3kx b +=的解是x =______．（二）一次函数与一元一次不等式综合【例4】 已知一次函数25y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当32x =时，y 的值；（3）求出当3y =-时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y <【例5】 当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在：（1）x 轴上方；（2）y 轴左侧；（3）第一象限．【例6】 已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．5x >B ．12x <C ．6x <-D ．6x >-【例7】 已知一次函数23y x =-+（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化?（2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?【例8】 直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为______．【例9】 若解方程232x x +=-得2x =，则当x _________时直线2y x =+上的点在直线32y x =-上相应点的上方．【例10】 如图，直线y kx b =+经过()21A ，，()12B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为______．【例11】 已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求： （1）当2x =时，y 的值；（2）x 为何值时，0y <？（3）当21x -≤≤时，y 的值范围；（4）当21y -<<时，x 的值范围．（三）一次函数与二元一次方程（组）综合 【例12】已知直线3y x =-与22y x =+的交点为（-5，-8），则方程组30220x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解是________．【例13】已知方程组y ax c y kx b -=⎧⎨-=⎩（a b c k ，，，为常数，0ak ≠）的解为23x y =-⎧⎨=⎩，则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为______．【例14】 已知24x y =⎧⎨=⎩，是方程组73228x y x y -=⎧⎨+=⎩的解，那么一次函数y = 和y =的交点是________．【例15】 一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【例16】 已知一次函数y 6kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A（2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．【例17】 若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，，则m 的值为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0【例18】 如图，直线y kx b =+与x 轴交于点()40-，，则0y >时，x 的取值范围是（ ） A.4x >- B ．0x > C.4x <- D ．0x <【例19】 当自变量x 满足什么条件时，函数23y x =-+的图象在：（1）x 轴下方；（2）y 轴左侧； （3）第一象限．【例20】 一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <【例21】 已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当1x <时，y 的取值范围是（ ）A ．20y -<<B ．40y -<<C ．2y <-D ．4y <-【例22】 如图所示的是函数y kx b =+与y mx n =+的图象，求方程组kx b ymx n y +=⎧⎨+=⎩的解关于原点对称的点的坐标是________．【例23】 一次函数y kx b =+（k b ，是常数，0k ≠）的图象如图所示，则不等式0kx b +>的解集是（ ） A ．2x >-B ．0x >C ．2x <-D ．0x <【例24】 如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是________．【例25】 把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（ ） A.无解B.有唯一解C.有无数个解D.以上都有可能【例26】 b 取什么整数值时，直线32y x b =++与直线2y x b =-+的交点在第二象限？三、小试牛刀1. （2010湖北孝感，7，3分）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地.若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地.设轮船从甲地出发后所用的时间为t （小时）,航行的路程为s （千米）,则s 与t 的函数图象大致是（ ）2. （2011广东广州市，9，3分）当实数x 的取值使得x －2有意义时，函数y=4x+1中y 的取值范围是（ ）． A ．y ≥－7B ．y ≥9C ．y ＞9D ．y ≤93. （2011山东烟台，11,4分）在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y （千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比y=kx+b2-2Oy x-1B A 2O y x2乙甲乙甲815105 1.510.5O时y/千米乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4个4. （2011浙江杭州，7，3）一个矩形被直线分成面积为x ，y 的两部分，则y 与x 之间的函数关系只可能是5．（2011浙江衢州，9,3分）小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图）.若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为123v v v 、、，且123v v v <<，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s 与所用时间t 的函数关系图像可能是（ ）6. （2011山东枣庄，10，3分）如图所示，函数x y =1和34312+=xy 的图象 相交于（－1，1），（2，2）两点．当21y y >时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＜－1 B ．—1＜x ＜2 C ．x ＞2 D ． x ＜－1或x ＞27. （2011江苏盐城，8，3分）小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 图中的折线表示小亮的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系. 下列说法错误的是（ ） A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min8.某产品的生产流水线每小时可生产100件产品，生产前没有产品积压， 生产3小时后安排工人装箱，若每小时装产品150件，未装箱的产品数量为y ， •生产时间为t ，那么y 与t 的大致图象只能是（ ）9．如图，向高为H 的圆柱形空水杯里注水，表示注水量y 与水深x 的关系的图象是（ ）10．一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶，•过了一段时间，汽车到了下一个车站，乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，则图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情学校小亮家stststts（－1，1y（2，2） 2yxyO（第7题图）况的是（）11．星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s（•米）与散步所用的时间t（分）之间的函数关系，依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（）．A．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B．从家出发，一直散步（没有停），然后回家了C．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了， 18分钟后才开始返回12．甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间的关系如图所示，•那么可以知道：①这是一次___ _ _米赛路；②甲、乙两人先到达终点的是______ ___；•③在这次赛跑中甲的速度为___ _____，乙的速度为____ __．13．如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用y（元）与托运行李的质量x（千克）的关系，由图中可知行李的质量只要不超过_________千克，•就可以免费托运．14.俊宇某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况如图所示：①图象表示了哪两个变量的关系？②10•时和13时，他分别离家有多远？③他可能在什么时间内休息，并吃午餐？。

