备战新课标高考理科数学2020训练题：提速练(八)含解析

2020年高考数学二轮复习小题押题（12+4）提速综合练习7-8“12＋4”小题提速综合练(七)一、选择题1．(2016·浙江高考)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2解析：选D 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2”．2．(2017·南京模拟)若复数z ＝(a －1)＋3i(a ∈R)在复平面内对应的点在直线y ＝x ＋2上，则a 的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．5D ．6解析：选B 因为复数z ＝(a －1)＋3i(a ∈R)在复平面内对应的点为(a －1,3)，所以由题意得点在直线y ＝x ＋2上，则3＝a －1＋2，解得a ＝2.3．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3B ．y ＝sin 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6 D ．y ＝sin 12x解析：选A 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，再将图象向右平移π3个单位，所得图象对应的函数为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 4.如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的S ＝－12，则输出S 的值为( ) A ．4 B ．5C ．8D ．9解析：选C 第一次循环，得S ＝－10，n ＝2；第二次循环，得S ＝－6，n ＝3；第三次循环，得S ＝0，n ＝4；第四次循环，得S ＝8，n ＝5.此时S ＞n ，不满足循环条件，退出循环，输出S 的值为8，故选C.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差d 是( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选B 法一：等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，所以有S n n ＝a 1＋12(n －1)d ，代入S 33－S 22＝1中，得a 1＋12(3－1)d －a 1＋12(2－1)d ＝12d ＝1，所以d ＝2.法二：易知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为d2的等差数列，所以d ＝2.6．在[－2,6]上随机取一个数m ，则使关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m 2＝0有实数根的概率是( ) A.12 B.13C.14D.15解析：选A 由关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m 2＝0得(－4)2－4m 2≥0，解得－2≤m ≤2，所以所求概率P ＝2－(－2)6－(－2)＝12.7．函数y ＝e x cos e xe 2x －1的图象大致为( )解析：选D 设f (x )＝e x cos e xe 2x －1，则易得函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x )＝e －x cos (－e x )e －2x －1＝e x cos e x 1－e 2x＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，函数图象关于原点中心对称，排除A ；当0＜x ＜π2e 时，f (x )＞0，排除B ；当x增大时，函数值的符号正负交替出现，排除C ，故选D.8．(2017·南京模拟)某空间几何体的三视图如图所示(图中小正方形的边长为1)，则这个几何体的体积是( )A.323B.643C ．16D ．32解析：选A 由三视图可知该几何体如图所示，此几何体是三棱锥，且底面是腰长为4的等腰直角三角形，高为4，故该几何体的体积V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×4×4×4＝323. 9．(2017·惠州模拟)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 3B. 2 C ．2D ．3解析：选A 设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1中得y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫c 2a 2－1＝b 4a2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴e ＝1＋b 2a2＝ 3. 10．(2017·湘中名校联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z) 解析：选C 因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，即⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z)．因为f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，所以sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，即sin φ＜0，所以φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z)，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6，所以由三角函数的单调性知2x －5π6∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，得x ∈k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)． 11．已知曲线C ：y ＝18x 2的焦点为F ，过点F 的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且|FP |＝2|FQ |，则△OPQ 的面积等于( )A ．6 2 B.322C ．12 2D.324解析：选A 由题意得抛物线的标准方程为x 2＝8y ，所以焦点F (0,2)，易得直线l 的斜率一定存在，则不妨设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，与抛物线的方程联立，消去y 得x 2－8kx －16＝0，则x P x Q ＝－16， ①又因为|FP |＝2|FQ |，所以x P ＝－2x Q ， ②联立①②，解得⎩⎨⎧ x P ＝42，x Q ＝－22或⎩⎨⎧x P ＝－42，x Q ＝22，所以S △OPQ ＝12(|x P |＋|x Q |)·|OF |＝6 2.12．(2018届高三·昆明两区七校调研)若f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －m2有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，13B.⎝⎛⎦⎤0，23 C.⎝⎛⎦⎤0，13 D.⎣⎡⎭⎫23，＋∞解析：选B 依题意，f (x )＝1f (x ＋1)－1，当x ∈(－1,0)时，x ＋1∈(0,1)， f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1， 由g (x )＝0得f (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x ＋12. 在同一坐标系上画出函数y ＝f (x )与y ＝m ⎝⎛⎭⎫x ＋12在区间(－1,1]内的图象， 结合图象可知，要使g (x )有两个零点，只需函数y ＝f (x )与y ＝m ⎝⎛⎭⎫x ＋12该直线斜率为m ，过点－12，0在区间(－1，1]内的图象有两个不同的交点，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，23，选B. 二、填空题13．(2017·合肥模拟)某同学在高三学年的五次阶段性考试中，数学成绩依次为110,114,121,119,126，则这组数据的方差是________．解析：因为对一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，所以本题中可以先对这5个数据同时减去110，得到新的数据分别为0,4,11,9,16，其平均数为x ＝15(0＋4＋11＋9＋16)＝8，根据方差公式可得s 2＝(0－8)2＋(4－8)2＋(11－8)2＋(9－8)2＋(16－8)25＝30.8. 答案：30.814．(2018届高三·广西五校联考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，且b 在a 上的投影为3，则向量a 与b 的夹角为________．解析：因为a ·b ＝3＋3m ，|a |＝12＋(3)2＝2，|b |＝9＋m 2，由|b |cos 〈a ，b 〉＝3，可得a ·b|a |＝3，故3＋3m 2＝3，解得m ＝3，故|b |＝9＋3＝23，故cos 〈a ，b 〉＝323＝32，故〈a ，b 〉＝π6，即向量a 与b 的夹角为π6. 答案：π615．(2017·西安八校联考)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a ，若z ＝x ＋2y 的最大值为3，则a 的值是________．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a表示的平解析：依题意得a ＞0，在平面直角坐标系内大致画出不等式组面区域如图所示，结合图形可知，直线z ＝x ＋2y 经过直线y ＝a 与直线x －y ＝0的交点，即点A (a ，a )时，z ＝x ＋2y 取得最大值3，因此a ＋2a ＝3，a ＝1.答案：116．(2017·福建质检)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝23，a n ＋1－S n ＝23.用[x ]表示不超过x 的最大整数，如：[－0.4]＝－1，[1.6]＝1.设b n ＝[a n ]，则数列{b n }的前2n 项和为________．解析：当n ≥2时，由题意，得S n ＝a n ＋1－23，S n －1＝a n －23，两式相减得，a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝23，a 2－a 1＝23，所以a 2＝43，即a 2a 1＝2，所以数列{a n }是首项为23，公比为2的等比数列，所以a n ＝23·2n －1＝13·2n.所以b 1＝0，b 2＝1＝2b 1＋1， b 3＝2＝2b 2，b 4＝5＝2b 3＋1， b 5＝10＝2b 4，b 6＝21＝2b 5＋1， b 7＝42＝2b 6，b 8＝85＝2b 7＋1， …，b 2n －1＝2b 2n －2，b 2n ＝2b 2n －1＋1， 所以b 1＋b 2＝21－1，b 3＋b 4＝23－1， b 5＋b 6＝25－1，b 7＋b 8＝27－1，…， b 2n －1＋b 2n ＝22n －1－1，设数列{b n }的前2n 项和为T 2n ， 则T 2n ＝2(1－4n )1－4－n ＝22n ＋13－n －23.答案：22n ＋13－n －23“12＋4”小题提速综合练(八)一、选择题1．(2017·湘中名校联考)已知集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}，B ＝{x |x ＝2(3n ＋1)，n ∈Z}，则A ∩B 等于( ) A ．{2} B ．{2,8} C ．{4,10}D ．{2,4,8,10}解析：选B 因为集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}＝{x |－1＜x ＜12}，集合B 为被6整除余数为2的数．又集合A 中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，故被6整除余数为2的数有2和8，所以A ∩B ＝{2,8}．2．(2017·兰州模拟)下列命题中的真命题为( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x ≥x 2C ．已知a ，b 为实数，则a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1D ．已知a ，b 为实数，则a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分不必要条件解析：选D 选项A 为假命题，理由是对∀x ∈R ，e x ＞0；选项B 为假命题，不妨取x ＝3，则23＜32，显然不满足∀x ∈R,2x ≥x 2；选项C 为假命题，当b ＝0时，由a ＋b ＝0推不出a b ＝－1，但由ab ＝－1可推出a ＋b ＝0，即a ＋b ＝0的充分不必要条件是ab ＝－1.3．(2017·石家庄模拟)已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6＝( ) A ．80 B ．85 C ．90D ．95解析：选C 由题意，得(a 1＋5)2＝a 1(a 1＋4×5)，解得a 1＝52，所以S 6＝6×52＋6×52×5＝90.4．(2017·合肥模拟)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，a ·b ＝1，则|a －b |＝( ) A ．2 B ．2 3 C ．3D ．2 5解析：选B 因为|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2，以上两式相减可得，4a ·b ＝|a ＋b |2－|a －b |2，所以|a －b |2＝|a ＋b |2－4a ·b ＝16－4＝12，即|a －b |＝2 3.5．(2018届高三·湖北五校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2，由a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B .6．一个凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积为( )A ．5 2B ．6 2C ．9D ．10解析：选C 由三视图知，该几何体是一个四棱锥，画出该几何体的直观图如图中实线所示，所以该四棱锥由两个三棱锥组成，其体积V ＝2×13×12×32×3＝9.7.(2017·云南模拟)执行如图所示的程序框图，如果输入的N ＝30，则输出的S ＝( )A ．26B ．57C ．225D ．