山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学(理)试题

高三数学（理科）练习题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知全集R U =,{|21}x A x y ==-,则U C A =A ．[0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,0]-∞ 2.已知命题p 、q ，则“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.向量1(,tan )3a α= ，(cos ,1)b α= ，且a ∥b ，则cos2α=A. 13-B. 13C. 79-D. 794.在正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，则111a a 的值是 A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 105.已知0,a >且1a ≠，函数log ,,xa y x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是6.定义运算a b ad bc cd=-，若函数()123x f x xx -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-7.设x ，y 满足约束条件0023x y x y a≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，若目标函数11y z x +=+的最小值为12，则a 的值为A ．2B ．4C ．6D ．88.已知33)6cos(-=-πx ,则=-+)3cos(cos πx x A ．332-B ．332±C ．1-D ．1±9.下列命题中正确的是A .1y x x =+的最小值是2 B .()4230y x x x=-->的最大值是243-C .224sin sin y x x=+的最小值是4D .()4230y x x x =--<的最小值是243- 10.已知等差数列{}n a 的公差0d >，若12320132013t a a a a a ++++= （*N t ∈），则t =A ． 2014B ．2013C ．1007D ．100611.设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是A ．13a b =-B ．//a bC ．2a b =D ．a b ⊥12.已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则一定成立的是全品高考网C ．(sin )(sin )f A f B >D ．(sin )(cos )f A f B >第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.已知函数12log ,1()24,1x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩,则1(())2f f = . 14.曲线2sin 0)y x x π=≤≤（与直线1y =围成的封闭图形的面积为 . 15.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,且()f x 的图象关于直线1x =对称,当[1,0]x ∈-时,()f x x =-，则(2013)(2014)f f += .16.若对任意x A ∈，y B ∈，（A 、R B ⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，称(,)f x y 为关于x 、y 的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数x 、y 的广义“距离”:（1）非负性:(,)0f x y ≥，当且仅当x y =时取等号； （2）对称性:(,)(,)f x y f y x =；（3）三角形不等式:(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立.今给出四个二元函数:①(,)||f x y x y =-；②2(,)()f x y x y =-③(,)f x y x y =-(,)sin()f x y x y =-.则能够成为关于的x 、y 的广义“距离”的函数的所有序号是 .三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos 233f x x x x ωωω=+0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的全品高考网图象．若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值．18．（本小题满分12分）已知数列{}n d 满足n d n =，等比数列{}n a 为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，N n *∈.（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）令1(1)nn n c a =--，不等式2014(1100,N )k c k k *≥≤≤∈的解集为M ，求所有()k k d a k M +∈的和.19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、对边分别是a b c 、、，且满足222()AB AC a b c ⋅=-+ ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若43a =，ABC ∆的面积为3,b c ． 20．（本小题满分12分）已知函数2()2(R)f x x x b b =++∈.（Ⅰ）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，若关于x 的不等式()(0)f x c c <>的解集为(,6)(R)k k k +∈，求c 的值；（Ⅱ）当0b =时，m 为常数，且01m <<，11m t m -≤≤+，求2()()21f t t t f t t ---+的取值范围.21．（本小题满分13分）某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件．（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ;全品高考网全品高考网（Ⅱ）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L 最大,并求出L 的最大值． 22．（本小题满分13分）已知函数21()2x f x e x ax =--(R)a ∈． （Ⅰ）若函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为2y x b =+，求a ，b 的值； （Ⅱ）若函数在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）如果函数21()()()2g x f x a x =--有两个不同的极值点12,x x ，证明：e a >高三数学（理科）练习题 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． B A D A C D A C B C A D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.2- 14. 2233π15.1- 16．① 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得()f x =22sin cos 233x x x ωωω+sin 2322sin(2)3x x x πωωω==- ………………2分由周期为π，得1ω=. 得()2sin(2)3f x x π=- ………………4分由正弦函数的单调增区间得全品高考网222232k x k πππππ-≤-≤+，得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以函数)(x f 的单调增区间是5[,],Z 1212k k k ππππ-+∈ ………………6分 （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位， 得到2sin 21y x =+的图象，所以()2sin 21g x x =+…………………………8分 令()0g x =，得：712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈…………………………10分 所以在每个周期上恰好有两个零点，若()y g x =在[0,]b 上有10个零点， 则b 不小于第10个零点的横坐标即可， 即b 的最小值为115941212πππ+=…………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，所以42911()a q a q =，解得1a q = …………2分 又因为212()5n n n a a a +++=，所以22()5n n n a a q a q += 则22(1)5q q +=，22520q q -+=，解得12q =（舍）或2q = …………4分 所以1222n n n a -=⨯= …………6分（Ⅱ）则1(1)1(2)nnn n c a =--=--, n d n =当n 为偶数，122014nn c =-≥，即22013n≤-，不成立当n 为奇数，1+22014nn c =≥，即22013n≥，因为10112=10242=2048，，所以21,549n m m =+≤≤ …………9分 则{}k d 组成首项为11，公差为2的等差数列{}()k a k M ∈组成首项为112，公比为4的等比数列则所有()k k d a k M +∈的和为114510110145(11+99)2(14)2204825377247521433--++=+=-…………12分全品高考网19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222cos 2bc A a b c bc =---， ………………2分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得4cos 2bc A bc =-， ……………4分 ∴1cos 2A =-， ∵0A π<<，∴23A π= ………………6分 （Ⅱ）1sin 43162S bc A bc ==⇔= ………………8分 222222c o s 328a b c b c A b c b c =+-⇔+=⇔+=………………10分 解得：4b c == ………………12分 20．（本小题满分12分） 解（Ⅰ）由值域为[0)+∞，，当22=0x x b ++时有440b =-=V ， 即1b = …………2分则22()21(1)f x x x x =++=+，由已知2()(1)f x x c =+< 解得1c x c -+<11c x c -<< ……………4分不等式()f x c <的解集为(6)k k +，，∴(1)(1)26c c c --=， 解得9c = ……………6分（Ⅱ）当0b =时，2()2f x x x =+，所以22()=()211f t t t tf t t t ---++因为01m <<，11m t m -≤≤+，所以0112m t m <-≤≤+<令2()=1tg t t +，则2221()=(1)t g t t -'+……………8分当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调增，当12t <<时，()0g t '<，()g t 单调减， 所以当1t =时，()g t 取最大值，1(1)2g =……………10分 因为2211(1)(1)(1)1(1)1m mg m g m m m -+--+=--+++ 32220[(1)1][(1)1]m m m -=<-+++，所以(1)(1)g m g m -<+全品高考网所以2()=1tg t t +的范围为211[,](1)12m m --+……………12分 21．（本小题满分13分）解: （Ⅰ）由题得该连锁分店一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈. ……………………………3分（Ⅱ）2()(10)2(4)(10)L x x x a x '=-----(10)(1823),x a x =-+- …………………………………………6分 令'()0L x =，得263x a =+或10x = ……………………………8分 20213,6833a a ≤≤∴≤+≤ . ①当2673a +≤，即312a ≤≤时，[7,9]x ∴∈时，()0L x '≤，()L x 在[7,9]x ∈上单调递减，故max ()(7)279L x L a ==- ……………10分②当2673a +>，即332a <≤时，2[7,6]3x a ∴∈+时，'()0L x >；2[6,9]3x a ∈+时，()0L x '<()L x ∴在2[7,6]3x a ∈+上单调递增；在2[6,9]3x a ∈+上单调递减，故3max 2()(6)4(2)33a L x L a =+=- ……………12分答:当312a ≤≤每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为279a-万元； 当332a <≤每件商品的售价为263a +元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为34(2)3a-万元. ……………13分22．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）∵()xf x e x a '=--，∴ (0)1f a '=-．于是由题知12a -=，解得1a =-．………………………………………………2分 ∴ 21()2xf x e x x =-+． ∴ (0)1f =，于是120b =⨯+，解得1b =．……………………………………………………4分（Ⅱ）由题意()0f x '>即0xe x a --≥恒成立，∴ xa e x ≤-恒成立．……………………………………………………5分全品高考网设()xh x e x =-，则()1xh x e '=-．当x 变化时，()h x '、()h x 的变化情况如下表：x(0)-∞， 0(0)+∞，()h x ' -+()h x 减函数极小值增函数∴min()h x ，∴ 1a ≤…………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）由已知222211()22x x g x e x ax ax x e ax ax =---+=--， ∴ ()2xg x e ax a '=--．∵12 ,x x 是函数()g x 的两个不同极值点（不妨设12x x <），∴20xe ax a --=（*）有两个不同的实数根12 ,x x ………………………10分当12x =-时，方程（*）不成立 则21x e a x =+，令()21xe p x x =+，则2(21)()(21)x e x p x x -'=+ 由()0p x '=得：12x =当x 变化时，()p x ，()p x '变化情况如下表：x 1(,)2-∞- 11(,)22- 121(,)2+∞ ()p x - - 0 +()p x '单调递减单调递减 极小值 单调递增∴当1(,)2x ∈-∞-时，方程（*）至多有一解，不合题意；……………12分 当1(,)2x ∈-+∞时，方程（*）若有两个解，则1()2e a p >=所以，ea >13分。

各地解析分类汇编:函数31【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】 已知函数()M f x 的定义域为实数集R ,满足()1,0,M x M f x x M∈⎧=⎨∉⎩(M 是R 的非空真子集),在R 上有两个非空真子集,A B ,且A B =∅ ,则()()()()11A B A B f x F x f x f x +=++ 的值域为A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．{}1 C ．12,,123⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】若A x ∈，则1)(,0)(,1)(===x f x f x f B A B A ，1)(=x F ；若B x ∈，则,0)(=x f A 1)(,1)(,1)(===x F x f x f B A B ；若B x A x ∉∉，，则0)(=x f A ，0)(=x f B ，.1)(,0)(==x F x f B A 故选B.2【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试 理】函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤<+=210,12161121,1)(3x x x x x x f 和函数)0(16sin )(>+-=a a x a x g π，若存在]1,0[,21∈x x 使得)()(21x g x f =成立，则实数a的取值范围是A.]2321，（B.）2,1[C.]221，（D.]231，（【答案】C【解析】当112x <≤时，3(),1xf x x =+22(23)'()=0(1)x x f x x +>+函数递增，此时1()()(1)2f f x f <≤，即11()122f x <≤，当102x ≤≤时，函数11()612f x x =-+，单调递减，此时10()12f x ≤≤，综上函数10()2f x ≤≤。