一元一次不等式与一次函数【基础知识精讲】1.一元一次不等式与一次函数的关系。

两个一次函数有时根据需要，要比较其函数值的大小，这时问题就转化为一元一次不等式的问题。

另一方面，利用解不等式的方法也可以求出两个一次函数的值的大小。

事实上，不等式与函数和方程是紧密联系的一个整体。

2.一次函数的图象与一元一次不等式的关系。

一次函数y=kx＋b（k≠0）的图像是一条直线，当kx＋b＞0时，表示图像在x轴上方的部分；当kx＋b=0时，表示直线与x轴的交点；当kx＋b＜0时，表示图像在x轴下方的部分。

【考点聚焦】本章一元一次不等式与一次函数是中考热点，随着素质教育的逐步发展，突出了对创新意识的考查，加大了对“三个一次”（即一元一次方程，一次函数，一元一次不等式）综合应用考查及解决实际问题的考查。

题型有选择题、填空题及解决实际问题（多为压轴题）。

【典例精析】例1作出函数y=x－3的图象如图所示，并观察图象回答下列问题：（1）x取哪些值时，y＞0；（2）x取哪些值时，y＜0；（3）x取哪些值时，y＞3。

思路点拨：首先要认清一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，所以需要知图象上两点的坐标，可取(3，0)和(0，－3)。

解：由图象可知：（1）当x＞3时，y＞0；（2）当x＜3时，y＜0；（3）当x＞6时，y＞3。

评注：（1）两点确定一条直线。

（2）大于往右看，小于往左看。

【试解相关题】兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9米，然后自己才开始跑。

已知弟弟每秒跑3米，哥哥每秒跑4米，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？思路点拨：此题两问均牵扯到不等式问题，但需先列函数关系式。

解：设当时间为x秒时，跑过的路为y米，则y哥哥=4x，y弟弟=3x＋9如图所示，由图象知9秒前弟弟跑在哥哥前面；9秒后，哥哥跑在弟弟前面。

评注：通过以上两例，体会：刻画运动变化的规律需要用函数模型；刻画运动变化过程中的某一瞬间需要用方程模型。

一次函数与一元一次不等式知识库1、一次函数与一元一次不等式的关系解一元一次不等式ax＋b>0（或<0）可以归结为以下两种认识：（1）从函数值的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0）的自变量x的取值范围；（2）从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上方（或下方）部分所有的点的横坐标所构成的集合。

