2016-2017学年湖北省重点高中联考高一(下)期中数学试卷

13．150m 14．8 15．{x |－2≤x ≤2或x ＝6}16．72 17．解：由题意，设这三个数分别是q a ，a ，aq ，且q ≠1，则qa＋a ＋aq ＝114① 2分 令这个等差数列的公差为d ，则a ＝qa＋(4－1)·d ． 4分 则d ＝31(a －q a )， 又有aq ＝qa +24)(31q a a -⨯⨯② 6分 由②得(q －1)(q －7)＝0，∵q ≠1，∴q ＝7． 8分 代入①得a ＝14，则所求三数为2，14，98． 10分 18．解：（1）由已知有：f (1)＝－3＋a (6－a )＋19＞0， 2分 即a 2－6a －16＜0，解得：－2＜a ＜8．所以不等式的解集为：(－2，8)． 4分 （2）由关于x 的不等式f (x )＞0的解集是(－1，3)可知： 6分 －1，3是关于x 的方程3x 2－a (6－a )x －c ＝0的两个根，则有 8分3313)6(310ca a -=⨯--=+->∆ 10分 解得：a ＝3±3，c ＝9． 12分 19．解：（1）依题意有a 2－a 4＝3(a 3－a 4)，即2a 1q 3－3a 1q 2＋a 1q ＝0， 2分 ∴2q 2－3q ＋1＝0． 4分∵q ≠1，∴q ＝21，故a n ＝64×(21)n －1n -=72． 6分（2）b n ＝log 2[64×(21)n －1]＝7－n ． ∴|b n |＝{77--n n 8分 当n ≤7时，T n ＝2)13(n n - ； 当n ＞7时，T n ＝T 7＋2)6)(7(--n n ＝21＋2)6)(7(--n n 10分故 Tn ={)7(212)6)(7()7(213212>+--≤+-n n n n n n 12分20．解：(1)∵A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，得4cos 2C 2－cos 2C ＝72， 2分∴4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72，整理，得4cos 2C －4cos C ＋1＝0， 4分解得cos C ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°. 6分(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即7＝a 2＋b 2－ab ，∴7＝(a ＋b )2－3ab ， 8分 由条件a ＋b ＝5，得7＝25－3ab ，ab ＝6， 10分 ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 12分 21. 解：（1）证明：根据正弦定理得，.sin sin cos cos AB B A =整理为，sin A cos A=sin B cos B ，即sin 2A=sin 2B. 2分∴2A=2B 或2A+2B=π，∴2π=+=B A B A 或. 4分,34=a b ∴舍去A=B.∴2A B π+=即2π=C .故△ABC 是直角三角形. 6分 （2）解：由（1）可得：a =6，b =8.在R t △ACB 中，.54cos ,53sin =∠==∠CAB AB BC CAB 8分∴=CAB CAB ∠⋅︒-∠⋅︒sin 60cos cos 60sin =).334(10153215423-=⨯-⨯ 10分连结PB ，在R t △APB 中，AP=AB ·cos ∠PAB=5.∴四边形ABCP 的面积PACAC AP ab S S S PAC ACB ABCP ∠⋅⋅+=+=∆∆sin 2121四边形=24+386-=18+38. 12分 22．解：（1）设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360． 2分 由已知xa ＝360，得a ＝x360， 4分 ∴y ＝225x ＋3603602-x(x ＞2)． 6分（2）∵x ＞2，∴225x ＋x 2360≥22360225 ＝10800． 8分∴y ＝225x ＋x 2360－360≥10440．当且仅当225x ＝x2360时，等号成立． 10分即当x ＝24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 12分。

2016-2017学年下学期期中联考高一数学试卷考试时间:120分钟 试卷满分:150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列－1， 4，－9， 16，－25…的一个通项公式为（ ）A ．2n a n =B ．2)1(n a n n -=C ．21)1(n a n n +-=D ．2)1()1(+-=n a n n2．计算：cos25sin55sin 25cos55︒︒-︒︒=（ ） A ．23-B ．22 C ．23D ．213．如果0<<b a ，那么下面一定成立的是( ) A ．0>-b aB ． bc ac <C ．ba 11< D ．22a b > 4．已知数列}{n a 中，11=a ，*121()n n a a n N +=+∈，则4a 的值为（ ）A ．31B ．30C ．15D ．635．在△ABC 中，若B A B A cos cos sin sin <，则△ABC 一定为（ ）. A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定6．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ） A ．6B ．5C ．4D ．37．已知实数,x y 满足关系1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42x y +的取值范围是（ ）A ．[2,10]B ．[0,12]C ．[2,12]D ．[0,10]8．观察站C 与两灯塔B A 、的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东030，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔B A 、间的距离为（ ） A ．500米 B ．600米 C ．700米 D ．800米9．若对任意实数x ∈R ，不等式2230x mx m ++-≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[-6，-2]B ．[2，6]C ．（2，6）D ．（-6，-2）10．已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3παπ<<，则求sin 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭= （ ）A ．624+-B ．824+-C ．624--D ．824--11．已知数列{}n a 满足312lg lg lg lg 32258312n a a a a n n +⋅⋅⋅⋅=-（*n N ∈），则10a =（ ） A ．2610 B ．2910C ．3210D ．351012．已知函数22()(8)12(0)f x x a x a a a =++++-<，且2(4)(28)f a f a -=-，则*()4()1f n an N n -∈+的最小值为（ ） A.358 B.374C.328D.274二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若变量x ，y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是 ．14．在,3,6,,4ABC BC AB C π∆==∠=则∠A= ．15．已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且π02βα<<<，则cos β= ． 16．已知ABC △中，角 , ,A B C 对边分别为 , ,a b c ，120,2C a b ==，则tan A = ． 三、解答题（70分） 17．（本小题满分10分） ⑴求值：200190cos 1170cos 170cos 190sin 21-+⋅-⑵已知0cos 2sin =+θθ，求θθθ2cos 12sin 2cos +-的值.18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足91=a ，53=a⑴求等差数列{}n a 的通项公式；⑵求数列{}n a 的前项和n S ，及使得n S 取最大值时n 的值.19.（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A =. ⑴确定角C 的大小；⑵若c 7且ABC ∆的面积为332, 求a b +的值．20．（本小题满分12分）已知函数.2cos )62sin()62sin()(a x x x x f ++-++=ππ(其中R a ∈，a 为常数）.⑴求函数的最小正周期和函数的单调递增．区间； ⑵若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为－3，求a 的值.21．（本小题满分12分）统计表明:某型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于速度x(千米/时)的函数解析式可表示为238(0120)80020x y x x =-+<≤,已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/时的速度行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?22．（本小题满分12分）若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，19a =，且a n +1＝a n 2+2a n ，其中n 为正整数．⑴证明数列{}1n a +是“平方递推数列”，且数列{}lg(1)n a +为等比数列；⑵设⑴中“平方递推数列”的前n 项积为n T ，即T n ＝(a 1＋1)(a 2＋1)…(a n ＋1)，求lg n T ； ⑶在⑵的条件下，记lg lg(1)nn n T b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求使4030>n S 的n 的最小值．2016-2017学年下学期期中联考高一数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）BDDCAC A CBACB二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.3514.323ππ或15.2116.32三、解答题（70分） 17．解：（1）原式=110sin 10cos 10sin 10cos 10sin 10cos )10cos 10(sin 10cos 1170cos 10cos 10sin 21190cos 1170cos 170cos 190sin 21222-=+-︒-︒+--=-+-=-+-︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒ ………………………5分 （2）由0cos 2sin =+θθ，得θθcos 2sin -=，又0cos ≠θ，则2tan -=θ，所以θθθθθθθθθ22222cos 2sin cos sin 2sin cos cos 12sin 2cos +--=+-612)2()2(2)2(12tan tan 2tan 12222=+-----=+--=θθθ………………………10分 18．解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ， 由d a a a 25,9131+===，解得2-=d ，∴通项公式n d n a a n 211)1(1-=-+= ………………………6分 （2）由（1）得前n 项和25)5(102)(221+--=-=⋅+=n n n na a S n n ，∴当n=5时，25)5(2+--==n S n 取得最大值25. ………………………12分19．解：（132sin a c A =由正弦定理得A C A sin sin 2sin 3=0sin >∆A ABC 中 得23sin =C∵△ABC 是锐角三角形。