256解析：选B 第一次循环，得S ＝1，n ＝3；第二次循环，得S ＝4，n ＝7；第三次循环，得S ＝11，n ＝15；第四次循环，得S ＝26，n ＝31；第五次循环，S ＝57，n ＞30.所以此时退出循环，故输出的S ＝57.8．(2018届高三·玉溪四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．[0,2]C ．[－2,2)D ．[－1,2)解析：选D 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x >a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x >a 时有一个解，由x ＝2得a <2；由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2，则由x ≤a 得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．9．(2017·广西三市联考)已知在(0，＋∞)上函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，0＜x ＜1，1，x ≥1，则不等式log 2x －(log 144x －1)f (log 3x ＋1)≤5的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫13，1 B ．[1,4] C.⎝⎛⎦⎤13，4D ．[1，＋∞)解析：选C 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1≥1，log 2x －⎝⎛⎭⎫log 144x －1≤5 或⎩⎪⎨⎪⎧0＜log 3x ＋1＜1，log 2x ＋2⎝⎛⎭⎫log 144x －1≤5，解得1≤x ≤4或13＜x ＜1，∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤13，4. 10．(2017·安徽二校联考)在边长为1的正三角形ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD ―→·AE ―→等于( )A.16B.29C.1318D.13解析：选C 法一：因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝13，在△ABD 中，AD 2＝BD 2＋AB 2－2BD ·AB ·cos 60° ＝⎝⎛⎭⎫132＋12－2×13×1×12＝79， 即AD ＝73，同理可得AE ＝73， 在△ADE 中，由余弦定理得 cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE＝79＋79－⎝⎛⎭⎫1322×73×73＝1314，所以AD ―→·AE ―→＝|AD ―→|·|AE ―→|cos ∠DAE ＝73×73×1314＝1318. A ⎝⎛⎭⎫0，32，D ⎝⎛⎭⎫－16，0，法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得E ⎝⎛⎭⎫16，0，所以AD ―→＝⎝⎛⎭⎫－16，－32，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫16，－32，所以AD ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎫－16，－32·⎝⎛⎭⎫16，－32＝－136＋34＝1318.11．(2018届高三·贵州摸底)已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω＞0)，若方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤136，72 B.⎝⎛⎦⎤72，256 C.⎝⎛⎦⎤256，112D.⎝⎛⎦⎤112，376解析：选B 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3， 方程2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3＝－12在(0，π)上有且只有四个实数根．设t ＝ωx －π3，因为0＜x ＜π，所以－π3＜t ＜ωπ－π3，所以19π6＜ωπ－π3≤23π6，解得72＜ω≤256.12．(2018届高三·石家庄调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，AF 2，BF 2分别交y 轴于P ，Q 两点，若△PQF 2的周长为12，则ab 取得最大值时该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C ．2 2D.233解析：选D 由题意，得|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝2b 2a ， ①且P ，Q 分别为AF 2，BF 2的中点． 由双曲线的定义，知|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ② |BF 2|－|BF 1|＝2a ， ③联立①②③，得|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋2b 2a .因为△PQF 2的周长为12，所以△ABF 2的周长为24， 即4a ＋4b 2a ＝24，亦即b 2＝6a －a 2， 所以(ab )2＝6a 3－a 4. 令f (a )＝6a 3－a 4，则f ′(a )＝18a 2－4a 3＝4a 2⎝⎛⎭⎫92－a ， 所以f (a )在⎝⎛⎭⎫0，92上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫92，＋∞上单调递减， 所以当a ＝92时，f (a )取得最大值，此时b 2＝6×92－⎝⎛⎭⎫922＝274，所以c ＝a 2＋b 2＝33， 所以e ＝c a ＝233.二、填空题13．若函数f (x )＝(x －a )(x ＋3)为偶函数，则f (2)＝________.解析：由f (x )＝x 2＋(3－a )x －3a 为偶函数，知其奇次项的系数为0，所以3－a ＝0，a ＝3，所以f (2)＝22－9＝－5.答案：－514．(2017·贵阳模拟)已知不等式1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，照此规律总结出第n 个不等式为________________________________．解析：由已知，三个不等式可以写成1＋122<2×2－12，1＋122＋132<2×3－13，1＋122＋132＋142<2×4－14，所以照此规律可得到第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2＋1(n ＋1)2<2(n ＋1)－1n ＋1＝2n ＋1n ＋1.答案：1＋122＋132＋…＋1n 2＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋115．(2017·广西五校联考)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．解析：两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0分别配方得，(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －2b )2＝1，依题意得两圆相外切，故a 2＋4b 2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，则1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫a 29＋4b 29⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝19＋a 29b 2＋4b 29a 2＋49≥59＋2a 29b 2·4b 29a 2＝1，当且仅当a 29b 2＝4b 29a 2，即a 2＝2b 2时等号成立，故1a 2＋1b 2的最小值为1. 答案：116．设A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝π3，C 是球面上的动点，若四面体OABC 的体积V 的最大值为934，则此时球的表面积为________．解析：在四面体OABC 中，显然△OAB 的面积一定，设球O 的半径为R ，则S △OAB ＝12×R ×32R ＝34R 2，要使四面体的体积最大，则只需球上的点到平面OAB 的距离最大，显然，到平面OAB 距离的最大值为球的半径，所以(V C -OAB )max ＝13×34R 2×R ＝312R 3＝934，解得R ＝3，由球的表面积公式得S 球＝4πR 2＝4×32×π＝36π. 答案：36π。

2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题 “12选择＋4填空”专项8时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(3－4i)z ＝|3－4i|，则z 的虚部为( ) A ．－4B.45 C ．4D ．－45解析：因为(3－4i)z ＝|3－4i|，所以z ＝|3－4i|3－4i ＝32＋423－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3＋4i 5，所以z 的虚部为45，故选B. 答案：B2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∩B ＝∅D ．A ∪B ＝R解析：由x 2－2x ＞0，得x ＞2或x ＜0，则A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，又B ＝{x |－5＜x ＜5}，所以A ∪B ＝R ，故选D.答案：D3．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图(如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%)，根据该图，以下结论中一定正确的是( )A ．四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量B ．苹果第二季度的销量小于第三季度的销量C ．第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果D ．华为的全年销量最大解析：对于选项A ，第四季度中，华为销量大于50%，三星和苹果总销量之和低于华为的销量，故A 错误；对于选项B ，苹果第二季度的销量大于苹果第三季度的销量，故B 错误；对于选项C ，第一季度销量最大的是华为，故C 错误；对于选项D ，由图知，四个季度华为的销量都最大，所以华为的全年销量最大，故D 正确，故选D.答案：D4．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( )A ．1B ．3C ．7D ．13解析：因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13(a 1＋a 13)2＝13×7(a 1＋a 7)2，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7，故选C.答案：C5．过点P (0,1)的直线l 与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则该直线的斜率为( )A ．±1B ．± 2C ．±3D ．±2解析：由题意设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，半径为r ＝1，又弦长|AB |＝2，所以圆心到直线的距离为d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|AB |22＝1－12＝22，所以有|k |k 2＋1＝22，解得k ＝±1，故选A. 答案：A6．首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为12，13，14，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是( )A.2324B.524 C.1124D.124 解析：由题意可知三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13×14＝1124. 答案：C7．双曲线C ：x 2a2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1，F 2分别为其左，右焦点，其渐近线上一点G 满足GF 1⊥GF 2，线段GF 1与另一条渐近线的交点为H ，H 恰好为线段GF 1的中点，则双曲线C 的离心率为( )A.2B ．2C ．3D ．4解析：由题意得双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，不妨令G 在渐近线y ＝b a x 上，则H 在y ＝－ba x 上，设G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ，b a x ，由GF 1⊥GF 2得kGF 1·kGF 2＝－1，即bax x ＋c ·b ax x －c＝－1，解得x ＝a ，所以G (a ，b )，又H 恰好为线段GF 1的中点，所以H ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －c 2，b 2，因H 在y ＝－b a x 上，所以b 2＝－b a ×a －c 2，因此c ＝2a ，故离心率为2，故选B.答案：B8．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2－3bc＝a 2，bc ＝3a 2，则角C 的大小是( )A.π6或2π3B.π3C.2π3D.π6解析：∵b 2＋c 2－3bc ＝a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝3bc 2bc＝32. 由0＜A ＜π，可得A ＝π6.∵bc ＝3a 2，∴sin B sin C ＝3sin 2A ＝34，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π6－C sin C ＝34，即12sin C cos C ＋34(1－cos2C )＝34， 解得tan2C ＝3.又0＜C ＜5π6，∴2C ＝π3或4π3，即C ＝π6或2π3，故选A.答案：A9．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 为BB 1上一动点，现有以下四个结论，其中不正确的结论是( )A ．平面AC 1E ⊥平面A 1BDB ．AE ∥平面CDD 1C 1C ．当E 为BB 1的中点时，△AEC 1的周长取得最小值D ．