当01x ≤≤时，066x ππ≤≤，10sin62x π≤≤，11()12a g x a a -+≤≤-+，即11()12a g x a -+≤≤-+，若存在]1,0[,21∈x x 使得)()(21x g x f =成立，让()g x 的最大值大于等于()f x 的最小值，让()g x 的最小值小于()f x 的最大值，即1102112a a ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩，解得212a a ≤⎧⎪⎨>⎪⎩，即122a <≤，选D.3【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，()()g x f x =-，若)1()(lg g x g >，则x 的取值范围是A ．),10(+∞B ．)10,101(C ．)10,0(D ．),10()101,0(+∞【答案】B【解析】因为()()g x f x =-，所以函数()()g x f x =-为偶函数，因为函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，所以当0x ≥时，()()()g x f x f x =-=-，此时为减函数，所以当0x ≤，函数()()g x f x =-单调递增。

各地解析分类汇编:导数11【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】已知曲线x x y ln 342-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D.21【答案】A【解析】函数的定义域为(0,)+∞，函数的导数为3'2x y x =-，由31'22x y x =-=，得260x x --=，解得3x =或1x =-（舍去），选A.2【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】如图3，直线y=2x 与抛物线y=3－x 2所围成的阴影部分的面积是（ ）A ．353B ．C ．2D ．323【答案】D【解析】12332(32)d 3S x x x -=--=⎰，故选D. 3【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】如图所示，曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（阴影部分），则该叶形图的面积是（ ）A.21 B. 41 C. 61 D. 31【答案】D【解析】由2y xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或0x y =⎧⎨=⎩，所以根据积分的应用可得阴影部分的面积为3123120021211)()33333x dx x x =-=-=⎰，选D. 4【山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考（理）】由直线2,21==x x ，曲线xy 1=及x 轴所谓成图形的面积为 A.415B.417C.2ln 21D. 2ln 2【答案】D【解析】根据积分的应用可知所求22112211ln ln 2ln2ln 22dx x x==-=⎰，选D. 5【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】已知()f x 为R上的可导函数，且,x R ∀∈均有()f x f>′（x），则有 （ ）A．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<> B．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<< C．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f ->>D ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -><【答案】A【解析】构造函数()()x f x g x=，则2()()()()()()()x x x x f x e e f x f x f x g x e e ''''--==，6【山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考（理）】曲线x e y 21=在点()2,4e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A.2eB.24eC.22eD.229e 【答案】A【解析】121'2x y e =，所以在点()2,4e 的导数为142211'22y e e ⨯==，即切线斜率为212k e =，所以切线方程为221(4)2y e e x -=-，令0x =得，2y e =-，令0y =，得2x =.所以三角形的面积为22122e e ⨯⨯=，选A.7【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】函数22ln y x x e ==在处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为A ．292e B ．212Se =C ．22eD ．2e【答案】D【解析】212'2y x x x =⨯=，所以在2x e =处的切线效率为22k e =，所以切线方程为2224()y x e e-=-，令0x =，得2y =，令0y =，得2x e =-，所以所求三角形的面积为22122e e ⨯⨯=，选D.8【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】曲线()ln 2y x =+在点()1,0P -处的切线方程是 A.1y x =+ B.1y x =-+C.21y x =+D.21y x =-+【答案】A 【解析】1'2y x =+,所以在点P 处的切线斜率1112k ==-+，所以切线方程为(1)1y x x =--=+，选A.9【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】由直线2,,0sin 33x x y y x ππ====与所围成的封闭图形的面积为 A.12B.1C.2【答案】B【解析】由积分的应用得所求面积为2233332sin cos coscos 2cos 1333xdx xπππππππ=-=-+==⎰，选B. 10【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】 已知函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数21)('<x f ，则212)(+<x x f 的解集为 A. {}11<<-x x B. {}1-<x x C. {}11>-<x x x 或 D. {}1>x x【解析】设1()()()22xF x f x =-+, 则11(1)(1)()11022F f =-+=-=，1'()'()2F x f x =-，对任意x R ∈，有1'()'()02F x f x =-<，即函数()F x 在R 上单调递减，则()0F x <的解集为(1,)+∞，即212)(+<x x f 的解集为(1,)+∞，选D.11【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象如图所示，则2212x x +等于A.89B.109C.169D.289【答案】C【解析】函数过原点，所以0d =。

山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R U =，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()U A B ⋂=ðA.()()+∞⋃∞-,53,B.(]()+∞⋃∞-,53,C.(][)+∞⋃∞-,53,D.()[)+∞⋃∞-,53, 2．在ABC ∆中，“A B >”是“tan tan A B >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．给出下列三个结论：（1）若命题p 为真命题，命题q ⌝为真命题，则命题“p q ∧”为真命题；（2）命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠或0y ≠”； （3）命题“,20xx ∀∈>R ”的否定是“ ,20xx ∃∈≤R ”.则以上结论正确的个数为A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S a +=+，N *n ∈，则实数a 的值是A ．3-B ．3C ．1-D ．15．已知非零向量a 、b ，满足a b ⊥ ，则函数2()()f x ax b =+ (R)x ∈是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 偶函数D. 奇函数 6．已知函数1()cos f x x x =，则()()2f f ππ'+= A ．2π-B ．3πC ．1π-D ．3π-7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3100(12)S x dx =+⎰，则56a a +=A ．125B ．12C ．6D ．658．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,2A πϕ><）的图象如图所示，则函数()f x的解析式为 A ．()sin(2)3f x x π=- B ．()sin(2)6f x x π=+ C ．()sin(2)3f x x π=+D. ()sin(4)6f x x π=+ 9．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，则A ．2AO OD = B ．AO OD = C ．3AO OD = D ．2AO OD =10．若函数a ax x f 213)(-+=在区间)1,1(-上存在一个零点，则a 的取值范围是 A ．51>a B ．51>a 或1-<a C ．511<<-a D ．1a <- 11．已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++= A ． 0 B ．100- C ．100 D ．1020012．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且[]0,2x ∈时，2()l o g (1)f x x =+，甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：()31f =；乙：函数()f x 在[]6,2--上是减函数；丙：函数()f x 关于直线4x =对称；丁：若()0,1m ∈，则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为8-，其中正确的是A ．甲、乙、丁B ．乙、丙C ．甲、乙、丙D ．甲、丙第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．15tan4π= ； 14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x，则2(1log 5)f +的值为 ；15．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12,3693=-=S S S ，则=6S ； 16．已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意R x ∈，有()f x m x ≤，则称函数()f x 为F -函数.给出下列函数：①2()f x x =；②2()1xf x x =+；③()2xf x =；④()sin 2f x x =. 其中是F -函数的序号为 .三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，已知bc a c b 23)(3222+=+． （Ⅰ）若C B cos 2sin =，求C tan 的大小；（Ⅱ）若2=a ，ABC ∆的面积22=S ，且c b >，求c b ,． 18．（本小题满分12分）设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是以函数214sin ()12y x π=+-的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S .19．（本小题满分12分）已知向量22(cos sin ,sin )a x x x ωωω=- ，(3,2cos )b x ω= ，设函数()(R)f x a b x =⋅∈ 的图象关于直线2x π=对称，其中ω为常数，且(0,1)ω∈.（Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）若将()y f x =图象上各点的横坐标变为原来的16，再将所得图象向右平移3π个单位，纵坐标不变，得到()y h x =的图象， 若关于x 的方程()0h x k +=在区间[0,]2π上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围.20．（本小题满分12分） 已知函数2))(1()(xa x x x f ++=为偶函数． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-，21lg 2lg 2lg5lg54λ=++-，判断λ与E 的关系； （Ⅲ）当x ∈]1,1[nm ()0,0>>n m 时，若函数()f x 的值域为]32,32[n m --，求n m ,的值.21．（本小题满分13分）已知函数()ln f x x =的图象是曲线C ，点*(,())(N )n n n A a f a n ∈是曲线C 上的一系列点，曲线C 在点(,())n n n A a f a 处的切线与y 轴交于点(0,)n n B b . 若数列{}n b 是公差为2的等差数列，且1()3f a =.（Ⅰ）分别求出数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设O 为坐标原点，n S 表示n n OA B ∆的面积，求数列{}n n a S 的前n 项和n T .22．（本小题满分13分）已知函数⎩⎨⎧≥<+++-=1,ln 1,)(23x x a x c bx x x x f ，当23x =时，函数()f x 有极大值427.（Ⅰ）求实数b 、c 的值；（Ⅱ）若存在0x ∈[1,2]-，使得0()37f x a ≥-成立，求实数a 的取值范围.即3122222⨯-+=bc c b由直线2x π=是()y f x =图象的一条对称轴，可得2sin()23ππω+=±，所以()32k k z πππωπ+=+∈，即1()6k k z ω=+∈．又(0,1)ω∈，k z ∈，所以0k =，故16ω=.20．（本小题满分12分）解: （Ⅰ）)(x f 为偶函数 ()()f x f x ∴=- 22))(1())(1(xa x x x a x x +-+-=++∴,0)1(2=+∴x a ∈x R 且0≠x ,1-=∴a ………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：221)(xx x f -= 当1x =±时，()0f x =；当2x =时，3()4f x =304E ,⎧⎫∴=⎨⎬⎩⎭， ……………………………………………………………………………6分21．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()1f x x'=， ∴曲线C 在点()(),n n n A a f a 处的切线方程：()1ln n n ny a x a a -=- 令0ln 1n x y a =⇒=-，该切线与y 轴交于点()0,n n B b ，ln 1n n b a ∴=-………………………………………3分①当11<≤-x 时，22()323()3f x x x x x '=-+=--，令0)(='x f 得320==x x 或 当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：x)0,1(-0 )32,0( 32 )1,32( )(x f ' - 0+ 0- )(x f单调递减极小值单调递增极大值单调递减根据表格，又2)1(=-f ，274)32(=f ，0)0(=f。