2016-2017学年湖北省鄂东南省级示范高中联考高一下学期期中数学试卷（理科）一、选择题： (共12题；共24分)1．（2分）sin300°+cos390°+tan （﹣135°）=（ ）A ．√3 ﹣1B ．1C ．√3D ．√3 +12．（2分）已知a= (1e)x，b=x 2，c=lnx ，其中e 为自然对数的底数，则当x=e 时，a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b3．（2分）已知等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7= 54π ，那么cos （a 3+a 5）=（ ）A ．√32B ．﹣ √32C ．√22D ．﹣ √224．（2分）已知tan （α+β）= 25 ，tan （ β+π4 ）= 14，则tan （ α−π4 ）的值为（ ） A ．16B ．2213C ．322D ．13185．（2分）若函数y=f （x ）的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x 轴向右平移 π2 个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y= 12sinx 的图象，则y=f（x ）的解析式为（ ）A ．y= 12 sin （2x+ π2 ）+1B ．y= 12 sin （2x ﹣ π2 ）+1C ．y= 12 sin （ 12x+ π4 ）+1D ．y= 12 sin （ 12x ﹣ π4 ）+16．（2分）函数f （x ）=a x +b ﹣1（其中0＜a ＜1且0＜b ＜1）的图象一定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．（2分）设函数f （x ）=sin （2x+ π6 ）+ √3 cos （2x+ π6 ），则（ ） A ．y=f （x ）在（0， π2 ）单调递增，其图象关于直线x= π4 对称 B ．y=f （x ）在（0， π2 ）单调递增，其图象关于直线x= π2 对称 C ．y=f （x ）在（0， π2 ）单调递减，其图象关于直线x=π4对称D ．y=f （x ）在（0， π2 ）单调递减，其图象关于直线x= π2 对称8．（2分）设θ是第四象限角，则点P （sin （sinθ），cos （sinθ））在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．（2分）已知非零向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =﹣ 12 ，则△ABC 为（ ） A ．等腰非等边三角形 B ．等边三角形 C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形10．（2分）已知f （x ）是奇函数，且对于任意x ∈R 满足f （2﹣x ）=f （x ），当0＜x≤1时，f （x ）=lnx+2，则函数y=f （x ）在（﹣2，4]上的零点个数是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1011．（2分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且3a 2+3b 2﹣c 2=4ab ，则△ABC（ ）A ．可能为锐角三角形B ．一定不是锐角三角形C ．一定为钝角三角形D ．不可能为钝角三角形12．（2分）函数f （x ）= 2sinx·cosx 1+sinx+cosx，x ∈（0， π2 ]的最大值M ，最小值为N ，则M ﹣N=（ ） A ．√2−12B ．√2 ﹣1C ．2 √2D ．√2 +1二、填空题： (共4题；共8分)13．（2分）已知 e 1⃗⃗⃗⃗ ， e 2⃗⃗⃗⃗ 为单位向量且夹角为 π3 ，设 a ⃗ = e 1⃗⃗⃗⃗ + e 2⃗⃗⃗⃗ ， b ⃗ = e 2⃗⃗⃗⃗ ， a⃗ 在 b ⃗ 方向上的投影为 ．14．（2分）已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=0，a n+2=a n+1﹣a n （n≥1），则a 2017= ．15．（2分）函数f （x ）= {ax 2−6x +a 2+1(x <1)x 5−2a (x ≥1) 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是 ．16．（2分）在正项等差数列{a n }中a 1和a 4是方程x 2﹣10x+16=0的两个根，若数列{log 2a n }的前5项和为S 5且S 5∈[n ，n+1]，n ∈Z ，则n= ．三、解答题 (共6题；共65分)17．（10分）已知向量 a ⃗ =（4，5cosα）， b ⃗ =（3，﹣4tanα），α∈（0， π2 ）， a ⃗ ⊥ b ⃗ ． （1）（5分）求| a⃗ ﹣ b ⃗ |； （2）（5分）求cos （ 3π2+α）﹣sin （α﹣π）．18．（10分）已知函数f （x ）=cosωx•sin （ωx ﹣ π3 ）+ √3 cos 2ωx ﹣ √34（ω＞0，x ∈R ），且函数y=f（x）图象的一个对称中心到它对称轴的最近距离为π4．（1）（5分）求ω的值及f（x）的对称轴方程；（2）（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=0，sinB= 45，a= √3，求b的值．19．（10分）已知函数y=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q．（1）（5分）若a＞0且[2，3]∩Q=∅，求实数a的取值范围；（2）（5分）若[2，3]⊆Q，求实数a的取值范围．20．（10分）在等差数列{a n}中，a15+a16+a17=﹣45，a9=﹣36，S n为其前n项和．（1）（5分）求S n的最小值，并求出相应的n值；（2）（5分）求T n=|a1|+|a2|+…+|a n|．21．（10分）如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”，规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，若AB=a，∠DAB=θ，种草的面积为S1，种花的面积为S2，比值S1S2称为“规划和谐度”．（1）（5分）试用a，θ表示S1，S2；（2）（5分）若a为定值，BC足够长，当θ为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值是多少？22．（15分）已知定义域为[0，e]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，e]，总有f（x）≥0；②f（e）=e；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤e，则恒有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．（1）（5分）求f（0）的值；（2）（5分）证明：不等式f（x）≤e对任意x∈[0，e]恒成立；（3）（5分）若对于任意x∈[0，e]，总有4f2（x）﹣4（2e﹣a）f（x）+4e2﹣4ea+1≥0，求实数a 的取值范围．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：sin300°+cos390°+tan （﹣135°）=sin （﹣60°）+cos30°+tan （180°﹣135°）=﹣sin60°+cos30°+tan45°=﹣ √32 + √32 +1=1，故选：B ．【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．2．【答案】B【解析】【解答】解：x=e 时，a= (1e )x=e ﹣e ，b=x 2=e 2，c=lnx=lne=1，故a ＜c ＜b ， 故选：B ．【分析】求出a ，b ，c 的值，比较大小即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：∵等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7= 56π ，∴a 1+a 4+a 7=3a 4= 54π ，∴a 4=512π ，∴a 3+a 5=2a 4= 56π ， ∴cos （a 3+a 5）=cos 5π6 =﹣cos π6 =﹣ √32．故选：B ．【分析】利用等差数列通项公式求出a 3+a 5=2a 4= 56π ，由此利用诱导公式能求出cos （a 3+a 5）的值．4．【答案】C【解析】【解答】解：∵tan （α+β）= 25 ，tan （ β+π4 ）= 14，∴tan （ α−π4 ）=tan[（α+β）﹣（ β+π4 ）]= tan(α+β)−tan(β−π4)1+tan(α+β)tan(β−π4 = 25−141+25×14= 322 ． 故选：C ．【分析】由已知利用两角差的正切函数公式即可化简求值得解．5．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可得，把函数y= 12sinx 的图象沿y 轴向上平移1个单位， 可得函数y= 12sinx+1的图象；再将整个图象沿x轴向左平移π2个单位，可得函数y=12sin（x+ π2）+1的图象；再把横坐标变为原来的12倍，可得函数y= 12sin（2x+ π2）+1=f（x）的图象，故选：A．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式．6．【答案】C【解析】【解答】解：由0＜a＜1可得函数y=a x的图象单调递减，且过第一、二象限，∵0＜b＜1，∴﹣1＜b﹣1＜0，∴0＜1﹣b＜1，y=a x的图象向下平移1﹣b个单位即可得到y=a x+b﹣1的图象，∴y=a x+b的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限，故选：C．【分析】由0＜a＜1可得函数y=a x的图象单调递减，且过第一、二象限，再利用图象的平移，可得结论．7．【答案】D【解析】【解答】解：函数f（x）=sin（2x+ π6）+ √3cos（2x+π6），化简可得：f（x）=sin（2x+ π6+ π3）=cos2x．根据余弦函数的图象和性质，2kπ≤2x≤2kπ+π，可得：kπ≤x≤kπ+π2∴递减区间为[kπ，kπ+π2]，k∈Z．∵对称轴方程2x=kπ，k∈Z．∴函数的对称轴方程为x= π2k，k∈Z．故选D【分析】利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增减区间上，解不等式得函数的单调区间；根据对称轴方程求解对称即可．8．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，令t=sinθ，若θ是第四象限角，则﹣1＜sinθ＜0，即﹣1＜t＜0，t为第四象限的角，则sint＜0，cost＞0，则点P 的横坐标小于0，纵坐标大于0，故P 在第二象限； 故选：B ．【分析】根据题意，令t=sinθ，由θ所在的象限分析可得﹣1＜sinθ＜0，分析可得t 为第四象限的角，由三角函数的符号可得sint ＜0，cost ＞0，即可得P 的横纵坐标的符号，即可得答案．9．【答案】A【解析】【解答】解： AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别是 AC⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向的单位向量， 向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在∠BAC 的平分线上，由（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0知，AB=AC ， 由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =﹣ 12 ，可得∠CAB=120°，∴△ABC 为等腰非等边三角形， 故选A ．【分析】利用单位向量的定义及向量的数量积为0两向量垂直，得到等腰三角形；利用向量的数量积求出三角形的夹角，得到非等边三角形．10．【答案】C【解析】【解答】解：由函数f （x ）是奇函数且满足f （2﹣x ）=f （x ）知，f （x ）是周期为4的周期函数，且关于直线x=1+2k （k ∈R ）成轴对称，关于点（2k ，0）（k ∈Z ）成中心对称．当0＜x≤1时，令f （x ）=lnx+2=0，得x= 1e 2 ，由此得y=f （x ）在（﹣2，4]上的零点分别为﹣2+1e 2 ，﹣ 1e 2 ，0， 1e 2 ，2﹣ 1e 2 ，2，2+ 1e 2 ，﹣ 1e 2+4，4共9个零点． 故选C ．【分析】由函数f （x ）是奇函数且满足f （2﹣x ）=f （x ）知，f （x ）是周期为4的周期函数，且关于直线x=1+2k （k ∈R ）成轴对称，关于点（2k ，0）（k ∈Z ）成中心对称，再求出函数的零点，即可得出结论．11．【答案】B【解析】【解答】解：当3a 2+3b 2﹣c 2=4ab ，即a 2+b 2﹣c 2=﹣2a 2﹣2b 2+4ab=﹣2（a ﹣b ）2，∴cosC= a 2+b 2−c 22ab ≤ −2(a−b)22ab≤0，∵C ∈（0，π）， ∴C 不可能为锐角．故选：B．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入得到cosC的范围，确定出C的范围，即可得到结果．12．【答案】B【解析】【解答】解：令t=sinx+cosx= √2（√22sinx+ √22cosx）= √2sin（x+ π4），x∈（0，π2]，可得x+ π4∈（π4，3π4]，当x+ π4= π2即x= π4时，t取得最大值√2，当x+ π4= 3π4即x= π2时，t取得最小值1，则t∈[1，√2]．又t2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+2sinxcosx，可得2sinxcosx=t2﹣1，函数y=g（t）= t 2−11+t=t﹣1，由g（t）在t∈[1，√2]递增，可得g（t）的最小值为1﹣1=0，最大值为√2﹣1．即有M﹣N= √2﹣1﹣0= √2﹣1．故选：B．【分析】令t=sinx+cosx，运用两角和的正弦公式，化为一个角的正弦形式，结合条件和正弦函数的图象和性质，可得t的范围，再由两边平方，可得t的函数式，化简后运用一次函数的单调性，即可得到所求最值之差．13．【答案】32【解析】【解答】解：a⃗·b⃗=(e1+e2)·e2⃗⃗⃗⃗= e1·⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e2⃗⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗⃗ 2= 12+1= 32，且|b⃗|=1；∴a⃗在b⃗方向上的投影为：|a |cos<a ,b⃗>=|a |·a⃗⃗ ·b⃗⃗|a⃗⃗ ||b⃗⃗ |= a⃗⃗·b⃗⃗|b⃗⃗ |=32．