三棱锥A 1－AEC 1的体积不是定值解析：AC 1⊥平面A 1BD 是始终成立的，又AC 1⊂平面AC 1E ，所以平面AC 1E ⊥平面A 1BD ，故选项A 正确；平面AB 1∥平面C 1D ，所以选项B 正确；平面BCC 1B 1展开到与平面ABB 1A 1在同一个平面上，则当E 为BB 1的中点时，AE ＋EC 1最小，故选项C 正确；，故选项D 不正确，故选D.答案：D10．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋f ′(x )，则下列关于函数g (x )的说法中正确的是( )A ．函数g (x )图象的对称轴方程为x ＝k π＋5π12(k ∈Z )B ．函数g (x )的最大值为2C ．函数g (x )的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线y ＝－3x ＋1平行D ．若函数h (x )＝g (x )＋2的两个不同零点分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|的最小值为π2解析：根据函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象知，A ＝2，T 4＝2π3－π6＝π2，∴T ＝2π，ω＝2πT＝1， 根据五点法画图知，当x ＝π6时，ωx ＋φ＝π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6，∴f ′(x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6，∴g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12.令x ＋π12＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π－π12(k ∈Z )，∴函数g (x )的对称轴方程为x ＝k π－π12，k ∈Z ，A 错误； 当x ＋π12＝2k π，k ∈Z ，即x ＝2k π－π12时，k ∈Z ，函数g (x )取得最大值22，B 错误；g ′(x )＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12，假设函数g (x )的图象上存在点P (x 0，y 0)，使得在P 点处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋1平行，则k ＝g ′(x 0)＝－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋π12＝－3，得sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋π12＝322＞1，显然不成立，所以假设错误，即C 错误；方程g (x )＝－2，则22cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＝－2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＝－22，∴x ＋π12＝3π4＋2k π或x ＋π12＝5π4＋2k π，k ∈Z ，即x ＝2k π＋23π或x ＝2k π＋76π，k ∈Z ；所以方程的两个不同的解分别为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|最小值为π2，故选D.答案：D11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1，则在(1,3)上，f (x )≤1的解集是( )A.⎝⎛⎦⎥⎥⎤1，32B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，52C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，3 D ．[2,3)解析：①作出x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1的图象．②由f (x )是定义在R 上的奇函数，其图象关于原点对称，作出x ∈[－1,0]时，f (x )的图象．③由f (x )＝f (2－x )知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，由此作出函数f (x )在(1,3)内的图象，如图所示．④作出f (x )＝1的图象．由f (x )＝1及x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1可得4x －1＝1，解得x ＝12，从而由对称性知，在(1,3)内f (x )与y ＝1交点的横坐标为32，由图可知，在(1,3)上，f (x )≤1的解集为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，3，故选C.答案：C12．三棱锥D －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为3的正三角形．若球O 的表面积为16π，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( )A.934 B.332 C ．2 3D ．33解析：由题意得△ABC 的面积为 12×3×3×sin π3＝934.又设△ABC 的外心为O 1，则AO 1＝23×323＝3.由4πR 2＝16π，得R ＝2. ∵OO 1⊥平面ABC ，∴OO 1＝1，∴球心O 在棱锥内部时，棱锥的体积最大． 此时三棱锥D －ABC 高的最大值为1＋2＝3， ∴三棱锥D －ABC 体积的最大值为 13×934×3＝934，故选A. 答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ，b 满足|b |＝2|a |＝1，a ⊥(a －b )，则a 与2a ＋b 的夹角的余弦值为________．解析：由a ⊥(a －b )得a ·b ＝14，|2a ＋b |＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝3，则a 与2a＋b 的夹角的余弦值为cos 〈a,2a ＋b 〉＝a ·(2a ＋b )|a ||2a ＋b |＝2a 2＋a ·b|a ||2a ＋b |＝32.答案：3214．若⎠⎜⎛023x 2d x ＝n ，则(1＋x 3)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－1x n 的展开式中x －4的系数为________．解析：由⎠⎜⎛023x 2d x ＝n 可得 n ＝8，∴(1＋x 3)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－1x n ＝(1＋x 3)⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－1x 8，二项展开式含有x －4，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－1x 8展开式中含有x －4和x －7，则二项展开式分别为C 48·24·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 4和C 78·21·x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 7，∴含有x －4的系数为C 48·24－C 78·21＝1104.答案：110415．已知点M(0,2)，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线AB 交抛物线于A ，B 两点，若∠AMF ＝π2，则点B 坐标为________．解析：由抛物线方程得F(1,0)，设直线AB 方程为x ＝my ＋1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x得y 2－4my －4＝0，所以y 1y 2＝－4. 由∠AMF ＝π2，得AM→·MF →＝0. 又AM →＝(－x 1,2－y 1)，MF →＝(1，－2)， 所以－x 1－4＋2y 1＝0.又y 21＝4x 1，所以－y 214＋2y 1－4＝0，得y 1＝4.又y 1y 2＝－4，所以y 2＝－1.又y 22＝4x 2，所以x 2＝14，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－1 16．在数列{a n }中，若a 1＝－2，a n a n －1＝2a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1，则数列{b n }的前n 项和S n 的最小值为________． 解析：由题意知，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＝1a n －1＝12－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1＝1＋1a n －1－1＝1＋b n －1，则b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)，又b 1＝1a 1－1＝－13，∴数列{b n }是以－13为首项，1为公差的等差数列，b n ＝n －43.易知b 1<0，b 2>0，∴S n 的最小值为S 1＝b 1＝－13. 答案：－13。

2020新课标冲刺高考理科数学必拿分题目强化第八卷3月一模精选基础卷（第8卷）1.已知集合{}{}2|20,|1A x x x B x x =-<=≤，则A B =U （ ） A ．()0,1 B ．(]0,1 C ．[)1,2-D ．[]1,1-【答案】C【解析】由题,因为220x x -<,解得02x <<,则{}|02A x x =<<, 因为1x ≤,解得11x -≤≤,则{}|11B x x =-≤≤, ∴{}|12A B x x =-≤<U 故选:C.2.设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（ ） A ． B ．(3,2) C ．(5,0) D ．(4,1)【答案】D【解析】设z a bi =+， 因为|3|2z -=， 所以22(3)4a b -+=， 经验证(4,1)M 不满足， 故选：D.3.已知,a b 都是实数，p ：直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切；q ：2a b +=，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切，则圆心(),a b 到直线0x y +=的距离等于半径=2a b +=，即2a b +=±.充分性：若直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切，则2a b +=±，充分性不成立； 必要性：若2a b +=，则直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切，必要性成立. 故p 是q 的必要不充分条件. 故选B.4．已知双曲线2213y x m -=m 的值为（ ）A ．1B ．65C D ．9【答案】A【解析】双曲线2213y x m -=的离心率为e ==1m =. 故选A.5.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A B C D 【答案】B【解析】()f x Q 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln xx x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 故选B.6.ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，||1a =r，||2b =r 则CD =u u u r （ ）A ．2133a b +r rB ．1233a b +rrC ．3455a b +rrD ．4355a b +r r【答案】A【解析】由题意，因为CD 平分ACB ∠，可得12BD BC AD AC ==,又因为AB CB CA a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r，所以222333AD AB a b ==-u u u r u u u r r r ，所以22213333CD CA AD b a b a b =+=+-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r ．故选A ．7.执行如图所示的程序框图，若输入的25t =-，则输出的n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】输入25t =-,初始值1,0,1S n m ===. 第1次循环：0,2,1S m n ===,?S t >判断为“是” 第2次循环：2,4,2S m n =-==,?S t >判断为“是” 第3次循环：6,8,3S m n =-==,?S t >判断为“是” 第4次循环：14,16,4S m n =-==,?S t >判断为“是” 第5次循环：30,32,5S m n =-==,?S t >判断为“否”. 输出5n =. 故选：C8.函数()cos()(0,0,||)f x A x A ωφωφπ=+>><的部分图象如图所示，现将此图象向左平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2=-g x xB ．7()2cos 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．()2sin 2g x x = D ．5()2cos 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【解析】由图像可知2A =,且周期为236πππ⎡⎤⎛⎫⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故22πωπ==,故()2cos(2)f x x φ=+. 又()23f π=可得22,3k k Z πφπ⨯+=∈,又||φπ<,故23πφ=-. 故2()2cos(2)3f x x π=-. 所以()g x 的解析式为22cos 22cos 22sin 21232x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：C9.5)a 的展开式中x 项的系数为270，则12ax dx =⎰__________．【答案】1【解析】)5a 展开式的通项为5215rr r r T C xa -+=，令512r-=得3r = )5a 的展开式中x 项的系数为335270C a =，解得3a =，12ax dx =⎰123103|1x dx x==⎰，故答案为1.10.已知圆锥的顶点为S ，底面圆周上的两点A 、B 满足SAB ∆为等边三角形，且面积为截面的面积为8，则圆锥的侧面积为__________.