2、用画函数图象的方法解不等式ax＋b>0（或<0）的一般步骤（1）画y＝ax＋b的图象；（2）观察图象与x轴的交点坐标。

图象在x轴上方时对应的x的范围是不等式ax＋b>0的解集，图象在x轴下方时对应的x的范围是不等式ax＋b<0的解集。

3、 1．解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围．2．解关于x的不等式kx+b>mx+n可以转化为：（1）当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的上方．或（2）求当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理）例：用画图象的方法解不等式2x+1>3x+4分析：（1）可将不等式化为-x-3>0，作出直线y=-x-3，然后观察：自变量x取何值时，图象上的点在x轴上方？或（2）画出直线y=2x+1与y=3x+4，然后观察：对于哪些x的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4上相应的点的上方？解：方法（1）原不等式为：-x-3>0，在直角坐标系中画出函数y=-x-3•的图象（图1）．从图象可以看出，当x<-3时这条直线上的点在x轴上方，即这时y=-x-3>0，因此不等式的解集是x<-3．方法（2）把原不等式的两边看着是两个一次函数，•在同一坐标系中画出直线y=2x+1与y=3x+4（图2），从图象上可以看出它们的交点的横坐标是x=-3，因此当x<-3时，对于同一个x的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4•上相应点的上方，此时有2x+1>3x+4，因此不等式的解集是x<-3．(1) (2)一、选择题1．直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是（）A．x>1 B．x≥1 C．x<1 D．x≤12．已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式2x+k<0•的解集是（） A．x>-2 B．x≥-2 C．x<-2 D．x≤-23．已知关于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x轴的交点是（） A．（0，1） B．（-1，0） C．（0，-1） D．（1，0）二、填空题4．当自变量x的值满足____________时，直线y=-x+2上的点在x轴下方．5．已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点（2，0），则不等式x-2≥-x+2•的解集是________．6．直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是________，则不等式-3x+9>12•的解集是________．7．已知关于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x>-3，则直线y=-kx+2与x•轴的交点是__________．8．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3•的交点坐标是_________．三、解答题9．某单位需要用车，•准备和一个体车主或一国有出租公司其中的一家签订合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y元，付给出租车公司的月租费是y元，y，y 分别与x之间的函数关系图象是如图11-3-4所示的两条直线，•观察图象，回答下列问题：（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算？（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，•那么这个单位租哪家的车合算？10．在同一坐标系中画出一次函数y1=-x+1与y2=2x-2的图象，并根据图象回答下列问题：（1）写出直线y1=-x+1与y2=2x-2的交点P的坐标．（2）直接写出：当x取何值时y1>y2；y1<y212．已知函数y1=kx-2和y2=-3x+b相交于点A（2，-1）（1）求k、b的值，在同一坐标系中画出两个函数的图象．（2）利用图象求出：当x取何值时有：①y1<y2；②y1≥y2（3）利用图象求出：当x取何值时有：①y1<0且y2<0；②y1>0且y2<0。

一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式和一次函数是初中数学中的两个重要概念，它们的关系如下：
一元一次不等式：指只有一个未知数（一元），且方程中未知数的最高次数为1（一次）的不等式，例如：2x+1>5 或者x-3<7。

一次函数：指只有一个未知数（一元），且方程中未知数的最高次数为1（一次）的函数，例如：y=2x+1 或者y=x-3。

这两个概念之间的关系在于，我们可以将一元一次不等式转化为一次函数的形式进行分析和解决。

具体来说，我们可以将不等式中的未知数视为函数的自变量x，将不等式的两边分别视为函数的因变量y，例如：2x+1>5 可以转化为y=2x+1 和y=5 两个函数，我们可以画出这两个函数的图像，通过比较函数图像来解决不等式的解集。

例如，将不等式x-3<7 转化为一次函数的形式，得到y=x-3 和y=7 两个函数，我们可以在坐标系中画出这两个函数的图像，发现两个函数的交点在x=10 处，因此不等式的解集为x<10。

总之，一元一次不等式和一次函数之间有着紧密的联系，将不等式转化为函数的形式可以帮助我们更好地分析和解决问题。

一元一次不等式与一次函数的关系
一元一次不等式与一次函数之间有着密切的联系，这一联系表现在以下几个方面：
一、当令一元一次不等式中等号左边的表达式为一次函数时，可以将其化简为一次函数形式：
1. 一元一次方程组：
a. 当一元一次方程组中等式左右两边分别为一次函数时，可以将其化简为一次函数形式。