故答案为：32．【分析】可知e1⃗⃗⃗⃗ =e2⃗⃗⃗⃗ =1，且<e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ >=π3，这样即可求出a⃗·b⃗及b⃗的值，从而得出a⃗在b⃗方向上投影的值．14．【答案】1【解析】【解答】解：∵a1=1，a2=0，a n+2=a n+1﹣a n（n≥1），∴a3=a2﹣a1=﹣1，a4=a3﹣a2=﹣1，a5=a4﹣a3=0，a6=a5﹣a4=1，a7=a6﹣a5=1，a8=a7﹣a6=0，a9=a8﹣a7=﹣1，a10=a9﹣a8=﹣1，…，∴a n+6=a n．则a2017=a6×336+1=a1=1．故答案为：1．【分析】利用递推公式可得数列的周期性，即可得出．15．【答案】（52，3]【解析】【解答】解：∵函数f（x）= {ax2−6x+a2+1(x<1)x5−2a(x≥1)是R上的单调递减函数，∴a⃗·b⃗=(e1+e2)·e1·⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e2⃗⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗⃗ 212+1|b⃗|=1|a⃗|cos<a⃗，b⃗>=|a⃗|·a⃗⃗·b⃗⃗|a⃗⃗||b⃗⃗ |=a⃗⃗·b⃗⃗|b⃗⃗ |=32<e1⃗⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗⃗ >=π352{ax2−6x+a2+x5−2a(x≥{a>03a≥15−2a<02a2−5≥1，求得52＜a≤3，故答案为：（52，3]．【分析】利用函数的单调性的性质，二次函数、幂函数的性质，求得实数a的取值范围．16．【答案】11【解析】【解答】解：∵在正项等差数列{a n}中a1和a4是方程x2﹣10x+16=0的两个根，∴a1＜a4，解方程得：a1=2，a4=8，d= 8−24−1=2，∴a n=2+（n﹣1）×2=2n，∴log2a n=log2（2n）=1+log2n，数列{log2a n}的前5项和为S5且S5∈[n，n+1]，n∈Z，∴S5=5+log21+log22+log23+log24+log25=8+log215∈[11，12]，∴n=11．故答案为：11．【分析】推导出a n=2n，从而log2a n=log2（2n）=1+log2n，进而S5=5+log21+log22+log23+log24+log25=8+log215，由此能求出结果．17．【答案】（1）解：由题意，a⃗⊥b⃗．∴a⃗• b⃗=0，即12﹣20sinα=0，可得sinα= 35．∵α∈（0，π2）∴cosα= 45，tanα= 43．∴向量a⃗=（4，4），b⃗=（3，﹣3），那么：a⃗﹣b⃗=（1，7）则| a⃗﹣b⃗|= √1+49=5√2（2）解：由cos（3π2+α）﹣sin（α﹣π）=sinα+sinα=2sinα由（1）可得sinα= 35．∴cos（3π2+α）﹣sin（α﹣π）=2sinα= 65．【解析】【分析】（1）根据a⃗⊥b⃗．可得a⃗• b⃗=0，求解出sinα，可得向量a⃗，b⃗的坐标．即可求| a⃗﹣b⃗|；（2）利用诱导公式化简后，将α代入计算即可．18．【答案】（1）解：函数f（x）=cosωx•sin（ωx﹣π3）+ √3cos2ωx﹣√34（ω＞0，x∈R），化简可得：f（x）= 12sinωxcosωx﹣√32cos2ωx+ √3cos2ωx﹣√34（ω＞0，x∈R），= 14sin2ωx+ √32cos2ωx﹣√34= 14sin2ωx+ √34cos2ωx= 12sin（2ωx +π3）∵函数y=f（x）图象的一个对称中心到它对称轴的最近距离为π4．∴T=4× π4 =π，∴2π2ω=π ， 故得ω=1．∴f （x ）= 12sin （2x +π3 ）， 对称轴方程：2x +π3 = π2+k π ，得：x= 12k π+π12，k ∈Z ． ∴f （x ）的对称轴方程为：x= 12k π+π12，k ∈Z ． （2）解：∵f （A ）=0，即sin （2A +π3 ）=0，∴2A +π3 =kπ，∵0＜A ＜π，∴A= π3 ，∵sinB= 45，a= √3 ， 由正弦定理， a sinA =b sinB ，可得： √332=b 45 ，解得：b= 25 ． 故得b 的值为： 25． 【解析】【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，对称中心到它对称轴的最近距离为 π4 ，可得周期T ，从而求出ω．结合三角函数的图象和性质，可得f （x ）的对称轴方程；（2）根据f （A ）=0，求解出A 角的大小，sinB= 45，a= √3 ，根据正弦定理可得b 的值．19．【答案】（1）解：由题意，a ＞0，Q ⊆（﹣∞，2）∪（3，+∞），∴{4a −4+2≥09a −6+4≥0，∴a≥ 23 ； （2）解：由已知Q={x|ax 2﹣2x+2＞0}，若P ⊆Q ，则说明不等式ax 2﹣2x+2＞0在x ∈[2，3]上恒成立， 即不等式a ＞ 2x −2x2 在x ∈[2，3]上恒成立， 令u= 2x −2x2 ，则只需a ＞u max 即可．又u= 2x −2x 2 =﹣2（ 1x ﹣ 12 ）2+ 12 ． 当x ∈[2，3]时， 1x ∈[ 13 ， 12 ]，从而x=2时，u max = 12， ∴a ＞ 12， 所以实数a 的取值范围是a ＞ 12． 【解析】【分析】（1）由题意，a ＞0，Q ⊆（﹣∞，2）∪（3，+∞），即可求实数a 的取值范围；（2）P ⊆Q ，则说明不等式ax 2﹣2x+2＞0在x ∈[2，3]上恒成立，分离参数后转化为函数最值问题即可解决．20．【答案】（1）解：等差数列{a n }中，a 15+a 16+a 17=﹣45，a 9=﹣36，∴3a 1+45d=﹣45，a 1+8d=﹣36，解得a 1=﹣60，d=3．∴a n =﹣60+3（n ﹣1）=3n ﹣63．S n = n(−60+3n−63)2 = 3n 2−123n 2． 令a n =3n ﹣63≤0．解得n≤21．∴n=20或21时S n 取得最小值= 3×212−123×212=﹣630． （2）解：n≤21时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=﹣（a 1+a 2+…+a n ）=﹣S n ．n≥22时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=﹣（a 1+a 2+…+a 21）+a 22+…+a n =﹣2S 21+S n = 3n 2−123n 2﹣2×（﹣630）= 3n 2−123n 2+1260． 【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式与求和公式即可得出．（2）n≤21时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=﹣（a 1+a 2+…+a n ）=﹣S n ．n≥22时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=﹣（a 1+a 2+…+a 21）+a 22+…+a n =﹣2S 21+S n ．21．【答案】（1）解：∵BD=atanθ，∴△ABD 的面积为 12a 2tan θ （ ∈(0，π2) ） 设正方形BEFG 的边长为t ，则由 FG AB =DG DB 得 t a =atanθ−t atan θ，∵t= atanθ1+tan θ ， ∴S 2= a 2tan 2θ(1+tan θ)2 ，∴S 1= 12a 2tan θθ ﹣S 2= 12a 2tan θθ ﹣ a 2tan 2θ(1+tan θ)2 ， （2）解：由（1） S 1S 2 = (1+tanθ)22tan θ ﹣1， ∵tanθ∈（0，+∞），∴S 1S 2 = (1+tanθ)22tan θ ﹣1= 12 （tanθ+ 1tan θ ≥1， 当且仅当tanθ=1时取等号，此时θ= π4 ．∴当θ= π4 时，“规划和谐度”有最小值，最小值是1．【解析】【分析】（1）求出△ABD 的面积为，设正方形BEFG 的边长为t ，利用三角形的相似求出S 2，然后求出S 1；（2）由（1） S 1S 2 = (1+tanθ)22tan θ ﹣1，通过tanθ∈（0，+∞），通过基本不等式推出，当θ= π4 时，“规划和谐度”有最小值，最小值是1．22．【答案】（1）解：令x 1=0，x 2=0，得f （0）≤0，又对于任意的x ∈[0，e]，总有f （x ）≥0，∴f （0）=0，（2）解：证明：设0≤x 1≤x 2≤e ，则x 2﹣x 1∈（0，e]∴f （x 2）﹣f （x 1）=f （（x 2﹣x 1）+x 1）﹣f （x 1）≥f （x 2﹣x 1）+f （x 1）﹣f （x 1）=f （x 2﹣x 1）≥0， ∴f （x 2）≥f （x 1），∴f （x ）在[0，e]上是单调递增的，∴f （x ）≤f （e ）=e ，（3）解：∵f （x ）在[0，e]上是增函数，∴f （x ）∈[0，e]，∵4f 2（x ）﹣4（2e ﹣a ）f （x ）+4e 2﹣4ea+1≥0，∴4f 2（x ）﹣8ef （x ）+4e 2+1≥4a[e ﹣f （x ）]，当f （x ）≠e 时，a≤ 4f 2(x)−8ef(x)+4e 2+14[e−f(x)]， 令y= 4f 2(x)−8ef(x)+4e 2+14[e−f(x)] = 4[e−f(x)]2+14[e−f(x)] =e ﹣f （x ）+ 14[e−f(x)] ≥e ，当且f （x ）=e ﹣ 12 时取等号，∴a≤e ，当f （x ）=e 时，4f 2（x ）﹣4（2e ﹣a ）f （x ）+4e 2﹣4ea+1=4e 2﹣4（2e ﹣a ）e+4e 2﹣4ea+1=1≥0恒成立，综上所述a≤e．【解析】【分析】（1）令x1=0，x2=0代入即可得到答案，（2）用定义确定函数f（x）在[0，e]上是单调递增的，求出函数的最值即可，（3）先根据函数f（x）的单调性确定函数f（x）的取值范围，再分离参数的方法将a表示出来用基本不等式求出a的范围．。

高一下学期期中考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合{|33}A x x =-<<， (){|lg 1}B x y x ==+，则集合A B ⋂为（ ） A. [)0,3 B. [)1,3- C. ()1,3- D. (]3,1-- 【答案】C【解析】解：由题意可知： {}1B x x =- ，则{|13}A B x x ⋂=-<< ，即A B ⋂为()1,3- . 本题选择C 选项.2．在等差数列{}n a 中， 7116a a =， 4145,a a +=则该数列公差d 等于（ )A.14 B. 13或12- C. - 14 D. 14或- 14 【答案】D【解析】解：由等差数列的性质可知： 4147115a a a a +=+= ，据此可得： 7117115{6a a a a +== ，解得： 7112{3a a == 或7113{2a a == ，等差数列的公差： 731734a a d -==-- 或731734a a d -==- . 本题选择D 选项.3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若c=2，,B=120°，则a 等于（ ）A.B. 1C. D. 3【答案】B【解析】解：由余弦定理有： 2222cos b a c ac B =+- ， 结合题意可得： ()()2230,130a a a a +-=-+= ， 解得： 1a = (3a =-舍去).本题选择B 选项.4．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且2580a a +=，则32S S ：的值为（ ） A. -3 B. 5 C. -8 D. -11 【答案】A【解析】解：由题意可知： 332280,80,2a a q q q +=∴+==- ，则： 223111211131S a a q a q q q S a a q q++++===-++ .本题选择A 选项.5．已知向量a 与b 的夹角为60,2,5a b == ，则｜2a b - ｜的值为（ ） A. 21B. ．．【答案】B【解析】解：由题意可知： 25cos605a b ⋅=⨯⨯=，则：2a b -===本题选择B 选项.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=﹣11，a 4+a 6=﹣6，则a3等于（ ） A. 16 B. 37 C. -7 D. 9 【答案】C【解析】解：由等差数列的性质可知：()51465531263,2,31751a aa a a a d a a d -+==-⇒=-∴===+-⨯=-- .本题选择C 选项.7．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且a:b:c=3:5:7试判断该三角形的形状( )A 钝角三角形B 锐角三角形C 直角三角形D 等边三角形 【答案】A【解析】解：不妨设△ABC 的三边长度为3,5,7a b c === ，由大角对大边可得最大角的余弦值为： 22292549cos 02235a b c C ab +-+-==<⨯⨯ ，即∠C 为钝角，△ABC 是钝角三角形.本题选择A 选项.8．已知平面向量,a b 满足3,2,a b a == 与b 的夹角为60,若()a mb a -⊥ ,则实数m 的值为（ ）1 B ． 32C ． 2D ． 3【答案】D【解析】解：由题意可知： 32cos603a b ⋅=⨯⨯=，且：()20,0,9303a mb a a ma b m m -⋅=-⋅=-=⇒=.本题选择D 选项. 