2013年山东青岛市初级中学学业水平考试数学试题一、选择题1、－6的相反数是（ ）A 、—6B 、6C 、61-D 、61答案：B解析：－6的相反数为6，简单题。

2、下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）A B C D 答案：D解析：A 、B 、C 都是轴对称图形，只有D 为中心对称图形。

3、如图所示的几何体的俯视图是（ ）A B C D 答案：B解析：该几何体上面是圆锥，下面为圆柱，圆锥的俯视图是一个圆和圆心，圆锥顶点投影为一个点（圆心）。

4、“十二五”以来，我国积极推进国家创新体系建设，国家统计局《2012年国民经济和社会发展统计公报》指出，截止2012年底，国内有效专利达8750000件，将8750000件用科学计数法表示为（ ）件A 、410875⨯B 、5105.87⨯C 、61075.8⨯D 、710875.0⨯答案：C解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 8750000＝61075.8⨯5、一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有（ ）个第3题A 、45B 、48C 、50D 、55 答案：A解析：摸到白球的概率为P ＝10110010=，设口袋里共有n 个球，则 5110n =，得n ＝50，所以，红球数为：50－5＝45，选A 。

6、已知矩形的面积为36cm 2，相邻的两条边长为xcm 和ycm ，则y 与x 之间的函数图像大致是（ ）A B C D 答案：A解析：因为xy ＝36，即36(0)y x x=>，是一个反比例函数，故选A 。

高三数学（理科）练习题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集R U =,{|A x y ==,则U C A =A ．[0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,0]-∞ 2.已知命题p 、q ，则“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.向量1(,tan )3a α= ，(cos ,1)b α=，且a ∥b ，则cos 2α=A. 13-B. 13C. 79-D. 794.在正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，则111a a 的值是 A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 105.已知0,a >且1a ≠，函数log ,,xa y x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是6.定义运算a b ad bc c d =-，若函数()123x f x x x -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是 A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-7.设x ，y 满足约束条件0023x y x y a≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，若目标函数11y z x +=+的最小值为12，则a 的值为A ．2B ．4C ．6D ．88.已知33)6cos(-=-πx ,则=-+)3cos(cos πx xA ．332-B ．332±C ．1-D ．1±9.下列命题中正确的是A .1y x x =+的最小值是2 B .()4230y x x x=-->的最大值是2- C .224sin sin y x x=+的最小值是4 D .()4230y x x x =--<的最小值是2-10.已知等差数列{}n a 的公差0d >，若12320132013t a a a a a ++++= （*N t ∈），则t =A ．2014 B ．2013 C ．1007 D ．1006 11.设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是A ．13a b =-B ．//a bC ．2a b =D ．a b ⊥12.已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则一定成立的是 A ．(cos )(cos )f A f B < B ．(sin )(cos )f A f B <C ．(sin )(sin )f A f B >D ．(sin )(cos )f A f B >第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.已知函数12log ,1()24,1xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩,则1(())2f f = .14.曲线2sin 0)y xx π=≤≤（与直线1y =围成的封闭图形的面积为 .15.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,且()f x 的图象关于直线1x =对称,当[1,0]x ∈-时,()f x x =-，则(2013)(2014)f f += .16.若对任意x A ∈，y B ∈，（A 、R B ⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，称(,)f x y 为关于x 、y 的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数x 、y 的广义“距离”:（1）非负性:(,)0f x y ≥，当且仅当x y =时取等号； （2）对称性:(,)(,)f x y f y x =；（3）三角形不等式:(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立.今给出四个二元函数:①(,)||f x y x y =-；②2(,)()f x y x y =-③(,)f x y =；④(,)sin()f x y x y =-.则能够成为关于的x 、y 的广义“距离”的函数的所有序号是 .三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos f x x x x ωωω=+（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象．若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值．18．（本小题满分12分）已知数列{}n d 满足n d n =，等比数列{}n a 为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，N n *∈.（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）令1(1)n n n c a =--，不等式2014(1100,N )k c k k *≥≤≤∈的解集为M ，求所有()k k d a k M +∈的和.19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、对边分别是a b c 、、，且满足222()AB AC a b c ⋅=-+ ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =，ABC ∆的面积为,b c ． 20．（本小题满分12分）已知函数2()2(R)f x x x b b =++∈.（Ⅰ）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，若关于x 的不等式()(0)f x c c <>的解集为(,6)(R)k k k +∈，求c 的值；（Ⅱ）当0b =时，m 为常数，且01m <<，11m t m -≤≤+，求2()()21f t t t f t t ---+的取值范围.21．（本小题满分13分）某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件．（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ; （Ⅱ）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L 最大,并求出L 的最大值． 22．（本小题满分13分）已知函数21()2xf x e x ax =--(R)a ∈． （Ⅰ）若函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为2y x b =+，求a ，b 的值； （Ⅱ）若函数在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）如果函数21()()()2g x f x a x =--有两个不同的极值点12,x x ，证明：a >．高三数学（理科）练习题 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． B A D A C D A C B C A D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.2- 14. 23π15.1- 16．① 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得()f x =22sin cos x x x ωωω+sin 222sin(2)3x x x πωωω==- ………………2分由周期为π，得1ω=. 得()2sin(2)3f x x π=- ………………4分由正弦函数的单调增区间得222232k x k πππππ-≤-≤+，得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以函数)(x f 的单调增区间是5[,],Z 1212k k k ππππ-+∈ ………………6分 （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位， 得到2sin 21y x =+的图象，所以()2sin 21g x x =+…………………………8分 令()0g x =，得：712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈…………………………10分 所以在每个周期上恰好有两个零点，若()y g x =在[0,]b 上有10个零点， 则b 不小于第10个零点的横坐标即可， 即b 的最小值为115941212πππ+= …………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，所以42911()a q a q =，解得1a q = …………2分 又因为212()5n n n a a a +++=，所以22()5n n n a a q a q +=则22(1)5q q +=，22520q q -+=，解得12q =（舍）或2q = …………4分 所以1222n n n a -=⨯= …………6分 （Ⅱ）则1(1)1(2)n n n n c a =--=--, n d n =当n 为偶数，122014n n c =-≥，即22013n≤-，不成立当n 为奇数，1+22014n n c =≥，即22013n≥，因为10112=10242=2048，，所以21,549n m m =+≤≤ …………9分 则{}k d 组成首项为11，公差为2的等差数列{}()k a k M ∈组成首项为112，公比为4的等比数列则所有()k k d a k M +∈的和为114510110145(11+99)2(14)2204825377247521433--++=+=-…………12分 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222cos 2bc A a b c bc =---， ………………2分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得4cos 2bc A bc =-， ……………4分∴1cos 2A =-， ∵0A π<<，∴23A π= ………………6分（Ⅱ）1sin 162S bc A bc ==⇔= ………………8分 222222c o s 328a b c b c A b c b c =+-⇔+=⇔+=………………10分解得：4b c == ………………12分20．（本小题满分12分）解（Ⅰ）由值域为[0)+∞，，当22=0x x b ++时有440b =-=V ， 即1b = …………2分则22()21(1)f x x x x =++=+，由已知2()(1)f x x c =+<解得1x +<11x < ……………4分不等式()f x c <的解集为(6)k k +，，∴1)(1)6-=， 解得9c = ……………6分（Ⅱ）当0b =时，2()2f x x x =+，所以22()=()211f t t t tf t t t ---++因为01m <<，11m t m -≤≤+，所以0112m t m <-≤≤+<令2()=1t g t t +，则2221()=(1)t g t t -'+……………8分 当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调增，当12t <<时，()0g t '<，()g t 单调减， 所以当1t =时，()g t 取最大值，1(1)2g =……………10分 因为2211(1)(1)(1)1(1)1m mg m g m m m -+--+=--+++ 32220[(1)1][(1)1]m m m -=<-+++，所以(1)(1)g m g m -<+ 所以2()=1t g t t +的范围为211[,](1)12m m --+……………12分 21．（本小题满分13分）解: （Ⅰ）由题得该连锁分店一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈. ……………………………3分（Ⅱ）2()(10)2(4)(10)L x x x a x '=-----(10)(1823),x a x =-+- …………………………………………6分 令'()0L x =，得263x a =+或10x = ……………………………8分 20213,6833a a ≤≤∴≤+≤ . ①当2673a +≤，即312a ≤≤时，[7,9]x ∴∈时，()0L x '≤，()L x 在[7,9]x ∈上单调递减，故max ()(7)279L x L a ==- ……………10分②当2673a +>，即332a <≤时，2[7,6]3x a ∴∈+时，'()0L x >；2[6,9]3x a ∈+时，()0L x '<()L x ∴在2[7,6]3x a ∈+上单调递增；在2[6,9]3x a ∈+上单调递减，故3max 2()(6)4(2)33a L x L a =+=- ……………12分答:当312a ≤≤每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为279a -万元； 当332a <≤每件商品的售价为263a +元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为34(2)3a-万元. ……………13分22．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）∵()x f x e x a '=--，∴ (0)1f a '=-．于是由题知12a -=，解得1a =-．………………………………………………2分 ∴ 21()2xf x e x x =-+． ∴ (0)1f =，于是120b =⨯+，解得1b =．……………………………………………………4分（Ⅱ）由题意()0f x '>即0xe x a --≥恒成立，∴ xa e x ≤-恒成立．……………………………………………………5分 设()x h x e x =-，则()1x h x e '=-．当x 变化时，()h x '、()h x 的变化情况如下表：∴min()h x ，∴1a ≤…………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）由已知222211()22xx g x e x ax ax x e ax ax =---+=--， ∴ ()2xg x e ax a '=--．∵12 ,x x 是函数()g x 的两个不同极值点（不妨设12x x <）， ∴20xe ax a --=（*）有两个不同的实数根12 ,x x ………………………10分当12x =-时，方程（*）不成立 则21x e a x =+，令()21x e p x x =+，则2(21)()(21)x e x p x x -'=+ 由()0p x '=得：12x =当x 变化时，()p x ，()p x '变化情况如下表：x 1(,)2-∞- 11(,)22- 121(,)2+∞ ()p x -- 0+()p x ' 单调递减单调递减极小值 单调递增∴当1(,)2x ∈-∞-时，方程（*）至多有一解，不合题意；……………12分 当1(,)2x ∈-+∞时，方程（*）若有两个解，则1()2a p >=。

