2015-2016学年湖南长郡中学高二数学课件：3.3.2《简单线性规划问题的应用》(1)(新人教A版必修5)

(1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x，y)到达点 M(0，5)的
距离的平方，过 M(0，5)的距离的平方，过 M 作 AC 的垂线，易知 栏
目
垂足 N 在 AC 上，故
链
接
MN＝ 1|＋0－（5－＋21）| 2＝ 32＝322.
MN2＝3
2
22＝92，故
z
的最小值为29.
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5
解析：作出不等式组表示的平面区域(即可行域)．
(1)将 w＝x＋2y 变形为 y＝－12x＋w2，得到斜率为－12，在 y 轴上
截距为w2的一簇随 w 变化的平行直线，作过原点的直线 y＝－12x，由
栏
图 1 可知，当平移此直线过点(0，2)时，直线在 y 轴上的截距w2最大，目链
接
目 链
接
点评：由题目可获得以下主要信息：在约束条件下，
①求 z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2 的最小值；②求 z＝2xy＋＋11
＝2·x－y－（－－121） 的取值范围．解答本题可先将目标函数变形找到它的
几何意义，再利用解析几何完知整识版求pp最t 值．
11
解析：作出可行域，如图 A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)．
9
把 z＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在 y 轴上的
截距为 z，随 z 变化的一簇平行直线．
由图可以看出，当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截距 栏
z 最大，经过点 B 时，截距 z 最小．
目 链
解方程组x3－x＋4y5＋y－3＝25＝0，0，得 A 点坐标为(5，2)．
范围是( )
栏

学 习 重 要 还是 人脉重 要?现在 是一个 双赢的 社会， 你的价 值可能 更多的 决定了 你的人 脉，我 们所要 做的可 能更多 的是专 心打造 自己， 把自己 打造成 一个优 秀的人 、有用 的人、 有价值 的人， 当你真 正成为 一个优 秀有价 值的人 的时候 ，你会 惊喜地 发现搞 笑人脉 会破门 而入。 从如下 方面 改进： 1、专心 做可以 提升自 己的事 情；2、 学习 并拥有 更多的 技能； 3、成为 一个值 得交往 的人； 4学会 独善其 身，尽 量少给 周围的 人制造 麻烦， 用你的 独立赢 得尊重 。 理 财 的 时 候需 要做的 一方面 提高收 入，令 一方面 是节省 开支。 这就是 所谓的 开源节 流。时 间管理 也是如 此，一 方面要 提高效 率，另 一方面 是要节 省时间 。主要 做法有 ：1、同 时做两 件事情 （备注 ：请认 真选择 哪些事 情可以 同时做 ），比 如跑步 的时候 边听有 声书； 2、压 缩休息 时间提 升睡眠 效率， 比如晚 睡半小 时早起 半小时 （6~7个 小时 即可） ；3、充 分利用 零碎时 间学习 ，比如 做公交 车、等 车、上 厕所等 。
4x 16 4 y 12
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
y
x
y
0,x 0,y
N N
如图，图中的阴影部 4 分的整点（坐标为整 3
2
数的点）就代表所有 1
x ＋2 y－8 = 0
可能的日生产安排.
0 1 23 4
8x
（3）提出新问题： 进一步，若生产一件优质套装获利2万元，生产 一件精品套装获利3万元，采用哪种生产安排利 润最大？
设工厂生产优质套装x件，生产精品套装y件，
获得利润为Z，则Z = 2x + 3y，求Z的最大值.

域为M，使函数y=ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取取值 范围是( )
A.[1，3] B.[2, 10 ] C.[2，9] D.[ 10 ，9]
x y 0， (2)若不等式组2yx0，y 2，表示的平面区域是一个三角形， 则a的取值
x y a 范围是( )
1．简单的线性规划问题指的是在线性约束条件下，求线性目 标函数 d＝ax＋by 的最值．一般步骤包括： (1)确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区 域，即可行域． (2)由 d＝ax＋by 变形为 y＝－abx＋db，所求 d 的最值可看成是 求直线 y＝－abx＋db在 y 轴上截距的最值(其中 a，b 是常数，d 随 x，y 的变化而变化)．
3．寻找整点最优解的方法
(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线 l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点 解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息， 结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且 整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目 标函数求值，经比较求最优解．
(2)调整优值法：先求非整点最优解及最优值， 再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选 出整点最优解．
(3)将直线ax＋by＝0平移，在可行域中，观察 使 最大(或最小)时所经过的点．
(4)将该点代入目标函数，从而求出d的最大值 或最小值．
2．最优解可有两种确定方法： (1)将目标函数的直线平行移动，最先通过
或最后通过的顶点便是最优解；
(2) 利 用 围 成 可 行 域 的 直 线 的 斜 率 来 判 断 率 且 1时目分．，标别若直函为围线数k成l1i与，的可lki直行＋2，1线域的…的的交，斜直点k率线一n，为l般1且，k是k，l21最，<则k优2…当<…解，kik．<lnnk的，<k而斜i＋