点睛：(1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明a ⊥b ，则只需证明a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b ＝0.(3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.9．在△ABC中，A＝60︒，b＝1sin C的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意可知：222111604,222S bcsinA c sin caa b ccosCabsinC==⨯⨯⨯====+-====本题选择C选项.10．如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE AB ACλμ=+，则λμ+的值为（）A.12B.12- C. 1 D. 1-【答案】A【解析】试题分析：()1122AE AD DE AC AB AB AB AC=+=-+=-+，所以1,12λμ=-=，12λμ+=．故选A．【考点】平面向量的线性运算．11．已知数列{}n a中，()*111,21,n n na a a n N S+==+∈为其前n项和，5S的值为（）A. 63B. 61C. 62D. 57【答案】D【解析】解：由数列的递推关系可得：()11121,12n na a a++=++=，据此可得：数列{}1na+是首项为2，公比为2的等比数列，则：1122,21n nn na a-+=⨯⇒=-，分组求和有： ()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，设4(log 7)a f =，12(log 3)b f =，0.6(0.2)c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c << 【答案】B 【解析】试题分析：由题设函数)(x f 在),0[+∞上单调减,又因3log 3log 221-=,且3log 7log 7log 224<=,故3log 7log 12.0226.0<<<,则)3(log )7(log )2.0(226.0f f f >>,即b a c >>．应选B ．【考点】函数的基本性质和指数对数函数的图象与性质．【易错点晴】本题考查的是基本初等函数的图象和性质及数形结合的数学思想的综合运用问题,解答时运用指数函数对数函数的有关知识比较出3lo g 7lo g 12.0226.0<<<,再借助函数的奇偶性,将问题进一步等价转化,即先比较出3log ,7log ,2.0226.0的大小关系,进而借助函数的单调性可得)3(log )7(log )2.0(226.0f f f >>,从而得到)3(log )7(log )2.0(246.0f f f >>,即b a c >>．二、填空题13．函数()()212log 23f x x x =--的单调递增区间是____．【答案】--1∞（，） 【解析】解：函数有意义，则： 2230x x --> ，解得： {31}x x x <-或 ， 结合二次函数的性质和复合函数单调性同增异减可知： 函数的单调递增区间为： (),1-∞- .点睛：复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．14．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：需 ______日相逢. 【答案】9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第n 天跑的路程都是等差数列，设路程为{}{},n n a b ， 由题意有：()()1111031131390,97197222n n a n n b n n ⎛⎫=+-⨯=+=+-⨯-=-+ ⎪⎝⎭ ，故： 111871222n n n c a b n =+=+ ，满足题意时，数列{}n c 的前n 项和为112522250n S =⨯= ，由等差数列前n 项和公式可得： 11111871218712222222502n n ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⨯= ，解得： 9n = .即二马相逢，需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题. (1)解决数列应用题的基本步骤是：①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知；②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型； ③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论． (2)数列应用题常见模型：①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n －1的递推关系，或前n 项和S n 与S n －1之间的递推关系．15．在ABC ∆中， 111,2,4,,,2224A AB AC AF AB CE CA BD BC π∠====== ，则·DE DF的值为_______ 【答案】【解析】试题分析：如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()3,1,0,2,1,02D E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故3131,1,112244DE DF ⎛⎫⎛⎫⋅=---=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【考点】向量运算．16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数, 当0x ≥时, ()22f x x x =+, 若()()22f a f a ->,则实数a 的取值范围是_______．【答案】(-2,1)【解析】解：由函数在0x ≥ 时的解析式可得，当0x < 时， ()22f x x x =-+ ， 由函数的解析式可知，奇函数()f x 在定义域R 上单调递增，由函数的单调性可得： 22a a -> ，求解不等式可得实数a 的取值范围是：()2,1- .点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，若f (x )为奇函数，则()()f x f x -=-．三、解答题17．已知关于x 的不等式()()21120m x m x -+-+>（1）若m=0,求该不等式的解集（2）若该不等式的解集是R ，求m 的取值范围。

湖北省2016年春季部分重点中学期中联考高二数学试卷（理科）考试时间：2016年4月27日上午8:00～10:00 试卷满分：150分一、选择题：每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 复数i iz 212-+=的虚部为 （ ） A ． 35- B ．i 35- C ．1 D ． i2．设随机变量ξ~),1(2σN ,若8.0)2(=<ξP ,则)10(<<ξP 的值为 （ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.63．已知某射击运动员，每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 （ ） A ．0.85 B ．0.75 C ．0.8 D ．0.81924．五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为 ( ) A ．14B ．23C ．13D ．1105.若随机事件A 在一次试验中发生的概率为)10(<<p p ，用随机变量ξ表示A 在一次试验中发生的次数，则ξξE D 14-的最大值为 （ ） A ．2 B ．-1 C ．0 D ．16.在4)1)((x x a ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a 的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47.已知a 是常数，函数3211()(1)232f x x a x ax =+--+的导函数'()y f x =的图像如右图所示，则函数()|2|x g x a =-的图像可能是 （ ）8．记抛物线2)(x x x f -=与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线x y 31=所围成的平面区域为A ，若向区域M 内随机抛掷一点P ，则点P 落在区域A 的概率为 （ ） A ．278 B ． 31 C ．92 D ．277 9.某公司新招聘进8名员工，现将其平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门，三名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配种数是（ ） A ．18 B ．24 C ．36 D ．7210．若函数1ln )(2+-+=x x x x f 在其定义域的一个子区间)2,12(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 （ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,23 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,21 C ．⎪⎭⎫⎝⎛-3,23 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,2111．若1021<<<x x ，则 （ ）A ．12ln ln 12x x e e x x -<-B ．12ln ln 12x x e e x x ->-C ．2112x x e x e x <D ．2112x x e x e x > 12．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5 … 2013 2014 2015 20163 5 7 9 ………… 4027 4029 4031 8 12 16 ………………… 8056 8060 20 28 ………………………… 16116 …………………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 （ ）A ．201520172⨯B ．201420172⨯C ．201520162⨯D ．201420162⨯二、填空题：每小题5分，共20分，将答案填在答题卡的横线上．13.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销， 得到如下数据：利用上述数据求得线性回归方程为a x y +-=4ˆ,从这些样本点中任取一点，则它在回归直线下方的概率为_____ 14.在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角分别为α、β，则有22cos cos 1αβ+=，类比到空间中的一个正确命题是：在长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1AC 与相邻三个面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=_________.15.已知⎰=πsin 5xdx n ，则二项式n c b a )32(+-的展开式中32-n bc a 的系数为__________16.对于函数)(x f 给出定义：设)('x f 是函数)(x f y =的导数，)(''x f 是函数)('x f 的导数，若方程0)(''=x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”.某同学经过探究发现，任何一个三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数12532131)(23-+-=x x x x f ，请你根据探究结果，计算⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20172016201732017220171f f f f Λ=_________ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）某地区在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性50人。