各地解析分类汇编:三角函数11.【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（理）】将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为 A.1)42sin(+-=πx y B.x y 2cos 2=C.x y 2sin 2=D.x y 2cos -= 【答案】C【解析】函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位得到sin 2()sin(2)cos 242y x x xππ=-=-=-，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为22cos21(12sin )12sin y x x x =-+=--+=，选C. 2.【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（理）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a,b,c ，且4524==B c ，，面积2=S ，则b 等于A.2113B.5C.41D.25 【答案】B【解析】因为4524==B c ，，又面积11sin 222S ac B =⨯=⨯=，解得1a =，由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-,所以21322252b =+-⨯=，所以5b =，选B. 3.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图象如图示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图象解析式为A ．x y 2sin = B. x y 2cos = C. )322sin(π+=x y D. )62sin(π-=x y 【答案】D【解析】由图象知A=1,T=,262,2,234)61211(πφπωωππππ=+⨯=∴==⨯- 6πφ=∴),62sin()(π+=∴x x f 将)(x f 的图象平移6π个单位后的解析式为 )..62sin(]6)6(2sin[πππ-=+-=x x y 故选D.4.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】已知25242sin -=α，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈04，πα，则ααcos sin +等于 A ．51-B ．51C ．57- D ．57【答案】B 【解析】由⎪⎭⎫⎝⎛-∈04，πα知|,cos ||sin |0cos ,0sin αααα<><，ααcos sin +∴ .512sin 1=+=x 故选B.5.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】sin 585︒的值为B.D. 【答案】B【解析】sin 585sin 225sin(18045)sin 452==+=-=-，选B. 6.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】若3)4tan(=-απ，则αcot 等于（ ）A.2B.21- C.21D.-2【答案】D【解析】由3)4tan(=-απ得，t a n t a n ()13144tan tan[()]441321tan()4ππαππααπα---=--===-++-，所以1c o t 2t a n αα==-选D.7.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222222c a b ab =++，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A【解析】由222222c a b ab =++得，22212a b c ab +-=-，所以222112cos 0224aba b c C ab ab -+-===-<，所以090180C << ,即三角形为钝角三角形，选A.8.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，045,105ACB CAB ∠=∠= ，则A 、B 两点的距离为A.B.C.D.2【答案】B【解析】因为045,105ACB CAB ∠=∠= ，所以30ABC ∠=，所以根据正弦定理可知，sin sin AC AB ABC ACB =，即50sin 30sin 45AB=，解得AB =，选B..9【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】已知()sin cos 0,αααπ-=∈，则tan α等于A.1-B. D.1【答案】A【解析】由sin cos αα-=得，所以cos 122αα-=，即s i n()14πα-=，所以2,42x k k Z πππ-=+∈，所以32,4x k k Z ππ=+∈，所以33tan tan(2)tan 144k ππαπ=+==-，选A. 10.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像 A.关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.关于直线12x π=对称C.关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D.关于直线512x π=对称 【答案】D【解析】函数的最小周期是π，所以2T ππω==，所以2ω=，所以函数()sin(2)f x x ϕ=+，向右平移3π得到函数2()sin[2()]sin(2)33f x x x ππϕϕ=-+=+-，此时函数为奇函数，所以有2,3k k Z πϕπ-=∈，所以23k πϕπ=+，因为2πϕ<，所以当1k =-时，233k ππϕπ=+=-，所以()sin(2)3f x x π=-.由2232x k πππ-=+，得对称轴为512x k ππ=+，当0k =时，对称轴为512x π=，选D.11.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】若,(,),tan cot ,2παβπαβ∈<且那么必有A ．2παβ+<B ．32αβπ+<C ．αβ>D ．αβ<【答案】B【解析】因为3c o t =t a n =t a n =t a n 222πππββπββ-+--（）（）（），因为2πβπ<<，所以2πβπ->->-，322ππβπ<-<，而函数tan y x =在(,)2x ππ∈上单调递增，所以由tan cot αβ<，即3tan tan 2παβ<-（）可得32παβ<-，即32παβ+<，选B.12.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】函数()212sin ,46f x x f ππ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则A. B.12-C.12【答案】A【解析】()212sin ()cos 2()cos(2)sin 2442f x x x x x πππ=-+=+=+=-,所以()sin 63f ππ=-=选A.13.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是 A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数D.最小正周期为2π的偶函数 【答案】A【解析】22cos ()1cos 2()cos(2)sin 2442y x x x x πππ=--=-=-=，周期为π的奇函数，选A. 14【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】设()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的图像的一条对称轴的方程是 A.9x π=B.6x π=C.3x π=D.2x π=【答案】B 【解析】由262x k πππ+=+得，,62k x k Z ππ=+∈,所以当0k =时，对称轴为6x π=，选B. 15【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】把函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为 A.sin 2,3y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭B.sin 2,3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C.1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭D.1sin ,26y x x R π⎛⎫=-∈⎪⎝⎭【答案】C【解析】函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，得到sin()6y x π=+，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为1sin()26y x π=+，选C.16【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像A.向左平移512π个长度单位B.向右平移512π个长度单位 C.向左平移56π个长度单位D.向右平移56π个长度单位【答案】A【解析】因为sin 2cos(2)cos(2)22y x x x ππ==-=- 55cos[(2)]cos[2()]63123x x ππππ=-+=-+，所以为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位，选B. 17【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中02ϕπ<<，若()6f x f π⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭对x R 恒成立，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则ϕ等于 A.6πB.56π C.76πD.116π【答案】C【解析】由()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭可知6π是函数()f x 的对称轴，所以又2+=+62k ππϕπ⨯，所以=+6k πϕπ，由()2f f ππ⎛⎫>⎪⎝⎭，得()()sin sin 2πϕπϕ+>+，即sin sin ϕϕ->，所以sin 0ϕ<，又02ϕπ<<，，所以2πϕπ<<，所以当1k =时，7=6πϕ，选C. 18【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】函数()sin ()f x x x x =+∈R （ ） A.是偶函数，且在(,+)-∞∞上是减函数 B.是偶函数，且在(,+)-∞∞上是增函数 C.是奇函数，且在(,+)-∞∞上是减函数 D.是奇函数，且在(,+)-∞∞上是增函数 【答案】D【解析】因为()sin ()f x x x f x -=--=-，所以函数为奇函数。