【答案】【解析】设圆锥母线长为l ，由△SAB为等边三角形，且面积为所以21sin 23l π=l =4；又设圆锥底面半径为r ，高为h ，则由轴截面的面积为8，得rh =8； 又2216r h +=，解得r h ==所以圆锥的侧面积4S rl ππ===g故答案为：．11.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，030B =，三边,,a b c 成等比数列，且ABC ∆面积为1，在等差数列{}n a 中，11a =，公差为b . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11n n n b a a +=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T 的取值范围. 【解析】（1）∵2b ac =，21111224S ac b =⨯==，2b =， ∴21n a n =-，*n N ∈. （2）∵11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，∴111111111123352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ∵n T 是关于n 的增函数*n N ∈，，∴1132n T ≤<. 12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AA AB BC ===，E 为1BB 的中点，F 为1AC 的中点.（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）求平面11AB D 与平面1AEC 所成二面角的正弦值. 【解析】（1）证明：如图，连AC BD 、相交于点O ，连OF ，11//,2,//,FO BB FO BB FO BE FO BE =∴=Q ，四边形BEFO 为平行四边形，可得//EF OB ，OB ⊂Q 平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，//EF 平面ABCD .（2）以点D 为坐标原点，向量1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r方向分别为x y 、、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.各点坐标分别为()()()()0,0,01,0,00,1,01,1,1D A C E 、、、，()()()()11111,0,2,1,1,2,0,1,20,0,2A B C D 、.设平面1AEC 的法向量为()()()1,,,1,1,2,0,1,1m x y z AC AE ==-=u r u u u u r u u u r， 有1200m AC x y z n AE y z ⎧⋅=-++=⎨⋅=+=⎩u u u u v v u u u v v ，取1,1,1x y z =-==-，有()1,1,1m =--u r ； 设平面11AB D 的法向量为()()()111,,,1,1,0,1,0,2n a b c D B AD ⋅==-r u u u u r u u u u r，有111020n D B a b n AD a c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u u v v u u u u v v ，取2,2,1a b c ==-=，有()2,2,1n =-r ；有5,3,cos m n m n m n ⋅=-==〈⋅〉==u r r u r r u r r ， 故平面11AB D 与平面1AEC9=. 13.在极坐标系Ox 中，直线,m n 的方程分别为cos 3,sin 2ρθρθ==，曲线2236:45sin C ρθ=+. 以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系. （1）将直线,m n 的方程与曲线C 的方程化成直角坐标方程；（2）过曲线C 上动点P 作直线,m n 的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值. 【解析】（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得 直线,m n 的直角坐标方程分别为3,2x y ==， 曲线C 的方程为224936x y +=；（2）由（1）知曲线22:194x y C +=，故可设()3cos ,2sin P θθ，矩形的两边长分别为33cos ,22sin θθ--，∴矩形的面积()()()33cos 22sin 61sin cos sin cos S θθθθθθ=--=--+，令sin cos t θθ⎡+=∈⎣，则21sin cos 2t θθ-=，2363,S t t t ⎡=-+∈⎣，当t =max 9S =+.14.已知0a b c >>>，且231a b c ++=，求证： （1）11112348a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）2228271a b c ++< 【解析】证明：（1）111112132332123a b c b c a c a ba b c a b c a b c ---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---==⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭g g g g48≥=； （2）由0a b c >>>，可知222,,ab b ac c bc c >>>，于是：()2222123494612a b c a b c ab ac bc =++=+++++222222222494612827a b c b c c a b c >+++++=++.。

小题提速练(八) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数3i1－i对应的点在( )【导学号：07804222】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [3i1－i＝＋－＋＝－3＋3i 2，故其对应的点在第二象限，选B.]2．已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.]3．某小区有1 000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N (300,102)，则用电量在320度以上的户数约为( )(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.27%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.45%，P (μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝99.73%)A ．17B ．23C ．34D ．46B [P (ξ＞320)＝12×[1－P (280＜ξ＜320)]＝12×(1－95.45%)≈0.023， 0．023×1 000＝23，∴用电量在320度以上的户数约为23.故选B.]4．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6 B ．y ＝－cos 2xC ．y ＝cos 2xD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 A [依题意得，y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6.故选A.]5．已知向量a ＝(1，cos α)，b ＝(sin α，1)，且0＜α＜π，若a ⊥b ，则α＝( )A.2π3 B ．3π4C.π4D ．π6B [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－1.又α∈(0，π)， ∴α＝3π4.故选B.]6．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 3 B ． 2 C ．2D ．3A [设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1中得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝3，选A.]7．已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．19D ．20D [令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0.又由(2x －1)10的展开式的通项可得a 1＝－20， 所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.]8．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1B [S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝45°或135°.若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.] 9．某几何体的三视图如图20所示(网格线中每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为( )图20A ．48B ．54C ．64D ．60D [根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积S ＝6×3＋12×6×4＋2×12×3×5＋12×6×5＝60，故选D.]10．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －2y －2≤02x －y ＋2≥0，若2x ＋y ＋k ≥0恒成立，则直线2x ＋y ＋k ＝0被圆(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦长的最大值为( )【导学号：07804223】A ．10B ．2 5C ．4 5D ．3 5B [作出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，不等式2x ＋y ＋k ≥0恒成立等价于k ≥(－2x －y )max ，设z ＝－2x －y ，则由图可知，当直线y ＝－2x －z 经过点A (－2，－2)时，z 取得最大值，即z max ＝－2×(－2)－(－2)＝6，所以k ≥6.因为圆心(1,2)到直线2x ＋y ＋k ＝0的距离d ＝|2＋2＋k |22＋12＝|4＋k |5，记题中圆的半径为r ，则r ＝5，所以直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝2－k ＋2＋1255，所以当k ＝6时，L 取得最大值，最大值为25，故选B.]11．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AF →＝3FB →，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1CF 的面积为123，则准线l 的方程为( ) A ．x ＝－ 2 B ．x ＝－2 2 C ．x ＝－2D ．x ＝－1A [由题意，知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l 的方程为x ＝－p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1，FB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2.由AF →＝3FB →，得p 2－x 1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，即x 2＝13(2p －x 1) ①.由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程，消去y ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x＋k 2p 24＝0，所以x 1x 2＝p 24 ②.联立①②，得x 1＝32p 或x 1＝p2(舍去)，所以|y 1|＝3p .因为S 四边形AA 1CF ＝|y 1|⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p2＋p 2＝123，将x 1，|y 1|的值代入，解得p ＝22，所以准线l 的方程为x ＝－2，故选A.] 12．已知函数f (x )＝ax ＋eln x 与g (x )＝x 2x －eln x的图象有三个不同的公共点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ＜－e B ．a ＞1C ．a ＞eD ．a ＜－3或a ＞1B [由ax ＋eln x ＝x 2x －eln x (x ＞0)，得a ＋eln x x ＝11－eln x x.令h (x )＝eln xx，且t ＝h (x )，则a ＋t ＝11－t，即t 2＋(a －1)t －a ＋1＝0 (*)．由h ′(x )＝－ln xx 2＝0，得x ＝e ，函数h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，且x →＋∞时，h (x )→0，h (x )的大致图象如图所示．由题意知方程(*)有一根t 1必在(0,1)内，另一根t 2＝1或t 2＝0或t 2∈(－∞，0)．当t 2＝1时，方程(*)无意义，当t 2＝0时，a ＝1，t 1＝0不满足题意，所以t 2∈(－∞，0)，令m (t )＝t 2＋(a －1)t －a ＋1，由二次函数的图象，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＝02＋a －－a ＋1＜0m＝12＋a －－a ＋1＞0，解得a ＞1，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．运行如图21所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为________．图21[解析] 依次运行程序框图中的语句可得n ＝2，x ＝2t ，a ＝1；n ＝4，x ＝4t ，a ＝3；n ＝6，x ＝8t ，a ＝3.此时结束循环，输出的a x ＝38t ，由38t≥3，得8t ≥1，t ≥18.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞ 14．从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．[解析] 依题意共有8类不同的和声，当有k (k ＝3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有C k 10种不同的和声，则和声总数为C 310＋C 410＋C 510＋…＋C 1010＝210－C 010－C 110－C 210＝1 024－1－10－45＝968. [答案] 96815．已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)·OA →(λ∈R )(O 是坐标原点)，且OA →·OP→＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．[解析] 因为AP →＝(λ－1)OA →，所以OP →＝λOA →，即O ，A ，P 三点共线，因为OA →·OP →＝72，所以OA →·OP →＝λ|OA →|2＝72，设A (x ，y )，OA 与x 轴正方向的夹角为θ，线段OP 在x 轴上的投影长度为|OP →||cos θ|＝|λ||x |＝72|x ||OA →|2＝72|x |x 2＋y 2＝721625|x |＋9|x |≤72216×925＝15，当且仅当|x |＝154时取等号．故线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15.[答案] 1516．已知三棱锥D ­ABC 的体积为2，△ABC 是等腰直角三角形，其斜边AC ＝2，且三棱锥D ­ABC 的外接球的球心O 恰好是AD 的中点，则球O 的体积为________.【导学号：07804224】[解析] 设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ，则由O 是AD 的中点得，点D 到平面ABC 的距离等于2d ，所以V D ­ABC ＝2V O ­ABC ＝23×12×2×2×d ＝2，解得d ＝3，记AC 的中点为O ′，则OO ′⊥平面ABC .在Rt△OO ′A 中，OA 2＝OO ′2＋O ′A 2，即R 2＝d 2＋12＝10，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝43π×1010＝40103π.[答案] 40103π。