2016-2017学年湖北省华中师大一附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知等比数列{a n}满足：a3•a7=，则cosa5=（）A．B．C．± D．±2．△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=，b=，B=45°，则角C的大小为（）A．15° B．75° C．15°或75°D．60°或120°3．已知向量=（﹣1，2），=（3，1），=（k，4），且（﹣）⊥，则•（+）=（）A．（2，12） B．（﹣2，12）C．14 D．104．已知数列{a n}的通项为a n=，则满足a n+1＜a n的n的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．设向量=（a+c，b），=（b﹣a，c﹣a），若向量∥，则角C的大小是（）A．B．C．D．6．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5=8，S3=6，则S10﹣S7的值是（）A．24 B．48 C．60 D．727．已知=（1，﹣1），=﹣， =+，若△OAB是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．8．一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第9行中的第6个数是（）A．132 B．261 C．262 D．5179．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2acosB=c，且满足 sinAsinB（2﹣cosC）=sin2+，则△ABC为（）A．锐角非等边三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形10．在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则λ+μ=（）A．1 B．C．D．11．设数列{a n}满足a1=2，a n+1=1﹣，记数列{a n}的前n项之积为T n，则T2018=（）A．1 B．2 C．D．12．已知△ABC周长为6，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，则•的取值范围为（）A．[2，18） B．（，2] C．[2，）D．（2，9﹣3）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，满足=（1，），•（﹣）=﹣3，则向量在方向上的投影为．14．已知数列{a n}的前n项和S n=3n﹣2，求{a n}的通项公式．15．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为60°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走200米到B，在B处测得山顶P的仰角为75°，则山高h= 米．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N+，S n=（﹣1）n a n++n﹣3且（t﹣a n+1）（t﹣a n）＜0恒成立，则实数t的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足S3=3a3+2a2，a4=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列b n=log2a n，数列{bn}的前n项和为T n，求使得T n取最大值的正整数n的值．18．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．（1）求角A的度数；（2）若，求△ABC的面积．19．已知向量满足，||=1，|k+|=|﹣k|，k＞0．（1）求与的夹角θ的最大值；（2）若与共线，求实数k的值．20．如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中．设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形（△AMN和△A'MN）．现考虑方便和绿地最大化原则，要求点M与点A，B均不重合，A'落在边BC上且不与端点B，C重合，设∠AMN=θ．（1）若，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求AN，A'N的长度最短，求此时绿地公共走道MN的长度．21．已知数列{a n}满足（n∈N*），a1=1．（1）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若记b n为满足不等式的正整数k的个数，数列{}的前n项和为S n，求关于n的不等式S n＜4032的最大正整数解．22．已知数列{a n}满足a1=1，点（a n，a n+1）在直线y=2x+1上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=a1， =+…+（n≥2且n∈N*），求b n+1a n﹣（b n+1）a n+1的值；（3）对于（2）中的数列{b n}，求证：（1+b1）（1+b2）…（1+b n）＜b1b2…b n（n∈N*）．2016-2017学年湖北省华中师大一附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知等比数列{a n}满足：a3•a7=，则cosa5=（）A．B．C．± D．±【考点】88：等比数列的通项公式；GI：三角函数的化简求值．【分析】直接利用等比数列的性质结合已知求得．则答案可求．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a3•a7=，得，∴．∴cosa5=cos（±）=．故选：B．2．△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=，b=，B=45°，则角C的大小为（）A．15° B．75° C．15°或75°D．60°或120°【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinA=，结合范围A∈（45°，180°），可求A，利用三角形内角和定理可求C 的值．【解答】解：∵a=，b=，B=45°，∴由正弦定理可得：sinA===，∵A∈（45°，180°），∴A=60°，或120°，∴C=180°﹣A﹣B=15°或75°．故选：C．3．已知向量=（﹣1，2），=（3，1），=（k ，4），且（﹣）⊥，则•（+）=（ ）A ．（2，12）B ．（﹣2，12）C ．14D ．10【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由已知求出，的坐标，再由（﹣）⊥列式求得k 值，得到，然后利用数量积的坐标运算求得•（+）．【解答】解：∵ =（﹣1，2），=（3，1），=（k ，4），∴=（﹣4，1），=（2，3），∵（﹣）⊥，∴﹣4k+4=0，解得k=1．∴，则•（+）=（1，4）•（2，3）=1×2+4×3=14．故选：C ．4．已知数列{a n }的通项为a n =，则满足a n+1＜a n 的n 的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【考点】82：数列的函数特性．【分析】a n =，a n+1＜a n ，＜，化为：＜．对n 分类讨论即可得出．【解答】解：a n =，a n+1＜a n ，∴＜，化为：＜． 由9﹣2n ＞0，11﹣2n ＞0，11﹣2n ＜9﹣2n ，解得n ∈∅．由9﹣2n ＜0，11﹣2n ＞0，解得，取n=5．由9﹣2n ＜0，11﹣2n ＜0，11﹣2n ＜9﹣2n ，解得n ∈∅．因此满足a n+1＜a n 的n 的最大值为5．故选：C ．5．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．设向量=（a+c ，b ），=（b ﹣a ，c ﹣a ），若向量∥，则角C 的大小是（ ）A．B．C．D．【考点】HR：余弦定理；96：平行向量与共线向量．【分析】因为，根据向量平行定理可得（a+c）（c﹣a）=b（b﹣a），展开即得b2+a2﹣c2=ab，又根据余弦定理可得角C的值．【解答】解：∵∴（a+c）（c﹣a）=b（b﹣a）∴b2+a2﹣c2=ab2cosC=1∴C=故选B．6．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5=8，S3=6，则S10﹣S7的值是（）A．24 B．48 C．60 D．72【考点】8F：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】利用条件a5=8，S3=6，计算等差数列的首项，公差，进而可求S10﹣S7的值【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差为d∵a5=8，S3=6，∴∴∴S10﹣S7=a8+a9+a10=3a1+24d=48故选B．7．已知=（1，﹣1），=﹣， =+，若△OAB是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】根据△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，得到向量垂直和向量模长相等的条件，利用向量数量积的定义进行求解即可．【解答】解：若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则⊥，即•=0，则（﹣）•（+）=0，即||2﹣||2=0，则||=||=，又||=||，即|﹣|=|+|，平方得||2+||2﹣2•=||2+||2+2•，得•=0，则||2=||2+||2﹣2•=||2+||2=2+2=4，则||=2，则△OAB的面积S=||•||=×2×2=2．故选：A．8．一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第9行中的第6个数是（）A．132 B．261 C．262 D．517【考点】F1：归纳推理．【分析】先根据题意可知第n行有2n﹣1个数，此行最后一个数的为2n﹣1，求出第8行的最后一个数，从而求出所求．【解答】解：根据题意可知第n行有2n﹣1个数，此行最后一个数的为2n﹣1．那么第8行的最后一个数是28﹣1=255，该数表中第9行的第6个数是261，故选：B．9．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2acosB=c，且满足 sinAsinB（2﹣cosC）=sin2+，则△ABC为（）A．锐角非等边三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形【考点】HP：正弦定理．【分析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A=B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B=C，A﹣B=0代入计算求出cosC的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．【解答】解：将已知等式2acosB=c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB=sinC，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，∵A与B都为△ABC的内角，∴A﹣B=0，即A=B，已知第二个等式变形得：sinAsinB（2﹣cosC）=（1﹣cosC）+=1﹣cosC，﹣ [cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cosC）=1﹣cosC，∴﹣（﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）=1﹣cosC，即（cosC+1）（2﹣cosC）=2﹣cosC，整理得：cos2C﹣2cosC=0，即cosC（cosC﹣2）=0，∴cosC=0或cosC=2（舍去），∴C=90°，则△ABC为等腰直角三角形．故选：C．10．在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则λ+μ=（）A．1 B．C．D．【考点】97：相等向量与相反向量．【分析】通过解直角三角形得到BD=BC，利用向量的三角形法则及向量共线的充要条件表示出利用向量共线的充要条件表示出，根据平面向量就不定理求出λ，μ值．【解答】解：在△ABD中，BD==1又BC=3所以BD=∴∵O为AD的中点∴∵∴∴故选D11．设数列{a n}满足a1=2，a n+1=1﹣，记数列{a n}的前n项之积为T n，则T2018=（）A．1 B．2 C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】依题意，数列{a n}是以4为周期的函数数列，可求得a1•a2•a3•a4=a5•a6•a7•a8=…=a2013•a2014•a2015•a2016=1，从而可得答案．【解答】解：∵a1=2，a n+1=1﹣，∴a2==，a3==﹣，a4==﹣3，a5==2，…即a n+4=a n，∴数列{a n}是以4为周期的函数，又a1•a2•a3•a4=a5•a6•a7•a8=…=a2005•a2006•a2007•a2008=1，T n为数列{a n}的前n项之积，∴T2018=（a1•a2•a3•a4）•（a5•a6•a7•a8）…（a2013•a2014•a2015•a2016）•a2017•a2018=a1•a2==，故选：D．12．已知△ABC周长为6，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，则•的取值范围为（）A．[2，18） B．（，2] C．[2，）D．（2，9﹣3）【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知a+b+c=6，且b2=ac，由基本不等式及三角形中的边角关系求得b的范围得到b的范围，代入数量积公式可得•=﹣（b+3）2+27．则•的取值范围可求．【解答】解：由题意可得a+b+c=6，且b2=ac，∴b=≤=，从而0＜b≤2．再由|a﹣c|＜b，得（a﹣c）2＜b2，（a+c）2﹣4ac＜b2，∴（6﹣b）2﹣4b2＜b2，得b2+3b﹣9＞0，又b＞0，解得b＞，∴＜b≤2，∵cosB==，∴•=ac•cosB====﹣（b+3）2+27．则2≤•＜．