是目标函数对应的直线的斜率与可行域中边界对应的 直线的斜率的大小关系不同导致的.
练习 2：:若已知目标函数 z ax y 在可行域中的点 B
处取得最小值，求实数 a 的取值范围.
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解： z ax y 可化为 y ax z ， 因为 z ax y 在可行域中的点 B 处取得最小值，
将 z1 x y 变形为 y x z1 ，这是
斜率为 1、随 z1 变化的一族平行直线. z1 直 线在 y 轴上的纵截距.当然直线要与可行域相 交，即在满足约束条件时目标函数 z1 x y
取得最值.
由图可见，当直线 z1 x y 经过可行域
上的点 B 时，纵截距 z1 最小.
解方程组
所以，直线 z ax y 与可行域只有一个公共点 B 或与边界 AB 重合，
或与边界 BC 重合. 因此 2 a 1 .
4
所以实数
a
的取值范围是
2,
1 4
.
ppt精选
7
练习 3：若在练习 1 中的不等式组中增加条件“ x, y N ”，
再求目标函数 z1 x y 的最小值，该如何探求最优解呢？ 学 y
6, 9,
得
B
点的坐标为
x
9 5
,
y
12 5
.所以
z1 的最小值为
21 5
.
同理，当直线 z1 x y 与可行域的边界 xppt精y 选 6 重合时， z1 最大为 6 .
3
（2）同理将 z2 3x y 化为 y 3x z2 ，这是斜率为 3 的一族平行直线.如图所 示，当它过可行域上的点 A(0,6) 时， z 2 最小为 6 .
可行域如图所示.
把 z x y 变形为 y x z ，得到斜率为

【提升总结】 将求变量范围的问题巧妙地转化为简单 的线性规划问题进行求解，减少了失误.
1.已知f(x)=(3a -1)x + b - a,x ∈[0, 1],若f(x)≤ 1恒成立， 则a + b的最大值是
5 3
.
2.（真题· 湖南高考）若变量 x, y 满足约束条件 ，
5 C． 3
5 D． 2
z 600x 1 000y.
作出如图所示的可行域，
3 z z 600x 1 000y可变形为y x . 5 1 000
y
3 作l0 :y = - x及其平行线， 5
3 z 当直线y = - x + 经过点M时， 5 1 000 z最大.
M
10
l0 : y 3 x 5
18x + 15y = 66, 解方程组 得M的坐标为 (2,2). 4x + y = 10, 所以zmax = 2 +0.5×2 = 3.
答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生 最大利润，最大利润为3万元.
探究点2
利用简单线性规划求变量的范围
例4
若二次函数 y f ( x ) 的图象过原点，且
将已知数据列成下表： 分析：
甲产品(1 t) A种矿石(t) B种矿石(t) 煤(t) 利润(元) 10 5 乙产品(1 t) 4 4 9 1 000
资源限额(t)
300 200 363
4
600
解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t， 利润总额为z元，则
10x 4y 300, 5x 4y 200, 4x 9y 363, x 0, y 0;
满足约束条件时目标函数z = 28x + 21y取得最小 值.

六、作业： 课本91页 第1 题
数 形 结 合
转
化
化
归
பைடு நூலகம்
函
数
方
程
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有， 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！ 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的， 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没 力，我就更没资格说，我无能为力。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我好的 格说，我无能为力。朝着一个目标不停的向前，不断努力的付出，哪怕你现在的人生是从零开始，你都可以做得到。早安！让梦想照进现实，才是当下最应该做的事情 钱的时候不磨叽， 生活不会因为你哭泣而对你温柔， 连孩子都知道，想要的东西，要踮起脚尖，自己伸手去拿，所以不要什么都不做，还什么都想要。但你可以通过努

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课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
拓展提升 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解 z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域 的边界线交点处或边界线上取得．在解题中也可由此快速找 到最大值点或最小值点．
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x≥0，
【跟踪训练 3】 记不等式组x＋3y≥4， 3x＋y≤4
所表示的平
面区域为 D，若直线 y＝a(x＋1)与区域 D 有公共点，则 a 的 取值范围是___12_，__4_ _．
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探究3 已知目标函数的最值求参数 例 3 已知变量 x，y 满足约束条件 1≤x＋y≤4，－2≤x －y≤2.若目标函数 z＝ax＋y(其中 a>0)仅在点(3,1)处取得最 大值，则 a 的取值范围为__a_>_1____．
解析 由约束条件画出可行域(如图)． 点 C 的坐标为(3,1)，z 最大时，即平移 y＝－ax 时，使 直线在 y 轴上的截距最大， ∴－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
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(3)(教材改编 P89 例 6)某公司招收男职员 x 名，女职员 y
5x－11y≥－22， 名，x 和 y 需满足约束条件22xx≤＋131y≥，9，