小题提速练(八)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z ＝1－b ii (b ∈R )的实部和虚部相等，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B.复数z ＝1－b i i ＝i ＋b－1＝－b －i ，因为复数z 的实部和虚部相等，所以b ＝1.2．已知集合A ＝{x |x 2＞1}，B ＝{x |(x 2－1)(x 2－4)＝0}，则集合A ∩B 中的元素个数为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．4解析：选A.A ＝{x |x ＜－1或x ＞1}，B ＝{－2，－1，1，2}，A ∩B ＝{－2，2}，A ∩B 中有2个元素，故选A.3．已知角α，β满足tan αtan β＝13，若cos(α－β)＝45，则cos(α＋β)的值为( )A.15 B ．23C.25D ．35解析：选C.解法一：由tan αtan β＝13，cos(α－β)＝45得，⎩⎨⎧sin αsin βcos αcos β＝13，cos αcos β＋sin αsin β＝45，解得⎩⎨⎧sin αsin β＝15，cos αcos β＝35，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝25.解法二：设cos(α＋β)＝x ，即cos αcos β－sin αsin β＝x ①，由cos(α－β)＝45得，cos αcosβ＋sin αsin β＝45 ②，由①②得cos αcos β＝25＋x 2，sin αsin β＝25－x2，两式相除得tan αtan β＝25－x225＋x 2＝13，解得x ＝25，故cos(α＋β)＝25. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ＞0，2cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析：选D.由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ＞0，2cos x ，x ≤0，可知当x ＞0时，f (x )＞2，当x ≤0时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤12，2，故f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，排除选项A 、B 、C ，故选D.5．已知直线m ，平面α，β，p ：“直线m 与平面α，β所成的角相同”，q ：“α∥β”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.充分性：若“直线m 与平面α，β所成的角相同”，以正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1为例，面对角线A 1D 与底面ABCD 及侧面ABB 1A 1所成的角均为45°，但底面ABCD ⊥侧面ABB 1A 1，所以充分性不成立；必要性：若“α∥β”，由线面角的定义及三角形的相似可知“直线m 与平面α，β所成的角相同”，所以必要性成立．故p 是q 的必要不充分条件，故选B.6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．9，2B ．10，2C ．9，12D ．9，－1解析：选D.当n ＝1时，a ＝1－1a ＝1－12＝12；当n ＝2时，a ＝1－1a ＝1－112＝－1；当n＝3时，a ＝1－1a ＝1－1－1＝2；当n ＝4时，a ＝1－1a ＝1－12＝12；….则a 的取值是周期为3的一组数，则由循环语句，当n ＝8时，a ＝－1，则n ＝9，跳出循环，执行输出，故选D.7．圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋43y ＝－3的位置关系是( ) A ．相离 B ．外切 C ．内切D ．相交解析：选D.圆C 1：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，圆C 2：x 2＋(y ＋23)2＝9，则C 1(2，－1)，圆C1的半径r1为2；C2(0，－23)，圆C2的半径r2为3.两圆的圆心距d＝22＋（23－1）2＝17－43∈(r2－r1，r2＋r1)，所以两圆的位置关系是相交．故选D.8．已知各项均为正的等比数列{a n}，公比为q，前n项和为S n，则“q＞1”是“S2＋2S6＞3S4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件通解：选A.因为等比数列{a n}的各项均为正，所以a1＞0.若q＞1，则S2＋2S6－3S4＝a1（1－q2）1－q ＋2a1（1－q6）1－q－3a1（1－q4）1－q＝a1q2（1＋2q4－3q2）q－1＝a1q2（2q2－1）（q2－1）q－1＞0，所以S2＋2S6＞3S4.而当q＝1时，S2＋2S6＞3S4也成立．所以“q ＞1”是“S2＋2S6＞3S4”的充分不必要条件，故选A.优解：因为等比数列{a n}的各项均为正，所以q＞0，S2＞0.令S2＋2S6－3S4＝q2S2(2q2－1)＞0，所以q＞22.所以“q＞1”是“S2＋2S6＞3S4”的充分不必要条件，故选A.9．已知函数f(x)＝ax3＋ax2＋x＋b(a，b∈R)，则下列图象一定不能表示f(x)的图象的是()解析：选D.结合选项，令b＝0，f(x)＝ax3＋ax2＋x，则f′(x)＝3ax2＋2ax＋1，分三种情况讨论：当a＝0时，f′(x)＝1，f(x)单调递增；当a＜0时，方程3ax2＋2ax＋1＝0的判别式Δ＝(2a)2－4×3a＞0，此时f(x)不可能单调递减；当a＞0时，函数f′(x)＝3ax2＋2ax＋1不可能恒小于0，即函数f(x)不可能在R上单调递减，结合各选项，知f(x)的图象不可能为D中图象，故选D.10．网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某组合体的三视图，则该组合体的体积是()A.233＋23πB ．233＋163πC ．4＋163πD ．43＋23π解析：选D.观察题中三视图可知组合体的上部分是三棱锥，下部分是半径为1的半球，其直观图如图1所示．图1在棱长为2的正方体中画出符合三视图的三棱锥A -BEF ，顶点A ，B ，E ，F 分别是正方体棱的中点．解法一：如图2，取EF 的中点C ，连接AC ，BC ，则EF ⊥AC ，EF ⊥BC ，所以EF ⊥平面ABC ，AC ＝BC ＝5，AB ＝2，所以S △ABC ＝12×2×2＝2，三棱锥A -BEF 的体积V 1＝13×S △ABC ×EF＝43.半球体积V 2＝12×43π×13＝23π.所以该组合体的体积V ＝V 1＋V 2＝43＋23π.故选D.图2解法二：如图3，C ，D 分别为正方体两棱的中点，连接CD ，G 为CD 的中点，连接EG ，FG ，过CD ，EF 作截面EFDC ，则正方体和三棱锥A -BEF 都被一分为二，因为S △EFG ＝12×2×2＝2，所以三棱锥A -BEF 的体积V 1＝2×13×S △EFG ×AG ＝43，半球体积V 2＝12×43π×13＝23π.所以该组合体的体积V ＝V 1＋V 2＝43＋23π.故选D.图311．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，AF 2，BF 2分别交y 轴于P ，Q 两点，若△PQF 2的周长为16，则ba ＋1的最大值为( )A.43 B ．34C.53D ．45解析：选A.如图1，由已知条件得，△ABF 2的周长为32，因为|AF 2|＝2a ＋|AF 1|，|BF 2|＝2a ＋|BF 1|，|AF 1|＝|BF 1|＝b 2a ，所以4a ＋4b 2a ＝32，b 2a＋a ＝8，b 2＋a 2－8a ＝0，得(a －4)2＋b 2＝16.设k ＝ba ＋1，则k 表示点(a ，b )与点(－1，0)连线的斜率，作出图形，如图2，易知k max ＝43.故选A.12．已知函数f (x )的定义域是R ，且满足f (x )－f (－x )＝0，f (x ＋2)－f (－x )＝0，当x ∈[ 0，1]时，f (x )＝x 12·g (x )＝4x －2x －2是定义域为R 的函数．给出以下四个命题：①存在实数a ，使得关于x 的方程|g (x )|＝a 有两个不相等的实根； ②存在x 0∈[0，1]，使得g (－x 0)＝－g (x 0)；③当x ∈(－∞，2]时，关于x 的方程f [g (x )]＝0有7个实根； ④关于x 的方程g [f (x )]＝0有1个实根． 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.因为f (x )＝f (－x )，f (x ＋2)＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，也是周期函数，其最小正周期T ＝2.结合已知条件画出函数f (x )的图象，如图所示．图1命题①是真命题．当a ＝1时，4x －2x －2＝±1，所以4x －2x －3＝0或4x －2x －1＝0，解得2x ＝1±132或2x ＝1±52，又2x ＞0，所以x ＝log 21＋132或x ＝log 21＋52，符合题意，所以命题①是真命题．命题②是假命题．解方程4－x －2－x －2＝－(4x －2x －2)，整理得(2x ＋2－x )2－(2x ＋2－x )－6＝0，所以(2x ＋2－x －3)(2x ＋2－x ＋2)＝0，因为2x ＋2－x ＞0，所以2x ＋2－x －3＝0，所以(2x )2－3×2x ＋1＝0，解得2x ＝3±52.由x 0∈[0，1]，得2x 0∈[1，2]，而3±52∉[1，2]，所以原方程在[0，1]上无解．所以在[0，1]上不存在x 0，使得g (－x 0)＝－g (x 0)，命题②是假命题．命题③是真命题．设t ＝2x ，由x ∈(－∞，2]，得t ∈(0，4]．构造函数φ(t )＝t 2－t －2(4≥t ＞0)，则g (x )＝φ(t )，函数φ(t )的图象如图2所示．图2易得φ(t )∈⎣⎡⎦⎤－94，10，结合函数f (x )的图象可知，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－94，10上有零点－2，0，2，4，6，8，10，当g (x )分别等于－2，0，2，4，6，8，10时，都只有一个实根．所以方程f [g (x )]＝0在(－∞，2]上有7个实根，命题③是真命题．命题④是假命题．函数g (x )只有唯一零点x ＝1，所以f (x )＝1，结合f (x )的图象可知，当f (x )＝1时，x ＝2k ＋1，k ∈Z ，所以方程g [f (x )]＝0有无数个实根，且x ＝2k ＋1，k ∈Z ，命题④是假命题．所以只有命题①③是真命题，故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．某校共有学生2 400人，高一学生有800人，现对学生活动情况进行抽样调查，用分层抽样的方法从所有学生中抽取120人，则从高一年级学生中应抽取________人．解析：由题意得，抽取的比例为120，因为从所有学生中抽取120人，所以从高一年级学生中应抽取的人数为800×120＝40.答案：4014．已知向量a ＝(1，m )，|b |＝1，|a ＋b |＝7，且向量a ，b 的夹角是60°，则m ＝________． 解析：由|a ＋b |＝7，得|a |2＋2a·b ＋|b |2＝|a |2＋|a |＋1＝7，解得|a |＝2，所以m 2＋1＝2，故m ＝±3.答案：±315．已知在等差数列{a n }中，{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 13＝91，若S ka k＝6，则正整数k ＝________．解析：解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由S 13＝91，得13a 1＋13×（13－1）2d ＝91，根据a 1＝1，得d ＝1，所以a n ＝n ，所以S k ＝k （k ＋1）2，所以S k a k ＝k ＋12＝6，所以k ＝11.解法二：在等差数列{a n }中，S 13＝91，根据等差数列的性质，可得13a 7＝91，即a 7＝7，又a 1＝1，所以可得公差d ＝1，即a n ＝n ，所以S k ＝k （k ＋1）2，所以S k a k ＝k ＋12＝6，所以k＝11.答案：1116．如图，AB 是立于山顶上的电视塔，现借助升降机CD 测量塔高，当在升降机底部C 时，测得点A 的仰角为45°、点B 的仰角为60°；当升降机上升10米至D 时，测得点A 的仰角为30°，则塔高AB 为________米．解析：在△ACD 中，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝120°，得∠DAC ＝15°，又CD ＝10，由正弦定理CD sin 15°＝AC sin 120°，得AC ＝53sin 15°.又在△ACB 中，∠ACB ＝60°－45°＝15°，∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin 30°＝AB sin 15°，得AB ＝AC sin 15°sin 30°＝2×53sin 15°·sin 15°＝10 3.答案：10 3。