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，满足=（1，），•（﹣）=﹣3，则向量在方向上的投影为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】求出向量b的模，向量a，b的数量积，再由向量在方向上的投影，计算即可得到．【解答】解： =（1，），则||==2，•（﹣）=﹣3，则=﹣3=4﹣3=1，即有向量在方向上的投影为=．故答案为：．14．已知数列{a n}的前n项和S n=3n﹣2，求{a n}的通项公式．【考点】8H：数列递推式．【分析】首先求出n=1时a1的值，然后求出n≥2时a n的数列表达式，最后验证a1是否满足所求递推式，于是即可求出{a n}的通项公式．【解答】解：当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣2﹣3n﹣1+2=2•3n﹣1，当n=1时，a1=1不满足此递推式，故a n=．15．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为60°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走200米到B，在B处测得山顶P的仰角为75°，则山高h= 150（+）米．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】用h表示出BC，AQ，列方程解出h．【解答】解：CQ=200sin15°=50（﹣），AQ==h，BC===（2﹣）h﹣50（3﹣5），∴h﹣（2﹣）h+50（3﹣5）=200cos15°=50（+），解得h=150（+）．故答案为：150（+）．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N+，S n=（﹣1）n a n++n﹣3且（t﹣a n+1）（t﹣a n）＜0恒成立，则实数t的取值范围是（﹣，）．【考点】8H：数列递推式．【分析】由数列递推式求出首项，写出n≥2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数a n=﹣1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=﹣，函数a n=3﹣（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=，再由（t﹣a n+1）（t﹣a n）＜0恒成立求得实数t的取值范围．【解答】解：由S n=（﹣1）n a n++n﹣3，得a1=﹣；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1）n a n++n﹣3﹣（﹣1）n﹣1a n﹣1﹣﹣（n﹣1）+3=（﹣1）n a n+（﹣1）n a n﹣1﹣+1，若n为偶数，则a n﹣1=﹣1，∴a n=﹣1（n为正奇数）；若n为奇数，则a n﹣1=﹣2a n﹣+1=2（﹣1）﹣+1=3﹣，∴a n=3﹣（n为正偶数）．函数a n=﹣1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=﹣，函数a n=3﹣（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=，若（t﹣a n+1）（t﹣a n）＜0恒成立，则a1＜t＜a2，即﹣＜t＜．故答案为：（﹣，）．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足S3=3a3+2a2，a4=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列b n=log2a n，数列{bn}的前n项和为T n，求使得T n取最大值的正整数n的值．【考点】8I：数列与函数的综合；8E：数列的求和．【分析】（1）利用已知条件求出数列的公比，然后求解通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用，求解数列的最大项，即可得到结果．（法二利用二次函数的性质求解）．【解答】解：（1）设正项等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，由已知的S3=3a3+2a2有2a3+a2﹣a1=0，即2a1q2+a1q﹣a1=0，又a1＞0，∴2q2+q﹣1=0，故q=或q=﹣1（舍），…∴a n=a4q n﹣4=（）n﹣7，…6 分（2）由（1）知b n=log2a n=7﹣n，设T n为其最大项，则有：即，得6≤n≤7，故当n=6或7时，T n达到最大．…（法2），亦可给分．18．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．（1）求角A的度数；（2）若，求△ABC的面积．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得4cos2A﹣4cosA+1=0，解得：cosA=，结合A为三角形内角可求A的值．（2）由余弦定理得b2+c2﹣a2﹣bc=0，结合已知可求c的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）依题意可得：，…∴整理可得4cos2A﹣4cosA+1=0，∴解得：cosA=，…∴．…（2）由余弦定理得：cosA==，∴b2+c2﹣a2﹣bc=0，∴3+c2﹣（﹣c）2=0，∴3﹣c2+3﹣=0，∴c=，…∴．…19．已知向量满足，||=1，|k+|=|﹣k|，k＞0．（1）求与的夹角θ的最大值；（2）若与共线，求实数k的值．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用向量的模，平方展开，推出向量的数量积，然后求解向量的夹角的最大值．（2）通过，说明与夹角为0或π，利用数量积列出方程求解即可．【解答】解：（1）即∴…..∵，当且仅当且k＞0即k=1时等号成立…..此时又y=cosθ在[0，π]上单调递减，从而…．（2）∵，∴与夹角为0或π，…又∵k＞0，∴…20．如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中．设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形（△AMN和△A'MN）．现考虑方便和绿地最大化原则，要求点M与点A，B均不重合，A'落在边BC上且不与端点B，C重合，设∠AMN=θ．（1）若，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求AN，A'N的长度最短，求此时绿地公共走道MN的长度．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）由题意可知A=，故△AMN为等边三角形，根据BM与AM的关系得出AM，代入面积公式计算；（2）用θ表示出AM，利用正弦定理得出AN关于θ的函数，利用三角恒等变换求出AN取得最小值对应的θ值，再计算MN的长．【解答】解：（1）∵△AMN≌△A'MN，∴∠AMN=∠A′MN=，∴∠BMA′=，∴BM=A′M=AM．∴AM==，∵AB=a，BC=，∠B=，∴∠A=，∴△AMN是等边三角形，∴S=2S△AMN=2×=．（2）∵∠BMA′=π﹣2θ，AM=A′M，∴BM=A′Mcos∠BMA′=﹣AMcos2θ．∵AM+BM=a，即AM（1﹣cos2θ）=a，∴AM==．在△AMN中，由正弦定理可得：，∴，令f（θ）=2sinθsin（﹣θ）=2sinθ（cosθ+sinθ）=sin2θ+=sin（2θ﹣）+．∵，∴当即时f（θ）取最大值，∴当θ=时AN最短，此时△AMN是等边三角形，．21．已知数列{a n}满足（n∈N*），a1=1．（1）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若记b n为满足不等式的正整数k的个数，数列{}的前n项和为S n，求关于n的不等式S n＜4032的最大正整数解．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）对条件式取倒数，移项即可得出﹣=，故而数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求出即可得出a n；（2）根据不等式得出b n，利用错位相减法求出S n，从而得出S n＜4032的最大正整数解．【解答】解：（1）∵，∴﹣=1，即﹣=，又=1，∴{}是以1为首项，以为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）=n+，∴a n=．（2）∵（）n＜a k≤（）n﹣1，即（）n＜≤（）n﹣1，∴2n﹣1＜k≤2n+1﹣1，∴b n=2n+1﹣1﹣（2n﹣1）=2n，∴=（n+1）2n﹣1，∴S n=2•20+3•21+4•22+…+（n+1）•2n﹣1，∴2S n=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，两式相减得：﹣S n=2+2+22+…+2n﹣1﹣（n+1）•2n=2+﹣（n+1）•2n，=﹣n•2n，∴S n=n•2n．∵S n+1﹣S n=（n+1）•2n+1﹣n•2n=（n+2）•2n＞0，∴{S n}单调递增，又S8=2048＜4032，S9=4608＞4032，∴关于n的不等式S n＜4032的最大正整数解为8．22．已知数列{a n}满足a1=1，点（a n，a n+1）在直线y=2x+1上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=a1， =+…+（n≥2且n∈N*），求b n+1a n﹣（b n+1）a n+1的值；（3）对于（2）中的数列{b n}，求证：（1+b1）（1+b2）…（1+b n）＜b1b2…b n（n∈N*）．【考点】8K：数列与不等式的综合；8H：数列递推式．【分析】（1）利用点（a n，a n+1）在直线y=2x+1上，可得a n+1+1=2（a n+1），从而可得{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，由此可求数列的通项公式；（2）确定=+，即可求b n+1a n﹣（b n+1）a n+1的值；（3）由（2）可知，（n≥2），b2=a2，证明…＜即可．【解答】（1）解：∵点（a n，a n+1）在直线y=2x+1上，∴a n+1+1=2（a n+1）∴{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列∴a n=2n﹣1；（2）解：∴=+∴b n+1a n﹣（b n+1）a n+1=0n=1时，b2a1﹣（b1+1）a2=﹣3；（3）证明：由（2）可知，（n≥2），b2=a2∴…=…=••…=2=2（+…+）∵k≥2时，∴+…+=+…+＜1+2[（）+…+（）]=1+2（）＜∴…＜∴．。

2016-2017学年湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校联盟高一下学期期中数学试卷一、选择题 (共12题；共24分)1．（2分）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1]B．（0，1] C．[0，1）D．（﹣∞，1]2．（2分）下列函数中，在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（）A．y=1−1x−1B．y=|x﹣1|C．y=x2﹣4x+8D．y=√1−x3．（2分）等差数列的前4项之和为30，前8项之和为100，则它的前12项之和为（）A．130B．170C．210D．2604．（2分）已知点A（1，1），B（4，2）和向量a⃗=（2，λ），若a⃗∥AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值为（）A．﹣23B．32C．23D．﹣325．（2分）在平面直角坐标系中，若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（﹣√3，﹣1），则sin（π2﹣α）=（）A．√32B．−√32C．12D．−126．（2分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a8a13+a9a12=26，则log2a1+log2a2+…+log2a20=（）A．120B．100C．50D．607．（2分）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°、45°，且A、B两点之间的距离为60m，则树的高度为（）A．（30+30 √3）m B．（30+15 √3）mC．（15+30 √3）m D．（15+15 √3）m8．（2分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A>0，|ϕ|<π2）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A ．向右平移 π6 个长度单位 B ．向右平移 π12 个长度单位 C ．向左平移 π6 个长度单位D ．向左平移 π12 个长度单位9．（2分）已知函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若不等式f （a ）≥f （x ）对任意x ∈[1，2]恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1]B ．[﹣1，1]C ．（﹣∞，2]D ．[﹣2，2]10．（2分）在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别是a 、b 、c ．