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编17：等差数列一、选择题 1 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,1532,3a a a ==,则9S = （ ）A ．90B ．54C ．54-D ．72- 2 ．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）在等差数列{}n a 中,20131-=a ,其前n 项和为n S ,若210121012=-S S ,则2013S 的值等于 （ ）A ．-2012B ．-2013C ．2012D ．20133 ．（山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理））如果等差数列{}n a 中,15765=++a a a ,那么943...a a a +++等于（ ）A ．21B ．30C ．35D ．404 ．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）已知{}n a 为等差数列,若34899,a a a S ++==则（ ）A ．24B ．27C ．15D ．545 ．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）等差数列{}n a 前n 项和为n S ,已知310061006(1)2013(1)1,a a -+-= 310081008(1)2013(1)1,a a -+-=-则（ ）A ．2013100810062013,S a a =>B ．2013100810062013,S a a =<C ．2013100810062013,S a a =->D ．2013100810062013,S a a =-<6 ．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知正项组成的等差数列{}n a 的前20项的和100,那么615a a ⋅最大值是 （ ）A ．25B ．50C ．100D ．不存在 7 ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,77521a S ==，，则10S =（ ）A ．40B ．35C ．30D ．288 ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足1313113a S a ===，则 （ ）A ．14-B ．13-C ．12-D ．11-9 ．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））在等差数列}{na 中,1a =-2 012 ,其前n 项和为n S ,若10121210S S -=2,则 2 012S 的值等于 （ ）A ．-2 011B ．-2 012C ．-2 010D ．-2 01310．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）已知数列{}n a ,若点()()*,n n a n N∈在经过点()8,4的定直线l 上,则数列{}n a 的前15项和15S = （ ）A ．12B ．32C ．60D ．12011．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）等差数列{}n a 中,已知112a =-,130S =,使得0n a >的最小正整数n 为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 12．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且A ．2012B ．-2012C ．2011D ．-201113．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）设数列{}n a 是等差数列,且23415a a a ++=,则这个数列的前5项和5S（ ）A ．10B ．15C ．20D ．25 14．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）如果等差数列{}n a 中,35712a a a ++=,那么129...a a a +++的值为（ ）A ．18B ．27C ．36D ．54二、填空题15．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设直线(1)2(*)nx n y n N ++=∈与两坐标轴围成的三角形的面积为S n ,则S 1+S 2++S 2012的值为 16．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）下面图形由小正方形组成,请观察图1至图4的规律,并依此规律,写出第n 个图形中小正方形的个数是___________.17．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）现有一根n 节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为 10cm,最下面的三节长度之和为114cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中 项,则n=___________.三、解答题18．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）在等差数列{}n a 中,13a =,其前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的各项均为正数,11b =,公比为q ,且222212,.S b S q b +==(I)求n a 与n b ; (II)设1121,n n n n T a b a b a b n N +-=++⋅⋅⋅+∈,求n T 的值.19．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列,n S 为前n 项和,5a 和7a 的等差中项为11,且25114a a a a ⋅=⋅.令11,n n n b a a +=⋅数列{}n b 的前n 项和为n T .(Ⅰ)求n a 及n T ;(Ⅱ)是否存在正整数1,(1),,,m n m n m n T T T <<使得成等比数列?若存在,求出所有的,m n 的值;若不存在,请说明理由.20．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）已知数列{}n a 是等差数列,()*+∈-=N n a a c n n n 212(1)判断数列{}n c 是否是等差数列,并说明理由;(2)如果()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ,试写出数列{}n c 的通项公式;(3)在(2)的条件下,若数列{}n c 得前n 项和为n S ,问是否存在这样的实数k ,使n S 当且仅当12=n 时取得最大值.若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由.21．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）设数列{}n a 的前．n 项积．．为n T ,且n na T 22-= ()n N *∈.(Ⅰ)求证数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列; (Ⅱ)设)1)(1(1+--=n n n a a b ,求数列{}n b 的前n 项和n S .22．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知等差数列{}n a 的首项11a =,公差0d >,且2514,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设*121(),(3)n n n n b n N S b b b n a =∈=++++ ,是否存在最大的整数t,使得对任意的n 均有36n tS >总成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由,23．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）设{}n a 是公差大于零的等差数列,已知12a =,23210a a =-.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设{}n b 是以函数214sin ()12y x π=+-的最小正周期为首项,以3为公比的等比数列,求数列{}n n a b -的前n 项和n S .24．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前5项和为513235,1,1,1S a a a =+++成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设n T 为数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎭⎩的前n 项和,问是否存在常数m,使12(2)n n n T n n n ⎡⎤=+⎢⎥++⎣⎦,若存在,求m 的值;若不存在,说明理由.25．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知数列{}n a ,15a =-,22a =-,记()A n =12n a a a +++ ,23()B n a a =+1n a +++ ,()C n =342+n a a a +++ (*N n ∈),若对于任意*N n ∈,()A n ,()B n ,()C n 成等差数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 求数列{}||n a 的前n 项和.26．（2010年高考（山东理））已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S .(Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ)令b n =211n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T .山东省2014届理科数学一轮复习试题选编17：等差数列参考答案一、选择题1. 【答案】 C 由1532,3a a a ==得1143(2)a d a d +=+,即12d a =-=-,所以919899298542S a d ⨯=+=⨯-⨯=-,选C. 2.B【解析】1211211122S a d ⨯=+,101109102S a d ⨯=+,所以112112111211212122a dS a d ⨯+==+,1019102S a d =+,所以101221210S S d -==,所以201312013201220132013(20132012)2012S a d ⨯=+=-+=-,选B 3. C【 解析】由15765=++a a a 得663155a a ==，.所以3496...77535a a a a +++==⨯=,选C.4. 【答案】B 在等差数列中,由3489a a a ++=得13129a d +=,即1543a d a +==,所以19599()9292327222a a a S +⨯⨯⨯====,选B. 5. B 6. A7. 【答案】A 设公差为d ,则由77521a S ==，得1777()2a a S +=,即17(5)212a +=,解得11a =,所以716a a d =+,所以23d =.所以1011091092101040223S a d ⨯⨯=+=+⨯=,选A. 8. 【答案】D 在等差数列中,1131313()132a a S +==,所以1132a a +=,即113221311a a =-=-=-,选D.9. 【答案】B【解析】设公差为d,则2)1(1dn n na S n -+=,2)1(1d n a n S n -+=,由ddd S S =---=-2)110(2)112(10121012,所以2=d ,所以)2013(-=n n S n ,2012)20132012(20122012-=-=S ,选B10. C 【解析】可设定直线为4(8)y k x -=-,知4(8),(8)4nn a k n a k n -=-=-+得,则{}n a 是等差数列84a =,所以11515815()15154602a a S a ⋅+==⋅=⨯=,选C.11. B12. D 【解析】在等差数列中,1201320132013()20132a a S +==,所以120132a a+=,所以120132220132011a a=-=-=-,选D.13. D 【解析】在等差数列中2343315a a a a ++==,所以35a =,所以选D.14. C 二、填空题 15. 【答案】20122013【解析】当0x =时,y =.当0y =时,y =,所以三角形的面积11112(1)1n S n n n n ===-++,所以1220121111112012112232012201320132013S S S +++=-+-++-=-= . 16. 【答案】(1)2n n +【解析】12341,3,6,10a a a a ====,所以2132432,3,4a a a a a a -=-=-=, 1n n a a n --=,等式两边同时累加得123n a a n -=+++ ,即(1)122n n n a n +=+++= ,所以第n 个图形中小正方形的个数是(1)2n n +.17. 【答案】16 设对应的数列为{}n a ,公差为,(0)d d >.由题意知110a =,12114n n n a a a --++=,261n a a a =.由12114n n n a a a --++=得13114n a -=,解得138n a -=,即2111(5)()n a d a a d -+=+,即2(105)10(38)d d +=+,解得2d =,所以11(2)38n a a n d -=+-=,即102(2)38n +-=,解得16n =.三、解答题 18.19.解:(Ⅰ)因为{}n a 为等差数列,设公差为d ,整理得111511212a d d a d a +==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ 所以1(1)221n a n n =+-⨯=-由111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+所以111111(1)2335212121n nT n n n =-+-++-=-++ (Ⅱ)假设存在 由(Ⅰ)知,21n n T n =+,所以11,,32121m n m nT T T m n ===++ 若1,,m n T T T 成等比,则有222121()2132144163m n m n m nT T T m n m m n =⋅⇒=⋅⇒=+++++ 2222441633412m m n m m m n n m ++++-⇒=⇒=,.....(1) 因为0n >,所以2412011m m m +->⇒<<, 因为,1,2,m N m m *∈>∴=,当2m =时,带入(1)式,得12n =; 综上,当2,12m n ==可以使1,,m n T T T 成等比数列20.解:(1)设{}n a 的公差为d ,则22221121()()n n n n n n c c a a a a ++++-=---2221112()()n n n aa d a d +++=---+22d =-∴数列{}n c 是以22d -为公差的等差数列3 (2)1325130a a a +++=242614313a a a k+++=-∴两式相减:131313d k =- 1d k ∴=-113(131)1321302a d -∴+⨯=k a 1221+-=)313()1()1(1-+-=-+=∴k n k d n a a n22111()()n n n n n n n c a a a a a a +++∴=-=+-22)1)(12(63226k n k k -+-+-=53025)1(222+-+--=k k n k 8(3)因为当且仅当12n =时nS 最大12130,0c c ∴><有即2222224(1)2530501819036(1)25305022210k k k k k k k k k k ⎧⎧--+-+>+->⎪⎪⇒⎨⎨--+-+<-+>⎪⎪⎩⎩ 1191921k k k k ><-⎧⇒⇒<->或或21.【解析】(Ⅰ)1132T = 由题意可得:122n n n TT T -=-⇒1122n n n n T T T T --⋅=-(2)n ≥,所以11112n n T T --=(Ⅱ)数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,122n n T +=,12nn a n +=+, 1(2)(3)n b n n =++,1113445(2)(3)n S n n =+++⨯⨯+⨯+ 111111()()()344523n n =-+-++-++113339nn n =-=++ 22.23.24.25.解:(Ⅰ)根据题意()A n ,()B n ,()C n 成等差数列∴()+()2()A n C n B n =整理得2121253n n a a a a ++-=-=-+= ∴数列{}n a 是首项为5-,公差为3的等差数列 ∴53(1)38n a n n =-+-=-(Ⅱ)38,2||38,3n n n a n n -+≤⎧=⎨-≥⎩记数列{}||a 的前n 项和为S .当2n ≤时,2(583)313222n n n n S n +-==-+当3n ≥时,2(2)(138)313714222n n n n S n -+-=+=-+综上,2231322231314322n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩ 26. 【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d,因为37a =,5726a a +=,所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得13,2a d ==, 所以321)=2n+1n a n =+-（;n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n .(Ⅱ)由(Ⅰ)知2n+1n a =,所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅,所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅- =11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1), 即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1).【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键.。