7.小华的爱好是玩飞镖，现有如图所示的由两个边长都为2的正方形ABCD 和正方形OPQR 构成的标靶图形，如果O 正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR 可以绕O 点旋转．若小华随机向标靶投飞镖，一定能射中标靶，则他射中阴影部分的概率是( )A.13B.14C.16D.17解析：选D 如图，记OP 交AB 于H ，OR 交BC 于G .当H 不为AB 的中点时，过O 分别作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，则∠OEH ＝∠OFG ＝90°，又O 正好是正方形ABCD 的中心，所以OE ＝OF ，∠EOF ＝90°，又∠GOH ＝90°，所以∠GOF ＝∠EOH ，所以△OEH 和△OFG 全等，所以阴影部分的面积与正方形OEBF 的面积相等，所以阴影部分的面积为标靶面积的17.当H 为AB 的中点时，阴影部分的面积为标靶面积的17.所以小华射中阴影部分的概率为17，故选D.8．如果点P (x ，y )满足⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的取值范围是( )A ．[5－1，10－1]B ．[5－1，10＋1]C ．[10－1,5]D ．[5－1,5]解析：选D 作出点P 满足的线性约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，因为点Q 所在圆的圆心为M (0，－2)，所以|PM |取得最小值的最优解为(－1，0)，取得最大值的最优解为(0,2)，所以|PM |的最小值为5，最大则h(x)min＝h(e2)＝－1e2，即a的最小值为－1e2.12．(20xx·江西南昌二中月考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，线段PF2与圆：x2＋y2＝b2相切于点Q.若Q是线段PF2的中点，e为椭圆C的离心率，则a2＋e2 3b的最小值为( )A.23B.53C.33D.263解析：选B如图，连接PF1，OQ，由OQ为△PF1F2的中位线，可得OQ∥PF1，|OQ|＝12|PF1|.又|OQ|＝b，所以|PF1|＝2b.由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－2b，又OQ⊥PF2，所以PF1⊥PF2，则有(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2，即b2＋a2－2ab＋b2＝c2＝a2－b2，化简得2a ＝3b，即b＝23a，c＝a2－b2＝53a，所以离心率e＝ca＝53.则a2＋e23b＝a2＋592a＝12⎝⎛⎭⎪⎫a＋59a≥12·2a·59a＝53，当且仅当a＝59a，即a＝53时等号成立，所以a2＋e23b的最小值为53.二、填空题13．已知平面向量a，b满足a＝(1，3)，|b|＝3，a⊥(a－b)，则a与b夹角的余弦值为________．解析：由a ⊥(a －b )可知a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝4－2×3cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝23.答案：2314．已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则xy ＋x ＋y 的最小值为________．解析：∵1x ＋2y ＝1，∴2x ＋y ＝xy ，∴xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ＝(3x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝7＋6x y ＋2y x ≥7＋43，当且仅当6x y ＝2yx 时等号成立，∴xy ＋x ＋y 的最小值为7＋43.答案：7＋4315．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且tan B ＝34，则1tan A ＋1tan C的值是________．解析：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，由正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，∴1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin Ccos A ＋cos Csin A sin Asin C＝错误!＝sin B sin Asin C ＝1sin B ，∵tan B ＝34，∴sin B ＝35，∴1tan A ＋1tan C ＝53.答案：5316．在棱长为1的透明密闭的正方体容器ABCD -A 1B 1C 1D 1中，装有容器总体积一半的水(不计容器壁的厚度)，将该正方体容器绕BD 1旋转，并始终保持BD 1所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为________．解析：由题意得，在保持BD 1所在直线与水平平面平行时，正方体容器绕BD 1旋转的过程中，水面图形为如图所示的平行四边形BE 1D 1E ，设B 1E 1＝DE ＝x,0≤x ≤1，则BE 1＝x2＋1，E 1D 1＝错误!，由余弦定理得cos ∠BE 1D 1＝。

高考最新模拟卷 理 科 数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南洋模范中学] “112x <<”是“不等式11x -<成立”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也不必要条件2．[2019·吉林调研]欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有 非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，πi 4ie 表示的复数位于复平面内（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．[2019·安阳一模]2291sin cos αα+的最小值为（ ） A ．18B ．16C ．8D ．64．[2019·桂林一模]下列函数中是奇函数且有零点的是（ ） A ．()f x x x =+ B ．()1f x x x -=+ C ．()1tan f x x x=+D ．()πsin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5．[2019·河南八市联考]如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）A ．84B．78+C．76+D．80+6．[2019·维吾尔二模]将函数()f x 的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线ln y x =关于 直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．()ln 1x +B ．()ln 1x -C ．1e x +D ．1e x -7．[2019·河南联考]已知函数()()π2sin 02f x x ωϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，且()01f =，若函数()f x 的图象关于4π9x =对称，则ω的取值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．[2019·天一大联考]如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等． 某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，设其命中10，9，8，7环的概率分别为1P ，2P ，3P ，4P ， 则下列选项正确的是（ ）A ．12P P =B ．123P P P +=C ．40.5P =D ．2432P P P +=9．[2019·虹口二模]已知直线l 经过不等式组21034020x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，且与圆22:16O x y +=相交于A 、B 两点，则当AB 最小时，直线l 的方程为（ ） A ．20y -= B ．40x y -+= C ．20x y +-=D ．32130x y +-=10．[2019·凯里一中]已知ABC △是边长为a 的正三角形，且AM AB λ=，()1AN AC λ=-()λ∈R ，设()f BN CM λ=⋅，当函数()f λ的最大值为2-时，a =（ ）AB．CD．11．[2019·齐齐哈尔二模]已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作垂直x 轴的直线交椭圆E 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方．若3AB =，2ABF △的内切圆的面积为9π16，则直线2AF 的方程是（ ） A ．3230x y +-= B ．2320x y +-= C ．4340x y +-=D ．3430x y +-=12．[2019·西大附中]已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若函数()()()22g x f x f a x =+-恰有4个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞C ．(]01,D ．()01,第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·西城期末]在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告（时间如下，转场时间忽略不计），并要求听报告者不能迟到和早退．某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为______．14．[2019·天津毕业]已知π0sin dx a x =⎰，则5ax ⎛⎝的二项展开式中，2x 的系数为__________． 15．[2019·永州二模]在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，30A =︒，45C =︒，3c =，点P 是平面ABC 内的一个动点，若60BPC ∠=︒，则PBC △面积的最大值是__________．16．[2019·甘肃一诊]已知定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()()42f x f x f +=+，且在区间[]0,2上是增函数，①函数()f x 的一个周期为4；②直线4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴；③函数()f x 在[)6,5--上单调递增，在[)5,4--上单调递减； ④函数()f x 在[]0,100内有25个零点；其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·攀枝花统考]已知数列{}n a 中，11a =，()*112,2n n a a n n n --+=∈≥N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设141n n b a =-，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T ．18．（12分）[2019·呼和浩特调研]如图，平面四边形ABCD ，AB BD ⊥，2AB BC CD ===，BD =，将ABD △沿BD 翻折到与面BCD 垂直的位置．（1）证明：CD ⊥面ABC ；（2）若E 为AD 中点，求二面角E BC A --的大小．19．（12分）[2019·大联一模]某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95分组）．第一车间样本频数分布表（1）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（2）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（3）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中，随机抽取3人，记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．20．（12分）[2019·大兴一模]已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的离心率为12，M是椭圆C的上顶点，1F，2F是椭圆C的焦点，12MF F△的周长是6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过动点()1P t,作直线交椭圆C于A，B两点，且PA PB=，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．21．（12分）[2019·拉萨中学]已知()()lnf x x mx m=+∈R．（1）求()f x 的单调区间；（2）若e m =（其中e 为自然对数的底数），且()f x ax b ≤-恒成立，求ba的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·汉中联考]在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：()1sin cos x a t y a t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（0a >，t 为参数）．在以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：()π6θρ=∈R ． （1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）若直线3C的方程为y =，设2C 与1C 的交点为O ，M ，3C 与1C 的交点为O ，N ， 若OMN △的面积为a 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·全国大联考]已知函数()2f x x =-． （1）求不等式()41f x x >-+的解集； （2）设a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若126f f a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求证：225b a +≥．