若sinC+sin （B ﹣A ）=sin2A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．（2分）已知函数y=sin （πx+φ）﹣2cos （πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（1，0）对称，则tanφ=（ ） A ．﹣ 12B ．﹣2C ．12D ．212．（2分）已知等差数列{a n }满足 sin 2a 6cos 2a 9−sin 2a 9cos 2a 6sin(a 7+a 8)=1，公差d ∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值，则该数列首项a 1的取值范围是（ ）A ．（ 4π3 ， 3π2 ）B ．[ 4π3 ， 3π2 ]C ．（ 7π6 ， 4π3） D ．[ 7π6 ， 4π3] 二、填空题 (共4题；共8分)13．（2分）已知函数f （x ）=x 2﹣2（a ﹣1）x+2在区间（﹣∞，5]上为减函数，则实数a 的取值范围为 ．14．（2分）已知sinα+cosα= 23，则cos2α= ．15．（2分）在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则 CP ⃗⃗⃗⃗⃗ •CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ •CA⃗⃗⃗⃗⃗ = ． 16．（2分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acosA=bsinb ，且 B >π2 ，则sinA+sinC 的最大值是 ．三、解答题 (共6题；共30分)17．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，且a3=7，S11=143，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2 a n+2n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（5分）已知向量α⃗=（{cosx，﹣√3cosx），b⃗=（cosx，sinx），函数f（x）= α⃗• b⃗+1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（θ）= 56，θ∈(π3，2π3)，求sin2θ的值．19．（5分）某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：（Ⅰ）写出价格f（x）关于时间x的函数关系式（x表示投放市场的第x天，x∈N*）；（Ⅱ）销售量g（x）与时间x的函数关系式为g(x)=13x+1009(1≤x≤100，x∈N∗)，则该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少千元？20．（5分）已知数列{a n}中，a1=1,a n+1=a na n+2(n∈N∗)（Ⅰ）求证：{1a n+1}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=(2n−1)⋅n2n−1⋅a n，数列{bn}的前n项和为T n，若不等式(−1)nλ<T n+n2n−1对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．21．（5分）已知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=2log a（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1．（Ⅰ）若3是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，求t的值；（Ⅱ）当0＜a＜1且t=1时，解不等式f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若函数F（x）=a f（x）+tx2﹣2t+1在区间（﹣1，3]上有零点，求t的取值范围．22．（5分）在△ABC中，已知B=45°，D是BC上一点，AD=5，AC=7，DC=3，求AB的长．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由M={x|x 2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1]，得M ∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]． 故选：A ．【分析】求解一元二次方程化简M ，求解对数不等式化简N ，然后利用并集运算得答案。

2016-2017学年湖北省天门市三校联考高一（下）期中数学试卷12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）八 2A . a n =n3.如果a v b v 0,那么下面一定成立的是（sinAsinB v cosAcosB ，则△ ABC 一定为(A .等边三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .钝角三角形C . 43 + ” ，则4x+2y 的取值范围是（t -1%： x-yS ： 1A . [0 , 10]B . [0 , 12]C . [2 , 10]D . [2 , 12]C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏 B 在观察站C 正西方向，则两灯塔 A 、B 间的距离为（x € R ,不等式i - ■■----：恒成立，贝U 实数m 的取值范围是（ ）A . a -b > 0 4.已知数列｛a n ｝ 中,丄V a b a 1=1, a n+1=2a n +1 (n € N ),贝U a 4 的值为(B . ac v bcC . A . 31 B . 30 C . 15 a 2 > b 2 636.等比数列 {a n }中, a 4=2, a 5=5，则数列｛lga n ｝的前8项和等于（A . [2 , 6]B . [ - 6,- 2]C . (2, 6) 10 .已知 sin ( ■- ) =「， n 7T亏aV n,则求sin (迈 -a)=( D . (- 6, -2) )、选择题（本大题共 1.数列-1, 4,- 9, 16,- 25…的一个通项公式为（2.计算：cos25 sin55 A -- -sin25 cos55 =C . Vs5.在△ ABC 中，若 7.已知变量 x , y 满足约束条件 &某观察站 东30°灯塔 A . 500 米 B . 600米 C . 700 米 D . 800 米9.若对任意实数。

2016—2017学年高一（下）期中考试（数学）参考答案一、选择题（5*12=60分）1.D2.D3.D4.A5.C6.A7.B8.B9.A 10.C 11.D 12.D二、填空题（4*5=20分）13. 14.y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4 15.;,k ∈Z 16. 三、解答题（70分）17.（10分）(1)因为0＜α＜，sin α＝， 故cos α＝，所以tan α＝． -------5分(2)cos 2α＋sin (＋α)＝1－2sin 2α ＋cos α＝1－＋＝．-----------5分18.（12分）解：（1）∵，的夹角为， ∴ ＝||•||•cos ＝， ……1分∴|-|2＝（-）2 ……2分＝2＋2 -2＝1＋3－3＝1， ……3分 ∴ ……4分（2）由得 ……6分由得 ……7分（3），．……8分又||＝1，||＝，．……9分． ……10分 ……没有此说明扣1分 ． ……12分19．（12分）解：（1）因为f （x ）＝sin （π－ωx ）cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f （x ）＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12． 由于ω＞0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1．-------------------4 （2）由（1）知f （x ）＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12， 所以g （x ）＝f （2x ）＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12．当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2， 所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1．因此1≤g （x ）≤1＋22． 故g （x ）在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1．-----------------------620．（12分）解:过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H.设∠OAD=θ，则∠BAH=-θ，--------------------------2OA=2cos θ，--------------------------------------------------3BH=sin=cos θ， ---------------------------------------4AH=cos=sin θ，-----------------------------------------5所以B(2cos θ+sin θ，cos θ)，---------------------------7OB 2=(2cos θ+sin θ)2+cos 2θ=7+6cos2θ+2sin2θ=7+4sin.------------------------------9由0<θ<，知<2θ+<，所以当θ=时，OB 2取得最大值7+4.---------------------------------------1221.（12分）解：(1)f(x)=m ·n =4sinxcosx+2cosx=2sinx+2cosx=4sin.----3(2)由(1)，知f(x)=4sin ，x ∈[-π，π]，所以x+∈，由-≤x+≤，解得-≤x ≤，所以函数f(x)的单调递增区间为.------------------------------7(3)当x ∈[-π，π]时，函数h(x)=f(x)-k 的零点讨论如下：当k>4或k<-4时，h(x)无零点，a=0；----------------------------------8 当k=4或k=-4时，h(x)有一个零点，a=1；-------------------------------10 当-4<k<-2或-2<k<4时，h(x)有两个零点，a=2；---------------------------11 当k=-2时，h(x)有三个零点，a=3.--------------------------------------1222.（12分）解：(1)设点N(6,n),因为与x轴相切,则圆N为(x-6)2+(y-n)2=n2,n>0,又圆N与圆M外切,圆M:(x-6)2+(y-7)2=25,则|7-n|=|n|+5,解得n=1,即圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.--------------------------------------------4(2)由题意得OA=2,k OA=2,设l:y=2x+b,则圆心M到直线l的距离d=,则BC=2=2,BC=2,即2=2⇒b=5或b=-15,即l:y=2x+5或y=2x-15.------------8(3)因为,所以,⇒,,根据||≤10,即≤10⇒t∈[2-2,2+2],所以t的取值范围为[2-2,2+2].对于任意t∈[2-2,2+2],欲使,此时||≤10,只需要作直线TA的平行线,使圆心到直线的距离为,必然与圆交于P,Q两点,此时,即,因此对于任意t∈[2-2,2+2],均满足题意,综上t∈[2-2,2+2].------------------------------------------12。