2023-2024学年山东省青岛二中高三（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“∃x 0＞1，ln （x 0﹣1）≥0”的否定是（ ） A ．∀x ＞1，ln （x ﹣1）＜0 B ．∀x ≤1，ln （x ﹣1）＜0C ．∀x ＞1，ln （x ﹣1）≥0D ．∀x ≤1，ln （x ﹣1）≥02．已知集合A ＝{x ∈N *|1≤x ＜3}，B ＝{x |ax ﹣2＝0}，且A ∩B ＝B ，则实数a 的所有取值集合是（ ） A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{0，2}3．若(1+x 14)8的展开式中共有m 个有理项，则m 的值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．底面半径是1的圆锥，侧面积是3π，则圆锥的体积是（ ） A ．2√2πB ．√2πC ．2π3D ．2√2π35．柯西不等式（Cauchy ﹣SchwarzLnequality ）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．现给出一个二维柯西不等式：（a 2+b 2）（c 2+d 2）≥（ac +bd ）2，当且仅当ad ＝bc 时即ac =b d时等号成立．根据柯西不等式可以得知函数f(x)=3√4−3x +√3x −2的最大值为（ ） A ．2√5B ．2√3C ．√10D ．√136．设曲线y ＝x 3﹣2x 2+1在x ＝k 处的切线为l ，若l 的倾斜角小于135°，则k 的取值范围是（ ） A ．(−∞，13)∪(1，+∞) B ．(−∞，0)∪(13，1)∪(43，+∞)C ．(−∞，13)∪[43，+∞)D ．(−∞，0]∪(13，1)∪[43，+∞)7．已知角α，β∈（0，π），且sin （α+β）+cos （α﹣β）＝0，sin αsin β﹣3cos αcos β＝0，则tan （α+β）＝（ ） A ．﹣2B ．−12C ．12D ．28．如图，已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是等腰直角三角形，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，点D 在上底面A 1B 1C 1（包括边界）上运动，则三棱锥D ﹣ABC 外接球表面积的最大值为（ ）A ．81π16B ．6πC ．243π64D ．2√6π二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知函数f(x)=2sinxcosx +cos(2x −π6)，下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）的周期是πB ．f （x ）的图象关于点(π12，0)对称C ．f （x ）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ](k ∈Z)D ．要得到g(x)=√3sin2x 的图象，只需把f （x ）的图象向右平移π6的单位10．已知直线l ：x ﹣my +3＝0和圆C ：x 2+y 2﹣6x +5＝0，下列结论成立的是（ ） A ．直线l ：x ﹣my +3＝0过定点（﹣3，0）B ．当直线l 与圆C 相交时，直线l ：x ﹣my +3＝0被圆所截的弦长最大值为4C ．当直线l 与圆C 相切时，则实数m =2√2D ．当实数m 的值为3时，直线l 与圆C 相交，且所得弦长为2√10511．设数列{a n }前n 项和为S n ，满足(a n −1)2=4(100−S n )，n ∈N *且a 1＞0，a 2＞0，则下列选项正确的是（ ） A ．a n ＝﹣2n +21B ．数列{S n n}为等差数列 C ．当n ＝11时S n 有最大值D ．设b n ＝a n a n +1a n +2，则当n ＝8或n ＝10时数列{b n }的前n 项和取最大值 12．点O 是△ABC 的外心，则下列选项正确的是（ ） A ．若AB ＝2，则AB →⋅AO →=2B ．若BD →=λ(BA →|BA →|+BC →|BC →|)且BD →=μBA →+(1−μ)BC →(λ，μ∈R)，则AD →=DC →C ．若2BO →=BA →+BC →，则B 为△ABC 的垂心D ．若∠B =π3，OB →=mOA →+nOC →，则m +n 的取值范围为[﹣2，1） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)=x 3⋅3xa x −1(a ＞0且a ≠1)为偶函数，则a ＝ ．14．1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动节．五一劳动节某单位安排甲、乙、丙B 人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一假期期间值班2天，则甲连续值班的概率是 ． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 上，且PF 1⊥F 1F 2，直线PF 2与椭圆C 交于另一点Q ，与y 轴交于点M ，MF 2→=2F 2Q →，则椭圆C 的离心率为 ． 16．若x ＝0是函数f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1)的极大值点，则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2b sin A +b sin B ＝c sin2B ． （1）求角C ；（2）若点D 在边AB 上，b ＝2，CD ＝1，请在下列三个条件中任选一个，求边长AB ． ①CD 为△ABC 的一条中线； ②CD 为△ABC 的一条角平分线； ③CD 为△ABC 的一条高线．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，2S n ＝（n +1）a n ﹣2． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列b n =2a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和．19．（12分）已知四棱锥Q ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，且AB ⊥QD ，QA ＝QD ＝3． （1）求点B 到平面QCD 的距离； （2）求二面角B ﹣QD ﹣A 的正弦值．20．（12分）一个袋子里有大小相同的黑球和白球共10个，其中白球有a （0＜a ＜10，a ∈N *）个，每次随机摸出1个球，摸出的球再放回．设事件A 为“从袋子中摸出4个球，其中恰有两个球是白球”． （1）当a 取a 0时，事件A 发生的概率最大，求a 0的值；（2）以（1）中确定的a 0作为a 的值，甲有放回地从袋子中摸球，如果摸到黑球则继续摸球，摸到白球则停止摸球，摸球的次数记为X ，求X 的数学期望E （X ）．参考：（1）若P （X ＝k ）＝a k （k ＝1，2，3…），则E （X ）=lim ∑ n k=1ka k ；（2）lim n→∞n ⋅(12)n =0．21．（12分）已知点(1，√2)在抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上，A 、B 为抛物线C 上的两个动点，AB 不垂直于x 轴，F 为焦点，且|AF |+|BF |＝5．（1）求p 的值，并证明AB 的垂直平分线过定点；（2）设（1）中的定点为Q ，求△ABQ 面积是否有最大值，若有，求出其最大值，若没有，请说明理由． 22．（12分）设函数f （x ）＝e x ，g （x ）＝e sin x +e cos x ． （1）求曲线y ＝f （x ）平行于直线y ＝x +3的切线； （2）讨论g （x ）的单调性．2023-2024学年山东省青岛二中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“∃x 0＞1，ln （x 0﹣1）≥0”的否定是（ ） A ．∀x ＞1，ln （x ﹣1）＜0 B ．∀x ≤1，ln （x ﹣1）＜0C ．∀x ＞1，ln （x ﹣1）≥0D ．∀x ≤1，ln （x ﹣1）≥0解：命题“∃x 0＞1，ln （x 0﹣1）≥0”的否定是：∀x ＞1，ln （x ﹣1）＜0． 故选：A ．2．已知集合A ＝{x ∈N *|1≤x ＜3}，B ＝{x |ax ﹣2＝0}，且A ∩B ＝B ，则实数a 的所有取值集合是（ ） A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{0，2}解：由题意集合A ＝{1，2}， 因为A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，当B ＝{1}时，a ﹣2＝0，解得a ＝2， 当B ＝{2}时，2a ﹣2＝0，解得a ＝1， 当B ＝{1，2}时，a 无解， 当B ＝∅时，a ＝0，综上，实数a 的取值集合为{0，1，2}． 故选：C ．3．若(1+x 14)8的展开式中共有m 个有理项，则m 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：(1+x 14)8的展开式通项公式为：T r+1=C 8r x 2−14r，r ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，当r ＝0，4，8时，T 1，T 5，T 9为有理项，故m ＝3． 故选：C ．4．底面半径是1的圆锥，侧面积是3π，则圆锥的体积是（ ） A ．2√2πB ．√2πC ．2π3D ．2√2π3解：设圆锥的母线长为l ，高为h ，则π×1×l ＝3π， ∴l ＝3，∴h =√l 2−r 2=√9−1=2√2，∴圆锥的体积为13×π×12×ℎ=2√23π． 故选：D ．5．柯西不等式（Cauchy ﹣SchwarzLnequality ）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．现给出一个二维柯西不等式：（a 2+b 2）（c 2+d 2）≥（ac +bd ）2，当且仅当ad ＝bc 时即ac =b d时等号成立．根据柯西不等式可以得知函数f(x)=3√4−3x +√3x −2的最大值为（ ） A ．2√5B ．2√3C ．√10D ．√13解：该函数的定义域为[23，43]，由柯西不等式可得：f(x)=3√4−3x +√3x −2≤√(32+12)(4−3x +3x −2)=2√5， 当且仅当√4−3x=√3x−2时取等号，即当x =1115时取等号．故选：A ．6．设曲线y ＝x 3﹣2x 2+1在x ＝k 处的切线为l ，若l 的倾斜角小于135°，则k 的取值范围是（ ） A ．(−∞，13)∪(1，+∞) B ．(−∞，0)∪(13，1)∪(43，+∞)C ．(−∞，13)∪[43，+∞)D ．(−∞，0]∪(13，1)∪[43，+∞)解：∵y ′＝3x 2﹣4x ，∴l 的斜率为3k 2﹣4k ．∵l 的倾斜角小于135°，∴l 的斜率小于﹣1或不小于0，则3k 2﹣4k ＜﹣1或3k 2﹣4k ≥0，解得k ∈(−∞，0]∪(13，1)∪[43，+∞)． 故选：D ．7．已知角α，β∈（0，π），且sin （α+β）+cos （α﹣β）＝0，sin αsin β﹣3cos αcos β＝0，则tan （α+β）＝（ ） A ．﹣2B ．−12C ．12D ．2解：∵sin （α+β）+cos （α﹣β）＝0， ∴sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β＝0， ∴sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ=−1，∴tanα+tanβ1+tanαtanβ=−1，∵sin αsin β﹣3cos αcos β＝0， ∴sin αsin β＝3cos αcos β， ∴tan αtan β＝3，代入tanα+tanβ1+tanαtanβ=−1，得tan α+tan β＝﹣4， 故tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2．故选：D ．8．如图，已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是等腰直角三角形，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，点D 在上底面A 1B 1C 1（包括边界）上运动，则三棱锥D ﹣ABC 外接球表面积的最大值为（ ）A ．81π16B ．6πC ．243π64D ．2√6π解：因为△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝1， 所以△ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点O 1，且AO 1=√22，连接O 1与A 1B 1的中点E ，则O 1E ∥AA 1，所以O 1E ⊥平面ABC ， 设球的球心为O ，由球的截面性质可得O 在O 1E 上， 设OO 1＝x ，DE ＝t （0≤t ≤√22），半径为R ，因为OA ＝OD ＝R ，所以√12+x 2=√(2−x)2+t 2，所以t 2＝4x −72，又0≤t ≤√22， 所以78≤x ≤1，因为R 2=12+x 2，所以R 2≤32，所以三棱锥D ﹣ABC 的外接球表面积的最大值为4πR 2＝6π．故选：B ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知函数f(x)=2sinxcosx +cos(2x −π6)，下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）的周期是πB ．f （x ）的图象关于点(π12，0)对称C ．f （x ）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ](k ∈Z)D ．要得到g(x)=√3sin2x 的图象，只需把f （x ）的图象向右平移π6的单位解：∵f （x ）＝2sin x cos x +cos （2x ﹣6）=sin2x +cos2xcos π6+sin2xsin π6=32sin2x +√32cos2x =√3sin(2x +π6)， 对于A ：f （x ）的周期T =2π2=π，故A 正确； 对于B ：当x =π12时，f （π12）=√3sin(2×π12+π6)=√3sin π3≠0，∴f （x ）的图象不关于点(π12，0)对称，故B 错误；对于C ：令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ(k ∈Z)，解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ(k ∈Z)，∴f （x ）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ](k ∈Z)，故C 正确；对于D ：g(x)=√3sin2x 的图象向左平移π6个单位后解析式为g(x +π6)=√3sin[2(x +π6)]=√3sin(2x +π3)，故D 错误． 故选：AC ．10．已知直线l ：x ﹣my +3＝0和圆C ：x 2+y 2﹣6x +5＝0，下列结论成立的是（ ） A ．直线l ：x ﹣my +3＝0过定点（﹣3，0）B ．当直线l 与圆C 相交时，直线l ：x ﹣my +3＝0被圆所截的弦长最大值为4C ．当直线l 与圆C 相切时，则实数m =2√2D ．当实数m 的值为3时，直线l 与圆C 相交，且所得弦长为2√105解：直线l ：x ﹣my +3＝0，可得{x +3=0y =0，可知直线恒过（﹣3，0），所以A 正确；圆C ：x 2+y 2﹣6x +5＝0，圆心（3，0），半径为2，（﹣3，0）是圆外的点，直线不表示直线y ＝0， 所以直线l 与圆C 相交时，直线l ：x ﹣my +3＝0被圆所截的弦长没有最大值，所以B 不正确； 直线与圆相切，可得√1+m 2=2，解得m =±2√2，所以C 不正确；实数m 的值为3时，直线l ：x ﹣3y +3＝0，圆的圆心到直线的距离为：√1+9=√102．所以直线与圆C 相交，所以D 正确． 故选：AD ．11．设数列{a n }前n 项和为S n ，满足(a n −1)2=4(100−S n )，n ∈N *且a 1＞0，a 2＞0，则下列选项正确的是（ ） A ．a n ＝﹣2n +21B ．数列{S n n}为等差数列 C ．当n ＝11时S n 有最大值D ．