b. 两个一次方程涉及到同一个未知数时，可以最终得出结果，即将一元一次不等式化简为一次函数的形式。

2. 一元二次不等式：
a. 当一元二次不等式左边为一次函数时，也可以将其化简为一次函数形式。

b. 二次不等式的解也可以表现为一次函数的形式，即分段函数。

二、求解一元一次不等式可以利用一次函数的性质：
1. 关于一元一次方程：
a. 利用一次函数求函数图像实现一元一次方程的求解，从而得到不
等式的解。

b. 利用一次函数的性质验证不等式的正确性，从而得到不等式的解。

2. 关于一元二次方程：
a. 利用一次函数的对称性，判断不等式的大小，从而得到不等式的解。

b. 利用一次函数的单调性，得到不等式上下界，从而得到不等式的解。

综上所述，一元一次不等式与一次函数有着密切的联系，一元一次不
等式可以化简为一次函数形式，求解一元一次不等式也可以利用一次
函数的性质。

不等式与函数图象一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系：函数y=ax+ba≠0,a,b为常数中,函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+ b=0a≠0的解,所对应的坐标－ba,0是直线y=ax+b与x轴的交点坐标,反过来也成立；•直线y=ax+b在x轴的上方,也就是函数的值大于零,x的值是不等式ax+b>0a≠0的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零,x的值是不等式ax+b<0a≠0的解．例题1：观察y=2x－5的图象回答下列问题.1x取哪些值时,2x－5=03x取哪些值时,2x－5＜02x取哪些值时,2x－5＞04x取哪些值时,2x－5＞33如果y=－2x－5,那么当x取何值时,y＞0例题2：已知一次函数y＝kx＋b的图像,如图所示,当x＜0时,y的取值范围是例题2图练习123练习1.如图所示,直线y＝kx＋b与x轴交于点－4,0,当y＞0时,x的取值范围是2.一次函数y＝kx＋bk、b是常数,k≠0的图像如图所示,则不等式kx＋b＞0的解集是3.一次函数y＝kx＋b的图像如图所示,当y＜0时,x的取值范围是.例题2.直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图像如图所示,则x的不等式k1x＋b＞k2x的解为练习：1,如图,直线y＝1/2kx＋b经过A－2,－1和B－3,0两点,则不等式组x＜kx＋b＜0的解集为__________.2.如图,l 1反映了某公司的销售收入与销量的关系,l 2反映了该公司产品的销售成本与销量的关系,当该公司赢利收入大于成本时,销售量必须____________.3．小亮用作图像的方法解二元一次方程组时,在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图像L 1,L 2如图所示,他解的这个方程组是A ．22112y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩B ．22y x y x =-+⎧⎨=-⎩ C ．38,132y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩D ．22,112y x y x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩ 4．如图,一次函数y=kx+6的图像经过A,B两点,则kx+b>0的解集是A ．x>0B ．x<2C ．x>－3D ．－3<x<2课后练习： 1.如图4所示,已知函数y=x+b 和y=ax+3的图像交点为P,•则不等式x+b>ax+3的解集为________．图4图5图62．函数y 1=x+1与y 2=ax+ba≠0的图像如图5所示,•这两个函数图像的交点在y 轴上,那么使y 1,y 2的值都大于零的x 的取值范围是A ．x>－1B ．x<2C ．1<x<2D ．－1<x<23．如图6,一次函数y=kx+b 的图像经过A,B 两点,则kx+b>0•的解集是A ．x>0B ．x>2C ．x>－3D ．－3<x<2。

一次函数与一元一次不等式的关系一次函数与一元一次不等式的关系一次函数是数学中非常重要的一个概念，而它与一元一次不等式之间也存在着密切的关系。

下面就让我们来了解一下。

一、一次函数的定义与性质一次函数指的是形如y=kx+b的函数，其中x为自变量，y为因变量，k 和b为常数。

它的图像是一条直线，具有以下性质：1. 斜率k表示线性关系的比例系数，k越大，直线越陡峭；k为正数时，直线右上方倾斜；k为负数时，直线左下方倾斜。

2. 截距b表示直线与y轴的交点，当x=0时，y=b。

当k=0时，直线平行于x轴，即为一条水平直线。

3. 一次函数图像在直线上每个点的斜率都相等，斜率就是函数的导数。

二、一元一次不等式的定义与性质一元一次不等式是指形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中x为变量，a和b为常数。

它的解集是一个区间。

不等式的基本性质如下：1. 如果不等式两边同时加上一个正数，则不等式不变。

2. 如果不等式两边同时乘上一个正数，则不等式不变。

3. 如果不等式两边同时乘上一个负数，则不等式的不等号方向改变。

三、一次函数与一元一次不等式的关系一次函数与一元一次不等式之间存在着密切的关系，具体表现在以下几个方面：1. 根据一次函数的性质，我们可以根据一次不等式求解其解集合并确定一次函数的定义域和值域。

2. 根据一元一次不等式的基本性质，我们可以对一次函数的图像进行平移、伸缩和翻折等操作，从而得到不同的函数图像。

3. 一元一次不等式的解与一次函数的斜率有关，当一次不等式为ax+b>0时，解集表示函数图像位于y轴上方的区间，此时函数的斜率为正数a；当一次不等式为ax+b<0时，解集表示函数图像位于y轴下方的区间，此时函数的斜率为负数a。