高考最新模拟卷 理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】不等式11x -<成立，化为111x -<-<，解得02x <<， ∴“112x <<”是“不等式11x -<成立”的充分条件．故选A ． 2．【答案】A 【解析】∵πi 4ππe cosisin 4422=+=+，∴πi 4i i e ⎫==⎪⎪⎝⎭，此复数在复平面中对应的点⎝⎭位于第一象限，故选A ．3．【答案】B【解析】()2222229191sin cos sin cos sin cos αααααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭9116≥++， 故选B ． 4．【答案】C【解析】A ．∵()f x x x =+，∴()f x x x -=-+，而()f x x x -=--，∴不是奇函数，排除A ； D ．∵()πsin cos 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()()cos f x x f x -==，即()f x 为偶函数，排除D ；B ．∵()1f x x x -=+，∴()()1f x x x f x --=--=-，∴函数()f x 是奇函数， 但令()0f x =，可知方程无解，即()f x 没有零点，∴排除B ；C ．∵()1tan f x x x =+，∴()()1tan f x x f x x-=--=-，∴()f x 是奇函数，又由正切函数的图像和反比例函数的图像易知，1y x =-与tan y x =必然有交点，因此函数()1tan f x x x=+必有零点．故选C ． 5．【答案】C【解析】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4，∴五棱柱的表面积为(144222442⎛⎫⨯-⨯⨯⨯+++⨯ ⎪⎝⎭C ．6．【答案】C【解析】作ln y x =关于直线y x =的对称图形，得函数e x y =的图像，再把e x y =的图像向左平移一个单位得函数1e x y +=的图像，∴()1e x f x +=．故选C ． 7．【答案】C【解析】∵()()2sin f x x ωϕ=+，∴由()01f =，得1sin 2ϕ=． 又∵π02ϕ<<，∴π6ϕ=，∴()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又∵()f x 关于4π9x =对称，∴4ππππ962k ω⋅+=+，3944k ω=+，令1k =，则3ω=．故选C ．8．【答案】D【解析】若设中心圆的半径为r ，则由内到外的环数对应的区域面积依次为21πS r =，22224ππ3πS r r r =-=，22239π4π5πS r r r =-=，222416π9π7πS r r r =-=22222π3π5π7π16πS r r r r r =+++=总； ()i i i 1,2,3,4S P S ==总，则1116P =，2316P =，3516P =，4716P =， 验证选项，可知只有选项D 正确．故选D ． 9．【答案】D【解析】不等式组表示的区域如图阴影部分，其中AB 的中点为P ，则AP OP ⊥，∴OP 最长时，AB 最小，∵最小l 经过可行域，由图形可知点P 为直线210x y -+=与20y -=的交点()3,2时，OP 最长， ∵23OP k =，则直线l 的方程为()3224y x ---=，即32130x y +-=．故选D ． 10．【答案】C【解析】由题得22π1cos32AB AC a a ⋅==，()()()()2222111122BN CM BA AN CA AM a a a a λλλλ⋅=+⋅+=---+-22111222a λλ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，∴当1=2λ时，()f λ的最大值为2328a -=-，∴a ．故选C ．11．【答案】D【解析】设内切圆半径为r ，则29ππ16r =，∴34r =， ∵()1,0F c -，∴内切圆圆心为3,04c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由3AB =知3,2A c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2,0F c ，∴2AF 方程为3430x cy c +-=，由内切圆圆心到直线2AF 距离为r34=得1c =， ∴2AF 方程为3430x y +-=．故选D ． 12．【答案】D【解析】∵()()()()22g x f x f a x g x -=+-=，∴()g x 是偶函数，若()()()22g x f x f a x =+-恰有4个零点，等价于当0x >时，()g x 有两个不同的零点，∵()f x 是奇函数，∴由()()()220g x f x f a x =+-=，得()()()222f x f a x f x a =--=-，∵()f x 是单调函数，∴22x x a =-，即22a x x -=-， 当0x >时，2222a x x x x -=--=有两个根即可，设()()22211h x x x x =---=，要使当0x >时，22a x x -=-有两个根，则10a -<-<， 即01a <<，即实数a 的取值范围是()01,，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】D【解析】通过数据比对，甲、乙两人应该舍去的报告名称为D ， 当甲乙两人中某人听报告D ，则此人不能听报告B ，C ，E ，F ，故听报告D 最不合适，故答案为D ． 14．【答案】80【解析】由题得()πcos 2a x =-=，∴552ax x =⎛⎛ ⎝⎝，设二项式展开式的通项为()35552155C 2C 2rr rrr r r T x x---+==⋅， 令3522r -=，∴2r =，∴2x 的系数为235C 280=．故答案为80． 15．【解析】∵30A =︒，45C =︒，3c =，∴由正弦定理sin sin a cA C=，可得13sin sin c A a C ⨯⋅===又60BPC ∠=︒，∴在三角形PBC 中，令PB m =，令PC n =，由余弦定理可得22912cos 22m n BPC mn +-∠==， ∴2299222m n mn mn +-=≥-，（当且仅当2m n ==时等号成立） ∴92mn ≤，∴1sin 2S mn BPC =∠=．16．【答案】①②④【解析】令2x =-得()()()2422f f f -+=-+，即()20f -=，由于函数为偶函数， 故()()220f f =-=．∴()()4f x f x +=，∴函数是周期为4的周期函数，故①正确． 由于函数为偶函数，故()()()()44484f x f x f x f x -+=-=--=--， ∴4x =-是函数图像的一条对称轴，故②正确．根据前面的分析，结合函数在区间[]0,2上是增函数，画出函数图像如下图所示．由图可知，函数在[)6,4--上单调递减，故③错误．根据图像可知，()()()()2610980f f f f =====，零点的周期为4，共有25个零点，故④正确．综上所述正确的命题有①②④．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）()2*n a n n =∈N ；（2）21n nT n =+． 【解析】（1）当2n ≥时，由于121n n a a n --=-，11a =， ∴()()()()21122111321n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=+++-=，又11a =满足上式，故()2*n a n n =∈N ．（2）()()21111114141212122121n n b a n n n n n ⎛⎫====- ⎪--+--+⎝⎭．∴11111111112335212122121n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭． 18．【答案】（1）见解析；（2）45︒．【解析】（1）证明：∵平面四边形ABCD ，AB BD ⊥，2AB BC CD ===，BD =， 面ABD ⊥面BCD ，AB BD ⊥，面ABD 平面BCD BD =，∴AB ⊥面BCD ，∴AB CD ⊥， 又2228AC AB BC =+=，22212AD AB BD =+=，22212AD AC CD =+=， ∴AB BC ⊥，AB BD ⊥，AC CD ⊥， ∵ACAB A=，∴CD ⊥平面ABC．（2）解：AB ⊥面BCD ，如图以B为原点，在平面BCD 中，过B 作BD 的垂线为x 轴， 以BD 为y 轴，以BA为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,0,2A，)C，()D ，∵E 是AD 的中点，∴()E，∴()2,BC =，()BE =，令平面BCE 的一个法向量为(),,x y z =n，则2020BC x BE yz ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n ，取1x =，得(1,=-n ，∵CD ⊥面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量为()CD =，∴2cos ,CD CD CD⋅==⋅n n n E BC A --的大小为45︒． 19．【答案】（1）60，300；（2）第二车间工人生产效率更高；（3）见解析． 【解析】（1）估计第一车间生产时间小于75 min 的工人人数为6200=6020⨯（人）． 估计第二车间生产时间小于75 min 的工人人数为()4000.0250.0510300+⨯=（人）． （2）第一车间生产时间平均值约为602+704+8010+904==7820x ⋅⋅⋅⋅第一车间（min ）． 第二车间生产时间平均值约为600.25700.5800.2900.0570.5x =⨯+⨯+⨯+⨯=第二车间（min ）． ∴第二车间工人生产效率更高．（3）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75 min 的工人有6人，其中生产时间小于65 min 的有2人，从中抽取3人，随机变量X 服从超几何分布，X 可取值为0，1，2，()032436C C 410C 205P X ====，()122436C C 1231C 205P X ====，()212436C C 412C 205P X ====．X 的分布列为：∴数学期望()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=．20．【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析． 【解析】（1）由于M 是椭圆C 的上顶点，由题意得226a c +=， 又椭圆离心率为12，即12c a =，解得2a =，1c =， 又2223b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程22143x y +=．（2）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为()1y t k x -=-，联立()2234121x y y t k x ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，得()()()2223484120k x k t k x t k ++-+--=，由题意，0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()122834k t k x x k -+=-+，∵PA PB =，∴P 是AB 的中点．即1212x x +=，得()28234k t k k --=+，340kt +=， ① 又l AB ⊥，l 的斜率为1k -，直线l 的方程为()11y t x k-=--， ②把①代入②可得114y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴直线l 恒过定点1,04⎛⎫⎪⎝⎭．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =，此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫⎪⎝⎭．综上所述，直线l 恒过点1,04⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】（1）见解析；（2）1e ．【解析】（1）由()ln f x x mx =+，得()11mxf x m x x+'=+=， （ⅰ）当0m ≥时，()0f x '>恒成立，()f x 在()0,+∞上单调递增； （ⅱ）当0m <时，解()0f x '=得1x m=-， 当10,x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1,x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．（2）当e m =时，()ln e f x x x =+，令()()ln e g x x a x b =+-+，则()()1e g x a x'=+-， 由（1）可知，当e a ≤时，()g x 在()0,+∞上单调递增，不合题意； 当e a >时，()g x 在10e a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,上单调递增，在1,e a ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭上单调递减， 当1ex a =-时，()g x 取得最大值； ∴10e g a ⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭恒成立，即()11lne 0e e a b a a +-⨯+≤--，整理得()ln e 10a b --+≥， 即()ln e 1b a ≤-+，()ln e 1a b a a -+≤，令()()ln e 1a h a a-+=，()()()()2e e ln e e a a h a a a ---'=-，令()()()e e ln e H a a a =---，()()ln e 1H a a '=---，解()0H a '=得1e ea =+， 当1e,e e a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0H a '>，()H a 单调递增；当1e ,e a ⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭时，()0H a '<，()H a 单调递减；当1e e a =+时，()H a 取得最大值为11e e e e H ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∵当e a →时，()0H a >，然而()2e 0H =，∴当()e,2e a ∈时，()0H a >恒成立，当()2e,a ∈+∞时，()0H a <恒成立， ∴()h a 在()e,2e 上单调递增，在()2e,+∞上单调递减，即函数()h a 的最大值为()12e e h =，∴b a 的最大值为1e．