设b n ＝a n a n +1a n +2，则当n ＝8或n ＝10时数列{b n }的前n 项和取最大值 解：A 选项，当n ＝1时，(a 1−1)2=4(100−a 1)， 又a 1＞0，解得a 1＝19，当n ≥2时，(a n −1)2=4(100−S n )①， (a n−1−1)2=4(100−S n−1)②，①﹣②得，(a n −1)2−(a n−1−1)2=4(100−S n )−4(100−S n−1)，即a n 2+2a n −a n−12+2a n−1=0，化为（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1+2）＝0，∵a 1＞0，a 2＞0，∴a n +a n ﹣1＝0不能对任意的n ≥2恒成立， ∴a n ﹣a n ﹣1+2＝0， ∴a n ﹣a n ﹣1＝﹣2，故{a n }为等差数列，公差为﹣2，首项为a 1＝19， ∴通项公式为a n ＝19﹣2（n ﹣1）＝﹣2n +21，A 正确； B 选项，S n =n(a 1+a n )2=n(19+21−2n)2=−n 2+20n ， 故S n n=−n +20，则当n ≥2时，S n n−S n−1n−1=−n +20−(−n +21)=−1，故{Snn }为等差数列，B 正确；C 选项，S n =−n 2+20n =−(n −10)2+100，∴当n ＝10时，S n 取得最大值，C 错误；D 选项，令a n ＞0得1≤n ≤10，令a n ＜0得n ≥11， 则当n ∈[1，8]时，b n ＝a n a n +1a n +2＞0， 当n ＝9时，b 9＜0，当n ＝10时，b 10＞0， 当n ≥11时，b n ＜0，又b 9＝a 9a 10a 11＝3×1×（﹣1）＝﹣3，b 10＝a 10a 11a 12＝1×（﹣1）×（﹣3）＝3， 则当n ＝8或n ＝10时数列{b n }的前n 项和取最大值，D 正确． 故选：ABD ．12．点O 是△ABC 的外心，则下列选项正确的是（ ） A ．若AB ＝2，则AB →⋅AO →=2B ．若BD →=λ(BA →|BA →|+BC →|BC →|)且BD →=μBA →+(1−μ)BC →(λ，μ∈R)，则AD →=DC →C ．若2BO →=BA →+BC →，则B 为△ABC 的垂心D ．若∠B =π3，OB →=mOA →+nOC →，则m +n 的取值范围为[﹣2，1）解：对于A ：因为AB →⋅AO →=|AB →|⋅|AO →|⋅cos∠BAO =|AB →|×12|AB →|=12|AB →|2=2，故A 正确；对于B ：由BD →=μBA →+(1−μ)BC →（λ，μ∈R ）可知，点A ，D ，C 共线， 又BD →=λ(BA →|BA →|+BC→|BC →|) 可知，点D 在∠CBA 的角平分线上，所以BD 为△ABC 的角平分线，AD 与DC 不一定相等，故B 错误；对于C ：若2BO →=BA →+BC →则点O 是AC 的中点，点O 又是△ABC 的外心，所以∠ABC ＝90°，即B 为直角顶点，所以B 为垂心，故C 正确； 对于D ：因为∠B =π3 所以∠AOC =2π3如图，建立平面直角坐标系， 设C （r ，0），A(−12r ，√32r)，B （r cos θ，r sin θ），θ∈(2π3，2π)， 因为OB →=mOA →+nOC →，所以{rcosθ=m ⋅(−12r)+nrrsinθ=m ⋅√32r，得m =2√3，n =cosθ1√3， m +n =cosθ+√3sinθ=2sin(θ+π6)，θ∈(2π3，2π)，θ+π6∈(5π6，13π6)， sin(θ+π6)∈[−1，12)， 则m +n ∈[﹣2，1）．故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)=x 3⋅3xa x −1(a ＞0且a ≠1)为偶函数，则a ＝ 9 ． 解：∵f(x)=x 3⋅3xa x −1(a ＞0且a ≠1)为偶函数，y ＝x 3为奇函数，∴g （x ）=3xa x −1=1(a 3)x −3−x 为奇函数，法1°：y =(a 3)x −3﹣x为奇函数，又y ＝3x ﹣3﹣x为奇函数，∴a3=3，∴a ＝9．法2°：∵y =(a3)x −3﹣x为奇函数，其定义域为R ，∴(a 3)1−13+(a 3)−1−3＝0，整理得a 2﹣10a +9＝0， 解得a ＝9或a ＝1（舍去）． 故答案为：9．14．1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动节．五一劳动节某单位安排甲、乙、丙B 人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一假期期间值班2天，则甲连续值班的概率是25．解：由题意知，甲在五一长假期间值班2天，有C 52=10种值班方法，其中甲连续2天值班的情况有4种， 所以甲连续值班的概率P =410=25．故答案为：25．15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 上，且PF 1⊥F 1F 2，直线PF 2与椭圆C 交于另一点Q ，与y 轴交于点M ，MF 2→=2F 2Q →，则椭圆C 的离心率为 √217． 解：如图，因为OM ∥PF 1，所以点M 是PF 2的中点，连接F 1Q ， 由MF 2→=2F 2Q →，得|PF 2|＝4|F 2Q |，设|F 2Q |＝t ，则|PF 2|＝4t ，|PF 1|＝2a ﹣4t ，|QF 1|＝2a ﹣t ，由余弦定理得|QF 1|2=|PF 1|2+|PQ|2−2|PF 1||PQ|cos∠F 1PQ ， （2a ﹣t ）＝2（2a ﹣4t ）2+（5t ）2﹣2（2a ﹣4t ）×5t ×2a−4t4t， 整理得t =514a ，则|F 1F 2|=√(4t)2−(2a −4t)2=√16at −4a 2=2√217a ， e =2c2a =|F 1F 2|2a =√217． 故答案为：√217． 16．若x ＝0是函数f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1)的极大值点，则实数a 的取值范围是 (−∞，−12) ． 解：由f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1)， 得f ′(x)=x 2+2ax +1−1x+1， 所以f ″(x)=2x +2a +1(x+1)2，因为x ＝0是函数f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1)的极大值点， 所以f ′（0）＝1﹣1＝0，且f ''（0）＜0， 所以2a +1＜0，所以a ＜−12． 故答案为：(−∞，−12)．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2b sin A +b sin B ＝c sin2B ． （1）求角C ；（2）若点D 在边AB 上，b ＝2，CD ＝1，请在下列三个条件中任选一个，求边长AB ． ①CD 为△ABC 的一条中线； ②CD 为△ABC 的一条角平分线； ③CD 为△ABC 的一条高线． 解：（1）因为2b sin A +b sin B ＝c sin2B ，所以由正弦定理得：2sin B sin A +sin B sin B ＝2sin C sin B cos B ， 因为B ∈（0，π），所以sin B ≠0，所以2sin A +sin B ＝2sin C cos B ， 因为sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ， 所以2sin B cos C +sin B ＝0，所以cosC =−12， 因为C ∈（0，π），所以C =23π；（2）选择①，因为CD 为△ABC 的一条中线， 所以CD →=12(CA →+CB →)，所以CD →2=14(CA →2+CB →2+2CA →⋅CB →)，即1=14[4+a 2+2×2a ×(−12)]，解得：a ＝2，由余弦定理得：AB =c =√a 2+b 2−2abcosC =√4+4−2×2×2×(−12)=2√3； 选择②，因为CD 为△ABC 的一条角平分线， 所以S △ACD +S △BCD ＝S △ABC ，即12b ⋅CD ×√32+12a ⋅CD ×√32=12ab ×√32， 因为b ＝2，CD ＝1，所以a ＝2，由余弦定理得：AB =c =√a 2+b 2−2abcosC =√4+4−2×2×2×(−12)=2√3； 选择③，因为CD 为△ABC 的一条高线， 所以S △ABC =12absinC =12c ⋅CD ， 因为b ＝2，CD ＝1，所以c =√3a ，由余弦定理有：c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，即3a 2=a 2+4−4a ×(−12)， 解得：a ＝2或a ＝﹣1（舍去），所以c =2√3．，即AB =2√3．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，2S n ＝（n +1）a n ﹣2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设数列b n =2a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和． 解：（1）因为当n ≥2时，2S n ＝（n +1）a n ﹣2且a 1＝1， 若n ＝2，则2S 2＝2（1+a 2）＝3a 2﹣2，解得a 2＝4， 若n ≥3，则2S n ﹣1＝na n ﹣1﹣2， 两式相减可得2a n ＝（n +1）a n ﹣na n ﹣1， 整理得a n n=a n−1n−1，即a n n=a n−1n−1=...=a 22=2，可得a n ＝2n ，可知n ＝1不符合上式，n ＝2符合上式， 所以a n ={1，n =12n ，n ≥2．（2）因为b n =2a n a n+1={2，n =112n(n+1)，n ≥2，即b n ={2，n =1⋅12(1n−1n+1)，n ≥2， 当n ＝1时，令数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝2；当n ≥2时，则T n ＝b 1+b 2+...+b n ，＝2+12[(12−13)+(13−14)+...+(1n −1n+1)]=2+12×(12−1n+1)=94−12(n+1)，可知n ＝1符合上式，所以T n =94−12(n+1)． 19．（12分）已知四棱锥Q ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，且AB ⊥QD ，QA ＝QD ＝3． （1）求点B 到平面QCD 的距离； （2）求二面角B ﹣QD ﹣A 的正弦值．解：（1）因为底面ABCD 是正方形，所以AB ⊥AD ， 又因为AB ⊥QD ，AD ∩QD ＝D ，所以AB ⊥平面QAD ， 又因为AB ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面QAD ， 因为平面QAD ∩平面ABCD ＝AD ，QA ＝QD ， 取AD 的中点O ，连接QO ，则QO ⊥AD ，以O 为原点，OD 所在直线为y 轴，OQ 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则B （2，﹣1，0），C （2，1，0），D （0，1，0），Q （0，0，2√2）， BC →=（0，2，0），DC →=（2，0，0），DQ →=（0，﹣1，2√2），设平面QCD 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DC →=2x =0n →⋅DQ →=−y +2√2z =0，令z ＝1，则y ＝2√2，x ＝0，所以n →=（0，2√2，1），所以点B 到平面QCD 的距离为d =|BC →⋅n →||n →|=|0+4√2+0|0+8+1=4√23；（2）因为平面ADQ 的一个法向量为DC →=（2，0，0），DB →=（2，﹣2，0），设平面BDQ 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅DB →=2x −2y =0m →⋅DQ →=−y +2√2z =0，令z ＝1，则y ＝2√2，x ＝2√2，所以m →=（2√2，2√2，1）， 设二面角B ﹣QD ﹣A 为θ，则θ∈[0，π]， 计算cos θ=m →⋅DC →|m →||DC →|=4√2+0+08+8+1×2=2√217，sin θ=√1−cos 2θ=√1−817=3√1717， 所以二面角B ﹣QD ﹣A 的正弦值为3√1717． 20．（12分）一个袋子里有大小相同的黑球和白球共10个，其中白球有a （0＜a ＜10，a ∈N *）个，每次随机摸出1个球，摸出的球再放回．设事件A 为“从袋子中摸出4个球，其中恰有两个球是白球”．（1）当a 取a 0时，事件A 发生的概率最大，求a 0的值；（2）以（1）中确定的a 0作为a 的值，甲有放回地从袋子中摸球，如果摸到黑球则继续摸球，摸到白球则停止摸球，摸球的次数记为X ，求X 的数学期望E （X ）．参考：（1）若P （X ＝k ）＝a k （k ＝1，2，3…），则E （X ）=lim n→∞∑ n k=1ka k ；（2）lim n→∞n ⋅(12)n =0．解：（1）每次随机摸出1个球，摸到白球的概率为a10，摸到黑球的概率为1−a10， 所以件A 为“从袋子中摸出4个球，其中恰有两个球是白球“的概率为P （A ）=C 42•（a10）2•（1−a10）2＝6[a10（1−a10）]2，因为a10（1−a10）≤[a 10+(1−a10)2]2=14，当且仅当a10=1−a10=12时，a ＝5，即等号成立，故a 0＝5．（2）由（1）知：每次随机摸出1个球，摸到白球的概率为12， X ＝1，2，3…，P （X ＝k ）＝a k （k ＝1，2，3…）， P （X ＝1）＝a 1=12， P （X ＝2）＝a 2=122， P （X ＝3）＝a 3=123，…， P （X ＝k ）＝a k =12k ，…，所以∑ n i=1ka k =∑ni=1k 2k=12+222+323+...+n2n ，① 12∑ n i=1ka k =122+223+324+...+n−12n +n2n+1，② ①﹣②得：12∑ n i=1ka k =12+122+123+...+12n −n2n+1=12−12n+11−12−n 2n+1=1−2+n2n+1， 所以∑ n i=1ka k ＝2−n+22n ， E （X ）=lim n→∞∑ n i=1ka k =lim n→∞（2−n+22n ）＝2． 21．（12分）已知点(1，√2)在抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上，A 、B 为抛物线C 上的两个动点，AB 不垂直于x 轴，F 为焦点，且|AF |+|BF |＝5．（1）求p 的值，并证明AB 的垂直平分线过定点；（2）设（1）中的定点为Q ，求△ABQ 面积是否有最大值，若有，求出其最大值，若没有，请说明理由． 解：（1）因为点(1，√2)在抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上， 所以2＝2P ，解得P ＝1， 所以抛物线的方程为y 2＝2x ，设直线AB 的方程为y ＝kx +m ，（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由{y =kx +m y 2=2x ，得k 2x 2+2（km ﹣1）x +m 2＝0， Δ＝4（km ﹣1）2﹣4k 2m 2＝4（1﹣2km ）＞0， x 1+x 2=−2(km−1)k2，x 1x 2=m 2k2，因为|AF |+|BF |＝5，所以x 1+x 2+1=−2(km−1)k2+1＝5，km ＝1﹣2k 2，所以m =1k −2k ，① 设AB 的中点为（x 0，y 0）， 所以x 0=x 1+x 22=2，y 0＝kx 0+m ＝2k +m ， 所以AB 的垂直平分线方程为y ﹣2k ﹣m =−1k（x ﹣2），② 联立①②，可得y =−1k（x ﹣3）， 所以AB 的垂直平分线过定点（3，0）． （2）|AB |=√1+k 2•2√1−2kmk 2=√1+k2•2√4k 2−1k 2，点Q 到直线AB 的距离为d ：d =|3k+m|√1+k=|k+1k|√1+k，所以S △ABQ =12|AB |d =12√1+k 2•2√4k 2−1k 2•|k+1k |√1+k 2=(k 2+1)√4k 2−1k 3，S △ABQ 2=(k 2+1)2(4k 2−1)k6=（1+1k2）2（4−1k2）， 令1k 2=t ，则0＜t ＜4，f （t ）＝（t +1）2（4﹣t ），f ′（t ）＝2（t +1）（4﹣t ）﹣（t +1）2＝（t +1）（7﹣3t ）＝0， 解得：t ＝﹣1（舍去），t =73，当0＜t ＜73时，f ′（t ）＞0，当73＜t ＜4时，f ′（t ）＜0，所以f （t ）在（0，73）单调递增，在（73，4）单调递减，所以当t =73时，f （t ）取最大值为（73+1）2×（4−73）=50027，所以△ABQ 面积最大值为10√159．22．（12分）设函数f （x ）＝e x ，g （x ）＝e sin x +e cos x ． （1）求曲线y ＝f （x ）平行于直线y ＝x +3的切线； （2）讨论g （x ）的单调性．解：（1）∵f （x ）＝e x ，f ′（x ）＝e x ， ∴f ′（t ）＝1⇒e t ＝1⇒t ＝0，f （0）＝1，∴曲线y ＝f （x ）平行于直线y ＝x +3的切线方程为y ﹣1＝1•（x ﹣0）即y ＝x +1．（2）∵令p(x)=e x x （x ＜1），则 p ′(x)=e x (x−1)x 2＜0 恒成立，p(x)=e xx 在（﹣∞，0），（0，1）上单调递减．g （x ）＝e sin x +e cos x ，g ′（x ）＝e sin x •cos x ﹣e cos x •sin x ，∴g ′（x ）＞0⇒sinx ⋅cosx(e sinxsinx −e cosxcosx )＞0⇒{sinxcosx ＞0sinx ＜cosx或{sinxcosx ＜0sinx ＜0cosx ＞0⇒2kπ＜x ＜2kπ+π4或2kπ+5π4＜x ＜2kπ+3π2或2kπ+3π2＜x ＜2kπ+2π（k ∈Z ），∴g （x ）在(2kπ，2kπ+π4)(k ∈Z)，(2kπ+5π4，2kπ+2π)(k ∈Z)上单调递增，在(2kπ+π4，2kπ+5π4)（k ∈z ）上单调递减．。