综上所述，一次函数与一元一次不等式之间存在着密切的关系，掌握了它们之间的关系，不仅有助于我们深入理解函数与不等式的概念，还能够为我们解决实际问题提供很多有益的启示。

第十九章 一次函数知识要点回顾：1、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.2、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 3、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bcx b a +-的图象相同.（2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b c x b a +-和y=2222b cx b a +-的图象交点.考点1 ：一次函数与不等式例题1、画出函数y=2x-1的图象，利用图象：①求方程2x-1=0的解；②求不等式2x-1＞0的解；③若-1≤y ≤3，求x 的取值范围．例题2、已知一次函数y=kx+b 的图象（如图），当x ＜0时，y 的取值范围是（ ）A ．y ＞0B ．y ＜0C ．-2＜y ＜0D ．y ＜-2（第2题）（第4题）例题3、把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（）A．1＜m＜7B．3＜m＜4C．m＞1D．m＜4例题4、如图，函数y1=﹣2x与y2=ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（）A、x＞2B、x＜2C、x＞﹣1D、x＜﹣1变式练习：1、直线y=3x+9与x轴的交点是（）A.（0,-3）B.（-3,0）C.（0,3）D.（0,-3）2、已知一元一次方程ax-b=0（a，b为常数，a）的解为x=2，则一次函数y=ax-b的函数值为0时,自变量x的值是（）A3B-3C2D-23、已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式2x+k<0的解集是（）A．x>-2B．x≥-2C．x<-2D．x≤-24、直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于k2x>k1x+b的不等式的解集为( )A.x＞-1B.x＜-1C.x＜-2D.无法确定5、函数y=-2x+6的图象如图所示，P（2，2）是图象上的一点，观察图象回答问题．（1）当x为何值时，y＜0？（2）当x为何值时，y=0？（3）求当0≤x≤2时，y的取值范围．考点2:一次函数与二元一次方程组例题5、已知方程组230,2360y xy x-+=⎧⎨+-=⎩的解为4,31,xy⎧=⎪⎨⎪=⎩则一次函数y=3x-3与y=-32x+3的交点P的坐标是______．例题6、如图中两直线L1，L2的交点坐标可以看作方程组( )的解．A．121x yx y-=⎧⎨-=-⎩B. 121x yx y-=-⎧⎨-=⎩C．321x yx y-=⎧⎨-=⎩D. 321x yx y-=-⎧⎨-=-⎩变式练习：1、若直线y=2x+n与y=mx-1相交于点(1，-2)，则( )．A．m=12，n=-52B．m=12，n=-1；C．m=-1，n=-52D．m=-3，n=-32 2、直线kx-3y=8，2x+5y=-4交点的纵坐标为0，则k的值为( )A．4 B．-4 C．2 D．-23、解方程组157x yx y+=⎧⎨-=⎩解为________，则直线y=-x+15和y=x-7的交点坐标是________．4、如图，是在同一坐标系内作出的一次函数y1、y2的图象l1、l2，设y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，则方程组的解是（）A ．B ．C ．D ．考点3:一次函数的应用例题7、为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练.在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S（米）与所用的时间t（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第________秒.例题8、为营造书香家庭，周末小亮和姐姐一起从家出发去图书馆借书，走了6分钟忘带借书证，小亮立即骑路边共享单车返回家中取借书证，姐姐以原来的速度继续向前行走，小亮取到借书证后骑单车原路原速前往图书馆，小亮追上姐姐后用单车带着姐姐一起前往图书馆．已知单车的速度是步行速度的3倍，如图是小亮和姐姐距家的路程y （米）与出发的时间x（分钟）的函数图象，根据图象解答下列问题：（1）小亮在家停留了________分钟．（2）求小亮骑单车从家出发去图书馆时距家的路程y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系式．（3）若小亮和姐姐到图书馆的实际时间为m分钟，原计划步行到达图书馆的时间为n分钟，则n-m=________分钟．例题9、甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走．设甲乙两人相距（米），甲行走的时间为（分），关于的函数函数图像的一部分如图所示．（1）求甲行走的速度；（2）在坐标系中，补画s关于t函数图象的其余部分；（3）问甲乙两人何时相距360米？例题10、某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元/克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元/克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．（1）分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y（元）和重量x（克）之间的函数关系式；（2）李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？例题11、为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费。