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）1C 是以(),0a 为圆心，a 为半径的圆，1C 的极坐标方程2cos a ρθ=； （2）2a =．【解析】（1）由已知得1sin cos xt ay t a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩平方相加消去参数t 得到2211x y a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即()222x a y a -+=，∴1C 的普通方程：()222x a y a -+=， ∴1C 是以(),0a 为圆心，a 为半径的圆，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=带入1C 的普通方程，得到1C 的极坐标方程2cos a ρθ=． （2）3C 的极坐标方程()5π3θρ=∈R ， 将π6θ=，5π3θ=代入2cos a ρθ=，解得1ρ=，2a ρ=， 则OMN △的面积为21ππsin 263a ⎛⎫⨯⨯+== ⎪⎝⎭2a =． 23．【答案】（1）35,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）见解析． 【解析】（1）()41f x x >-+可化为241x x ->-+，即124x x ++->，当1x ≤-时，()()124x x -+-->，解得32x <-；当12x -<<时，()124x x +-->，无解； 当2x ≥时，124x x ++->，解得52x >． 综上可得32x <-或52x >，故不等式()41f x x >-+的解集为35,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）∵a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1212226f f a b a b ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1210a b +=，∴12222422b b a a a b a b ⎛⎫⎛⎫++=++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22b a a b =，即15a =，25b =时取等号， ∴1042b a ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即225b a +≥．高考最新模拟卷 理 科 数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2020年高考全国卷理科数学模拟试卷（8）时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.3.下列命题中的真命题是（）A. 若，则向量与的夹角为钝角B. 若，则C. 若命题“是真命题”，则命题“是真命题”D. 命题“，”的否定是“，”4.已知，则（）A. B. C. D.5.已知函数在处的切线经过原点，则实数（）A. B. C. 1 D. 06.已知等比数列满足，则（）A. 5B. -5C. 7D. -77.下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A. 12B. 15C.D.8.在平面区域，内任取一点，则存在，使得点的坐标满足的概率为（ ）A.B.C.D.9.已知数列的前项和满足 ，则（ ）A. 196B. 200C.D.10.已知双曲线的左右焦点分别为，，斜率为2直线过点与双曲线在第二象限相交于点，若，则双曲线的离心率是（ ）A.B.C. 2D.11.已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ） A.B.C.D. 12.已知函数（，）满足，，且在上是单调函数，则的值可能是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.88X P ≤=，则()04P X <<=_____________14.已知点()1,2P 和圆222:20C x y kx y k ++++=，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是______15.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，若521212f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的单调递增区间为_______16.设数列{}n a 的前n 项积为n T ，且()*111222,>2,3n n n n T T T T n N n a --+=∈=. 若1n n nb a a =+，则数列{}n b 的前n 项和n S 为________． 三、解答题：共70分。

现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例、得到了如下折线图：则下列结论中正确的是( )A．该家庭20xx年食品的消费额是20xx年食品的消费额的一半B．该家庭20xx年教育医疗的消费额与20xx年教育医疗的消费额相当C．该家庭20xx年休闲旅游的消费额是20xx年休闲旅游的消费额的五倍D．该家庭20xx年生活用品的消费额是20xx年生活用品的消费额的两倍解析：选C设该家庭20xx年全年收入为a、则20xx年全年收入为2a.对于A,20xx年食品消费额为0.2×2a＝0.4a,20xx年食品消费额为0.4a、故两者相等、A不正确；对于B,20xx年教育医疗消费额为0.2×2a＝0.4a,20xx年教育医疗消费额为0.2a、故B不正确；对于C,20xx年休闲旅游消费额为0.25×2a＝0.5a,20xx年休闲旅游消费额为0.1a、故C正确；对于D,20xx年生活用品的消费额为0.3×2a＝0.6a,20xx年生活用品的消费额为0.15a、故D不正确．5.如图所示、三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图、给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)、设直角三角形有一个内角为30°、若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计、取3≈1.732)、则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A．20 B．27C.π3D.π2解析：选A 由题知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3、将其图象向左平移m 个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3的图象、∵函数g (x )的图象关于y 轴对称、∴m ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )、∴m ＝k π＋π6(k ∈Z )、∵m ＞0、∴m 的最小值为π6、故选A. 8．某四面体的三视图如图所示、则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是( )A.52B.2C.355D.32解析：选D 在棱长为2的正方体中还原该四面体PABC 如图所示、其中最短的棱为AB 和BC 、最长的棱为PC .因为正方体的棱长为2、所以AB ＝BC ＝2、PC ＝3、所以该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值为32、故选D.解析：选B 由AB ⊥BC 可知AC 为三角形ABC 所在截面圆O 1的直径、又平面PAC ⊥平面ABC 、△APC 为等边三角形、所以P 在OO 1上、如图所示、设PA ＝x 、则AO 1＝12x 、PO 1＝32x 、所以PO 1＝32x ＝OO 1＋2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －22＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2⇒x 2－23x ＝0⇒x ＝23、所以AO 1＝12×23＝3、PO 1＝32×23＝3、当底面三角形ABC 的面积最大时、即底面为等腰直角三角形时三棱锥P -ABC 的体积最大、此时V ＝13S △ABC ×PO 1＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×3×3＝3.12．过点P (4,2)作一直线AB 与双曲线C ：x22－y 2＝1相交于A 、B 两点、若P 为AB 的中点、则|AB |＝( )A ．22B ．23C ．33D ．43解析：选D 法一：由已知可得点P 的位置如图所示、且直线AB 的斜率存在、设AB 的斜率为k 、则AB 的方程为y －2＝k (x －4)、即y ＝k (x －4)＋2、由错误!消去y 得(1－2k 2)x 2＋(16k 2－8k )x －32k 2＋32k －10＝0、设A (x 1、y 1)、B (x 2、y 2)、由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－16k2＋8k1－2k2、x 1x 2＝－32k2＋32k －101－2k2、因为P (4,2)为AB 的中点、所以－16k2＋8k1－2k2＝8、解得k ＝1、满足Δ＞0、所以x 1＋x 2＝8、x 1x 2＝10、所以|AB |＝1＋12×82－4×10＝43、故选D.式、∴a n ＝n (n ＋1)、n ∈N *、∴a 2＝2×3＝6.∵a n b n ＝n 、∴b n ＝1n ＋1.令B n ＝T 2n－T n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋1、则B n ＋1－B n ＝错误!>0、∴数列{B n }为递增数列、∴B n ≥B 1＝13.∵存在n ∈N *、使得λ＋T n ≥T 2n 成立、∴λ≥B 1＝13、故实数λ的最小值为13.答案：61316．抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F 、在C 上存在A 、B 两点满足AF →＝3FB →、且点A 在x 轴上方、以A 为切点作C 的切线l 、l 与该抛物线的准线相交于点M 、则点M 的坐标为______．解析：(定义转化法)根据题意有A 、B 、F 三点共线、且|AF |＝3|FB |、如图、延长AB 交抛物线的准线于点P 、抛物线的准线交x 轴于点Q 、分别过A 、B 作准线的垂线、垂足分别为C 、D 、过B 作AC 的垂线、垂足为E 、根据抛物线的定义、有|AC |＝3|BD |、设|BD |＝m 、则|AC |＝|AF |＝3m 、|BF |＝m 、所以|AE |＝2m 、所以在Rt △ABE 中、有|AB |＝2|AE |、所以∠BAE ＝60°、所以|PF |＝2|QF |＝4＝3m 、解得m ＝43、设点A 的横坐标为x A 、则x A ＝3m－1＝3、又点A 在x 轴上方、所以A (3,23)．设切线方程为y －23＝k (x －3)、则由错误!得[k (x －3)＋23 ]2＝4x 、即k 2(x －3)2＋43k (x －3)＋12＝4x 、即k 2x 2＋(43k －6k 2－4)x ＋9k 2－123k ＋12＝0.根据直线与抛物线相切、得Δ＝(43k －6k 2－4)2－4k 2(9k 2－123k ＋12)＝0、解得k ＝33.所以切线方程为y －23＝33(x －3)、当x ＝－1时、y ＝233、所以M ⎝⎛⎭⎪⎫－1，233. 答案：M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，233。

百师联盟2020届高三练习一全国卷 理科数学试卷注言事项：L 答卷祁,君生务必将白己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

Z 冋答远择題时,选出铮小题答案n,Hi®笔把答题R 上对应题口的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮慷干療后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案场在答题卡上。

丐在本 试卷上无效。

3. 羽试给束后,将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间120分钟•满分150分」一、选择题:本题共12小题，毎小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的。

L 集合力={xlZ τ2-x-3≤0},βχ{xl -2<Λ<1}.贝IMrl£ =A. {xl -2 <x < -* 1}B. {x ∖ -1 < 1} G "今}严-y + 2 NO.2-若X.yifli 足约朿条件< 2X +Λ-2^0,则“2戈-3）的授人值为 3x -y— 3≤∏,A.2B. -23.已知 LatIa=-3^i ∣J 2sh ζα~11 的值等丁COSZa + 15.等差数列仏}中,若α3+αj +α∣1+αu = 10,则心-Ya ln 的值是丄 2 B.4 C.56. LL 知圆 C ： J + (>• - 1 )2 =K(r>O),设p ：(JVrV3/2 ；g ： [S] C 上至多有 2 个点到H 线 Λ + y ÷ 3 = O的距离为②则"是Q 的A.充分不必耍条件 R 必耍不充分条件 C.充更条件D.既不充分也不必要条件第】页(宾4页)114D.丄-亠丄D.6A. -4氏-24. ^aJ^C 均为正数,且3“=5—45「,则7. 已知定虑4(-】,0),点B 在圆C ：? + Γ-2x-15=0上运动,C 为圆心,线段AB 的垂直半分 线交SC F 点P,则动点P 的轨迹方程为9. 2 2 > 2 2 2A ∙ v+⅛ = lB. V + y 1 = >C ・ v+Λ1 = lD ∙ v+j V = i4 34 Z 4 4 3已知定义征R 上的函数/ (%)满足：/ ( -X) = /(χ),当0 <知V 七时Ux 1 -χ2) I/ (V I ) - / (A 2) J >0,« - - ⅝^.6 J> -2(I Λ,Γ ^0.玖则 ∕α),∕(E,∕(r)的人小顺庁为 λ.f{a)<f(b}<f(c) B. /(c)<∕(δ)<∕(α) C. ./ (C) </(«)</(/>)a∕(5)<∕(c)<∕(α)斐波那契燻旋线T 也称“黄金缥 旋”，是根据雯波那契数列画治 来的嫖旋曲线，Fl 然界中行在 许多斐波那契摞淀线的1冬1案， 是自然界录完天的经典黄金比 例.作圏规则是在以更波那契数为边的正方形拼成 的氏方形屮匝一个圆心角为90。