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编7：函数的综合问题一、选择题错误！未指定书签。

．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）某学校要召开学生代表大会,规定根据班级人数每10人给一个代表名额,当班级人数除以10的余数大于6时,再增加一名代表名额.那么各班代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =([x]表示不大于*的最大整数)可表示为 （ ） A ．[]10xy = B ．3[]10x y += C ．4[]10x y += D ．5[]10x y += 【答案】B 法一:特殊取值法,若x=56,y=5,排除 C ．D,若x=57,y=6,排除A,所以选B法二:设)90(10≤≤+=ααm x ,，时⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤≤10103103,60x m m x αα 1101103103,96+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤<x m m x αα时当,所以选B 错误！未指定书签。

．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知函数321,,1,12()111,0,.362x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩函数π()s i n ()22(0)6g x a x a a =-+ ,若存在[]12,0,1x x ∈,使得12()()f x g x =成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B错误！未指定书签。

．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）若对于定义在R 上的函数f(x),存在常数()t t R ∈,使得f(x+t)+tf(x)=0对任意实数x 均成立,则称f(x )是阶回旋函数,则下面命题正确的是 （ ） A ．f(x)=2x是12-阶回旋函数 B ．f(x)=sin(πx)是1阶回旋函数 C ．f (x)=x 2是1阶回旋函数 D ．f(x)=log a x 是0阶回旋函数【答案】B错误！未指定书签。