找百宝箱
创设游戏 引入新课
探究问题 提炼方法
运用成果 规范步骤
变式演练 深入探究
课堂总结 布置作业
找百宝箱
游戏规则：在下面的两幅图中，每个整点处都有一个百宝箱.每个箱子内的 金币数（z）与它所在的横坐标（x）和纵坐标（y）有关，并且每幅图的 关系式各不相同.请在20秒的时间内找出金币数最多的箱子！例如：
播放时间 (min) 甲 乙 要求
广告时间 (min)
观众人数 （万）
创设游戏 引入新课
探究问题 探究问题 提炼方法 提炼方法
运用成果 课堂总结 变式演练 课堂总结 概括步骤变式演练 规范步骤 布置作业 形成概念深入探究 巩固提高 布置作业
电视台应某企业之约播放两 套连续剧，其中，连续剧甲每 次播放时间为80min，其中广 告时间为1min，收视观众为60 万；连续剧乙每次播放时间为 40min，广告时间为1min，收 视观众为20万.已知此企业与电 视台达成协议，要求电视台每 周至少播放6min广告，而电视 台每周只能为该企业提供不多 于320min的节目时间.如果你 是电视台的制片人，电视台每 周应播映两套连续剧各多少次， 才能获得最高的收视率？
请同学们在小组内合作交流，完成下列探究活动.
【探究一】设甲播放x次，乙播放y次，收视观众z万人.
则x,y应满足哪些关系式?
80 x 40 y 320, x y 6, 即 x 0, y 0.
2 x y 8, x y 6, x 0, y 0.
创设游戏 引入新课
探究问题 探究问题 提炼方法 提炼方法
运用成果 课堂总结 变式演练 课堂总结 概括步骤变式演练 规范步骤 布置作业 形成概念深入探究 巩固提高 布置作业

＝0 的距离的
a 2 ＋b 2 倍．
|ax ＋b y ＋c|
a ＋b ·
，表示可行域内的点(x ，y )到直线 ax ＋b y ＋c
a 2 ＋b 2
2
2
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
x －y ＋2 ≥0


例 2 、已知x ＋y －4 ≥0


2 x －y －5 ≤0
，求：
(1 )z＝x 2 ＋y 2 －1 0 y ＋2 5 的最小值；
(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该
说法是错误的．
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
x ≥0 ，


2 ．若y ≥0 ，


x ＋y ≤1 ，
1
则 z＝x －y 的最大值为________．
根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令 z
法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取
得，易求得边界点分别为(3,4)，(1,2)，(3,0)，依次代入目标函数可求得 zm in ＝－5.]
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
[规律方法]
1．解线性规划问题的一般步骤
(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线 ax＋by＝0(目标函数为 z＝ax＋by)；
2 y ＋1
(2 )z＝
的范围.
x ＋1
2 y ＋1
思路探究：①把 z＝x ＋y －1 0 y ＋2 5 化为 z＝x ＋(y －5 ) ，其几何意义是什么？②把 z＝
2
1

子需木工和漆工两道工序完成．木工做一张型 桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张型 桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工 每天工作分别不得超过8小时和9小时，而两类 型桌子分别获利润(lìrùn)2千元和3千元，试问
工利解润厂：(设每lìr每天ù天n应)生最生产大产A？型两桌类子x型 x2桌张y ，子 B 8型各, 桌多子少张y张，，每才天能所获
有可能(kěnéng)的日生产安排是什么？
按甲、乙两种产品分别(fēnbié)生产x、y件， 由条件可得二元一次不等式组
x＋ 2 y 8
x 2y 8
4 4
x y
16 1
Z
x
0 ,x
Z
y 0 , y Z y 第三页，共16页。 0 , y Z
A.-2 B.-1 C.1 D.2
第十二页，共16页。
x y 20 探索2：不等式组xy20 ,所确定的平面区域为D,
2x y 20 若点(x,y)是区域D上的点,则2x+y的最大值是___; 若圆O：x2 y2 r2上的所有点都在区域D内,则圆O面积 的最大值是______.
第十三页，共16页。
【教学重点(zhòngdiǎn)】 用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】 准确求得线性规划问题的最优解
第二页，共16页。
例1 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产 品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配厂获得 16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所
探索3：设实数x,y满足不等式组1yx2y2x43, (1)求点(x,y)所在的平面区域; (2)设-1<a<0,在(1)所求的区域内,求函数f(x)=y-ax 的最大值和最小值.