2019届湘教版九年级数学下册习题课件：2.3 垂径定理 (共24张PPT)

复习课件
九年级数学下册 第2章 圆2.3 垂径定理习题课件（新版）湘教版
【教材P60】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
水管中心到水面的高度为，
502
2
4202
=15cm.
水深为 25-15＝10 （cm）.
【教材P60】
证明 过点 O 作 OE⊥CD， 则AE＝BE， CE＝DE. ∴ AE-CE＝BE-DE， 即 AC ＝BD.
【教材P60】
解 如图，过点 O 作 OD⊥AB，连接 OB， OC. 设小圆的半径为 r，大圆的半径为 R，则 在 Rt△ODB 中， OD2 + 22 = r2， 在 Rt△ODC 中， OD2+32= R2， ∴ 圆环面积 S＝πR2-πr2＝π（32-22） ＝ 5π.
【教材P60】
解 连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线， 交 A B 于点 C， 所以 C 点为 A B 的中点. 理由是： 垂直于弦的直径平分这条弦所 对的弧.
结束语
九年级数学下册 第2章 圆2.3 垂径定理习题课件 （新版）湘教版
课堂小结
1. 说一说本节课的收获。 2. 你还存在哪些疑惑？
九年级数学下册 第2章 圆2.3 垂径定理 习题课件（新版）湘教版
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
y
看看远处，要保护好眼睛哦~8 站起来 6 动一动，久坐对身体不好24 哦~ –3 –2 –1 O 1 2 3 x
【教材P60】
解 如图，用A B 表示桥拱，设 A B 所在圆的圆心为 O，半径为 r， 经过圆心 O 作弦 AB 的垂线， D 为垂足，OC 与 A B 相交于点 C， 则 D 是 AB 的中点， CD为拱高. 在 Rt△ADO 中，r2＝18.72 + (r-7.2)2， 解得 r ≈ 27.9（m）.

CD为
｝ 直径
｛ CD⊥A
B 过圆心
｝｛ 垂直于
CD平分弦
点CA平B分A C B 弧点D平分AD B
弧 平分弦
平分弦所对的
优弧
弦
平分弦所对的
劣弧
C
O
A
B
D
【例1】如图，弦AB=8 cm，CD是⊙O的直
径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2 cm，求⊙O
的 解直：径连C接DO的A.长.（cm）.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月7日星期二2021/9/72021/9/72021/9/7 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/72021/9/7September 7, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/7
第二章 圆
*2.3垂径定理
思
如图考，在⊙O中，AB是任一条弦，CD是⊙O
的直径，且CD⊥AB，垂足为E. 试问：AE与BA CE，B C 与A D B，D 与
C
分别
相等吗？
O
A
B
D
因为圆是轴对称图形，将 ⊙O沿直径CD对折，如图，

证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M ∴A⌒C＝⌒BD
M
C
D
. O
A
B
N
例2 如图，☉O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，
DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴
AD

1 2
AB

1 2
∵ OA2 AD2 OD2 R2=18.52+(R-7.23)2 解得R≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m.
方法归纳
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆
·O
心到弦的距离），弓形高h的计算题，常
常通过连半径或作弦心距构造直角三角 A C B
形，利用垂径定理和勾股定理求解.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个 结论吗？
试一试 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），
与CD交于点P，且P是AB的中点. 求证：AB⊥CD，A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
D
∵P是AB的中点，即AP=BP，
B
D
垂径定理的本质是:
满足其中任 两条，必定 同时满足另 三条
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧
典例精析
例3 如图，在⊙O中，点C是AB的中点，弦AB与半径 OC相交于点D，AB=12，CD=2．求的⊙O半径．

①CD是直径；
③AE=BE；
②CD⊥AB；
④ AC=BC；
C
O
⑤ AD=BD ．
只要具备其中两个条件，就可推出其余三个结论．
E
A
B
D
你可以写出相应的命题吗？
知识要点
①CD是直径；
④ AE=BE；
O
⑤ AD=BD ．
E
A
平分弦所对的一条弧的直径，
垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
的一动点, 则线段 OM 的取值范围是（
A. 3 ≤ OM ≤ 5
B. 4 ≤ OM ≤ 5
C. 3＜OM ＜5
D. 4＜ OM ＜ 5
B）
3.如图, 圆弧形拱桥的跨度 AB＝12 m, 拱高 CD＝ 4 m,
则拱桥的半径为（ A ）
A. 6.5m
B. 9m
C. 13 m
D. 15 m
当堂练习
4.已知☉O 的半径为 13 cm, 弦AB ∥CD , AB＝24 cm, CD ＝10 cm, 则 AB ,
E
A
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线
过圆心，并且平分弦所对的另一条弧．
②CD⊥AB；
⑤ AD=BD ．
①CD是直径；
③AE=BE；
④ AC=BC；
B
D
知识要点
③AE=BE；
④ AC=BC；
C
①CD是直径；
②CD⊥AB；
O
⑤ AD=BD ．
E
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线
过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．
O
∴ AE = BE， ∠AOD =∠BOD.
从而∠AOC =∠BOC.

例题2
例2 已知：如图，在以
O为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C，
D两点。
A
O.
E┐
C
D
B
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
例题3
C
A 例3 已知：⊙O中弦
AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
M
D B
CE=DE，
AC =AD ,BC=BD
证明结论
已知：在⊙O中，CD是直径， AABE是＝弦BE，，CA⌒DC⊥＝AB⌒BC，，垂A⌒足D＝为B⌒ED。。求证：
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
因为垂直于弦AB的直径CD所在的直
线既是等腰三角形OAB的对称轴又
是⊙ O的对称轴。所以，当把圆沿着
直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆
A
重 合合，，A⌒CA、点A和⌒DB分点别重和合B⌒，C、AE和BE重 B⌒D重合。因此
⌒ ⌒⌒ ⌒
AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
C
.O
E
B
D
总结
垂径定理
3、图形语言
A
1、文字语言
垂直于圆的直径平分圆，并且平分 圆所对的两条弧。
O
C
E
2、符号语言
因为AB CD于E， AB为 O的直径
CE=DE,
（B 2）垂直于弦
（5）平分弦所对的劣弧
例题1
例1 如图，已知在⊙O中， A 弦AB的长为8厘米，圆心O到 AB的距离为3厘米，求⊙O的 半径。
E
B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，