2016-2017学年湖北省鄂东南省级示范高中联考高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|2x﹣5＞0}，B={x|x2﹣4x+3≤0}，则A∩B=（）A．（1，）B．[1，）C．（，3）D．（，3] 2．（5分）sin300°+cos390°+tan（﹣135°）=（）A．﹣1B．1C．D．+13．（5分）已知等差数列{a n}中，a1+a3+a9=20，则4a5﹣a7=（）A．20B．30C．40D．504．（5分）已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD中点，连BE，则•=（）A．﹣2B．﹣1C．1D．25．（5分）已知函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点位于区间（m﹣1，m）（m∈Z）内，则+log3m=（）A．1B．2C．3D．46．（5分）给定△ABC的三个条件：A=60°，b=4，a=2，则这样的三角形解的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．无数个7．（5分）下列有关于f（x）=ln（1+|x|）﹣的性质的描述，正确的是（）A．奇函数，在R上单调递增B．奇函数，在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减8．（5分）已知数列{a n}满足递推关系：a n+1=，a1=，则a2017=（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数y=是偶函数且在[0，+∞）上单调递增，则下列说法中正确的是（）A．ef（1）＜f（2）B．e3f（﹣1）＞f（2）C．e2f（﹣1）＜f（1）D．ef（﹣2）＜f（﹣1）10．（5分）f（x）=sin（ωx+φ）（ω＜0）向右平移个单位之后图象与g（x）=cos2x 的图象重合，则φ=（）A．πB．C．π+2kπ（k∈Z）D．+2kπ（k∈Z）11．（5分）a，b，c是非直角△ABC中角A、B、C的对边，且sin2A+sin2B﹣sin2C=absinAsinBsin2C，则△ABC的面积为（）A．B．1C．2D．412．（5分）已知f（x）是奇函数，且对于任意x∈R满足f（2﹣x）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=lnx+2，则函数y=f（x）在（﹣2，4]上的零点个数是（）A．7B．8C．9D．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知任意幂函数经过定点A（m，n），则函数f（x）=log a（x﹣m）+n经过定点．14．（5分）已知，为单位向量且夹角为，设=+，=，在方向上的投影为．15．（5分）函数f（x）=是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是．16．（5分）计算cos24°+cos144°+cos264°=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A={y|y=，x∈R}，B={x|y=lg（1﹣2x）}（1）求出集合A，集合B；（2）求（∁U B）∩A．18．（12分）化简计算：（1）已知tanθ=2，求值：；（2）ln（+x）+ln（﹣x）+lg22+（1+lg2）•lg5﹣2sin30°．19．（12分）公元前三世纪，被誉为“几何之父”著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出“余弦定理”，古往今来有许许多多的证明方法，请在△ABC中，请写出余弦定理的其中一个公式，并且利用向量知识加以证明．20．（12分）已知=（sinx，），=（cosx，）（x∈R），且函数f（x）=•．（1）求f（x）的对称轴方程；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=0，sinB=，a=，求b的值．21．（12分）如图欲在直角区域ABC内的空地上植造一块“绿地Rt△ABD”，D在BC边上．其中AB=1，设BD=x（x＞0）且BC足够长，规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，种草的面积为S1，种花的面积为S2，比值称为“完美度”．（1）用x表示出S2；（2）求完美度f（x）=的最小值且此时x的值．22．（12分）已知函数f（x）=sinx（x≥﹣3π），将f（x）的零点从小到大排列，得到一个数列{a n}（n∈N*）（1）直接写出{a n}的通项公式；（2）求{|a n|}的前n项和S n；（3）设b n=+4，证明：++++…+＜2．2016-2017学年湖北省鄂东南省级示范高中联考高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|2x﹣5＞0}，B={x|x2﹣4x+3≤0}，则A∩B=（）A．（1，）B．[1，）C．（，3）D．（，3]【解答】解：根据题意，2x﹣5＞0⇒x＞，则集合A={x|2x﹣5＞0}=（，+∞），x2﹣4x+3≤0⇒1≤x≤3，则B═{x|x2﹣4x+3≤0}=[1，3]，故则A∩B=（，3]；故选：D．2．（5分）sin300°+cos390°+tan（﹣135°）=（）A．﹣1B．1C．D．+1【解答】解：sin300°+cos390°+tan（﹣135°）=sin（﹣60°）+cos30°+tan（180°﹣135°）=﹣sin60°+cos30°+tan45°=﹣++1=1，故选：B．3．（5分）已知等差数列{a n}中，a1+a3+a9=20，则4a5﹣a7=（）A．20B．30C．40D．50【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1+a3+a9=20，∴a1+a1+2d+a1+8d=3a1+10d=20，4a5﹣a7=4（a1+4d）﹣（a1+6d）=3a1+10d=20．故选：A．4．（5分）已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD中点，连BE，则•=（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【解答】解：如图，=；∴==0﹣1=﹣1．故选：B．5．（5分）已知函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点位于区间（m﹣1，m）（m∈Z）内，则+log3m=（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0，∴f（x）=lnx+2x﹣6的存在零点x0∈（2，3）．∵f（x）=lnx+2x﹣6在定义域（0，+∞）上单调递增，∴f（x）=lnx+2x﹣6的存在唯一的零点x0∈（2，3）．则整数m=3．∴+log3m=3+1=4故选：D．6．（5分）给定△ABC的三个条件：A=60°，b=4，a=2，则这样的三角形解的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．无数个【解答】解：∵在△ABC中，a=2，b=4，A=60°，∴由正弦定理得：sinB===＞1，则此三角形无解．7．（5分）下列有关于f（x）=ln（1+|x|）﹣的性质的描述，正确的是（）A．奇函数，在R上单调递增B．奇函数，在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减【解答】解：由题意，f（﹣x）=f（x），函数的偶函数，x＞0，f′（x）=+＞0，在（0，+∞）上单调递增，∴函数在（﹣∞，0）上单调递减，故选：C．8．（5分）已知数列{a n}满足递推关系：a n+1=，a1=，则a2017=（）A．B．C．D．=，a1=，∴﹣=1．【解答】解：∵a n+1∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．∴=2+2016=2018．则a2017=．故选：C．9．（5分）已知函数y=是偶函数且在[0，+∞）上单调递增，则下列说法中正确的是（）A．ef（1）＜f（2）B．e3f（﹣1）＞f（2）C．e2f（﹣1）＜f（1）D．ef（﹣2）＜f（﹣1）【解答】解：由题意函数y=是偶函数且在[0，+∞）上单调递增，∴＞，∴ef（1）＜f（2），10．（5分）f（x）=sin（ωx+φ）（ω＜0）向右平移个单位之后图象与g（x）=cos2x 的图象重合，则φ=（）A．πB．C．π+2kπ（k∈Z）D．+2kπ（k∈Z）【解答】解：由题意，f（x）=sin（ωx+φ）（ω＜0）向右平移个单位之后，g （x）=sin[ω（x﹣）+φ]=cos2x，∴ω=﹣2，+φ=2kπ+，∴φ=2kπ+（k∈Z），故选：D．11．（5分）a，b，c是非直角△ABC中角A、B、C的对边，且sin2A+sin2B﹣sin2C=absinAsinBsin2C，则△ABC的面积为（）A．B．1C．2D．4【解答】解：∵sin2A+sin2B﹣sin2C=absinAsinBsin2C，∴由正弦定理可得：a2+b2﹣c2=2a2b2sinCcosC，∴2abcosC=absinC•4abcosC，∵cosC≠0，∴S=absinC==．△ABC故选：A．12．（5分）已知f（x）是奇函数，且对于任意x∈R满足f（2﹣x）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=lnx+2，则函数y=f（x）在（﹣2，4]上的零点个数是（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：由函数f（x）是奇函数且满足f（2﹣x）=f（x）知，f（x）是周期为4的周期函数，且关于直线x=1+2k（k∈R）成轴对称，关于点（2k，0）（k∈Z）成中心对称．当0＜x≤1时，令f（x）=lnx+2=0，得x=，由此得y=f（x）在（﹣2，4]上的零点分别为﹣2+，﹣，0，，2﹣，2，2+，﹣+4，4共9个零点．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知任意幂函数经过定点A（m，n），则函数f（x）=log a（x﹣m）+n经过定点（2，1）．【解答】解：任意幂函数经过A（m，n）即点A（1，1），即m=n=1，函数f（x）=log a（x﹣m）+n，即f（x）=log a（x﹣1）+1则f（m+1）=n，故函数过（2，1），故答案为：（2，1）．14．（5分）已知，为单位向量且夹角为，设=+，=，在方向上的投影为．【解答】解：===，且；∴在方向上的投影为：=．故答案为：．15．（5分）函数f（x）=是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣] ．【解答】解：∵函数f（x）=是R上的单调递减函数，∴，求得a≤﹣，故答案为：（﹣∞，﹣]．16．（5分）计算cos24°+cos144°+cos264°=0．【解答】解：cos24°+cos144°+cos264°=cos24°+cos（180°﹣36°）+cos（270°﹣6°）=cos24°﹣cos36°﹣sin6°=﹣2sin（）sin（）﹣sin6°=﹣2×sin30°•sin（﹣6）﹣sin6°=0故答案为0．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A={y|y=，x∈R}，B={x|y=lg（1﹣2x）}（1）求出集合A，集合B；（2）求（∁U B）∩A．【解答】解：（1）集合A={y|y=，x∈R}，∵e x＞0，∴﹣e x＜0，∴4﹣e x＜4，∴A=（﹣∞，2）∵B={x|y=lg（1﹣2x）}，∴1﹣2x＞0，解得x＜，故B=（﹣∞，），（2）由B=（﹣∞，），∴∁U B=[，+∞），∴（∁U B）∩A=[，e）．18．（12分）化简计算：（1）已知tanθ=2，求值：；（2）ln（+x）+ln（﹣x）+lg22+（1+lg2）•lg5﹣2sin30°．【解答】解：（1）由==．∵tanθ=2，∴=．（2）ln（+x）+ln（﹣x）+lg22+（1+lg2）•lg5﹣2sin30°．=ln[（+x）（﹣x）]+lg2•lg2+lg2•lg5+lg5﹣1=ln1+lg2（lg2+lg5）+lg5﹣1=0+lg2+lg5﹣1=019．（12分）公元前三世纪，被誉为“几何之父”著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出“余弦定理”，古往今来有许许多多的证明方法，请在△ABC中，请写出余弦定理的其中一个公式，并且利用向量知识加以证明．【解答】解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2﹣2bccosA，证明：如图，a2=2=（﹣）•（﹣）=2﹣2+2=2﹣2||•||•c osA+2=b2﹣2bccosA+c2．即a2=b2+c2﹣2bccosA．20．（12分）已知=（sinx，），=（cosx，）（x∈R），且函数f（x）=•．（1）求f（x）的对称轴方程；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=0，sinB=，a=，求b的值．【解答】解：（1）f（x）=•=sinxcosx+cos2x=sin（2x+），令2x+=kπ+，可得x=kπ+，即f（x）的对称轴方程为x=kπ+，k∈Z；（2）f（A）=sin（2A+）=0，∴A=，∵sinB=，a=，∴，∴b=．21．（12分）如图欲在直角区域ABC内的空地上植造一块“绿地Rt△ABD”，D在BC边上．其中AB=1，设BD=x（x＞0）且BC足够长，规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，种草的面积为S1，种花的面积为S2，比值称为“完美度”．（1）用x表示出S2；（2）求完美度f（x）=的最小值且此时x的值．【解答】解：（1）设正方形BEFG的边长为t，则由得，∴t=，…（4分）∴S2=；…（6分）（2）S1=﹣S2，=﹣1=（x+≥1，…（10分）当且仅当x=1时取等号，此时完美度f（x）=的最小值是1．…（12分）22．（12分）已知函数f（x）=sinx（x≥﹣3π），将f（x）的零点从小到大排列，得到一个数列{a n}（n∈N*）（1）直接写出{a n}的通项公式；（2）求{|a n|}的前n项和S n；（3）设b n=+4，证明：++++…+＜2．【解答】解：（1）令f（x）=sinx=0解得x=kπ，取k∈N，且k≥﹣3，则a n=nπ﹣4π，n∈N*．（2）由（1）知数列的{a n}的首项为﹣3π，公差为π，{|a n|}的前n项和S n；当n≤4时，S n=﹣=﹣=，当n＞4时，数列{|a n|}的前n项和S n=﹣a1﹣a2﹣a3﹣a4+a5+…+a n=a1+a2+a3+a4+a5+…+a n﹣2（a1+a2+a3+a4）=﹣12π=+12π∴S n=，（3）b n=+4=n﹣4+4=n，∴b1b2b3…b n=1×2×3×…×n，∴++++…+，=++++…+，＜1++++…+，=1+1﹣+﹣+﹣+…+﹣=2﹣＜2。